MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

1

บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ (Improper Integrals)

ปรพนธจ ากดเขต (definite integral) ( )b

a

f x dx ถกพจารณาในกรณ a และ b เปนจ านวนจรง

ในขณะททฤษฎหลกมลของแคลคลสมเงอนไขทส าคญวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , ]a b ในบทน เราจะศกษาการหาปรพนธในกรณ a หรอ b นอกจากน เราจะศกษาการหาปรพนธในกรณทสมาชกในชวงของการหาปรพนธซงท าให f ไมมความตอเนองบนชวงนน มจ านวนจ ากด ปรพนธทเราจะศกษานเรยกวา ปรพนธไมตรงแบบ (improper integral)

1.1 ปรพนธไมตรงแบบชนดทหนง (Improper Integral of the First Kind)

ในหวขอน เราจะพจารณาการหาปรพนธ ( )b

a

f x dx ในกรณ a หรอ b ขณะท f เปน

ฟงกชนทมความตอเนองบนชวงทจะหาปรพนธ เชน

2

1

1dx

x

0 x

e dx

2

1

1

dx

x เปนตน

บทนยามท 1.1.1 ให a เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , )a

ถา

lim ( )t

t

a

f x dx

มคา เราจะกลาววา ( )

a

f x dx

ลเขา และ

lim( ) ( )t

t

a a

f x dx f x dx

ถา

lim ( )t

t

a

f x dx

ไมมคา เราจะกลาววา ( )

a

f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.1.1 จงพจารณาวา 2

5

1

dx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

1( )f x

x จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [5, )

เราพบวา

2

lim lim lim 55

1 1 1 1 1

5 5 t t t

x tt

xdx

x tx

สรปวา 2

5

1

dx

x

ลเขา และ 2

5

1 1

5 dx

x

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

2

ตวอยางท 1.1.2 จงพจารณาวา

2

1

1dx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 1( )

1f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [2, )

เราพบวา

lim lim

2 2

1 1 ( 1)

1 1t t

t x t

x

dx d xx x

lim2

n | 1|

t

x t

xx

lim n | 1| n1

t

t

lim n | 1|

t

t

สรปวา

2

1

1dx

x

ลออก

บทนยามท 1.1.2 ให b เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , ]b

ถา

lim ( )t

b

t

f x dx

มคา เราจะกลาววา ( )b

f x dx

ลเขา และ

lim( ) ( )t

b b

t

f x dx f x dx

ถา

lim ( )t

b

t

f x dx

ไมมคา เราจะกลาววา ( )b

f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.1.3 จงพจารณาวา 0 x

e dx

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให ( ) xf x e จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0]

เราพบวา

0 0 0lim lim lim

1t t t

xx x tx t

t

e dx e e e

สรปวา 0 x

e dx

ลเขา และ

0 1

xe dx

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

3

ตวอยางท 1.1.4 จงพจารณาวา 2

3

4

xdx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

( )4

xf x

x จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 3]

เราพบวา

2

2

3 3lim lim ( 4)

4

t t

x

t x t

xdx d x

x

23

lim 4

t

x

x tx

2lim 13 4

t

t

สรปวา 2

3

4

xdx

x

ลออก

บทนยามท 1.1.3 ให c เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )

ถา ( )c

f x dx

และ ( )

c

f x dx

ลเขา เราจะกลาววา ( )f x dx

ลเขา

และ ( ) ( ) ( )c

c

f x dx f x dx f x dx

ถา ( )c

f x dx

หรอ ( )

c

f x dx

ลออก เราจะกลาววา ( )f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.1.5 จงพจารณาวา 2

1

1

dx

x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

1( )

1f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )

พจารณา 2

0 1

1

dx

x และ

20

1

1

dxx

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

4

เราพบวา

2

00

lim lim1

arctan1

t t

x

x tt

dx xx

lim arctan0 arctant

t

02

2

และ

2

lim lim0

0

1 arctan

1

t t

tx t

xdx x

x

lim arctan arctan0t

t

02

2

ดงนน 2

0 1

1

dx

x และ

20

1

1

dxx

ลเขา

สรปวา 2

1

1

dx

x ลเขา และ

2

1

2 21

dx

x

ตวอยางท 1.1.6 จงพจารณาวา 2

4

xdx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

( )4

xf x

x จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )

