ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 1

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

សសសពកែសាធារណរដឋតរជាមានរចន

កនែែទ សនរមានជដតមើសដតចើន

1. ពនតយសណ ើពរខាងណរោមអពរតណោ ពរ

P : រតណោ ពរណនេះមានររឡាថផៃណសមើគនា នង មានរជងពររបសរតណោ មយណសមើនងរជងពររបសរតណោ មយណ ៀត។ Q : រតណោ ទងពរប នគនា ។

រាងចណោមសណ ើខាងណរោមណនេះ ណតើមយោពត? (a) P ជាលរខខ ឌ ចបាចនងររបរគននសរមាប Q (b) P ជាលរខខ ឌ ចបាច តតមនររបរគននសរមាប Q ណ (c) P ជាលរខខ ឌ ររបរគនន តតមនចបាចសរមាប Q ណ (d) P ជាលរខខ ឌ មនចបាច ណ ើយរមនររបរគនន Q តែរ។

2. ពនតយសណ ើ

P : 1 + sin𝜃 = 𝑎 Q : sin

𝜃

2+ cos

𝜃

2= 𝑎

រាងចណោមសណ ើខាងណរោមណនេះ ណតើមយោពត? (a) P ជាលរខខ ឌ ចបាចនងររបរគននសរមាប Q (b) P ជាលរខខ ឌ ចបាច តតមនររបរគននសរមាប Q ណ (c) P ជាលរខខ ឌ ររបរគនន តតមនចបាចសរមាប Q ណ (d) P ជាលរខខ ឌ មនចបាច ណ ើយរមនររបរគនន Q តែរ។

3. សនមតថា 𝑎 ≠ 𝑘𝜋

2 ចណ េះររបចននរត 𝑘 នង

𝑇 =sin𝑎 + tan𝑎

cos 𝑎 + cot 𝑎

រាងចណោមសណ ើខាងណរោមណនេះ ណតើមយោពត? (a) T មានតថមលអវជជមានតតប ណោណ េះ

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 2

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

(b) T មានតថមលមនអវជជមានតតប ណោណ េះ (c) T មានតថមលវជជមានតតប ណោណ េះ (d) T មានតថមលវជជមាននងអវជជមាន

4. ណតើមយោរាងចណោមរបខាងណរោមមានររឡាថផៃធបផត? (a) រតណោ ABC តែលមាន ∠𝐴 = 60°,∠𝐵 = 45° នង 𝐴𝐶 = 2 ។ (b) ចតណោ ា យតែលមានអងកតរ ងរបតវង 2 នង 3 នងរងវវ សម 75° រវាងអងកតរ ងពរណនេះ។ (c) រងវងតែលមានោ 1 ។ (d) ោណរតែលមានអងកតរ ង 2,5 ។

5. ពនតយអងកតរ ងទង១២របសមខខាងរបណលពតប តតរងមយ។ ណតើមានប នមម នរតែលជាបនមៃ តបញឆតគនា (បនមៃ តតែលមនសសបគនា ណ ើយមនោតគនា )? (a) 30. (b) 60. (c) 24. (d) 48

6. រាងរបពនធរអរណោណនបលងមយ តបន 𝑀 មានររបច ច 𝑥,𝑦 ទងអសតែលណផៃៀងផទៃ តវសមភាព 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ≤ 𝑥 នង 𝑦 ≤ 2 − 𝑥 រពមគនា ។ តបន 𝑁 តែលតរបរបលតាមបា រ តម រត 𝑡 មានររបច ច 𝑥,𝑦 ទងអសតែលណផៃៀងផទៃ តវសមភាព 𝑡 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡 + 1 នង 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 រពមគនា ។ ណតើររឡាថផៃ 𝑀 ∩𝑁 ណសមើប នមម ន? (a) – 𝑡2 + 𝑡 +

1

2 (b) −2𝑡2 + 2𝑡 (c) 1 −

1

2𝑡2 (d) 1

2 𝑡 − 1 2

7. ពនតយសណ ើខាងណរោមអពសមោរ 𝑥 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 ។ P : វាមានឬសពតយ ងណរចើនប Q : វាមានឬសពតយ ងតចមយ R : វាមានឬសពត មានតតណបើ 𝑝2 − 4𝑞 ≥ 0 S : វាមានឬសពតប ណបើ 𝑝 < 0 នង 𝑞 > 0 ណតើមានសណ ើប នមម នតែលខស? (a) 0. (b) 1. (c) 2. (d) 3 ឬ 4

