บทที่ 11 วิธีการทางพลังงาน(Energy Methods)

11.1 เกริ่นนํา11.2 พลังงานความเครียด (Strain Energy)11.3 ทฤษฎีของคาสติเกลียโน (Castigliano’s Theorem

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1

11.1 เกริ่นนํา (Introduction)• การวเิคราะหโครงสรางที่อยูในตําแหนงสมดุล นอกเหนือจากจะใชกฎของนิวตัน (สมการสมดุล) แลว ยังสามารถใชวิธีการทางพลังงานมาวิเคราะหไดดวยเชนกัน• วิธกีารพลังงาน จะใชสมการพลังงาน ซึ่งระบุวา งานที่ทําไดโดยแรงภายนอก มีคาเทากับพลังงานความเครียดที่สะสมในวัตถเุนื่องจากผลของแรงภายนอกเหลานั้น• วิธกีารทางพลังงานนี้ เหมาะสมที่จะใชในการหาระยะการเสยีรูปของชิ้นสวนตางๆในโครงสรางปกต ิหรือใชหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับสําหรับปญหาแบบวิเคราะหไมไดดวยวธิีทางสถติยศาสตร

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2

11.2 พลังงานความเครียด (Strain Energy)• พลังงานความเครียด เปนคาพลังงานที่สะสมในวัตถุอนัเนื่องมาจากการเสียรูปที่เกิดจากแรงภายนอกชนิดตางๆที่กระทําตอวัตถุนั้น โดยถือวาพลังงานความเครียดมีคาเทากับงานที่แรงเหลานั้นทําได (ไมมีการสูญเสียพลังงานใดๆทั้งสิ้น)

ก. พลังงานความเครยีดของแรงในแนวแกนเมือ่แรงในแนวแกนเพิม่ขึ้นชาๆจากศูนยจนถึงคา P ใดๆ ทําใหวัตถุนั้นมีระยะการเสียรูปเปน

จะไดวา (11.1)

ถาหาก วัตถุนั้นมีการแปรเปลี่ยนของชนิดวัสดุ ขนาดพื้นที่หนาตัด หรือแรงกระทําในชวงความยาวทั้งหมดทีพ่จิารณา สมการ (11.1) จะเขยีนในรูปของ

หรือ (11.1ก)

AELPPU P

2

21

2==

δAEPL

=δ

∫=L

P AEdxPU

0

2

21 ∑= AE

LPU P

2

21

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3

ข. พลังงานความเครยีดของแรงบิดเมือ่แรงบิดเพิม่ขึ้นชาๆจากศูนยจนถึงคา T ใดๆ ทําใหวัตถุนั้นมีการเสียรูปเชิงมมุเปน

จะไดวา (11.2)

ถาหาก วัตถุนั้นมีการแปรเปลี่ยนของชนิดวัสดุ ขนาดพื้นที่หนาตัด หรือแรงบิดที่กระทําในชวงความยาวทั้งหมดทีพ่จิารณา สมการ (11.2) จะเขยีนในรูปของ

หรือ (11.2ก)

JGLTTUT

2

21

2==

θJGTL

=θ

∫=L

T JGdxTU

0

2

21 ∑= JG

LTUT

2

21

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4

ค. พลังงานความเครยีดของโมเมนตดัดกรณีของคานที่มีสภาพความเคนดัดดังรูป

โดยการประยกุตใชสมการ (11.1) จะได

ทําการอินติเกร็ทตลอดหนาตัดของคาน เพื่อหาพลังงานความเครียดรวมในหนาตัด

และอินติเกร็ทตลอดความยาว เพื่อหาพลังงานความเครยีดทั้งหมด

(11.3)

dAyEI

dxMEdA

dxdAI

MyEdA

dxPdU 2

2

222

2)(2)(21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dAI

MydAP f ==σ

∫= EIdxMUM 2

2

EIdxMdAy

EIdxMdU

22

22

2

2

== ∫

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5

11.3 ทฤษฎขีองคาสติเกลียโน (Castigliano’s Theorem)• แทนที่จะใชสมการของพลังงานโดยตรง (งานจากแรงภายนอก = พลังงานความเครียดภายใน) ทฤษฎีของคาสติเกลียโนจะใชหลักการที่คลายกันกับหลักการของงานเสมือน (Virtual work) ในการหาระยะการเสียรูป• พลังงานความเครียดรวมทั้งระบบ หาไดจาก

ทฤษฎีของคาสติเกลียโน กลาวไววา “ระยะการเสียรูปที่เกิดจากแรงภายนอกใดๆ มีคาเทากับอนุพันธแบบแยกสวนของพลังงานความเครียดเมื่อเทียบกับแรงนั้นๆ”หรือ

(11.4)

MTP UUUUU ++==∑

i

i

i

i

i

i MU

TU

PU

∂∂

=∂∂

=∂∂

= θθδ ;;

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6

• โดยถาเปนอนุพันธเทียบกับแรง การเสียรูปคือ • ระยะยืด-หด สําหรับแรงในแนวแกน • ระยะแอนตัว สําหรับคาน

• ถาเปนอนุพนัธเทียบกับแรงบิด การเสียรูป คอื มมุบดิของหนาตัด• ถาเปนอนุพนัธเทียบกับโมเมนตดดั การเสียรูป คือ ความชันของเสนโคงการแอนตัว

• สําหรับระบบที่มีแรงหลายชนิดกระทํารวมกัน

จะไดวา (11.5)

• ในกรณีที่ไมมีแรงภายนอกกระทํา ณ จดุที่ตองการทราบระยะการเสียรูป จะทําการสมมุตแิรงเทียม (Dummy load) ขึน้ เพื่อใชในการตั้งสมการ กอนทีจ่ะแทนคาดวยศูนยภายหลังจากไดสมการอนุพันธแลว

∫∫∫ ++=EIdxM

JGdxT

AEdxPU

222

222

∫∫∫∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=EI

dxPMM

JG

dxPTT

AE

dxPPP

PU iii

i

iδ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7

ตัวอยางที่ 11.1ใหหาระยะการแอนตัวที่ปลายอิสระ (A) ของคานแบบปลายฝงแนนดานเดียวที่มีแรงกระทําดังรูปกําหนดให L = 2 m; w = 4 kN/m; P = 6 kN; EI = 5 MN.m2

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8

ตัวอยางที่ 11.2ใหหาระยะการแอนตัวและความชันที่ปลายอิสระ (A) ของคานแบบปลายฝงแนนดานเดียวที่มีแรงกระทําดงัรูป

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9

ตัวอยางที่ 11.3ใหหาระยะการเคลื่อนที่ของจุด B ของโครงสรางดังรูปโดยกาน BC และ BD ทําจากวัสดุชนิดเดียวกันและมีขนาดพื้นทีห่นาตัดเทากัน

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10

ตัวอยางที่ 11.4ใหหาระยะการแอนตัวของคานโคงซึ่งอยูในแนวระดับและมีแรงกระทําดังรูป

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11