penerapan ensembel kanonik klasik -...
TRANSCRIPT
![Page 1: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/1.jpg)
Penerapan Ensembel Kanonik
Klasik
1. Paramagnetism (non fluida)
2. Osilator Harmonik Kuantum (diskrit)
![Page 2: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/2.jpg)
ParamagentismModel lain yang akan ditinjau adalah model dipol magnet yang dapat berputar bebas dibawah pengaruh medan luar 𝐵. Energi potensial sebuah dipol magnet dengan momen dipol 𝝁 dibawah pengaruh medan eskternal 𝑩adalah : 𝜖𝑖 = −𝝁𝒊. 𝑩. Misalkan medan luar berarah Z, sehingga :
𝜖𝑖 = −𝜇𝐵 cos 𝜃𝑖Dengan 𝜃𝑖 adalah sudut antara vector momen dipol dengan sumbu Z.
Fungsi partisi kanonik klasik berarti dilakukan integrasi diseluruh kemungkinan orientasi arah dipol, yaitu sudut ruang Ω (𝜃, 𝜙).
![Page 3: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/3.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik 1 DipolDefinisi sudut ruang, tinjau elemen luas 𝑑𝐴 dipermukan bola berjarisin 𝜃 𝑑𝜃 cos𝜙 𝑑𝜙-jari r:
𝑑𝐴 = 𝑟2
Sudut ruang 𝑑Ω didefinisikan sebagai : 𝑑𝐴 = 𝑟2𝑑Ω, sehingga jelas: 𝑑Ω = sin 𝜃 𝑑𝜃 cos 𝜙 𝑑𝜙
Dengan demikian ungkapan fungsi partisi sebuah dipol adalah :
𝑄1 = න 𝑒−𝛽𝜖𝑖 𝑑Ω = න
0
2𝜋
න
0
𝜋
𝑒𝜇𝛽𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 cos𝜙 𝑑𝜙
𝑄1 = 2𝜋න
0
𝜋
𝑒𝜇𝛽𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
![Page 4: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/4.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik N DipolIntegral terakhir dapat dilakukan dengan mudah melalui subsitusi : 𝑥 = cos 𝜃, sehingga:
𝑄1 = 2𝜋 න
−1
1
𝑒𝜇𝛽𝐵𝑥 𝑑𝑥 =4𝜋
𝜇𝛽𝐵sinh(𝜇𝛽𝐵)
Misal terdapat N dipol magnet yang tidak saling berinteraksi, maka fungsi partisi sistemnya adalah:
𝑄𝑁 = න 𝑒−𝛽𝜖1 𝑑Ω1… න 𝑒−𝛽𝜖𝑁 𝑑ΩN = න 𝑒−𝛽𝜖𝑖 𝑑Ωi
𝑁
Atau 𝑄𝑁 = 𝑄1
𝑁
![Page 5: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/5.jpg)
Momen Dipol Magnet Rata-rataMomen dipol magnet rata-rata:
< 𝜇𝑧>=0
𝜋𝜇𝑧 𝑒
𝜇𝛽𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
0𝜋𝑒𝜇𝛽𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
=𝜇
0
𝜋cos 𝜃 𝑒𝜇𝛽𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
0𝜋𝑒𝜇𝛽𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
Dengan
𝑄1 = 2𝜋න
0
𝜋
𝑒𝜇𝛽𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
Maka:
𝜕𝑄1𝜕𝐵
= 2𝜋𝜇𝛽න
0
𝜋
cos 𝜃 𝑒𝜇𝛽𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
![Page 6: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/6.jpg)
Momen Dipol Magnet Rata-rataSehingga:
< 𝜇𝑧 >=1
𝛽
𝜕𝑄1𝜕𝐵𝑄1
=1
𝛽
𝜕 ln𝑄1𝜕𝐵
< 𝜇𝑧 >= 𝜇 coth𝜇𝐵
𝑘𝑇−𝑘𝑇
𝜇𝐵
Fungsi :
𝑓 𝑥 = coth 𝑥 −1
𝑥Dikenal sebagai fungsi Langevin.
