chapitre 5 : mouvement oscillatoire · chapitre 5: mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de...
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Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
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Chapitre 5 :
Mouvement oscillatoire
d’un système mécanqiue à plusieurs degrés
de liberté
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 179
5.1 Définitions
Les systèmes à plusieurs degrés de liberté sont des systèmes qui nécessitent
plusieurs coordonnées indépendantes. Le nombre de degré de liberté détermine le
nombre d’équations différentielles régissant l’évolution dans le temps de ces
coordonnées.
En fait, il existe deux types de systèmes :
5.1.1 Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés :
La position de la masse m sur la figure 5.1 est repérée par deux coordonnées
cartésiennes indépendantes 1x et
2x , car se déplaçant, sans frottement, dans un plan.
Figure 5.1: Mouvement oscillatoire non couplé à deux degrés de liberté
Pour calculer le Lagrangien du système, on suppose qu’à l’équilibre les ressorts sont
lâches avec une longueur à vide 0l . L’énergie cinétique du système s’écrit sous la
forme :
2
2
2
12
1
2
1xmxmT (5.1)
L’énergie potentielle du système s’écrit sous la forme :
2
0
2
02
2
12
2
0
2
01
2
212
1
2
1
llxxkllxxkU
Pour de faibles oscillations, on peut avec une bonne approximation négliger les termes
en
2
0
1
l
x,
2
0
1
l
x tout en gardant les termes
0
1
l
xet
0
2
l
x . L’expression ci-dessus de
l’énergie potentielle devient
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2
0
0
2
2
0
2
2
0
102
2
0
0
1
2
0
1
2
0
201 12
2
112
2
1
l
l
x
l
x
l
xlkl
l
x
l
x
l
xlkU
En utilisant un développement limité, les termes au carré dans l’expression di-dessus
s’écrivent sous la forme :
10
0
10
0
1
2
0
1
2
0
20 112 xl
l
xl
l
x
l
x
l
xl
et
20
0
10
0
2
2
0
2
2
0
10 112 xl
l
xl
l
x
l
x
l
xl
Ce qui permet de réécrire l’expression de l’énergie potentielle sous la forme suivante :
2
22
2
112
1
2
1xkxkU (5.2)
Le Lagrangien du système s’écrit alors :
2
22
2
11
2
2
2
12
1
2
1
2
1
2
1xkxkxmxmL (5.3)
En effet, ce Lagrangien peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux Lagrangiens
indépendants (l’un en fonction de 1x set
1x et l’autre en fonction de 2x set
2x ) sans qu’il
y ait un terme qui les relie :
2
22
2
2
2
11
2
12221112
1
2
1
2
1
2
1,, xkxmxkxmxxLxxLL
C’est là un système composé de deux sous systèmes indépendants et découplés. Le
système différentiel s’exprime alors sous la forme:
0
0
0
0
222
111
22
11
xkxm
xkxm
x
L
x
L
dt
d
x
L
x
L
dt
d
(5.4)
On obtient un système différentiel découplé qui s’exprime comme:
0
0
2
2
022
1
2
011
xx
xx
1
12
02
1
12
01 ,m
k
m
kavec
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Les deux solutions des sous-systèmes indépendantes sont de la forme:
)cos()(
)cos()(
2022
1011
tBtx
tAtx (5.5)
Pour un système forcé, on a le modèle représenté dans la figure 2.5 :
Figure 5.2: Mouvement Forcé non couplé à deux degrés de liberté
Les équations différentielles du système sont données comme suit :
)(
)(
2222
1111
tFkxxxm
tFkxxxm
(5.6)
On constate que l’équation différentielle est de type linéaire. Ainsi, on peut appliquer
le théorème de superposition qui consiste à écrire la solution globale x(t) sous la forme
suivante:
)()()( 21 txtxtx
avec
)()()( 21 tFtFtF
5.1.2 Système complexe (couplé):
C’est un système constitué par plusieurs sous-systèmes couplés comme le montre la
figure (5.3).
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Figure 5.3: Mouvement oscillatoire d’un système couplé
à deux degrés de liberté
Le Lagrangien du système en mouvement sans frottement s’écrit comme suit :
2
1
22
21
22
1
21212
1)(
2
1
2
1),,,(
i
iii
i
i xkxxkxmxxxxL (5.7)
Le système d’équations différentielles s’écrit :
0)(
0)(
0
0
12222
21111
22
11
kxxkkxm
kxxkkxm
x
L
x
L
dt
d
x
L
x
L
dt
d
(5.8)
Pour résoudre ce système d ‘équations différentielles linéaires, on peut se proposer des
solutions sinusoidales (en se basant sur notre expérience à résoudre des systèmes
linéaires à un degré de liberté), où les masses oscilleront à la même pulsation p avec
des amplitudes différentes et des phases différentes ; en l’occurence:
tj
tj
p
p
eAtx
eAtx
22
11~
)(
~)(
(5.9)
avec
2
1
22
11~
~
j
j
eAA
eAA (5.10)
En remplaçant les solutions proposées dans le système différentiel, on obtient le
système d’équations algébriques suivant :
0~~
)(
0~~
)(
122
2
2
211
2
1
AkAkkm
AkAkkm
p
p
(5.11)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
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qui peut s’écrire sous la forme matricielle suivante :
0
0~
~
2
1
1
2
1
1
2
1
A
A
kkmk
kkkm
p
p
(5.12)
Le système admet une solution non triviale si seulement si le déterminant de la matrice
22 est nul, d’où :
02
2
2
1
2
1
kkmk
kkkm
p
p
(5.13)
L’équation bicarrée (paramétrique) s’écrit donc :
0)1()( 22
2
2
1
22
2
2
1
4 Kpp (5.14)
avec :
1
12
1m
kk ,
2
22
2m
kk et
))(( 21
22
kkkk
kK
où le paramètre K est appelé le coefficient du couplage. Ce dernier peut prendre des
valeurs entre 0 et 1 selon la valeur de la constante de raideur du ressort de couplage k .
En effet, si 0k (le couplage entre les deux sous systèmes est lâche) K aura une
valeur nulle 0K . Alors que si k (le ressort de couplage se comporte comme une
barre rigide par rapport aux autres ressorts du système), on aura 1K .
En faisant un changement de variable 2
ppz , l’équation ci-dessus devient :
0)1()( 22
2
2
1
2
2
2
1
2 Kzz pp (5.15)
Le discriminant de cette équation s’écrit :
22
2
2
1
2
2
2
1
4
2
4
1
22
2
2
1
22
2
2
1 42)1(4)( KK
ou encore
04 22
2
2
1
22
2
2
1 K
Les deux pulsations propres sont donc :
2
2
2
1
222
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
2
1
222
2
2
1
2
2
2
12
1
4)(2
1
2
4)(2
1
2
K
K
p
p
(5.16)
Les deux pulsations propres du système sont positives ( pp 21 ) et leurs valeurs
dépendent de la valeur du coefficient de couplage K .
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
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En effet, pour 0K , les pulsations propres sont égales à :
2
1
2
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
12
1
2
)(
2
2
)(
2
p
p
Ce résultat nous impose à prendre 12 . D’autre part, pour 1K , les pulsations
propres sont égales à :
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
2
1
2
2
2
12
1
2
)(
2
02
)(
2
p
p
Entre les deux valeurs extrèmes de K , les valeurs des deux pulsations suivent les
allures montrées sur la figure ci-dessous.
Figure 5.4: Pulsations propres du système en fonction du coefficient de couplage
On voit bien sur la figure (5.4) que l’effet de couplage est d’augmenter l’écart entre les
pulsations propres du système.
Le fait que les formes sinusoidales proposées pour le mouvement des deux masses
sont solutions du système d’équations pour seulement deux valeurs de p à savoir p1
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 185
et p2 nous amène à conclure que parmi toutes les formes possibles (pas forcément
simples) de mouvement de masses il existe seulement deux manières d’oscillation où
les masses oscillent de façon harmonique simple avec une seule et même pulsation : ce
sont là les deux modes de vibration des masses où celles-ci passent en même temps
par leurs positions d’équilibre.
Dans chaque mode d’oscillation de pulsation normale définie p1 ou p2 les masses
oscilleront en phase ou en opposition de phase selon la valeur des grandeurs 1
~A et 2
~A .
En effet, pour le mode 1, correspondant à la pulsation propre p1 , les amplitudes de
mouvement s’obtiennent en remplaçant p par p1 dans l’une des équations
algébriques ci-dessus. Ce qui donne :
2
1
1
2
1
2
1
~~)( A
m
kAp
ou encore
)(~
~
2
1
2
111
2
1
1
pm
k
A
A
(5.17)
On a rajouté un indice 1 aux amplitudes pour signifier que ces derniers correspondent
au premier mode. Le rapport des amplitudes s’écrit donc sous la forme :
0
4)(
2~
~
2
2
2
1
222
2
2
1
2
2
2
11
1
2
1
1
Km
k
A
A
Ce qui donne
12
11
1
2
1
1
1
2
1
1~
~
j
eA
A
A
A
où 1
1A et 1
2A sont les valeurs absolues des amplitudes de mouvement des deux masses.
Les phases 1
1 et 1
2 doivent être, dans ce cas, égales (ou différentes d’un angle 2 ).
Les masses oscillent en phase.
Pour le mode 2 , correspondant à la pulsation propre p2 , les amplitudes de
mouvement s’obtiennent en remplaçant p par p2 dans l’une des équations
algébriques ci-dessus. Ce qui donne :
2
1
1
2
1
2
2
~~)( A
m
kAp
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ou encore
)(~
~
2
2
2
112
2
2
1
pm
k
A
A
(5.18)
On a rajouté un indice 2 aux amplitudes pour signifier que ces derniers correspondent
au premier mode. Le rapport des amplitudes s’écrit donc sous la forme :
0
4)(
2~
~
2
2
2
1
222
2
2
1
2
2
2
11
2
2
2
1
Km
k
A
A
Ce qui donne
22
21
2
2
2
1
2
2
2
1~
~
j
eA
A
A
A
où 2
1A et 2
2A sont les valeurs absolues des amplitudes de mouvement des deux masses.
Les phases 2
1 et 2
2 doivent être différentes d’un angle . Les masses oscillent dans
ce cas en opposition de phase.
Les solutions générales s’écrivent sous la forme d’une superposition des deux modes
propres, à savoir :
222
121
212
111
2
2
1
22
2
1
1
11
)(~
)(~
tjtj
tjtj
pp
pp
eAeAtx
eAeAtx (5.19)
Tenant compte des relations obtenues entre les amplitudes de mouvement des masses
pour chaque mode de vibration ainsi que celles qui existent entre les phases, il est
possible de réécrire les solutions sous la forme suivante :
212
111
212
111
)()()(~
)(~
2
2
2
112
1
2
1
2
111
12
2
1
1
11
tjptjp
tjtj
pp
pp
ek
mAe
k
mAtx
eAeAtx (5.20)
Les constantes 1
1A , 2
1A , 1
1 et 2
1 seront définies par les conditions initiales appliquées
sur le système.
