chew weedon

8/22/2019 Chew Weedon

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A 3 - D P e r f e c t l y M a t c h e d M e d i u m f r o m M o d i e d

M a x w e l l ' s E q u a t i o n s w i t h S t r e t c h e d C o o r d i n a t e s

y

W e n g C h o C h e w a n d W i l l i a m H . W e e d o n

E l e c t r o m a g n e t i c s L a b o r a t o r y

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g

U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , U r b a n a , I L 6 1 8 0 1

K e y T e r m s : M a x w e l l ' s e q u a t i o n s , c o o r d i n a t e s t r e t c h i n g , p e r f e c t l y m a t c h e d

l a y e r , n i t e d i e r e n c e t i m e d o m a i n , m a s s i v e l y p a r a l l e l c o m p u t e r .

A b s t r a c t

A m o d i e d s e t o f M a x w e l l ' s e q u a t i o n s i s p r e s e n t e d t h a t i n c l u d e s c o m p l e x c o o r d i n a t e

s t r e t c h i n g a l o n g t h e t h r e e c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s . T h e a d d e d d e g r e e s o f f r e e d o m i n t h e

m o d i e d M a x w e l l ' s e q u a t i o n s a l l o w t h e s p e c i c a t i o n o f a b s o r b i n g b o u n d a r i e s w i t h z e r o

r e e c t i o n a t a l l a n g l e s o f i n c i d e n c e a n d a l l f r e q u e n c i e s . T h e m o d i e d e q u a t i o n s a r e a l s o r e -

l a t e d t o t h e p e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r t h a t w a s p r e s e n t e d r e c e n t l y f o r 2 - D w a v e p r o p a g a t i o n .

A b s o r b i n g m a t e r i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t f o r n i t e d i e r e n c e t i m e

d o m a i n ( F D T D ) c o m p u t a t i o n s o n a s i n g l e - i n s t r u c t i o n m u l t i p l e - d a t a ( S I M D ) m a s s i v e l y p a r -

a l l e l s u p e r c o m p u t e r . A 3 - D F D T D a l g o r i t h m h a s b e e n d e v e l o p e d o n a C o n n e c t i o n M a c h i n e

C M - 5 b a s e d o n t h e m o d i e d M a x w e l l ' s e q u a t i o n s a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e p r e s e n t e d t o

v a l i d a t e t h e a p p r o a c h .

1 . I n t r o d u c t i o n

T h e n i t e d i e r e n c e t i m e d o m a i n m e t h o d 1 , 2 ] i s w i d e l y r e g a r d e d a s o n e o f t h e m o s t

p o p u l a r c o m p u t a t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c s a l g o r i t h m s . A l t h o u g h F D T D i s c o n c e p t u a l l y v e r y

s i m p l e a n d r e l a t i v e l y e a s y t o p r o g r a m , t h e m e t h o d i s a c t u a l l y q u i t e e c i e n t s i n c e i t i n v o l v e s

O ( N

1 : 5

) c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y i n 2 - D a n d O ( N

1 : 3 3

) c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y i n 3 - D

3 ] . I n f a c t , F D T D c a n b e c o n s i d e r e d a n o p t i m a l a l g o r i t h m s i n c e O ( N

) n u m b e r s a r e

y

T h i s w o r k i s s u p p o r t e d b y t h e O c e o f N a v a l R e s e a r c h u n d e r g r a n t N 0 0 0 - 1 4 - 8 9 - J 1 2 8 6 , t h e A r m y

R e s e a r c h O c e u n d e r c o n t r a c t D A A L 0 3 - 9 1 - G - 0 3 3 9 , t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n u n d e r g r a n t N S F -

E C S - 9 2 - 2 4 4 6 6 , a n d N A S A u n d e r g r a n t N A S A - N A G - 2 - 8 7 1 . C o m p u t e r t i m e i s p r o v i d e d b y t h e N a t i o n a l

C e n t e r f o r S u p e r c o m p u t e r A p p l i c a t i o n s a t t h e U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , U r b a n a - C h a m p a i g n .

F i l e : p m l . t e x , J a n u a r y 1 2 , 1 9 9 5

A p p e a r e d i n M i c r o . O p t . T e c h . L e t t . , v o l . 7 , n o . 1 3 , p p . 5 9 9 - 6 0 4 , S e p t e m b e r 1 9 9 4 .

1


2/15

p r o d u c e d i n O ( N

) o p e r a t i o n s .

F D T D i s a l s o i d e a l l y s u i t e d f o r i m p l e m e n t a t i o n o n a s i n g l e - i n s t r u c t i o n m u l t i p l e - d a t a

( S I M D ) m a s s i v e l y p a r a l l e l c o m p u t e r . T h e r e a s o n i s t h a t t h e s t e n c i l o p e r a t i o n s t h a t m u s t

b e c o m p u t e d a t e a c h n o d e o f t h e s p a c e g r i d i n v o l v e o n l y n e a r e s t - n e i g h b o r i n t e r a c t i o n s a n d

m a y b e i m p l e m e n t e d a t a m i n i m u m c o m m u n i c a t i o n c o s t 4 ] . A m a j o r c h a l l e n g e , h o w e v e r ,

i s i n i m p l e m e n t i n g a b s o r b i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( A B C s ) a t t h e e d g e s o f t h e F D T D

g r i d . O n s c a l a r a n d v e c t o r c o m p u t e r s , t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t y p i c a l l y c o m p u t e d

u s i n g m e t h o d s s u c h a s t h e E n g q u i s t - M a j d a 5 ] , M u r 6 ] , L i a o 7 ] o r H i g d o n 8 ] A B C .