Total momen dipol rata-ratanya (dalam arah z) :< 𝐷𝑧 >= 𝑁 < 𝜇𝑧 >
< 𝐷𝑧 >=𝜕 NkT ln𝑄1
𝜕𝐵= −
𝜕𝐴
𝜕𝐵Serupa dengan hubungan P dengan V:
𝑃 = −𝜕𝐴
𝜕𝑉
![Page 7: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/7.jpg)
Hukum Curie untuk ParamagnetMomen dipol magnet total rata-rata
< 𝐷𝑧 >= 𝑁𝜇 coth 𝑥 −1
𝑥= 𝑁𝜇𝐿(𝑥)
Dengan 𝑥 = 𝛽𝜇𝐵 =𝜇𝐵
𝑘𝑇. Untuk kasus x kecil (misal T tinggi) maka :
coth 𝑥 =1
𝑥+
𝑥
3−
𝑥3
45+⋯
Sehingga:
< 𝐷𝑧 >≈𝑁𝜇2𝐵
3𝑘𝑇Definisi susceptibilitas magnetic:
𝜒𝑚 = lim𝐻→0
𝜕 < 𝐷𝑧 >
𝜕𝐵=𝐶
𝑇𝐶 =
𝑁𝜇2
3𝑘Dikenal sebagai hokum Curie.
![Page 8: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/8.jpg)
Entropi dan Energi
Entropi diberikan oleh :
𝑆 = −𝜕𝐴
𝜕𝑇= 𝑁𝑘 ln
4𝜋 sinh 𝑥
𝑥−𝑁𝜇𝐵
𝑇𝐿(𝑥)
Melalui hubungan 𝐴 = 𝑈 − 𝑇𝑆 maka energi U dapat dihitung:𝑈 = 𝐴 + 𝑇𝑆 =≺ 𝐷𝑧 > 𝐵
Dengan < 𝐷𝑧 >= 𝑁𝜇 𝐿(𝑥). Kapasitas kalor bias diperoleh:
𝐶𝐻 = ቚ𝜕𝑈
𝜕𝑇 𝐵,𝑁=
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑇=
𝑁𝑘
𝐵1 − 𝑥2/ sinh2 𝑥
Dapat dibuktikan :
𝑇 → ∞ maka 𝑈 → 0 𝐶𝐻 → 0
![Page 9: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/9.jpg)
Osilator Harmonik Kuantum
• Tinjau SEBUAH osilator harmonis versi kuantum dengan energi yang diskrit
𝜖𝑛 = ℏ𝜔 𝑛 +1
2𝑛 = 0,1,2,… .
• Fungsi Rapat keadaan ruang fasa kanonik klasik untuk 1 partikel diberikan oleh :
𝜌 𝑞, 𝑝 = 𝑒−𝛽𝐻 𝑞,𝑝𝑄1 𝑇,𝑉
𝑄1 =1
ℎන 𝑑3𝑞𝑑3𝑝 𝑒−𝛽𝐻(𝑞,𝑝)
Karena energi osilator harmonis versi kuantum hanya bergantung indeks diskrit dan bukannya koordinat (q,p) maka perlu dilakukan penyesuaian fungsi rapat ruang fasa tsb menjadi:
![Page 10: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/10.jpg)
Probabilitas
𝜌𝑛 =𝑒−𝛽𝜖𝑛
σ𝑖=1 𝑒−𝛽𝜖𝑛
=𝑒−𝛽𝜖𝑛
𝑄1• Pengertian 𝜌𝑛: probabilitas menemukan 1 osilator harmonis
memiliki status keadaan n dengan energi 𝜖𝑛• 𝑄1 adalah fungsi partisi kanonik 1 osilator harmonis• Jika system terdiri dari N osilator harmonis yang tidak saling
berinteraksi, maka energi total system :
𝐸{𝑛1, 𝑛2, … } =
𝑖=1
𝜖𝑛𝑖
• Karena tidak saling berinteraksi, maka pada dasarnya setiap osilator harmonis menempati salah satu dari status keadaan kuantum system energi 1 osilator harmonis.
![Page 11: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/11.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik (semi kuantum)
Misalkan system N osilator harmonis tsb terbedakan, maka fungsi partisi sistemnya merupakan jumlahan seluruh keadaan yang mungkin dari status keadaan N osilator tsb:
𝑄 𝑁, 𝑉, 𝑇 =
𝑛1=0
∞
𝑛2
…
𝑛𝑁
𝑒−𝛽σ𝑖=1𝑁 𝜖𝑛𝑖
• Fungsi ini bias disederhanakan karena osilator tidak saling berinteraksi, sehingga penjumlahan terhadap masing-masing indeks 𝑛𝑖 saling bebas:
𝑄 𝑁, 𝑉, 𝑇 =
𝑛1=0
∞
𝑒−𝛽𝜖𝑛1 … .
