Heat transfer 9th week lecture

Chapter 4: Two-dimensional steady-state conduction

■ 다차원계

헤슬러 선도는 무한평판, 길이가 매우 긴 원통, 구에서 온도분포를 구하는데 사용할 수 있다. 하지만,

분석하고자 하는 특정 고체의 차원이 무한이라 할 수 없는 경우가 실생활에서는 더욱 많다(예를 들어, 벽의

두께와 높이가 큰 차이가 없다거나, 반지름에 비해 원통의 길이가 길지 않을때는 헤슬러 선도를 이용할 수

없다). 이런 경우의 문제에 대해서 다차원계를 이용하여 접근한다.

▶ 다차원의 문제의 해는 1차원 문제의 해를 조합

다차원계의 접근법은 유한한 고체들은 1 차원에서의 무한평판, 원통, 고체의 결합으로 나타낼 수 있다는 점에

착안하여 문제를 접근한다. 예를 들어, 그림에서의 무한히 긴 사각형 막대는 두께가 각각 2L1, 2L2 인 2 개의

무한평판으로 이루어져 있다..

Figure 1. Infinite rectangular bar (Holman 10th edition, 2011)

이 경우의 열전도 방정식은 아래와 같게 된다

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑧2=

1

𝛼∙

𝜕𝑇

𝜕𝑡

변수분리법을 통해서 방정식의 해는 각각의 해의 곱으로 생각할 수 있다.

𝑇(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑍(𝑧)𝛩(𝑡)

즉, 온도의 시간에 따른 공간상에서의 변화는 “두께가 2L1인 무한평판의 해 X 두께가 2L2인 무한평판의 해 X

시간”의 형태가 된다고 할 수 있으며, 결과적으로는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

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(𝑇 − 𝑇∞

𝑇𝑖 − 𝑇∞

)𝑟𝑜𝑑

= (𝑇 − 𝑇∞

𝑇𝑖 − 𝑇∞

)2𝐿1𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒

(𝑇 − 𝑇∞

𝑇𝑖 − 𝑇∞

)2𝐿2𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒

Figure 2. Analysis of infinite rectangular bar

다른 예를 보면, 길이 2L, 반지름 R 로 한정된 실린더는 두께 2L 의 무한평판과 반지름 R 인 무한 실런더의

교차로 생각할 수 있고, 정육면체는 두께 2L 인 무한평판 세개의 교차로 생각할 수 있을 것이다.

♠ 이 때의 해는 고체가 갑자기 대류환경에 노출되었을 때의 온도와 열전달을 의미함을 기억하자 (헤슬러

선도 = 고체가 갑자기 대류환경에 노출되었을 때의 온도 분포 선도)

▶ 다차원계 그림에 대한 설명

다양한 형태의 다차원계를 앞선 방법을 통해서 풀이할 수 있다.

1) 반무한고체: 반무한 고체의 교차는 반무한 고체내에서의 2차원, 그리고 반무한 고체내에서의

3차원이 된다 (잘 이용하지 않는 경우).

2) 무한평판 ×반무한고체: 무한 평판이 반무한고체와 결합을 하게 되면, 반무한평판이 되고, 한번더

반무한고체와 교차하게 되면 반무한고체 내에서의 2차원 형태가 된다 (반무한 평판은 중요하지만

그 이상은 잘 고려하지 않는다)

3) 무한평판의 결합: 반무한 직사각형 막대(반무한고체 × 무한평판)와 무한 직사각형 막대 (무한평판

× 무한평판) 및 직육면체 (무한평판 × 무한평판 × 무한평판)

4) 무한원통과 무한평판 및 반무한 고체의 결합: 반무한 원통(무한원통 × 반무한고체)과 유한 실린더

(무한원통 × 무한평판)

♠ 그림에서 𝐶(𝛩) 무한원통의 해, 𝑃(𝑋) 무한평판의 해, 𝑆(𝑋) 반무한고체의 해

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Figure 3. Analyzing multi-dimensional system

▶ 다차원계의 해를 구하는 일반적인 방법

다차원계의 해를 구하는 일반적인 방법은 아래의 식으로 표현될 수 있다. 즉, 분해된 각각의 경우에 대한 해를

헤슬러 선도를 통해서 찾아서 모두 곱해주면 해당하는 다차원계의 해를 구할 수 있다.

