Chapter 3 Carrier Transport Phenomena載子傳輸現象 ------

Chapter 3 Carrier Transport Phenomena載子傳輸現象 ------

電場及濃度梯度影響下之帶電載子的運動

傳輸過程包括：

載子飄移 (carrier drift)載子擴散 (carrier diffusion)產生與復合過程 generation and recombinatio

n process)熱離子發射過程 (thermionic emission proces

s)穿隧過程 (tunneling process)衝擊游離 (impact ionization)

最主要

3.1 載子飄移（ drift ）

電場 ε=0:

平衡狀態下，自由電子 ( 假設在 n 型半導體中）的移動受熱能的影響

kTvm thn 2

3

2

1 2

平均熱速率

移動快速，但各方向都有，平均速度為零。

( 室溫下約 107cm/s)

電場作用下之電子運動

ε≠0 時，電子整體朝電場反方向運動，此電場所貢獻的速度分量就稱為飄移速度。

飄移速率為何？

nnc vmq )/( ncn mqv

平均動量變化

和電場成正比

c 為平均自由時間（ mean free time ），約為 10-12s ，為平均自由徑（約 10-5cm) 除以 vth 。

電場作用下之電子運動 ( 續）

定義 為電子的遷移率 n(mobility)

同理，對電洞而言：

nc mq /

nnv 可得電子飄移速度

ppv 可得電洞飄移速度

pc mq / 為電洞的遷移率 p

Mobility 的討論：與 c 有關

c 受電子碰撞影響，其機制有二：晶格散射：溫度越高，晶格熱震動越劇烈， L越小。

雜質散射：雜質濃度越高， I越小 溫度越高，電子速度越快，越不受離子場

的影響。

2

3

TL

TI NT /2

3

合併二種散射機制：

考慮在 dt 時間內，發生散射的機率為 dt/c:

cIcLc 111

IL 111

cIcLc

dtdtdt

與遷移率定義比較可得：

散射機制越多，遷移率會越小。

對輕摻雜（ 1014cm-3 ）半導體而言，晶格散射效應較顯著，所以溫度越高，遷移率越小。

對重摻雜半導體而言，在低溫時雜質散射效應較顯著，所以溫度越高，遷移率越大。在高溫區，則為晶格散射效應較顯著，所以溫度越高，遷移率越小。

室溫下的遷移率與摻雜濃度關係圖

摻雜濃度越高，遷移率越低。

n > p

因為電子有較小的有效質量

3.1.2 Resistivity 電場對能帶圖的影響

dx

dEq c

dx

dE

qdx

dE

qic 11

考慮一均勻半導體，加一固定偏壓，能帶圖會改變。電子所受的力為：

（負的電子位能梯度）

即電場正比於能帶圖的梯度（斜率）

又已知：dx

d 比較可得

q

Ei（電位）

由能帶圖的斜率可知電場

若電場為定值，可得一傾斜之能帶圖（斜率固定）。

電子的電位圖為將 Ec 或 EFi 或 Ev 圖對 y軸對稱（即上下

相反）由此能帶圖可看出，電子碰撞損失動能給晶格，然後掉到能量較低的位置。如右圖，如此之能量變化會使電子朝右移動，這些移動之電子所產生的電流就稱為飄移電流（ drift current ）。電洞亦然，移動方向與電子相反。

• 對電洞而言，右邊的能量較大，左邊較小

反過來畫 斜率表示電場

飄移電流

tqnAvtAvQ nn

nnn

n qnqnvtA

tqnAv

tA

QJ

電荷密度

體積

電子所產生的飄移電流

同理，電洞所產生的飄移電流

半導體中的總電流：

令 可得： EJ 導電率 (conductivity)