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 3

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

កនែែទ សនរតរវការដដ ោះតសាយដពញដលញ

8. តថមលឡោរតពររាងតារងខាងណរោមណនេះ មនរតមរតវ។ ចរតរវា។ 𝑥 log10 𝑥

0,021 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 3 0,27 6𝑎 − 3𝑏 − 2 1,5 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 2,8 1 − 2𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 3 2𝑎 − 𝑏 5 𝑎 + 𝑐 6 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 7 2𝑏 + 2𝑐 8 3 − 3𝑎 − 3𝑐 9 4𝑎 − 2𝑏

14 1 − 𝑎 + 2𝑏 9. 𝐴𝐵 ជាអងកតផចតរបសរងវងោ 1 ។ 𝐶 នង 𝐸 ជាច ចណផេងគនា ឋតណលើរងវងនងណៅខាងែចគនា ថន 𝐴𝐵 ។ អងកតធាសសប 𝐶𝐷 នង 𝐸𝐹 ោត 𝐴𝐵 បានម 45° រតងច ច 𝑃 នង 𝑄 ណរៀងគនា ។ ចរបងវា ញថា 𝑃𝐶.𝑄𝐸 +

𝑃𝐷.𝑄𝐹 < 2 ។

10. ណររឿងផេរបណភ 𝐴,𝐵 នង 𝐶 រតវយរមរណរបើណែើមបែណឡើងផលតផលរបណភ 𝑋,𝑌 នង 𝑍 ។ 𝑋 នមយៗ រតវោរ 𝐴 ពរ នង 𝐵 ពរ ណែើមបយរមរផេ។ 𝑌 នមយៗ រតវោរ 𝐵 មយ នង 𝐶 មយ ណែើមបយរមរផេ។ 𝑍 នមយៗ រតវោរ 𝐴 ពរ នង 𝐶 មយ ណែើមបយរមរផេ។ ណរែណឡើង 𝑋,𝑌,𝑍 បានមយចននមរ ណរណ ើញណររឿងផេណៅរាងសតរណៅសលតត 𝐴 ចននពរ នង 𝐵 ចននមយ។ ចរបងវា ញថា ណទេះបជាណរែណឡើង 𝑋,𝑌,𝑍 ចននប នមម នរណោយ រណររងណៅសលណររឿងផេខលេះមនខាន។

11. តប យ មយមានរងជាឆណោ នយត 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ។ ពែបង រគនបប យ រតវោរណៅរតងច ចរោា ល 𝑃 ថន 𝐴𝐵 ។ ណៅណពលណរបរវា វារតណៅប េះនងច ច𝑄 ឋតណៅណលើ 𝐵𝐶 ណ ើយខាៃ តណៅប េះរជង 𝐶𝐷,𝐷𝐸,𝐸𝐹 នង 𝐹𝐴 ជាបនតបនមៃ បមននងមរប េះនងច ចោមយថនរជង 𝐴𝐵 មាងណ ៀត។ ចររ តតថមលតែលអាចមានថន ∠𝐵𝑃𝑄 ។

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 4

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

ចដមលើយ

ប ើររបោណទាងពរ នគនន ប ោះចាបាចវាររវតរមានររឡាផទទប មើគនន (តរររបោណពរមានររឡាផទទ

នគនន មនទនររ រគនននងនយាយថាវាដចគនន ប ោះបេ)។ ដបចនោះ 𝑃 ជាលរខខណឌ ចាបាចរមា 𝑄 ។ បយើងពនរយបលើររបោណ 𝐴𝐵𝐶 មយ។ 𝑀 ជាចាណចរណដា ល 𝐵𝐶 ។ ររបោណ 𝐴𝐵𝑀 នង 𝐴𝑀𝐶 មានររងពរប មើគនន រ 𝐴𝑀 ររងរម នង 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 ។ ររបោណពរបនោះមានររឡាផទទប មើគនន បររោះមានរមព 𝐴𝐻 ដចគនន ។ តរររបោណពរបនោះមន នគនន បេ។ ដបចនោះររបោណពរមានររឡាផទទ នគនន ប ើយមានររងពរប មើគនន មនតមនេធតរជាររបោណ នគនន ប ោះបេ។ ដបចនោះ 𝑃 មនតមនជាលរខខណឌ ររ រគននរ 𝑄 បេ។