พจารณา 2

3

4

xdx

x

และ 2

3 4

xdx

x

จากตวอยางท 1.1.4 เราพบวา 2

3

4

xdx

x

ลออก

สรปวา 2

4

xdx

x

ลออก

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

5

แบบฝกหดท 1.1

1. จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปนลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

1.1

3

1

5dx

x

1.2

34

1

( 2)dx

x

1.3

2

93

1dx

x

1.4

20 1

xdx

x

1.5

0

sin x dx

1.6

1

n xdx

x

1.7 32

0

xx e dx

1.8

5

1

( n )e

dxx x

1.9

2 1

1dx

x

1.10

5

2

3 1

( 1)

dx

x

1.11 2

1 1

(2 3)dx

x

1.12

2

0

1

xdx

x

1.13 3

5 1

6dx

x

1.14

0 2xe dx

1.15 2

cos

x x dx 1.16

0 xxe dx

1.17 2

25

xdx

x

1.18

2 2

( 1)

xdx

x

1.19

2

29

xdx

x

1.20

1

x xdx

e e

2. จงแสดงวา

1

1 1

1 p

dxpx

เมอ 1p และลออก เมอ 1p

3. จงหาคา k ทท าให

0 3

k xe dx

4. จงหาพนทของอาณาบรเวณทอยระหวางเสนโคง | | xy e กบแกน X เมอ ( , )x

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

6

1.2 ปรพนธไมตรงแบบชนดทสอง (Improper Integral of the Second Kind)

ในหวขอน เราจะพจารณาการหาปรพนธ ( )b

a

f x dx ในกรณ a และ b เปนจ านวนจรง ขณะท

สมาชกในชวง [ , ]a b ซงท าให f ไมมความตอเนองบนชวง [ , ]a b มจ านวนจ ากด เชน 3

2

1

1

( 1)dx

x

2

2

0 4

xdx

x

23

1

1

( n )

e

e

dx

x x

เปนตน

บทนยามท 1.2.1 ให a และ b เปนจ านวนจรงซง a b และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , ]a b แตไมมความตอเนองท a

ถา

lim ( )t a

b

t

f x dx มคา เราจะกลาววา ( )

b

a

f x dx ลเขา และ

lim( ) ( )t a

b b

a t

f x dx f x dx

ถา

lim ( )t a

b

t

f x dx ไมมคา เราจะกลาววา ( )

b

a

f x dx ลออก

ตวอยางท 1.2.1 จงพจารณาวา

1

0

1dx

x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 1( )f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง (0, 1] แตไมมความตอเนองท 0

เราพบวา

0 0

1 1lim lim

1 2

t t

x

t x t

dx d xx

0

1lim

2

t

x

x tx

0

lim 2 2t

t

2

สรปวา

1

0

1dx

x ลเขา และ

1

0

1 2dx

x

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

7

ตวอยางท 1.2.2 จงพจารณาวา 3

2

1

1

( 1)dx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 3

1( )

( 1)f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 1, 2] แตไมมความตอเนองท 1

เราพบวา

3 31 1

2 2lim lim

1 1 ( 1)

( 1) ( 1)t t

x

t x t

dx d xx x

21

2

lim

1

2( 1)

t

x

x tx

2

1lim

18

1 1

2( 1)t t

สรปวา 3

2

1

1

( 1)dx

x

ลออก

บทนยามท 1.2.2 ให a และ b เปนจ านวนจรงซง a b และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , )a b แตไมมความตอเนองท b

ถา

lim ( )t b

t

a

f x dx มคา เราจะกลาววา ( )

b

a

f x dx ลเขา และ

lim( ) ( )t b

b t

a a

f x dx f x dx

ถา

lim ( )t b

t

a

f x dx ไมมคา เราจะกลาววา ( )

b

a

f x dx ลออก

ตวอยางท 1.2.3 จงพจารณาวา 2

2

0 4

xdx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

( )

