chapter 4 - cs.pu.edu.twtsay/course/linearalgebra/slides/ch04b.pdf · 純量，因為 (0, 0, 0) +...

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Chapter 4

向量空間4.6 ~ 4.9

Part B

4.6 線性相依與線性獨立4 7 基底與維度4.7 基底與維度4.8 矩陣秩數4.9 Rn空間之單範正交向量及投影

Copyright © 滄海書局 Ch04B_2

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4.6 線性相依與線性獨立

定義：

(a)向量空間V之一組向量{v v v }為線性相依(a)向量空間V之一組向量{v1, v2, …, vm}為線性相依(linearly dependent)，若存在有一組不全為零之純量c1, c2, …, cm，使得

c1v1 + c2v2 +… +cmvm = 0(b)一組向量{v1, v2, …, vm}為線性獨立(linearly

independent)，若下式


independent)，若下式c1v1 + c2v2 +… +cmvm = 0

僅在c1 = c2 = …= cm = 0時成立。

Example 1試證明{(1, 2, 3), (−2, 1, 1), (8, 6, 10)}為R3中之一組線性相依向量

Solution檢視下列等式檢視下列等式，

若為線性相依，則要證明上式中至少有一個ci不為零。0=+−+ )10,6,8()1,1,2()3 ,2 ,1( 321 ccc

00

=+++++−=+−+

)103 ,62 ,82()10,6,8(),,2()3 ,2 ,(

321321321

333222111

cccccccccccccccccc

比對各元素可得下列線性方程式系統，


比對各元素可得下列線性方程式系統

0103062082

321

321

321

=++=++=+−

ccccccccc

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上列系統之解可以寫成c1 = −4r, c2 = 2r及c3 = r，因此−4r(1, 2, 3) + 2r(−2, 1, 1) + r(8, 6, 10) = 0

令r = 1（可以選擇任意實數），則有−4(1, 2, 3) + 2(−2, 1, 1) + (8, 6, 10) = 0

亦即存在有不全為0之c1 = −4, c2 = 2及c3 = 1，可使得eq(1)成立，因此這組向量為線性相依。


Example 2試證明{(3, −2, 2), (3, −1, 4), (1, 0, 5)}為R3中之一組線性獨立向量

檢視下列等式Solution檢視下列等式，

若為線性獨立，則上式必須僅在所有ci均同時為零時成立。0=+−+− )5,0,1()4,1,3()2 ,2 ,3( 321 ccc

00

=++−−++=+−+−

)542 ,2 ,33()5,0,()4,,3()2 ,2 ,3(

32121321

33222111

cccccccccccccccc

比對各元素可得下列線性方程式系統033 ++


上列系統僅有唯一解c1 = 0, c2 = 0及c3 = 0，因此這組向量為線性獨立。

054202033

321

21

321

=++=−−=++

cccccccc

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Example 3考量向量空間P2之函數f(x) = x2 + 1、g(x) = 3x − 1及h(x) = −4x+ 1，試證明{f, g, h}為線性獨立

Solution檢視下列等式，c f + c g + c h = 0

其中x為任意實數，則隨意選取三個簡單實數代入上式，可得

檢視下列等式，c1 f + c2 g + c3 h 0若上式僅在c1 = 0, c2 = 0及c3 = 0時成立，則{f, g, h}為線性獨立。將上式改寫成

c1(x2 + 1) + c2(3x − 1) + c3(−4x + 1) = 0

0:0 321 =+−= cccx


計算可知上列系統僅有一組唯一解c1 = 0, c2 = 0及c3 = 0，因此{f, g, h}為線性獨立。

0542 :10322:1

321

321

=+−−==−+=

cccxcccx

Theorem 4.8向量空間中一組包含兩個以上向量的向量組為線性相依，若且唯若其中任一向量可以表示成其他向量之線性組合。

Proof令{v1, v2, …, vm}為線性相依，則存在有一組不全為零之純量c1, c2, …, cm，使得

c1v1 + c2v2 + …+ cmvm = 0假設c1 ≠ 0，則上式可以改寫成

mm

cc

cc vvv ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

12

1

21


即存在有一組不全為零之純量d2, …, dm，使得v1 = d2v2 + …+ dmvm

整理上式為1v1 + (−d2)v2 + …+ (−dm)vm = 0

因此證明向量組{v1, v2, …, vm}確為線性相依。

⎠⎝⎠⎝ 11

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{v1, v2}之線性相依


{v1, v2, v3}之線性相依


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Theorem 4.9令V為一向量空間，則V中任何一組包含零向量的向量組必定為線性相依。

