Heat transfer 12th week lecture

Chapter 6: Empirical and practical relations for forced-convection heat transfer

■ 서론

앞서 살펴보았던 대류 문제는 해석적인 방법을 통해서 풀릴 수 있는 문제로서(연속방정식과 운동량 방정식을

동시에 풀었음을 참조), 대류에 있어서 열전달의 원리와 이해를 돕기위한 간단한 문제에 한정되었다. 하지만,

실제로는, 해석적인 방법을 통해서 실용적인 열전달 현상에 적용하는 것은 한계가 있기 때문에, 실험을 통해

도출된 공식이나 도표를 이용하여 대류에 있어서의 열전달을 계산하는 방법이 이용된다(실험을 통해서

도출된 식, 즉 특정 환경에서의 실험 데이터를 통해서 회귀분석 등의 통계적 방법을 이용하여 도출된 식을

일반적으로 실험식이라고 한다).

■ 파이프와 관유동에 대한 실험적 관계

앞선 5장의 대류의 원리에서는 다룬 관내의 층류 유동은 완전히 발달한 층류유동을 해석적으로 접근하여

식을 도출하였다. 하지만, 이는 완전히 발달하지 않은 층류유동이나 유체의 성질이 온도에 따라 변하는 유동,

그리고 난류유동에는 적용하기 어렵기 때문에 이런 상당히 복잡하지만 중요한 공학적 문제는 실험식을

적용해서 문제에 접근할 수 있다.

앞으로 나오는 식들은 모두 좌변에 Nusselt 수가 있음을 유의하자. 즉, 관계식은 Nusselt수에 대한 식이다.

대류열전달 문제에 있어서 중점은 대류 열전달 계수를 측정하는 것이므로(대류열전달계수를 알아야

대류열전달을 구할 수 있고, 대류열전달계수는 열전도계수와 달리 물체의 고유한 성질이 아니라 주변 환경에

따라 변화하므로 측정이 매우 어렵고, 측정값의 오차도 크다), 관에서 Nusselt 수의 정의를 이용하여

(Nu𝑑 =ℎ𝑑𝑜

𝑘) 이를 바탕으로 대류열전달계수를 측정한다. 식에서 알 수 있듯이 관의 지름과 전도계수는

측정하기가 쉬우므로, Nusselt 수만 구한다면 대류열전달계수를 계산하는 것이 가능하다.

▶ 관내를 흐르는 완전히 발달된 난류 유동에서 열전달

1) 매끈한 관내를 흐르는 완전히 발달된 난류 유동에서 열전달

① Dittus와 Boelter에 의한 식

Nu𝑑 = 0.023 Re𝑑0.8Pr𝑛 n = {

0.4 유체가 가열되는 경우

0.3 유체가 냉각되는 경우

Re𝑑 =𝑢𝑚𝑑

𝜈

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주어진 실험식은 프란틀 수(Pr)가 0.6에서 100사이의 범위이고 벽과 유체사이에 적당한 온도차 조건을 갖는

유체가 매끈한 관내를 흐르는 완전히 발달된 난류유동에 대하여 유효하다. 이때 유체의 성질은 평균 유체

체적온도에서 구한값이 된다.

② Gnielinski는 매끈한 관 내의 난류 유동에 대해 보다 더 좋은 결과를 보여주는 식을 제안하였다.

Nu = 0.0214(Re0.8 − 100)Pr0.4

사용범위는 0.5<Pr<1.5, 104<Re<5×10

6

Nu = 0.012(Re0.87 − 280)Pr0.4

사용범위는 1.5<Pr<500, 3000<Re<106

③ 유동에서 큰 온도차가 존재하면, 관벽과 중심부분의 유동사이에 유체의 성질이 상당히 변할 수 있다.

그림에서 보여지는 등온유동에 해당하는 속도분포의 변화는 기체의 점성은 온도에 따라 증가하고, 반면에

액체의 점성은 온도에 따라 감소한다는 사실로부터 얻어진다(그림에서 기체의 가열 혹은 액체의 냉각으로

인한 점성의 증가가 층류를 발달 시킨다고 볼 수 있고(층류는 점성의 영향아래에 있을 때 발생하는 유동의

형태임) 기체의 냉각 혹은 액체의 가열로 인한 점성의 감소는 난류와 비슷한 유체 흐름 패턴을 야기한다. 즉,

이 경우 점성의 영향이 약해진다).

Figure 1. Deviations from the velocity profiles according to heating and cooling of liquids and gases (Holman

10th edition, 2011)

유체의 성질 변화를 고려하여 Sider와 Tate는 다음관계식을 추천하였다.

