-Functions-Functions （函數）（函數） --Chapter 1Chapter 1

朝陽科技大學資訊管理系李麗華 教授

2

1-1 Numbers – 自然數及整數

• N ：自然數： 1 、 2 、 3 、 4 、 5…n

• Z ：整數：負整數、正整數 ( 含 0)

1 2 3 4 5 … n

-2 -1 0 1 2 ……

3

1-1 Numbers – 實數

• R ：實數 (real number)

– 有理數 (rational number) ： 1 、 2 、 0.1 、 3/2…• 有限小數： 1/2 、 0.4 …

• 無限循環小數： 1/3 、 1/7 、 1/11 …

– 無理數 (irrational number) ： ( 無限且不循環小數 )

-2 -1 0 1 2

2 , 3 , 3 5 ,

4

1-1 Numbers – 的來由

• 說明 來由– 以正方形幾何公式求

2 1

1

2

2

11?

1 1

1

1

•如右圖，令一正方形由四個各邊為 1 的正方形組合而成，故整塊面積為 4 。

•如圖紅線區內應為整體面積的一半，所以 紅線區內的面積為 2 ，因四條紅線圍出的是 一個正方形 , 令紅線為

• 2x x , 2 2x ( 正方形面積求法 )

x

•古時代用單純的測量無法完整表示出正確的值， 故用 來表示之 2

( ＊ ) DIY 練習 : 同學可以測正方形便利貼，各邊為 7.6 ，面積為 7.6 x 7.6=57.76 ，它的一半為 28.88 即 5.37401153701…

x

2

5

1-1 Numbers – 實數與複數

• R (real) 無理數 ( 無限不循環小數 )

有理數 整數 正整數 自然數

負整數

小數 有限循環小數

無限循環小數

• C (complex) ：複數 例：•

• 本課程微積分主要以實數為演算的對象

(Q)

(Z)

i 33

N Z Q R C

6

1-2 Real Number – 區間

• Intervals ( 區間 )

-2 -1 0 1 2 3

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

-1

11 x

11 x

x 1

1x

open interval (-1,1)

closed interval [-1,1]

half-open interval [-1,1)

[-1, )[- ,1)

11 x

7

1-3 Equality / Inequality

• Equality ( 等式 )

• Inequality ( 不等式 )

3453

2823

xx

xx

10202

1426

1436

14)2(3

xx

x

xx

xx

( 兩邊除 (-2) 要換方向 )

( ＊ ) 說明換方向之例子：5

5

x

x0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5‧‧

練習： 5 2 6x

8

1-4 Exponent

• Exponent

• Negative Exponent

nxxxxx

...

273333 3

x is base

n is exponent or powern 個

n

x

nx

x n

1

11n

n

xx

1

X 不可為 0 且 n 須大於 0)0( x )0( n

9

Properties of exponents

①

②

③

④

⑤

⑥

10 x )0( x

nmnm xxx mnnm xx )(

mmm yxyx )(

m

m

yxm

yx )( )0( y

nm

xx xn

m )0( x

EX ：

EX ：

EX ：

EX ：

EX ：

523 xxx

623)( xx

21632)32( 333

3

3

3 644 42 82

( ) 8

1

44 42

3

10

上台練習

EX1 ： ?25

EX2 ：

EX3 ：

EX4 ：

EX5 ：

4 ? ?(2 ) 2x x

?4

13

?5

12

x

x

?32 888

EX6 ： ?5 0 x

11

Exponent form of radicals

nxxn1

nm

xxn m

EXEX ：：

EXEX ：：

21

xx 31

3 xx

434 3 xx

注意

對實數而言，當 n 為偶數 (even) ，必須 x 0≧ ( 即開根號的 x 一定要大於 0)

12

Exponent 範例

EX1 ：

4)64()8(8

42)8()8(8

31

31

32

31

32

2

2232

EX2 ： 3216 16 x

3 122

33

1 1 1 1 1

16 (4) 64(16 )16x

13

上台練習

①

②

③

④

?4 23

?64 32

?81 31

?)125( 32

⑤

⑥

3 28 ?

34

2?

