Chapter 3 Equilibrium

1

3.1 Introduction•เมอวตถอยในสภาวะสมดล ผลลพธของทกแรงทกระทาตอวตถนนเปนสญ

•ผลลพธของระบบแรงใดๆสามารถแทนดวย resultant force R และ resultant couple M ซงเปนสญทงค วตถนนforce R และ resultant couple M ซงเปนสญทงค วตถนนอยในสมดล สามารถเขยนสมการไดดงน

R=ΣF =0 และ M= ΣM=0

2

3.2 Free Body Diagram (FBD)ระบบเครองกลใดๆอาจจะเปนเพยงวตถเดยวหรอกลมของวตถ ซงสามารถแยกออกจากวตถอนได วตถนอาจจะเปน rigid หรอ non rigid body กไดrigid หรอ non-rigid body กได

การศกษา Statics จะพจารณาแรงทกระทาตอวตถนนในการศกษา Statics จะพจารณาแรงทกระทาตอวตถนนในสภาวะหยดนง เมอแยกวตถหรอกลมวตถนนามาเขยนเปนผง แลวลงรายละเอยดของแรงทกระทาตอวตถนทงหมด ผงทได ( d )นเรยกวาผงวตถอสระ (Free Body Diagram)

3

หลกการเขยน ผงวตถอสระ (FBD)1 เลอกวตถหรอกลมของวตถใหชดเจนเพอใหผลตามความตองการ

2 การเลอก FBD ตองพจารณาความสมบรณของ external boundary และมความชด แลวเขยน FBD เฉพาะเสนกรอบรปboundary และมความชด แลวเขยน FBD เฉพาะเสนกรอบรปภายนอก และสวนอนๆ หากมความจาเปน

3 เมอแยกสงแวดลอมออกไป แลวใสแรงทงหมดทสงแวดลอมกระทาตอ FBD ทงทมการสมผสและไมมการสมผส

4 กาหนดแกนอางองใหชดเจน

45 บอกขนาดตามความจาเปนในการคานวณโมเมนต

ลกษณะของการเกดแรงของทรองรบแบบตางๆ

5

6

7

8

9

10

3.3 Equilibrium Conditions (2-D)

ผลลพธของระบบแรงใดๆสามารถแทนดวย resultant force R และ resultant couple M ซงเปนสญทงค วตถนนอยR และ resultant couple M ซงเปนสญทงค วตถนนอย

ในสมดล สามารถเขยนสมการไดดงน

R=ΣF =0 และ M= ΣM=0สาหรบ 2-D สมการเปน

ΣFx =0 ΣFy =0 และ ΣMo=0ΣFx =0, ΣFy =0 และ ΣMo=0

11

12

Two force members

เปนชนสวนทมแรงกระทาเพยงสองแรงเทานน เมออยใน สมดลแรงทงสองตอง มขนาดเทากน มทศตรงกนขาม และ เปนเสนตรงเดยวกน

13

Three force member

เปนชนสวนทมแรงกระทาสามแรงเทานนแรงเทานนเมออยในสมดลแรงทงสามจะตอมาพบกนทจดใดจดหนงและตอมาพบกนทจดใดจดหนงและแรงทงสามสามารถเขยนเปนรปสามเหลยมแทนแรงไดสามเหลยมแทนแรงได

14

Alternative Equilibrium Equations

สมการหลกของการสมดล

สมการสมดลชดอนๆคอ

Fx = = =∑∑∑ 0 0 0 , M , MA B

Fx = = =∑∑∑ 0 0 0 , F , My o

ๆ

(1) สมการสมดลชดนม(1) สมการสมดลชดนมเงอนไขคอ :แนวเสน AB ตองไมตง แนวเสน AB ตองไมตงฉากกบแกน x

15

2) ∑∑∑2) MA = = =∑∑∑ 0 0 0, M , MB C

สมการสมดลชดนมเงอนไขคอ :A,B,C ตองไมอยบนเสนตรงเดยวกน

16

, ,

Constraints and staticallyConstraints and statically determinacy

Constraints ขอจากดหรอเงอนไขของการเคลอนทหรอเงอนไขการรองรบของทรองรบ และเปนตวกาหนดจานวนตวแปรStatically indeterminate วตถหรอกลมของวตถทy ม constraints หรอ external support มากกวาทจาเปนทจะรกษาสมดลได ปญหาลกษณะนจะไมสามารถแก

ดวยสมการสมดล หรอทเรยกวา statically indeterminate สวน support หรอ member ท

โ ไ ใ d d tถอดออกโดยไมทาใหเสยสมดลเรยกวา redundant

17

Examples

Example 3.1Example 3 2Example 3.2Example 3.3Example 3.01Example 3 02 (Chater 3 Meriam)Example 3.02 (Chater 3 Meriam)Example 3.5

18

Equilibrium in 3-D

19

3.4 Equilibrium Conditions

วตถอยในสภาพสมดลเมอผลรวมของแรงและcouple เปนสญทงค

20

ลกษณะของการเกดแรงของทรองรบแบบตางๆ

21

ประเภทของแรงทกระทาตอวตถใน 3-D

22

Examples

Example 3b1Example 3b2Example 3b2Example 3b3Example 3b4Example 3b4Example 3b4_1

23

2103213 Engineering Mechanics I Name………………………………ID…………………………..CR………………….

1.Skecth the free-body diagram of each of the rigid bodies to determine reactions at the supports as shown.