បោយ 1 + sin 𝜃 វរ ជមានជានចច រឯ sin𝜃

2+ cos

𝜃

2 អាចមានរផមលវរ ជមានទងនងអវរ ជមានទង

ប ោះ 𝑃 មនតមនជាលរខខណឌ ចាបាច ប ើយរមនតមនជាលរខខណឌ ររ រគននរមា 𝑄 តដរ។

បយើងមាន

𝑇 =tan𝛼 cos𝛼 + 1

cot𝛼 sin𝛼 + 1 =

tan2 𝛼 cos𝛼 + 1

sin𝛼 + 1> 0

បររោះ 𝛼 ≠𝑘𝜋

2 ។

ររឡាផទទរងវង ប មើ π ។ ររឡាផទទោបរ ប មើ 1

2 2,5 2 < 𝜋 ។ ចរបោណរនយ 𝐴𝐵𝐶𝐷 មាន BD = 2

នង AC = 3 ។ ររឡាផទទរ ចរបោណរនយបនោះ ប មើនង SABCD = SABD + SBCD ។ បយើងរ BE ∥ AC ោរ 𝐴𝐷 ររង 𝐸 ។ ដបចនោះ AE = BC ។ ដបចនោះ SBCD = SABE បររោះរមពររបោណ នគនន ប ើយមានបារ នគនន ។ ដបចនោះ SABCD = SABD + SABE = SBED ។ តាមរេ ត េន

SBED =1

2BE. BD sin∠EBD =

1

2 2. 3 sin 180° − 75°

=1

2 2. 3 sin 75° <

1

2 3. 3 < 𝜋

A

B C M H

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 5

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

ររបោណ 𝐴𝐵𝐶 រនងចាណច មានោារងវងចររបរៅមានរងវវ

R = 2

2 sin 45°= 1

ររបោណបនោះររវមានររឡាផទទរចជាងរងវងបនោះ។ ដបចនោះចបមលើយរ (c) ។ បយើងពនរយអងកររេងមយរ មខខាងរ បលពត រ ដចរនងរ ។

អងកររេងបនោះស នង អងកររេងមយបេៀរឋរបៅមខស គនន ។ វារ ព វគនន ជាមយអងកររេងតដលឋរបៅរនងមខតរមយជាមយគនន ។ វារ ព វជាមយនងអងកររេង៤បទេងបេៀរតដលឋរបៅរនងមខជា គនន នងមខតដលទទរអងកររេងបនោះ។ ដបចនោះ បយើងមានអងកររេងចានន 5 តដល ញឆរនងអងកររេងបនោះ មាននយថា ពអងកររេងមយបនោះ បយើង បងកើរបានអងកររេង៥រ តដល ញឆរគនន ។ អងកររេងទាងអមាន12 ដបចនោះបយើង បងកើរបានអងកររេងតដល ញឆរគនន ចានន 12 × 5 = 60 តនតបយើងររវ នថយរររណដា លមរវញបររោះចាបរោះ រនមយៗបយើងបានរា វាពរដង។

រា ន 𝑀 ជាររឡាផទទររបោណរនងរ ប ើយរា ន 𝑁 ជា នទោះតវងមនរាណរឋរបៅចប ល ោះ ទ រ

ឈរ 𝑥 = 𝑡 នង 𝑥 = 𝑡 + 1 តដល 0 < 𝑡 < 1 ។

75°

A

B C

D E

h

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 6

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

ដបចនោះ 𝑀 ∩𝑁 ជា ញចបោណ។ ររឡាផទទវារាណរប មើនងររឡាផទទ 𝑀 ដរររឡាផទទររបោណតរងបៅងវខ ង :

1

2. 1.2 −

1

2𝑡. 𝑡 −

1

2 1 − 𝑡 1 − 𝑡 =

1

2 2 − 𝑡2 − 1 − 2𝑡 + 𝑡2

=1

2 1 + 2𝑡 − 2𝑡2

=1

2+ 𝑡 − 𝑡2

ប ើ 𝑥 ≥ 0 មោរបៅជា 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 ។ ប ើ 𝑥 < 0 មោរបៅជា 𝑥2 − 𝑝𝑥 − 𝑞 = 0 ។

