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Quelques élément très
généraux liés à la commandedes systèmes et au traitementdu signal
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Signaux & Systèmes : notions
Σu y
Signaux
• Temps ?
• Déterministe ?
• Energie ?
• Puissance
Système
• Linéaire ?
• Invariant ?
• Causal ?
Modèles
Externes (unicité) Internes (non unicité)
liens
-
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un cas particulièrement important
Modèles
Externes Internes
Equations différentielles
mn Rba
ububub ya ya ya
ii
mm
nn
,,
'' )(10)(
10
nn
mm st
sa saa sb sbb sGdt et f s F
10
10
0
)(,)()(
0
)()()( d t u yt y
Fonction de transfert
Produit de convolution
Equations différentielles
Fonction de transfert
Produit de convolution
DuCx y
Bu Ax x
D B A sI C sG 1)()(
0
)( )()( d BuCet y t A
CI=0 CI=0
?
Signaux
• Déterministe
• Temps continu
Système
• Linéaire
• Causal
• Invariant
-
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autres casSignaux
• Déterministe• Temps discret
Système
• Linéaire• Causal
• Invariant
Modèles
Similaires au cas précédent
Signaux
• Déterministe
• Temps discret
Système
• Non linéaire
• Causal
• Invariant
Modèles
Externes Internes
0),,,,,( )()( mn uu y y g ),(),,( u xh yu x f x
Plus difficile
-
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Problème de contrôle
Σu y
Perturbationω
Pb : Soit ys, sortie souhaitée, trouver us tel que us ys
Modèle
Monde réel
Monde du calcul
Différences :
Responsables des problèmes dans les applications
Minimisation des différences sur les résultats
• Boucle fermée (Automatique)
• Prise en compte des Incertitudes (Commande Robuste)
-
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La chaîne de traitement de l’information et le TS
S y s
t è m eP h y s i q u e
Capteur
Extraction
de l’information
Récepteur
TraitementContrôle/régulation
Stockage
Affichage
Canal
de transmission
Signal électrique
+ bruit
Bruit
En automatique, c’est le système qui est au cœur des préoccupations.On cherche alors à le caractériser, corriger, …pour qu’il fournisse uneréponse (signal) satisfaisant certaines contraintes.
En TS, c’est le signal qui nous intéresse en premier lieu. L’objectif
consiste alors à le caractériser, filtrer, …
-
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TS / Automatique
Traitement du signal – Conditionnement – Caractérisation – Détection/Estimation – Optimisation – Modélisation/Identification – Codage/décodage – Synthèse du signal – Reconnaissance/Décision/
Compréhension/Interprétation
Automatique – Commande des systèmes
(Commande linéaire, adaptative,optimale, …)
– Asservissement : système bouclé/
performances/ Correction(Régulation, Poursuite automatique
de trajectoire, …)
Exemple (filtrage) : La terre est soumisedepuis des millénaires à des fluctuationsclimatiques naturelles qu’il est nécessaire
à les gommer (filtrage) pour mettre enévidence les fluctuations artificielles dûesà l’homme.
Exemple : Régulation de la températured’une salle
Analogique : la température est mesuréeen permanence.
Numérique : la température est mesuréeà intervalles de temps réguliers.