ProofProof考量包含零向量的向量組{0, v2, …, vm}，則檢視下列等式

c10 + c2v2 + …+ cmvm = 0可知上式必有一解為c1 = 1, c2 = 0, …, c3 = 0，即ci並非全部為零，因此證明向量組{0, v2, …, vm}確為線性相依。


Theorem 4.10令{v1, v2, …, vm}為向量空間V中之一組線性相依向量，則V中任何包含有此組向量之向量組亦必定為線性相依。

Proof因為{v1, v2, …, vm}為線性相依，所以必定存在有一組不全為零之純量c1, c2, …, cm，使得

0vv =++ mmcc 11考量包含v1, v2, …, vm之向量組{v1, v2, …, vm, vm+1, …, vn}，因必定有一組不全為零之純量c c c 0 0，使得


因必定有組不全為零之純量c1, c2, …, cm, 0, …, 0，使得

因此可知向量組{v1, v2, …, vm, vm+1, …, vn }確為線性相依。

0vvvv =+++++ + nmmmcc 00 111

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Example 4令{v1, v2}為一組線性獨立向量，試證{v1 + v2, v1 − v2}亦為線性獨立

Solution檢視下列等式，

若能證明上式僅在a, b均同時為零時成立，則{v1 + v2, v1 − v2}為線性獨立。

0)()( 2121 =−++ vvvv ba

0)()(0

21

2121

=−++=−++

vvvvvv

bababbaa


既然{v1, v2}為線性獨立，因此由上式可知

上列系統僅有唯一解a = 0, b = 0，因此可知{v1 + v2, v1 − v2}為線性獨立。

00

=−=+

baba

4.7 基底與維度

定義：

一有限個數之向量組{v1, v2, …, vm}為向量空間V之一組基底若且唯若該組向量生成向量空間且互為線性獨立(basis)，若且唯若該組向量生成向量空間V，且互為線性獨立。

定義：

如下之n個向量組{(1, 0, …., 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 1)}


{( , , , ), ( , , , , ), , ( , , , )}為向量空間Rn之一組基底，此組基底稱為Rn的標準基底(standard basis)。

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Example 1試證明{(1, 0, −1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)}為向量空間R3之一組基底Solution首先證明此組基底生成R3，令(x1, x2, x3)為R3之任意向量，我1 2 3們將試著找尋純量a1, a2及a3，使得

)4,2,1()1,1,1()1,0,1() , ,( 321321 aaaxxx ++−=比對各元素可得下列線性方程式系統

3321

232

1321

42

xaaaxaaxaaa

=++−=+=++


上列系統之解為

因此，此組向量生成R3。

3321 4 xaaa ++

321332123211 2,252,32 xxxaxxxaxxxa +−=−+−=+−=

接著檢視此組向量是否為線性獨立，考量下列等式

由上式可得下列線性方程式系統

)0,0,0()4,2,1()1,1,1()1 ,0 ,1( 321 =++− bbb

04020

321

32

321

=++−=+=++

bbbbbbbb


此系統恰有一解為b1 = 0, b2 = 0, b3 = 0，因此此組向量為線性獨立。


我們以證明向量組{(1, 0, −1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)}生成R3，且為線性獨立，因此該向量組為R3之一組基底。

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Example 2試證明{f, g, h}為P2之一組基底，其中f(x) = x2 + 1、g(x) = 3x− 1及h(x) = −4x + 1Solution

為之組基底若此組數生成為線性獨{f, g, h}為P2之一組基底，若此組函數生成P2，且為線性獨立。由5.4節例題3可知此組函數互為線性獨立，因此我們必須在確認它們可以生成P2。令p為P2之任意元素，則p為具有下列形式之函數

dcxbxxp ++= 2)(

函數f 及h可生成P 若存在有組純量及使得


函數f, g及h可生成P2，若存在有一組純量a1, a2及a3，使得

)()()()( 321 xhaxgaxfaxp ++=

亦即


)()43()14()13()1(

321322

1

322

12

aaaxaaxaxaaaxadcxbx+−+−+=+−+−++=++


daaacaaba

=+−=−=

321

32

1

43

計算可知上列系統有解如下

cdbacdbaba −−=−−== 33,44 , 321


因此函數p可以表示成

亦即f, g及h生成P2。此組函數生成P2，且互為線性獨立，因此為P2之一組基底。

)()()()( 321 xhaxgaxfaxp ++=

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Theorem 4.11令{v1, …, vn}為向量空間V之一組基底，若{w1, …, wm}為一個向量數多於n的向量組，則此組向量為線性相依。