4

xf x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [0, 2) แตไมมความตอเนองท 2

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

8

เราพบวา

2

22 2lim lim

0 0

( 1) 4

4

t t

t x t

x

xdx d x

x

2

2

lim

0 4

t

x t

xx

2

2lim 4 ( 2)

tt

2

สรปวา 2

2

0 4

xdx

x

ลเขา และ 2

2

0

2

4

xdx

x

ตวอยางท 1.2.4 จงพจารณาวา

0 1

e

dxx

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 1( )f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , 0)e แตไมมความตอเนองท 0

เราพบวา

0 0 0lim lim lim

1 n | | n | | n | |

t t t

t x t

x ee

dx x t ex

สรปวา

0 1

e

dxx

ลออก

บทนยามท 1.2.3 ให { , , }a b c เปนเซตของจ านวนจรงซง a c b และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )a b แตไมมความตอเนองท a และ b

ถา ( )c

a

f x dx และ ( )b

c

f x dx ลเขา เราจะกลาววา ( )b

a

f x dx ลเขา

และ ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

ถา ( )c

a

f x dx หรอ ( )b

c

f x dx ลออก เราจะกลาววา ( )b

a

f x dx ลออก

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

9

ตวอยางท 1.2.5 จงพจารณาวา 2

2

2 4

xdx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

( )

4

xf x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 2, 2) แตไมมความตอเนองท 2 และ 2

พจารณา 2

0

2 4

xdx

x

และ 2

2

0 4

xdx

x

เราพบวา

2

22 2

0 0lim lim ( 1) 4

4

t t

x

t x t

xdx d x

x

2

2

0lim 4

t

x

x tx

2

2lim 2 4

tt

2

ดงนน 2

0

2 4

xdx

x

ลเขา และ 2

0

2

2

4

xdx

x

จากตวอยางท 1.2.3 เราพบวา 2

2

0 4

xdx

x

ลเขา และ 2

2

0

2

4

xdx

x

สรปวา 2

2

2 4

xdx

x

ลเขา และ 2

2

2

2 2 0

4

xdx

x

ตวอยางท 1.2.6 จงพจารณาวา

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให

1( )

( 2)( 3)f x

x x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 3, 2) แตไมมความตอเนองท 3 และ 2

พจารณา

2.5

3

1

( 2)( 3)dx

x x

และ

2

2.5

1

( 2)( 3)dx

x x

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

10

เราพบวา

3 3

2.5 2.5lim lim

1 11

( 2)( 3) 2 3t tt t

dx dxx x x x

3

2.5lim n | 2 | n | 3|

t

xx tx x

3

lim 0 ln | 2 | ln | 3|

t

t t

ดงนน

2.5

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

สรปวา

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

บทนยามท 1.2.4 ให n เปนจ านวนนบ และให

0 1 1{ , , ... , }

nc c c

เปนเซตของจ านวนจรงซง

0 1 1

...n

c c c

และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 0 1 1

( , ) { , ... , }nnc c c c

แตไมมความตอเนองททกสมาชกในเซต 1

{ , ... , }nc c

ถา 1

( )i

i

c

c

f x dx

ลเขา ทก i เราจะกลาววา 1

0

( )nc

c

f x dx

ลเขา

และ 1 1

00

( ) ( )n i

i

n

i

c c

c c

f x dx f x dx

ถา ม i ทท าให 1

( )i

i

c

c

f x dx

ลออก เราจะกลาววา 1

0

( )nc

c

f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.2.7 จงพจารณาวา

23

1

1

( n )

e

e

dx

x x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให

23

1( )