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Représentations TemporellesDes Signaux
Plan du chapitre :
I. Introduction
II. Classification des signauxIII.Signaux élémentaires
IV. Définitions
-
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Un signal est une représentation physique d’une information à transmettre
• Représentation Temporelle
La forme la plus générale peut s’écrire :
),( wv f x Vecteur de dimension n
distribution Vecteur de dimension m
Vecteur de dimension p faisant
Apparaître une dépendance
statistique si le signal est aléatoire
Soit :
• Signal à TC, àTD
)(:,:
),(,:
tedéterminis signal fixéw fonction f
t tempsv scalaire x
)()( t f t x Vecteur à TC ou à TD
Exemple de distribution : Impulsion de Dirac
sinon0)(
0)(
t
t sit
Soit la fonction f(t)
f(t)
-T/2 T/2 0
)(lim)(0
t f t T
I. Introduction
-
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II. Classification (1/4)II.1. Classification morphologique
A
MP
L
T
UD
E
T E M P S
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Signal numérique
(ex: notes d’un étudiant)
0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Signal analogique
(ex: tension électrique)
Signal quantifié
(ex: compte bancaire)
t varie continuellement ou par morceaux
x(t) signal à TC
échantillonnage
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Signal échantillonné
t est discret, noté n (nT)
x(t) signal à TD
-
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T / x(t)=x(t+kT)
II. Classification (2/4)II.2. Classification phénoménologie
• Signal déterministe : dont l’évolution temporelle est prévisible et dontle comportement peut être régie par une formulationmathématique ou graphique
Signal réel : c’est un signal représentant une grandeur physique. Saformulation mathématique est une fonction réelle
Signal périodique Signal apériodique Signal transitoire
Support non borné Support borné
-
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II. Classification (3/4)II.2. Classification phénoménologie
• Signal aléatoire (stochastique) : dont l’évolution temporelle estimprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t .La description est alors basée sur les propriétés statistiques dessignaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …)
Signaux aléatoires stationnaires : La stationnarité suppose uneindépendance des propriétés statistiques par rapport à l’origine des temps
Stationnaire Non stationnaire
-
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II. Classification (4/4)II.3. Classification énergique
Signaux à énergie finie
Signaux à énergie infinie
Puissancemoyenne nulle
Puissance moyenne
non nulle
Cas des signaux transitoires à support borné
Cas des signaux périodiques
22
)()()()( n x E TDdt t x E TC
k
k k
T
T
T n x
k TDdt t x
T P TC
2
2/
2/
2)(
12
1lim)()(
1lim)(
-
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III. Signaux usuels (1/2)
Signal TC TD
Échelon(fonction de Heaviside, oufonction existence)Représente un brusquechangement de régime defonctionnement
Notation : u ou Ф ou Г
Fenêtre ou porte ouimpulsion
Notation : ΠT
Г (t)
t 0
1
Г (t)= 1 si t>0
= 0 si t
-
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III. Signaux usuels (2/2)
Signal TC TD
Exponentielledécroissante
Impulsion de DiracReprésente une brèveperturbation ou une « claque »
Notation : δ
y(t)= Г (t)exp(-a.t)
a>0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y(n)= Г (n)exp(-a.n)
a>0
δ (t)
t
1
δ (t) = ∞ si t=0
= 0 sinon
t
1 δ (n)
δ (n) = 1 si n=0
= 0 sinon
-
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IV. DéfinitionsIV.1. Produit de convolution
k
k k n yk xn yn xTDd t y xt yt xTC )()()(*)()()()()(*)()(
Propriétés : - le produit de convolution est commutatif,
associatif et distributif par rapport à l’addition
IV.2. Fonction d’intercorrélationElle permet la comparaison de deux signaux en traduisant la ressemblance entre eux.
pour les signaux à énergie finie :
Propriétés :
k
k
xy xy k n yk xnTDd t y xt TC )()()()()()()()( **