H o w e v e r , t h e s e m e t h o d s a r e n o t i d e a l f o r p a r a l l e l s u p e r c o m p u t e r s s i n c e t h e y a l l i n v o l v e

c o m m u n i c a t i o n w i t h m a n y e l e m e n t s n o r m a l t o t h e g r i d b o u n d a r y . S u c h c o m m u n i c a t i o n

c a n e a s i l y s u r p a s s t h e t i m e s p e n t c o m p u t i n g c o r e F D T D o p e r a t i o n s i n t h e g r i d i n t e r i o r ,

e s p e c i a l l y f o r h i g h e r - o r d e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d h e n c e c a n b e c o m e a b o t t l e n e c k i n t h e

F D T D c o d e . A l s o , t h e y d o n o t a l l o w f o r S I M D o p e r a t i o n o n a p a r a l l e l m a c h i n e w i t h o u t

t h e u s e o f m a s k i n g .

A n a l t e r n a t e m e t h o d o f i m p l e m e n t i n g a n A B C i s t o u s e a c o n v e n t i o n a l a b s o r b i n g

m a t e r i a l b o u n d a r y 4 , 9 { 1 4 ] . F o r S I M D p a r a l l e l c o m p u t a t i o n , t h e s e m e t h o d s h a v e t h e

a d v a n t a g e t h a t t h e A B C m a y b e i m p l e m e n t e d w i t h t h e s a m e F D T D s t e n c i l o p e r a t i o n a s

t h e i n t e r i o r n o d e s b y m o d i f y i n g t h e c o n d u c t i v i t y m a t e r i a l p a r a m e t e r a t t h e e d g e o f t h e

F D T D g r i d . T h e d i s a d v a n t a g e i s t h a t t h e r e e c t i o n c o e c i e n t a t t h e a b s o r b i n g b o r d e r i s

z e r o o n l y a t n o r m a l i n c i d e n c e a n d i s b o t h a n g l e a n d f r e q u e n c y d e p e n d e n t . C o n s e q u e n t l y ,

t h e a b s o r b i n g m a t e r i a l b o r d e r r e g i o n m u s t b e m a d e q u i t e l a r g e | t y p i c a l l y 2 0 { 1 0 0 g r i d

p o i n t s a l o n g e a c h e d g e i n o r d e r t o m i n i m i z e r e e c t i o n s .

R e c e n t l y , B e r e n g e r 1 5 ] s u g g e s t e d a m o r e g e n e r a l m e t h o d o f i m p l e m e n t i n g a n a b s o r b i n g

m a t e r i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n . B e r e n g e r p r o p o s e d a p r o c e d u r e f o r 2 - D w a v e p r o p a g a t i o n

w h e r e b y M a x w e l l ' s e q u a t i o n s a r e g e n e r a l i z e d a n d a d d e d d e g r e e s o f f r e e d o m a r e i n t r o d u c e d .

T h e a d d e d d e g r e e s o f f r e e d o m a l l o w t h e s p e c i c a t i o n o f a b s o r b i n g b o r d e r s w i t h z e r o r e -

e c t i o n c o e c i e n t a t a l l a n g l e s o f i n c i d e n c e a n d a l l f r e q u e n c i e s . M o r e o v e r , t h e g e n e r a l i z e d

2


3/15

M a x w e l l ' s e q u a t i o n s r e d u c e t o t h e f a m i l i a r M a x w e l l ' s e q u a t i o n s a s a s p e c i a l c a s e a n d h e n c e

t h e s a m e g e n e r a l i z e d e q u a t i o n s c a n b e u s e d t o p r o p a g a t e e l d s i n b o t h t h e i n t e r i o r r e g i o n

a n d a b s o r b i n g r e g i o n . A l t h o u g h t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t h e i n t e r i o r r e g i o n a n d t h e a b s o r b -

i n g b o u n d a r y i s r e e c t i o n l e s s , t h e r e i s s t i l l a r e e c t i o n f r o m t h e e d g e o f t h e g r i d . T h e

a d v a n t a g e o f u s i n g B e r e n g e r ' s p r o c e d u r e i s t h a t m u c h l a r g e r c o n d u c t i v i t y v a l u e s m a y b e

s p e c i e d i n t h e a b s o r b i n g r e g i o n , l e a d i n g t o a d r a s t i c r e d u c t i o n i n t h e n u m b e r o f g r i d

p o i n t s r e q u i r e d f o r t h e a b s o r b i n g b o u n d a r y .

I n t h e p r e s e n t p a p e r , a f o r m u l a t i o n s i m i l a r t o t h e B e r e n g e r i d e a i s d e r i v e d f o r 3 - D w a v e

p r o p a g a t i o n f r o m r s t p r i n c i p l e s u s i n g a c o o r d i n a t e s t r e t c h i n g a p p r o a c h . T h e a d v a n t a g e

o f t h e n e w m e t h o d f o r S I M D p a r a l l e l c o m p u t a t i o n i s s t r e s s e d . T h e m e t h o d i s v a l i d a t e d

w i t h 3 - D F D T D n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s o n a T h i n k i n g M a c h i n e s C o r p o r a t i o n C o n n e c t i o n

M a c h i n e C M - 5 .