半導體的電阻率

ndn qNqn 11

考慮非本質半導體：

N 型： n >> p

P 型： p >> npap qNqp

11

與摻雜濃度和遷移率有關

電阻率與摻雜濃度關係

摻雜濃度越高，電阻率越小

N 型的電阻率小於 P 型的電阻率（因為電子的遷移率大於電洞的）

導電率與溫度之關係

在中溫區，幾乎完全解離，電子濃度為定值，所以導電率受遷移率的影響，所以溫度越大，遷移率越小，導電率越小。在高溫區， ni 大增，影響

顯著，所以溫度越高，導電率越大。在低溫區，冷凝現象發生，

溫度越低，雜質解離率越低，ni 越低，故導電率也越低。

Si

半導體試片電阻率的量測

A

LR 此法不適合半導體晶圓及薄膜

使用四點探針法

cmCFwI

V

CF 為修正因子，由 d/s 決定（例如 d/s > 20 時， CF=4.54 ）

3.1.3 霍爾效應（ Hall Effect ）

可測得試片為 n型或 p型、載子濃度以及遷移率。

量測裝置如左圖：試片中的電子及電洞為運動中的帶電粒子，在z 方向磁場的作用下，會受到如圖所示之磁力。

以 p 型半導體為例，在y=0 的面上會有正電荷堆積，形成一感應電場。

電流 Ix 、磁場 Bz 、試片幾何形狀為已知， VH 為需量測值。

霍爾效應（續） 穩定狀態時，磁力與電力應達平衡。

0)( BvEqF

zxy BqvqE

此電場會產生一電壓，即為霍爾電壓 VH 。

WBJRWBqp

JWBvWEV zpHz

pzxyH

即為電洞的飄移速度

z

Hx WB

Vv

))(( Wdqp

I

qp

Jv xxx

故可得

又 z

Hx

WB

V

Wdep

I

))((合併可得

其中 qpRH

1

稱為霍爾係數

利用霍爾電壓求主要載子濃度

qpA

WBIV zx

H

qnd

BIV zx

H

H

zx

qAV

WBIp

H

zx

qdV

BIn

整理可得

即由已知值及測量所得之霍爾電壓便可求得電洞濃度

同理， n型半導體所量得的霍爾電壓為負值，其電子濃度亦可求。

利用霍爾電壓求遷移率

L

VE

Wdqp

I

qp

Jv H

pxpxx

dx ))((

WdqpV

LI

x

xp

又由

可得

WdqnV

LI

x

xn

同理， n 型半導體之電子遷移率（低電場下）為

載子擴散 載子會由濃度高處往濃度低處移動。

考慮單位時間單位面積通過 x = 0 平面之淨電子流

F1

F2

左邊流過來

右邊流過來

故淨電子流為

dp/dx dn/dx

擴散電流 用泰勒展開式展開 n(-l) 與 n(l) ，取前二項：

lvD thn 其中定義擴散係數 （熱速率乘以平均自由徑）

所以電子的擴散電流為dx

dnqDqFJ nn

dx

dpqDqFJ pp 同理，電洞的擴散電流為

總電流密度方程式（低電場時）

pqDnqDpqnqJ pnpn

3-D

dx

dnqDnqJ nnn

dx

dpqDpqJ ppp

pn JJJ

1-D

若在高電場作用下，公式中的 nε 及 pε 要修正成電子及電洞的飽和電流。

Einstein Relation

考慮一維情況，利用平均分配能量理論：

將此關係式代入擴散係數定義，可得：

kTvm thn 2

1

2

1

nth m

kTv 2

))(()( 2

q

m

m

kTlvvvlvD nn

nhcthththn

nn q

kTD )( Einstein 關係式

Einstein 關係式

q同理，對電洞的參數也有此關係

3.3 產生與復合過程（非平衡狀態）

熱平衡狀態下， np=ni2 。

非平衡狀態下，

非平衡狀態包括：照光，加偏壓等。非平衡狀態會朝向平衡狀態進行，所以電子電洞，會藉由產生（ generation）及復合（ recombination）過程恢復至平衡狀態的電子電洞濃度。

2innp

產生與復合過程（續）

同時發生的兩個過程。平衡狀態下兩者的生成率相同，故 np 可維持等於 ni

2 ；非平衡狀態下兩者的生成率不同，故 np 不等於 ni

2 。產生（ generation ）過程是產生新的電子電洞對。復合過程是產生過程的相反，電子電洞對會同時消失。

過多載子注入時，復合率大於產生率，使恢復平衡；反之，產生率大於復合率，使恢復平衡。

過多載子注入（ carrier injection ） 半導體材料照光或 pn接面接順向偏壓時，就會使得電子

電洞濃度比平衡態時大，這些多出來的載子稱為過多載子（ excess carriers ）

當過多載子遠小於熱平衡主要載子時，稱為低階注入（ low injection），即主要載子濃度仍不變。若非以上所述，過多載子已使主要載子濃度增加，稱為高階注入。

產生與復合過程的分類

直接復合 (direct recombination) ：較易發生在直接能帶隙之半導體，例如砷化鎵。

間接復合 (in direct recombination) ：較易發生在間接能帶隙之半導體，例如矽。

表面復合 (Surface recombination)歐傑復合 (Auger recombination)