16

14

1-5 Quadratic Equations

15

Quadratic Equations 練習

①

②

③

④

0642 x

2 9 14 0y y

02062 2 tt

0322 xx

16

1-6 Rational Expression (Fractions)

EX ： xxxx

2

2 7 Reduce ( 化簡 )

Sol ： ( 7) 7

( 1) 1

x x x

x x x

EX ： xx

xxx

xxx

15

113

153

)1(38

)1(5

)1()1(3

xx

xxxx

xxx

先求分母通分

)1(38

xx

x

( 加 )

17

1-6 Rational Expression

EX ：

Sol ：

EX ： ( 除 )

( 乘 ) 7

11

32

xx

773

)1(73

7)1(

)1)(1(3

xxx

xx

320

354

354

534 x

xx

xxx

18

Rational Expression 練習

① ?311

xx

② ?812

22

xxxx

③ ?12

221

x

xxx

19

補充：解不等式

EX ： 0)( 11

xxxf

Sol ：求解時主要是針對分母為 0 時的 值，此為不可能之解及分子的合理解

x

∴分母→ x≠-1

分子→ x=1 0-1 1

代入一個小於 1 的數：

代入一個介於 1 和 -1 的數：

代入一個大於 1 的數：

3)2( f

1)0( 11 f

0)2( 31 f

沒有小於 0

沒有小於 0

有小於 0 ，故此解合理

∴解集合為 )1,1(x

20

補充：解不等式

注意 rs

pq 則不一定可以是 psqr 若

例 : 1 2

2 1

交叉相乘後1 4

EX: 121

x

x求 的解集合Sol: 兩邊各 x(-1)

兩邊各 - ( )

)( 121

xx

21

1)(0 xx

21

)1(2)1(20

xxx

)1(2130

xx

31&1 xx

x,

21

1-7 Introduction to functions

• Function is a rule of correspondence by which each element of one set (x) is assigned to exactly one element of the other set (y)

– x is called the domain of the function

– y is called the range of the function

EX ：

25)( 2 xxf

22

1-7 Introduction to functions

0 1 2 3 4 …

2 7 22 47 82 …

EX: 25)( 2 xxf

yxxf :)(domain range

domf ：定義域ranf ：值域

上述 2)0( f 7)1( f 22)2( f 47)3( f …

定義域 (Domain)→

值域 (Range)→ ( )f x

x

, , ,

叫做 independent variable ( 自變數 )

叫做 dependent variable ( 因變數 )

x

y

23

1-7 Introduction to functions

EX ： 13)( xxf

0 1 2 3 4 …-1 2 5 8 11 …

1 2 3 4-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x( )f x

注意

數應為 yxf : 1 對 1 (one to one)

不可1 對多 (one to many)

24

1-7 Introduction to functions

1. 若 1 本書需 12 元，則 本書需多少元 ?

2. 在吃了 小時後的藥效 ( ) ，公式如下

xxxc 12)( 當 x=10 則需 120 元

t k

2

0.03( )

1

tk t

t

0t

Sol ：

Sol ：

25

1-7 Introduction to functions

• Find the domain of a function

EX ：1

( )4

f xx

, 即找出所有 可以代入的值為何

Sol ：當 時， 不能求解。而其他數字均可，故只要 即為所有 x 的範圍

EX ： 1)( xxg

Sol ：因若 ，則 將有根號負數，即 complex number

( 複數 ) 。但本課本以 real( 實數 ) 為主，故 必須 。

4x ( )f x

4x

4 & 4x x

x

1x ( )g xx 1

( , 4) & (4, ) or

26

Composite Function

• 合成函數 (composite function)

( ) ( ( ))f g x f g x

( ) ( ( ))g f x g f xzyx

g f

EX ：Sol ：

352552)1(5)1( 2222 xxxxf

520251420251)25()25( 222 xxxxxxg

Find ( ) & ( )f g x g f x , if ( ) 5 2f x x ,2( ) 1g x x

27

Function 練習

13)( 2 xxxf 找出 ( 2)f x

13)( xxf ， xxg 7)( 求 ( )( )f g x

( )( )g f x同上題，求

xxxf 2)( 2 ， 1)( xxy 求( )( )f g x

( )( )g f x同上題，求

①

②

③

④

⑤

28

1-8 Linear Function ( 線性函數 )