Remarque: puisque que les mouvements des masses du système sont des quantités
mesurables donc réelles, il serait utile de prendre la partie réelle des solutions
complexes ci-dessus, à savoir :
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2
12
2
2
2
112
1
1
11
2
1
2
111
12
2
12
2
1
1
11
1
11
cos)(
cos)(
)(~
coscos)(~
tk
mAt
k
mAtx
tAtAtx
p
p
p
p
pp
5.2 Types de couplage:
En fait, il existe plusieurs types de couplage :
a- Couplage par élasticité où deux sous systèmes mécaniques (pendules simples)
sont assemblés à travers un ressort, ou encore, leurs analogues électriques, à
savoir deux sysèmes électriques (circuits LC) qui sont reliés par un
condensateur.
b- Couplage par viscosité où on utilise un amortsisseur (résistance pour un
système électrique) pour coupler deux pendules simples (circuits LC).
c- Couplage par inertie représenté par l’exemple d’un pendule double et où son
équivalent électrique serait deux circuits LC reliés par une bobine d’inductance.
Figure 5.5: Couplage équivalent, Résistance-Force de frottement
Figure 5.6 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort
5.3 Battements :
Reprenons l’exemple du système de deux masses identiques m attachées
horizontalement à trois ressorts de raideur identique k et se déplaçant sans frottement
sur une droite d’un plan horizontal.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
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Pour le couplage les deux sous-systèmes identiques, on a :
Figure 5.6: Mouvement oscillatoire couplé
de deux sous-systèmes identiques
Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :
02
02
122
211
kxkxxm
kxkxxm
(5.21)
On se propose pour un mode de vibration des solutions sous la forme sinusoïdale:
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
(5.22)
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, on obtient un système linéaire
symétrique suivant :
0)2(
0)2(2
2
kABkm
kBAkm
p
p
(5.23)
Le système admet des solutions non triviales si seulement si le déterminant de sa
matrice est nul, d’où :
02
22
2
kmk
kkm
p
p
(5.24)
On obtient alors l’équation paramétrique suivante :
0)2( 222 kkm p (5.25)
Les deux pulsations propres sont :
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m
km
k
p
p
32
2
2
1
(5.26)
Les solutions générales sont la superposition des deux modes propres et sont de de la
forme suivante :
)cos()cos()(
)cos()cos()(
2221112
2221111
tBtBtx
tAtAtx
pp
pp (5.27)
Pour le premier mode correspondant à la pulsation propre p1 , on a :
m
kpp 1
et en remplaçant dans l’une des équations du système algébrique ci-dessus on trouve
ABAkBAkm p 1111
2
1 0)2(
Figure 5.8: Etat du système pour le premier mode.
« En phase »
Dans ce mode les deux masses oscillent à la même pulsation m
kp 1 avec la même
amplitude A , en phase.
Pour le deuxième mode correspondant à la pulsation propre p2 , on a :
m
kpp 32
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
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et en remplaçant dans l’une des équations du système algébrique ci-dessus on trouve
BBAkBAkm p 2222
2
2 0)2(
Figure 5.9 : Etat du système pour le deuxième mode.
« En opposition de phase »
Dans ce mode les deux masses oscillent à la même pulsation m
kp
32 avec la même
amplitude B , en opposition de phase.
Les solutions générales deviennent alors:
)cos()cos()(
)cos()cos()(
22112
22111
tBtAtx
tBtAtx
pp
pp (5.29)
Où les constantes A , B ,1 et
2 seront définies par les conditions initiales.
Pour le besoin de notre étude du phénomène dit de battement il s’avère utile
d’appliquer les conditions initiales suivantes :
0)(0)(
0)()(
22
101
txtx
txXtx
(5.30)
Cela signifie qu’à 0t on écarte une masse de sa position d’équilibre d’une distance
0X tout en gardant l’autre masse à sa position d’équilibre ensuite on les lâche sans
vitesse initiales. Après remplacement dans les solutions générales, on obtient les
quatre équations suivantes:
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
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40sinsin
30sinsin
20coscos
1coscos
2211
2211
21
021
pp
pp
BA
BA
BA
XBA
L’addition des équations 1 et 2 d’une part et les équations 3 et 4 donne :
60sin
52
cos
1
01
A
XA
en sommant les carrés des équations 5 et 6 on obtient :
2
0XA , et de 6 on déduit que 01 .
De même, la soustraction des équations 1 et 2 d’une part et les équations 3 et 4
donne :
80sin
72
cos
2
02
B
XB
en sommant les carrés des équations 7 et 8 on obtient :
2
0XB , et de 8 on déduit que 02 .
On en arrive donc aux équations horaires du mouvement qui s’écrivent comme suit:
ttX
tx
ttX
tx
pp
pp
210
2
210
1
coscos2
)(
coscos2
)(
(5.31)
Ce résultat est très important car il nous renseigne sur le fait que le mouvement des
deux masses, soumises aux conditions initiales précédentes, est la superspoition de
deux mouvements sinusoïdaux simples de pulsations différentes. C’est un mouvement
complexe où les deux modes propres d’oscillation contribuent équitablement au
mouvement du système. Dans ce cas, on dit que les deux modes propres d’oscillation
du système sont excités. Cependant, la forme mathématique donnée des solutions n’est
pas si intuitive au point de nous permettre de concevoir, grosso modo, la manière avec
laquelle les masses vont osciller. Pour ce faire, il est utile de réarranger les formes
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
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mathématiques des solutions, en ayant recours à des relations trigonométriques bien
connues, à savoir :
2cos
2cos2coscos
bababa
et
2sin
2sin2coscos
bababa
ce qui permet de réécrire les solutions ci-dessus sous la forme :
ttXtx
ttXtx
pppp
pppp
2sin
2sin)(
2cos
2cos)(
2121
02
2121
01
Un changement de notation nous permet d’écrire :
2
12
mod
pp
dite pulsation de modulation et
2
21 pp
moy
dite pulsation moyenne.
De nouveau, les solutions s’expriment sous la forme condensée suivante:
ttXtx moy cos.cos)( mod01 (5.32)
et
ttXtx moy sin.sin)( mod02 (5.33)
Ces deux formes de solutions sont plus intuitives à expliquer, car il est possible de voir
le mouvement des masses comme un mouvement ‘ sinusoïdal simple’ de pulsation
moy mais avec une ampliude tX mod0 cos (pour la première masse) qui change
sinusoïdalement dans le temps à une pulsation mod . On dit que l’amplitude du
mouvement est modulée.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 193
Figure 5.10: Phénomène de battement pour la première masse
On trace sur la figure 5.10 l’évolution de tx1 et on voit que la masse fait un
mouvement complexe (l’amplitude part de zéro, atteint son maximum puis retrouve sa
valeur nulle) qui se répète après chaque intervalle de temps égal à 2
modTTbattement , où
mod
mod
2
T est la période de modulation de l’amplitude du mouvement. Ce mouvement
est appelé battement. D’autre part, on définit moy
moyT
2 comme la période
d’oscillation de la masse. Dans le cas où les deux pulsations propres p1 et p2 sont
très proches l’une de l’autre, l’amplitude tX mod0 cos ne varie que très lentement
comparée aux oscillations rapides de tmoycos et la masse exécuterait un mouvement
presque sinusoïdal. La deuxième masse, lâchée à partir de sa position d’équilibre,
exécute un mouvement semblable avec une seule différence : elle est en quandrature
de phase avec la première masse (voir figure 5.11).
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 194
Figure 5.11: Phénomène de battement pour la deuxième masse
Au moment où l’une des deux masses s’immobilise, l’autre masse est à son
maximum ; toute l’énergie du système étant transférée vers cette denière.
Une période de battement est donc le temps que fait l’énergie de vibration dans son
aller-retour complet entre les deux masses.
5.4 Oscillations forcées d’un système non amorti à deux degrés de
liberté :
Reconsidérons le système mécanique symétrique ci-dessus, et on applique une force
extérieure de forme sinusoïdale au premier sous système qui s’exprime comme suit :
tj
e eFRtFtF 00 cos)( (5.34)
Les équations d’Euler-Lagrange qui correspondent à cette situation physique
s’écrivent comme suit :
0
cos
22
0
11
x
L
x
L
dt
d
tFx
L
x
L
dt
d
(5.35)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 195
La seconde équation ne contient pas de terme de force extérieure car cette dernière
s’applique directement sur la deuxième masse. Après dérivation on obtient :
02
cos2
122
00211
kxkxxm
eFRtFkxkxxm tj
e
(5.36)
Pour résoudre le système d’équations différentielles ci-dessus on suppose que le même
système mécanique est maintenant soumis à une force complexe tjeFtF 0 . Après
résolution, on revient à notre cas physique en prenant la partie réelle de la solution
obtenue. En effet, on a
0~~2~
~~2~
122
0211
xkxkxm
eFxkxkxm tj
(5.37)
Dans le régime permanent, les solutions ont la même forme que le second membre, à
savoir:
)(
22
)(
11~
)(~)(~
~)(~)(~
tj
p
tj
p
eBtxtx
eAtxtx (5.38)
avec AjAeA
~ et Bj
BeB
~
.
En remplaçant les solutions proposées dans le système différentiel, on obtient le
système d’équations algébriques suivant :
0~~
)2(
~~)2(
2
0
2
AkBkm
FBkAkm
(5.39)
avec deux inconnues A~
et B~
dont les expressions sont données par ce qui suit :
m
k
m
k
m
k
m
F
m
k
m
F
kmk
kkm
km
kF
App
3
2
))((
2
2
2
20~
22
20
2
2
22
1
2
20
2
2
2
0
(5.40)
et
m
k
m
km
kF
m
kF
kmk
kkm
k
Fkm
Bpp
3))((
2
2
0
2
~
22
2
0
2
2
22
1
2
2
0
2
2
0
2
(5.41)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 196
Tout d’abord, il est utile de remarquer que les inconnues A~
et B~
ont des valeurs réelles
négatives ou positives selon la valeur de la pulsation de la force extérieure . Cela
signifie que les valeurs des phases des masses par rapport à la force excitatrice sont
soit nulles 0A , 0B soit A, B
. En effet, si A~
et B~
sont positives, il
serait possible de les écrire sous la forme
0~ jjAeAeA A
et
0~ jjBeBeB B
où A et B sont les modules des nombres complexes A~
et B~
. Dans ce cas, les masses
oscilleront en phase avec la force extérieure. Dautre part, si A~
et B~
sont négatives, il
serait possible de les écrire sous la forme
jjAeAeA A
~
et
jjBeBeB B
~
Dans ce cas les masses oscilleront en opposition de phase avec la force extérieure. Ce
sont là les deux seules possibilités d’état de phase des masses par rapport à la force
extérieure. Si le système était soumis à des forces d’amortissment, les valeurs des
phases prendront des valeurs entre 0 et . On doit noter ici que l’état de phase d’une
masse par rapport à la force extérieure est indépendante de l’état de phase de l’autre
masse par rapport à cette même force, c’est à dire qu’on peut tomber sur un cas où une
masse oscille en phase alors que l’autre est en opposition de phase avec la force
extérieure.
