Faculty of Informatics, Burapha University 1

Chapter 5Functions

Benchaporn Jantarakongkul

Faculty of Informatics, Burapha University 2

นยามของฟงกชนนยาม ให A และB เปนเซตใด ๆ และ f เปนสบเซต

ของ AB f เปนฟงกชนจาก A ไป B(ff: A: ABB ) กตอเมอ f มคณสมบตดงน แตละสมาชก “ x ใน A จะมสมาชก y ใน B มาจบคเพยงตวเดยวเทานน”

หรอ 1. ทก ๆ x A ม y B ซง (x, y) f 2. ทก ๆ x A และ y, z B ถา (x, y) f และ (x, z) f แลว y = z

Faculty of Informatics, Burapha University 3

ตวอยาง• A={1, 2, 3, 4} A={1, 2, 3, 4} และและ B={0, 1, 2, 3, 4}B={0, 1, 2, 3, 4}• ความสมพนธทกำาหนดตอไปน ขอใดเปนฟงความสมพนธทกำาหนดตอไปน ขอใดเปนฟง

กชนจากกชนจาก A A ไปไป B?B?• ff = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}• gg = {(1,1), = {(1,1), (2,0)(2,0), (3,2), (4,1), , (3,2), (4,1), (2,4)(2,4)}}• hh = {(1,4), (2,2), (3,0)} = {(1,4), (2,2), (3,0)}• f f เปนฟงกชนเปนฟงกชน, , แตแต g g และและ hh ไมไมเปนฟงกชนเปนฟงกชน

Faculty of Informatics, Burapha University 4

Function Terminology

• ถากำาหนดฟงกชนถากำาหนดฟงกชน ff::AABB, , และและ ff((aa)=)=b b ((โดยทโดยท aaAA และและ bbBB), ), ดงนน กลาวไดวาดงนน กลาวไดวา::– AA คอ โดเมนคอ โดเมน (domain)(domain) ของของ ff – BB คอ โคโดเมนคอ โคโดเมน (codomain)(codomain) ของของ ff– bb คอ อมเมจคอ อมเมจ (image)(image) ของของ a a ภายใตภายใต ff– aa คอ พรอมเมจคอ พรอมเมจ (pre-image)(pre-image) ของของ bb ภายใตภายใต ff

• สงเกตวาสงเกตวา bb หนงคา อาจมพรอมเมจไดมากกวา หนงคา อาจมพรอมเมจไดมากกวา 1 1 ตวตว– พสยพสย((range)range) RRBB ของของ f f คอคอ RR={={bb | | aa ff((aa)=)=bb } }

Faculty of Informatics, Burapha University 5

Domain and Codomain• ถา f เปนฟงกชนจากเซต A ไปยง B, เรากลาววา A คอ

โดเมน(domain) ของ f และ B เปนโคโดเมน(codomain) ของ f

• โคโดเมนโคโดเมน((codomaincodomain)) คอเซต ทฟงกชนนนถกประกาศวาแมปคอเซต ทฟงกชนนนถกประกาศวาแมปคาในโดเมนไปยงคาในเซตนน ตวอยางน โคโดเมนคอ คาในโดเมนไปยงคาในเซตนน ตวอยางน โคโดเมนคอ {a,b,c,d}{a,b,c,d}

• พสยพสย((rangerange) ) คอเซตของคาในโคโดเมน ทฟงกชนแมปสมาชกคอเซตของคาในโคโดเมน ทฟงกชนแมปสมาชกของโดเมนไปยงคานนจรง โคโดเมนคอ ของโดเมนไปยงคานนจรง โคโดเมนคอ {a,b,c}{a,b,c}