𝑛𝑁=0
∞
𝑒−𝛽𝜖𝑛𝑁 =
𝑛=0
∞
𝑒−𝛽𝜖𝑛
𝑁
![Page 12: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/12.jpg)
Osilator Harmonik Tak Berinteraksi
Jadi jika 𝑄1 adalah fungsi partisi 1 osilator, maka
𝑄 𝑁, 𝑉, 𝑇 = 𝑄1𝑁
• Berbagai hubungan thermodinamika diperoleh seperti biasa melalui fungsi energi bebas Helmhotz:
𝐴 = −𝑘𝑇 ln𝑄 𝑁, 𝑉, 𝑇 = −𝑁𝑘𝑇 ln𝑄1Kita hitung dulu 𝑄1
𝑄1 =
𝑛=0
𝑒−𝛽𝜖𝑛 =
𝑛=0
𝑒−𝛽ℏ𝜔 𝑛+
12 = 𝑒−
𝛽ℏ𝜔2
1
1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔
𝑄1 =1
𝑒𝛽ℏ𝜔2 − 𝑒−
𝛽ℏ𝜔2
=1
2sinh
𝛽ℏ𝜔
2
−1
![Page 13: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/13.jpg)
Energi Bebas Helmhotz
Maka :
𝐴 = −𝑁𝑘𝑇 ln𝑄1 = −𝑁𝑘𝑇 ln 𝑒−𝛽ℏ𝜔2
1
1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔
= 𝑁ℏ𝜔
2+ 𝑘𝑇 ln(1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔)
Atau menggunakan :
𝐴 = 𝑁𝑘𝑇 ln 2 sinh𝛽ℏ𝜔
2
Suku ℏ𝜔
2adalah berasal dari zero point energy.
![Page 14: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/14.jpg)
Tekanan, Entropi dan Energi
Berbagai hubungan thermodinamika bias diperoleh:
𝑃 = −𝜕𝐴
𝜕𝑉= 0
Tekanan NOL sebab osilator tidak memiliki energi translasional untuk menimbulkan tekanan. Entropi diperoleh dari:
𝑆 = −𝜕𝐴
𝜕𝑇= 0
𝑆 = 𝑁𝑘ℏ𝜔
𝑘𝑇
1
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1− ln 1 − 𝑒−𝛽ℏ𝜔
Energi dalam dapat dihitung dari A=U-TS
𝑈 = 𝑁ℏ𝜔1
2+
1
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1
![Page 15: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/15.jpg)
Alternatif : Perhitungan Energi
Energi dalam dapat juga dihitung melalui:
𝑈 = −𝜕 ln𝑄𝑁𝜕𝛽
= −𝑁𝜕 ln𝑄1𝜕𝛽
= 𝑁𝜕
𝜕𝛽ln 2 sinh
𝛽ℏ𝜔
2
𝑈 = 𝑁1
sinh𝛽ℏ𝜔2
ℏ𝜔
2cosh
𝛽ℏ𝜔
2
𝑈 = 𝑁ℏ𝜔
2cot
𝛽ℏ𝜔
2= 𝑁
ℏ𝜔
2
𝑒𝛽ℏ𝜔2 + 𝑒−
𝛽ℏ𝜔2
𝑒𝛽ℏ𝜔2 − 𝑒−
𝛽ℏ𝜔2
Sedikit aljabar .....
![Page 16: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/16.jpg)
Energi
𝑥 + 1/𝑥
𝑥 − 1/𝑥=𝑥2 + 1
𝑥2 − 1= 1 +
2
𝑥2 − 1
Dengan 𝑥 = 𝑒𝛽ℏ𝜔
2 , maka :
𝑒𝛽ℏ𝜔2 + 𝑒−
𝛽ℏ𝜔2
𝑒𝛽ℏ𝜔2 − 𝑒−
𝛽ℏ𝜔2
= 1 +2
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1
Sehingga:
𝑈 = 𝑁ℏ𝜔
21 +
2
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1= 𝑁
ℏ𝜔
2+
ℏ𝜔
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1
Hasil yang serupa dengan sebelumnya . Suku di dalam (...) adalah energi rata-rata 1 osilator harmonis.