មោរនមយៗមានឬយា ងបរចើនពរ។ ប ើ 𝑞 = 0 ប ោះវាមានឬរមប មើនយ។ ប ើ 𝑞 < 0 មោរេមយមានឬមយវរ ជមាននងឬមយបេៀរអវរ ជមាន។ ឬអវរ ជមានបយើងអរយរបររោះ 𝑥 ≥ 0 ។ ប ើ 𝑞 > 0 មោរេពរមានឬមយវរ ជមាននងឬមយបេៀរអវរ ជមាន។ ឬវរ ជមានបយើងអរយរបររោះ 𝑥 < 0 ។ ដបចនោះ 𝑃 នង 𝑄 ពរទាងពរ។ បយើងយរ 𝑝 = 𝑞 = 1 បយើងទញបាន 𝑝2 − 4𝑞 < 0 បទទៀងផទទ រ តរមោរេពរមានឬពរពរ ដបចនោះ 𝑅 មនពរ។ យរ 𝑝 = −1 នង 𝑞 = 1 ប ោះមោរេមយគនម នឬពរតរមោរេពរមានឬពរ។ ដបចនោះ 𝑆 មនពរ។

បយើងមាន log10 3 = 2𝑎 − 𝑏

log10 0,27 = log10

27

100= 3 log10 3 − 2

= 6𝑎 − 3𝑏 − 2

log10 9 = 2 log10 3 = 4𝑎 − 2𝑏

0 1 2 𝑡 𝑡 + 1

𝑁

𝑀

𝑀 ∩𝑁

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 7

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

ដបចនោះ ប ើlog10 3 = 2𝑎 − 𝑏 ររវប ោះ log10 0,27 នង log10 9 រររវតដរ។ តរប ើវាខ ប ោះវាខទាងអគនន តដរ។ តរបយើងដងថា មានរផមលតរពរ បណដណ ោះតដលខ ដបចនោះ log10 3 , log10 0,27 នង log10 9 ររវទាង ។ បយើងមាន

log10 5 = 𝑎 + 𝑐

log10 6 = log10

3.10

5= 1 + 2𝑎 − 𝑏 − log10 5

= 1 + 2𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 𝑐

= 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐

log10 8 = log10

1000

125= 3 − 3 log10 5

= 3 − 3 𝑎 + 𝑐

= 3 − 3𝑎 − 3𝑐 ដបចនោះ ប ើlog10 5 = 𝑎 + 𝑐 ររវប ោះ log10 6 នង log10 8 រររវតដរ។ តរប ើវាខ ប ោះវាខទាងអគនន តដរ។ តរបយើងដងថា មានរផមលតរពរ បណដណ ោះតដលខ ដបចនោះ log10 5 , log10 6 នង log10 8 ររវទាង ។ បយើងមាន

log10 1,5 = log10

3.5

10= log10 3 + log10 5 − 1 = 2𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑐 − 1

= 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 1 តររផមលរនងតារាងថា ប មើនង 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 ដបចនោះរផមលរនងតារាងមយបនោះខ។ បយើងមាន

log10 14 = 1 − 𝑎 + 2𝑏

log10 2,8 = log10

14

5= log10 14 − log10 5

= 1 − 𝑎 + 2𝑏 − 𝑎 + 𝑐

= 1 − 2𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 ប ើរផមល log10 14 = 1 − 𝑎 + 2𝑏 មនររមររវ ប ោះរផមលរ log10 2,8 រមនររមររវតដរ។ តរបយើងបៅលរផមលតដលមនររមររវរនងតារាងតរមយបេៀរ បណដណ ោះ។ ដបចនោះវាទាងពរបនោះររមររវ។ បយើងមាន

log10 7 = log10

14.5

10= log10 14 + log10 5 − 1

= 1 − 𝑎 + 2𝑏 + 𝑎 + 𝑐 − 1

= 2𝑏 + 𝑐 តររនងតារាងោរថា 2𝑏 + 2𝑐 ។ ជាចងបរោយ បយើងមាន

log10 0,021 = log10

3.7

1000= log10 3 + log10 7 − 3

= 2𝑎 − 𝑏 + 2𝑏 + 𝑐 − 3

= 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 3

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 8

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

ដដ ោះតសាយទមយ

តាមវ មភាពរ

𝑃𝐶.𝑄𝐸 + 𝑃𝐷.𝑄𝐹 ≤1

2 𝑃𝐶2 + 𝑄𝐸2 +

1

2 𝑃𝐷2 + 𝑄𝐹2

តាង 𝑀 ជាចាណចរណដា ល 𝐶𝐷 ។ ដបចនោះ 𝑂𝑀 តរងនង 𝐶𝐷 នង 𝐶𝑀 = 𝑀𝐷។ បោយ 𝐶𝐷 ទគាបានមា 45° ប ៀ នង 𝐴𝐵 ប ោះ 𝑃𝑀 = 𝑂𝑀 ។

