chap 4: penerapan ensembel kanonik klasik
TRANSCRIPT
![Page 1: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/1.jpg)
Chap 4:Penerapan
Ensembel Kanonik Klasik
1. Paramagnetism (non fluida)
2. Osilator Harmonik Kuantum (diskrit)
![Page 2: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/2.jpg)
ParamagentismModel lain yang akan ditinjau adalah model dipol magnet yang dapat berputar bebas dibawah pengaruh medan luar π΅. Energi potensial sebuah dipol magnet dengan momen dipol π dibawah pengaruh medan eskternal π©adalah : ππ = βππ. π©. Misalkan medan luar berarah Z, sehingga :
ππ = βππ΅ cos ππDengan ππ adalah sudut antara vector momen dipol dengan sumbu Z.
Fungsi partisi kanonik klasik berarti dilakukan integrasi diseluruh kemungkinan orientasi arah dipol, yaitu sudut ruang Ξ© (π, π).
![Page 3: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/3.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik 1 DipolDefinisi sudut ruang, tinjau elemen luas ππ΄ dipermukan bola berjarisin π ππ cosπ ππ-jari r:
ππ΄ = π2
Sudut ruang πΞ© didefinisikan sebagai : ππ΄ = π2πΞ©, sehingga jelas: πΞ© = sin π ππ cos π ππ
Dengan demikian ungkapan fungsi partisi sebuah dipol adalah :
π1 = ΰΆ± πβπ½ππ πΞ© = ΰΆ±
0
2π
ΰΆ±
0
π
πππ½π΅ πππ π sin π ππ cosπ ππ
π1 = 2πΰΆ±
0
π
πππ½π΅πππ π sin π ππ
![Page 4: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/4.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik N DipolIntegral terakhir dapat dilakukan dengan mudah melalui subsitusi : π₯ = cos π, sehingga:
π1 = 2π ΰΆ±
β1
1
πππ½π΅π₯ ππ₯ =4π
ππ½π΅sinh(ππ½π΅)
Misal terdapat N dipol magnet yang tidak saling berinteraksi, maka fungsi partisi sistemnya adalah:
ππ = ΰΆ± πβπ½π1 πΞ©1β¦ ΰΆ± πβπ½ππ πΞ©N = ΰΆ± πβπ½ππ πΞ©i
π
Atau ππ = π1
π
![Page 5: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/5.jpg)
Momen Dipol Magnet Rata-rataMomen dipol magnet rata-rata:
< ππ§>=0πππ§ π
ππ½π΅πππ π sin π ππ
0
ππππ½π΅πππ π sin π ππ
=π 0
πcos π πππ½π΅πππ π sin π ππ
0
ππππ½π΅πππ π sin π ππ
Dengan
π1 = 2πΰΆ±
0
π
πππ½π΅πππ π sin π ππ
Maka:
ππ1ππ΅
= 2πππ½ΰΆ±
0
π
cos π πππ½π΅πππ π sin π ππ
![Page 6: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/6.jpg)
Momen Dipol Magnet Rata-rataSehingga:
< ππ§ >=1
π½
ππ1ππ΅π1
=1
π½
π lnπ1ππ΅
< ππ§ >= π cothππ΅
ππβππ
ππ΅
Fungsi :
π π₯ = coth π₯ β1
π₯Dikenal sebagai fungsi Langevin.
Total momen dipol rata-ratanya (dalam arah z) :< π·π§ >= π < ππ§ >
< π·π§ >=πNkT lnπ1
ππ΅= β
ππ΄
ππ΅Serupa dengan hubungan P dengan V:
π = βππ΄
ππ
![Page 7: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/7.jpg)
Hukum Curie untuk ParamagnetMomen dipol magnet total rata-rata
< π·π§ >= ππ coth π₯ β1
π₯= πππΏ(π₯)
Dengan π₯ = π½ππ΅ =ππ΅
ππ. Untuk kasus x kecil (misal T tinggi) maka :
coth π₯ =1
π₯+
π₯
3β
π₯3
45+β―
Sehingga:
< π·π§ >βππ2π΅
3ππDefinisi susceptibilitas magnetic:
ππ = limπ»β0
π < π·π§ >
ππ΅=πΆ
ππΆ =
ππ2
3πDikenal sebagai hokum Curie.