![Page 17: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/17.jpg)
Rata-rata Bilangan Kuantum
< 𝜖 > =ℏ𝜔
2+
ℏ𝜔
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1= ℏ𝜔
1
2+< 𝑛 >
Dengan
< 𝑛 > =1
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1Adalah rata-rata bilangan kuantum n, yaitu tingkat eksitasi rata-rata osilator pada temperature T. Hasil ini akan tetap benar ketika dipakai perumusan mekanika statistika kuantum!Hal lain adalah tidak berlakunya prinsip ekipartisi energi disini (telah diturunkan untuk osilator harmonis klasik U=NkT)
![Page 18: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/18.jpg)
Limit Klasik Energi
Pada suhu tinggi (𝛽 → 0), maka :
< 𝑛 > =1
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1≈
1
1 + 𝛽ℏ𝜔 +12𝛽ℏ𝜔 2 +⋯ .−1
=1
𝛽ℏ𝜔
1
1 +12𝛽ℏ𝜔 +⋯
≈1
𝛽ℏ𝜔1 −
1
2𝛽ℏ𝜔 +⋯
Sehingga energi system :
𝑈 ≈ 𝑁ℏ𝜔1
2+
1
𝛽ℏ𝜔1 −
1
2𝛽ℏ𝜔 +⋯ ≈
𝑁
𝛽= 𝑁𝑘𝑇
Jadi pada suhu tinggi kita berhasil menunjukkan bahwa energi total system kembali ke system klasik.
![Page 19: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/19.jpg)
Perbandingan : Klasik, Planck, Schrodinger
Pada suhu rendah (𝛽 → ∞), terjadi deviasi terbesar dari pendekatan klasik:
< 𝑛 > =1
𝑒𝛽ℏ𝜔 − 1≈ 0
Sehingga energi system :
𝑈 ≈ 𝑁ℏ𝜔1
2+⋯ ≈ 𝑁
1
2ℏ𝜔
Jadi pada suhu rendah energi relative konstan thd T nilainya mendekati zero point energy.Planck pertama kali mengajukan model energi diskrit untuk osilator harmonis, tanpa zero point energy:
𝜖𝑛 = ℏ𝜔Kurva 1: mekanika kuantumKurva 2: klasikKurva 3: Model Planck asli
![Page 20: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/20.jpg)
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Dalam perumusan ensemble kanonik klasik, fungsi rapat keadaan (DOS) diberikan oleh 𝑔(𝐸) sbb:
𝑄 𝑁, 𝑉, 𝑇 = න 𝑔 𝐸 𝑒−𝛽𝐻{𝑞,𝑝}𝑑3𝑁𝑞𝑑3𝑁𝑝
Ketika energi system diskrit, maka ungkapan rapat keadaannya menjadi 𝑔𝑛:
𝑄 𝑁, 𝑉, 𝑇 =
𝑛
𝑔𝑛𝑒−𝛽𝐸𝑛
Dan sekarang 𝑔𝑛 dikenal sebagai degenerasi tingkat energi 𝐸𝑛 tersebut.
![Page 21: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/21.jpg)
Energi Total Sistem
Sedangkan 𝐸𝑛 menyatakan energi total system tsb untuk suatu distribusi bilangan kuantum {𝑛𝑖} di antara N osilator harmonis tsb. Untuk masing-masing bilangan kuantum, maka osilator harmonis terkait akan memiliki energi sebesar:
𝜖𝑛𝑖 = ℏ𝜔 𝑛𝑖 +1
2𝑛𝑖 = 0,1,2, . .
Sehingga total energi yang terjadi adalah :
𝐸{𝑛𝑖} =
{𝑛𝑖}
𝜖_𝑛𝑖 = ℏ𝜔
{𝑛𝑖}
𝑛𝑖 +1
2
Penjumlahan tsb dilakukan terhadap i=1,2,3,...N. Sehingga suku kedua di atas akan menghasilkan (
𝑁
2ℏ𝜔)
![Page 22: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/22.jpg)
Energi Total Sistem & Degenerasi
Persoalan diatas dapat ditinjau dari sudut yg berbeda. Selang terkecil nilai-nilai energi total adalah ℏ𝜔, sehingga energi total yang mungkin terjadi bisa dituliskan sebagai :
𝐸𝑛 = ℏ𝜔
𝑛=0
𝑛 +𝑁
2
Suku kedua berasal dari penjumlahan zero point energy tiap osilator. Maka sekarang persoalan menjadi untuk tiap nilai energi 𝐸𝑛 dihasilkan oleh karena ada kuanta energi ℏ𝜔 sebanyak n buah, ada berapa cara mendistribusikan kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis!