3.3.1直接產生與復合 - 較易發生在直接能帶之半導體

直接產生：電子吸收熱能或光能，直接由價電帶躍升至導電帶，使得電子電洞對產生。

直接復合：電子直接由導電帶落至價電帶，消滅了電子電洞對。

熱平衡， Gth=Rth 照光時，產生率大於復合率

Gth ：平衡時每秒產生的電子電洞對濃度 Rth ：平衡時每秒消失的電子電洞對濃度

直接能帶隙與間接能帶隙

導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之 p不同

導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之 p相同

Direct Bandgap & Indirect Bandgap

直接能帶隙 :如 GaAs，電子在價電帶與導電帶中躍遷，不需要改變動量。所以光電子產生的效率高，適合作為半導體雷射或其他發光元件的材料

間接能帶隙：如 Si，電子在價電帶與導電帶中躍遷，需要遵守動量守恆。所以躍遷發生除了所需能量外，還包括與晶格的交互作用。

直接產生與復合率 復合率 R 和電子電洞濃度成正比：

npR 為比例常數

平衡時： 00 nnthth pnRG

))(( 00 ppnnpnR pnnn 非平衡時： thL GGG

過多載子濃度 pn

電洞濃度改變率： RGGRGdt

dpthL

n

光所造成之產生率

RGGRGdt

dpthL

n

考慮穩態， 可得：0dt

dpn UGRG thL

pppnpnppnnU nnnnonn )())(( 00000

U 表示淨復合率

若為低階注入， p 、 pn0<<nn0 ，故上式可簡化為

0

00 1

n

nnn

n

pppnU

p

nn

0

1令 少數載子的生

命期

p

nn ppU

0

少數載子生命期的測量

利用一照光之半導體，照光後少數載子會增加，在 t=0時將光源移去，少數載子會因復合過程而減少，直至恢復平衡狀態。

RsvL

假設為低階注入情形， /dar<<1 ，選擇適當阻值使 RSd=RL ，則可得近似

3.3.2 間接產生與復合 間接能帶隙之半導體材料

電子由價電帶躍遷至導電帶的機率較小，所以主要的產生與復合過程為間接的，即需借助能帶隙中之局部性的能態（好像踏腳石），稱為產生復合中心(recombination centers)或陷阱 (trap) 。

局部性的能態由雜質或缺陷造成，位置約在能隙的中央。

共有四種過程。

間接產生與復合過程— Shockley-Read-Hall 復合理論電子捕捉：傳導帶中之電子被一原為中性的空陷阱捕獲

電子發射：電子捕獲的逆過程。電洞捕捉：陷阱中的電子落至價電帶中，好似價電帶的電洞被移至陷阱

電洞發射：電洞捕捉的逆過程。

間接產生與復合率 (見附錄 I)

電子捕捉速率 Ra與電子濃度陷阱濃度及 1-F(E) 成正比。

所以設

電子發射速率 Rb與陷阱濃度及 F(E) 成正比。 所以設

)1( FnNvR tntha

捕獲截面積，表示陷阱捕獲電子的效率

陷阱為空的機率

FNeR tnb 比例常數 en 為放射機率

熱平衡時 Ra = Rb ，故 )1( FnNv tnth FNe tn=

代入 n與費米機率的公式 kTEEinthn

itenve /)(

間接產生與復合率（續）kTEE

inthnitenve /)(

FpNvR tpthc

表示若陷阱靠近 Ec， en 越大

同理，

)1( FNeR tpd

電洞捕捉速率

電洞發射速率

陷阱要填滿

陷阱要空

均勻照光下

設產生率為 GL，穩態時

0 baLn RRG

dt

dn0 dcL

n RRGdt

dp

dcbaL RRRRG

Ra-Rb=

可得

消去 F ，可解得

(48)

復合速率為：

假設電子電洞的捕獲截面相同為，可得

再考慮低階注入，復合速率可為

為復合生命期

可看出少數載子的生命期與 Nt 成正比，也與陷阱能階的位置有關，可適當調整來獲得所需的生命期。

(49)