(𝜃

𝜃𝑖

)3−𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛

= (𝜃

𝜃𝑖

)1−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

(𝜃

𝜃𝑖

)2−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

(𝜃

𝜃𝑖

)3−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

마찬가지로, 열손실도 계산이 가능하다. 각각 1 차원해를 갖는 두 물체의 교차로 이루어졌다고 하면 (두개의

무한 또는 반무한대 고체가 조합되어 다차원고체가 된다면) 잃거나 얻은 총 열은 다음과 같이 계산될 수 있다.

(𝑄

𝑄0

)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= (𝑄

𝑄0

)1

+ (𝑄

𝑄0

)2

[1 − (𝑄

𝑄0

)1

]

만약 세개의 무한 또는 반무한대가 고체가 조합되어 다차원 고체를 형성한다면, 전체 열손실 또는

열수득량은 다음과 같이 계산될 수 있다.

(𝑄

𝑄0

)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= (𝑄

𝑄0

)1

+ (𝑄

𝑄0

)2

[1 − (𝑄

𝑄0

)1

] + (𝑄

𝑄0

)3

[1 − (𝑄

𝑄0

)1

] [1 − (𝑄

𝑄0

)2

]

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▶ 해를 구하는 과정의 예

다차원계의 해를 구하는 방법을 살펴보자. 그림에서 보여지는 일반 직사면체의 온도변화를 구한다고 한다.

일반 직사면체는 두께가 서로 다른 세개의 무한평판의 교차로 생각할 수 있고, 초기온도의 변화에 대한

중심이 아닌 지점에서의 온도변화는 각각의 무한평판에 대한 해의 곱으로 구할 수 있다. 이 때의 해는 헤슬러

선도로부터 찾을 수 있는데, 초기온도에 대한 현재의 온도는 초기온도에 대한 중심온도에서 구한 차트의

값과, 중심온도에 대한 현재온도의 값을 구한 찾아 곱하면 구할 수 있다. 즉, 두께가 2L 인 무한 평판에 있어서

초기온도에 대한 현재 온도는 헤슬러 선도(그림 4.7)에 있고, 두께가 2L 인 무한 평판에 있어서 중심온도에

대한 현재 온도는 그림 4.10 에 있으므로, 필요한 number 를 계산후에 선도에서 찾은 값의 곱을 통해서

원하는 답을 얻을 수 있다. 열손실의 경우도 두께가 2L 인 무한 평판에서의 시간에 따른 무차원 열손실이

그림 4.14 에 주어져 있으므로 앞선 열손실 식을 이용하면 답을 구할 수 있다.

(𝑄

𝑄0

)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= (𝑄

𝑄0

)1

+ (𝑄

𝑄0

)2

[1 − (𝑄

𝑄0

)1

] + (𝑄

𝑄0

)3

[1 − (𝑄

𝑄0

)1

] [1 − (𝑄

𝑄0

)2

]

Figure 4. Example of solving multi-dimensional system

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■ 다차원계 예제

1. 온도가 200℃로 일정하게 유지되고 있는 4 cm 두께의 매우 큰 순수한 알루미늄 판이 갑자기 유체의

온도가 50℃이고 열전달 계수가 500 𝑊/𝑚2℃인 대류환경에 노출되었다. 2 분 후에 표면으로부터 0.8 cm 의

깊이에서 판의 온도를 계산하여라. 단, 알루미늄 평판의 𝑘 = 200 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾, 𝛼 = 9.33 × 10−5𝑚2/𝑠 이다.

(solution)

Heisler 선도를 읽기 위한 매개변수를 구하면,

𝐿 =0.04

2= 0.02 𝑚

1

𝐵𝑖=

𝑘

ℎ𝐿=

200

500 × 0.02= 20

𝐹𝑜 =𝛼𝑡

𝐿2=

9.33 × 10−5 × 120

0.022= 28

그림 4.7 을 이용하면,

𝜃0

𝜃𝑖

= 0.25

표면으로부터 0.8 cm 이므로,

𝑥 = 0.02 − 0.008 = 0.012 𝑚

𝑥

𝐿=

0.012

0.02= 0.6

그림 4.10 을 이용하면,

𝜃

𝜃0

= 0.98

𝜃

𝜃𝑖

=𝜃0

𝜃𝑖

×𝜃

𝜃0

= 0.25 × 0.98 = 0.245

∴ 𝑇 = 0.245 × (𝑇𝑖 − 𝑇∞) + 𝑇∞ = 0.245 × (200 − 50) + 50 = 86.75℃

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2. 단면이 20cm × 20cm인 무한막대가 10°C 로 균일하게 유지되고 있다. 이 막대가 갑자기 110°C 의 공기에

노출되었다. 실린더의 중심온도가 40°C 에 도달하려면 얼마의 시간이 필요한가? 또한 계산된 시간 동안

막대가 얻은 단위길이당 열량을 구하여라(열전달 계수는 30 𝑊 𝑚2 · 𝐾⁄ 이며, 막대의 열적 특성은 𝑘 =

15 𝑊 𝑚 ∙ 𝐾⁄ , 𝜌 = 5000 𝑘𝑔 𝑚3⁄ , 𝑐𝑝 = 150 𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾⁄ ).