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g)

(h) (i) (j)

Example 3.1 The bracket and pulley assemble has a mass of 40 kg with

combined center of gravity at G. Calculate the magnitude of

the force supported by the pin at C when a tension of 400 N is

applied in the verticle plane to the cable.

กาหนดให มวลรวม 40 kg ลงท G แรง 400N กระทาในระนาบดง ตองการ ขนาดของแรงทรบบน pin C

วธทา

พจารณา FBD a ยายแรงจากผวสมผสไปทจดศนยกลาง B จะเกด

couple M=400(0.075)=30 N.m CW เนองจาก bracket อยในสภาวะสมดล [∑Fy=0] Cy-392.4-400cos30°=0 Cy=738.8 N [∑MA=0] Cx(0.375)-392.4(0.100)-400cos30°(0.450)-30=0 Cx=600.3 N C C C Nx y= + =2 2 952 ขนาดของแรงกระทาท pin C เปน 952 N Ans.

Example 3.2

กาหนดให มวลของมอเตอร B = 100 kg

pulley สงผาน torque = 100 N.m

tension ของสายพานดานลาง = 600 N

ตองการ ขนาดของแรง R ทกระทาท pin O

วธทา

พจารณา FBD ของ pulley A ซงอยในสมดล

[∑Mc=0,cw+] (T1-T2)(0.225)-100=0

[subs. T1=600N] result: T2=156N

ยายแรง T2จากผวสมผสไปทจดศนยกลางจะเกด couple M2

M2=156(0.075)=11.7N.m

พจารณา FBD b ของมอเตอร ซงอยในสมดล

[∑Fx=0] -Ox+600+156cos30 =0; Ox=735.1N

[∑MD=0] Oy(0.250)-600(0.200-0.075)-11.7

-100(9.81)(0.125)-156cos30 (0.200)

+156sin30 (0.125) =0

Oy=906.4N

R O O N kNx y= + = =2 2 3117 10 117. ( ) .

ขนาดของแรง R ทกระทาท pin O เปน 1.17kN Ans.

3- 13

Example 3.3 (Prob 3/55)

The portable floor crane in the automotive shop is lifting a

100-kg engine. For the position shown compute the

magnitude of the force supported by the pin at C and the oil

pressure p against the 80-mm-diameter piston of the hydraulic

cylinder unit AB.

กาหนดให เครองยนตมมวล 100kg

เสนผานศนยกลางของ cylinder 80mm

ตองการ แรงกระทาท pin C

ความดนใน cylinder P

3- 14

วธทา

พจารณา FBD ของชนสวนบนของ crane ซงอยในสมดล

[∑Mc=0,CCW+]

Bcos13.8 (0.390)-Bsin13.8 (0.225)-

100(9.81)(.450+1.050)cos30 =0

B=3920N

พนทหนาตดของกระบอก=(π/4)(.080)2=5.02(10-3) m2

ความดนในกระบอก=B/พนทหนาตด

=3920N/5.02(10-3)m2

=781(103) N/m2=781 kPa Ans.

(1Pa(Pascal)=1N/m2)

[∑Fy=0] Cy+3920cos13.8 -981 = 0, Cy=-2825.8N

3- 15

[∑Fx=0] -Cx+Bsin13.8 =0

Cx=935N

C C C Nx y= + =2 2 2976 ขนาดของแรงทกระทาบน pin C เปน 2976 Ans.

Example 3b.1 (Prob 3/71)

. กาหนดให เสา AB รบแรง 4kN โดยม cable ยดไว ทรองรบ A แบบ ball & socket ตองการ แรงตง T

1ใน BD

ใชเพยงสมการเดยว ?