)()()()()()( nnTDt t TC yx xy yx xy
IV.3. Fonction d’autocorrélation
Elle traduit la vitesse de variation du signal x(t) (respectivement x(n) )
Propriétés : - la fonction d’autocorrélation est maximale pour t = 0
(resp. pour n=0 ) et elle est paire
-
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IV. Définitions (1/2)IV.4. Rapport Signal/bruit
Objectif : Déterminer la qualité d’un signal
Rapport R S/B quantifiant l’effet du bruit
R S/B = Puissance du signal/Puissance du bruit
R S/B(dB) =10log10(R S/B)
-
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V. TD 1Exercice 1
On donne
a) Représenter les graphes de ces deux signaux
b) Expliciter et représenter les deux signaux retardés, avancés, renversés,avec offset et amplifiés
Exercice 2Calculer, analytiquement et graphiquement, la convolution de deux portes
Exercice 3
a) Soit le signal porte, centré sur l’origine, d’amplitude A
et de durée T. L’autocorrélation de ce signal est :
• un sinus cardinal
• une fonction triangle
• impaire et maximale à l’origine
• majorée par A2.T
10
1044
014
10
)(1
2
110
)(
t pour
t pour t
t pour
t pour
t yet n pour
n pour n x
n
b) Le signal x(t)=Asin(2Πf 0.t), A>0, f 0>0possède:
• une énergie totale infinie
• une énergie totale finie
• une puissance totale nulle
Exercice 4
Calculer la fonction d’intercorrélation dans les cas suivants:
-a) x(t)=1 et y(t)=sin(wt) –b) x(t)=exp(-a|t|), a>0 et y(t) une impulsion de Dirac
–c) x(t)=sin(wt) et y(t)=cos(wt)
-
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Transformation de Fourier
Représentation FréquentielleDes Signaux
1ère partie : Signaux périodiques à TC
I. Introduction
II. Théorème de Fourier: décomposition en série de
FourierIII.Forme exponentielle
IV. Spectre bilatéral
V. Propriétés
-
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I. Introduction
La radio – l’ouie – un radar – un téléphone portable – un réseau
Notion de contenu fréquentiel de l’information qu’elle véhicule ou qu’elle analyse
Analyse fréquentielledes signaux
-
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II. Théorème de FourierII.1. Décomposition en série de FourierUn signal x(t) périodique de période T , peut être sous certaines conditions,
mis sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales
1
0 sincos)(
n
nn t nbt naat x
2/
2/0 )(
1 T
T
dt t xT
a
Valeur moyenne dusignal
2/
2/
cos)(2
T
T n dt t nt x
T a
2/
2/sin)(
2 T
T n dt t nt x
T b
T
2
Harmonique d’ordre nForme trigonométrique
1
0 )(cos)(
n
nn t ncat x
22
nnn bac n
nn
a
barctg
L’harmonique d’ordre 1 est appelé Fondamental
-
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II. Théorème de FourierII.2. Cas particuliers x(t) est pair
1
0
1
0
sincos)(
sincos)(
n
nn
n
nn
t nbt naat x
t nbt naat x
La relation précédente devant être vraie quel que soit t , on enconclut que : b n =0 quel que soit n .
x(t) est impair
1
0
1
0
sincos)(
sincos)(
n
nn
n
nn
t nbt naat x
t nbt naat x
La relation précédente devant être vraie quel que soit t , on enconclut que : a n =0 quel que soit n .
-
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II. Théorème de FourierII.3. Spectres de fréquences
spectre d’amplitude
spectre de phase
Spectre occupation en fréquence de x(t) densité spectrale de puissance
En ordonnée : l’amplitude des harmoniques
En abscisse : les pulsations correspondantesa0 c1
c2
c3c4
c5 c6 c7 3 2 4 5 6 70
Π φ1
-Π
3 2 4 5 6 7
0
φ2
φ3
φ4
φ5
φ0
φ6
φ7
En ordonnée : la phase des harmoniquesEn abscisse : les pulsations correspondantes
-
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+B
-BT/2
T t
tri(t)
x(t) Représentationfréquentielle Spectre d’amplitude
II. Théorème de FourierII.3. Spectres de fréquences : exemples de décomposition
+A
-A T/2 Tt
car(t)
012
)12sin(4
)(
nn
t n A
t car
0
22 )12(
)12cos(8
)(
nn
t n B
t tri
4A/π
3 2 4 5 60
4A/3π4A/5π
,...6,4,2,0
,...5,3,1,4
,0
nb
nn
Ab
na
n
n
n
8B/π2
3 2 4 50
8B/9π2
nbna
nn
Ba
n
n
n
,0,...6,4,2,0,0
,...5,3,1,8
2
-
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II. Théorème de FourierII.5. Définitions
