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Heat transfer 1st week lecture

Chapter 1: Three Modes of Heat Transfers

전도 서론

▶ 전도의 정의

∙ 전체 질량의 이동 없이 직접적으로 접촉한 부분을 통해 열이 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로

전달되는 현상

∙ 이때의 에너지 전달은 온도 구배와 수직인 면에 비례함 – 푸리에의 열전도 법칙

Figure 1. Concept of conduction (Encyclopedia, 2011)

∙ 푸리에의 열전도 법칙 = 열전도계수를 정의하는 식

단위면적당 열전달률은 열이 전달되는 방향(면적에 수직한 방향)의 온도 구배에 비례

𝑞

𝐴∝

𝜕𝑇

𝜕𝑥 ⟹

𝑞

𝐴= 𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑥

𝑞 = 열전달률

𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ =열이 전달되는 방향으로의 온도 구배

𝑘 = 물질의 열전도 계수 (물질마다 다르며, 직접적인 실험을 통해서 측정)

− 사인 = 열이 고온에서 저온으로 흐름

The above equation has a unit of watt (per area).

Consequently, the unit of 𝒌 (thermal conductivity) is W/m ·°C or W/m ·K


▶ 열전도 방정식

1) 1 차원 열전도 방정식

∙ 정상상태라면, 즉 온도가 시간에 따라 변하지 않는다고 하면, 위의 푸리에 열전도 법칙을 간단히

적분하고 적절한 값을 대입하여 요구하는 양에 관해서 풀면 된다.

∙ 하지만, 고체 내에서의 온도가 시간에 따라 변한다거나 또는 고체 안에 열원이나 히트 싱크가

있다면 문제가 복잡해진다(일반적인 열전달의 경우가 이에 해당함).

Figure 2. Modeling equation for 1-dimensional heat conduction

이런 경우 두께가 𝑑𝑥인 요소에 대해 에너지 평형관계를 이용하여 식을 세울 수 있다

왼쪽 면으로 전도되어 들어오는 에너지 + 요소 안에서 발생한 열

= 내부에너지 변화 + 오른쪽에서 전도되어 나가는 에너지

왼쪽에서 전도되어 들어오는 에너지: 𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝜕𝑇

𝜕𝑥

요소 안에서 발생한 열: �̇�𝐴𝑑𝑥

내부에너지의 변화: 𝜌𝑐𝐴𝜕𝑇

𝜕𝑡𝑑𝑥

오른쪽으로 전도되어 나가는 에너지: 𝑞𝑥+𝑑𝑥 = − 𝑘𝐴𝜕𝑇

𝜕𝑥]

𝑥+𝑑𝑥= −𝐴 [𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑥(𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑥) 𝑑𝑥]

�̇� = 단위체적당 발생된 에너지 W/m3

𝑐 = 물질의 비열 J/kg ∙ ℃


위 식을 종합하면 다음과 같다.

−𝑘𝐴𝜕𝑇

𝜕𝑥+ �̇�𝐴𝑑𝑥 = 𝜌𝑐𝐴

𝜕𝑇

𝜕𝑡𝑑𝑥 − 𝐴 [𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑥(𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑥) 𝑑𝑥]

정리하면 다음과 같은 식을 얻게 되고, 이를 1 차원에서의 열전도 방정식이라 한다

𝜕

𝜕𝑥(𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑥) + �̇� = 𝜌𝑐

𝜕𝑇

𝜕𝑡

2) 3 차원 열전도 방정식

같은 원리로 식을 세울 수 있으나, 세 좌표축방향(x, y, z)의 열전도를 모두 고려하여야 한다.

(𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧)𝑑𝑡 + 𝑞(𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧)𝑑𝑡 = (𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑞𝑦+𝑑𝑦 + 𝑞𝑧+𝑑𝑧)𝑑𝑡 + 𝑐𝜌𝑑𝑇(𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧)

Figure 3. Modeling for 3-dimensional heat conduction

각항의 식을 고려하여 식들의 정리하면 다음과 같은 3 차원에서의 열전도에 관한 일반식을 얻을

수 있다.

𝜕

𝜕𝑥(𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑥) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑦) +

𝜕

𝜕𝑧(𝑘

𝜕𝑇

𝜕𝑧) + �̇� = 𝜌𝑐

𝜕𝑇

𝜕𝑡


열전도계수가 상수라면 다음과 같이 쓸 수 있다.

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑧2+

�̇�

𝑘=

1

𝛼

𝜕𝑇

𝜕𝑡

여기에서 𝛼 = 𝑘/𝜌𝑐를 물질의 열확산계수 (thermal diffusivity)라 한다.