![Page 23: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/23.jpg)
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Persoalan menghitung degenerasi ini dapat dirumuskan sbb: “Diberikan n buah bola identik (indistuishable) untuk di distribusikan kepada N buah kotak (distinguishable), satu kotak boleh tidak berisi atau berisi sampai semua bola. Carilah semua kombinasi berbeda untuk mendistribusikan hal tsb”
1 2 3 n
Kotak ke 1 2 3 4 5 6=N
Partisi ke 1 2 3 4 5
![Page 24: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/24.jpg)
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Persoalan tsb dapat dipandang sebagai kita memiliki n buah obyek dan (N-1) partisi (ekivalen dengan N buah kotak!). Berapa banyak cara berbeda mendistribusi n buah indistinguishable obyek tsb dan (N-1) partisi. Berarti total cara mendistribusikannya ada sebanya (n+N-1)!. Akan tetapi karena baik obyek maupun partisi masing-masing identic (indistinguishable), maka permutasi diantara masing-masing jenis obyek tsb tidak menghasilkan keadaan/konfigurasi baru! Sehingga banyak cara mendistribusikannya menjadi :
𝑔𝑛 =𝑛 + 𝑁 − 1 !
𝑛! 𝑁 − 1 !=
𝑛 + 𝑁 − 1𝑛
Terakhir digunakan notasi kombinasi!
1 2 3 n
Kotak ke 1 2 3 4 5 6=N
Partisi ke 1 2 3 4 5
![Page 25: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/25.jpg)
Degenerasi & Banyak Keadaan
Degenerasi ini terkait dengan jumlah status keadaan microstate Ω 𝐸𝑛, 𝑁 yg memiliki energi tertentu (mikrokanonik), jadi
Ω 𝐸𝑛, 𝑁 = 𝑔𝑛 =𝑛 + 𝑁 − 1
𝑛Mengetahui ini maka dapat dihitung entropi dari system ini :
𝑆 = 𝑘 lnΩ 𝐸𝑛, 𝑁𝑆 = 𝑘 ln 𝑛 + 𝑁 − 1 ! − ln 𝑛! − ln 𝑁 − 1 !
Dengan bantuan aproksimasi Stirling untuk N,n besar, maka :𝑆 ≈ 𝑘 𝑛 + 𝑁 ln 𝑛 + 𝑁 − 𝑘𝑛 ln 𝑛 − 𝑁𝑘 ln𝑁
Selanjutnya ungkapan energi total masuk melalui substitusi variable n:
𝑛 =𝐸
ℏ𝜔−𝑁
2
![Page 26: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/26.jpg)
Entropi & EnergiAkan diperoleh ungkapan entropi S sebagai fungsi energi total system E:
𝑆 = 𝑘𝐸
ℏ𝜔+𝑁
2ln
𝐸
ℏ𝜔+𝑁
2− 𝑘
𝐸
ℏ𝜔−𝑁
2ln
𝐸
ℏ𝜔−𝑁
2− 𝑁𝑘 ln𝑁
Seperti biasa hubungan thermodinamika dapat dicari melalui entropi, misalnya:
1
𝑇=
𝜕𝑆
𝜕𝐸𝑁,𝑉
=𝑘
ℏ𝜔ln
𝐸 +𝑁2ℏ𝜔
𝐸 −𝑁2ℏ𝜔
Atau:
𝐸 =𝑁
2ℏ𝜔
exp{𝛽ℏ𝜔} + 1
exp{𝛽ℏ𝜔} − 1Buktikan bahwa hasil ini ekivalen dengan yang sebelumnya diturunkan!
![Page 27: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/27.jpg)
Gas dengan derajat kebebasan dalam
• Dalam model gas ideal, massa dianggap titik saja. Padahal pada kenyataannya terdiri dari molekul yang memiliki gerak internal selain translasi molekul, seperti vibrasi atom-atomnya ataupun rotasi.