a) Facteur de forme : est défini par le rapport entrela valeur efficace et la valeur moyenne
b) Taux d’ondulation :
• L’ondulation est la variation du signal x(t) autour de
sa valeur moyenne A0 . Elle est égale à
• Le taux d’ondulation est le rapport entre la valeurefficace de l’ondulation et la valeur moyenne de x(t)
c) Taux de distorsion harmonique : est défini par lerapport entre la valeur efficace de l’ensemble desharmoniques d’ordre >1 et la valeur efficace dufondamental (il permet de chiffrer la pureté d’unsignal sinusoïdal)
0
1
22
02
1
A
c A
F n
n
1
)cos(
n
nn t nc
0
1
2
2
1
A
cn
n
221aonet F
1
22
3
2
2
c
ccc n
-
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III. Forme exponentielle
)(cos)(1
0 n
n
n t ncat x
nnnn
T
T
t jnn
ccc
dt et xT
c
arget
)(2
2/
2/
Application : calculer et représenter les spectres d’amplitude de :
1. Un signal rectangulaire de rapport cyclique a
2. Un peigne de Dirac
La décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écritesous forme suivante (facilement démontrable) :
avec
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IV. Spectre bilatéral (1/2)
n
t jnne X t x
)(
T t
t
t jnn dt t x
T X e
0
0
)(1
A l’aide des relations d’Euler, la décomposition en série de Fourier
d’un signal périodique, peut être écrite sous la forme d’inversion :
avec
Il apparaît, dans cette expression, des harmoniques pour les fréquences s’étendant
de -∞ à +∞, d’où le nom de : spectre bilatéral
Remarques
a) Dans les transformations précédentes:
• x(t) est resté le signal périodique réel
• X n et X -n sont des nombres complexes et n’ont pas d’existence réelle, mais
nharmoniquel'deamplitudel'àcorrespond,222
nnnnn ba X X X
nharmoniquel'de phaselaàcorrespond,-arg n n
nn
a
barctg X
-
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V. Propriétés (1/2)(P1) Symétrie Hermitique :
(P2) Le spectre d’un signal périodique de période T , est discret
(P4) Parité :
(P3) Puissance d’un signal périodique :
Théorème de Perseval
(P5) Linéarité
(P6) X k est généralement complexe même si x(t) est réel
)deconjugué:*(:**
X X X k k k
Pour un signal réel, |X k | est pair et arg(X k ) est pair
T t
t k
k X dt t xT
P 0
0
22)(
1
La puissance temporelle est égale à la puissance spectrale
PAIR IMPAIR
x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur
X k
-
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V. Propriétés (2/2)(P7) correspondance bi-univoque
Opérations Représentation Temporelle Représentation FréquentielleCombinaison linéaire
Renversement du temps
Retard
offset
Dérivation
Intégration
Dérivation
Conjugaison complexe
Convolution
Produit
)()()( t ybt xat u k k k Y b X aU
)()( t xt y k k X Y
)()( t xt y jk k k e X Y
ct xt y )()( k k k c X Y
)()( t xt y
k k X jk Y .
duu xt y
t t
t
)()(0
0
)0( k jk
X Y k k
)()( * t xt y k k X Y *
)()(
)(
t xt y
p
k p
k X jk Y .)(
)(*)()( t yt xt u k k k Y X U .
)().()( t yt xt u k k k Y X U *
-
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Transformation de Fourier
Représentation FréquentielleDes Signaux
2ère partie : Signaux non périodiques à TCI. Transformation de Fourier
II. Propriétés
III. TF d’un signal périodique à TC
IV. Transformation de Laplace
-
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I. Transformation de Fourier
La transformée de Fourier (TF) d’un signal x(t) s’écrit :
fréquencelaest
)())(()(
2
f
dt et xt xTF f X
ft j
X(f) est la représentation fréquentielle de x(t ).
Elle est généralement complexe même si x(t) est réel.
Formule d’inversion :
df e f X f X TF t x
ft j 2
1 )())(()(
-
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II. Propriétés (1/3)
(P1) Symétrie Hermitique :
(P2) Le spectre d’un signal non périodique est continu (à fréquences continus)
(P3) Théorème de Perseval
)()(:aonréel,estsi f X f X x(t)
df f Y f X dt t yt x P )()()()(
impair est))(Arg(et pairest)(:aonréel,signalunPour f X f X
(P4) Energie du signal
df f X dt t x E 22
)()(Perseval)dethéorèmeleutilisant(en
-