2 . M o d i e d M a x w e l l ' s E q u a t i o n s

F o r a g e n e r a l m e d i u m , w e d e n e t h e m o d i e d M a x w e l l ' s e q u a t i o n s i n t h e f r e q u e n c y

d o m a i n , a s s u m i n g e

; i ! t

t i m e d e p e n d e n c e , a s

r

e

E = i ! H ( 1 )

r

h

H = ; i ! E ( 2 )

r

h

E = ( 3 )

r

e

H = 0 ( 4 )

w h e r e

r

e

= x

1

e

x

@

@ x

+ y

1

e

y

@

@ y

+ z

1

e

z

@

@ z

( 5 )

r

h

= x

1

h

x

@

@ x

+ y

1

h

y

@

@ y

+ z

1

h

z

@

@ z

: ( 6 )

I n t h e a b o v e , e

i

, h

i

, i = x y z a r e c o o r d i n a t e - s t r e t c h i n g v a r i a b l e s t h a t s t r e t c h t h e x y z

c o o r d i n a t e s f o r r

e

a n d r

h

. I t s h a l l b e s h o w n l a t e r t h a t w h e n e

i

a n d h

i

a r e c o m p l e x

3


4/15

n u m b e r s , t h e m e d i u m c a n b e l o s s y . N o t e t h a t ( 3 ) a n d ( 4 ) a r e d e r i v a b l e f r o m ( 1 ) a n d ( 2 ) .

A g e n e r a l p l a n e w a v e s o l u t i o n t o E q u a t i o n s ( 1 ) { ( 4 ) h a s t h e f o r m

E = E

0

e

i k r

( 7 )

a n d

H = H

0

e

i k r

( 8 )

w h e r e k = x k

x

+ y k

y

+ z k

z

. S u b s t i t u t i n g E q u a t i o n s ( 7 ) a n d ( 8 ) i n t o E q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 )

a b o v e g i v e s

k

e

E = ! H ( 9 )

k

h

H =

;! E ( 1 0 )

w h e r e k

e

= x

k

x

e

x

+ y

k

y

e

y

+ z

k

z

e

z

a n d k

h

= x

k

x

h

x

+ y

k

y

h

y

+ z

k

z

h

z

. C o m b i n i n g t h e a b o v e , w e h a v e

; !

2

H = k

e

k

h

H

= k

h

( k

e

H ) ; ( k

e

k

h

) H :

( 1 1 )

B u t f r o m E q u a t i o n ( 9 ) , k

e

H = 0 f o r a h o m o g e n e o u s m e d i u m . T h i s g i v e s t h e d i s p e r s i o n

r e l a t i o n

!

2

= k

e

k

h

( 1 2 )

o r

2

=

1

e

x

h

x

k

2

x

+

1

e

y

h

y

k

2

y

+

1

e

z

h

z

k

2

z

( 1 3 )

w h e r e

2

= !

2

. E q u a t i o n ( 1 3 ) i s t h e e q u a t i o n o f a n e l l i p s o i d i n 3 - D a n d i s s a t i s e d b y

k

x

=

q

e

x

h

x

s i n c o s ( 1 4 )

k

y

=

q

e

y

h

y

s i n s i n ( 1 5 )

a n d

k

z

=

q

e

z

h

z

c o s : ( 1 6 )

4


5/15

N o t e t h a t w h e n e

i

, h

i

, i = x y z a r e c o m p l e x , t h e w a v e i n t h e x , y , a n d z d i r e c t i o n s a r e

a t t e n u a t i v e a n d c a n b e i n d e p e n d e n t l y c o n t r o l l e d . U n d e r t h e m a t c h i n g c o n d i t i o n , e

x

= h

x

,

e

y

= h

y

, a n d e

z

= h

z

, w e h a v e j k

e

j

2

= j k

h

j

2

=

2

. T h e w a v e i m p e d a n c e i s t h e n g i v e n b y

=

j E j

j H j

=

j k

h

j

!

=

r

( 1 7 )

i r r e s p e c t i v e o f t h e v a l u e s f o r e

i

i = x y z a n d t h e d i r e c t i o n o f p r o p a g a t i o n .

3 . S i n g l e I n t e r f a c e P r o b l e m

A s s u m e t h a t a p l a n e w a v e i s o b l i q u e l y i n c i d e n t o n t h e i n t e r f a c e z = 0 i n F i g u r e 1 .

F u r t h e r m o r e , w e m a y a s s u m e t h a t t h e p l a n e w a v e i s o f a r b i t r a r y p o l a r i z a t i o n . T h e i n c i d e n t

e l d m a y b e d e c o m p o s e d i n t o a s u m o f t w o c o m p o n e n t s , o n e w i t h e l e c t r i c e l d t r a n s v e r s e

t o z ( T E

z

) a n d t h e o t h e r w i t h m a g n e t i c e l d t r a n s v e r s e t o z ( T M

z

) . W e w i l l e x a m i n e

t h e s e t w o c o m p o n e n t s i n d i v i d u a l l y .

x

y

z

transmittedwave

reflectedwave

waveincident

z=0plane

region 1

region 2

F i g u r e 1 : P l a n e w a v e w i t h a r b i t r a r y p o l a r i z a t i o n i n c i d e n t o n t h e p l a n e

z = 0 .