1 2345

a

b

c

d

f

=f(2)2 เปน pre-image ของ b

b เปน image ของ 2

Faculty of Informatics, Burapha University 6

การเทากนของฟงกชนนยามนยาม ถา ถา f f และ และ g g เปนฟงกชนจาก เปนฟงกชนจาก A A ไป ไป B B เรากลาววา เรากลาววา f = f =

g g กตอเมอ โดเมนของ กตอเมอ โดเมนของ f f และโดเมนของ และโดเมนของ g g เปนเซตเปนเซตเดยวกนและโคโดเมนของ เดยวกนและโคโดเมนของ f f และโคโดเมนของ และโคโดเมนของ g g เปนเซตเปนเซตเดยวกนและเดยวกนและ f(x) = g(x) f(x) = g(x) สำาหรบทกๆ สำาหรบทกๆ x x ในโดเมน ในโดเมน ตวอยาง เชนตวอยาง เชนให ให f = {(x, y) f = {(x, y) x, y x, y RR และ และ y = x + 1} y = x + 1} g = {(x, y) g = {(x, y) xx x xx x Z Z++ และ และ 1y = x + } 1y = x + }– โดเมนโดเมน , , โคโดเมนโคโดเมน , , พสย ของ พสย ของ f f คอ คอ R R– โดเมนโดเมน , , โคโดเมน ของ โคโดเมน ของ g g คอ คอ ZZ++ พสย ของ พสย ของ g g

คอ คอ ZZ++ - {1} - {1} ดงนน ดงนน f f g g

Faculty of Informatics, Burapha University 7

Functions Example

•กำาหนดฟงกชนกำาหนดฟงกชน ff:P:PC C โดยกำาหนดโดยกำาหนดP = {Linda, Max, Kathy, Peter}P = {Linda, Max, Kathy, Peter}C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow}C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow}ff(Linda) = Moscow(Linda) = Moscowff(Max) = Boston(Max) = Bostonff(Kathy) = Hong Kong(Kathy) = Hong Kongff(Peter) = Boston(Peter) = Boston

•ff เปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชนหรอไม??yesyes{Moscow, Boston, Hong {Moscow, Boston, Hong Kong}Kong}

พสยพสย((rangerange))ของฟงกชนของฟงกชนนคอนคอ??

LindaLinda

MaxMax

KathyKathy

PeterPeter

BostonBoston

New YorkNew York

Hong KongHong Kong

MoscowMoscow

Faculty of Informatics, Burapha University 8

Functions Exampleใหให f f : : Z Z RR ทกำาหนดโดยทกำาหนดโดย f f ((x x ) = ) = x x 22

Q1: Q1: จงหาโดเมน และโคโดเมนของฟงกชนจงหาโดเมน และโคโดเมนของฟงกชน??A1: A1: โดเมน คอโดเมน คอ ZZ, , โคโดเมน คอโคโดเมน คอ RRQ2: Q2: จงหาอมเมจของจงหาอมเมจของ -3 ?-3 ?A2: A2: อมเมจของอมเมจของ -3 = -3 = f f (-3) = 9(-3) = 9Q3: Q3: จงหาพรอมเมจของจงหาพรอมเมจของ 3, 4?3, 4?A3: A3: พรอมเมจของพรอมเมจของ 3: 3: ไมม เพราะไมม เพราะ 3 3 ไมเปนจำานวนเตมไมเปนจำานวนเตม

พรอมเมจของพรอมเมจของ 4: -2 4: -2 และและ 22Q4: Q4: จงหาพสยของจงหาพสยของ f f ((ZZ)) ??A4: A4: พสยคอ เซตของเลขจำานวนเตมยกกำาลงสองพสยคอ เซตของเลขจำานวนเตมยกกำาลงสอง

f f ((ZZ)) = {0,1,4,9,16,25,…}= {0,1,4,9,16,25,…}

Faculty of Informatics, Burapha University 9

Function Operator •ใหให ff11 และและ ff22 เปนฟงกชนจากเปนฟงกชนจาก A A ไปไป RR•ดงนนผลรวมและผลคณของฟงกชนดงนนผลรวมและผลคณของฟงกชน ff11 และและ ff22 ยงคงเปนฟงยงคงเปนฟงกชนจากเซตกชนจากเซต A A ไปไป RR นยามโดยนยามโดย::((ff11 + + ff22)()(xx) = ) = f f11((xx) + ) + ff22((xx))

((ff11ff22)()(xx) = ) = ff11((xx) ) ff22((xx))