Pour une valeur 0 , les amplitudes de mouvement des masses sont égales à
k
F
m
k
m
k
m
k
m
F
A3
2
3
2
~ 0
0
(5.42)
et
k
F
m
k
m
km
kF
B33
~ 02
0
(5.43)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 197
Pour une valeur infinie de , A~
et B~
deviennent nulles.
Remarquons que A~
peut être nulle aussi pour une valeur de m
k2 . C’est le
phénomène d’anti-résonance dans lequel la masse soumise directement à la force
extérieure reste immobile lorsque la pulsation de cette dernière est réglée à la valeur
m
k2 . Aussi, pour des valeurs de
m
k et
m
k3 (pulsations propres du système),
les amplitudes A~
et B~
deviennent infinies. C’est là le phénomène de résonance dans
lequel les amplitudes des deux masses deviennent infinies lorsque la pulsation de la
force extérieure est égale à l’une des pulsations propres du système. Ce résultat nous
permet de se rendre compte de l’utilité de connaitre a priori les pulsations propres du
système avant que celui-ci soit mis sous l’effet d’une force extérieure. Car en
connaissant ces pulsations on pourrait éviter au système l’effet d’une résonance
infinie. Il est utile de noter qu’en appliquant une force de frottement au système à
deux degrés de liberté, on éliminera les singularités au niveau des modes propres. La
figure (5.11) illustre bien les phénomènes de résonance et d’antirésonance sur les
allures des amplitudes de mouvement.
Figure 5.11: Phénomènes de résonance à deux degrés de liberté
Les calculs montrent aussi que les deux masses oscillent en phase pour des valeurs de
inférieures à m
kp 1 . Pour
m
k
m
k 2 les deux masses oscilleront en opposition
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 198
de phase avec la force extérieure. Alors que pour m
k
m
kp
322 la masse soumise
directement à la force extérieure oscille en phase avec cette dernière alors que l’autre
masse oscille en opposition de phase. Enfin, pour m
kp
32 les états de phase des
masses s’inversent : la masse soumise directement à la force oscille en opposition de
phase alors que l’autre masse oscille en phase avec la force extérieure.
Le fait qu’une masse, malgré qu’elle soit soumise à une force extérieure, puisse
s’immobiliser est en soi un résultat intéressant, qui a débouché sur une application fort
utile dans le domaine de controle de vibration des structures (ou machines).
L’amortisseur de FRAHM en est un exemple. Sans entrer dans les détails techniques,
ce dispositif consiste à rajouter à un système mécanique, modélisé par une masse M
et un ressort K soumis à une force extérieure de pulsation connue, une deuxième
masse m avec un ressort k (et optionnellement un amortisseur ) de telle façon que
la pulsation à laquelle la masse M est théoriquement nulle soit égale (ou avoisinante)
de la pulsation extérieure. De cette manière, on est sûr que la masse M restera
immobile (ou presque) pendant que la force extérieure agit.
Figure 5.11: Modèle mécanique de l’amortisseur de FRAHM
Ce dispositif est d’autant plus efficace que la masse m est très faible que la masse M
qui elle doit être amortie.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 199
Figure 5.12: Application technique de l’amortisseur de FRAHM.
On peut citer d’autres exemples d’applications : l’oscillation des véhicules
5.5 Analogies électriques
L’analogue électrique du système mécanique libre , étudié ci-dessus, et composé de
deux masses 1m et 2m , en mouvement sans frottement ni force extérieure sur un plan
horizontal, attachées à deux ressorts 1k et 2k , et couplées l’une à l’autre par un ressort
k est un système électrique composé de deux circuits 11CL et 22CL rassemblés dans un
seul circuit électrique à travers un condensateur C . dEn partant des équations du
mouvement du système mécanique.
0
0
12222
21111
kxxkkxm
kxxkkxm
(5.44)
et en utilisant les analogies électromécaniques (analogie force-tension) suivantes:
tUtF
R
ix
qxC
k
Lm
1
(5.45)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 200
on obtient le système d’équations différentielles régissant la circulation des charges
électriques dans le circuit électrique, à savoir :
011
011
12
2
22
21
1
11
kqqCC
qL
kqqCC
qL
(5.46)
Figure 5.13: circuit analogue (analogie force tension) au système
mécanique composé de deux masses attachées horizontalement à deux
ressorts
On pouvait obtenir ces mêmes équations différentielles en utilisant les lois de
Kirchhoff.
Alors qu’en analogie force-courant, où l’on a les analogies suivantes :
titFR
Ux
xL
k
Cm
1
1
(5.47)
où est le flux à travers une bobine et une tension électrique tel que Udt .
On obtient donc :
0111
0111
12
2
22
21
1
11
dtUL
dtULL
UC
dtUL
dtULL
UC
(5.48)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 201
Figure 5.14: circuit analogue (analogie force courant) au système
mécanique composé de deux masses attachées horizontalement à deux
ressorts
Passons maintenant à un système mécanique à deux degrés de liberté composé de deux
masses 1m et 2m attachées à deux ressorts 1k et 2k soumis à des forces de frottement
de coefficients de frottement 1 et 2 , ainsi qu’à une force extérieure de type
sinusoïdale, tFtF sin0 , appliquée directement à la masse 1m . En effet, les
équations de mouvement du système mécanique montré la figure sont données comme
suit :
0
sin
122212222
022121121111
xxkxxkkxm
tFxxxkxxkkxm
(5.49)
En utilisant les analogies électromécaniques (force-tension) on obtient le système
d’équations différentielles régissant la circulation des charges électriques dans le
circuit électrique analogue:
0111
sin111
122212
1
22
022121121
1
11
qRqRqC
qCC
qL
tUqRqRqRqC
qCC
qL
(5.50)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 202
Figure 5.15: circuit analogue (analogie force tension) au système
mécanique forcé
A partir de ce système d‘équations il est possible de concevoir le circuit électrique
correspondant. L’analogie force-courant donne le circuit électrique dont les équations
différentielles s’écrivent comme suit :
011111
sin111111
1
2
2
2
12
1
22
02
2
1
2
1
1
21
1
11
UR
UR
dtUL
dtULL
UC
tIUR
UR
UR
dtUC
dtULL
UC
(5.51)
Figure 5.16: circuit analogue (analogie force courant) au système
mécanique forcé
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 203
5.6 Modes propres de vibration d’un système mécanique à trois
degrés de liberté:
Considérons le système mécanique de trois masses 1m , 2m et 3m attachées entre elles
horizontalement par des ressorts 1k , 2k , 3k et 4k . Les positions des masses par rapport
à leurs positions d’équilibre sont données par les variables 1x , 2x et 3x . Le mouvement
est dans ce cas exclusivement sur une droite.
Le système d’équations de mouvement du système s’écrit sous la forme suivante :
0
0
0
2334333
331223222
2212111
xkxkkxm
xkxkxkkxm
xkxkkxm
(5.52)
Ce qui peut être écrit sous la forme matricielle suivante
0
0
0
0
0
00
00
00
3
2
1
433
3322
221
1
2
1
3
2
1
x
x
x
kkk
kkkk
kkk
x
x
x
m
m
m
ou encore sous une forme plus condensée :
0 KXXM (5.53)
où
3
2
1
00
00
00
m
m
m
M ,
3
2
1
x
x
x
X et
433
3322
221
0
0
kkk
kkkk
kkk
K
Il est possible de récrire l’équation ci-dessus sous forme
01 KXMX (5.54)
où 1M est la matrice inverse de M
En posant KMA 1 , l’équation ci-dessus devient
0 AXX (5.55)
Si la matrice A est diagonalisable (ce qui est vrai dans notre cas) , celle-ci pourrait se
mettre sous la forme :
1 PDPA (5.56)
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 204
où P est une matrice dite de passage construite à partir des vecteurs propres de
A comme étant ses colonnes et D une matrice diagonale dont les éléments sont les
valeurs propres de la matrice A .
L’équation ci-dessus devient alors
01 XPDPX (5.57)
Multiplions l’équation ci-dessus par 1P :
0111 XPDPPXP (5.58)
où encore en faisant le changement de variable suivant :
XPU 1 (5.59)
avec
3
2
1
u
u
u
U , nous obtenons l’équation suivante :
0 DUU (5.60)
Cette équation est très intéressante car elle représente un système d’équations
différentielles découplé puisqu’elle fait intervenir une matrice diagonale. En effet,
l’équation ci-dessus peut se mettre sous une forme plus explicite :
0
0
0
333
222
111
uu
uu
uu
(5.61)
où 1 , 2 et 3 sont les valeurs propres de la matrice A .
Les solutions de ces trois équations différentielles sont données par :
3333
2222
1111
cos
cos
cos
tCtu
tCtu
tCtu
(5.62)
Les variables 1u , 2u et 3u sont appelées coordonnées normales puisqu’elles permettent
de découpler un système linéaire d’équations différentielles. En plus, elles représentent
des mouvements harmoniques simples du système avec trois pulsations d’oscillations :
11 , 22 et 33 ; c’est à dire les modes propres du système.
Cependant, il est intéressant d’avoir l’évolution des coordonnées 1x , 2x et 3x .
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 205
Pour cela, on utilise l’équation :
PUX (5.63)
où encore
3
2
1
333231
132221
131211
3
2
1
u
u
u
PPP
PPP
PPP
x
x
x
Ce qui donne
3332321313
3232221212
3132121111
uPuPuPtx
uPuPuPtx
uPuPuPtx
(5.64)
Les mouvements des masses du système sont finalement des combinaisons linéaires de
mouvements harmoniques simples (modes propres du système) avec les pulsations
correspondantes. Ces résultats nous ramène impérativement à diagonaliser la matrice
A afin que l’étude du mouvement des masses soit complètement établie.
En guise d’exemple d’application, prenons le cas du système mécanique ci-dessus
avec des masses et des ressorts égaux. La matrice correspondante s’écrit sous la forme
210
121
012
m
kA
(5.65)
Il est facile de vérifier que les valeurs propres de cette matrice et partant les pulsations
propres du système sont données par :
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
2222
22
2222
33
22
11
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 206
Avec les vecteurs propres correspondants :
1
2
1
1V ,
1
0
1
2V et
1
2
1
3V
La matrice de passage s’écrit donc sous la forme :
121
101
121
P
Il serait utile de donner une interprétation des valeurs des vecteurs propres ci- dessus.