Nu𝑑 = 0.027 Re𝑑0.8Pr1/3 (

𝜇

𝜇𝑤

)0.14

𝜇𝑤는 벽온도의 값이고, 나머지 성질은 체적온도 조건에서 구한다

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2) 관내의 완전히 발달된 난류유동에 대해 복잡하지만 정확한 식 (Petukhov)

Petukhov는 매끈한 관내의 완전히 발달된 난류유동에 대해 복잡하지만 정확한 식을 개발하였다.

Nu𝑑 =(𝑓/8) 𝑅𝑒𝑑 𝑃𝑟

1.07 + 12.7(𝑓/8)1/2(𝑃𝑟2/3 − 1)(

𝜇𝑏

𝜇𝑤

)𝑛

여기서, n값은 다음과 같이 결정된다.

𝑇𝑤 > 𝑇𝑏 ⇒ 𝑛 = 0.11

𝑇𝑤 < 𝑇𝑏 ⇒ 𝑛 = 0.25

Constant heat flux or gases ⇒ 𝑛 = 0

𝜇𝑏와 𝜇𝑤를 제외하고는 모든 성질은 𝑇𝑓 =𝑇𝑤 + 𝑇𝑏

2 에서 계산한다

마찰계수는 다음의 그림(교재 그림 6.4)를 이용하여 구하거나(유체역학 참고), 매끈한 관에 대해서는

다음식을 사용할 수 있다.

f = (1.82 log10 𝑅𝑒𝑑 − 1.64)−2

Figure 2. Friction factors in pipe flows (Holman 10th edition, 2011)

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위의 식은 다음과 같은 조건에서 사용할 수 있다.

0.5 < Pr < 200 정확도 6%

0.5 < Pr < 2000 정확도 10%

104 < Re𝑑 < 5 × 106

0.8 <𝜇𝑏

𝜇𝑤

< 40

3) 거친관에의 적용

위의 식은 매끈한 관에 대해 적용는 식이다(Petukho의 식은 경우에 따라 거친관에도 적용가능). 일반적으로

거친관에 적용되는 상관관계는 드물고, 이런 경우는 유체 마찰과 열전달간의 Reynolds 유사를 사용하는

것이 적절하기 때문에, Stanton수를 이용하여 나타낸다.

St𝑏𝑃𝑟𝑓2/3

=𝑓

8

이때 St수에 대한 유체의 물성은 체적온도에서, Pr수와 마찰계수에 대한 유체 물성은 막온도에 구한다.

마찰계수 𝑓는 다음과 같이 정의 된다.

𝛥𝑝 = 𝑓𝐿

𝑑𝜌

𝑢𝑚2

2𝑔𝑐

여기서 u𝑚은 평균속도이다

거친관에 적용되는 마찰계수 경험식은 다음과 같다.

f =1.325

[ln(𝜀/3.7𝑑) + 5.74/𝑅𝑒𝑑0.9]2

이때 식을 사용할 수 있는 조건은 다음과 같다.

10−6 < ε/d < 10−3

5000 < Re𝑑 < 108

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2. 난류 유동이 발달하지 않은 입구영역에서의 열전달

Nu𝑑 = 0.036 Re𝑑0.8Pr

13 (

𝑑

𝐿)

0.055

for 10 <𝐿

𝑑< 400

여기서 d는 관의 지름, L은 관의 길이이다.

3. 관내를 흐르는 완전히 층류 유동에서 열전달

① 일정한 벽온도에서 관 내의 완전히 발달된 층류운동에 대한 열전달 (Hausen)

Nu̅̅ ̅̅𝑑 = 3.66 +

0.0668(𝑑/𝐿)𝑅𝑒𝑑𝑃𝑟

1 + 0.04[(𝑑/𝐿)𝑅𝑒𝑑𝑃𝑟]2/3

이 관계를 통해 구한 대류열전달계수는 관의 총길이에 대한 평균값이 된다. 관의 길이가 충분히 길다면,

Nusselt수는 3.66에 접근함을 알 수 있다.

② 관내의 층류열전달에 관한 좀 더 간단한 식 (Sieder와 Tate)

Nu̅̅ ̅̅𝑑 = 1.86(𝑅𝑒𝑑 𝑃𝑟)

13 (

𝑑

𝐿)

1/3

(𝜇

𝜇𝑤

)0.14

𝜇𝑤는 벽온도의 값이고, 나머지 성질은 체적온도 조건에서 구한다. 식을 보면 알겠지만, 이 식은 관이 매우 긴

경우 (L→∞) 열전달 계수가 0이 되어 사용할 수 없다.

이 식의 유효성은 Kundsen과 Katz에 의해 다음의 조건에 유효한 것이 보여졌다.