Proof:檢視下列等式

c1w1 + c2w2 + …+ cmwm = 0 (1)我們將顯示存在有一組不全為零之純量c1, …, cm可使得上式成立，以證明w1, w2, …, wm互為線性相依。由於{v1, …, vn}為向量空間V之一組基底，因此每一個wi均可表示成v1, …, vn之線性組合，令


w1 = a11v1 + a12v2 +…+ a1nvnwm = am1v1 + am2v2 +…+ amnvn

將上列w1, …, wm代入eq.(1)，可得

上式可改寫成

0vvvvvv =++++++++ )()( 2121112121111 nmnmmnn aamacaaac

0vv =++++++++ nmnmnnmm acamcacacacac )()( 221111212111由於v1, …, vn為線性獨立，因此上式只有在所有係數均同時為0時始能成立，亦即

0

0

2211

1221111

=+++

=+++

mmnnn

mm

cacaca

cacaca

因此求解滿足eq.(1)之各ci值的問題，至此簡化成求解上列


具n個方程式、m個變數的問題。由於n >m，即變數個數大於方程式個數，而我們知道此種線性齊次系統有無限多組解，亦即必有不全為零的一組ci值可以滿足eq.(1)，故證明向量組{w1, …, wm}確為線性相依。

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Theorem 4.12向量空間V之任意二組基底均具有相同的向量數。

Proof令{v1 v }及{w1 w }均為向量空間V之基底。令{v1, …, vn}及{w1, …, wm}均為向量空間V之基底若我們描述{v1, …, vn}為向量空間V之一組基底，而{w1, …, wm}為V之一組線性獨立向量，則由理論4.11可知m≤ n；反之，若我們描述{w1, …, wm}為向量空間V之一組基底，而{v1, …, vn}為V之一組線性獨立向量，


{ 1 n}則由理論4.11可知n≤ m，因此n= m，亦即兩組基底均具有相同的向量數。

定義：

若向量空間V有一含n個向量之基底，則稱向量空間V之維度為n，註記為dim(V) = n。

• Example:包含n個向量之向量組{(1, 0, …., 0), …, (0, 0, …, 1)}為向量空間Rn之一組基底（標準基底），因此Rn之維度為n。

‧當有限個數向量組存在時，我們稱該向量空間為有限維度(finite dimensional)向量空間；


(finite dimensional)向量空間；‧反之，則稱之為無限維度(infinite dimensional)向量空間。

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Example 3考量R3中一組向量{(1, 2, 3), (−2, 4, 1)}，此組向量生成R3之子空間V，因此V中所有向量均具下列形式，

v = c1(1, 2, 3) + c2(−2, 4, 1)而(1, 2, 3)與(−2, 4, 1)彼此間無純量倍數關係，即兩者互為線性獨立，所以{(1, 2, 3), (−2, 4, 1)}為V之一組基底，因此dim(V) = 2。事實上，V為一通過原點的平面。


Theorem 4.13(a) 原點是一個R3的子空間，而這個子空間的維度定義為零。(b) R3的一維子空間是所有通過原點的直線。(c) R3的二維子空間是所有通過原點的平面（詳圖4.23）。


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Proof(a) 令V為僅包含R3之零向量的向量組{(0, 0, 0)}，而c為任意

純量，因為

(0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0) 且 0(0, 0, 0) = (0, 0, 0)即對向量加法及純量乘積封閉，因此，而我們定義這個子空間的維度為零。

(b) 令v為一個R3一維子空間V之基底，則V中所有向量均可表示成cv，其中c為任意純量，這些向量形成一條通過原點的直線。


的線

(c) 令{v1, v2}為一R3二維子空間V之基底，則V中所有向量均可表示成c1v1 + c2v2，其中c1, c2為任意純量，這些向量形成一個通過原點的平面。

Theorem 4.14令{v1, …, vn}為向量空間V之基底，則V中每一個向量均能表示成唯一的一個v1, …, vn線性組合

Proof令v為V中之向量，由於{v1, …, vn}為向量空間V之基底，因此v可以表示成這些向量的線性組合；假設v可分別表示成

nnnn bbaa vvvvvv ++=++= 1111 and

即亦即

nnnn bbaa vvvv ++=++ 11110vv =−++− baba )()(


亦即 0vv =++ nnn baba )()( 111由於{v1, …, vn}為V之基底，因此v1, …, vn互為線性獨立，所以上式意味著(a1 − b1) = 0, …, (an − bn) = 0，亦即a1 = b1, …, an = bn，因此可知對基底{v1, …, vn}而言，V中任意向量v僅有一種線性組合的方式。