•ตวอยาง เชนตวอยาง เชน::ff11((xx) = 3) = 3xx, , ff22((xx) = ) = xx + 5 + 5

((ff11 + + ff22)()(xx) = ) = ff11((xx) + ) + ff22((xx) = 3) = 3xx + + xx + 5 = 4 + 5 = 4xx + 5 + 5

((ff11ff22)()(xx) = ) = ff11((xx) ) ff22((xx) = 3) = 3xx ( (xx + 5) = 3 + 5) = 3xx22 + 15 + 15xx

Faculty of Informatics, Burapha University 10

Function Composition Operator

• การประกอบกนของสองฟงกชนการประกอบกนของสองฟงกชน gg:A:AB B และและ ff:B:BC, C, แทนดวยแทนดวย ff ○○ gg, , นยามโดย นยามโดย ((ff ○○ g g)(a) = )(a) = ff((gg(a))(a))

หมายความวาหมายความวา • หาคาฟงกชนหาคาฟงกชน gg โดยใชคาสมาชกโดยใชคาสมาชก aaA A แมปคา แมปคา aa ผานผาน

ฟงกชน ฟงกชน gg ไปยงสมาชกของไปยงสมาชกของ BB• จากนนหาคาฟงกชนจากนนหาคาฟงกชน ff โดยใชคาสมาชกของโดยใชคาสมาชกของ B, B, แลวแลว

แมปคานนผานฟงกชน แมปคานนผานฟงกชน ff ไปยงสมาชกของไปยงสมาชกของ CC• ดงนน ฟงกชนประกอบ แมปจากดงนน ฟงกชนประกอบ แมปจาก A A ไปยงไปยง CC

Faculty of Informatics, Burapha University 11

Compositionตวอยาง ให g เปนฟงกชนจาก A = { a, b, c} ไปยงเซต A ซง g(a) = b, g(b) = c, และ g(c) = a และ f เปน ฟงกชนจาก A = { a, b, c} ไปยง B = {1, 2, 3 } ซง f(a) = 3, f(b) = 2, และ f(c) = 1ดงนนสามารถหา fog ได

fog(a) = f(g(a)) = f(b) = 2 และfog(b) = f(g(b)) = f(c) = 1fog(c) = f(g(c)) = f(a) = 3แต gof หาไมไดเนองจาก พสยของ f ไมเปนสบเซตของโดเมนของ g

Faculty of Informatics, Burapha University 12

Composition

• ตวอยางตวอยาง ให ให f f และ และ g g เปนฟงกชนจากเซต เปนฟงกชนจากเซต Z Z ไป ไป Z Z ซงซงกำาหนด กำาหนด

f(x) = 2x + 3 f(x) = 2x + 3 และ และ g(x) = 3x + 2 g(x) = 3x + 2 จงหา จงหา fog fogและ และ gofgofเราสามารถหา เราสามารถหา fog fog และ และ gof gof ไดดงนไดดงน

(fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2) (fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2) 2 3 2 3 6 7= ( x + ) + = x + 2 3 2 3 6 7= ( x + ) + = x +

()() = (()) = (2 + 3) ()() = (()) = (2 + 3) x x x x x32 32611 x x x x x32 32611

Faculty of Informatics, Burapha University 13

Composition

Q: Q: จงหาจงหา gg○○f f โดยทโดยท 1.1. f f : : Z Z RR, , f f ((x x ) = ) = x x 22

และและ g g : : R R RR, , g g ((x x ) = ) = x x 33

2. 2. ff : :RRRR, , ff((xx) = 7) = 7xx – 4, – 4, และและ g g : : RRR, R, gg((xx) = 3) = 3xx

3. 3. f f : {: {ประชากรโลกประชากรโลก}} { {ประชากรโลกประชากรโลก},},f f ((x x ) = ) = พอของพอของ x, x, และและ g g = = ff

Faculty of Informatics, Burapha University 14

Composition

1.1. f f : : Z Z RR, , f f ((x x ) = ) = x x 22 และและ g g : : R R RR, , g g ((x x ) = ) = x x 33

gg○○ff : : Z Z RR , g , g○○ff ((x x ) = ) = x x 66

2. 2. ff : :RRRR, , ff((xx) = 7) = 7xx – 4, – 4, และและ g g : : RRR, R, gg((xx) = 3) = 3xx((gg ○ ○ ff)()(xx) = ) = gg((ff((xx)) = )) = gg(7(7xx – 4) = 3(7 – 4) = 3(7xx – 4) = 21 – 4) = 21x-x-1212((f f ○○ g g)()(xx) = ) = ff((gg((xx)) = )) = ff(3(3xx) = 21) = 21xx - 4 - 4

