chapter 3: two-dimensional steady-state...

Heat transfer 6th week lecture

Chapter 3: Two-dimensional steady-state conduction

■ 수치적 방법

특정 경우 (특수한 경계조건)에 있어서는 해석적 풀이가 불가능한 경우가 많고, 해석적으로 풀수 있다

하더라도 결과나 너무 복잡해서 수치를 구하기가 어렵다. 이런 경우 가장 효과적으로 이용되고 있는 방법이

수치해석이며, 2 차원 전도를 다루는 열전달의 경우 유한차분법이 수치해석에 널리 이용된다.

▶ 유한차분법

유한차분법은 먼저, X 와 Y 방향으로 동일한 증분으로 나눈 이차원 공간을 형성했을 때;

∙ 절점 (nodal point): x축 선들과 y축선들이 만나는 점

∙ x증분은 m, y증분은 n.

∙ 열전달은 절점사이에서 일어나는 것으로 가정 (절점은 열도체나 저항체로 연결되어 있다고 간주)

유한차분법은 온도와 거리의 미소증분의 근사값으로써 유한차분을 사용하여 온도분포를 예측한다.

Figure 1. Finite difference method (Holman 10

th edition, 2011)

온도분포는 열을 발생하지 않는 조그마한 절점들을 가상적인 열전도막대로 서로 연결하였을 때로 가정하여

각절점에서 각 방향으로의 온도구배를 다음과 같이 미분의 개념을 이용하여 근사할 수 있다.

미분은 온도의 변화를 𝑥방향으로의 변화로 나누어 준것이라 생각할 수 있으므로, 일차 미분을 절점에서의

온도차이와 공간 증분을 이용하면 다음과 같이 근사할 수 있다.

𝜕𝑇

𝜕𝑥]𝑚+

12,𝑛

≈𝑇𝑚+1,𝑛 − 𝑇𝑚,𝑛

∆𝑥


𝜕𝑇

𝜕𝑥]𝑚−

12,𝑛

≈𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇𝑚−1,𝑛

∆𝑥

𝜕𝑇

𝜕𝑦]𝑚,𝑛+

12

≈𝑇𝑚,𝑛+1 − 𝑇𝑚,𝑛

∆𝑦

𝜕𝑇

𝜕𝑦]𝑚,𝑛−

12

≈𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇𝑚,𝑛−1

∆𝑦

마찬가지로, 근사한 일차미분을 이용하여 이차이분을 근사하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2]𝑚,𝑛

≈

𝜕𝑇𝜕𝑥

]𝑚+

12,𝑛

−𝜕𝑇𝜕𝑥

]𝑚−

12,𝑛

∆𝑥=

𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 2𝑇𝑚,𝑛

(∆𝑥)2

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2]𝑚,𝑛

≈

𝜕𝑇𝜕𝑦

]𝑚,𝑛+

12

−𝜕𝑇𝜕𝑦

]𝑚,𝑛−

12

∆𝑦=

𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1 − 2𝑇𝑚,𝑛

(∆𝑦)2

근사를 통해 구한 이차 이분을 2 차원 정상상태의 열전도 방정식에 대입하면,

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2= 0 →

𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 2𝑇𝑚,𝑛

(∆𝑥)2+

𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1 − 2𝑇𝑚,𝑛

(∆𝑦)2= 0

그러므로, 다음과 같은 식을 최정적으로 이끌어 낼 수 있다.

𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1 − 4𝑇𝑚,𝑛 = 0 when ∆𝑥 = ∆𝑦

따라서, 2 차원 정상상태의 열전도는 절점들 같의 연립방정식으로 근사할 수 있게 된다.

위의 식을 이용하여 온도값이 정해지면 열전달은 아래식으로 계산이 가능하다; 정상상태 조건하에서

각절점으로 들어오는 열전달의 총합이 0임을 말해준다(예시 참조).

𝑞 = ∑𝑘∆𝑥∆𝑇

∆𝑦


아래 그림에서 0 점에 대한 유한차분법을 적용해 보면; 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + 𝑇4 − 4𝑇0 = 0 이다.

(예시) 표면에서의 열전달 (Holman 10th

edition, 2011)

▶ 물체가 대류경계조건에 노출되었을 때

대류경계조건에 노출되었을 때는 전도로만 구성된 위의 경우와는 다른게 계산하여야 한다.

n 점을 기준으로 세방향에서의 전도 열전달의 합은 n 점에서 대류 열전달과 같아야 하므로, 다음과 같이 식을

세울 수 있다.