![Page 8: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/8.jpg)
Entropi dan Energi
Entropi diberikan oleh :
π = βππ΄
ππ= ππ ln
4π sinh π₯
π₯βπππ΅
ππΏ(π₯)
Melalui hubungan π΄ = π β ππ maka energi U dapat dihitung:π = π΄ + ππ =βΊ π·π§ > π΅
Dengan < π·π§ >= ππ πΏ(π₯). Kapasitas kalor bias diperoleh:
πΆπ» = αππ
ππ π΅,π=
ππ
ππ₯
ππ₯
ππ=
ππ
π΅1 β π₯2/ sinh2 π₯
Dapat dibuktikan :
π β β maka π β 0 πΆπ» β 0
![Page 9: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/9.jpg)
Osilator Harmonik Kuantum
β’ Tinjau SEBUAH osilator harmonis versi kuantum dengan energi yang diskrit
ππ = βπ π +1
2π = 0,1,2,β¦ .
β’ Fungsi Rapat keadaan ruang fasa kanonik klasik untuk 1 partikel diberikan oleh :
π π, π = πβπ½π» π,ππ1 π,π
π1 =1
βΰΆ± π3ππ3π πβπ½π»(π,π)
Karena energi osilator harmonis versi kuantum hanya bergantung indeks diskrit dan bukannya koordinat (q,p) maka perlu dilakukan penyesuaian fungsi rapat ruang fasa tsb menjadi:
![Page 10: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/10.jpg)
Probabilitas
ππ =πβπ½ππ
Οπ=1 πβπ½ππ
=πβπ½ππ
π1β’ Pengertian ππ: probabilitas menemukan 1 osilator harmonis
memiliki status keadaan n dengan energi ππβ’ π1 adalah fungsi partisi kanonik 1 osilator harmonisβ’ Jika system terdiri dari N osilator harmonis yang tidak saling
berinteraksi, maka energi total system :
πΈ{π1, π2, β¦ } =
π=1
πππ
β’ Karena tidak saling berinteraksi, maka pada dasarnya setiap osilator harmonis menempati salah satu dari status keadaan kuantum system energi 1 osilator harmonis.
![Page 11: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/11.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik (semi kuantum)
Misalkan system N osilator harmonis tsb terbedakan, maka fungsi partisi sistemnya merupakan jumlahan seluruh keadaan yang mungkin dari status keadaan N osilator tsb:
π π, π, π =
π1=0
β
π2
β¦
ππ
πβπ½Οπ=1π πππ
β’ Fungsi ini bias disederhanakan karena osilator tidak saling berinteraksi, sehingga penjumlahan terhadap masing-masing indeks ππ saling bebas:
π π, π, π =
π1=0
β
πβπ½ππ1 β¦ .
ππ=0
β
πβπ½πππ =
π=0
β
πβπ½ππ
π
![Page 12: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/12.jpg)
Osilator Harmonik Tak Berinteraksi
Jadi jika π1 adalah fungsi partisi 1 osilator, maka
π π, π, π = π1π
β’ Berbagai hubungan thermodinamika diperoleh seperti biasa melalui fungsi energi bebas Helmhotz:
π΄ = βππ lnπ π, π, π = βπππ lnπ1Kita hitung dulu π1
π1 =
π=0
πβπ½ππ =
π=0
πβπ½βπ π+
12 = πβ
π½βπ2
1
1 β πβπ½βπ
π1 =1
ππ½βπ2 β πβ
π½βπ2
=1
2sinh
π½βπ
2
β1
![Page 13: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/13.jpg)
Energi Bebas Helmhotz
Maka :
π΄ = βπππ lnπ1 = βπππ ln πβπ½βπ2
1
1 β πβπ½βπ
= πβπ
2+ ππ ln(1 β πβπ½βπ)
Atau menggunakan :
π΄ = πππ ln 2 sinhπ½βπ
2
Suku βπ
2adalah berasal dari zero point energy.
![Page 14: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/14.jpg)
Tekanan, Entropi dan Energi
Berbagai hubungan thermodinamika bias diperoleh:
π = βππ΄
ππ= 0
Tekanan NOL sebab osilator tidak memiliki energi translasional untuk menimbulkan tekanan. Entropi diperoleh dari:
π = βππ΄
ππ= 0
π = ππβπ
ππ
1
ππ½βπ β 1β ln 1 β πβπ½βπ
Energi dalam dapat dihitung dari A=U-TS
π = πβπ1
2+
1
ππ½βπ β 1
![Page 15: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/15.jpg)
Alternatif : Perhitungan Energi
Energi dalam dapat juga dihitung melalui:
π = βπ lnππππ½
= βππ lnπ1ππ½
= ππ
ππ½ln 2 sinh
π½βπ
2
π = π1
sinhπ½βπ2
βπ
2cosh
π½βπ
2
π = πβπ
2cot
π½βπ
2= π
βπ
2
ππ½βπ2 + πβ
π½βπ2
ππ½βπ2 β πβ
π½βπ2
Sedikit aljabar .....