𝑅𝑒𝑑 Pr𝑑

𝐿> 10

층류유동의 상관관계식에서 나타나는 Reynolds 수와 Prandtl수의 곱을 Peclet수로 부른다.

Pe = 𝑑𝑢𝜌𝑐𝑝

𝑘= 𝑅𝑒𝑑𝑃𝑟

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♠ Peclet수는 체적열전달을 열전도계수로 나눈 무차원 수로서 물리적으로는 체적열전달과 전도열전달의

비율이라 할 수 있다.

4. 완전히 발달된 속도분포를 갖는 경우의 원형관의 층류입구 영역

완전히 발달된 속도분포를 갖는 경우에 원형관의 층류입구영역에 대한 국소 및 평균 Nusselt 수를 계산하여

Graetz수의 역수로 다음의 그림에 나타내었다(교재 그림 6.5).

Graetz 수 = Gz = RePr𝑑

𝑥

Figure 3. Local and average Nu for circular tube thermal entrance regions in fully developed laminar flow

(Holman 10th edition, 2011)

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5. 난류유동에서의 입구의 영향

관에서 난류에 대한 입구의 영향은 층류보다 더 복잡하다. 다음의 그림(교재 그림 6.6)에 결과가 요약하여

나타나 있다. 세로축은 입구로부터 아주 먼 곳 또는 완전히 발달된 열적 조건에서의 Nusselt수에 대한 국소

Nusselt수의 비이다. 일반적으로, Pr수가 커짐에 따라 입구길이는 더 짧아지면, 층류보다 난류에서 열적

입구길이가 훨씬 짧은 것을 알 수 있다.

Figure 4. Turbulent thermal entry Nu for circular tubes with constant heat flux (Holman 10th edition, 2011)

▶ 수력학적 지름

수력학적 지름은 관이 완전한 원형이 아닐 때, 혹은 덕트가 완전한 사각형이 아닐 때 사용한다.

완전히 원형이 아닌 경우의 수력학적 지름은 다음과 같다.

𝐷𝐻 =4𝐴

𝑃

A는 유체가 흐르는 단면적, P는 접수주변길이 (유체가 맞닿는 곳은 둘레)

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완전히 사각형이 아닌 경우의 수력학적 지름은 기하학적 평균과 같다.

Dℎ =2𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏

교재의 표 6.1(291페이지)은 여러가지 단면을 갖는 덕트에서 완전히 발달된 층류유동에 대해 유체마찰과

열전달을 보여준다. 이 표에서 Nusselts 수와 Reynolds 수는 수력학적 지름을 사용했으며, 다음과 같은

기호가 사용되었다.

∙ 𝑁𝑢𝐻̅̅ ̅̅ ̅̅ : 특정 유동단면에서 유동방향으로 열유속이 일정하고 벽면 온도가 일정할 때의 평균 Nusselt

수

∙ 𝑁𝑢𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ : 벽면 온도가 일정할 때의 평균 Nusselt 수

∙ 𝑓𝑅𝑒𝐷𝐻/4: 수력학적 지름을 사용한 Re수와 마찰계수의 곱

■ 예제

1. 안지름 5 cm, 길이 75 m 의 거친 관이 질량유속 80 kg/s 의 물을 운반한다. 물의 체적평균온도는

21.1°C이며, 관의 표면은 54.5°C의 균일한 온도로 유지되고 있다(단, 관의 거칠기는 0.05 mm이다).

1) 대류열전달 계수와 물을 운반하기 위해 필요한 동력을 구하여라(단, 중력가속도 보정계수는 1로 가정한다)

(solution)

유체의 물성을 구하기 위한 온도는,

𝑇𝑓 =𝑇𝑤 + 𝑇𝑏

2= 37.8℃

이 때의 물의 관련 물성을 찾으면,

𝑘 = 0.63 𝑊 𝑚 ∙ 𝐾⁄ , 𝜌 = 993 𝑘𝑔 𝑚3⁄ , 𝑐𝑝 = 4.174 𝑘 𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾⁄ , 𝜇 = 6.82 × 10−4 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠⁄ , 𝑃𝑟 = 4.53

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유체의 흐름 형태를 구하면,

�̇� = 𝜌𝑢𝑚𝐴 → 𝑢𝑚 =�̇�

𝜌𝐴=

4�̇�

𝜌𝜋𝑑2

Re =𝜌𝑢𝑚𝑑

𝜇=

4�̇�

𝜇𝜋𝑑=

4 × 80

6.82 × 10−4 × 𝜋 × 0.05= 2987072

따라서, 완전히 발달한 난류이다.