3. 3. f f : {: {ประชากรโลกประชากรโลก}} { {ประชากรโลกประชากรโลก},},f f ((x x ) = ) = gg((x x ) = ) = พอของพอของ xx

gg○○f f ((x x ) = ) = ปของปของ xx

Faculty of Informatics, Burapha University 15

Repeated Composition• เมอเซตของโดเมน และโคโดเมนเทากน ฟงกชนนนอาจเมอเซตของโดเมน และโคโดเมนเทากน ฟงกชนนนอาจ

ประกอบเขากบตวเองไดประกอบเขากบตวเองได การประกอบกนของฟงกชนตวการประกอบกนของฟงกชนตวเดยวกนซำาๆ จะเขยนอยในรปของการยกกำาลงของฟงเดยวกนซำาๆ จะเขยนอยในรปของการยกกำาลงของฟงกชนกชน((functional exponentiationfunctional exponentiation)) แทนดวยสญลกษณ แทนดวยสญลกษณ ดงนดงน

f f n n ((x x ) = ) = f f ○○f f ○○f f ○○f f ○○ … … ○○f f ((x x ) ) โดย โดย f f ประกอบกนประกอบกน n n ครง เรมจากดานขวามอครง เรมจากดานขวามอ

Q1: Q1: กำาหนดกำาหนด f f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = ) = x x 22 จงหาจงหา f f 44

Q2: Q2: กำาหนดกำาหนด g g : : Z Z ZZ, , g g ((x x ) = ) = x x + 1 + 1 จงหาจงหา g g nn

Q3: Q3: กำาหนดกำาหนด hh((x x ) = ) = พอของพอของ xx, , จงหาจงหา hhnn

n

Faculty of Informatics, Burapha University 16

Repeated Composition

A1: A1: f f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = ) = x x 22

f f 44((x x ) = ) = x x (2*2*2*2)(2*2*2*2) = = x x 1616

A2: A2: g g : : Z Z ZZ, , g g ((x x ) = ) = x x + 1 + 1 ggn n ((x x ) = ) = x x ++ n n

A3: A3: h h ((x x ) = ) = พอของพอของ xx, , hhn n ((x x ) = ) = บรรพบรษลำาดบท บรรพบรษลำาดบท nn ของ ของ xx

Faculty of Informatics, Burapha University 17

ฟงกชน One-to-One• ฟงกชนฟงกชน ff::AABB เปนเปน one-to-oneone-to-one (1-1) (1-1), , หรอหรอ

injectioninjection, , กตอเมอ สมาชกทกตวในพสยมพรกตอเมอ สมาชกทกตวในพสยมพรอมเมจเพยงตวเดยวอมเมจเพยงตวเดยวxx, , yyAA ( (ff((xx) = ) = ff((yy) ) xx = = yy))

• หรอกลาวไดวาหรอกลาวไดวา ff เปนเปน one-to-one one-to-one กตอเมอ ฟงกตอเมอ ฟงกชนนนไมมการแมปสมาชกทแตกตางกนในกชนนนไมมการแมปสมาชกทแตกตางกนในเซตเซต AA ไปบนสมาชกตวเดยวกนในเซตไปบนสมาชกตวเดยวกนในเซต BB– สงเกตวา โดเมนและพสยจะมขนาดสงเกตวา โดเมนและพสยจะมขนาด((จำานวนสมาชกจำานวนสมาชก))เทาเทา

กน สวนโคโดเมนอาจมขนาดใหญกวากน สวนโคโดเมนอาจมขนาดใหญกวา

Faculty of Informatics, Burapha University 18

กราฟแสดง One-to-One

• กราฟสองสวนกราฟสองสวน((Bipartite graph) Bipartite graph) สามารถใชสามารถใชพจารณาวาฟงกชนเปน พจารณาวาฟงกชนเปน 1-1 1-1 หรอไมเปนไดหรอไมเปนได::

••••

••

••

•

เปน One-to-one

••••

••

••

•ไมเปน one-to-one

••••

••

••

•ไมเปนฟงกชน!

