פלמור)ה"תשע( משתני סטיה . 3פרק - 034040 1

משתני סטייה. 3

)מצב מתמיד(קביעת נקודת עבודה �

)סגור/חוג פתוח(הגדרת משתני סטייה �

מידול באמצעות משתני סטייה �

לינאריזציה ומשתני סטייה �

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 2

)1(

חוג פתוח

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

++++====�

0i

)i(

i

m

0i

)i(

i

n

0i

)i(

i)t(dc)t(ub)t(ya

קבוע קבועות במשך זמן רב אזי גם היציאה מגיעה לערך יציב והכניסות תהליךבאם ה

:נסמן הערכים הקבועים

).שיווי משקל/ מצב מתמיד(נקודת עבודה נקראת השלישייה

במצב מתמיד

)2(

תצטמצם למשואה האלגברית ) 1(לכן

(3)

).3(ואם נתון צמד הכניסות אזי ניתן למצוא את מ

u,y,d

)d,y,u(

(((( ))))(((( )))) 1i 0.dt

(.)d i

i

i

≥≥≥≥====≡≡≡≡

dcubya000

++++====

)d,u(y

(u,d)y

t(u(תהליך )t(y

)t(d

(LTI)

פלמור)ה"תשע( 3

המשתנים נקראים אז . ע"כאשר המשתנים מיוחסים יחסית לערכיהם בנ LTIכ נוח לטפל במערכות "בד

. (deviation variables)משתני סטייה

:ברור כי או כללית היות ו

d)t(d)t(d ;u)t(u)t(u ;y)t(y)t(y )4( −−−−≡≡≡≡−−−−≡≡≡≡−−−−≡≡≡≡

y)t(y)t(y ++++====)t(y)t(y �� ====

1i )t(d )t(d );t(u )t(u );t(y )t(y )5( )i()i()i()i()i()i( ≥≥≥≥============

):1(ב ) 5(ו ) 4(בהצבת

)6( (n) (m) ( )

n 0 m 0 0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆa y ...a (y y) b u ...b (u u) c d ...c (d d)+ + = + + + + ++ + = + + + + ++ + = + + + + ++ + = + + + + +�

�

)3(אבל עקב

)7(

:פרט לתנאי התחלה) 1(ל זהה) 7(

)8(

! וזו עם המשתנים המקוריים זהות סטיהזו שבמונחי משתני הדפרנציליותלמעשה הוכחנו שהמשואות �

n m(i) (i ) (i )

i i i

i 0 i 0 i 0

ˆˆ ˆa y (t) b u (t) c d (t)= = == = == = == = =

= += += += +∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑�

ˆˆ ˆy(0) u(0) d(0) 0= = == = == = == = =

סטיהמשתני .3פרק - 034040

פלמור)ה"תשע( משתני סטיה . 3פרק - 034040 4

חוג סגור

y(r,d) באם החוג הסגור יציב והכניסות החיצוניות קבועות במשך זמן רב אזי גם היציאה מגיעה לערך קבוע

+

D(s)

P(s)u

d

yC(s)

er−−−−

:מביאה ל) 8(ה "עם ת) 7(התמרת לפלס של

)9(

+

D(s)

P(s)u

d

y

mi i

i i

0 0

n ni i

i i

0 0

P(s) D(s)

b s c sˆˆ ˆy(s) u(s) d(s)

a s a s

= += += += +∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

�

��� ���

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 5

מכאן . נוח להגדיר ולכן

)10(

סטיהאזי יש להגדיר את שאר מרכיבי החוג באמצעות משתני סטיהי משתני "כאשר התהליך מיוצג ע

.המוגדרים סביב נקודת העבודה

.סטיהי הגדרת משתני "ליניארית ע-במקרים מסוימים מאד ניתן לקבל מערכת ליניארית ממערכת לא �

אבל במצב שיווי משקל. ליניארי-זהו בקר לא. : נתון בקר באמצעות דוגמה

ועם מתקבל

)11(

.וזהו בקר ליניארי

!ליניארי אזי החוג אינו ליניארי-אם אחד ממרכיבי החוג לא �

r y====e 0====

ˆ ˆ ˆe r y (r r ) (y y) r y e= − = − − − = − == − = − − − = − == − = − − − = − == − = − − − = − =

u(t) Ke(t) M= += += += +

u(t) Ke(t) M= += += += +e 0====ˆu(t) u(t) u Ke(t)= − == − == − == − =

+

D(s)

P(s)u

d

yC(s)

er−−−−

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 6

בקרת טמפרטורה -) משתני סטייה(דוגמה

T - טמפרטורת החדר )C 0 (Kq - מקדם פרופורציה / % )kw (

Tr - טמפרטורת חדר רצויהKh - מקדם מעבר חם(kw / 0C)

Ta – טמפרטורת הסביבהq - ספיקת חם )kw (

C - קיבול חם(kw.min/ 0C)

u - פתיחה ( % בקרה(

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 7

)3) (2( )1( uKq q= )( ah TTKqTC −−=� )( ahq TTKuKTC −−=�

)4( ): ( במצב מתמיד 0=T�ahq TKuKT += /

)3'(: באמצעות משתני סטייה ) 3(

)ˆˆ(ˆˆahq TTKuKTC −−=

�

)()(ˆ teKtu c=

)5(): 3'(התמרת לפלס של

ˆ ˆˆ( ) ( ) ( )Pa

K 1T s u s T ss 1 s 1

= += += += +τ + τ +τ + τ +τ + τ +τ + τ +

hK

K

P KCKh

q /; == ττττ

:משתני סטייה r r r a a a

ˆ ˆ ˆ ˆT(t) T(t)-T; T (t) T (t)-T ; T (t) T (t)-T ; u(t) u(t)-u; = = = == = = == = = == = = =