I n t h e ( T E

z

) c a s e , w e l e t t h e i n c i d e n t e l d i n r e g i o n 1 b e g i v e n a s

E

i

= E

0

e

i k

i

r

: ( 1 8 )

I n t h e a b o v e , k

h i

E

0

= 0 , a n d E

0

i s i n t h e x y p l a n e . S i m i l a r l y , w e d e n e t h e r e e c t e d

e l d i n r e g i o n 1 a s

E

r

= R

T E

E

0 r

e

i k

r

r

( 1 9 )

5


6/15

a n d t h e t r a n s m i t t e d e l d i n r e g i o n 2 a s

E

t

= T

T E

E

0 t

e

i k

t

r

: ( 2 0 )

P h a s e m a t c h i n g r e q u i r e s t h a t k

i x

= k

r x

= k

t x

a n d k

i y

= k

r y

= k

t y

. H e n c e , w e c a n

d e n e E

0 r

= E

0 t

= E

0

s i n c e t h e y a l l p o i n t i n t h e s a m e d i r e c t i o n . A p p l y i n g t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n t h a t t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c e l d m u s t b e c o n t i n u o u s a c r o s s t h e p l a n e z = 0

*

, w e

h a v e

1 + R

T E

= T

T E

: ( 2 1 )

T h e m a g n e t i c e l d m a y b e d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n ( 9 ) f o r r e g i o n s 1 a n d 2 a s

H

1

=

k

i e

E

0

!

1

e

i k

i

r

+ R

T E

k

r e

E

0

!

1

e

i k

r

r

( 2 2 )

a n d

H

2

= T

T E

k

t e

E

0

!

2

e

i k

t

r

( 2 3 )

w h e r e k

i e

= x

k

i x

e

x

+ y

k

i y

e

y

+ z

k

i z

e

z

a n d s i m i l a r l y f o r k

r e

a n d k

t e

. W e a l s o d e n e k

1 z

= k

i z

, k

2 z

=

k

t z

a n d n o t e t h a t k

r z

= ; k

1 z

. T h e n e q u a t i n g t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f E q u a t i o n s ( 2 2 )

a n d ( 2 3 ) , w e h a v e

k

1 z

e

2 z

2

h

1 ; R

T E

i

= T

T E

k

2 z

e

1 z

1

: ( 2 4 )

C o m b i n i n g E q u a t i o n s ( 2 1 ) a n d ( 2 4 ) , w e h a v e

R

T E

=

k

1 z

e

2 z

2

; k

2 z

e

1 z

1

k

1 z

e

2 z

2

+ k

2 z

e

1 z

1

( 2 5 )

a n d

T

T E

=

2 k

1 z

e

2 z

2

k

1 z

e

2 z

2

+ k

2 z

e

1 z

1

: ( 2 6 )

A p p l y i n g a s i m i l a r p r o c e d u r e t o t h e T M

z

c o m p o n e n t , w e h a v e

R

T M

=

k

1 z

h

2 z

2

; k

2 z

h

1 z

1

k

1 z

h

2 z

2

+ k

2 z

h

1 z

1

( 2 7 )

*

T h i s b o u n d a r y c o n d i t i o n f o l l o w s f r o m t h e m o d i e d M a x w e l l ' s e q u a t i o n ( 1 ) .

6


7/15

a n d

T

T M

=

2 k

1 z

h

2 z

2

k

1 z

h

2 z

2

+ k

2 z

h

1 z

1

: ( 2 8 )

4 . A P e r f e c t l y M a t c h e d I n t e r f a c e

T h e p h a s e m a t c h i n g c o n d i t i o n r e q u i r e s t h a t k

1 x

= k

2 x

a n d k

1 y

= k

2 y

, o r

1

q

e

1 x

h

1 x

s i n

1

c o s

1

=

2

q

e

2 x

h

2 x

s i n

2

c o s

2

( 2 9 )

a n d

1

q

e

1 y

h

1 y

s i n

1

s i n

1

=

2

q

e

2 y

h

2 y

s i n

2

s i n

2

( 3 0 )

w h e r e

1

= !

p

1

1

a n d

2

= !

p

2

2

. F o r a p e r f e c t l y m a t c h e d m e d i u m , w e c h o o s e

1

=

2

,

1

=

2

, e

x

= h

x

a n d e

y

= h

y

. E q u a t i o n s ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) b e c o m e

e

1 x

s i n

1

c o s

1

= e

2 x

s i n

2

c o s

2

( 3 1 )

a n d

e

1 y

s i n

1

s i n

1

= e

2 y

s i n

2

s i n

2

: ( 3 2 )

I f w e n o w c h o o s e e

1 x

= e

2 x

a n d e

1 y

= e

2 y

, t h e n

1

=

2

,

1

=

2

a n d w e c a n s h o w t h a t

b o t h R

T E

= 0 a n d R

T M

= 0 f o r a l l a n g l e s o f i n c i d e n c e a n d a l l f r e q u e n c i e s .

