chapter 3 the foundation of computer graphics

Chapter 3

the foundation of Computer graphics

23/4/20 上理机械吴恩启 2

教学要求和教学提示教学提示：本章主要介绍计算机绘图软件的类型和功能、绘图程序的基本设计

方法、图形软件标准和图形变换 ( 二维图形和三维图形的几何变换教学要求：了解计算机绘图系统的类型及组成掌握图形变换（比例、对称、错切、平移、旋转、复合变换等）的

原理和方法了解常用自由曲线


Contents 1.Outline of computer drawing 2.Computer drawing software 3.Coordinate system 4.Graphics transformation 5.Transform of 3D graphics 6.Projection transform of 3D graphics 7.Free form curve and surface


计算机绘图是 CAD/CAM 的重要组成部分。其发展有力地推动了 CAD/CAM 的研究和应用，为 CAD/CAM 提供了高效的工具和手段；CAD/CAM 的发展又不断提出新的要求和设想，其中包括对计算机绘图的要求因此 CAD/CAM 的发展与计算机绘图的发展有着密不可分的关系。 Computer drawing is the important part of CAD/CAM. The development of computer drawing powerfully drove the researches and applications of CAD/CAM, and provided highly effective tools and methods for CAD/CAM; in addition, the development of CAD/CAM constantly sets forth new requirements and ideas, including the requirements for computer drawing. Thus, there is a inseparable relationship between the development of CAD/CAM and the development of computer drawing.

3.1 Outline of computer drawing


Applications:

Mechanics Architecture Costume design Video

3.1 Outline of computer drawing


3.2 Computer drawing software 计算机绘图软件的主要功能

Graphic descriptions Graphic edit and transformation Graphic control Graphic files processing Interactive processing

可画点、线、圆、圆弧、文本、多边形、椭圆、曲线等能进行几何计算。如求交点、切点等对图形进行删除、修改实现图形的几何变换，如缩放、旋转、投影等显示控制、图形输出控制可将不同方位或不同内容的图形定义成文件进行处理，便于统一调度管理人机界面良好，因为 CAD 过程是个反复试探、修改的过程


class

coordinate system

DCS: device coordinate systemVDCS: virtual device coordinate systemNDCS: normalized device coordinate system 　

WCS: world coordinate system

　　MCS: modeling coordinate systemVCS: viewing coordinate system

直角坐标系仿射坐标系圆柱坐标系　　　球坐标系

3.3 coordinate system


DCS:　用于在图形显示设备上定义图形或窗口的位置。计算机对图形对象进行了必要的处理之后，要将它在图形显示器或者绘图纸上绘制出来，这就要在显示屏幕上或绘图纸上定义一个坐标系，这个坐标系叫做屏幕坐标系或者设备坐标系设备坐标系的 z 轴垂直于屏幕平面。利用设备坐标系编写图形程序时，在不同显示设备上显示图形是不同的。

x

yy

x

xy



NDCS and VDCS ：规格化设备坐标系是直角坐标系，它是将二维的设备坐标系规格化到（ 0.0 ， 0.0 ）～（ 1.0,1.0 ）的坐标范围内形成的，规范化坐标系保证了观察变换独立于输出设备。其原点常位于显示器左下角， x,y 分别指向右方和上方。规格化坐标系是用于定义视图的。虚拟设备坐标系和规格化坐标系类似，是编写图形程序时采用的。

x

y


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WCS ：用于描述现实世界的整体布局，又称为用户坐标系。1) 直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，由一个原点（坐标为(0,0,0) ）和三个通过原点的、相互垂直的坐标轴构成。分右手坐标系和左手坐标系两种。任一点可用 p （ x,y,z ）表示。


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2)仿射坐标系　其三个坐标轴不是相互垂直的

cbaOP


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3) 圆柱坐标系用来描述旋转体的形状。


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4) 球坐标系3.3 coordinate system

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MCS ：用于描述世界坐标系中每个具体物体的形状，又称为局部坐标系。当物体空间位置发生变化时，由造型坐标系定义的物体上各点的坐标值不变。


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VCS ：为了在世界坐标系中实现对三维物体的观察而建立的坐标系。

有两个主要用途：用于指定裁剪空间确定的那一部分形体的显示输出；通过定义观察平面，把三维形体的世界坐标变换成规格化的设备坐标


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Coordinates transform ：3.3 coordinate system

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不同的坐标系之间通过变换矩阵建立联系MCS

WCS

VCS

DCS

造型变换

观察变换

VDCS投影变换


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3.4 Transform of 2D graphics1. 二维图形几何变换的一般表示将二维空间中的任意点 P （ x ， y ）变换到一个新位置，其数学表达为：

矩阵表达

令，称该矩阵为变换矩阵

dybxcyaxdc

bayxyx

''

dybxy

cyaxx

'

'

dc

baT

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3.4 Transform of 2D graphics 二维基本变换

比例变换对称变换旋转变换错切变换平移变换

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3.4 Transform of 2D graphics1) 比例变换将原有图形在 x 、 y 两个方向上进行放大或缩小的变换，其变换矩阵为：