( n )

f x

x x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง 1

[ , 1) (1, ] ee

แตไมมความตอเนองท 1

พจารณา

23

1

1

1

( n )e

dx

x x

และ

23

1

1

( n )

edx

x x

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

11

เราพบวา

1 1

323

lim lim

1 1

1 3 n

( n )t t

t x t

xee

dx d x

x x

1

31

lim

3 nt e

x t

xx

3 3

1lim

1 3 n 3 nt e

t

3

และ

1 1

323

lim lim1

3 n

( n )t t

e x e

t x t

dx d x

x x

1

3

lim

3 nt

x e

x tx

3 3

1lim 3 n 3 n

te t

3

ดงนน

23

1

1

1

( n )e

dx

x x

และ

23

1

1

( n )

edx

x x

ลเขา

สรปวา

23

1

1

( n )

e

e

dx

x x

ลเขา และ

23

1

1 3 3 6

( n )

e

e

dx

x x

ตวอยางท 1.2.8 จงพจารณาวา

2

5

1

( 2)( 3)dx

x x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให

1( )

( 2)( 3)f x

x x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ 5, 3) ( 3, 2) แตไมมความตอเนองท 3 และ 2

พจารณา

3

5

1

( 2)( 3)dx

x x

และ

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

จากตวอยางท 1.2.6 เราพบวา

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

สรปวา

2

5

1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

12

แบบฝกหดท 1.2

1. จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปนลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

1.1 2

4

1

1

( 1)dx

x

1.2

3

7

1

1

1dx

x

1.3 2

5

3 9

x

dx

x

1.4

1

1

n

edx

x x

1.5 5

0.5

1

1

2 1dx

x

1.6

2

2

0

2 1

2

xdx

x x

1.7 22

0

sec x dx

1.8

2

sin

1 cos

xdx

x

1.9 2

5

5 25

xdx

x

1.10

2

1

1

( 2)( 1)dx

x x

1.11 2

3

5

1

2 15

xdx

x x

1.12

1

1

1

1 | |dx

x

1.13 2

3

3

6

1

( 2)

dx

x

1.14

2

1

1

n 3x

dx

1.15

2

3

2 2

xdx

x

1.16 2 3

4

1 ( 1)

xdx

x

1.17 2

3

0

1

5 6dx

x x

1.18

2

32

3

1

2 5

( 5 6)

xdx

x x

1.19

4

2

1

( 2)( 1)( 3)( 4)dx

x x x x

1.20

3

3

4

1

dx

x x

2. จงแสดงวา

1

0

1 1

1 p

dxpx

เมอ 1p และลออก เมอ 1p

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

13

1.3 ปรพนธไมตรงแบบชนดทสาม (Improper Integral of the Third Kind)

ในหวขอน เราจะพจารณาการหาปรพนธ ( )b

a

f x dx ในกรณ a หรอ b ขณะทสมาชก

ในชวงของการหาปรพนธซงท าให f ไมมความตอเนองบนชวงนน มจ านวนจ ากด การหาปรพนธไมตรงแบบชนดทสามจะผสมผสานแนวความคดระหวางการหาปรพนธไมตรงแบบชนดทหนงและชนดทสอง เชน

0 1dx

x

3

1

( 2)( 3)dx

x x

2

1

dx

x

เปนตน

การพจารณาปรพนธไมตรงแบบชนดทสามอาศยการแบงชวงทจะหาปรพนธออกเปนชวงยอยๆ ซงท าใหปรพนธบนแตละชวงยอยนนเปนปรพนธไมตรงแบบชนดทหนงหรอชนดทสองอยางใดอยางหนง การลเขาหรอการลออกของปรพนธไมตรงแบบชนดนจะขนอยกบการลเขาหรอการลออกของปรพนธบนแตละชวงยอย

บทนยามท 1.3.1 ให a และ c เปนจ านวนจรงซง a c และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )a แตไมมความตอเนองท a