3) 열확산계수 (𝜶 = 𝒌/𝝆𝒄)

∙ 열확산계수의 값이 클수록 열이 빨리 물질에서 확산

∙ 알파값이 크다

1) 열전도 계수 크다 – 열확산이 빠르다

2) 열용량이 작다 – 물질내에서 흡수되어 온도를 높이는데 소모되는 에너지가 작고 , 대부분의

열이 통과

4) 원통좌표계와 구좌표계

∙ 원통좌표계

𝜕2𝑇

𝜕𝑟+

1

𝑟

𝜕𝑇

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2𝑇

𝜕𝜙2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑧2+

�̇�

𝑘=

1

𝛼

𝜕𝑇

𝜕𝑡

∙ 구좌표계

1

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟(𝑟𝑇) +

1

𝑟2 sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃(sin 𝜃

𝜕𝑇

𝜕𝜃) +

1

𝑟2 sin2 𝜃

𝜕2𝑇

𝜕𝜙2+

�̇�

𝑘=

1

𝛼

𝜕𝑇

𝜕𝑡

Figure 4. Cylindrical (left) and spherical (right) coordinates


▶ 특수 열전도 방정식

∙ 실제 문제를 풀 때는 대부분의 경우 일반식 보다 특수한 경우 혹은 가정을 통하여, 식을 간단한 형태로

단순화 할 수 있다.

1) 정상상태

𝜕𝑇

𝜕𝑡= 0

∙ 정상상태의 경우 시간에 따른 온도가 변화하지 않으므로 앞선 열전도 방정식의 우변이 0 이 됨

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2+

�̇�

𝐾= 0

2) 정상상태 + 내부열원 = 0

�̇� = 0

∙ 내부열원이 없는 경우 요소 안에서 발생한 열이 0 이 됨

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2= 0

∙ 3 차원의 경우 정상상태에서 열원이 없을 때 Laplace 방정식의 형태가 되며, 열원이 있을 때 포아손

방정식이 된다.

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑧2= 0 (Laplace equation)

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑧2+

�̇�

𝑘= 0 (Poisson equation)

▶ 열전도계수

1) 열전도계수의 정의

∙ 열전도 계수는 푸리에의 전도 법칙, 즉, 단위면적당 열전달률은 면적에 수직한 방향의 온도 구배에

비례한다는 식을 이용하여 실험적으로 측정하여 구할 수 있다.

∙ 가한 열과 온도 변화 시스템의 면적을 실험적으로 측정하면 열전도 계수를 구할 수 있다.

∙ 물리적 의미로는 얼마나 빨리 열이 물체로 전달되는 가를 나타내는 계수이다 .


2) 단위

W/m ·°C

Btu/h · ft · °F

∙ 1 Btu = 1055.05585 J = Amount of energy needed to heat 1 pound (0.454 kg) of water

∙ Watt = J/s = N · m/s = kg · (m/s2) · (m/s)

3) 특징

∙ 일반적으로 전기 전도성이 좋은 물질이 열전도 계수가 높다 (구리, 은, 알루미늄 합금)

∙ 일반적인 압력하에서 전기 전도성은 온도의 함수이다.

Figure 5. Electrical conductivity (Holman 10

th edition, 2011)

∙ 금속의 경우 거의 변화가 없지만, 온도에 따라 살짝 감소하는 경향이 있다.

∙ 백금의 경우 온도에 따른 변화가 거의 없음 – 나노 센서에 많이 쓰인다(나노 센서 제작이 비싼 이유).

∙ 기체의 경우 대부분 온도의 증가에 따라 열전도 계수가 커진다.


Figure 6. Thermal conductivity of some gases (left) and solids (right) (Holman 10

th edition, 2011)

■ 대류 서론

∙ 높은 온도를 전달 받은 유체내의 분자들의 이동에 의해 열이 전달되는 형태의 열전달

∙ 대류 열전달은 뉴턴의 냉각법칙을 이용하여 효과적으로 나타낼 수 있다.

▶ 뉴턴의 냉각법칙

∙ 물체의 열 손실률은 주변과 물체 사이의 온도 차에 비례한다

𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑤 − 𝑇∞)

𝐴 = 표면적

ℎ = Heat transfer coefficient (W/m2°C) or film conductance

𝑇𝑤 = 유체의 온도

𝑇∞ = 주변(평판)의 온도

∙ 이식을 이용하여 물체의 외부 표면에 유체가 흐를 때 대류에 의한 열 손실을 계산할 수 있다.

∙ 대류 열전달은 온도차에 의해 발생함을 식을 통해 알 수 있으며, 또한 면적이 식에 포함되어 있다

(면적의 경우 유체와 닿는 부분의 면적).


♠ (예시) 만약 평판 위에 뜨거운 바람이 수평으로 분다면, 뜨거운 바람과 맞닿는 평판의 면적이 대류

열전달 면적임

∙ ℎ를 대류열전달계수, 열전달계수, 혹은 막컨덕턴스라고 함 – 열전도계수와 마찬가지로 물체에 따라

다르다(단위는 𝑊/𝑚2℃)

▶ 강제대류와 자연대류

1) 자연대류: 외부의 기구(펌프 혹은 팬) 없이 온도 차에 의해 발생하는 밀도 차로 인하여 발생하는 대류

♠ (예시) 맨틀의 대류: 아래쪽의 맨틀이 위쪽 보다 더 뜨겁고 더 밀도가 낮다. 대류가 발생하여 맨틀이

움직인다.