បយើងមាន

𝑃𝐶2 + 𝑃𝐷2 = 𝐶𝑀 − 𝑃𝑀 2 + 𝐷𝑀 + 𝑃𝑀 2

= 𝐶𝑀 − 𝑂𝑀 2 + 𝐶𝑀 + 𝑂𝑀 2

= 𝐶𝑀2 − 2𝐶𝑀.𝑂𝑀 + 𝑂𝑀2 + 𝐶𝑀2 + 2𝐶𝑀.𝑂𝑀 + 𝑂𝑀2

= 2 𝐶𝑀2 + 𝑂𝑀2 = 2

ដចគនន 𝑄𝐸2 + 𝑄𝐹2 = 2 ។ ដបចនោះ

𝑃𝐶.𝑄𝐸 + 𝑃𝐷.𝑄𝐹 ≤1

2 𝑃𝐶2 + 𝑄𝐸2 +

1

2 𝑃𝐷2 + 𝑄𝐹2

=1

2 𝑃𝐶2 + 𝑃𝐷2 +

1

2 𝑄𝐸2 + 𝑄𝐹2

= 2

អងគទាងពរប មើគនន ទលតរ 𝑃𝐶 = 𝑄𝐸 តរ 𝑃𝐶 មនអាចប មើ 𝑄𝐸 បររោះ 𝐶 ≠ 𝐸 ដបចនោះ

𝑃𝐶.𝑄𝐸 + 𝑃𝐷.𝑄𝐹 < 2

𝐴 𝐵

𝐶

𝐸

𝐷

𝐹

𝑃

𝑄

𝑂

𝑀

𝑁

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 9

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

ដដ ោះតសាយទពរ

បៅបលើរ ដតដល បយើងប វ ើចាបណដលតរងទចរ 𝑂 រ រងវងមរបលើ 𝐸𝐹 ។ តាង ∠𝑀𝑂𝐶 = 𝛼 នង ∠𝑀𝑂𝐸 = 𝛽 ។ បយើងអាចនមរថា 𝑃𝐶 < 𝑃𝐷 (ររណ 𝑃𝐶 > 𝑃𝐷 បយើងដរ 𝐶 បៅ 𝐸 នង 𝐸 បៅ 𝐶 រចរាយ ញជជ រដចគនន )។ បយើងមាន 𝑃𝐶 = 𝐶𝑀 − 𝑃𝑀 = 𝐶𝑀 − 𝑂𝑀 = sin𝛼 − cos𝛼 បររោះ 𝑃𝑀 = 𝑂𝑀 នង 𝑃𝐷 = 𝑃𝑀 + 𝑀𝐷 = 𝑂𝑀 + 𝐶𝑀 = cos𝛼 + sin𝛼។ បយើងមាន 𝑄𝐸 = 𝑄𝑁 +