当 a=d=1 ，变换为恒等变换，即变换后点的坐标不变当 a=d≠1 ，变换为等比例变换，即变换为等比例放大或缩小当 a ≠ d ，变换后的图形会产生畸变

)0,0(0

0

da

d

aTs

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2 ）对称变换对称变换又称为镜像变换，主要包括以下几种：

对 x 轴的对称变换对 y 轴的对称变换对直线 y = x 的对称变换对直线 y = -x 的对称变换对坐标原点的对称变换

3.4 Transform of 2D graphics

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3.4 Transform of 2D graphics关于 x 轴的对称变换：　　　　　　　　 x’=x ， y’=-y

变换矩阵为：点关于 x 轴的对称变换为：

10

01,xmT

yxyxyx

10

01''

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关于 y 轴的对称变换：　　　　　　 x’=-x ， y’=y

变换矩阵：

点关于 y 轴的对称变换：

10

01,ymT

yxyxyx

10

01''


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3.4 Transform of 2D graphics关于直线 y=x 的对称变换 : 　　　　　　　　 x’= y ， y’=x

变换矩阵：

点关于直线 y=x 的对称变换为：

01

10, xymT

xyyxyx

01

10''

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3.4 Transform of 2D graphics关于直线 y=-x 的对称变换 : 　　　　　　 x’= -y ， y’=-x

变换矩阵为：

点关于直线 y=-x 的对称变换为：

01

10, xymT

xyyxyx

01

10''

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3.4 Transform of 2D graphics关于坐标原点的对称变换 : 　　　　　　 x’=-x ， y’=-y

变换矩阵为：

点关于坐标原点的对称变换为：

10

01,OmT

yxyxyx

10

01''

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3.4 Transform of 2D graphics3) 旋转变换 : 逆时针方向逆时针方向

为正为正

cossin

sincosrT

绕原点旋转的变换矩阵为：点绕原点旋转的变换为：

α

θρ (x,y)

(x’,y’)

sin

cos

y

x

cossinsincoscossin)sin(

sincossinsincoscos)cos(

yxy

yxx

cossinsincos

cossin

sincos'' yxyxyxyx

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3.4 Transform of 2D graphics4) 错切变换使图形沿错切方向的坐标发生变化，

而另一方向的坐标值不变，从而达到使原图形发生特定变化的目的，分为以下两种形式：

• 沿 y 轴方向的错切

cy

bx

• 沿 x 轴方向的错切

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沿 x 轴方向的错切变换： x’=x+x ， y’=y ，

变换矩阵为：

点沿 x 轴措切变换


cy

1

01, c

T xsh

ycyxc

yxyx

1

01''

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沿 y 轴方向的错切变换 :　　　　　　 x’=x ， y’=y + y ，

变换矩阵为：

点沿 y 轴方向的错切变换为：

bx

10

1,

bT ysh

ybxxb

yxyx

10

1''


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3.4 Transform of 2D graphics5) 平移变换 x’=x+m y’=y+n 矩阵表示： [x’ y’]=[x y]+[m n]=[x y]+Ti

变换矩阵？？

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2. 点的齐次坐标表示

所谓齐次坐标表示法就是用 n+1 维向量表示一个 n 维向

量

[x y] [hx hy h] ；

令 h=1 [x y 1] 齐次坐标的正常化齐次坐标的正常化

•


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点的矩阵表达 :

齐次坐标 :

yxP

mm yx

yx

yx

22

11

1yxP

1

1

1

22

11

mm yx

yx

yx


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引入齐次坐标后，可以用一个统一的 3X3 矩阵来描述包括平移在内的全部二维图形变换，即：

其中：产生比例、对称、旋转和错切变换；产生平移变换；

[p q] 产生投影变换，通常不做投影变换时取 p=0 ， q=0

[s] 为全比例因子，使图形产生总体的比例变化，通常取S=1 ；


dc

ba

nm

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平移变换：

P(x,y)

P’(x’y’)mn

X

Y

1

010

001

nm

TM变换矩阵：

点的平移变换则可用矩阵表示为：


1

1

010

001

11'' nymx

nm

yxyx

引入坐标的齐次表示法，各基本变换的矩阵：

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3.4 Transform of 2D graphics 比例变换

100

0d0

00a

ST变换矩阵：

a=d=1 a=d>1 a=d<1 a≠d

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3.4 Transform of 2D graphics对称变换

以 x 轴对称

100

010

001

T

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以 y 轴对称

100

010

001

T

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以原点对称

100

010

001

T

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以 y=x 直线对称

100

001

010

T

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以 y=-x 直线对称

100

001

010

T

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错切变换变换矩阵：


100

010

01

100

01

001

,

,

b

T

cT

ysh

xsh

cy

bx

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100

0cossin

0sincos

RT

旋转变换逆时针方向为正逆时针方向为正

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3. 二维组合变换： here ex: 一平面图形绕任意点旋转角，求其旋转矩阵 T1 – 旋转中心平移到坐标原点的变换矩阵 T2 – 绕坐标原点旋转角的变换矩阵 T3 – 将旋转中心平移回原位置的变换矩阵

1

010

001

100

0cossin

0sincos

1

010

001

321

pppp yxyx

TTTT

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3.4 Transform of 2D graphics 上机作业：利用 VB 语言编写程序：实现矩形绕任意一点

的旋转变换

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