• 若一函數在座標軸上畫出來為一直線，則稱此為線性函數 (Linear Function)

-1 1

x intercept( 當 y=0)

y intercept( 當 x=0)

29

1-8 Linear Function ( 線性函數 )

①Horizontal line

②Vertical line

③Y intercept: 截距 ( 當 x=0 時 )

y=c‧c

0

y

x

m=0

x=c ‧c0x

沒有 m

y

EX ： y=5x-5 當 x=0 時 y=-5

I:(0,-5)-5

1

y=5x-5

30

1-8 Linear Function ( 線性函數 )

④Slope of a line ( 斜率 )

slopem : 2 1

2 1

y ym

x x

→ (where x1≠x2)

ory

mx

( x≠0)△

正向斜率： 由右上到左下

若已知 2 點可求斜率 (x1,y1) ， (x2,y2)

負向斜率： 由左上到右下

y2

y1

x2x1

(x1,y1)

(x2,y2)

‧‧

31

1-8 Linear Function ( 線性函數 )

⑤Straight line

已知 1 點 1 斜率 (point-slope form)

)( 11 xxmyy

已知斜率 & 斜率 (slope-Intercept form) bmxy

)0( xmby

bmxy

‧ (0,b)

1 1( , ) &x y m )( 11 xxmyy 已知 則

2 1

2 1

y ym

x x

( 2, 2) ( , )x y x y令,

∵由上可導出截點在 處時(0, )b

則

32

Linear Function 練習

①找 slope 及 y 截距

②找 m & 截距

③找直線公式

④同上

④找直線公式

35 xy

68 xy

5m )3,0(: yI

8.1m )4.2,0(:yI

2m (5, 3)座標點

33

應用題

• 已知華氏與攝氏溫度存在著線性的關係，且已知到 2 個對應點求其轉換公式 。 (0oc=32oC , 100oc=212oF)

Sol ：

若 0oc = 32oC , 100oc = 212oF

212 32 180 9

100 0 100 5m

[ 已知 m 及截距 (0,32)]

代入 Fo = Co + 32 9

5

34

1-9 Graphs of Functions ( 函數圖形 )

• 自從 1637 年迪卡爾出版了解析幾何 (Analytical Geometry) 後，利用直角座標來畫出函數圖形的手法大大的幫助並加速微積分的發展。

• 除了前面所述直線函數圖外，常見的圖形將一一介紹。

①Square Function

2)( xxf

y

x

2)( xxf

35

1-9 Graphs of Functions ( 函數圖形 )

②Quadratic Function

cbxaxxf 2)( abx 2

76)( 2 xxxf 代入數點

頂點 (vertex) →

07

1 2 3 4 5 62 -1 -2 -1 2 7

326 x 頂點在 處

y

‧

‧x

(0,7)

(3,-2)

( )f xx

3x

36

1-9 Graphs of Functions ( 函數圖形 )

③Square Root Function

xxf )(‧

y

x

(4,2)xxf )(

④Cube Function3)( xxf

y

x

00

1 2 3 4 …1 2 …2 3( )f x

x

-3-27

-2 -1 0 1 2 3-8 -1 0 1 8 27

……( )f x

x

37

1-9 Graphs of Functions ( 函數圖形 )

③Reciprocal Function( 倒函數 )

xxf 1)( 0x

y

x

④Absolute Value Function

xxf )(

這裡亦可看成是 2 段函數即 )(xf { xxif

x 0≧

x ＜ 0

1 2 3-1-2-3

y

x

1

1

2 3 4 5 -1

-1

…

… …

…-2 -3

21

31

41

51

21-

31-( )f x

x

-3

3

-2 -1 0 1

2 2

2 3

1 0 1 3( )f xx

38

Graphs of Functions 練習

)(xf {2x

4if

1x

61 x

EX1 ： 請畫出圖形

EX2 ： 請畫出圖形

)(xf {1

x

xif

0x

0x

39

1-9 Graphs of Functions ( 函數圖形 )

• 上述各種函數可經由常數項而產生位移

• 亦可經由正負號轉向

EX ： 2)( xxf

3)( 2 xxf

3)( 2 xxf

y

x

3

-3

EX ： 2)( xxf

2)( xxf

y

x

2)( xxf

2)( xxf

40

函數圖形的應用

• The distance of a 1-hr boat is shown as the following graph. Please answer the following question.① Determine

② How many miles were traveled in the first 10 miles?