거친 관이므로, Petukhov의 식을 이용하면

f =1.325

[ln(𝜀/3.7𝑑) + 5.74/𝑅𝑒𝑑0.9]2

=1.325

[ln((0.05 × 10−3)/(3.7 × 0.05)) + 5.74/29870720.9]2 = 0.0196

𝜇𝑏 = 9.8 × 10−4 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠⁄ , 𝜇𝑤 = 5.13 × 10−4 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠⁄ , 𝑇𝑤 > 𝑇𝑏 ⇒ 𝑛 = 0.11

Nu𝑑 =(𝑓/8) 𝑅𝑒𝑑 𝑃𝑟

1.07 + 12.7 (𝑓8

)

12

(𝑃𝑟23 − 1)

(𝜇𝑏

𝜇𝑤

)𝑛

=(

0.01968

) × 2987072 × 4.53

1.07 + 12.7 (0.0196

8)

12

(4.5323 − 1)

(9.8

5.13)

0.11

= 16462

h̅ =Nu𝑑𝑘

𝑑=

16462 × 0.63

0.05= 207.4 𝑘𝑊 𝑚2℃⁄

동력을 구하기 위해서 압력강하와 유체속도를 구하면,

𝑢𝑚 =�̇�

𝜌𝐴=

4 × 80

𝜌𝜋𝑑2=

4 × 80

993 × 𝜋 × 0.052= 40.8 𝑚/𝑠

𝛥𝑝 = 𝑓𝐿

𝑑𝜌

𝑢𝑚2

2𝑔𝑐

= 0.0196 ×75

0.05× 993 ×

40.82

2= 24298916 𝑃𝑎 = 24.3𝑀𝑃𝑎

𝑃 = ∆𝑝 × �̇� ← �̇� =�̇�

𝜌=

80

993= 0.08 𝑚3/𝑠

∴ 𝑃 = ∆𝑝 × �̇� = 24298916 × 0.08 = 1943913 𝑊 = 1.94 𝑀𝑊

2) 관의 길이가 1m 인 지점에서 열전달계수를 구하여라.

(solution)

10 <𝐿

𝑑=

1

0.05= 20 < 400

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따라서 1m에서는 완전히 발달하지 않은 입구영역이라 할 수 있으므로, 다음의 식을 적용할 수 있다.

Nu𝑑 = 0.036 Re𝑑0.8Pr

13 (

𝑑

𝐿)

0.055

= 0.036 × 29870720.8 × 4.5313 × (

0.05

1)

0.055

= 7649

h̅ =Nu𝑑𝑘

𝑑=

7649 × 0.63

0.05= 96.4 𝑘𝑊 𝑚2℃⁄

2. 물이 3kg/s 로 5cm 의 내부지름을 갖는 구리관을 지나면서 5℃에서 15℃로 가열된다. 관의 벽온도가

90℃로 유지될 때 관의 길이를 구하여라 (단, 체적평균온도는 유체의 평균온도로서 구하며, 식은 Dittus와

Boelter의 식을 이용하여라)

(solution)

유체가 5℃에서 15℃로 가열되므로 체적평균온도는 10℃이다. 이때의 물의 물성은 표 A.9에 의해

𝑐𝑝 = 4.195 𝑘𝐽 𝑘𝑔 ∙ ℃⁄ , 𝜇 = 1.31 × 10−3 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠⁄ , 𝜌 = 999.2 𝑘𝑔 𝑚3⁄ , 𝑘 = 0.585 𝑊 𝑚 ∙ ℃⁄ , 𝑃𝑟 = 9.40

열전달은 유체의 온도변화에 의해서 다음과 같이 구할 수 있다.

𝑞 = 𝑐�̇�∆𝑇 = 4195 × 3 × (15 − 5) = 125850 𝑊

또한,

𝑢𝑚 =�̇�

𝜌𝐴=

3

999.2 × (0.0252𝜋)= 1.53 m/s

𝑅𝑒𝑑 =𝜌𝑢𝑚𝑑

𝜇=

999.2 × 1.53 × 0.05

1.13 × 10−3= 58350

유체가 가열되는 경우이므로, Dittus와 Boelter식에 의해

Nu𝑑 = 0.023 Re𝑑0.8Pr0.4 = 0.023 × 583500.8 × 9.400.4 = 366.28

ℎ =Nu𝑑𝑘

𝑑= 366.28 ×

0.585

0.05= 4285.47 𝑊/𝑚2℃

∴ 𝑞 = ℎ(𝜋𝑑𝐿)(90 − 10) ⟹ 125850 = 4285.47 × 𝜋 × 0.05 × 𝐿 × 80

∴ 𝐿 =125850

4285.47 × 𝜋 × 0.05 × 80= 2.34 𝑚