En effet, chaque vecteur propre correspond à un mode de vibration, et plus
précisemment , chaque composante du vecteur donne le rapport d’amplitude de
mouvement des différentes masses dans un mode donné. C’est ainsi que le vecteur
1
2
1
1V , correspondant à la pulsation propre m
k221 , indique que les trois
masses oscillent toutes les trois en phase (les signes des composantes sont positives)
avec la deuxième masse qui a une amplitude 2 fois plus grande que les amplitudes
des autres masses.
Les solutions générales de mouvement des masses s’écrivent :
3
2
1
3
2
1
111
202
111
u
u
u
x
x
x
ou encore
3332221113
3331112
3332221111
coscoscos
cos20cos2
coscoscos
tCtCtCtx
tCtCtx
tCtCtCtx
(5.66)
où 1C , 2C , 3C , 1 , 2 et 3 sont des constantes à définir avec les conditions initiales.
Les formes des solutions indique que les masses, dans le premier mode, oscillent en
phase avec les mêmes amplitudes pour la première et la troisième masse, alors que
celle au milieu a une amplitude 2 fois plus grande. Dans le deuxième mode, la masse
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 207
au milieu est immobile, alors que les deux autres masses oscillent en opposition de
phase mais avec les amêmes amplitudes. Dans le troisième mode, la première et la
troisième masse oscillent en phase avec la même amplitude mais en opposition de
phase avec la masse au milieu qui elle oscille avec une mplitude 2 fois plus grande.
De cette façon, tous les aspects du mouvement des masses du système sont établis ; il
ne reste qu’appliquer les conditions initiales (préparation du système) et voir comment
le système évoluera. En effet, cette procédure peut être facilement appliquée à un
système de plusieurs degrés de liberté. Il suffit juste de pouvoir diagonaliser des
matrices de plus en plus grandes, ce qui nécessite le recours à des méthodes
numériques bien établies.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 208
Applications
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 209
Problème 1:
Deux pendules simples identiques O1A1 et O2A2 de masse m et de longueur l, sont
couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2, figure
14.5. A l’équilibre, le ressort horizontal a sa longueur naturelle l0 tel que l0 = O1O2.
Figure 5.14: Couplage de deux pendules identiques par un ressort
Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1(t) et
2(t) supposées petites par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désignera g
l’accélération de la pesanteur.
Modes propres :
Déterminer le Lagrangien du système.
Etablir les équations différentielles couplées vérifiées par les deux élongations
angulaires instantanées 1(t) et 2(t)
Exprimer en fonction de g, k, l et m, les deux pulsations propres 1p et 2p de ce
système.
Applications numériques :
Calculer 1p et 2p sachant que: m= 100g ; l= 80cm ; k=9.2 N/m et g= 9.8m/s2.
On lâche sans vitesses initiales le système à l’instant t=0 dans les conditions
initiales suivantes :
1=0 et 2=0
En déduire les lois d’évolution. 1(t) et 2(t) aux instants t 0.
Quel est le phénomène étudié.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 210
Modes forcés :
La masse A est soumise à une force excitatrice horizontale de forme :
)tcos(F)t(F 0
Ecrire les nouvelles équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t).
Exprimer les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2
des points A1 et A2 en régime forcé.
En déduire l’impédance d’entrée complexe1
e
V~F
Z .
Solution :
Le Lagrangien du système :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en θ1, θ2
L’énergie cinétique on a :
2m2
2m1c 21
Vm2
1Vm
2
1E
En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
2m
2m
2m
2m
2m
2m
22m
22mm
2m
2m
2
11m
11mm
1m
1m
1
222
111
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
yxV
yxV
)sinly
coslx(V)
cosly
sinlx(mO
)sinly
coslx(V)
cosly
sinlx(mO
D’où :
2i
2
1i
2c ml
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
2
1i
i2
21p cosmgl)ll(k2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
2
1
2
21
22
1
2
2121 cos)(2
1
2
1),,,(
i
ii
i
mglllkmlL
Les équations différentielles couplées sont :
122
211
22
11
m
k)
m
k
l
g(
m
k)
m
k
l
g(
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 211
Les pulsations propres 1p et 2p:
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On
obtient un système linéaire symétrique suivant :
0B)m
k
l
g(A
m
k
0Bm
kA)
m
k
l
g(
2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où :
0)()(
2
22 m
k
m
k
l
gp
Les deux pulsations propres sont :
sradm
k
l
g
sradl
g
pp
pp
/142
/5.3
2
2
2
1
2
1
Les solutions générales s’écrivent :
)cos()cos()(
)cos()cos()(
22112
22111
tBtBt
tAtAt
pp
pp
En appliquant les conditions initiales, on trouve :
ttCtx
ttCtx
pppp
pppp
2sin
2sin)(
2cos
2cos)(
2121
2
2121
1
D’où les solutions générales s’expriment alors comme suit:
tettAvec
ttctx
ttctx
pppp
22
sinsin)(
coscos)(
1212
2
1
Le phénomène étudié est les battements.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 212
Modes forcés :
Les nouvelles équations différentielles couplées :
0kl)klmg(ml
tcosFkl)klmg(ml
122
0211
Les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2 :
Les solutions particulières sont :
22
11
lj)t(V~
lj)t(V~
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
0V~
)m
k
l
g(V
~
m
k
em
FjV
~
m
kV~
)m
k
l
g(
22
1
tj021
2
L’impédance d’entrée complexe :
)mkl
mg(
mkl
mg
kj
V~F
Z 2
2
2
1
e
Ce système mécanique fonctionne comme un filtre de fréquence puisque son
impédance varie en fonction de la fréquence.
Problème 2 :
Partie 1 :
On considère deux circuits électriques )C,L,R( apind couplés par une capacité
représentés par la figure 15.5 comme suit:
Figure 5.15: Deux circuits couplés par une capacité
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 213
Quel est le nombre de degré de liberté ?
Déterminer le Lagrangien du système.
Donner les équations du mouvement
Partie 2 :
On néglige les résistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs
physiques telles que :
indind2ind1 LLL , apap2ap1 CCC et apind
2
0CL
1 .
Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.
En déduire les pulsations propres du système en fonction de 0.
Donner les solutions générales.
Quel est le modèle mécanique équivalent ?
Solution:
Partie 1 :
Le nombre de degré de liberté est 2 car les deux courants parcourus dans les
deux circuits sont différents.
Le Lagrangien du système est exprimé comme suit :
2
1
22
21
22
1
2121
1
2
1)(
2
1
2
1),,,(ˆ
i
iiapap
i
i
iind qC
qqC
qLqqqqL
Le système différentiel s’écrit:
0qC
1q)
C
1
C
1(qL
0qC
1q)
C
1
C
1(qL
1ap
2apap2
2ind2
2ap
1apap1
1ind1
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 214
Partie 2 :
Les nouvelles équations du mouvement :
0qC
1q
C
2qL
0qC
1q
C
2qL
1ap
2ap
2ind
2ap
1ap
1ind
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdales :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(q
Ae)t(q
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :
0AC
1B)
C
2L(
0BC
1A)
C
2L(
apap
2pap
apap
2pind
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où :
0)C
1()
C
1L( 2
ap
2
ap
2pind
Les deux pulsations propres sont :
apind
2p2
apind
2p1
CL
3
CL
1
Les solutions générales sont exprimées comme suit :
)tcos(B)tcos(B)t(q
)tcos(A)tcos(A)t(q
p22p112
p22p111
Le système mécanique équivalent est représenté par la figure 16.5 comme suit:
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 215
Figure 5.16: Mouvement oscillatoire du système mécanique couplé
Problème 3 :
On modélise le mouvement d’une molécule triatomique (A-B-A) a un système
mécanique constitué par trois masses couplées par deux ressorts identiques de
constante de raideur k représenté dans la figure 17.5 comme suit:
Figure 17.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles du mouvement.
En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.
Donner la matrice de passage.
Donner les solutions générales.
Solution:
Le Lagrangien du système :
Pour l’énergie cinétique on a :
233
222
21i1c xm
2
1xm
2
1xm
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
232
221p )xx(k
2
1)xx(k
2
1E
Le Lagrangien s’exprime alors :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 216
232
221
2i
3
1i
i )xx(k2
1)xx(k
2
1xm
2
1L
L’équation différentielle :
0kxkxxm
0kxkxkx2xm2
0kxkxxm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
233
3122
211
33
22
11
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j
3
)t(j
2
)t(j
1
p
p
p
Ce)t(x
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
0kBC)km(
0kCkAB)k2m2(
0kBA)km(
2p
2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’ou
0]k)km)[(km( 222p
2p
Les pulsations propres sont :
m
k2
0
m
k
2p3
2p2
2p1
La matrice de passage s’écrit:
000
110
111
P
La solution générale est :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 217
)tcos(
)tcos(
)tcos(
P
)t(x
)t(x
)t(x
3p3
2p2
1p1
1
2
1
Problème 4 :
Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O
et O’, sont fixés trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de
même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera 1(t),
2(t) et 3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport à
leur position de repos, figure 18.5:
Figure 5.18: Mouvement oscillatoire couplés de trois disques de torsion
Les quatre partis OO1, O1O2, O2O3 et O3O’de l’arbre ont même constante de torsion C.
On posera la constante :
J
C2
0 .
Régime libre :
Déterminer le Lagrangien de ce système.
Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles
1(t), 2(t) et 3(t).
En déduire les trois pulsations propres 1p, 2p et 3p de ce système en fonction
de 0.
Déterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des
disques D2 et D3 si l’amplitude angulaire du disque D1 est A= 1 radian.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 218
Calculer l’énergie mécanique totale ET de cette chaîne de trois disques, pour
chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du
disque D1.
Régime forcé :
On applique au seul disque (D1) un couple moteur de moment sinusoïdal, de pulsation
réglable et d’amplitude 0.
)tcos()t( 0 ,
Etablir en fonction du paramètre 2
0
)(X
, les amplitudes angulaires A1, A2 et
A3 de chacun des disques en régime forcé.
Pour quelles valeurs de X ce système est il en résonance ?