rˆ ˆe(t) T (t)-T(t) e(t)= == == == =

:ונניח בקר פרופורציונלי

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 8

:דוגמה מספרית

:נקבל) 4(מ

20T10T30C50K2K raqh ===== ,,,.,

%40u =

: 80ל 100ו משתנה שינוי מדרגה מ 230ל 200מ, שינוי מדרגה, אם ברגע מסוים משתנה

ל עם"פותרים החוג הסגור הנ

rTaT

)()(ˆ

)()(ˆ

t12108tT

t132023tT

a

r

⋅−=−=

⋅=−=

+

1

_

erT ˆ T

cK p

K

s 1τ +τ +τ +τ +

u

h qK K

aT

++++

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 9

ומשתני סטייה לינאריזציה

כאשר המערכת אינה ליניארית ניתן בתנאים מסוימים לקרבה למערכת

בסביבת נקודת העבודה ליניארית

המערכת הליניארית מתוארת באמצעות משתני סטייה ליניאריזציהאחרי

במרחב המצב בליניאריזציהנוח לטפל

פלמור)ה"תשע( משתני סטיה . 3פרק - 034040 10

במרחב המצב ליניאריזציה

וגם וקטור המצב מגיעים במשך זמן רב אזי גם היציאה קבוע ווקטור הכניסהבאם התהליך יציב

נקודת עבודה–לערכים קבועים

. :נסמן הערכים הקבועים

נקודת העבודה נקבעת מפתרון

לינאריזציה�

: סטיהניתנות לפיתוח לטור טיילור סביב נקודת העבודה ומגדירים משתני g ו fבאם

(u,x,y)

נקודת עבודה�

נתון התהליך הלא ליניארי

n m r

x(t ) f (x(t),u(t))

y(t) g(x(t),u(t)) x ,u ,y

�

� � �

=

= ∈ ∈ ∈

x f (x,u) 0

y g(x,u)

� = =

=

ˆ ˆ ˆ u(t ) u(t ) u; x(t ) x(t ) x; y(t ) y(t ) y ≡ − ≡ − ≡ −

פלמור)ה"תשע( משתני סטיה . 3פרק - 034040 11

במרחב המצב ליניאריזציה

-מספיק של תקורב המערכת הלא" קטנים"אזי בקרבת נקודת העבודה ועבור ערכים

: י המערכת הליניארית"ליניארית ע

. :כאשר

1 1 1 1

1 n 1 m

n n n n

1 n 1 m

1 1

1 n

r r

1

( x,u ) ( x,u )

( x,u ) ( x,u )

( x,u )

f f f f

x x u u

f f f f

x x u u

g g

x x

g g

x

f fA B

x u

gC

x

… …

� � � �

…

� �

� �

�

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

∂ ∂ = = ∂ ∂

∂=

∂

1 1

1 m

r r

n 1 m

( x,u )

( x,u ) ( x,u )

g g

u u

g g

x u u

g D

u

…

� �

�

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ = ∂

u(t )

n m r

ˆ ˆ ˆx(t) Ax(t) Bu(t)

ˆ ˆ ˆy(t) Cx(t) Du(t) x ,u ,y

�

� � �

= +

= + ∈ ∈ ∈

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 12

בקרת גובה נוזל במיכל –דוגמה

;[ mA]1[ :נתונים מספריים hr

m1[ ];

%[05.0K 2hr

m

q

253

========αααα====

.גובה המים יהיה עבור : דרוש 3m

hrdq 1====h 4m====u ?====

5.0o hq αααα====

uKq qi ====

)h(fqd ≠≠≠≠

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 13

:התהליך

לכן : במצב מתמיד

:הבקר

4h ;1qd ========

60)t(Ke)t(u ++++====

5.0dq hquKhA αααα−−−−−−−−====�5.0

d )t(h)t(q)t(u05.0)t(h −−−−−−−−====�

h :ליניארית-המערכת הלא r(t) u(t)

5.0d )t(h)t(q)t(u05.0)t(h −−−−−−−−====�

h(t)e(t)60)t(Ke)t(u ++++====

)t(qd

-

q:ליניאריזצית התהליך סביב מצב שיווי משקל 0.5

d d

K 1h u q h f (u,q ,h)

A A A

αααα= − − == − − == − − == − − =����

0.5

e e

q

u d

e d e

f 0.5A h 0.25

h A

Kf f 1B 0.05; B 1

u A q A

−−−−∂ α∂ α∂ α∂ α= = − = −= = − = −= = − = −= = − = −∂∂∂∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂= = = = = − = −= = = = = − = −= = = = = − = −= = = = = − = −∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

����

� �� �� �� �

0.05u 1 1 2 0 u 60%− − ⋅ = =− − ⋅ = =− − ⋅ = =− − ⋅ = =

d d

e e d e

u d d

f f fˆ ˆ ˆˆh f (h,u,q ) h= h u qh u q

ˆ ˆ ˆˆ h=Ah B u B q

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= ⇒ + += ⇒ + += ⇒ + += ⇒ + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⇒ + +⇒ + +⇒ + +⇒ + +

��������

���� � �� �� �� �����

פלמור)ה"תשע( סטיהמשתני .3פרק - 034040 14

d d

0.2 4ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆh 0.25h 0.05u q h(s) u(s) q (s)4s 1 4s 1

=− + − = −=− + − = −=− + − = −=− + − = −+ ++ ++ ++ +

����

e(t)

-

-K

rh u h

dq

05.01s4

4

++++

1)t(q)t(q 60;-u(t)(t)u ;4)t(h)t(hdd

−−−−========−−−−====

u(t):הבקר ליניאריזצית u(t)-60=Ke(t)====