2) 강제대류: 외부 기구에 의해 발생하는 대류

♠ (예시) 난방 시스템, 에어컨

▶ 유동체널에서의 대류에너지 평형

∙ 관 내부로부터 흐르는 유체로부터 대류로 인한 열취득 혹은 열손실 문제가 중요하다.

♠ (예시)증기동력발전소: 관을 지나는 고온고압의 수증기를 팽창시켜 발전기 터빈을 돌림 – 열을 뺏겨

응축된 후에 순환됨, 즉, 대류에 의한 열 손실 발생.

∙ 그림에서처럼 벽을 가열하여 유체를 통과시킬 때: 가열벽이 유체로 열을 방출 → 유체의 온도가 상승

→ 입구와 출구의 온도차이 발생

q = hA(Twav— Tfav)

q

q = hA(Twav— Tfav)

q


∙ 기체의 온도 변화에 따른 에너지 변화 = 대류에 의한 열에너지

𝑞 = �̇�𝐶𝑃(𝑇𝑒 − 𝑇𝑖) = ℎ𝐴(𝑇𝑤𝑎𝑣 − 𝑇𝑓𝑎𝑣)

�̇�은 질량유동률, 즉, 질량이 움직이는 속도

C𝑝는 정압 비열: 압력을 일정하게 유지하면서 가열했을 때 물질이 나타내는 비열.

C𝑣는 정적 비열: 체적을 일정하게 유지하면서 가열했을 때의 물질이 나타내는 비열

∙ 이 식은 유체가 흐르는 관에 의해 대류 취득이나 대류 손실을 계산할 수 있다.

∙ 체적 혹은 에너지 평균온도: 유체의 모든 부분의 온도가 일정치 않기 때문에 평균온도를 쓴다.

∙ 면적 A 는 유체와 접하고 있는 유동채널의 표면적이므로, 원통 안에서 유체와 접하는 부분의 면적은

𝜋𝑑𝐿 로 계산할 수 있다 (접촉하고 있는 부분이 옆면이므로, 원통의 앞면이 아닌 옆면의 면적임을 유의).

♠ (참고) 정압비열과 정적비열

압력을 일정하게 유지하여 가열하면, 물질은 온도가 올라감과 동시에 팽창한다. 이 때 물질은 외부에

대하여 일을 하므로 저장한 열의 에너지의 일부는 이 일에 쓰이고 나머지가 내부 에너지의 증가가 된다.

그런데, 체적을 일정하게 유지하며 가열하는 경우에는 가한 열은 모두 물질의 내부에너지의 증가가 된다.

즉, 압력이 일정할 때의 내부에너지의 증가는 체적을 일정하게 유지하며 가열했을 때보다 작고, 따라서

온도의 상승도 작다. 이 때문에 정압비열은 정적비열보다 크며, 이는 체적이 변화하기 쉬운 기체인 경우에

현저하다.

■ 복사 서론

∙ 에너지 입자나 파동이 공간이나 매질을 통해 이동하는 현상을 복사라 한다.

∙ 에너지가 물체의 표면으로부터 계속적으로 방출되는 현상 – 방출되는 에너지를 복사에너지라 한다

(태양복사에너지)

∙ 전도와 대류와의 차이점 – 매질이 요구되지 않는다 (진공상태에서도 가능)

▶ 열복사: 복사가 온도차에 의해서 일어나는 경우 (열전달에서 다루는 형태)

▶ 이상적인 복사체 (흑체): 자신에게 입사되는 모든 전자기파를 100% 흡수하는, 반사율이 0 인 가상의 물체


1) 슈테판-볼츠만의 열복사 법칙

∙ 볼츠만이 슈테판의 온도와 열복사의 관계를 실험한 데이터로 “이상적인 복사체 또는 흑체는 절대

온도의 4 제곱에 비례하고 또한 표면적에 비례한다“로 설명하였으며, 이를 슈테판-볼츠만의 열복사

법칙이라 한다.

∙ 이 식은 이상적인 복사체의 경우만 성립하며, 실제 복사현상은 매우 복잡하다.

𝑞𝑒𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑑 = 𝜎𝐴𝑇4

식에서의 비례 상수(𝜎)를 슈테판-볼츠만 상수라 한다 : 5.669 X 10-8 W/m2 • K4

2) 실제 복사

∙ 두 표면사이의 열복사전달은 온도의 4 제곱에 비례

𝑞 = 𝐹𝜀𝐹𝐺𝜎𝐴(𝑇14 − 𝑇2

4)

𝐹𝜀 = 방사율 함수

𝐹𝐺 = 기하학적 투영 인자

3) 밀폐공간 내에서의 복사

∙ 표면온도가 T1 인 조그마한 물체가 T2 인 대단히 큰 표면으로 완전히 둘러싸여 있을 때 앞선 두 함수

대신 방사율(𝜖1)을 사용

𝑞 = 𝜖1𝜎𝐴1(𝑇14 − 𝑇2

4)

𝜖 =방사율

∙ 실제 복사전달은 매우 복잡하고, 여기서는 전도와 대류와 물리적으로 다르다는 것을 보여주는 정도로

이해하면 된다.

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