ถา ( )c

a

f x dx และ ( )

c

f x dx

ลเขา เราจะกลาววา ( )

a

f x dx

ลเขา

และ ( ) ( ) ( )c

a a c

f x dx f x dx f x dx

ถา ( )c

a

f x dx หรอ ( )

c

f x dx

ลออก เราจะกลาววา ( )

a

f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.3.1 จงพจารณาวา

2

1

0

xedx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให

2

1

( )xe

f xx

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง (0, ) แตไมมความตอเนองท 0

พจารณา

2

1

1

0

xedx

x

และ

2

1

1

xedx

x

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

14

เราพบวา

2

0 0

11

1 1lim lim

1

t t

x xx

t x t

edx e d

xx

0

11

lim t

xx

x t

d e

0

11

lim

t

x

x

x t

e

0

1

lim1

t

tee

1 e

และ

2

11

lim lim

1 1

1

t t

xt x tx

x

edx e d

xx

1

lim

1

t

x tx

x

d e

1

lim

1

t

x t

x

x

e

1

lim1

t

tee

1 1

e

ดงนน

2

1

1

0

xedx

x

และ

2

1

1

xedx

x

ลเขา

สรปวา

2

1

0

xedx

x

ลเขา และ

2

1

0

1 1 1 1

xedx

e ex

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

15

ตวอยางท 1.3.2 จงพจารณาวา 2

0

1

dx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

1( )f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง (0, ) แตไมมความตอเนองท 0

พจารณา 2

5

0

1

dx

x และ

25

1

dx

x

เราพบวา

20 0 0

55lim lim lim

1 1 1 1

5 t t t

x

x tt

dxx tx

ดงนน 2

5

0

1

dx

x ลออก

สรปวา 2

0

1

dx

x

ลออก

บทนยามท 1.3.2 ให b และ c เปนจ านวนจรงซง c b และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง

( , )b แตไมมความตอเนองท b

ถา ( )c

f x dx

และ ( )

b

c

f x dx ลเขา เราจะกลาววา ( )b

f x dx

ลเขา

และ ( ) ( ) ( )b c b

c

f x dx f x dx f x dx

ถา ( )c

f x dx

หรอ ( )

b

c

f x dx ลออก เราจะกลาววา ( )b

f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.3.3 จงพจารณาวา

3

2

3

0

xe

dx

x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 3

2

3

( )

xe

f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) แตไมมความตอเนองท 0

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

16

พจารณา

3

2

3

1

xe

dx

x

และ

3

2

3

0

1

xe

dx

x

เราพบวา

3

33

2

3

1 1lim lim 3

t t

xx x

t x t

edx e d x

x

31lim (3 )

t

xx

x t

d e

3 1

lim

3

t

xx

x t

e

3

lim3

3

t

tee

3

e

และ

3

33

2

0 03

lim lim

1 1

3

t t

xt x t x

x

edx e d x

x

3

0lim

1

(3 )

t

x tx

x

d e

3

0

lim

1

3

t

x tx

x

e

3

0lim

3 3

t

tee

3 3

e

ดงนน

3

2

3

1

xe

dx

x

และ

3

2

3

0

1

xe

dx

x ลเขา

สรปวา 3

2

3

0

xe

dx

x ลเขา และ

3

2

3

0

3 3 3 3

xe

dxe e

x

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

17

ตวอยางท 1.3.4 จงพจารณาวา

0 1dx

x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 1( )f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) แตไมมความตอเนองท 0

พจารณา 1e

dxx

และ

0 1

e

dxx

จากตวอยางท 1.2.4 เราพบวา

0 1

e

dxx

ลออก

สรปวา

0 1dx

x ลออก

บทนยามท 1.3.3 ให n เปนจ านวนนบ และให

0 1{ , , ... , }nc c c เปนเซตของจ านวนจรงซง

0 1

... nc c c และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 0 1

( , ) { , ... , }nc c c แตไมม

ความตอเนองททกสมาชกในเซต 1

{ , ... , }nc c

ถา 1

( )i

i

c

c

f x dx

ลเขา ทก i และ ( )

nc

f x dx

ลเขา เราจะกลาววา

0

( )

c

f x dx

ลเขา

และ 1

0

1

0

( ) ( ) ( )i

i n

n

i

c

c c c

f x dx f x dx f x dx

ถา ( )

nc

f x dx

ลออก หรอ ม i ทท าให 1

( )i

i

c

c

f x dx

ลออก เราจะกลาววา

0

( )

c

f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.3.5 จงพจารณาวา

2

1

| |

1

xe

dxx

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให

2

1

| |

( )

xe

f xx

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ 1, 0) (0, ) แตไมมความตอเนองท 0