(solution)

무한막대는 두께가 2L인 무한평판의 결합으로 생각할 수 있다. 두께가 20cm인 무한평판에 대해서,

L = 0.1m, 1

𝐵𝑖=

𝑘

ℎ𝐿=

15

30 × 0.1= 5

시간을 알지 못하므로, 퓨리에 수를 구할 수 없으나, 막대의 무차원 중심온도를 알 수 있다. 막대의 중심온도

는 판의 두께가 일정하므로, Heisler 선도의 무한평판의 제곱이라 할 수 있다.

(𝜃0

𝜃𝑖

)𝑏𝑎𝑟

= (𝜃0

𝜃𝑖

)𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒

× (𝜃0

𝜃𝑖

)𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒

=𝑇0 − 𝑇∞

𝑇𝑖 − 𝑇∞

=40 − 110

10 − 110= 0.7 →

𝜃0

𝜃𝑖

= 0.84

Heisler 도표에서 이에 해당하는 Fo은,

Fo =𝛼𝑡

𝐿2= 1.2

𝛼 =𝑘

𝜌𝑐𝑝

=15

5000 × 150= 2 × 10−5 𝑚2 𝑠⁄

t =1.2 × 𝐿2

𝛼=

1.2 × 0.12

2 × 10−5= 600 s = 10 min

열량을 구하기 위해서, Heisler 선도를 이용하면 𝐵𝑖 = 0.2이므로,

𝐹𝑜 ∙ 𝐵𝑖2 = 1.2 × 0.22 = 0.048 → 𝑄

𝑄0

= 0.18

식에 대입하면,

(𝑄

𝑄0

)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= (𝑄

𝑄0

)1

+ (𝑄

𝑄0

)2

[1 − (𝑄

𝑄0

)1

] = 0.18 + 0.18 × (1 − 0.18) = 0.33

𝑄0

𝐿= 𝜌𝑐𝑝(2𝐿)2(𝑇∞ − 𝑇𝑖) = 5000 × 150 × (0.2)2 × (110 − 10) = 3000000 𝐽/𝑚 = 3000 𝑘𝐽/𝑚

∴Q

𝐿= 0.33 × 3000 = 990 𝑘𝐽/𝑚

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■ 비정상상태 수치해법

규칙적인 형상을 한 물체에서의 열전달은 다차원계를 통해서 구할 수 있지만, 일상에서는 불규칙적인 형상이

매우 많고 이 경우는 다차원계 방법의 적용이 불가능하며, 또한, 수학적인 해를 구하는 해석적인 방법이

불가능하다. 이런 경우, 앞선 정상상태의 경우와 마찬가지로 유한차분법을 이용한 수치해석을 이용하여 문제

풀이를 접근할 수 있다.

정상상태에서 유한차분법을 통해서 수치해법을 다루었던 것 처럼, 비정상상태 역시 유한차분법을 이용한다.

정상상태에서는 내부절점으로 흐르는 열의 합이 0 이 되었으나, 비정상상태에서는 내부절점으로 흐르는 열의

합이 0 이 되는 것이 아니라, 대상부피(control volume)에서의 내부에너지의 시간에 대한 변화율과 같게

된다. 즉, 시간에 대한 미분을 포함한 항에 대해서도 유한차분법을 적용해야 한다(p 는 시간에 대한 증분을

나타낸다 – m 과 n 은 공간에 대한 증분).