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II. Propriétés (2/3)
(P5) Parité :
(P6) Linéarité
(P7) X(f) est généralement complexe même si x(t) est réel
PAIR IMPAIR
x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur
X(f)
(P8) TF de la fonction de corrélation
)()()]([ f Y f X t TF xy
-
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II. Propriétés (3/3)Opérations Représentation Temporelle Représentation Fréquentielle
Combinaison linéaire
Renversement du temps
Retard
offset
Dérivation d’ordre p
Intégration
Conjugaison complexe
Convolution
ProduitMultiplication par tp
Modulationexponentielle
)()()( t ybt xat u )()()( f Y b f X a f U
)()( t xt y )()( f X f Y )()( t xt y f je f X f Y 2)()(
ct xt y )()( )()()( f c f X f Y
duu xt y
t t
t
)()(0
0
déterminer àcte:
)(2
)()(
C
f C f j f X f Y
)()( t xt y )()( f X f Y
)()( )( t xt y p )(.)2()( f X f j f Y p
)(*)()( t yt xt u )().()( f Y f X f U
)().()( t yt xt u )(*)()( f Y f X f U )()( t xt t y p
p
p
df
f X d
f j f U
)(
2
1)(
)()( 02
t xet y t f j )()( 0 f f X f Y
-
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III. TF d’un signal périodique à TC
n
n
n
nf f iablen
n
t nf f j
n
ft j
n
t f jnn
nf f X TF X dt e X
dt ee X t xTF
)(]1[
))((
0)0(var
)0(2
202
x(t) signal périodique de période 1/f 0
n
n nf f X t xTF )())(( 0
Diracde peigneun parmultipliésFourierdesérieladetscoefficienles
X(f) Xn
)(X0f f
Série de Fourier TF
-
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IV. Transformation de Laplace
La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle
dt et xt xTL p X pt )())(()(
s p aussinotéeLaplace,de(complexe)variable
réelset,2 f f j p
0
)()(0,Si dt et x p X pt causauxsignauxlesourutilises' x(t) p
TD 2
-
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TD 2
Exercice 2
On considère les signaux :
a. Tracer les allures de ces signaux, pour a=1 et f 0 = 1Hz
b. Déterminer la transformée de Fourier de y(t) et tracer l’allure de son spectre
c. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer l’allure de son spectre en supposant que f 0 >>a .
Exercice 1
On considèrent les signaux périodiques suivants :
a. Calculer le développement en série de Fourier complexe du signal x(t) et tracer son spectre enamplitude pour a=T/4 et a=T/8 .
b. En déduire ceux de y(t) .
a-a T
x(t)
2a
y(t)
T
)().()(;)2cos()(;0,0,)( 0 t yt xt z t f t yt aet x at
TD 2
-
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39/56
TD 2
Exercice 3
Soit les signaux suivants (y(t) est périodique de période 2T )
a. Déterminer la puissance totale et l’énergie totale des signaux x(t) et y(t) .b. Déterminer la transformée de Fourier de x(t) . Tracer le spectre en module de x pour A=3 et T=2.
c. En déduire la transformée de Fourier de y(t) .
d. Développer y(t) en série de Fourier à coefficients complexes. Comparer avec le résultat précédent
e. Tracer le spectre en module de y . Faire apparaître l’allure du spectre de x et les valeurs des
coefficients du développement en séries de Fourierf. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer son spectre en module
g. Tracer l’allure de s(t)=cos(2 π f 0 t)x(t) . Quel phénomène physique est modélisé via la multiplicationpar x(t)
h. Déterminer S(f) et racer le spectre en module de s(t) .
A
T/2-T/2
x(t) A
T/2-T/2 2T+T/22T-T/2
y(t)
-A
A
z(t)
T-T/2 T+T/2
-
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Caractérisations
Temporelles et FréquentiellesDes Systèmes linéaires à TC
I. Introduction : Définition et classificationII. Caractérisation temporelle
II.1. Relation Entrée/sortie
II.2. Réponse impulsionnelle
III. Caractérisation fréquentielleIII.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI
III.2. Système LTI et transformée de Fourier
III.3. Représentation fréquentielle de Laplace
d ( /3)
-
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I. Introduction (1/3)
Définition : Un système est un ensemble
d’éléments fonctionnels interagissant entre euxet qui établit un lien de cause à effet entre
ses signaux d’entrées et ses signaux de sortie