Figure 2. Convective boundary condition (Holman 10

th edition, 2011)

−𝑘∆𝑦𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇𝑚−1,𝑛

∆𝑥− 𝑘

∆𝑥

2∙𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇𝑚,𝑛+1

∆𝑦− 𝑘

∆𝑥

2∙𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇𝑚,𝑛−1

∆𝑦= ℎ∆𝑦(𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇∞)

식에서 앞선 세 항들은 각각, x 축으로부터의 전달 (1 개) + y 축으로부터의 전달 (2 개)를 의미하고, 우변은

대류 열전달을 계산하는 식이다. 정리하면 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

𝑇𝑚,𝑛 (ℎ∆𝑥

𝑘+ 2) −

ℎ∆𝑥

𝑘𝑇∞ −

1

2(2𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1) = 0 when ∆𝑥 = ∆𝑦

♠ 두번째, 세번째 항의 ∆𝑥 아래에 2 가 나누어져 있는 이유는 무엇일까? 전도가 통과하는 단위 면적이

각각의 경우 ∆𝑥/2 이기 때문이다


그림에서 표면상에 위치한 각 절점에 대해서는 이와 같은 형태의 방정식을 써주어야 한다. 즉, 대류

경계조건이 존재할 때 경계에서는 위의 식을 사용하고, 물체 내부에서는 앞서 배운 전도에서의 수치해석

식을 사용하여야 한다.

(예시) 각각의 절점(node)에 1, 2, 3, 구하고자 하는 절점에 n 을 사용한다면 위의 식은 아래와 같다.

𝑇𝑛 (ℎ∆𝑥

𝑘+ 2) −

ℎ∆𝑥

𝑘𝑇∞ −

1

2(2𝑇2 + 𝑇1 + 𝑇3) = 0


이때 Biot 숫자를 아래와 같이 정의할 수 있다.

Biot number = 내부 열저항

표면 열저항=

∆𝑥𝑘𝐴1ℎ𝐴

=ℎ∆𝑥

𝑘

Biot number 는 물체내부의 온도변화가 얼마나 심한지(무시할 수 있는지 혹은 반드시 고려를 해야하는지)를

표면온도변화에 대한 비로서 나타내는 숫자로서 일반적으로 <0.1 일때, 물체 내부의 열전도가 표면에서의

대류보다 훨씬 빨리 일어나서 물체내부의 온도변화를 무시할 수 있다 (0.1 보다 작다는 것은 내부 열저항이

표면 열저항보다 훨씬 작다는 뜻이므로, 열전달이 훨씬 빠르다).

▶ 대류경계조건에 노출된 모퉁이

대류경계조건과 관련하여 위의 식은 노출된 평면에만 쓸수 적용될 수 있고, 단열벽이라든가 대류경계조건에

노출된 모퉁이에는 쓸 수 없다.

모퉁이에서는 두방향에서의 전도가 일어나고 두방향으로 대류열전달이 일어난다. 그러므로 n 절점에서의

열전달의 합은 (전도 = 대류)가 되고, 혹은 (전도+대류 = 0) (열전달의 합은 0 이 되므로)이 된다. 그림에서 n

절점에서의 열흐름의 합은 0 이므로, 𝑞𝑛→1 + 𝑞𝑛→2 + 𝑞1𝑛→∞ + 𝑞2𝑛→∞ = 0.


마찬가지로, 전도와 대류의 경우 단면적이 모두 ∆𝑥와 ∆𝑦의 절반임을 유의하라.

−𝑘∆𝑦

2∙(𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇𝑚−1,𝑛)

∆𝑥− 𝑘

∆𝑥

2∙(𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇𝑚,𝑛−1)

∆𝑦= ℎ

∆𝑥

2∙ (𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇∞) + ℎ

∆𝑦

2∙ (𝑇𝑚,𝑛 − 𝑇∞)

2𝑇𝑚,𝑛 (ℎ∆𝑥

𝑘+ 1) − 2 ∙

ℎ∆𝑥

𝑘∙ 𝑇∞ − (𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚,𝑛−1) = 0 when ∆𝑥 = ∆𝑦

(예시) 각각의 절점을 1, 2, 3 그리고 구하고자 하는 절점을 n 이라 한다면 위의 식은 아래와 같다.

2𝑇𝑛 (ℎ∆𝑥

𝑘+ 1) − 2 ∙

ℎ∆𝑥

𝑘∙ 𝑇∞ − (𝑇1 + 𝑇2) = 0

▶ 대류경계조건을 갖는 내부 모퉁이

내부모퉁이에 있어서는 열의 흐름의 합이 노출된 모퉁이와는 다른 형태가 된다. 각각의 절점을 1, 2, 3, 4,

그리고 구하고자 하는 절점을 n 이라고 하면 n 에서의 열의 흐름의 합은 아래와 같다. 앞서와 마찬가지로,

두개의 전도에 있어서는 전도 단면적이 절반이 된다는 사실에 유의하라.