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Theorem 4.15令V為一n維向量空間，則(a) 若S = {v1, …, vn}為V中一組含n個線性獨立向量之向量組，

則S為V之基底。(b) 若S = {v1, …, vn}為V中一組含n個向量之生成集合，則S

為V之基底。


Example 4試證向量組{(1, 3, −1), (2, 1, 0), (4, 2, 1)}為R3之一組基底Solution通常我們必須證明向量組為獨立且生成向量空間來確立一向量組是否為基底，而理論5 11則告訴我們：量組是否為基底，而理論5.11則告訴我們：在向量個數與維度相同時，只需要檢驗其中一個即可。R3之維度為3，因此R3之基底應包含3個向量，所以給定向量組（具3個向量）之向量個數是正確的，因此這裡我們僅檢驗線性獨立，即

)0,0,0()1,2,4()0,1,2()1 ,3 ,1( 321 =++− ccc由上列等式可得下列線性方程式系統


由上列等式可得下列線性方程式系統

此系統恰有一解為c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0，因此此組向量為線性獨立。所以可知{(1, 3, −1), (2, 1, 0), (4, 2, 1)}為R3之一組基底。

0023042

31

321

321

=+−=++=++

cccccccc

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Theorem 4.16令V為一n維向量空間，若{v1, …, vm}為V中一組線性獨立向量(其中m < n)，則存在有vm+1, …, vn等向量，使得{v1, …, vm,vm+1, …, vn}為V之一組基底。

Proof由於m < n，因此{v1, …, vm}無法成為V之一組基底，所以V中必存在有一向量vm+1不在由{v1, …, vm}生成之子空間中，則{v1, …, vm, vm+1}為一組線性獨立向量；若m+ 1 = n，則{v1, …, vm, vm+1}為V之一組基底，而若m+ 1 < n，則V中必存在有一向量v 2不在由{v1 v


而若m+ 1 < n 則V中必存在有向量vm+2不在由{v1, …, vm,vm+1}生成之子空間中，若m+ 2 = n，則{v1, …, vm, vm+1, vm+2}為V之一組基底，如此繼續即必可找到一組基底。

Example 5試簡要陳述下列各敘述為正確或錯誤

(a) 向量組{(1, 2), (−1, 3), (5, 2)}在R2中為線性相依(a) 向量組{(1, 0, 0), (0, 2, 0), (1, 2, 0)}生成R3

(b) 向量組{( ) ( )}為 3中具( b b)形式向(b) 向量組{(1, 0, 2), (0, 1, –3)}為R3中具(a, b, 2a – 3b)形式向量所組成之子空間的基底

(c) 任何一個含兩向量的向量組，均可生成一個R3的二維子空間

Solution


(a) 正確：R2之維度為2，因此任意3個R2向量必為線性相依。(b) 錯誤：此組向量為線性相依，因此無法生成三度空間R3。

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(c)正確：所給向量可生成該子空間，因為(a, b, 2a − 3b) = a (1, 0, 2) + b (0, 1, −3)

且為線性獨立，因此為該子空間之基底。且為線性獨立因此為該子空間之基底

(d)錯誤：該二向量必須為線性獨立。


矩陣、多項式及複數空間• 矩陣、多項式及複數空間

考量2 × 2矩陣的向量空間M22，下列矩陣生成M22，

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

1000

0100

0010

0001

因為M22中之任意矩陣均可表示成

同時，這些矩陣亦互為線性獨立，因為

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 10010000

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

1000

0100

0010

0001 dcba

dcba

00001001 ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡


只有在 = 0，亦即c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0, c4 = 0時成立。因此，本組矩陣構成M22之一組基底，所以M22之維度為4；由此亦可推知，Mmn之維度為mn，像這樣的基底稱為Mmn之標準基底(standard basis)。

01000

0100

0010

0001

4321 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ cccc

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

43

21

cccc

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‧函數空間考量次數小於等於2的多項式函數所成的向量空間P2，函數x2, x及1生成P2，因為所有P2的向量ax2 + bx + c都可以被表示成表示成

ax2 + bx + c = a(x2) + b(x) + c(1)而x2, x及1為線性獨立，因為對所有x而言，

c1x2 + c2x + c3 = 0

即意指c = 0 c = 0 c = 0，因此{ x2 x 1}為P 之一組基底，


即意指c1 0, c2 0, c3 0，因此{ x , x, 1}為P2之一組基底，而P2之維度為3。相同地，{xn, xn-1, …, x, 1}為Pn之一組基底，即Pn之維度為n + 1，而此組基底稱為Pn之標準基底。