x y
Perturbations
Signaux
de sortie
Signaux
D’entréeSystème
Σ
Exemples
Système électrique
Système mécanique
Circuit RC intégrateur
Entrée : tension u(t)
Sortie : tension y(t)
Entrée : force f(t)
Sortie : position x(t) % x0
Intégrateur mécanique
k : coeff. de frottementélastique
a : coeff. de frottementvisqueux
x0 : position d’équilibre
-
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• Système statique / dynamique :
• statique : la réponse à une excitation est instantanée
• dynamique : la réponse à une excitation est fonction des réponses passées
• Système monovariable / multivariable :
- système monovariable : une entrée et une sortie- système multivariable : nbre d’entrées et de sorties > 2
• Système linéaire : tel que les effets sont proportionnels aux causes
)]([)]([)(alors)()()(si 22112211 t xt xt yt xt xt x
R
t ut it u
)()(courant:Sortie- )(tension:Entrée-
)()()(
)(tension:Sortie- )(tension:-Entrée
t ut V dt
t dV RC
t V t u
cc
c
I. Introduction (2/3) Caractéristiques
I I d i (3/3)
-
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• Système causal : La réponse du système ne peut pas se produire avant
l’excitation qui l’engendre
• Système invariant ou stationnaire : un décalage temporel en entrée induit lemême décalage en sortie
• Système stable :
• Si à une entrée bornée répond par une sortie bornée (stabilité au sens large)
• perturbé, il revient à son état initial après disparition de la perturbation(stabilité asymptotique au sens de Lyapunov)
0 pour0)]([)( alors ,0 pour0)(si t t xt yt t x
)]([)( alors )]([)( si00
t t xt t yt xt y
I. Introduction (3/3) Caractéristiques
Dans la suite, on considère les systèmes monovariables LTI
(Linéaire Invariant dans le Temps)
-
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II C té i ti t ll (2/4)
-
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II. Caractérisation temporelle (2/4)II.2. Réponse impulsionelle (RI)
La RI d’un système est sa réponse pour une entrée impulsion de Dirac
Propriétés :
La RI Caractérise complètement un système LTI
La seule connaissance de h(t) permet de prédire la réponse du SLTI
à n’importe quelle entrée x(t)
Un système est stable ssi sa RI est absolument intégrable :
Il en découle que la RI d’un système causal stable vérifie:
)(:)( t ht y Système
Σ
)()( t t x
)]([)( t t h
d h )(
0)(lim
t ht
II C té i ti t ll (3/4)
-
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II. Caractérisation temporelle (3/4)
Démonstration de la relation fondamentale des SLTI
?)( t ySystème
Σ
)(t x
d t x
t t xt x
)()(
)(*)()(
d t xt xt y )()()()(
d t xt y
)()()(
d t h xt y
)()()(
)(*)()( t ht xt y
Σ : linéaire
Σ : invariant
nconvolutiolade
neutreélémentl'est)(t
La réponse d’un SLTI à une entrée quelconque est
la convolution de cette entrée avec la RI de ce système
II C té i ti t ll (4/4)
-
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II. Caractérisation temporelle (4/4)
Convolution : Rappel
d t y xt yt x )()()(*)( Cas de signauxcausaux
d t y xt yt x )()()(*)(0
Commutativité
associativité
Distributivité par rapport à l’addition
Élément neutre : impulsion de Dirac
Translation temporelle
Convolution avec
un peigne de Dirac
Exemple :
)(*)()(*)( t f t g t g t f
)(*))(*)((
))(*)((*)()(*)(*)(
t g t f t e
t g t f t et g t f t e
)(*)()(*)())()((*)( t g t et f t et g t f t e
)(*)()( t t f t f
)(*)()(00
t t t f t t f
nn
T nT t f nT t t f t t f )()(*)()(*)(
III C té i ti f é ti ll (1/9)
-
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III. Caractérisation fréquentielle (1/9)
III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI
)(t ySystème
Σ
)(t x
d eh Aed e Ah Aet h Ae
f j ft jt f j ft j ft j 22)(222)()(*)(][
)(][22
f H Ae Ae ft j ft j
TF de la RI := H(f)
La réponse d’un système lTI à une exponentielle (resp. à un signal sinusoïdal)
est égale au produit de cette exponentielle (resp. du signal sinusoïdal)
par le gain complexe H(f)
ft j Aet x 2)(
:Soit
Donc :
III C té i ti f é ti ll (2/9)
-