𝑞𝑛→1 + 𝑞𝑛→2 + 𝑞𝑛→3 + 𝑞𝑛→4 + 𝑞𝑛3→∞ + 𝑞𝑛2→∞ = 0

−𝑘∆𝑦 ∙(𝑇𝑛 − 𝑇1)

∆𝑥− 𝑘

∆𝑥

2∙(𝑇𝑛 − 𝑇2)

∆𝑦− 𝑘

∆𝑦

2∙(𝑇𝑛 − 𝑇3)

∆𝑥− 𝑘∆𝑥 ∙

(𝑇𝑛 − 𝑇4)

∆𝑦


= ℎ∆𝑥

2∙ (𝑇𝑛 − 𝑇∞) + ℎ

∆𝑦

2∙ (𝑇𝑛 − 𝑇∞)

2 ∙ℎ∆𝑥

𝑘∙ 𝑇∞ + 2(𝑇1 + 𝑇4) + 𝑇2 + 𝑇3 − 2(3 +

ℎ∆𝑥

𝑘) 𝑇𝑛 = 0 when ∆𝑥 = ∆𝑦

▶ 단열 경계

경계가 단열되었을 경우 열흐름은 경계에서 0 이 되기 때문에 대류열전달이 발생하지 않아 우변의

대류열전달을 의미하는 항이 0 이 된다.

𝑞𝑛→1 + 𝑞𝑛→2 + 𝑞𝑛→3 = 0

−𝑘∆𝑥

2∙(𝑇𝑛 − 𝑇1)

∆𝑦− 𝑘∆𝑦 ∙

(𝑇𝑛 − 𝑇2)

∆𝑥− 𝑘

∆𝑥

2∙(𝑇𝑛 − 𝑇3)

∆𝑦= 0

𝑇1 + 𝑇3 + 2𝑇2 − 4𝑇𝑛 = 0 when ∆𝑥 = ∆𝑦

표 3.2에 유한차분계산에 대한 절점방정식의 요약이 나와있음을 참조

♠ 유의해야 할 점은 현재까지 유한차분법을 통해서 구한 것은 온도 분포라는 것이다. 열전달을 구하기

위해서는 구한 온도 분포를 바탕으로 전도 방정식(퓨리에의 전도법칙) 혹은 대류 방정식(뉴턴의 냉각법칙)을

이용하여 구해야 한다.


■ 해를 쉽게 구하는 방법

연립방정식의 형태를 가지므로, 행렬과 그 성질을 이용하여 해를 쉽게 구할 수 있다.

식을 정리하여 행렬로 나타내어 역행렬을 구하여 곱해줌으로써, 각 절점의 온도를 구한다.

𝑎11𝑇1 + 𝑎12𝑇2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑇𝑛 = 𝐶1

𝑎21𝑇1 + 𝑎22𝑇2 + ⋯ = 𝐶2

𝑎31𝑇1 + = 𝐶3

𝑎𝑛1𝑇1 + 𝑎𝑛2𝑇2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑇𝑛 = 𝐶𝑛

행렬로 나타내면

[A] =

[ 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 ⋯

𝑎31 ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛1 𝑎𝑛𝑛]

[C] =

[ 𝐶1

𝐶2

.

.𝐶𝑛]

[T] =

[ 𝑇1

𝑇2

.

.𝑇𝑛]

[A][T] = [C] 어려운 부분은 A 의 역행렬을 찾는 것이지만, 컴퓨터를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

[T] = [𝐴]−1[C]

[𝐴]−1 = [

𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑛

𝑏21 𝑏21 ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

]

그러므로 최종해는

𝑇1 = 𝑏11𝐶1 + 𝑏12𝐶1 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑇𝑛

𝑇2 = 𝑏21𝐶1 + ⋯

…… …… …… … …… …… …… … ..

𝑇𝑛 = 𝑏𝑛1𝐶1 + 𝑏𝑛2𝐶2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑛𝐶𝑛


■ 유한차분법 예제 (Holman 10th edition, 2011; 예제 3.5)

정사각형의 왼쪽면과 윗면은 100C 와 500C 로 유지되고 다른 두면은 100C 유체에 노출되어 있다.