𝑁𝐸 = 𝑁𝑂 + 𝑁𝐸 = cos 𝜋 − 𝛽 + sin 𝜋 − 𝛽 = sin𝛽 − cos𝛽 នង 𝑄𝐹 = 𝑁𝐹 − 𝑁𝑄 = 𝑁𝐸 −

𝑁𝑂 = sin𝛽 + cos𝛽 ។ ដបចនោះ

𝑃𝐶.𝑄𝐸 + 𝑃𝐷.𝑄𝐹 = sin𝛼 − cos𝛼 sin𝛽 − cos𝛽 + sin𝛼 + cos𝛼 sin𝛽 + cos𝛽

= 2 sin𝛼 sin𝛽 + 2 cos𝛼 sin𝛽

= 2 cos 𝛽 − 𝛼 ≤ 2

អងគទាងពរប មើគនន បពល 𝛼 − 𝛽 = 0 ⟹ 𝛼 = 𝛽 មនអាចបររោះ 𝐶 ≠ 𝐸។ ដបចនោះវាជាវ មភាពោចខារ។

នមរថាចាននទលរទល 𝑋,𝑌 នង 𝑍 តដលដាប ើងរចមានចានន 𝑥, 𝑦 នង 𝑧 បរៀងគនន ។ ចាននបររឿង

ទេារ បេេ 𝐴 មានចានន 2𝑥 + 2𝑧 + 2 នង បររឿងទេារ បេេ 𝐵 មានចានន 2𝑥 + 𝑦 + 1 នង បររឿងទេារ បេេ 𝐶 មានចានន 𝑦 + 𝑧 ។ នមរថា ប ើបយើងទលរ 𝑋,𝑌 នង 𝑍 រនងចានន 𝑝, 𝑞 នង 𝑟 បរៀងគនន ប ោះបយើងបរ ើអររ បររឿងទេា 𝐴,𝐵 នង 𝐶 ។ ដបចនោះ

2𝑝 + 2𝑟 = 2𝑥 + 2𝑧 + 2 2𝑝 + 𝑞 = 2𝑥 + 𝑦 + 1

𝑞 + 𝑟 = 𝑦 + 𝑧 បយើងយរ បយើងទញបាន

2𝑝 + 2𝑟 − 2𝑝 + 𝑞 + 𝑞 + 𝑟 = 2𝑥 + 2𝑧 + 2 − 2𝑥 + 𝑦 + 1 + 𝑦 + 𝑧

⟺ 3𝑟 = 3𝑧 + 1 មោរបនោះមនអាចមានឬជាចាននររបានបេ បររោះមាខ ងតចរោចនង 3 មាខ ងបេៀរតចរមនោច។

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 10

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

តាង 𝜃 = ∠𝐵𝑃𝑄 = ∠𝐶𝑅𝑄 = ∠𝐷𝑅𝑆 = ∠𝐸𝑇𝑆 = ∠𝐹𝑇𝑈 = ∠𝐴𝑉𝑈

បយើងទញបាន 60° − 𝜃 = ∠𝐵𝑄𝑃 = ∠𝐶𝑄𝑅 = ∠𝐷𝑆𝑅 = ∠𝐸𝑆𝑇 = ∠𝐹𝑈𝑇 = ∠𝐴𝑈𝑉

នមរថា 𝐵𝑃 = 1 ⟹ 𝐴𝐵 = 2 ។ អនវរតរេ ត េន

sin𝐴

𝑎=

sin𝐵

𝑏=

sin𝐶

𝑐

បលើររបោណ 𝐵𝑃𝑄,𝐶𝑄𝑅,𝐷𝑅𝑆,𝐸𝑆𝑇,𝐹𝑇𝑈 នង 𝐴𝑈𝑉 បយើងទញបាន sin𝜃 = 𝐵𝑄 sin 60° − 𝜃

2 − 𝐵𝑄 sin 60° − 𝜃 = 𝐶𝑅 sin𝜃 2 − 𝐶𝑅 sin 𝜃 = 𝐷𝑆 sin 60° − 𝜃 2 − 𝐷𝑆 sin 60° − 𝜃 = 𝐸𝑇 sin𝜃 2 − 𝐸𝑇 sin 𝜃 = 𝐹𝑈 sin 60° − 𝜃 2 − 𝐹𝑈 sin 60° − 𝜃 = 𝐴𝑉 sin𝜃

បយើងយរ បយើងទញបាន 6 sin 60° − 𝜃 − 5 sin𝜃 = 𝐴𝑉 sin𝜃

⟺ 6 3

2cos 𝜃 −

1

2sin𝜃 − 5 sin𝜃 = 𝐴𝑉 sin 𝜃

⟺ 3 3 cos 𝜃 − 8 sin𝜃 = 𝐴𝑉 sin 𝜃

បោយ 0 < 𝐴𝑉 < 2 បយើងទញបាន 0 < 𝐴𝑉 sin𝜃 < 2 sin𝜃

𝐵 𝐴 𝑃 𝑉

𝜃

𝑄

𝐶

𝑅

𝐷 𝑆 𝐸

𝑇

𝐹

𝑈

ដោយ លម សវណណ វចតរ http://www.dahlina.com/ 11

De

ce

mb

er

22

, 2

00

9

⟺ 0 < 3 3 cos 𝜃 − 8 sin𝜃 < 2 sin𝜃

⟺3 3

10< tan𝜃 <

3 3

8

⟺ atan3 3

10< ∠𝐵𝑃𝑄 < atan

3 3

8