‧函數空間Cn考量向量空間C2，向量(1, 0)及(0, 1)生成C2，因為C2的任意向量(a + bi, c + di)均可表示成

(a + bi, c + di) = (a + bi)(1, 0) + (c + di)(0, 1)

(1, 0)及(0, 1)亦為線性獨立，因此為C2之一組基底，而C2之維度為2。相同地，{(1, …, 0)及(0, …, 1)}為Cn之一組基底，即Cn之維度為n，而此組基底稱為Cn之標準基底。


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4.8 矩陣秩數定義：令A為一m×n矩陣，將矩陣A各列視為列向量，而各行為行向量，則每一列向量具n個元素，每一行向量具m個元素；此組列向量生成一個子空間稱為矩陣之列空間列向量生成一個Rn子空間，稱為矩陣A之列空間 (row space)，而所有行向量則生成一個Rm子空間，稱為矩陣A之行空間(column space)。


Example 1

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

61432121

考量下列矩陣A

⎥⎦⎢⎣ 0145矩陣A之列向量為

)0,1,4,5(),6,1,4,3(),2,1 ,2 ,1( 321 ==−= rrr

這些向量生成一個R4之子空間，稱為矩陣A之列空間。矩陣A之行向量為


這些向量生成一個R3之子空間，稱為矩陣A之行空間。

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

062

111

442

531

4321 cccc

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Theorem 4.17矩陣A之列空間與行空間具有一樣之維度。

Proof令為矩陣A之列向量，其中第i個向量為令為矩陣之列向量其中第個向量為

假設列空間之維度為s，且為列空間之一組基底，其中第j個向量可表示成

則矩陣A的每一列向量均可寫成之線性組合，令

),,,( 21 iniii aaa …=u

),,,( 21 jnjjj bbb …=v


ssccc vvvu 12121111 +++=

smsmmm ccc vvvu +++= 2211

上列方程式系統可改寫成

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ssiii

i

c

cb

c

cb

c

cb

a

a 1122

11

1

1

上式顯示矩陣A的每一個行向量均在一個由s個向量所生成的向量空間中，由於s為矩陣A列空間之維度，因此可知

dim(矩陣A行空間) ≤ dim(矩陣A列空間)同樣的邏輯可推知

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ msmmmi ccca 21


同樣的邏輯，可推知

dim(矩陣A列空間) ≤ dim(矩陣A行空間)上述結果只有在兩個空間的維度相等時始能同時成立，即

dim(矩陣A列空間) = dim(矩陣A行空間)因此得證。

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定義：

矩陣A列空間與行空間之維度稱為該矩陣之秩(rank)，註記為rank(A)。為rank(A)


Example 2試計算下列矩陣的秩

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

852210321

A⎦⎣ 852

Solution觀察可知，矩陣A第三列為第一、二列之線性組合，即

(2, 5, 8) = 2(1, 2, 3) + (0, 1, 2)亦即矩陣A各列互為線性相依，因此其秩數必定小於3，而由於(1, 2, 3)並非(0, 1, 2)之純量倍數，


( ) ( )因此互為線性獨立，

故可知此二向量形成矩陣A列空間之基底，即rank(A) = 2。

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Theorem 4.18矩陣A之列簡梯形中的非零列向量形成矩陣A列空間之一組基底，而這些非零列向量的個數即為矩陣A之秩數

Example 3: 試求下列矩陣之秩數

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000100001000021

A


矩陣A已為列簡梯形形式，其中有三個非零列向量，即(1,2,0,0)、(0,0,1,0)及(0,0,0,1)，由上述理論可知這三個向量形成矩陣A之一組基底，即Rank(A) = 3。

⎦⎣

Theorem 4.19令A、B為列等價矩陣(row equivalent matrices)，則A、B具有相同的列空間，即rank(A) = rank(B)。

Theorem 4 20Theorem 4.20

令E為矩陣A之列簡梯形，則E之非零列向量形成矩陣A列空間之一組基底，而矩陣A之秩數即為E之非零列向量數。


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Example 4試求取下列矩陣列空間之一組基底，並求解其秩數