Solution:
Régime libre :
Le Lagrangien de ce système :
Pour l’énergie cinétique on a :
23i
22
21c J
2
1J
2
1J
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
21
23
232
221p C
2
1C
2
1)(C
2
1)(C
2
1E
Le Lagrangien s’exprime alors :
2
1
2
3
2
32
2
21
23
1
3213212
1
2
1)(
2
1)(
2
1
2
1),,,,,( CCCCJL i
i
Les équations différentielles sont :
0)2(
0)2(
0)2(
0)(
0)(
0)(
23
2
03
312
2
02
21
2
01
33
22
11
LL
dt
d
LL
dt
d
LL
dt
d
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 219
)t(j
3
)t(j
2
)t(j
1
p
p
p
Ce)t(
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
0BC)2(
0CAB)2(
0BA)2(
20
20
2p
20
20
20
2p
20
20
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
Avec
0
20
2
02
20
2p
20
20
20
2p
20
20
20
2p
D’ou :
0])2()2)[(22( 220
22p
20
20
2p
Les pulsations propres sont :
22
22
2
0p3
0p2
0p1
Les amplitudes angulaires des disques D2 et D3
32120p3p
32120p2p
2320p1p
2222
2222
02
L’énergie mécanique totale ET :
21
23
232
221
2i
3
1i
T C2
1C
2
1)(C
2
1)(C
2
1J
2
1E
Régime forcé :
Les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 220
0)2(
0)2(
)tcos()(CCJ
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
ML
)L
(dt
d
23203
312202
02111
33
22
i
ext11
En régime forcé les solutions particulières sont de la forme:
tj33
tj22
tj11
eA)t(
eA)t(
eA)t(
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient le résultat
suivant :
)X22)(X22)(X2(
1
CA
)X22)(X22(
1
CA
)X22)(X22)(X2(
)X3)(X1(
CA
03
02
01
Ce système entre en résonnance pour les valeurs de X, comme suit :
22X
22X
2X
Problème 5 :
On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, présentés
dans la figure 19.5. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux
ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois
masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le
système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires θ1, θ2, θ3
des pendules avec la verticale descendante.
On posera les constantes suivantes :
m
k20 et
l
g20 .
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 221
Figure 5.19: Mouvement oscillatoire couplés de trois pendules
Déterminer le Lagrangien du système
Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations
angulaires θ1(t), θ2(t), et θ3(t) pour les petites oscillations du système.
Déterminer les pulsations propres du système.
Application numérique :
On prend : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2. Calculer les pulsations
propres.
Déterminer le rapport des amplitudes angulaires A
B et
A
C pour chacun des
modes propres de ce système.
Solution:
Le Lagrangien du système :
Le système a trois degrés de liberté représentés par : θ1, θ2, θ3.
L’énergie cinétique s’exprime:
23
222
22i
2c ml
2
1ml
2
1ml
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
3
1i
i2
322
21p cosmgl)ll(k2
1)ll(k
2
1E
Le Lagrangien s’exprime comme suit :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 222
3
1
2
32
2
21
23
1
2
321321 cos)(2
1)(
2
1
2
1),,,,,(
i
ii
i
mglllkllkmlL
L’équation différentielle :
0)(
0)2(
0)(
0)(
0)(
0)(
2
2
03
2
0
2
03
3
2
01
2
02
2
0
2
02
2
2
01
2
0
2
01
33
22
11
LL
dt
d
LL
dt
d
LL
dt
d
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j
3
)t(j
2
)t(j
1
p
p
p
Ce)t(
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
0BC)(
0CAB)2(
0BA)(
20
20
20
2p
20
20
20
20
2p
20
20
20
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement
0det
Avec :
0
0
2
0
20
20
2p
20
20
20
20
2p
20
20
20
20
2p
D’ou :
0]3)32()[( 20
20
40
2p
20
20
4p
20
20
2p
Les pulsations propres sont alors:
s/rad32.63
s/rad46.4
s/rad16.3
p20
20p3
p20
20p2
p0p1
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 223
Les rapports des amplitudes sont :
1A
C2
A
B3
1A
C0
A
B
1A
C1
A
B
20
20p3
20
20p2
0p1
Problème 6:
Soit le système mécanique, constitué de deux pendules simples de longueur l et de
masses m1, m2 représentés dans la figure 20.5 comme suit :
Figure 5.20: Couplage de deux pendules simples par la masse
Etablir le Lagrangien du système
Donner les équations différentielles du mouvement pour les faibles oscillations.
On pose les constantes suivantes :
l
g2
0 et2
1
m
m .
Déterminer dans ce cas les pulsations propres du système 1p et 2p en fonction
des paramètres et 0.
Déterminer les solutions générales
Solution:
Le Lagrangien du système s’écrit : est déjà calculé dans le problème (1.1-B)
)cos(cosglmcosglm
)cos(lmlm2
1l)mm(
2
1L
21211
21212
222
22
21
221
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 224
Le système différentiel devient :
0gll
0g)mm(lml)mm(
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
212
12122121
22
11
D’ou :
0
0)1()1(
22012
12021
Avec :
l
get
m
m 20
2
1
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :
0B)(A
0BA)1)((20
2p
2p
2p
20
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où
0)1()( 4p
220
2p
Les deux pulsations propres sont 1p et 2p exprimées comme suit :
20
2p1
20
2p1
11
1
11
1
Les solutions générales sont de la forme:
)tcos(B)tcos(B)t(
)tcos(A)tcos(A)t(
p22p112
p22p111
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 225
Problème 7:
Un ressort est relié par ses deux extrémités a deux points matériels, B de masse M et P
de masse m, figure 21.5. Ce dernier peut se déplacer sans frottement le long de l’axe
Ox tandis que B est fixe à l’extrémité inferieur d’un fil inextensible, de longueur l=OA,
de masse négligeable, accroche en a un support horizontal et pouvant tourner
librement autour de l’axe Az . Le ressort a une masse négligeable, une raideur k et une
longueur a vide également négligeable. Il a la possibilité, avec P, d’être à gauche ou à
droite de B. le champ de pesanteur est de la forme yugg
et on suppose que l’angle
(t) défini par l’attitude du fil relativement à la verticale reste petit.
Figure 5.21: Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique
Etablir le Lagrangien du système
Déterminer les équations du mouvement
On pose les constantes suivantes :
l
g20 ,
m
k21 ,
M
k22 et
21
20
2r
.
Mettre les équations du mouvement en fonction les paramètres 0, 1 et 2.
On cherche une solution de la forme :
tj
ppXex
et tj
BpYelY
.
Déterminer dans ce cas les modes propres p2p1 et
On n’admet désormais que m=M.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 226
Exprimer les deux pulsations propres p2p1 et en fonction de r et 1.
En déduire la solution générale.
Solution:
Le Lagrangien du système :
Pour l’énergie cinétique on a :
22pc )l(M
2
1xm
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
cosMgl)lx(k2
1E 2
pp
Le Lagrangien du système s’écrit :
cosMgl)lx(k2
1)l(M
2
1xm
2
1L 2
p22
p
Les équations du mouvement s’écrit:
0lxx
0xl)(l
0x
L)
x
L(
dt
d
0L
)L
(dt
d
21p
21p
p22
20
22
pp
Les solutions sont de la forme :
tjp Xex et tj
B YelY .
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On
obtient un système linéaire symétrique suivant :
0YX)(
0Y)(X21
21
2p
22
20
2p
22
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où :
0))(( 22
21
21
2p
22
20
2p
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 227
Les deux pulsations propres sont :
2
4)2(2
2
4)2(2
21
20
221
20
21
202
p2
21
20
221
20
21
202
p1
D’où :
21
20
21p2
21p1
2ravec
1r1r
1r1r
Les solutions générales :
)tcos(Y)tcos(Y)t(Y
)tcos(X)tcos(X)t(x
p22p11
p22p11p
Problème 8 :
Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans
frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure 22.5 comme suit :
Figure 5.22: Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique
Partie A :
Etablir l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système.
En déduire le Lagrangien du système ?
En déduire les équations différentielles de mouvements.
Déterminer les pulsations propres du système.
Trouver le rapport d’amplitude dans les modes normaux.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 228
Donner les solutions générales lorsque : M tend vers l’infini et l tend vers 0.
Discuter.
Partie B :
On impose au point s un mouvement sinusoïdal de type :
tsinaxs
Comme le montre la figure 23.5:
Figure 5.23: Mouvement oscillatoire forcé à deux degrés de liberté
En déduire les nouvelles équations du mouvement.
Donner le module des amplitudes.
Quelle est la nature du mouvement.
Solution:
Partie A :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en x(t) et θ(t)
Pour l’énergie cinétique on a:
2m
2Mc mV
2
1MV
2
1E
En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
)0y
xx(V)
0y
xx(MO
)sinly
coslxx(V)
cosly
sinlxx(mO
M
MM
M
M
m
mm
m
m
D’où :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 229
coslxm])l(mx)mM[(2
1E 22
c
Pour l’énergie potentielle on a:
cosmglkx2
1E 2
p
Figure 5.24: Différents états du système
On déduit, le Lagrangien du système comme suit:
cosmglkx2
1coslxm])l(mx)mM[(
2
1),,x,x(L 222
Arès le calcul, le système différentiel est donné comme suit :
0xmlmglml
0kxmlx)mM(
0L
)L
(dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
2
Les pulsations propres 1p et 2p:
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 230
On considère les solutions du système de type sinusoïdales :
)t(j
)t(j
p
p
Ae)t(x
Be)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On
obtient un système linéaire symétrique suivant :
0B]gl[A
0BmlA]k)mM([2p
2p
2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où
0ml]gl][k)mM([ 4p
2p
2p
On obtient alors :
0kgM4]klg)mM[(Avec0kg]klg)mM[(Ml 22p
4p
Il existe donc deux pulsations propres sont 2
p2
2
p1 et comme suit :
]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2
1
]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2
1
22p1
22p1
Les rapports d’amplitudes sont calculés comme suit :
k)mM(
ml
B
A
k)mM(
ml
B
A
2p2
2p2
2p1
2p1
p2p
p1p
Les solutions générales sont données :
)tcos(B)tcos(B)t(
)tcos(A)tcos(A)t(x
p22p11
p22p11
La forme des solutions générales lorsqu’on a :
M tend vers l’infini :
Le système devient alors un pendule simple représenté comme suit :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 231
Figure 5.25: système est équivalent a un pendule simple
l tend vers 0 :
Le système devient dans ce cas un simple oscillateur harmonique représenté
ans la figure 26.5:
Figure 5.26: Système est équivalent à un oscillateur simple
Partie B :
Les nouvelles équations du mouvement sont :
0xmlmglml
kaekxkxmlx)mM(2
tis
Les solutions particulières en régime permanant sont :
)t(ie)(A)t(x et )t(ie)(B)t(
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :
0B]gl[A
kaBmlA]k)mM([22
22
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 232
Les modules des amplitudes sont :
))((
kaB
))((
)l
g(ka
A
2p2
22p1
2
2
2p2
22p1
2
2
Les phénomènes étudiés sont :
La résonance
p2p1quandB
A
Anti résonance.
l
gquand
tetanconsB
0A
La figure 27.5 représente les phénomènes étudiés:
Figure 5.27: Phénomène de résonance à deux degrés de liberté
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 233
Problème 9 :
Partie A :
On considère une barre homogène de masse M, de longueur l, moment
d’inertie 2
g Ml12
1J , mobile d’un axe fixe à une de ses extrémités O. A l’autre
extrémité A est fixé un ressort de raideur k1comme la montre la figure 28.5:
Figure 5.28: Mouvement amorti
De plus le système est amorti par le biais d’un amortisseur au lieu de la barre G dont
le coefficient de frottement α. En position d’équilibre la barre est horizontale.