วธทา

ตาแหนงของจด A(0,0,0)m B(0,0,10)m C(-5,0,0)m D(4,4,2)m ให vnBD เปน unit vector มทศจาก B ไป D

vv v v v v v v v v v

nBDBD

i j k i j k i j kBD = =

+ −

+ +=

+ −=

+ −4 4 84 4 8

4 4 84 6

262 2 2

[ ]v v v

v v

T Tn T Ti j k

= =+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 1 1

26

ให v vF j= −4 kN

ให vrAB เปน position vector มทศจาก Aไป B

v vr kAB = 10 m ให vrAE เปน position vector มทศจาก Aไป E v v

r kAE = 5 m [ผลรวมของโมเมนตรอบแกน x ทผานจด A=0]

( )[ ]v v vr F iA× =∑ . 0 โมเมนตของแรงตง

vT2 รอบแกน x = 0

(เนองจาก vT2 ผานแกน x)

( )

( )

( )

5 4 102

60

2010

610

60

2010

60

2010

60

2010

60

2 6

1

1 1

1

1

1

1

v v rv v

v

v v v v

v v

v

k j k Ti j k

i

iT

iT

j i

iT

i

Ti

T

T

× − + ×+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅ =

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥⋅ =

+ =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+ =

= kN = 4.90 kN

แรงตง T1ใน BD เปน 4.90 kN

ใชเพยงสมการเดยวได Ans.

3- 20

Example 3b.1 (Prob 3/71) The vertical mast supports the 4-kN force and is constrained by the two fixed cables BC and BD and by a ball-and-socket connection at A. Calculate the tension T

1 in BD. Can this be accomplished by using only one

equation of equilibrium.

กาหนดให เสา AB รบแรง 4kN โดยม cable ยดไว ทรองรบ A แบบ ball & socket ตองการ แรงตง T

1ใน BD

ใชเพยงสมการเดยว ?

วธทา

ตาแหนงของจด A(0,0,0)m B(0,0,10)m C(-5,0,0)m D(4,4,2)m ให

vnBD เปน unit vector มทศจาก B ไป D

3- 21

vv v v v v v v v v v

nBDBD

i j k i j k i j kBD = =

+ −

+ +=

+ −=

+ −4 4 84 4 8

4 4 84 6

262 2 2

[ ]v v vv v

T Tn T Ti j k

= =+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 1 1

26

ให v vF j= −4 kN

ให vrAB เปน position vector มทศจาก Aไป B

v vr kAB = 10 m

ให vrAE เปน position vector มทศจาก Aไป E v v

r kAE = 5 m [ผลรวมของโมเมนตรอบแกน x ทผานจด A=0]

( )[ ]v v vr F iA× =∑ . 0 โมเมนตของแรงตง

vT2 รอบแกน x = 0

(เนองจาก vT2 ผานแกน x)

( )

( )

( )

5 4 102

60

2010

610

60

2010

60

2010

60

2010

60

2 6

1

1 1

1

1

1

1

v v rv v

v

v v v v

v v

v

k j k Ti j k

i

iT

iT

j i

iT

i

Ti

T

T

× − + ×+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅ =

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥⋅ =

+ =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+ =

= kN = 4.90 kN

แรงตง T1ใน BD เปน 4.90 kN

ใชเพยงสมการเดยวได Ans.

3- 22

Example 3b.2 (Prob 3/110) The uniform 900- by 1200-mm trap door has a mass of 100 kg is propped open by the light strut AB at angle θ=tan-1

(4/3). Calculate the compression FB in the strut and the force supported by the hinge D normal to the hinge axis, Assume that the hinges act at the extreme ends of the lower edge.

กาหนดให ประตขนาด 900x1200 mm2 มมวล 100

kg strut AB เบา ตองการ compression FBใน strut AB ,Dn

วธทา

3- 23

FBD’s door ตาแหนง A(0.900,0)m B(0.900(3/5),0.240,0.900(4/5))m= B(0.540,0.240,0.720)m E(0.450(3/5),0.600,0)m = E(0.270,0.600,0)m ให nABเปน unit vector จาก A ไป B

( )

vv

vv v v

v v v v

n ABAB

ni j k

n i j k

ab

ab

ab

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=− + +

+ += − + +

0360 0240 07200360 0240 0720

17 3 2 6

2 2 2. . .. . .

พจารณา strut AB ซงเปน two force member FB เปน compressive force มทศตามแนว BA

3- 24

พจารณา FBD ของประต FB เปนแรงท strut AB กระทาตอประต

( )

v v

v v v v

F F n

FF

i j k

B B ab

BB

=

= − + +7

3 2 6

[ ]

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

v

r v r v r v

v v v v

v v v v

v v v

v v

v

M

r F r D r W

i F i j k

i D i D j D k

i j k

D i F j

D F k

N D N F N

D

c

CA B CD CE

B

x y z

zB

xB

x z

=∑

× + × + × =

× − − −⎛⎝

⎞⎠+

× + + +

+ × − =

− + − +⎛⎝

⎞⎠ +

+⎛⎝

⎞⎠ =

== = =

=

0

0

09 7 3 2 6

12

027 06 100 981 0

12 5886 7 6 09 027 981

12 7 2 09 0

736 4905 3435

D

D

B

n

.