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

= 452321

A⎥⎦⎢⎣ 511

Solution利用基本列運算求解矩陣A之列簡梯形，可得

⎥⎤

⎢⎡

−≈⎥⎤

⎢⎡

−≈⎥⎤

⎢⎡

210701

210321

452321


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

≈⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

≈⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ 000

210210210

511452

其非零列向量(1, 0, 7)及(0, 1, –2)形成矩陣A列空間之一組基底，而rank(A) = 2。

Example 5試求解下列矩陣A行空間之一組基底

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−−−

641232011

A

SolutionSolution矩陣A之轉置矩陣At為 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−−−

621431121

tA

則A之行空間成為At之列空間。我們求解At列空間之一組基底，先計算At之列簡梯形

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

≈⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

≈⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−

− 310501

310121

431121


At列簡梯形之非零列向量(1, 0, 5)、(0, 1, –3)形成At列空間之一組基底，因此下列向量形成矩陣A行空間之一組基底，

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ −− 000620620

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

310

,501

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Example 6試求解由下列向量生成之R4子空間V的一組基底

(1, 2, 3, 4), (-1, -1, -4, -2), (3, 4, 11, 8)Solution將已知向量寫成矩陣A之列向量即將已知向量寫成矩陣A之列向量，即

計算其列簡梯形，可得

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= −−−−

8114324114321

A

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

≈⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

≈⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−−−− 21100501

21104321

24114321


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ −− 0000422081143

其非零列向量即為V之一組基底，也就是此子空間V之維度為2。

Theorem 4.21考量一m個方程式n個未知數的線性方程式系統AX = B(a) 若增廣矩陣及係數矩陣具相同秩數r，且r = n，則有唯一

解。

(b) 若增廣矩陣及係數矩陣具相同秩數r，且r < n，則有無限多解。

(c) 若增廣矩陣及係數矩陣之秩數不同，則無解。


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Example 7考量下列於第1.1節討論過之線性方程式系統

623 322

321

321

−=−−=++=++

xxxxxxxxx

其增廣矩陣及列簡梯形形式如下所示

62 321 −=−− xxx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −≈≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−− 210010101001

621131322111

在本例中，我們發現確實存在有唯一的組合，x = –1 x = 1 x =


在本例中，我們發現確實存在有唯的組合，x1 1, x2 1, x3 2。

Theorem 4.22令A為一n×n矩陣，則下列敘述均為相等(或等價, equivalent).(a) |A| ≠ 0 （即A為非奇異）(b) A 為可逆(c) A與In列等價(d) Rank(A) = n. (e) Rn的行向量形成Rn的一組基底(f) 方程式系統AX = B有唯一解


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Example 8考量矩陣A，計算可知

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≈≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−

=000010001

531532211

A

(i) A為非奇異（因為 )1−=A(i) A為非奇異（因為

(ii) A為可逆 . (因為

(iii) Rank(A) = 3，因此A與的列空間及行空間之維度均為3

(iv)向量形成R3之一組基底

.)1=A

)123135110

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−=−A

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−−

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

52

,31

,21


( )向量形成之組基底

(v) 對所有b1, b2及b3而言，線性方程式系統

均有一組唯一解，例如當b1 = 1, b2 = 3, b3 = –2時，系統有唯一解為x1 = 1, x2 = –2, x3 = 1。

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣− 531

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−

3

2

1

3

2

1

531532211

bbb

xxx

4.9 Rn空間之單範正交向量及投影

定義：

向量空間V中之一向量集合稱為正交集合(orthogonal set)，若向量空間V中之一向量集合稱為正交集合(orthogonal set) 若該組向量集合中之任意二向量均互為正交。而當正交集合中的每一向量亦均為單位向量時，則稱該集合為單範正交集合(orthonormal set)。


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Example 1( ) ( ){ }為一組單範正交集合 ,0, , , 0,),0 ,0 ,1( 試證明向量集合 53545453 −

Solution首先證明任意一對向量均互為正交。

( ) ;0,,0)0,0,1( 5453 =⋅ ( ) ;0,,0)0,0,1( 5354 =−⋅ ( ) ( ) ;0,,0,,0 53545453 =−⋅因此，此向量集合中之向量互為正交(mutually orthogonal)，接著要證明每一向量均為單位向量，即