Figure 5. Finite difference method for unsteady-state conduction

𝜕𝑇

𝜕𝑡=

𝑇𝑚,𝑛𝑝+1

− 𝑇𝑚,𝑛𝑝

∆𝑡

𝑇𝑚+1,𝑛𝑝

+ 𝑇𝑚−1,𝑛𝑝

− 2𝑇𝑚,𝑛𝑝

(∆𝑥)2+

𝑇𝑚,𝑛+1𝑝

+ 𝑇𝑚,𝑛−1𝑝

− 2𝑇𝑚,𝑛𝑝

(∆𝑦)2=

1

𝛼∙

𝑇𝑚,𝑛𝑝+1

− 𝑇𝑚,𝑛𝑝

∆𝑡

𝑇𝑚,𝑛𝑝+1

=𝛼∆𝑡

(∆𝑥)2(𝑇𝑚+1,𝑛

𝑝+ 𝑇𝑚−1,𝑛

𝑝+ 𝑇𝑚,𝑛+1

𝑝+ 𝑇𝑚,𝑛−1

𝑝) + [1 −

4𝛼∆𝑡

(∆𝑥)2] 𝑇𝑚,𝑛

𝑝

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𝑇𝑚,𝑛𝑝+1

=𝛼∆𝑡

(∆𝑥)2(𝑇𝑚+1,𝑛

𝑝+ 𝑇𝑚−1,𝑛

𝑝) + [1 −

2𝛼∆𝑡

(∆𝑥)2] 𝑇𝑚,𝑛

𝑝

식에서 알 수 있듯이, 시간과 거리증분이 관련된 아래의 매개변수값을 어떻게 선택하느냐에 따라 수치해를

얻는 과정이 매우 용이하게 된다. 예를 들어, 시간증분과 거리증분의 관련식을 4 로 선택하였다면, 시간증분

∆𝑡만큼 시간이 경과한후 절점 (m,n)의 온도는 시간증분 ∆𝑡 = 0인 초기 시점에서 절점 (m,n) 주위에 있는

네개의 주위 절점 온도를 대수적으로 평균한 값이 된다.

𝑀 =(∆𝑥)2

𝛼∆𝑡

즉, 2 차원계에서는 M=4 로 하고, 1 차원계에서는 M=2 로 하면 수치해를 얻는 과정이 쉬워진다. 일반적으로,

증분을 크게 할수록 값을 빨리 구할 수 있지만 정확도는 떨어지고, 작게 할수록 정확도는 올라가지만 계산

시간이 오래 걸린다. 얼핏 보면, 거리증분을 작게하고, 시간증분을 크게하면 정확하면서도 신속한 해를 구할

수 있을 것 같으나, 사실은 그렇지 못하다. 왜냐하면 ∆𝑥를 선택하면 ∆𝑡의 값이 고정되기 때문이다: 즉, M 값은

범위가 있다.

♠ M값은 범위가 있다.

예를 들어서 인접한 주위 절점의 온도는 서로 같고, 𝑇𝑚𝑝보다 작다고 가정하면 시간증분 ∆𝑡만큼 경과한 후에

𝑇𝑚𝑝이 주위 절점 온도보다 더 낮아질 수는 없다. 더 낮아진다면 열이 저온에서 고온으로 흐르게 되어 열역학

2 법칙에 위배가 된다. 그러므로, M 값에는 제한이 있다. 즉, 계수가 음수이면 마디로의 열흐름의 합이

내부에너지를 감소시킴으로서 열역학 제 2 법칙에 어긋난다 (간단히 말해서 계수가 음수가 되면, 특정 경우에

있어서 우변이 음수가 되어 온도가 음수가 되는 경우가 발생하므로 모순이다). 수학적으로는 제한조건을

만족하지 않는다면 유한차분해는 결코 수렴하지 않는다.

▶ 대류경계조건

위의 식은 시간과 공간의 함수로 고체내부의 온도를 구할 때 대단히 유용하다. 고체 경계면에서는 보통

대류저항이 존재하기 때문에 위의 식을 더 이상 사용할 수 없다. 일반적으로 각각의 대류경계조건은

해석하고자 하는 특정한 기하학적 형상에 다라 개별적으로 다루어야 한다.

평면벽의 경우는 유한차분법은 다음과 같이 쓸 수 있다.