Faculty of Informatics, Burapha University 19

Properties of Functions

•กำาหนด กำาหนด ff ดงนดงนff(Linda) = Moscow(Linda) = Moscowff(Max) = Boston(Max) = Bostonff(Kathy) = Hong Kong(Kathy) = Hong Kongff(Peter) = Boston(Peter) = Boston

• ff เปน เปน one-to-one one-to-one หรอไมหรอไม??

•ไมเปน ไมเปน 1-1 1-1 เพราะเพราะ Max Max และและ Peter Peter ถกแมปไปบนสมาชกตวถกแมปไปบนสมาชกตวเดยวกนเดยวกน((มอมเมจตวเดยวกนมอมเมจตวเดยวกน))

•กำาหนด กำาหนด gg ดงนดงนg(Linda) = Moscowg(Linda) = Moscowg(Max) = Bostong(Max) = Bostong(Kathy) = Hong Kongg(Kathy) = Hong Kongg(Peter) = New Yorkg(Peter) = New York•g g เปนเปน one-to-oneone-to-one หรอหรอไมไม??

เปน เพราะสมาชกแตละตวเปน เพราะสมาชกแตละตวถกกำาหนดใหมอมเมจถกกำาหนดใหมอมเมจคนละตวกนคนละตวกน

Faculty of Informatics, Burapha University 20

การพสจนวาฟงกชนเปน 1-1 หรอไมตวอยาง: f:RR กำาหนดโดย f(x) = x2

•จากนยามของ One-to-one: x, yA (f(x) = f(y) x = y)•พสจนวาขอความเปนเทจ โดยยกตวอยางคาน(Disproof by counterexample):f(3) = f(-3), แต 3 -3, ดงนน f ไมเปน one-to-oneตวอยาง: f:RR กำาหนดโดย f(x) = 3x•จากนยามของ One-to-one: x, yA (f(x) = f(y) x = y)•ใช Indirect proof พสจนวาขอความเปนจรง คอตองแสดงวา: ถา x y ดงนน f(x) f(y) •สมมตให x y จะไดวา 3x 3y ดงนน f(x) f(y), จงสรปไดวา ถา x y, แลว f(x) f(y), ดงนน f เปน one-to-one

Faculty of Informatics, Burapha University 21

Onto (Surjection) Functions

• ฟงกชนฟงกชน ff::AABB เปนเปน ontoonto หรอหรอ surjectionsurjection กตอเมอ กตอเมอ พสยเทากบโคโดเมนพสยเทากบโคโดเมน ((bbBB, , aaAA: : ff((aa)=)=bb))

• ฟงกชนฟงกชน ontoonto แมปเซตแมปเซต AA ไปบนสมาชกไปบนสมาชกทกตวทกตวของเซตของเซต BB

• ถาฟงกชนเปน ถาฟงกชนเปน onto onto สงเกตวาพสยจะเทากบโคโดเมนสงเกตวาพสยจะเทากบโคโดเมน::

••••

••

••

• ••••

••

••

• ••••

•••

• ••••

•••

•

•

Onto(แตไม 1-1)

ไม Onto(ไม 1-1)

เปน 1-1และ onto

เปน1-1 แตไม onto

Faculty of Informatics, Burapha University 22

Bijections• ฟงกชนฟงกชน ff เรยกวาเปนเรยกวาเปน สมนยหนงตอหนงสมนยหนงตอหนง (one-to-one (one-to-one

correspondence)correspondence), , หรอหรอ bijectionbijection, , หรอกลาววาเปนฟงกชนหาหรอกลาววาเปนฟงกชนหาผกผนไดผกผนได((invertibleinvertible)), , กตอเมอ ฟงกชนนนเปนทง กตอเมอ ฟงกชนนนเปนทง one-to-one one-to-one และ และ ontoonto