• Misalkan Hamiltonian sebuah molekul terdiri atas sbb:
• 𝐻 = 𝐻𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 𝒓, 𝒑 + 𝐻𝑟𝑜𝑡 𝜙𝑖 , 𝐿𝜙 + 𝐻𝑣𝑖𝑏(𝑞𝑖 , 𝑝𝑖)
• Suku 𝐻𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 : translasi pusat massa molekul• Suku 𝐻𝑟𝑜𝑡 : rotasi molekul yg merupakan fungsi sudut-
sudut Euler (𝜙 = (𝜙, 𝜃, 𝜓)• Suku 𝐻𝑣𝑖𝑏 bergantung pada posisi relative thd PM dan
kecepatan getar dalam koordinat normal.
![Page 28: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/28.jpg)
Komponen Fungsi Partisi Kanonik
• Ketiga Hamiltonian tsb saling bebas, sehingga fungsi partisi kanonik 1 partikelnya dapat dinyatakan sbg:
𝑄1 = 𝑄𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑄𝑟𝑜𝑡𝑄𝑣𝑖𝑏
𝑄𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 =1
ℎ3න 𝑑3𝑟𝑑3𝑝 𝑒 −𝛽𝐻𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠
𝑄𝑟𝑜𝑡 =1
ℎ3න 𝑑3𝜙𝑑3𝑝𝜙 𝑒
−𝛽𝐻𝑟𝑜𝑡
𝑄𝑣𝑖𝑏 =1
ℎ𝑓න 𝑑𝑓𝑟𝑑𝑓𝑝 𝑒 −𝛽𝐻𝑣𝑖𝑏
![Page 29: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/29.jpg)
Translasi Pusat Massa
• Fungsi partisi kanonik untuk gerak translasi pusat massa sudah dipecahkan untuk gas ideal monoatomic:
𝐻𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 =𝒑 2
2𝑚
𝑄𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 =1
ℎ3න 𝑑3𝑟𝑑3𝑝 𝑒−
𝛽𝑝2
2𝑚 =𝑉
𝜆3
𝜆 = ℎ/ 2𝜋𝑚𝑘𝑇
![Page 30: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/30.jpg)
Rotasi
• Hamiltonian planar rotator
𝐻𝑟𝑜𝑡 =𝑝𝜃2
2𝐼1+𝑝𝜓2
2𝐼3+
𝑝𝜙 − 𝑝𝜓 cos 𝜃2
2𝐼1 sin2 𝜃
Sudut-sudut tsb memiliki nilai sbb: 𝜃 ∈ 0, 𝜋 , 𝜙 ∈0,2𝜋 , 𝜓 ∈ 0,2𝜋
Fungsi partisi kanoniknya adalah:
𝑄𝑟𝑜𝑡
=1
ℎ3න න 𝑑𝜓𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑑𝑝𝜃𝑑𝑝𝜓𝑑𝜙 exp −𝛽
𝑝𝜃2
2𝐼1+𝑝𝜓2
2𝐼3+
𝑝𝜙 − 𝑝𝜓 cos 𝜃2
2𝐼1 sin2 𝜃
Integrand tidak bergantung 𝜓 dan 𝜙, sehingga:𝑄𝑟𝑜𝑡
=2𝜋 2
ℎ3න න 𝑑𝜃 𝑑𝑝𝜃𝑑𝑝𝜓𝑑𝜙 exp −𝛽
𝑝𝜃2
2𝐼1+𝑝𝜓2
2𝐼3+
𝑝𝜙 − 𝑝𝜓 cos 𝜃2
2𝐼1 sin2 𝜃
![Page 31: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/31.jpg)
Fungsi Partisi Kanonik Rotasi𝑄𝑟𝑜𝑡
=2𝜋 2
ℎ3න
−∞
∞
𝑑𝑝𝜃𝑒−𝛽
𝑝𝜃2
2𝐼1 න 𝑑𝜃 𝑑𝑝𝜓𝑑𝑝𝜙 exp −𝛽𝑝𝜓2
2𝐼3+
𝑝𝜙 − 𝑝𝜓 cos 𝜃2
2𝐼1 sin2 𝜃
Integral thd 𝑝𝜃 menghasilkan : 2𝐼1𝜋𝑘𝑇,