![Page 16: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/16.jpg)
Energi
π₯ + 1/π₯
π₯ β 1/π₯=π₯2 + 1
π₯2 β 1= 1 +
2
π₯2 β 1
Dengan π₯ = ππ½βπ
2 , maka :
ππ½βπ2 + πβ
π½βπ2
ππ½βπ2 β πβ
π½βπ2
= 1 +2
ππ½βπ β 1
Sehingga:
π = πβπ
21 +
2
ππ½βπ β 1= π
βπ
2+
βπ
ππ½βπ β 1
Hasil yang serupa dengan sebelumnya . Suku di dalam (...) adalah energi rata-rata 1 osilator harmonis.
![Page 17: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/17.jpg)
Rata-rata Bilangan Kuantum
< π > =βπ
2+
βπ
ππ½βπ β 1= βπ
1
2+< π >
Dengan
< π > =1
ππ½βπ β 1Adalah rata-rata bilangan kuantum n, yaitu tingkat eksitasi rata-rata osilator pada temperature T. Hasil ini akan tetap benar ketika dipakai perumusan mekanika statistika kuantum!Hal lain adalah tidak berlakunya prinsip ekipartisi energi disini (telah diturunkan untuk osilator harmonis klasik U=NkT)
![Page 18: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/18.jpg)
Limit Klasik Energi
Pada suhu tinggi (π½ β 0), maka :
< π > =1
ππ½βπ β 1β
1
1 + π½βπ +12π½βπ 2 +β― .β1
=1
π½βπ
1
1 +12π½βπ +β―
β1
π½βπ1 β
1
2π½βπ +β―
Sehingga energi system :
π β πβπ1
2+
1
π½βπ1 β
1
2π½βπ +β― β
π
π½= πππ
Jadi pada suhu tinggi kita berhasil menunjukkan bahwa energi total system kembali ke system klasik.
![Page 19: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/19.jpg)
Perbandingan : Klasik, Planck, Schrodinger
Pada suhu rendah (π½ β β), terjadi deviasi terbesar dari pendekatan klasik:
< π > =1
ππ½βπ β 1β 0
Sehingga energi system :
π β πβπ1
2+β― β π
1
2βπ
Jadi pada suhu rendah energi relative konstan thd T nilainya mendekati zero point energy.Planck pertama kali mengajukan model energi diskrit untuk osilator harmonis, tanpa zero point energy:
ππ = βπKurva 1: mekanika kuantumKurva 2: klasikKurva 3: Model Planck asli
![Page 20: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/20.jpg)
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Dalam perumusan ensemble kanonik klasik, fungsi rapat keadaan (DOS) diberikan oleh π(πΈ) sbb:
π π, π, π = ΰΆ± π πΈ πβπ½π»{π,π}π3πππ3ππ
Ketika energi system diskrit, maka ungkapan rapat keadaannya menjadi ππ:
π π, π, π =
π
πππβπ½πΈπ
Dan sekarang ππ dikenal sebagai degenerasi tingkat energi πΈπ tersebut.
![Page 21: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/21.jpg)
Energi Total Sistem
Sedangkan πΈπ menyatakan energi total system tsb untuk suatu distribusi bilangan kuantum {ππ} di antara N osilator harmonis tsb. Untuk masing-masing bilangan kuantum, maka osilator harmonis terkait akan memiliki energi sebesar:
πππ = βπ ππ +1
2ππ = 0,1,2, . .
Sehingga total energi yang terjadi adalah :
πΈ{ππ} =
{ππ}
π_ππ = βπ
{ππ}
ππ +1
2
Penjumlahan tsb dilakukan terhadap i=1,2,3,...N. Sehingga suku kedua di atas akan menghasilkan (
π
2βπ)
![Page 22: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/22.jpg)
Energi Total Sistem & Degenerasi
Persoalan diatas dapat ditinjau dari sudut yg berbeda. Selang terkecil nilai-nilai energi total adalah βπ, sehingga energi total yang mungkin terjadi bisa dituliskan sebagai :
πΈπ = βπ
π=0
π +π
2
Suku kedua berasal dari penjumlahan zero point energy tiap osilator. Maka sekarang persoalan menjadi untuk tiap nilai energi πΈπ dihasilkan oleh karena ada kuanta energi βπ sebanyak n buah, ada berapa cara mendistribusikan kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis!