.

. . .

. . . .

. .

. . .

x zD N2 2 496+ =

compression FBใน strut AB มคา 343.5 N แรงทตงฉากกบบานพบ Dnมคา 496 N Ans.

3- 25

Example 3b.3 (Prob 3/80 ) The bracket of negligible weight is welded to the shaft at A, and the shaft in turn, is welded to the rigid support at B. Compute the torsion moment T (moment about z-

axis) and the bending moment M (moment about axis normal to the shaft) at B as a result of the three forces and one couple applied to the bracket. กาหนดให bracket ทเบาเชอมตดอยกบ shaft ท A ตองการ torsion T (โมเมนตรอบแกน z) bending moment M (โมเมนตรอบแกนทตงฉากกบ แกน shaft ) วธทา

3- 26

พจารณา FBD ‘s bracket ใน x-y view [∑MB=0] -T-100(0.080)-250(0.110)+400(0.200)=0 T=44.5 N.m มทศ -z Ans. พจารณา FBD ‘s bracket ใน y-z view [∑MB=0] Mx+250(0.060)-20=0 Mx=5 N.m มทศ +x Ans.

3- 27

พจารณา FBD ‘s bracket ใน x-z view [∑MB=0] My+400(0.080-0.060)+100(0.060)=0 My= -14 N.m My=14 N.m มทศ -y [M M Mx y= +2 2 ] M=14.8 N.m Bending moment M=14.87 N.m Ans.

3- 28

Example 3b.4

วธทา

3- 29

พจารณา FBD ใน x-y view

[∑Mz-axis=0] T(0.150)-120=0 T=800 N α=tan-1

(180/240)=36.87 β=tan-1

(150/(150√3))=66.87 Tx=800 cos66.87 =314.3 N Ty=800 sin66.87 =735.7 N

3- 30

พจารณา FBD ใน y-z view [∑MA=0,CCW+] -735.7(0.340)-50(9.81)(0.400)+By(0.700)=0 By=637.6 N [∑Fy=0] Ay-735.7-50(9.81)+637.6=0 Ay=588.6 N

3- 31

พจารณา FBD ใน x-z view [∑MA=0,CCW+] -314.3(.340)+Bx(0.700)=0 Bx=152.7 N [∑Fx=0] Ax-314.3+152.7=0 Ax=161.6 N [A A Ax y= +2 2

] A=610 N [B B Bx y= +2 2

] B=656 N ขนาดของแรงทรบโดย bearing A =610 N, baring B =656 N....Ans.

Example 3b.3 (Prob 3/80 ) The bracket of negligible weight is welded to the shaft at A, and the shaft in turn, is welded to the rigid support at B. Compute the torsion moment T (moment about z-

axis) and the bending moment M (moment about axis normal to the shaft) at B as a result of the three forces and one couple applied to the bracket.

กาหนดให bracket ทเบาเชอมตดอยกบ shaft ท A ตองการ torsion T (โมเมนตรอบแกน z) bending moment M (โมเมนตรอบแกนทตงฉากกบ แกน shaft )

วธทา

พจารณา FBD ‘s bracket ใน x-y view [∑MB=0] -T-100(0.080)-250(0.110)+400(0.200)=0 T=44.5 N.m มทศ -z Ans. พจารณา FBD ‘s bracket ใน y-z view [∑MB=0] Mx+250(0.060)-20=0 Mx=5 N.m มทศ +x Ans.

พจารณา FBD ‘s bracket ใน x-z view [∑MB=0] My+400(0.080-0.060)+100(0.060)=0 My= -14 N.m My=14 N.m มทศ -y [M M Mx y= +2 2 ] M=14.8 N.m Bending moment M=14.87 N.m Ans.

Example 3b4

3- 20

Example 3b.4

วธทา

3- 21

พจารณา FBD ใน x-y view

[∑Mz-axis=0] T(0.150)-120=0 T=800 N α=tan-1

(180/240)=36.87 β=tan-1

(150/(150√3))=66.87 Tx=800 cos66.87 =314.3 N Ty=800 sin66.87 =735.7 N

3- 22

พจารณา FBD ใน y-z view [∑MA=0,CCW+] -735.7(0.340)-50(9.81)(0.400)+By(0.700)=0 By=637.6 N [∑Fy=0] Ay-735.7-50(9.81)+637.6=0 Ay=588.6 N

3- 23

พจารณา FBD ใน x-z view [∑MA=0,CCW+] -314.3(.340)+Bx(0.700)=0 Bx=152.7 N [∑Fx=0] Ax-314.3+152.7=0 Ax=161.6 N [A A Ax y= +2 2

] A=610 N [B B Bx y= +2 2

] B=656 N ขนาดของแรงทรบโดย bearing A =610 N, baring B =656 N....Ans.

3- 24