• สำาหรบสำาหรบ bijections bijections f:Af:ABB, , เปนฟงกชนทมผกผนเปนฟงกชนทมผกผนของของ ff, , เขยนแทนเขยนแทนดวยดวย f f 11::BBAA, , ซงเปนฟงกชนทเมอนำามาประกอบกบ ซงเปนฟงกชนทเมอนำามาประกอบกบ ff แลวเทาแลวเทากบฟงกชนเอกลกษณกบฟงกชนเอกลกษณ (ซง IA เปนฟงกชนเอกลกษณบนเซต A)

ตวอยางตวอยาง : f : f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = ) = x x + 1 + 1 และและ g g == f f -1 -1

ดงนนดงนน g g ((x x ) = ) = x x – 1 – 1 จะไดวาจะไดวา gg○○ff ((x x ) = ) = xx

• เหนไดวา ถาเหนไดวา ถา ff เปนเปน bijection bijection และเซตและเซต AA และและ BB เปนเซตจำากด เปนเซตจำากด แลวแลว ||AA| = || = |BB||

AIff 1

Faculty of Informatics, Burapha University 23

คณสมบตของฟงกชน

•ff เปน เปน 1-11-1??•YesYes•ff เปน เปน ontoonto??•YesYes•ff เปน เปน bijection?bijection?•YesYes

LindaLinda

MaxMax

KathyKathy

PeterPeter

BostonBoston

New New YorkYorkHong Hong KongKongMoscowMoscow

SidneySidneyHelenaHelena

Faculty of Informatics, Burapha University 24

One-to-One, Onto, Bijection Examples

Q: Q: ขอใดตอไปนเปนขอใดตอไปนเปน 1-1, onto, bijection? 1-1, onto, bijection? ถาถา ff เปนเปน ฟงฟงกชนทหาผกผนไดกชนทหาผกผนได จงหาฟงกชนผกผนจงหาฟงกชนผกผน??

f f : : Z Z RR กำาหนดโดยกำาหนดโดย f f ((x x ) = ) = x x 22

f f : : Z Z ZZ กำาหนดโดยกำาหนดโดย f f ((x x ) = 2) = 2xx f f : : R R RR กำาหนดโดยกำาหนดโดย f f ((x x ) = ) = x x 33

f f : : Z Z NN กำาหนดโดยกำาหนดโดย f f ((x x ) = |) = |x x || f f : {: {ประชากรโลกประชากรโลก}} { {ประชากรโลกประชากรโลก} } กำาหนดโดยกำาหนดโดย

f f ((x x ) = ) = พอของพอของ xx

Faculty of Informatics, Burapha University 25

One-to-One, Onto, Bijection Examples

1.1. f f : : Z Z RR, , f f ((x x ) = ) = x x 22: : ไมเปนทง ไมเปนทง 1-1 1-1 และและ ontoonto

2.2. f f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = 2) = 2x x : : เปน เปน 1-11-13.3. f f : : R R RR, , f f ((x x ) = ) = x x 33: : เปนทง เปนทง 1-1, onto, 1-1, onto,

bijection, inverse bijection, inverse คอคอ f f -1-1((x x ) = ) = x x (1/3)(1/3)

4.4. f f : : Z Z NN, , f f ((x x ) = | ) = | x x |: |: เปนเปน ontoonto5.5. f f ((x x ) = ) = พอของพอของ xx : : ไมเปนทง ไมเปนทง 1-1 1-1 และและ ontoonto

Faculty of Informatics, Burapha University 26

ฟงกชนผกผน(Inverse Function)

• ใหให f:Af:AB B เปนเปน one-to-one correspondenceone-to-one correspondence, , หรอหรอ bijection bijection ดงนนดงนน ฟงกชนผกผน ฟงกชนผกผนของ ของ ff คอคอฟงกชนทกำาหนดคาสมาชกฟงกชนทกำาหนดคาสมาชก bb ในใน B B ดวยดวยสมาชกเพยงตวเดยวสมาชกเพยงตวเดยว aa ในใน A A โดยทโดยท f(a) = bf(a) = b

• ฟงกชนผกผนของฟงกชนผกผนของ ff เขยนแทนดวยเขยนแทนดวย f f -1-1 ดงนนดงนน f f -1-1(b) = a(b) = a เมอเมอ f(a) = bf(a) = b