Dans le cas des petites oscillations :
Donner le Lagrangien du système.
Etablir l’équation différentielle du mouvement.
Donner le cas d’un faible amortissement l’expression de la solution générale
θ(t) avec les conditions initiales suivantes:
θ(t=0)=0 et 0)0t( .
Tracer le graphe de θ(t)
Partie B :
On enlève l’amortisseur du milieu G de la barre, et on place un ressort k2 et une masse
m, représenté dans la figure 29.5:
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 234
Figure 5.30: mouvement oscillatoire à deux degrés de liberté
Ecrire le Lagrangien du système.
On pose k1=k, k2=4k et M=3m.
Etablir les équations différentielles du mouvement.
Donner les pulsations propres.
Déterminer les rapports d’amplitudes aux modes propres du système.
Donner les solutions générales.
En déduire la matrice de passage.
Solution:
Partie A :
Le Lagrangien du système :
Le système a un seul degré de liberté exprimé en θ
Pour l’énergie cinétique :
2O/c J
2
1E
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 235
avec
2G/O/ )
2
l(MJJ
Pour l’énergie potentielle on a :
21p )l(k
2
1E
Le Lagrangien s’écrit sous la forme suivante :
221
2O/ )l(k
2
1J
2
1),(L
L’équation différentielle :
2
llkJM
LL
dt
d 22
1O/frot
D’ou
0J
lk
J2
l
O/
21
O/
2
Alors :
GG J
lk
J
lavec
/
2
1
2
0
/
22
022
202
La solution générale :
La résolution de cette équation différentielle est de la forme :
22
0
20 sin)cos()(
avectetAet tt
Elle est représentée dans la figure 31.5 comme suit:
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 236
Figure 5.31: Mouvement oscillatoire amorti
Partie B :
Le Lagrangien du système :
Le système actuel possède deux degrés de liberté exprimé en x et y
Pour l’énergie cinétique on a:
22O/c xm
2
1J
2
1E
Avec
2
G/O/ )2
l(MJJ
L’énergie potentielle s’exprime:
21
22p )l(k
2
1)
2
lx(k
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors comme suit :
lyavecyk2
1)
2
yx(k
2
1xm
2
1J
2
1)y,y,x,x(L 2
12
222
O/
Les nouvelles équations différentielles du mouvement :
0kx2ky2ym
0ky2kx4xm
0y
L)
y
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
Les pulsations propres :
Les solutions sont de la forme :
tj pAex
, tj pBely
.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 237
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :
lyavec
0kA2B)k2m(
0kB2A)k4m(2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
avec
0)k2()k2m)(k4m( 22p
2p
d’où
0mk5'avec0k4m6m 22224p
2
Donc, il existe deux pulsations propres:
)53(m
k
)53(m
k
2p2
2p1
Les raports d’amplitude aux modes propres sont :
51
2
B
A)53(
m
k
51
2
B
A)53(
m
k
p2
p1
2p2
2p1
Les solutions sont données comme suit:
tcos2
51Btcos
2
51A)t(x
tcosBtcosA)t(x
p2p1
p2p1
La Matrice de passage est :
2
51
2
51
11
P
Problème 10 :
Dans le montage représenté dans la figure 5.32, le pendule de longueur l= OA et de
masse m est couplé par l’intermédiaire du ressort horizontal, de raideur k1, au système
oscillant constitué d’une masse m et du ressort de raideur k2 dont l’extrémité O’ est
fixée. L’extrémité O du pendule est fixée.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 238
Figure 5.32: Couplage chariot-pendule simple
A l’équilibre, le pendule est vertical et deux ressorts ont leurs longueurs naturelles
(ressorts non déformés).
On posera les constantes suivantes :
m
k21 ,
l
g22 et
m
kc2 .
Les déplacements x1(t) du centre de masse G du chariot et x2(t) de l’extrémité H du
pendule, à partir de leur position d’équilibre, sont suffisamment petits pour admettre
que les deux ressorts demeurent pratiquement horizontaux.
Régime 1 :
Etablir Le Lagrangien du système.
Ecrire les équations différentielles du mouvement.
Déterminer les pulsations propres du système 2p1p .
Calculer en fonction des paramètres, 2p1p , 1 et 2, le rapport A
B des
amplitudes des oscillations de la masse H et du centre de masse G du chariot,
pour chacun des deux modes propres du système.
Déterminer la solution générale.
Quelle est la nature du régime 1 ?
Régime 2 :
L’extrémité O’ du ressort de raideur k maintenant soumise à un excitateur qui
lui communique un mouvement sinusoïdal d’amplitude a0 et de pulsation que
l’on peut faire varier :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 239
tatxs
cos)( 0'
Figure 5.33: Mouvement oscillatoire forcé
Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.
Déterminer les amplitudes en complexes des mouvements de G et H en fonction
de la pulsation de l’excitation et des paramètres, 1, 2, a0.
On donne g= 9.8 S.I, l= 0.66 S.I m= 0.1 S.I et k2= 1 S.I.
Calculer la période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera
immobile.
Quelle est la nature du régime 2 ?
Solution:
Régime 1 :
Le Lagrangien du système :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en x1 et x2
L’énergie cinétique s’écrit :
22
21c xm
2
1xm
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a:
cosmgl)xx(k2
1kx
2
1E 2
12c21p
Le Lagrangien s’écrit alors comme suit
cosmgl)xx(k2
1kx
2
1xm
2
1xm
2
1L 2
12c21
22
21
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 240
Figure 5.34: Mouvement oscillatoire du système « chariot-pendule simple »
Les équations différentielles du mouvement :
12
222
22
22
122
11
22
11
xx)(x
xx)(x
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 241
0B)(A
0BA)(22
22p
2
2221
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0)()2(0det 22
21
22
21
22p
22
21
24p
Les pulsations propres sont :
))((4)2(2
1
2
2
))((4)2(2
1
2
2
22
21
22
21
2222
21
222
21
22
p2
22
21
22
21
2222
21
222
21
22p1
Le rapport des amplitudes des oscillations A
Bs’écrit :
p2p2
222
2p2
2
2
p1p2
221
2p1
1
1
A
B
A
B
La solution générale :
)tcos(B)tcos(B)t(x
)tcos(A)tcos(A)t(x
p22p112
p22p111
La nature du mouvement : le système a un mouvement libre couplé à deux
degrés de libertés.
Régime 2 :
Les nouvelles équations différentielles du mouvement :
Le Lagrangien du système :
cosmgl)xx(k2
1)xx(k
2
1xm
2
1xm
2
1L 2
12c2
'o122
21
Le système différentiel :
0xx)(x
tcosaxx)(x
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
12
222
22
0212
21
2211
22
11
Les amplitudes en complexes des mouvements de G et H :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 242
Les solutions particulières sont de type :
)t(jp22
)t(jp11
Be)t(x)t(x
Ae)t(x)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient :
tjtj
222
22
210
2221
2
eBB~
AeA~
Avec
0B~
)(A~
aB~
A~
)(
Alors :
4222
2221
2
221j
4222
2221
2
222
221j
))((BeB
~
))((
)(AeA
~
2
1
La période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera immobile :
s26.12
T22
2
Problème 11 :
On considère une échelle de perroquet constituée d’une chaine linéaire de pendules
simples. Chaque élément est formé d’un pendule simple de longueur l et de masse m ;
ci-dessous la figure 5.35 attachés à une tige ayant un module de torsion C. Les deux
pendules des extrémités sont montés à la même tige de raideur C sur un bâti rigide.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 243
Figure 5.35: Modèle physique de l’échelle de perroquet
Etablir les énergies cinétique et potentielle du système.
En déduire le Lagrangien du système.
En posant les constantes suivantes :
l
get
ml
C 2
022
2
01
Etablir les équations différentielles du système.
Soient les solutions dans le régime libre comme suit :
3,2;1cos)( iavectAt ii
Déterminer les pulsations propres du système.
Déterminer la matrice de passage.
En déduire les solutions générales
Soient les conditions initiales suivantes :
000
00
321
1032101
tA
Montrer que seul le deuxième mode est excité.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 244
Solution:
L’énergie cinétique du système s’écrit comme suit :
2
3
22
2
22
1
2
2
1
2
1
2
1 mlmlmlEc
Pour l’énergie potentielle on a :
)coscos(cos2
1
2
1)(
2
1)(
2
1321
2
3
2
1
2
32
2
21 mlCCCCE p
Donc le lagrangien s’écrit comme suit :
)coscos(cos2
1
2
1)(
2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1
321
2
3
2
1
2
32
2
21
2
3
22
2
22
1
2
mlCCCC
mlmlml
EEL pc
Les équations différentielles du mouvement :
0sin)2(
0sin)()(
0sin)2(
0
0
0
3233
2
123212
2
1211
2
33
22
11
mglCml
mglCCml
mglCml
LL
dt
d
LL
dt
d
LL
dt
d
Après linéarisation du système différentielles en posant sin pour les petites
oscillations et en remplaçant les constantes l
get
ml
C 2
022
2
01 ; on trouve :
0)2(
0)2(
0)2(
3
2
0223
2
013
2
2
02312
2
012
1
2
0221
2
011
On a un système différentiel linéaire homogène, qui a admet des solutions
harmoniques de la forme suivantes :
3,2;1cos)( iavectAt ii
D’où :
3,2;1)( 2 iavect ii
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 245
Après calcul on obtient alors le système linéaire suivant :
0)2(
0)2(
0)2(
2
2
013
22
02
2
01
3
2
012
22
02
2
01
2
01
2
2
011
22
02
2
01
AA
AAA
AA
On peut l’écrire sous la forme matricielle :
0
0
0
20
2
02
3
2
1
22
02
2
01
2
01
2
01
22
02
2
01
2
01
2
01
22
02
2
01
A
A
A
Pour que ce système linéaire admet des solutions non nulles il faut que :
0det
Ainsi ; on obtient:
0202
2)2(
22
02
2
01
2
01
2
012
0122
02
2
01
2
01
2
01
22
02
2
0122
02
2
01
D’où :
0)2()2()2( 22
02
2
01
4
01
4
01
222
02
2
01
22
02
2
01
Finalement après calcul on aura les trois modes propres du mouvement comme
suit :
2
02
2
013
2
02
2
012
2
02
2
011
)22(
)22(
2
p
p
p
En appliquant les conditions initiales ; on obtient :
0cos
0cos
0coscos
0coscos
33
11
3311
3311
A
A
AA
AA
De plus on a :
0sin
0sin
0sinsin
0sinsin
33
11
3311
3311
A
A
AA
AA
D’où :
00 31 AetA
On a de plus :
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 246
0sincos 232210 AetA
Avec :
1022 0 Aet
Finalement on a:
)(cos)(
0)(
cos)(
1103
2
101
ttt
t
tt
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 247
Problèmes supplémentaires
Problème 12 :
Mode propre : Deux points matériels A1 et A2 de même masse m ; sont reliés entre eux
par un ressort de raideur k’. Par ailleurs ; ils sont reliés à 2 supports fixes par deux
ressorts ayant chacun la même raideur k. l’ensemble peut coulisser sans frottements le
long d’une tige horizontale fixe. On note )();( 21 txtx les élongations respectives des
points A1 et A2 ; comptées à partir de leur position d’équilibre où les ressorts ne sont ni
allongés ni contractés ; voire la figure 5.36.