![Page 23: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/23.jpg)
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Persoalan menghitung degenerasi ini dapat dirumuskan sbb: βDiberikan n buah bola identik (indistuishable) untuk di distribusikan kepada N buah kotak (distinguishable), satu kotak boleh tidak berisi atau berisi sampai semua bola. Carilah semua kombinasi berbeda untuk mendistribusikan hal tsbβ
1 2 3 n
Kotak ke 1 2 3 4 5 6=N
Partisi ke 1 2 3 4 5
![Page 24: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/24.jpg)
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Persoalan tsb dapat dipandang sebagai kita memiliki n buah obyek dan (N-1) partisi (ekivalen dengan N buah kotak!). Berapa banyak cara berbeda mendistribusi n buah indistinguishable obyek tsb dan (N-1) partisi. Berarti total cara mendistribusikannya ada sebanya (n+N-1)!. Akan tetapi karena baik obyek maupun partisi masing-masing identic (indistinguishable), maka permutasi diantara masing-masing jenis obyek tsb tidak menghasilkan keadaan/konfigurasi baru! Sehingga banyak cara mendistribusikannya menjadi :
ππ =π + π β 1 !
π! π β 1 !=
π + π β 1π
Terakhir digunakan notasi kombinasi!
1 2 3 n
Kotak ke 1 2 3 4 5 6=N
Partisi ke 1 2 3 4 5
![Page 25: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/25.jpg)
Degenerasi & Banyak Keadaan
Degenerasi ini terkait dengan jumlah status keadaan microstate Ξ© πΈπ, π yg memiliki energi tertentu (mikrokanonik), jadi
Ξ© πΈπ, π = ππ =π + π β 1
πMengetahui ini maka dapat dihitung entropi dari system ini :
π = π lnΞ© πΈπ, ππ = π ln π + π β 1 ! β ln π! β ln π β 1 !
Dengan bantuan aproksimasi Stirling untuk N,n besar, maka :π β π π + π ln π + π β ππ ln π β ππ lnπ
Selanjutnya ungkapan energi total masuk melalui substitusi variable n:
π =πΈ
βπβπ
2
![Page 26: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/26.jpg)
Entropi & EnergiAkan diperoleh ungkapan entropi S sebagai fungsi energi total system E:
π = ππΈ
βπ+π
2ln
πΈ
βπ+π
2β π
πΈ
βπβπ
2ln
πΈ
βπβπ
2β ππ lnπ
Seperti biasa hubungan thermodinamika dapat dicari melalui entropi, misalnya:
1
π=
ππ
ππΈπ,π
=π
βπln
πΈ +π2βπ
πΈ βπ2βπ
Atau:
πΈ =π
2βπ
exp{π½βπ} + 1
exp{π½βπ} β 1Buktikan bahwa hasil ini ekivalen dengan yang sebelumnya diturunkan!
![Page 27: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/27.jpg)
Gas dengan derajat kebebasan dalam
β’ Dalam model gas ideal, massa dianggap titik saja. Padahal pada kenyataannya terdiri dari molekul yang memiliki gerak internal selain translasi molekul, seperti vibrasi atom-atomnya ataupun rotasi.
β’ Misalkan Hamiltonian sebuah molekul terdiri atas sbb:
β’ π» = π»π‘ππππ π, π + π»πππ‘ ππ , πΏπ + π»π£ππ(ππ , ππ)
β’ Suku π»π‘ππππ : translasi pusat massa molekulβ’ Suku π»πππ‘ : rotasi molekul yg merupakan fungsi sudut-
sudut Euler (π = (π, π, π)β’ Suku π»π£ππ bergantung pada posisi relative thd PM dan
kecepatan getar dalam koordinat normal.