(50)和直接復合的公式一樣

3.3.3 表面復合

懸鍵：可形成復合中心

在晶體表面，理想單晶的週期性結構被終止，會在能隙中形成局部的能態或是產生 - 復合中心，稱為表面態階

在表面過多載子的生命期較小，所以在表面的復合速率會較大，故表面的過量少數載子濃度會比較低。

表面復合率

考慮低階注入：單位時間單位面積復合的總數目為

stpthlr NvS 故令 稱為低階表面復合速率

)( 0nsstpths ppNvU

單位正好為速度的單位

Nst 為單位面積的復合中心密度ps 為表面電洞濃度

3.3.4 歐傑復合（ Auger recombination ）

電子電洞對復合所釋放的能量轉移至第三個電子或電洞。

常發生於高濃度摻雜半導體或是高階注入的情形下。

歐傑復合率和載子濃度成正比：

pBnRAug2

2BnpRAug 或

……能量轉移給第三個電子

……能量轉移給第三個電洞

3.4 連續方程式連續方程式：將電場效應、擴散效應及復合與產生過程等三種傳輸現象整合在一起的方程式。代入適當邊界條件即可解得少數載子的函數。

考慮如右圖之半導體，在dx 的範圍內電子的變化率和流進的電流 Jn(x) 、流出的電流 Jn(x+dx) 以及其中的產生與復合率有關。

故電子數的變化率為

連續方程式（續）

將上式之 Jn(x+dx) 用泰勒展開式表示，並消去 Adx ：

dx

dnqDnqJ nnn 可得 其中

……稱為連續方程式

P型半導體中的電子

dxx

JxJdxxJ n

nn )(

連續方程式（續）

此外仍須滿足 Poisson’s 方程式：

同理，在 n型半導體中的電洞的行為為

電場 半導體的空間電荷濃度

半導體的介電係數

常見之連續方程式的簡化

3.4.1 單邊穩態注入 A： ，電場為零，無限長

此情形下之連續方程式可簡化為：

邊界條件為 pn(x=0)=pn(0)

pn(xB B∞)=pn0

0t

pn

（常數）

解此偏為分方程式之邊界條件問題可得

其中令ppp LD 稱為擴散長度

N 型半導體

B： ，電場為零，長為 W）0t

pn

若改成邊界條件為 pn(x=0)=pn(0) pn(xB B=w)=pn0

解此偏為分方程式之邊界條件問題可得

求在 x=w 處之電流為

3.4.2 表面的少數載子假設表面照光，則由內部往表面流動之電洞電流密度為 qUs 。又已知表面因表面復合，表面處的電洞濃度會減少，故此處的濃度梯度應等於前述之電洞電流密度，即可得邊界條件如下：

Lpnn Gpxp 0)(

穩態時之連續方程式為

帶入邊界條件解之可得當 Slr0 時

Slr∞ 時，

Lpnn Gpxp 0)(

)1()( 0pL

x

Lpnn eGpxp

3.4.3 海尼斯 -蕭克利實驗 一個可以測量及 D 的著名實驗。 裝置如右圖， V1提供半導體穩定

的電場，接點 1 的脈波提供過多載子，經電場作用飄移至接點 2可測得此過量載子所產生的輸出電壓 V2。

經過一個脈波後，連續方程式中的 Gp= 0 及 ∂ ε/∂x = 0 （電場為定值），故連續方程式為：

p

nnnp

np

n pp

x

pD

x

p

t

p

0

2

2

海尼斯 -蕭克利實驗（續）

在無電場情形下連續方程式的解為： 0

2

)4

exp(4

),( nppp

n pt

tD

x

tD

Ntxp

單位時間產生的電子電洞數

無外加電場 (V1=0) 時，隨時間增加可看到載子擴散。

V1 不等於零時，除了載子擴散，還會飄移。

在有外加電場情形下，連續方程式的解為：將無電場解中的 x 以 x - pε 取代

海尼斯 -蕭克利實驗（續）

0

2

]4

)(exp[

4),( n

pp

p

p

n pt

tD

tx

tD

Ntxp

0tL p量測在峰值在接點２ (x = L) 出現的時間 t0 ，可得

0t

Lp

擴散係數可由左圖求得：找出輸出電壓 V 的值使得

14

)( 2

tD

tL

p

p 求出的 t 的兩個解 t1 及 t2 ，設 t2 - t1 = t

0

22

16

)()(

t

tD p

p

整理可得

少數載子生命期的估算

3.5 熱離子發射過程(Thermionic emission process)