𝑄𝑟𝑜𝑡
=2𝜋 2
ℎ32𝐼1𝜋𝑘𝑇 න 𝑑𝜃 න 𝑑𝑝𝜓 𝑒
−𝛽𝑝𝜓2
2𝐼3 න
−∞
∞
𝑑𝑝𝜙 exp −𝛽𝑝𝜙 − 𝑝𝜓 cos 𝜃
2
2𝐼1 sin2 𝜃
Integral thd 𝑑𝑝𝜙 adalah gaussian integral juga dengan pusat tergeser,
hasilnnya :
2𝜋𝐼1𝑘𝑇 sin 𝜃
𝑄𝑟𝑜𝑡 =2𝜋 2
ℎ32𝐼1𝜋𝑘𝑇 2𝜋𝐼1𝑘𝑇න
0
𝜋
𝑑𝜃 sin 𝜃 න
−∞
∞
𝑑𝑝𝜓 𝑒−𝛽
𝑝𝜓2
2𝐼3
![Page 32: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/32.jpg)
Fungsi Energi Bebas HelmhotzSelanjutnya integral thd 𝑝𝜓 kembali bertipe gaussian, sehingga:
𝑄𝑟𝑜𝑡 =𝜋
ℏ32𝐼𝜋𝑘𝑇 2𝜋𝐼1𝑘𝑇 2𝜋𝐼3𝑘𝑇
Fungsi partisi vibrasi telah dilakukan seperti pada osilator harmonis. Jadi secara umum untuk N molekul yang tak terbedakan maka fungsi partisi kanoniknya dapat dituliskan sbg:
𝑄 𝑇, 𝑉, 𝑁 =1
𝑁!𝑄1
𝑁 =1
𝑁!𝑄𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑁 𝑄𝑟𝑜𝑡
𝑁 𝑄𝑣𝑖𝑏𝑁
Fungsi energi bebas Helmhotz: untuk N >>1𝐴 𝑇, 𝑉, 𝑁 = −𝑘𝑇 ln𝑄 𝑇, 𝑉, 𝑁
𝐴 𝑇, 𝑉, 𝑁
= −𝑁𝑘𝑇 ln𝑄𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑁
+ 1 − 𝑁𝑘𝑇 ln𝑄𝑟𝑜𝑡 −𝑁𝑘𝑇 ln𝑄𝑣𝑖𝑏
𝐴 𝑇, 𝑉, 𝑁 = 𝐴𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝐴𝑟𝑜𝑡 + 𝐴𝑣𝑖𝑏
![Page 33: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/33.jpg)
Kasus Diatomik
Dalam hal ini momen inersia 𝐼3 ≈ 0, tapi kita tak bias langsung memasukkan hal tsb di Hamiltonian. Dalam perumusan
Dalam hal ini momen inersia 𝐼3 ≈ 0, tapi kita tak bias langsung memasukkan hal tsb di Hamiltonian. Dalam perumusan Hamiltoniannya derajat kebebasan yang terkait 𝐼3 yaitu terkait variable sudut 𝜓 mesti dihilangkan, sehingga hasil Hamiltonian diatomic berbentuk:
𝐻𝑟𝑜𝑡 =𝑝𝜃2
2𝐼1+
𝑝𝜙2
2𝐼1 sin2 𝜃
![Page 34: Penerapan Ensembel Kanonik Klasik - fismots.fi.itb.ac.idfismots.fi.itb.ac.id/FMF/wp-content/uploads/2017/01/Bab-3b... · kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis! Rapat Keadaan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022805/5cb7239488c99348678bddd7/html5/thumbnails/34.jpg)
Kasus Diatomik
𝑄𝑟𝑜𝑡 =1
ℎ2න 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝑑𝑝𝜃𝑑𝑝𝜙 exp −𝛽
𝑝𝜃2
2𝐼1+
𝑝𝜙2
2𝐼1 sin2 𝜃
𝑄𝑟𝑜𝑡 =2𝜋
ℎ22𝜋𝐼1𝑘𝑇 න න 𝑑𝜃 𝑑𝑝𝜙 exp −𝛽
𝑝𝜙2
2𝐼1 sin2 𝜃
𝑄𝑟𝑜𝑡 =2𝜋
ℎ22𝜋𝐼1𝑘𝑇 2𝜋𝐼1𝑘𝑇 න
0
𝜋
𝑑𝜃 sin 𝜃
𝑄𝑟𝑜𝑡 =2𝐼1𝑘𝑇
ℏ2