𝑘∆𝑦𝑇𝑚−1,𝑛

𝑝− 𝑇𝑚,𝑛

𝑝

∆𝑥+ 𝑘

∆𝑥

2∙

𝑇𝑚,𝑛+1𝑝

− 𝑇𝑚,𝑛𝑝

∆𝑦+ 𝑘

∆𝑥

2∙

𝑇𝑚,𝑛−1𝑝

− 𝑇𝑚,𝑛𝑝

∆𝑦+ ℎ∆𝑦(𝑇∞ − 𝑇𝑚,𝑛

𝑝) = 𝜌𝑐 ∙

∆𝑥

2∙ ∆𝑦

𝑇𝑚,𝑛𝑝+1

− 𝑇𝑚,𝑛𝑝

∆𝑡

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𝑇𝑚,𝑛𝑝+1

=𝛼∆𝑡

(∆𝑥)2{(2

ℎ∆𝑥

𝑘𝑇∞ − 2𝑇𝑚−1,𝑛

𝑝+ 𝑇𝑚,𝑛+1

𝑝+ 𝑇𝑚,𝑛−1

𝑝) + [

(∆𝑥)2

𝛼∆𝑡− 2

ℎ∆𝑥

𝑘− 4] 𝑇𝑚,𝑛

𝑝}

𝑇𝑚,𝑛𝑝+1

=𝛼∆𝑡

(∆𝑥)2{(2

ℎ∆𝑥

𝑘𝑇∞ + 2𝑇𝑚−1

𝑝) + [

(∆𝑥)2

𝛼∆𝑡− 2

ℎ∆𝑥

𝑘− 2] 𝑇𝑚,𝑛

𝑝}

결과적으로, 현재시간에서 주어진 주위 절점 온도를 이용하여 향후 구하고자 하는 시간에서의 절점온도를

구할 수 있다.

Figure 6. Finite difference method for unsteady-state conduction with convection boundary condition

▶ 전진차분법과 후진차분법 (참고)

비정상상태의 수치해석 방법에는 전진차분법과 후진차분법 두 가지가 있으며, 필요 및 편의에 따라 선택하면

된다.

1. 전진차분법: 시간증분이 경과하지 않은 초기상태에서 주어진 주위 절점온도의 항으로 향후

구하고자 하는 시간증분 시점에서의 절점 온도를 표현한 것 (양함수식)

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2. 후진차분법: 미래 시점의 온도값을 기준으로 과거 시점의 온도값을 표현 (음함수식). TP의 항으로

TP+1

을 명확하게 계산할 수 없지만, 안정성과 관련된 제한이 없다 (대괄호안의 항이 +로 연결되어

있다).

교재의 표 4.2 는 비정상 상태에서의 절점방정식을 양함수의 형태 (전진차분법), 표 4.3 은 비정상 상태에서의

절점방정식을 음함수의 형태 (후진차분법)로 각각의 물리적 상태 (정상상태에서 했듯이)에 따라 정리해

놓았다.

■ 비정상상태 수치해법 예제

1. 다음 주어진 그림과 같이 오른쪽이 완전히 단열된 벽이

있다. 그림에서 큰 정사각형 한 변의 길이는 20 cm 이고,

𝑘 = 2 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾, ℎ = 40 𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾 이다.

1) 1 과 2 점에서의 정상상태에서의 온도를 구하고, 각각의

점에서 단위 깊이 당 열전달을 구하여라.

2) 갑작스런 온도변화로 인해 주변 공기의 온도가 80℃로 높아져서 절점 2 에서 정상상태의 유지가

불가능해졌다고 하자(다른 모든 조건은 같다). 이 때, 시간 증분의 최대값을 구하여라(α = 1 × 10−2𝑚2/𝑠).

(solution 1)

절점 1 은 단열경계, 절점 2 는 대류경계의 절점이므로,

ℎ∆𝑥

𝑘=

40 × 0.1

2= 2

절점 1: 40 + 100 + 2 × 50 − 4T1 = 0

절점 2: T2 (ℎ∆𝑥

𝑘+ 2) −

ℎ∆𝑥

𝑘∙ 𝑇∞ −

1

2(2 × 50 + 100 + 40) = 0

40 + 100 + 2 × 50 − 4T1 = 0

4T2 − 2 ∙ 20 −1

2(2 × 50 + 100 + 40) = 0

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∴ 𝑇1 =240

4= 60℃, 𝑇2 =

160

4= 40℃

각각의 점에서의 열전달을 𝑞1, 𝑞2라 하면,

𝑞1 = 0 𝑊/𝑚

𝑞2 = hA(𝑇2 − 𝑇∞) = 400 × 0.1 × (40 − 20) = 800 𝑊/𝑚

(solution 2)

안정성에 의해

(∆𝑥)2

𝛼∆𝑡= 2 (

ℎ∆𝑥

𝑘+ 2)

문제에 의해 ∆𝑥 = 10𝑐𝑚 = 0.1𝑚이므로,

(0.1)2

1 × 10−2∆𝑡= 2 (

40 × 0.1

2+ 2) = 8

∴ ∆𝑡 =(0.1)2

8 × 1 × 10−2= 0.16 초