I f r e g i o n 1 i s a v a c u u m , t h e n =

0

, =

0

, a n d

( e

1 x

e

1 y

e

1 z

h

1 x

h

1 y

h

1 z

) = ( 1 1 1 1 1 1 ) : ( 3 3 )

I n o r d e r t o h a v e a l o s s y r e g i o n 2 w i t h n o r e e c t i o n s a t t h e r e g i o n 1 / r e g i o n 2 i n t e r f a c e , w e

c h o o s e

( e

2 x

e

2 y

e

2 z

h

2 x

h

2 y

h

2 z

) = ( 1 1 s

2

1 1 s

2

) ( 3 4 )

w h e r e s

2

i s a c o m p l e x n u m b e r . I n t h i s c a s e ,

k

1 x

= k

2 x

=

0

s i n c o s ( 3 5 )

k

1 y

= k

2 y

=

0

s i n s i n ( 3 6 )

7


8/15

k

1 z

=

0

c o s ( 3 7 )

k

2 z

=

0

s

2

c o s ( 3 8 )

w h e r e

0

= !

p

0

0

. I f s

2

= s

0

2

+ i s

0 0

2

, t h e w a v e w i l l a t t e n u a t e i n t h e z d i r e c t i o n . T h i s k i n d

o f i n t e r f a c e i s u s e f u l f o r b u i l d i n g m a t e r i a l A B C s i n a F D T D s i m u l a t i o n .

5 . M o d i e d E q u a t i o n s i n t h e T i m e D o m a i n

F o r t h e g e n e r a l c a s e o f a m a t c h e d m e d i u m , w e l e t e

x

= h

x

= s

x

, e

y

= h

y

= s

y

a n d

e

z

= h

z

= s

z

. T h e n , r

e

= r

h

= x

1

s

x

@

@ x

+ y

1

s

y

@

@ y

+ z

1

s

z

@

@ z

. I n E q u a t i o n ( 1 ) , w e w r i t e t h e

c u r l a s

r

e

E =

1

s

x

@

@ x

x E +

1

s

y

@

@ y

y E +

1

s

z

@

@ z

z E : ( 3 9 )

T h e n , d e n i n g H

s

x

, H

s

y

, a n d H

s

z

i n t e r m s o f t h e c o m p o n e n t s o f E q u a t i o n ( 3 9 ) , w e l e t

i ! H

s

x

=

1

s

x

@

@ x

x E ( 4 0 )

i ! H

s

y

=

1

s

y

@

@ y

y E ( 4 1 )

a n d

i ! H

s

z

=

1

s

z

@

@ z

z E ( 4 2 )

w h e r e H = H

s

x

+ H

s

y

+ H

s

z

. S i m i l a r l y , w e c a n w r i t e E q u a t i o n ( 2 ) a s

; i ! E

s

x

=

1

s

x

@

@ x

x H ( 4 3 )

; i ! E

s

y

=

1

s

y

@

@ y

y H ( 4 4 )

a n d

; i ! E

s

z

=

1

s

z

@

@ z

z H : ( 4 5 )

w h e r e E = E

s

x

+ E

s

y

+ E

s

z

. N o t e t h a t H

s

i

, E

s

i

, i = x y z a r e t w o - c o m p o n e n t v e c t o r s .

W e n o w l e t s

x

= 1 + i

x

= ! , s

y

= 1 + i

y

= ! a n d s

z

= 1 + i

z

= ! . W r i t i n g E q u a t i o n s

( 4 0 ) { ( 4 2 ) a n d ( 4 3 ) { ( 4 5 ) i n t h e t i m e d o m a i n , w e h a v e

@ H

s

x

@ t

+

x

H

s

x

= ;

@

@ x

x E ( 4 6 )

8


9/15

@ H

s

y

@ t

+

y

H

s

y

= ;

@

@ y

y E ( 4 7 )

@ H

s

z

@ t

+

z

H

s

z

= ;

@

@ z

z E ( 4 8 )

a n d

@ E

s

x

@ t

+

x

E

s

x

=

@

@ x

x H ( 4 9 )

@ E

s

y

@ t

+

y

E

s

y

=

@

@ y

y H ( 5 0 )

@ E

s

z

@ t

+

z

E

s

z

=

@

@ z

z

H : ( 5 1 )

E q u a t i o n s ( 4 6 ) { ( 5 1 ) d e s c r i b e d 3 - D w a v e p r o p a g a t i o n i n a p e r f e c t l y m a t c h e d m e d i u m .

T h e w a v e p r o p a g a t i o n p h e n o m e n o n d e s c r i b e d b y t h e s e e q u a t i o n s i s v e r y s i m i l a r t o t h a t

d e s c r i b e d b y M a x w e l l ' s e q u a t i o n s w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t a t t e n u a t i o n m a y b e c o n t r o l l e d

t h r o u g h t h e

x

,

y

a n d

z

v a r i a b l e s . T h e F D T D i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s e e q u a t i o n s o n a

Y e e F D T D g r i d i s s t r a i g h t f o r w a r d . A b s o r b i n g b o u n d a r i e s a t t h e e d g e s o f t h e s i m u l a t i o n

r e g i o n m a y b e c r e a t e d b y c h o o s i n g a p p r o p r i a t e v a l u e s o f

x

,

y

a n d

z

. E q u a t i o n s ( 4 6 ) {

( 5 1 ) m a y b e s e e n t o i n c l u d e B e r e n g e r ' s e q u a t i o n s 1 5 ] a s a s u b s e t f o r t h e 2 - D T E o r T M

c a s e .

T h e a b o v e e q u a t i o n s i n v o l v e 1 2 c o m p o n e n t s o f e l e c t r o m a g n e t i c e l d s . F o r a f r e e -

s p a c e / l o s s y m e d i u m i n t e r f a c e , a s c h e m e m a y b e d e v i s e d u s i n g o n l y 1 0 e l d c o m p o n e n t s

f o r t h e 3 - D c a s e , a n d o n l y 3 c o m p o n e n t s f o r t h e 2 - D c a s e . H o w e v e r , t h i s i s a c h i e v e d a t t h e

l o s s o f S I M D o p e r a t i o n o n a p a r a l l e l m a c h i n e .