Figure 5.36: Couplage de deux oscillateurs harmoniques identiques
Etablir les énergies cinétiques et les énergies potentielles du système.
En déduire le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles qui régissent le mouvement du système.
On propose les solutions comme suit :
)()()()()()( 2121 txtxtDettxtxtS
Réécrire les nouvelles équations différentielles en fonction des
variables )()( tDettS .
En déduire les pulsations propres pp et 21
Déterminer les solutions générales )();( 21 txtx .
Mode forcé : Le point A1 est soumis à une force harmonique de type :
xutFtF
).cos()( 0
Déterminer l’amplitude AX du mouvement permanent du point A1.
Représenter la courbe )(fX en faisant ressortir les phénomènes
intéressants.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 248
Quelles conditions initiales faut-il donner à A1 pour exciter uniquement
l’un ou l’autre des modes propres.
Pourquoi il est nécessaire de supposer un amortissement très léger dans
notre étude.
Problème 13 :
Soit le modèle physique d’un véhicule de longueur l représenté dans la figure 5.37
comme suit :
Figure 5.36: Modélisation physique des oscillations d’un véhicule
Où M représente la masse du véhicule ainsi les passagers.
Les grandeurs (k1, m1) et (k2, m2) représentent successivement la raideur et la masse
des roues avant et arrière de véhicule. Les ressorts k3 et k4 décrivent un modèle simple
à toutes les vibrations extérieures.
On s’intéresse qu’aux vibrations verticales. On considère que les masses m1 et m2 sont
des points matériels.
Quel le nombre de degré de liberté ?
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles des mouvements.
Déterminer les pulsations propres.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 249
Problème 12 :
Lors d’un control technique, un véhicule est installé sur un banc d’essai permettant de
communiquer aux roues un mouvement vertical, identique et sinusoïdal de la forme
suivante comme le montre la figure 5.38:
tcosS)t(S 0
Figure 5.38: Modélisation d’un mouvement oscillatoire d’un véhicule
La suspension des ressorts est modélisée par deux ressorts identiques de raideur k et
deux amortisseurs identiques de coefficients de frottement. La masse du véhicule est
de grandeur m et son moment d’inertie par rapport à un axe horizontal e de gravité G
est JG. La voiture peut osciller par rapport à sa position d’équilibre, c'est-à-dire, y=0 et
θ=0.
On s’intéresse dans ce qui suit aux oscillations de tangage, c'est-à-dire, les rotations
d’angle θ autour d’un axe passant par G et parallèle à OZ et aux oscillations de
pompage, c'est-à-dire, les translations de l’ensemble parallèlement à la verticale OY.
Etablir les coordonnées des points A et B de la voiture dans le repère XOY.
Déterminer le Lagrangien du système.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 250
Exprimer les équations différentielles du système.
Déterminer les solutions totales du mouvement y(t) et θ(t).
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 251
Mini projet -1
Partie A : On considère le modèle d’un oscillateur harmonique vertical représenté dans la
figure 5.39 par une masse m placé dans un potentiel élastique du type2
p kx2
1E .
Figure 5.39: Modèle de l’oscillateur harmonique.
Etablir le Lagrangien
Déterminer l’équation différentielle du mouvement du système.
Déterminer la solution générale en utilisant les conditions initiales :
0)0(0)0( vtxettx
Partie B : Le système précédent est couplé à un autre oscillateur harmonique de masse
M et de raideur K. Figure 5.40.
Figure 5.40: Couplage de deux oscillateurs harmoniques.
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles du mouvement.
On propose les solutions générales de la forme :
)(
2
)(
1 )()(
titi pp BetxetAetx
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 252
Déterminer les modes propres pp et 21
Donner les rapports d’amplitudes aux modes propres.
En déduire les solutions générales.
Partie C : On se propose maintenant d’étudier le fonctionnement de l’étouffeur
dynamique des vibrations, modélisé par deux masses couplées M et m oscillent à
l’horizontale comme le montre la figure 5.41. Le système est soumis à une force de
frottement visqueuse dont le coefficient de frottement est et une force extérieure sinusoïdale
de la forme :
tFtF cos)( 0 .
Figure 5.41: Modèle physique d’un étouffeur dynamique des vibrations
Déterminer les équations différentielles du mouvement.
On propose les solutions particulières comme suit:
)(
2
)(
1ˆ)(ˆ)( titi eBtxeteAtx
Déterminer les modules d’amplitudes des solutions particulières BetA ˆˆ en
régime permanent.
Quelle est la condition pour avoir l’annulation du mouvement de la masse m.
Commenter les résultats.
Solution:
Partie A
Le vecteur de position est égal à :
ixvixmo
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 253
L’énergie cinétique s’écrit :
22c xm
2
1mv
2
1E
L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme:
2p kx
2
1E
Alors, le Lagrangien du système est de la forme:
22
2
1
2
1kxxmEEL pc
L’équation de mouvement est de la forme :
kxx
Lxm
x
L0
x
L)
x
L(
dt
d
D’ou
0xxm0kxxm 20
La pulsation propre est égale à :
m
k20
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :
)cos()( 0 tAtx
En appliquant les conditions initiales :
20cos0x,0t
2avec
vAvx,0t 0
0
La solution finale sera exprimée comme suit :
tv
txtAtx
sin)()cos()( 0
Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique du système s’écrit :
)(2
1)(
2
1 2
2
2
1 txMtxmEc
L’énergie potentielle du système s’exprime par rapport à l’état d’équilibre:
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 254
2
21
2
1 )(2
1
2
1xxKkxE p
Le Lagrangien s’écrit alors :
2
21
2
1
2
2
2
1 )(2
1
2
1)(
2
1)(
2
1xxKkxtxMtxmEEL pc
Les équations différentielles du mouvement :
0
0)(
0)(
0)(
122
211
22
11
KxKxxM
KxxKkxm
x
L
x
L
dt
d
x
L
x
L
dt
d
On propose les solutions générales :
)(
2
)(
1 )()(
titi pp BetxetAetx
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient un système linéaire
comme suit:
0
0)(2
2
BKMKA
KBAKkm
p
p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où
0)))((( 222 KKMkKm pp
On obtient alors :
0)(24
mM
Kk
m
kK
M
Kpp
En résolvant l’équation ; on obtient les modes propres comme suit :
mM
kK
m
kK
M
K
m
kK
M
K
mM
kK
m
kK
M
K
m
kK
M
K
p
p
4)(2
1
22
4)(2
1
22
22
2
22
1
Les rapports d’amplitudes aux modes propres :
Kkm
K
B
A
Kkm
K
B
A
p
p
pp
pp
2
22
2
2
11
1
2
1
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 255
Les solutions générales s’écrivent alors :
)tcos(B)tcos(B)t(x
)tcos(A)tcos(A)t(x
p22p112
p22p111
Partie c
Les nouvelles équations différentielles du mouvement :
0
)()(
0)(
)(
122
1211
22
11
KxKxxM
xtFKxxKkxm
x
L
x
L
dt
d
Fx
L
x
L
dt
d
i
ext
D’où
0
cos)(
122
02111
KxKxxM
tFKxxKkxxm
En régime permanent, En remplaçant la forme des solutions particulières dans
le système différentiel on obtient alors le système linéaire comme suit :
0ˆˆ
ˆ)(2
0
2
BKMAK
FKBAiKkm
p
p
Les modules d’amplitudes des solutions particulières s’écrivent alors comme
suit :
)()(
ˆ
)()(
ˆ
224
0
224
2
0
M
K
mi
m
k
M
K
M
K
m
KkM
K
m
F
B
M
K
mi
m
k
M
K
M
K
m
KkM
K
m
FA
La masse m est immobile lorsque la pulsation de la force extérieure est égale à :
M
Ka
2
D’où l’amplitude A est nulle dans ce cas. Dans ces conditions, un tel dispositif
est appelé un étouffeur dynamique de vibrations.
La figure illustre les phénomènes de résonance et antirésonance.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 256
Figure 5.42: Phénomène de résonnance et antirésonance
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 257
Mini projet -2
Partie A :
Deux particules m1 et m2 ponctuelles, de masses respectives m1 et m2, sont reliées par
un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, la figure 5.43. Les deux masses,
mobiles sans frottement sur une tige horizontale, sont écartées de leur position
d’équilibre puis relâchées sans vitesse ; elles sont repérées à chaque instant t par les
abscisses x1(t)=GM1 et x2(t)=GM2, où G désigne le centre de masse des particules m1
et m2.
Figure 5.43: Modélisation physique des oscillations d’une molécule diatomique
Etablir le Lagrangien du système.
On pose la variable suivante :
X(t)=x2(t)–x1(t)
Déterminer l’équation différentielle du second ordre dont X(t) est la solution du
système.
Exprimer, en fonction de m1, m2 et k, la période T avec laquelle les masses
oscillent l’une par rapport à l’autre.
On suppose que deux masses couplées égales m1=m2=m=0.1kg oscillent avec
une période de 1s.
Calculer la raideur k du ressort de couplage.
Le système étudié modélise les vibrations longitudinales d’une molécule
diatomique d’oxyde de carbone CO dont la fréquence propre f0 est
f0=6.51013Hz.
Calculer la constante de rappelle k de la liaison carbone–oxygène.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 258
Application numérique :
On donne : C = 12, O = 16 ; Nombre d’Avogadro N=6. 1023.
Partie B :
On veut étudier maintenant les vibrations longitudinales d’une molécule triatomique
linéaire A-B-A’ représentée dans la figure 5.44. Les atomes A, B, A’ ont pour masses
respectives m1, m2, m3 ; on désignera x1, x2, x3 les déplacements des atomes A, B, A’ à
partir de leurs position d’équilibre. On suppose que chaque atome est rappelé à sa
position d’équilibre par une force proportionnelle à l’écart, la constante de la force de
rappelle étant k pour la liaison A-B et k’ pour la liaison B-A’.