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

18

พจารณา

2

1

| |0

1

xe

dxx

และ

2

1

| |

0

xe

dxx

เราพบวา

2 2

0 0

1 1

| |

lim lim

1 1

t t

x xt te edx dx

x x

0

1

lim

1

1 ( )t

x tx

x

e dx

0

1

lim

1

( )t

x tx

x

d e

0

1

lim

1

t

x t

x

x

e

0

1

lim1

t

tee

1 e

และ

2 2

1 1

| |

0 0

x xe edx dx

x x

จากตวอยางท 1.3.1 เราพบวา

2

1

0

xedx

x

ลเขา และ

2

1

0

1

xedx

x

ดงนน

2

1

| |0

1

xe

dxx

และ

2

1

| |

0

xe

dxx

ลเขา

สรปวา

2

1

| |

1

xe

dxx

ลเขา และ

2

1

| |

1

1 1

xe

dxex

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

19

ตวอยางท 1.3.6 จงพจารณาวา

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให

1( )

( 2)( 3)f x

x x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 3, 2) ( 2, ) แตไมมความตอเนองท 3 และ 2

พจารณา

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

และ

2

1

( 2)( 3)dx

x x

จากตวอยางท 1.2.6 เราพบวา

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

สรปวา

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

บทนยามท 1.3.4 ให n เปนจ านวนนบ และให

1 2 1{ , , ... , }

nc c c

เปนเซตของจ านวนจรงซง

1 2 1

...n

c c c

และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 1 1

( , ) { , ... , }nnc c c

แตไมมความตอเนองททกสมาชกในเซต 1

{ , ... , }nc c

ถา 1

( )i

i

c

c

f x dx

ลเขา ทก i และ 1

( )c

f x dx

ลเขา เราจะกลาววา

1

( )nc

f x dx

ลเขา

และ 1 1 1

1

( ) ( ) ( )n i

i

n

i

c c c

c

f x dx f x dx f x dx

ถา 1

( )c

f x dx

ลออก หรอ ม i ทท าให

1

( )i

i

c

c

f x dx

ลออก เราจะกลาววา 1

( )nc

f x dx

ลออก

ตวอยางท 1.3.7 จงพจารณาวา

3

2

3

1

xe

dx

x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 3

2

3

( )

xe

f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) (0, 1] แตไมมความตอเนองท 0

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

20

พจารณา

3

2

3

0

xe

dx

x และ

3

2

3

1

0

xe

dx

x

จากตวอยางท 1.3.3 เราพบวา 3

2

3

0

xe

dx

x ลเขา และ

3

2

3

0 3

xe

dx

x

นอกจากน เราพบวา

3

33

2

0 03

1 1lim lim 3

t t

xx x

t x t

edx e d x

x

3

0

1lim (3 )

t

xx

x t

d e

3

0

1

lim

3

t

xx

x t

e

3

0lim 3 3

t

te e

3 3 e

ดงนน

3

2

3

1

0

xe

dx

x

ลเขา และ

3

2

3

1

0

3 3

xe

dx e

x

สรปวา 3

2

3

1

xe

dx

x ลเขา และ

3

2

3

1 3 (3 3) 3

xe

dx e e

x

ตวอยางท 1.3.8 จงพจารณาวา

4 1

( 2)( 3)dx

x x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให

1( )

( 2)( 3)f x

x x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 3) ( 3, 2) ( 2, 4] แตไมมความตอเนองท 3 และ 2