6 . C o m p u t e r S i m u l a t i o n R e s u l t s

I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h e n e w m e t h o d , a 3 - D o r t h o g o n a l g r i d F D T D a l g o r i t h m w a s

d e v e l o p e d b a s e d o n E q u a t i o n s ( 4 6 ) { ( 5 1 ) . T h e F D T D a l g o r i t h m w a s i m p l e m e n t e d a s a

S I M D c o d e o n t h e T h i n k i n g M a c h i n e s C o r p o r a t i o n C o n n e c t i o n M a c h i n e C M - 5 . T h e a l -

g o r i t h m o p e r a t e s v e r y e c i e n t l y o n t h e C M - 5 b e c a u s e t h e F D T D s t e n c i l o p e r a t i o n s t h a t

n e e d t o b e c o m p u t e d a t e a c h n o d e i n v o l v e o n l y n e a r e s t - n e i g h b o r i n t e r a c t i o n s . T h e c o m -

m u n i c a t i o n o p e r a t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h e n e a r e s t - n e i g h b o r i n t e r a c t i o n s a r e a t a m i n i m u m

9


10/15

c o s t s i n c e t h e n e i g h b o r i n g p r o c e s s o r s a r e f o r t h e m o s t p a r t a t t h e b o t t o m o f t h e f a t - t r e e

c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k , w h e r e c o m m u n i c a t i o n b a n d w i d t h i s m a x i m u m .

T o v a l i d a t e o u r 3 - D F D T D a l g o r i t h m , w e s o l v e d a s i m p l e p r o b l e m o f c o m p u t i n g t h e

e l d r a d i a t e d f r o m a n i n n i t e s i m a l e l e c t r i c d i p o l e i n f r e e s p a c e . A n a n a l y t i c s o l u t i o n w a s

a l s o c o m p u t e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n f o r m a n y e x c i t a t i o n f r e q u e n c i e s . T h e f r e q u e n c y

d o m a i n s o l u t i o n w a s t h e n m u l t i p l i e d b y t h e s p e c t r u m o f F D T D s o u r c e p u l s e a n d i n v e r s e

F o u r i e r t r a n s f o r m e d t o y i e l d a t i m e - d o m a i n a n a l y t i c s o l u t i o n f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e

F D T D s o l u t i o n .

T h e F D T D s o l u t i o n w a s s o l v e d i n a c u b i c r e g i o n o f d i m e n s i o n ( N

x

N

y

N

z

) =

( 1 2 8 1 2 8 3 2 ) g r i d p o i n t s . T h e g r i d p a r a m e t e r s c h o s e n w e r e x = y = z = 2 : 5 m m ,

t = 4 : 5 p s a n d N

t

= 5 1 2 t i m e s t e p s w e r e c o m p u t e d .

T h e i n n i t e s i m a l e l e c t r i c d i p o l e w a s s i m u l a t e d b y e x c i t i n g t h e E

y

e l d i n a s i n g l e g r i d

c e l l w i t h t h e s o u r c e p u l s e

J

y

( t ) =

1

x y z

h

4 ( t = )

3

; ( t = )

4

i

e

; t =

( 5 2 )

w h e r e = 1 = 4 f

0

a n d a v a l u e o f f

0

= 1 : 0 G H z w a s c h o s e n . T h e d i p o l e s o u r c e w a s l o c a t e d

a t g r i d l o c a t i o n ( n

x

n

y

n

z

) = ( 9 1 6 4 1 6 ) . T h e E

x

a n d E

y

e l d s w e r e o b t a i n e d b y s a m p l i n g

t h e e l d s a t g r i d l o c a t i o n ( n

x

n

y

n

z

) = ( 3 7 9 1 1 6 ) .

T h e a b s o r b i n g b o u n d a r i e s u s e d f o r t h e F D T D s i m u l a t i o n c o n s i s t e d o f p l a n a r l a y e r s o f

t h i c k n e s s 8 g r i d p o i n t s o n a l l s u r f a c e s . A l o n g t h e b o r d e r s p a r a l l e l t o x a x i s , t h e v a l u e o f

x

w a s s p e c i e d , w h i l e

y

a n d

z

w e r e s p e c i e d o n t h e b o r d e r s p a r a l l e l t o t h e y a n d z a x i s ,

r e s p e c t i v e l y . T h e c o n d u c t i v i t y v a l u e s w e r e c h o s e n w i t h a p a r a b o l i c t a p e r d e c r e a s i n g f r o m

t h e m a x i m u m v a l u e t o w a r d s t h e c e n t e r o f t h e g r i d s u c h t h a t t h e r e e c t i o n c o e c i e n t a t

n o r m a l i n c i d e n c e w a s R

0

= : 0 0 0 1 ,

T h e E

x

e l d c o m p u t e d u s i n g b o t h t h e a n a l y t i c f o r m u l a t i o n a n d t h e F D T D a l g o r i t h m

a r e o v e r l a i d i n F i g u r e 2 . T h e c u r v e s d u e t o t h e a n a l y t i c a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e b a r e l y

d i s t i n g u i s h a b l e , i n d i c a t i n g e x c e l l e n t a g r e e m e n t . S i m i l a r l y , t h e E

y

e l d d u e t o t h e a n a l y t i c

a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e o v e r l a i d i n F i g u r e 3 . A g a i n , w e s e e e x c e l l e n t a g r e e m e n t .