③ For what t is

④ Determine m and b in the linear Given by

⑤ What is the domain of s? ( )s t mt b ( ) 20s t

(60) 30s

.fc

.fc

(40,20)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

10

20

30 ‧‧‧(50,25)

(60,30)

‧‧‧

y

x

41

1-9 Function in Economics

• 商業行為中需常常用到函數來做計算，像產品的製造銷售與盈餘，都要靠函數來表示，如此才能方便轉化為可自動化處理的程式。

Profit = Revenue - Cost利潤 收入 成本

42

1-9 Function in Economics

• It cost dollars to produce x

products. Each product can be sold of $40 dollars, that is, the revenue of x products is .① Find the profit function

② When x=25 (radios), what is the profit?

③ When x=2 (radios), what is the profit?

2( ) 0.4 7 95c x x x

( ) 40R x x

Sol ：① ( ) ( ) ( )P x R x C x

②

2 2( ) 40 0.4 7 95 0.4 33 95P x x x x x x 2(25) 0.4(25) 33(25) 95 480P

③ 2(2) 0.4(2) 33(2) 95 30.6P ( 倒貼錢 )

43

1-9 Function in Economics

• 由上例可看出，在只生產 2 個產品狀況下，是不敷成本的，故可藉由圖型看出其盈利點為何。

x

C(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 102.4 110.6 119.6 129.4 140 151.4 163.6 176.6 190.4 205

R(x)

x 0

0

1 2 3

40 80 120

80

40

120

1 2 43 5 6 7 8 9 10

‧

‧

‧‧

160

200

y

x

When , we call this point (y value)

is a break-even quantity

∴The break-even point is

( ) ( )R x C x

( ) ( )R x C x

( ) 0P x

( ( ) ( ) ( ))P x R x C x

44

範例

• Let x be the CD container, , find the break-even point.

• Let R(x)=50x-0.1x2, .

( ) 0.3 150P x x

Sol ：

i.e. find

∴

0)( xp 01503.0 x

1503.0150 x

( ) 20 1250C x x

( 整 ) 以下先說明買賣關係 :買越多，單價可越低

賣越多，可賺越多rP ice c ax

rP ofit bx d

45

Price and Demand

• 由定價函數來算出多少量的產品，可以訂出多少的價位

Revenue = x．M(x)Where price per product

# of product

( )P x

46

Price and Demand

• 若一產品定價為 dollars① When x=30, what price will it be?

② If the price is set as 70, how many product has to be ordered

③ If the price is set as 65, how many product has to be ordered

80 2M x

Sol ：①

② 當

③ 當

80 0.2(30) 74P

70 70 80 0.2P x 0.2 10x 50x 個

( 即當定 30 個量時，價格可定為 74 元 )

65 65 80 0.2P x 0.2 15x 75x 個

47

Price and Demand

• 上面的公式，同理，亦可看成 x 為需求供應的量。

EX ： 302.0 xp ，若要賺每個單價則要有 50 個量才行

302.04 x 12.0 x 50x

EX ：同上，若要賺每個單價 $4.5 元時，則需 75 個量才行

302.05.4 x x02.05.1 75x

48

Price and Demand

• 當買和賣各要達到最佳買賣點時，則應取其 2 個 function 相交之處，即 equilibrium point (E.P.)

EX ：若 買之 p=17-0.2x

賣之 p=0.4x+8

，求 E.P. 點

Sol ：84.02.017 xx x6.09 15x

當 15 個商品時，可以到買賣雙方的平衡點

p

x

price

quantity

(xe,pe)

P=s(x)

P=D(x)