![Page 28: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/28.jpg)
Komponen Fungsi Partisi Kanonik
β’ Ketiga Hamiltonian tsb saling bebas, sehingga fungsi partisi kanonik 1 partikelnya dapat dinyatakan sbg:
π1 = ππ‘ππππ ππππ‘ππ£ππ
ππ‘ππππ =1
β3ΰΆ± π3ππ3π π βπ½π»π‘ππππ
ππππ‘ =1
β3ΰΆ± π3ππ3ππ π
βπ½π»πππ‘
ππ£ππ =1
βπΰΆ± ππππππ π βπ½π»π£ππ
![Page 29: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/29.jpg)
Translasi Pusat Massa
β’ Fungsi partisi kanonik untuk gerak translasi pusat massa sudah dipecahkan untuk gas ideal monoatomic:
π»π‘ππππ =π 2
2π
ππ‘ππππ =1
β3ΰΆ± π3ππ3π πβ
π½π2
2π =π
π3
π = β/ 2ππππ
![Page 30: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/30.jpg)
Rotasi
β’ Hamiltonian planar rotator
π»πππ‘ =ππ2
2πΌ1+ππ2
2πΌ3+
ππ β ππ cos π2
2πΌ1 sin2 π
Sudut-sudut tsb memiliki nilai sbb: π β 0, π , π β0,2π , π β 0,2π
Fungsi partisi kanoniknya adalah:
ππππ‘
=1
β3ΰΆ± ΰΆ± ππππππ ππππππππ exp βπ½
ππ2
2πΌ1+ππ2
2πΌ3+
ππ β ππ cos π2
2πΌ1 sin2 π
Integrand tidak bergantung π dan π, sehingga:ππππ‘
=2π 2
β3ΰΆ± ΰΆ± ππ ππππππππ exp βπ½
ππ2
2πΌ1+ππ2
2πΌ3+
ππ β ππ cos π2
2πΌ1 sin2 π
![Page 31: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/31.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik Rotasiππππ‘
=2π 2
β3ΰΆ±
ββ
β
ππππβπ½
ππ2
2πΌ1 ΰΆ± ππ ππππππ exp βπ½ππ2
2πΌ3+
ππ β ππ cos π2
2πΌ1 sin2 π
Integral thd ππ menghasilkan : 2πΌ1πππ,
ππππ‘
=2π 2
β32πΌ1πππ ΰΆ± ππ ΰΆ± πππ π
βπ½ππ2
2πΌ3 ΰΆ±
ββ
β
πππ exp βπ½ππ β ππ cos π
2
2πΌ1 sin2 π
Integral thd πππ adalah gaussian integral juga dengan pusat tergeser,
hasilnnya :
2ππΌ1ππ sin π
ππππ‘ =2π 2
β32πΌ1πππ 2ππΌ1ππΰΆ±
0
π
ππ sin π ΰΆ±
ββ
β
πππ πβπ½
ππ2
2πΌ3
![Page 32: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/32.jpg)
Fungsi Energi Bebas HelmhotzSelanjutnya integral thd ππ kembali bertipe gaussian, sehingga:
ππππ‘ =π
β32πΌπππ 2ππΌ1ππ 2ππΌ3ππ
Fungsi partisi vibrasi telah dilakukan seperti pada osilator harmonis. Jadi secara umum untuk N molekul yang tak terbedakan maka fungsi partisi kanoniknya dapat dituliskan sbg:
π π, π, π =1
π!π1
π =1
π!ππ‘ππππ π ππππ‘
π ππ£πππ
Fungsi energi bebas Helmhotz: untuk N >>1π΄ π, π, π = βππ lnπ π, π, π
π΄ π, π, π
= βπππ lnππ‘ππππ π
+ 1 β πππ lnππππ‘ βπππ lnππ£ππ
π΄ π, π, π = π΄π‘ππππ + π΄πππ‘ + π΄π£ππ
![Page 33: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/33.jpg)
Kasus Diatomik
Dalam hal ini momen inersia πΌ3 β 0, tapi kita tak bias langsung memasukkan hal tsb di Hamiltonian. Dalam perumusan
Dalam hal ini momen inersia πΌ3 β 0, tapi kita tak bias langsung memasukkan hal tsb di Hamiltonian. Dalam perumusan Hamiltoniannya derajat kebebasan yang terkait πΌ3 yaitu terkait variable sudut π mesti dihilangkan, sehingga hasil Hamiltonian diatomic berbentuk:
π»πππ‘ =ππ2
2πΌ1+
ππ2
2πΌ1 sin2 π
![Page 34: Chap 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071613/6157d4cece5a9d02d46f9372/html5/thumbnails/34.jpg)
Kasus Diatomik
ππππ‘ =1
β2ΰΆ± ππππ ππππππ exp βπ½
ππ2
2πΌ1+
ππ2
2πΌ1 sin2 π
ππππ‘ =2π
β22ππΌ1ππ ΰΆ± ΰΆ± ππ πππ exp βπ½
ππ2
2πΌ1 sin2 π
ππππ‘ =2π
β22ππΌ1ππ 2ππΌ1ππ ΰΆ±
0
π
ππ sin π
ππππ‘ =2πΌ1ππ
β2