( ) ( ) ( ) 10 , 0,1001)0,0,1(222

222

54

53

54

53 =++=

=++=


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 10 ,0,

,,222

53

54

53

54

5555

=++=− −

所有向量均為單位向量且互為正交，因此本向量集合為單範正交集合。

Theorem 4.23向量空間中，一組非零向量正交集合之向量互為線性獨立。

Proof 令為向量空間V中一組非零向量正交集合，考量下列令為向間中非零向交集合考下列等式

c1v1 + c2v2 + … + cmvm = 0

由於 v1, …, v2 互為正交，因此當時， vj‧vi = 0 ，故

0)(

2211

2211

=⋅++⋅+⋅⋅=⋅+++

immii

iimm

cccccc

vvvvvvv0vvvv

ij ≠


由於 1, , 2 互為正交因此當時 j i 故上式可簡化成

而因為非零向量，所以 vi‧vi ≠ 0，故知 ci = 0.令 i = 1, …, m，則得 c1 = 0, …, cm = 0，因此得證這些向量確實互為線性獨立。

0=⋅ iiic vv

j

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定義：

若一組基底亦同時為正交集合，則稱該組基底為正交基底(orthogonal basis)；同樣地，若一組基底亦同時為單範正交集合，則稱該組基底為單範正交基底(orthonormal basis)。標準基底• R2: {(1, 0), (0, 1)}• R3: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 單範正交基底• Rn: {(1, …, 0), …, (0, …, 1)}

Theorem 4 24


Theorem 4.24令 {u1, …, un}為向量空間Rn中的一組單範正交基底，而v為Rn之向量，則v可以表示成此組基底之線性組合，即

nn uuvuuvuuvv )()()( 2211 ⋅++⋅+⋅=

Example 2下列向量u1, u2及u3構成R3之一組單範正交基底，試將v = (7, –5, 10)表示成這些向量之線性組合

( ) ( )53543545321 , 0, , , 0, 0), 0, 1,( −=== uuuSolution

( )( ) 10 , 0,10) ,5 ,7(

5 , 0,10) ,5 ,7(

70) 0, ,1(10) ,5 ,7(

53

54

3

54

53

2

1

−=−⋅−=⋅

=⋅−=⋅

=⋅−=⋅

uv

uv

uv

因此

( ) ( )3443


( ) ( )53545453 ,0,10,0,50)0,,1(710) ,5 ,7( −−+=−

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正交矩陣

定義：

若一矩陣之行向量形成一組單範正交集合，則稱該矩陣為正交矩陣(orthogonal matrix)。

Example 3:試證明下列矩陣A為一正交矩陣。

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−2

12

12

12

1

A

Solution 矩陣A之行向量為 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−2

12

1

22

12

1

1 and aa


⎦⎣⎦⎣ 22

02

12

12

12

1

12

12

1 ,12

12

1

21

22

2

22

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

aa

aa

Theorem 4.25令A為一正交矩陣，則(a) 矩陣A之列向量形成一組單範正交集合。(b) 矩陣A為可逆，且 A-1 = At。(a) A-1亦為一正交矩陣。(b) |A| = 1 或 – 1 (或寫成 |A| = ± 1)


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一個向量在另一個向量之投影

定義：

Rn中一向量v在另一非零向量u之投影 (projection, 註記為projuv)，定義為p ju )

uuuuvvu ⋅⋅

=proj


Example 4試求取向量v = (6, 7)在向量u = (1, 4)之投影

Solution342864)(17)(6

171614) (1,4) (1,342864)(1,7)(6,

=+=⋅=⋅=+=⋅=⋅

uuuv

因此

即v在u之投影為(2, 8)。

8) (2,4) ,1(1734proj ==

⋅⋅

= uuuuvvu


假設向量v = (6, 7)代表作用在位於原點之物體的力量，則投影projuv = (2, 8)代表該作用力於向量u = (1, 4)方向之分量；而其物理意義為此作用力在該方向之效應。

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Theorem 4.26Gram-Schmidt 正規化程序令 {v1, …, vn}為向量空間V中一組基底，則依下列程序定義之向量集合 {u1, …, un}為一組正交基底。而將 u1, …, un .逐一正規化即可得V之一組單範正交基底正規化，即可得V之一組單範正交基底。

nnnn vvvu

vvvuvvu

vu

uu

uu

u

11

21

1

projproj

projprojproj

3333

222

11

−−−=

−−=−=

=


nnnn nuu 11p jp j

−

Example 5R4中的向量集合{(1, 2, 0, 3),(4, 0, 5, 8),(8, 1, 5, 6)}為線性獨立，此組向量形成R4三維子空間V之一組基底，試建構V之一組單範正交基底。

Solution令 v1 = (1, 2, 0, 3), v2 = (4, 0, 5, 8), v3 = (8, 1, 5, 6). ，現在利用Gram-Schmidt程序由這些向量建構一組正交向量集合 {u1, u2, u3}