정사각형의 크기는 1m X 1m 일 때 각 절점에서의 온도와 경계면에서의 열흐름을 계산하여라

Figure 3. Example problem (Holman 10th

edition, 2011)

1, 2, 4 및 5 에 대한 절점에 대한 방정식

𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1 − 4𝑇𝑚,𝑛 = 0

3, 6, 7 및 8 에 대한 절점의 방정식은

𝑇𝑚,𝑛 (ℎ∆𝑥

𝑘+ 2) −

ℎ∆𝑥

𝑘𝑇∞ −

1

2(2𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚,𝑛+1 + 𝑇𝑚,𝑛−1) = 0

9 에 대한 절점의 방정식은

2𝑇𝑚,𝑛 (ℎ∆𝑥

𝑘+ 1) − 2 ∙

ℎ∆𝑥

𝑘∙ 𝑇∞ − (𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚,𝑛−1) = 0

1, 2, 4 및 5 에 대한 절점에 대한 방정식에 숫자를 대입하면

100 + 500 + 𝑇2 + 𝑇4 − 4𝑇1 = 0

𝑇1 + 500 + 𝑇3 + 𝑇5 − 4𝑇2 = 0

100 + 𝑇1 + 𝑇7 + 𝑇5 − 4𝑇4 = 0

𝑇2 + 𝑇4 + 𝑇6 + 𝑇8 − 4𝑇5 = 0


3, 4, 7, 및 8 에 대한 방정식에 숫자를 대입하면

ℎ∆𝑥

𝑘=

1

3 이므로

𝑇3 (1

3+ 2) −

1

3× 100 −

1

2(2𝑇2 + 𝑇6 + 500) = 0

𝑇6 (1

3+ 2) −

1

3× 100 −

1

2(2𝑇5 + 𝑇3 + 𝑇9 ) = 0

𝑇7 (1

3+ 2) −

1

3× 100 −

1

2(2𝑇4 + 𝑇8 + 100) = 0

𝑇8 (1

3+ 2) −

1

3× 100 −

1

2(2𝑇5 + 𝑇7 + 𝑇9 ) = 0

절점 9 에 대해서는

2𝑇9 (1

3+ 1) − 2 ∙

1

3∙ 100 − (𝑇6 + 𝑇8) = 0

이 된다. 각각을 정리해서 연립방정식을 풀면 책에서 보이는 절점의 온도를 구할 수 있다.

식을 정리해서 (식을 T 에 관한 항은 좌변, 숫자항은 우변으로 정리한다) 행렬로 정리하면 행렬을 통해서 해를

구하는 방법을 이용하여 역행렬을 통해서 보다 쉽게 구할 수 있다 (역행렬은 컴퓨터나 계산기로 구하면 된다)

[ −4 1 0 1 0 0 0 0 01 −4 1 0 1 0 0 0 00 2 −4.67 0 0 1 0 0 01 0 0 −4 1 0 1 0 00 1 0 1 −4 1 0 1 00 0 1 0 2 −4.67 0 0 10 0 0 2 0 0 −4.67 1 00 0 0 0 2 0 1 −4.67 10 0 0 0 0 1 0 1 −2.67]

[ 𝑇1

𝑇2

𝑇3

𝑇4

𝑇5

𝑇6

𝑇7

𝑇8

𝑇9]

=

[ −600−500−567−100

0−67−167−67−67 ]

[ 𝑇1

𝑇2

𝑇3

𝑇4

𝑇5

𝑇6

𝑇7

𝑇8

𝑇9]

=

(

−4 1 0 1 0 0 0 0 01 −4 1 0 1 0 0 0 00 2 −4.67 0 0 1 0 0 01 0 0 −4 1 0 1 0 00 1 0 1 −4 1 0 1 00 0 1 0 2 −4.67 0 0 10 0 0 2 0 0 −4.67 1 00 0 0 0 2 0 1 −4.67 10 0 0 0 0 1 0 1 −2.67)

−1

[ −600−500−567−100

0−67−167−67−67 ]


매트랩을 이용해서 역행열을 구하면

-0.307 -0.114 -0.031 -0.114 -0.087 -0.030 -0.031 -0.030 -0.023

-0.114 -0.369 -0.093 -0.087 -0.174 -0.067 -0.030 -0.053 -0.045

-0.062 -0.186 -0.275 -0.060 -0.134 -0.099 -0.023 -0.045 -0.054

-0.114 -0.087 -0.030 -0.369 -0.174 -0.053 -0.093 -0.067 -0.045

-0.087 -0.174 -0.067 -0.174 -0.475 -0.138 -0.067 -0.138 -0.104

-0.060 -0.134 -0.099 -0.107 -0.277 -0.329 -0.045 -0.104 -0.162

-0.062 -0.060 -0.023 -0.186 -0.134 -0.045 -0.275 -0.099 -0.054

-0.060 -0.107 -0.045 -0.134 -0.277 -0.104 -0.099 -0.329 -0.162

-0.045 -0.090 -0.054 -0.090 -0.207 -0.162 -0.054 -0.162 -0.496

구한 역행렬을 통해서 각절점에서의 온도를 구하면

280.669

330.298

309.377

192.380

231.146

217.193

157.703

184.714

175.621

책에서 주어진 온도와 같다.

chapter 3: two-dimensional steady-state...

Documents