On admettra que la molécule, dans son ensemble n’est pas animée par un mouvement
de translation.
Figure 5.44: Modélisation physique des oscillations d’une molécule triatomique
Etablir le Lagrangien du système.
Ecrire les équations différentielles du mouvement en x1(t), x2(t) et x3(t).
Ecrire les équations différentielles du mouvement en X(t) et X’(t), en effectuant
le changement des variables suivantes :
X(t)=x2(t)–x1(t) et X’(t)= x2(t)–x3(t).
Montrer que X(t)et X’(t) peuvent varier sinusoïdalement avec le temps pour
deux valeurs 01 et 02 de la pulsation propre qu’on déterminera en fonction de
k, k’, m2 et des pulsations fondamentales p1 et p2’ de chacune des vibrations
de valence des liaisons A–B et B–A’ si elle était seule (en absence de
l’interaction de couplage).
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 259
Applications numériques :
Expérimentalement on détermine les fréquences propres de la molécule linéaire
d’acide cyanhydrique, soient 01 = 6,25.1014 rd/s et 02=3,951014rd/s.
Calculer les fréquences fondamentales des liaisons
H–C et CN sachant que (C-H CN).
En déduire la constante la force de rappelle de la liaison C–H de la molécule
étudiée et la comparer à celle de la liaison C–H des alcanes (k = 500 SI).
On considère maintenant que la molécule triatomique est symétrique, A-B-A, c'est-à-
dire, k=k’ et m1=m3.
Quelles sont les expressions des pulsations propres en fonction de k, m1 et m2. ?
Donner un exemple concret qui vérifie ce modèle.
Partie C
On considère maintenant une chaine linéaire à un atome par maille de côté a. La
position au repos du nième atome de masse m est nax comme le montre la figure
5.45.
Figure 5.45: Chaine d’atomes identiques
Une onde mécanique longitudinale se propageant sans amortissement le long de
l’axe Ox est caractérisée par :
)txq(jAe
On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type
2kx2
1comme le montre la figure 5.46 avec k est la constante de rappelle.
Figure 5.46: Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 260
Écrire l’équation du mouvement pour l’atome de rang n, en appelant
11 ,, nnn xxx les déplacements des atomes de rang n-1, n et n+1.
On cherchera la solution de forme :
)( txqj
nnAex
Déterminer la relation de dispersion )q( .
Tracer le graphe )q( .
En déduire la vitesse de la phase.
Donner l’expression de la vitesse du groupe.
Que peut-on dire sur la nature du milieu aux grandes longueurs
d’onde.
Solutions
Partie A :
Le Lagrangien du système s’écrit :
2
21
2
22
2
11 )(2
1
2
1
2
1xxkxmxmLEEL pc
Le système différentiel s’écrit :
0
0
0)(
0)(
1222
2111
22
11
kxkxxm
kxkxxm
x
L
x
L
dt
d
x
L
x
L
dt
d
En utilisant le changement des variables
X(t)=x2(t)–x1(t)
L’équation différentielle s’écrit alors :
0)11
(21
Xmm
kX
D’où :
00)( 2
0
21
21
XXXmm
mmkX
Avec
21
21
mm
mm
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 261
est appelée la masse réduite du système
Le système est régi par une équation différentielle ordinaire du
second d’ordre avec la pulsation propre ω0:
)(21
210
mm
mmk
La solution est de la forme
)cos()( 0 tAtX
D’où la période des oscillations T s’’écrit comme suit :
)(2
2
21
21
0 mmk
mmTT
Pour un système couplé symétrique mmm 21la masse réduite est
égale à :
221
21 m
mm
mm
Donc la période propre d’oscillation est égale à :
k
mT
22
Alors la raideur du ressort de couplage est égale à :
2
22
T
mk
Comme application numérique on a:
1.2 mNk
La fréquence propre associée à la molécule C-O est :
0
0
cf
Comme application numérique on a:
Hzf 13
0 510.6
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 262
Mini projet -3
Partie A
Nous étudions le cas, important en radioélectricité, de deux circuits )CLR( apind
identiques couplés par induction mutuelle comme le montre la figure 5.47:
Figure 5.47: Couplage mutuel en régime forcé
Dans l’un primaire, on introduit un générateur de tension sinusoïdale :
tcosu)t(u 0
Etablir les équations différentielles du mouvement
En déduire les modules des courants parcourus dans chaque circuit.
Nous voulons examiner les résultats dans un intervalle de pulsation étroit autour de la
valeur 0 de la pulsation propre aux circuits comme suit :
)1(0 .
En déduire l’impédance Z des circuits dans ce cas.
Etablir la tension V aux bornes de la capacité du deuxième circuit.
En introduisant le coefficient de couplage
indL
Mk
Et le facteur de qualité
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 263
R
LQ 0ind
Exprimer la fonction de transfert F définit comme suit : u
VF en fonction de
k, Q et. En déduire son amplitude.
Etudier les variations de F en fonction de. Commenter les résultats.
Partie B :
Soient deux circuits )CL( apind identiques de résistances négligeables, figure 14.5.
Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de
couplageindL
Mk .
On posera la constante suivante :
apind
20
CL
1 .
Figure 5.48: Couplage mutuel de deux circuits électriques L.C
Ecrire les deux équations différentielles vérifiées par les charges q1(t) et q2(t)
des condensateurs des circuits (1) et (2).
Déterminer les équations différentielles vérifiées par la somme S(t)=q1(t)+q2(t)
et la différence D(t)=q1(t)-q2(t)
En déduire les pulsations propres ’ et ’’ de ce système couplé, en fonction
des paramètres 0 et k.
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 264
On admet que le couplage est faible (indL
Mk 1). A l’instant t =0 où on ferme
l’interrupteur, le condensateur du circuit (1) porte la charge q10 et celui du circuit (2)
est déchargé.
Montrer que la charge du condensateur du circuit (1) évolue au cours du temps
suivant la loi:
tcostcosq)t(q 0101
Où le paramètre sera exprimé en fonction de 0 et k.
En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du circuit (2).
Quelle est la nature du phénomène étudié ? Commenter.
Partie C:
Le circuit primaire (1) (voir figure 5.49) est maintenant alimenté par un générateur
sinusoïdal de f.é.m. telle que :
tsinu)t(u 0 .
Figure 49.5 : Mouvement forcé pour un couplage mutuel
On étudie le circuit couplé en régime permanent.
Exprimer les charges q1(t) et q2(t) sous la forme
tcos)(A)t(q1 et tcos)(B)t(q2
Où on déterminera les amplitudes q1 () et q2 () en fonction de u0, Lind, 0 et k.
Déterminer la pulsation a d’anti résonance pour laquelle q1(a) = 0.
En déduire l’amplitude q2(a).
Tracer l’allure des graphes q1 () et q2 ().
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 265
Solution :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en q1 et q2
Les deux équations différentielles du système s’écrivent :
0dt
diM
dt
diL
C
q2Circuit
0dt
diM
dt
diL
C
q1Circuit
12ind
ap
2
21ind
ap
1
En introduisant le couplage :
indL
Mk
On obtient :
0qkqq2Circuit
0qkqq1Circuit
12202
21201
En posant les nouvelles variables généralisées:
)t(q)t(q)t(D
)t(q)t(q)t(S
21
21
On obtient les nouvelles équations du mouvement représentées comme suit :
0Dk1
D
0Sk1
S
20
20
Les pulsations propres ’ et ’’ sont définies comme suit :
k1et
k1
00
Les lois d’évolution des charges q2(t) et q2(t) :
2
kAvec
tsint2
ksinq)t(q
tcost2
kcosq)t(q
0
00
12
00
11
0
0
La nature du mouvement : Les battements
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 266
Figure 5.50: Phénomène : les battements
Partie B : Régime forcé :
Les charges q1(t) et q2(t) :
0dt
diM
dt
diL
C
q2Circuit
eudt
diM
dt
diL
C
q1Circuit
12ind
ap
2
tj
021
ind
ap
1
En introduisant le couplageindL
Mk , on obtient :
0qkqq2Circuit
eL
uqkqq1Circuit
12
2
02
tj021
2
01
Les solutions particulières :
tcos)(A)t(q1 et tcos)(B)t(q2
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :
0AkB)(2CircuitL
uBkA)(1Circuit
22
0
2
022
0
2
Alors après le calcul, on aura :
22222
0
2
ind
0
22222
0
22
0
ind
0
)k()(
k
L
u)(B
)k()(L
u)(A
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
PAGE 267
La pulsation a d’anti résonance :
2
0ind
0A0A
k
1
L
u)(B
REFERENCES
[1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 2-
7298-8751-2, 1987.
[2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,
Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.
[3] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la
technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.
[4] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition
MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.
[5] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition
CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.
[6] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition
PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES
ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.
[7] R. GABILLARD, « Vibrations et Phénomène de
propagation », Edition DUNOD, 1972.
[8] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes
vibratoires », Edition DUNOD, 1973.
[9] L. LANDAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition MIR
MOSCOU, 1966.
[10] H. GOLDSTEIN, C. POOLE, and J. SAFKO, « Classical
Mechanics», Edition World Student, 1980.
[11] F. CRAWFORD, Jr, « Waves », Berkley, 1968.
[12] Josef. TOROK, « Analytical Mechanics », Wiley
interscience pulblication, 2000.
L’ouvrage :
Ce document traite des bases fondamentales des phénomènes de vibration et
présente les outils mathématiques de compréhension permettant d’accéder à
certains concepts associés à ces phénomènes. Il est destiné aux étudiants de
la deuxième année des filières scientifiques des universités et des écoles
préparatoires d’Algérie. Les étudiants y trouveront une initiation au
formalisme de Lagrange, utilisé dans l’analyse des oscillations des systèmes
mécaniques linéaires à un et à plusieurs degrés de liberté. En plus, ils auront
l’occasion de se confronter à des exercices à difficulté variable, leur permettant
de mieux assimiler les concepts traités dans chaque chapitre. Aussi, le
document est enrichi par deux travaux pratiques en relation avec les sujets
traités.
Les auteurs :
Dr Boukli Hacène Fouad est enseignant de physique à l’école préparatoire des
sciences et technologies de Tlemcen. Il est actuellement directeur adjoint
de la pédagogie à l’école et chargé de cours du module « Ondes et vibrations ».
Ses recherches portent sur les énergies renouvelables et compte à son actif
06 publications internationales et d’autres communications nationales et
internationales dans son domaine.
Dr Mebrouki Mohamed est enseignant de physique à l’école préparatoire
des sciences et technologies de Tlemcen. Auparavant, il a assuré le cours
« Ondes et vibrations ». Il est actuellement chargé de cours du module
« Electricité» à l’école. Ses recherches portent sur l’étude numérique des propriétés
physiques des matériaux. Il compte à son actif 04 publications internationales.