1 0


11/15

A n y d i e r e n c e b e t w e e n t h e a n a l y t i c a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s i n F i g u r e s 2 a n d 3 m a y b e

a t t r i b u t e d t o m o d e l i n g e r r o r s s u c h a s t h e n i t e s i z e o f t h e d i p o l e s o u r c e a n d t h e d i s c r e t e

a p p r o x i m a t i o n o f M a x w e l l ' s e q u a t i o n s i n a d d i t i o n t o r e e c t i o n s d u e t o i m p e r f e c t i o n s i n t h e

a b s o r b i n g b o u n d a r i e s .

0 100 200 300 400 500 600-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

Time step

Amplitudeof

Exfield

F i g u r e 2 : A n a l y t i c a n d n u m e r i c a l F D T D s o l u t i o n o v e r l a i d f o r t h e E

x

e l d

r e s u l t i n g f r o m a n i n n i t e s i m a l e l e c t r i c d i p o l e .

T h e C M - 5 m a c h i n e u s e d t o s o l v e t h e F D T D p r o b l e m i s l o c a t e d a t t h e N a t i o n a l C e n t e r

f o r S u p e r c o m p u t i n g A p p l i c a t i o n s ( N C S A ) a t t h e U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s . T h e p r o g r a m w a s

w r i t t e n i n C M F o r t r a n a n d c o m p i l e d u s i n g C M F v e r s i o n 2 . 1 . T h e C M - 5 a t t h e N C S A h a s

5 1 2 n o d e s w i t h v e c t o r u n i t s . C P U t i m e s w e r e d e t e r m i n e d b y r u n n i n g t h e p r o b l e m o n 3 2 ,

6 4 , 1 2 8 a n d 2 5 6 n o d e p a r t i t i o n s . F o r t h i s p r o b l e m , a t o t a l o f 0 . 5 m i l l i o n u n k n o w n e l d

q u a n t i t i e s ( 1 2 8 1 2 8 3 2 g r i d ) w e r e d e t e r m i n e d f o r 5 1 2 t i m e s t e p s . T h e C P U t i m e s a r e

s h o w n i n T a b l e 1 .

7 . C o n c l u s i o n s

1 1


12/15

0 100 200 300 400 500 600-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

4

Time step

AmplitudeofEyfield

F i g u r e 3 : A n a l y t i c a n d n u m e r i c a l F D T D s o l u t i o n o v e r l a i d f o r t h e E

y

e l d

r e s u l t i n g f r o m a n i n n i t e s i m a l e l e c t r i c d i p o l e .

T a b l e 1 : C P U t i m e s f o r F D T D P r o b l e m o n C M - 5

NodesCPU sec (Run 1, Run 2, Run 3, Avg.)

32 50.5, 50.2, 50.6; 50.4

64 29.9, 30.0, 30.0; 30.0

128 17.9, 18.4, 18.4; 18.2

256 12.4, 13.2, 12.7; 12.8

A m o d i e d s e t o f M a x w e l l ' s e q u a t i o n s h a v e b e e n i n t r o d u c e d u s i n g c o m p l e x c o o r d i n a t e

s t r e t c h i n g f a c t o r s a l o n g t h e t h r e e c a r t e s i a n c o o r d i n a t e a x i s . T h i s m o d i c a t i o n i n t r o d u c e s

a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m i n M a x w e l l ' s e q u a t i o n s s u c h t h a t a b s o r b i n g b o u n d a r i e s m a y

b e s p e c i e d w i t h z e r o r e e c t i o n c o e c i e n t a t a l l f r e q u e n c i e s a n d a l l a n g l e s o f i n c i d e n c e .

1 2


13/15

T h e f o r m u l a t i o n w a s s h o w n t o b e r e l a t e d t o t h e p e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r t h a t w a s r e c e n t l y

d e r i v e d b y B e r e n g e r f o r 2 - D w a v e p r o p a g a t i o n . A 3 - D F D T D a l g o r i t h m w a s d e v e l o p e d f r o m

t h e m o d i e d M a x w e l l ' s e q u a t i o n s t h a t u s e s t h e r e e c t i o n l e s s a b s o r b i n g i n t e r f a c e p r o p e r t y

t o i m p l e m e n t r a d i a t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e e d g e s o f t h e F D T D g r i d . T h e a c c u r a c y

o f t h e a l g o r i t h m w a s v a l i d a t e d b y c o m p u t i n g t h e e l d r a d i a t e d f r o m a n i n n i t e s i m a l e l e c -

t r i c d i p o l e a n d c o m p a r i n g a g a i n s t a k n o w n a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n . T h e F D T D a l g o r i t h m

w a s i m p l e m e n t e d o n t h e C o n n e c t i o n M a c h i n e C M - 5 a n d t i m i n g r e s u l t s w e r e p r e s e n t e d .

T h i s b r e a k t h r o u g h i n a b s o r b i n g m a t e r i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l l o w s E M s c a t t e r i n g t o b e

c o m p u t e d v e r y e c i e n t l y o n S I M D p a r a l l e l c o m p u t e r s .

A c k n o w l e d g e m e n t

T h e a u t h o r s w i s h t o t h a n k J . P . B e r e n g e r f o r s e n d i n g u s a p r e p r i n t o f h i s w o r k a n d t o

A . T a o v e f o r b r i n g i n g t o o u r a t t e n t i o n J . P . B e r e n g e r ' s w o r k .