半導體表面的載子若有足夠大的能量，可以直接躍升到真空能階，稱為熱離子發射。

電子親和力 功函數

3.6 穿隧過程（ Tunneling process ） 若兩個半導體靠的很近，能階

圖（右圖）中之位障（ potential barrier ）寬度就很小。左邊半導體中的電子雖然能量小於位障，但仍能穿透至右邊，稱為穿隧現象。

可以解三區（左、位障區、右）之薛丁格方程式（下式），求出電子的行為（ (x) ），以求出穿透率。

0)())((2)(

22

2

xxqVEm

dx

xd

電子能量 位障

I II III

穿隧過程（續）

0)()(2)(

022

2

xqVEm

dx

xd

0)(2)(

22

2

xEm

dx

xd

0)()(2)(

22

2

xEm

dx

xd

第 I 區

第 II 區

第 III 區

X ≤ 0

X ≥ d

0 ≤ x ≤d

ikxCex )(xx FeEex )(

ikxikx BeAex )(I

II

III

解為

20

2

/)(2

/2

EqVm

Emk

n

n

穿隧過程（續）代入邊界條件：在 x = o 及 x = d 處要連續以及 d/dx = 0 ，可解得係數關係。

定義穿透率為

當 d>>1 時，穿透率會變得非常小，變為

小的 d ，小的位障 qV0 以及小的電子有效質量可得到較大的穿透率。

3.7 高電場效應 低電場時， vd和電場成正比（因假設平均自由時間與電

場無關） 何謂低電場？當 vd < vth (107cm/s for Si) 時。 當 vd 接近 vth， vd和電場就不成比例。

當電場很大時，飄移速度會達飽和

vs 為飽和速度 (107cm/s for Si)ε 0 為常數 (7×103V/cm for electrons; 2×104V/cm for holes)

高電場效應（續）以矽而言，電場越大，電子和電洞的飄移速度都會達飽和。

以砷化鎵而言，電場越大，電洞的飄移速度會達飽和，但是電子的飄移速度為先上升後下降。

砷化鎵的電子飄移速度 因為砷化鎵的能帶圖中，導電帶的部分有兩個極小值。較

低能谷電子的有效質量為 0.067m0 而較高能谷為 0.55mo 。

電場小時（ ε<ε a) ，電子存在較低能谷，有效質量較小，故遷移率較大。電場大時（ ε<ε a) ，電子能量增加，部分可散射進入較高能谷，但有較小的遷移率。

ε >ε b

電場越大，散射至高能谷的電子數越多

兩種不同電子質量對整體遷移率的影響

設在低能谷的電子數為 n1，在高能谷的電子數為 n

2：

討論：

其中平均遷移率為

故飄移速度為

兩種不同電子質量對整體遷移率的影響（續）討論：

設 1εa>2εb

所繪之圖如左

會有一段遷移率為負之區域

衝擊游離（ Impact ionization ） 在高電場作用下，電子具有很大的動能，在與晶格碰撞時，大量的動能會損失給晶格，晶格所獲得之大能量足以破壞鍵結，也就是說可以使價電帶的電子游離至導電帶產生新的電子電洞對。此電子電洞對受電場加速也會具有高動能，再繼續與晶格碰撞。如此連鎖循環下去，會有大量的電子電洞對被游離出來就稱為衝擊游離（又稱雪崩效應）。

衝擊游離（ Impact ionization ）（續） 考慮電子 1 撞擊晶格所釋放能量產生電子電洞對 2 與 2’ ，

此過程要遵守動量守恆以及動能守恆，假設電子 1 與電子電洞對 2 及 2’ 的有效質量相同，且作用後三載子的動能與動量相同：

21

21 2

13

2

1fgs vmEvm

fs vmvm 11 3

原電子 1 的動能提供價電帶電子 2躍升至導電帶，並提供所產生的的電子電洞對動能。

gs EvmE 5.12

1 210

vs 為飽和速度， vf 為末速度。

表示電子動能必須相當大於能隙才能夠產生雪崩效應。實際上對矽而言，電子需 3.6eV (3.2Eg) ，電洞需 5.0eV (4.4Eg)

游離率 電子游離率 n是指電子走過單位

程度的距離所產生的電子電洞對數；電洞游離率 p是指電洞走過單位程度的距離所產生的電子電洞對數。

n與 p受到電場強烈的影響。以要達到 104cm-1 這樣大的游離率來說，矽所受的電場要加到大於3×105V/cm ；砷化稼所受的電場要加到大於 4×105V/cm 。

電子電洞對產生率 GA為：