• •

A B

a=f -1(b) b=f(a)f

f-1

Faculty of Informatics, Burapha University 27

ฟงกชนผกผน(Inverse Function)

ตวอยางตวอยาง::

f(Linda) = Moscowf(Linda) = Moscowf(Max) = Bostonf(Max) = Bostonf(Kathy) = Hong f(Kathy) = Hong KongKongf(Peter) = f(Peter) = SidneySidneyf(Helena) = New f(Helena) = New YorkYorkดงนนดงนน f f เปนเปน bijectionbijection

ฟงกชนผกผนฟงกชนผกผน ff-1-1 กำาหนดกำาหนดโดยโดย::ff-1-1(Moscow) = Linda(Moscow) = Lindaff-1-1(Boston) = Max(Boston) = Maxff-1-1(Hong Kong) = (Hong Kong) = KathyKathyff-1-1(Sidney) = Peter(Sidney) = Peterff-1-1(New York) = (New York) = HelenaHelenaผกผนจะหาไดเฉพาะกบฟงผกผนจะหาไดเฉพาะกบฟงกชนทเปนกชนทเปนbijections bijections เทานนเทานน(= invertible (= invertible functions)functions)

Faculty of Informatics, Burapha University 28

Inverse Function Exampleให f : Z Z, f(x) = x+1 จงแสดงวา f หาผกผนไดหรอไม ถาหาไดจงหา f -1 ?• f เปนฟงกชนทหาผกผนได เพราะเปน bijection (จงให

เหตผล) ดงนน x = y-1 นนคอ f -1(y)= y-1 หรอเขยนในรปของตวแปร x ไดวา f -1(x)= x - 1

• กำาหนดให f : Z Z, f(x) = x2 จงแสดงวา f หาผกผนไดหรอไม ถาหาไดจงหา f -1 ?

• เพราะ f(-1) = f(1) = 1, f จงไมเปน one-to-one ดงนน f ไมสามารถหาผกผนได

Faculty of Informatics, Burapha University 29

ฟงกชนทสำาคญ• ฟงกชนบนเซตของจำานวนจรงทพบไดบอยไดแกฟงกชนบนเซตของจำานวนจรงทพบไดบอยไดแก::

– ฟงกชนพนฟงกชนพน((floorfloor)) ··::R R ZZ, , โดยทโดยท xx (“ (“พนของพนของ xx”) ”) หมายหมายถงจำานวนเตมทมากทสดทถงจำานวนเตมทมากทสดท xxนนคอนนคอ xx : :≡ max({≡ max({iiZZ||ii≤≤xx})})

ตวอยาง เชนตวอยาง เชน:: 2.32.3 = 2, = 2, 22 = 2, = 2, 0.50.5 = 0, = 0, -3.5-3.5 = -4 = -4– ฟงกชนเพดานฟงกชนเพดาน((ceilingceiling)) ·· : :R R ZZ, , โดยทโดยท xx (“ (“เพดานของเพดานของ

xx”) ”) หมายถงจำานวนเตมทนอยทสดทหมายถงจำานวนเตมทนอยทสดท xx

นนคอนนคอ xx ::≡ min({≡ min({iiZZ||ii≥≥xx})})ตวอยาง เชนตวอยาง เชน :: 2.32.3 = 3, = 3, 22 = 2, = 2, 0.50.5 = 1, = 1, -3.5-3.5 = -3 = -3

Faculty of Informatics, Burapha University 30

ฟงกชน Floor & Ceiling

• จำานวนจรงทมคาจำานวนจรงทมคา “ “ตกลงไปทพนตกลงไปทพน” ” หรอมคาหรอมคา ““ขนไปทเพดานขนไปทเพดาน””

• สงเกตวา ถาสงเกตวา ถา xxZZ,,xx xx และและxx xx

• สงเกตวา ถาสงเกตวา ถา xxZZ,, xx = = xx = = xx

01

123

23

...

...

. . .

1.6

1.6=2

1.4= 2

1.4

1.4= 1

1.6=1

33=3= 3