1 3


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R e f e r e n c e s

1 ] K . S . Y e e , \ N u m e r i c a l s o l u t i o n o f i n i t i a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s i n v o l v i n g M a x w e l l ' s

e q u a t i o n s i n i s o t r o p i c m e d i a , " I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 4 , p p . 3 0 2 {

3 0 7 , 1 9 6 6 .

2 ] A . T a o v e , \ R e v i e w o f t h e f o r m u l a t i o n a n d a p p l i c a t i o n s o f t h e n i t e - d i e r e n c e t i m e -

d o m a i n m e t h o d f o r n u m e r i c a l m o d e l i n g o f e l e c t r o m a g n e t i c w a v e i n t e r a c t i o n s w i t h

a r b i t r a r y s t r u c t u r e s , " W a v e M o t i o n , v o l . 1 0 , p p . 5 4 7 { 5 8 2 , 1 9 8 8 .

3 ] W . C . C h e w , W a v e s a n d F i e l d s i n I n h o m o g e n e o u s M e d i a . N e w Y o r k : V a n N o s t r a n d ,

1 9 9 0 .

4 ] W . H . W e e d o n , W . C . C h e w , a n d C . M . R a p p a p o r t , \ C o m p u t a t i o n a l l y e c i e n t F D T D

s i m u l a t i o n o f o p e n - r e g i o n s c a t t e r i n g p r o b l e m s o n t h e c o n n e c t i o n m a c h i n e C M - 5 , " i n

I E E E A n t e n n a s a n d P r o p a g a t i o n S o c i e t y I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m D i g e s t , ( S e a t t l e ,

W A ) , J u n e 1 9 { 2 4 , 1 9 9 4 .

5 ] B . E n g q u i s t a n d A . M a j d a , \ A b s o r b i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e n u m e r i c a l s i m u -

l a t i o n o f w a v e s , " M a t h . C o m p u t a t i o n , v o l . 3 1 , p p . 6 2 9 { 6 5 1 , 1 9 7 7 .

6 ] G . M u r , \ A b s o r b i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e n i t e - d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n o f

t h e t i m e - d o m a i n e l e c t r o m a g n e t i c e l d e q u a t i o n s , " I E E E T r a n s . E l e c t r o m a g . C o m p a t . ,

v o l . E M C - 2 3 , p p . 3 7 7 { 3 8 2 , 1 9 8 1 .

7 ] Z . P . L i a o , H . L . W o n g , B . P . Y a n g , a n d Y . F . Y u a n , \ A t r a n s m i t t i n g b o u n d a r y f o r

t r a n s i e n t w a v e a n a l y s i s , " S c i e n t i a S i n i c a . ( S e r i e s A ) , v o l . 2 7 , n o . 1 0 , p p . 1 0 6 3 { 1 0 7 6 ,

1 9 8 4 .

8 ] R . L . H i g d o n , \ N u m e r i c a l a b s o r b i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e w a v e e q u a t i o n , "

M a t h . C o m p u t . , v o l . 4 9 , p p . 6 5 { 9 0 , 1 9 8 7 .

1 4


15/15

9 ] I . K a t z , D . P a r k s , A . W i l s o n , M . R o t e n b e r g , a n d J . H a r r e n , \ N o n - r e e c t i v e f r e e s p a c e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r S G E M P c o d e s , " S y s t e m s , S c i e n c e a n d S o f t w a r e , v o l . S S S - R -

7 6 - 2 9 3 4 , 1 9 7 6 .

1 0 ] R . H o l l a n d a n d J . W . W i l l i a m s , \ T o t a l - e l d v e r s u s s c a t t e r e d - e l d n i t e - d i e r e n c e

c o d e s : A c o m p a r a t i v e a s s e s s m e n t , " I E E E T r a n s . N u c l e a r S c i . , v o l . N S - 3 0 , p p . 4 5 8 3 {

4 5 8 8 , 1 9 8 3 .

1 1 ] J . - P . B e r e n g e r i n A c t e s d u C o l l o q u e C E M , ( T r e g a s t e l , F r a n c e ) , 1 9 8 3 .

1 2 ] C . C e r j a n , D . K o s l o , R . K o s l o , a n d M . R e s h e f , \ A n o n r e e c t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n

f o r d i s c r e t e a c o u s t i c a n d e l a s t i c w a v e e q u a t i o n s , " G e o p h y s i c s , v o l . 5 0 , p p . 7 0 5 { 7 0 8 ,

1 9 8 5 .

1 3 ] R . K o s l o a n d D . K o s l o , \ A b s o r b i n g b o u n d a r i e s f o r w a v e p r o p a g a t i o n p r o b l e m s , " J .

C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , v o l . 6 3 , p p . 3 6 3 { 3 7 6 , 1 9 8 6 .

1 4 ] C . M . R a p p a p o r t a n d L . B a h r m a s e l , \ A n a b s o r b i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n b a s e d o n

a n e c h o i c a b s o r b e r f o r E M s c a t t e r i n g c o m p u t a t i o n , " J . E l e c t r o m a g . W a v e s A p p l . , v o l . 6 ,

n o . 1 2 , p p . 1 6 2 1 { 1 6 3 4 , 1 9 9 2 .

1 5 ] J . - P . B e r e n g e r , \ A p e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r f o r t h e a b s o r p t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c

w a v e s , " J . C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , a c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n , 1 9 9 4 .

1 5

chew weedon

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