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III. Caractérisation fréquentielle (2/9)III.2. Système LTI et TF
df e f X t x ft j 2
)()(
Le signal d’entrée est quelque :On peut l’exprimer à l’aide de la TF inverse
linéaritéde(ppté])([])([)]([)(22
df e f X df e f X t xt y ft j ft j
Forme exponentielle
)()(])([ 22 f H e f X e f X ft j ft j OR
inverseTF: )()()(2
df e f X f H t y ft j
y(t)TF)( f Y
)(*)()( t xt ht y )().()( f X f H f Y
TransfertdeFonction:)( f H
III Caractérisation fréquentielle (3/9)
-
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III. Caractérisation fréquentielle (3/9) Représentation fréquentielle d’un SLTI
Relation E/S fréquentielle
TransfertdeFonction:)( f H
module:)( f H
argument:)(arg f H Représentation fréquentielle
Cette représentation fréquentielle illustre l’aptitude du système à faire passer une composante
fréquentielle présente dans le signal d’entrée
)( f Y Système
H(f)
)( f X
)().( f X f H
La relation entrée/sortie dans le domaine fréquentiel est caractérisée par sa simplicité
• Module :
• Argument :
• Densité spectrale d’énergie :
)().()( f X f H f Y )(.)()( f X f H f Y
)(arg)(arg)(arg f X f H f Y
)().()( f S f S f S hh xx yy
III Caractérisation fréquentielle (4/9)
-
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III. Caractérisation fréquentielle (4/9)III.3. Représentation fréquentielle de Laplace
III.3. 1. De la TF à la TLLa transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle. En effet :
))(()()( t xTLdt et x s X st
:obtienton,2 posantEn f j s
)()( 2 dt et xt xTF ft j
Cette TF existe si l’intégrale converge
Dans le cas contraire, le signal est multiplié par une exponentielle décroissante telle que :
0 avec )(
dt et x
t TF
dt eet x f X ft jt 2)(),(
dt et x t f j )2()(
Définition de la Transformée de Laplace
III Caractérisation fréquentielle (5/9)
-
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III. Caractérisation fréquentielle (5/9)III.3. 2. Propriétés de la TL
Linéarité
Convolution
Translation temporelle
Translation fréquentielle
Dérivation
Intégration
Théorème le la valeur initiale
Théorème le la valeur finale
)(lim)(lim)0(0
s sX t x x st
)(lim)(lim)(0
s sX t x x st
)()()(.)(.)()( sbY saX t yTLbt xTLat ybt xaTL
)().()(*)( sY s X t yt xTL
)()( s X et xTL s
)()( a s X t xeTL at
)0()()(
x s sX dt
t dxTL
s
s X d xTL
t )(
)(
0
III Caractérisation fréquentielle (6/9)
-
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Impulsion de Dirac
Rampe ou Échelon de vitesse
Échelon unité
III. Caractérisation fréquentielle (6/9)III.3. 3. TL de quelques signaux usuels
1)( t TL
2
1)(
st TL
s
t TL1
)(
III Caractérisation fréquentielle (7/9)
-
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Temps Fréquence Réponse Indicielle (RI) :
Système invariant (STI)
Système linéaire invariant (SLTI)
Relation E/S : convolution
Relation E/S d’un SLTI
Eq. diff. à coeff. Constants:
les conditions initiales (CI)
supposées nulles
Fonction de transfert (FT) :
Filtre
Filtre linéaire
Relation E/S : produit
Fraction rationnelle en sQuotient rationnelle en s
de deux polynômes en s
Transmittance
III. Caractérisation fréquentielle (7/9)III.3. 4. Dualité temps/fréquence
)(t h )( s H
m
ii
i
i
n
ii
i
idt t yd b
dt t xd a
0
)(
0
)(
)()( TL 0)(CI ,)( )()(
0
0
m
i
ii
n
i
ii
sb
sa
s X sY s H
III Caractérisation fréquentielle (8/9)
-
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III. Caractérisation fréquentielle (8/9)III.3. 5. Notions de pôles et de zéros
011
1
011
1
)(
)()(
b sb sb sb
a sa sa sa
s D
s N s H
mm
mm
nn
nn
0)(équationl’deracineslessont,...,1 ,notésracines,Les
0)(
:tiquecaractériséquationl’deracineslessont,...,1 ,notés pôles,Les
i
i
s N mi z
s D
ni
Un système est stable ssi tous ses pôles sont à parties réelles strictement négatives
Exemple : dans chaque cas, dire si le système est stable ou non
65
5)(
)1)(1(
2)(
1)(
2
s s s H
s s
s s H
s
s s H
III Caractérisation fréquentielle (9/9)
-
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III. Caractérisation fréquentielle (9/9)III.3. 6. Application