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

21

พจารณา

3 1

( 2)( 3)dx

x x

และ

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

และ

4

2

1

( 2)( 3)dx

x x

จากตวอยางท 1.2.6 เราพบวา

2

3

1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

สรปวา

4 1

( 2)( 3)dx

x x

ลออก

บทนยามท 1.3.5 ให n เปนจ านวนนบ และให

1{ , ... , }nc c เปนเซตของจ านวนจรงซง

1

... nc c และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 1

( , ) { , ... , }nc c แตไมมความ

ตอเนองททกสมาชกในเซต 1

{ , ... , }nc c และให เปนเซตของจ านวนนบทนอยกวา n

ถา 1

( )i

i

c

c

f x dx

ลเขา ทก i และ 1

( )c

f x dx

ลเขา และ ( )

nc

f x dx

ลเขา

เราจะกลาววา ( )f x dx

ลเขา

และ

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

i

i ni

c c

c c

f x dx f x dx f x dx f x dx

ถา 1

( )c

f x dx

ลออก หรอ ( )

nc

f x dx

ลออก หรอ ม i ทท าให 1

( )i

i

c

c

f x dx

ลออก

เราจะกลาววา ( )f x dx

ลออก

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

22

ตวอยางท 1.3.9 ให

2

;

1

;

0

( )

0

x

xe x

f xe

xx

จงพจารณาวา ( )f x dx

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า เราพบวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) (0, ) แตไมมความตอเนองท 0

พจารณา

0( )f x dx

และ

0

( )f x dx

นนคอ พจารณา 0 x

e dx

และ

2

1

0

xedx

x

จากตวอยางท 1.1.3 เราพบวา 0 x

e dx

ลเขา และ

0 1

xe dx

จากตวอยางท 1.3.1 เราพบวา

2

1

0

xedx

x

ลเขา และ

2

1

0

1

xedx

x

สรปวา ( )f x dx

ลเขา และ ( ) 1 1 2f x dx

ตวอยางท 1.3.10 จงพจารณาวา 2

1

dx

x

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

วธท า ให 2

1( )f x

x

จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) (0, ) แตไมมความตอเนองท 0

พจารณา 2

0 1

dx

x และ

20

1

dx

x

จากตวอยางท 1.3.2 เราพบวา 2

0

1

dx

x

ลออก

สรปวา 2

1

dx

x

ลออก

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

23

แบบฝกหดท 1.3

1. จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปนลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

1.1

0

xe

dxx

1.2 3

1

1

1dx

x

1.3

1.5 1

3 2dx

x

1.4

4 2

3 3

0 1

dx

x x

1.5

1

1

| | 1 | |

dx

x x 1.6

1

1

( 1)dx

x x

1.7 5 1

3 3

1 1

dx

x x

1.8

2 1

( 4)( 5)dx

x x

1.9

1

( 2)( 1)dx

x x

1.10

1

x

x

edx

e

2. ให 3

4

3

;

1

;

0

( )

0

x

xe x

f xe

x

x

จงพจารณาวา ( )f x dx

ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ

3. จงแสดงวา

0

1

pdx

x ลออก ทกจ านวนจรง p

MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง

24

เฉลยแบบฝกหดท 1.1

1. 1.1 ลออก 1.2 18

1.3 9

1.4 ลออก 1.5 ลออก 1.6 ลออก

1.7 1

3 1.8 1

4 1.9 ลออก

1.10 1

12 1.11 1

2 1.12 ลออก

1.13 ลออก 1.14 1

2 1.15 ลออก

1.16 1 1.17 ลออก 1.18 0

1.19 ลออก 1.20 2

3. 1

3

4. 2

เฉลยแบบฝกหดท 1.2

1. 1.1 ลออก 1.2 6 1.3 4 1.4 ลออก 1.5 5

8 1.6 ลออก

1.7 ลออก 1.8 2 1.9 0 1.10 ลออก 1.11 ลออก 1.12 4 1.13 9 1.14 ลออก 1.15 7 1.16 ลออก 1.17 ลออก 1.18

33 2 1.19 ลออก 1.20 ลออก

เฉลยแบบฝกหดท 1.3

1. 1.1 2 1.2 ลออก 1.3 ลออก

1.4 32

1.5 32

1.6 ลออก

1.7 3

8

1.8 ลออก 1.9 ลออก

1.10 ลออก

2. 4