)(3) 0, 2, 1,( 令 11 == vu


2) 0, ,1 ,4()()(

)()(

projproj 令

2) 5, 4, 2,()()(proj 令

222

231

11

133

3333

111

222222

21

1

−=⋅⋅

−⋅⋅

−=

−−=

−=⋅⋅

−=−=

uuuuvu

uuuvv

vvvu

uuuuvvvvu

uu

u

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向量集合{(1, 2, 0, 3),(2, –4, 5, 2),(4, 1, 0, –2)}為V之一組正交基底（請檢視任意二者之點積確實均為零）。接著計算各向量的範數，然後便可進一步正規化這些向量，求得單範正交基底，基底，

21)2(0142) 0, 1, (4,

725)4(22) 5, 4, (2,

1430213) 0, 2, (1,

2222

2222

2222

=−+++=−

=++−+=−

=+++=

正規化所得正交基底，即得V之一組單範正交基底


規化所得交基底即得組單範交基底

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

212 0, ,

211 ,

214 ,

72 ,

75 ,

74 ,

72 ,

143 0, ,

142 ,

141

向量在子空間上的投影

定義：

令W為Rn之子空間，而 {u1, …, un}為W的一組單範正交基底，若v為Rn之一任意向量，則v在W之投影(註記為 projWv)可定義如下義如下

mmW uuvuuvuuvv )()()(proj 2211 ⋅++⋅+⋅=


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Theorem 4.27令W為Rn之子空間，則Rn中任意向量v可以唯一表示成

v = w + w⊥其中w為W中之向量，而則為正交於W之向量；且w及分別為

w = proj v and w = v proj vw = projWvv and w⊥ = v – projWvv


Example 6考量R3中的向量 v = (3, 2, 6)，令W為R3中包含所有具(a, b, b)形式之向量的子空間，試將v分解成一個W中之向量及一個正交於W之向量的加總。

Solution我們需要先求解一組W的單範正交基底。W中之任意向量均可表示成

(a, b, b) = a(1, 0,0) + b( 0, 1, 1)因此{(1, 0, 0), (0, 1, 1)}生成W，且兩者互為線性獨立，所以{(1 0 0) (0 1 1)}為W之一組基底。事實上，這二個向量亦


{(1, 0, 0), (0, 1, 1)}為W之一組基底。事實上，這二個向量亦互為正交，將二者正規化可得W之一組單範正交基底 {u1, u2} ，其中

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

21 ,

21 ,0 0), 0, 1,( 21 uu

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1101106)2(30)00))(10(16)23((

)()(proj 2211

⎟⎞

⎜⎛⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛⋅+⋅=

⋅+⋅== uuvuuvvw W則有

4) 4, (3,4) 4, (0,0) 0, ,3(2

,2

0,2

,2

0,6)2,(3,0)0,0))(1, 0, (1,6)2, 3,((

=+=

⎟⎠

⎜⎝⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

+=

2),2(0,4)4,(3,6)2,(3,proj −=−=−=⊥ vvw W而

因此預期的向量分解為

(3 2 6) (3 4 4) + (0 2 2)


(3, 2, 6) = (3, 4, 4) + (0, -2, 2)其中，向量 (3, 4, 4)在W之中而向量 (0, -2, 2)則正交於W。

點與子空間的距離

令為Rn中一點，W為Rn子空間，則可將x至W之距離（記為d(x, W)），定義成由x至W各任意點的距離中最短的那一個。則一點到ㄧ子空間W之距離即為該點到其在此子空間之投影的距離

),,( 1 nxx …=x

子空間之投影的距離 xxx WWd proj),( −=


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Example 7試求R3中一點 x = (4, 1, -7)到R3中包含所有具(a, b, b)形式之向量子空間W的距離。Solution由上例可知向量集合{ } 其中由上例可知向量集合{u1, u2} ，其中

為W之一組單範正交基底。因此projWx可由下式求得

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

21 ,

21 ,0 0), 0, 1,( 21 uu

( )( )( )7) 1, (4,0) 0, 0))(1, 0, (1,7) 1, 4,(()()(proj

21 ,

21 0,

21 ,

21 0,

2211

⋅−+⋅−=

⋅+⋅= uuxuuxxW


3) 3, (4,3) 3, (0,0) 0, ,4( −−=−−+=因此可得x至W之距離為

32)4 4, ,0(

)3 ,3 ,4()7 1, ,4(proj

=−=

−−−−=− xx W

chapter 4 - cs.pu.edu.twtsay/course/linearalgebra/slides/ch04b.pdf · 純量，因為 (0, 0, 0) +...

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