chương 3 phƯƠng trÌnh schrÖdinger · 3.1.1. phươngtrình schrödinger...
TRANSCRIPT
Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
TS. Lê CôngHảo
Năm 1926, nhà vật lý người Áo Erwin
Schrödinger đã đưa ra một phương trình cho phép
xác định được hàm sóng mô tả trạng thái của một
hệ lượng tử.Erwin Schrödinger (1887-1961)
Phương trình này đóng một vai trò căn bản trong cơ học
lượng tử, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ
điển.
Khi giải phương trình Schrödinger, chúng ta có thể tìm được
hàm sóng và từ đó ta có thể tính được xác suất để hệ có các
tọa độ, động lượng, v.v.. nào đó.
GIỚI THIỆU
3.1. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian
Hạt có khối lượng m, di chuyển trong một trường lực
Ở mỗi thời điểm và ứng với mỗi vị trí hạt có một thế năngnào đó, U = U(x, y, z, t).
Phương trình Schrödinger cho phép ta tìm được hàm sóngkhi biết hàm thế năng này.
2
2mx y z t U x y z t i
x y z t
t ( , , , ) . ( , , , )
( , , , )
i là số phức. là toán tử Laplace.
2
2
2
2
2
2x y zTrong hệ tọa độ Descartes,
3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian
Trong trường hợp một chiều, khi hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ x và thời gian t
2 2
22m
x t
xU x t x t i
x t
t
( , )( , ) ( , )
( , )
Khi U(x, t) = 0, hạt chuyển động không chịu tác động của trường thế
nào ta bảo hạt chuyển động tự do:
2 2
22m
x t
xi
x t
t
( , ) ( , )
3.1.2. Điều kiện của hàm sóng
o Hữu hạn, nếu không thì điều kiện chuẩn hóa không được thỏa mãn,
o Đơn trị, vì ứng với mỗi trạng thái, tại một vị trí và tại một thời điểm
chỉ có một xác suất tìm thấy hạt,
o Đạo hàm bậc hai của phải hữu hạn, muốn vậy thì và đạo hàm
bậc nhất của nó theo tọa độ phải liên tục.
3.1.3. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian (trạng
thái dừng)
Thế năng U của hạt không phụ thuộc tường minh vào t, thì có thể viếtthế năng dưới dạng U = U(x, y, z).
iEtzyxtzyx exp.,,,,,
Tách (x, y, z, t) thành hai thành phần
2
2mx y z U x y z E x y z( , , ) . ( , , ) ( , , )
Phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng
xExxUdx
d
m2 2
22
0xUE
m2
dx
d22
2
Hạt chuyển động một chiều
3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU
Bên ngoài U lớn nên hạt không thể nhảy ra hạt chỉ tồn tại bên trong
0xEm2
dx
)x(d22
2
2
2 mE2k
0xk
dx
)x(d 2
2
2
)cos(.)sin(. kxBkxAx Nghiệm tổng quát
3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU
1. Sin(x) vaø Cos(x) höõu haïn
2. Lieân tuïc: ψ(0) = ψ(a) = 0
ψ(0) = A sin(k0) + B cos(k0) = 0 B = 0 ψ(x) = A sin(kx)
ψ(a) = A sin(ka) = 0 sin(ka) = 0 k = πn/a, n = 1, 2, 3,…
Điều kiện của hàm sóng
Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng
a
0
21dxx
a
0
22 1dx)a/x..n(sinA
a/2A
)a/x..nsin(a/2)x(n
n4
]n2sin[a
2
adx)a/x..n(sin
a
0
2
Hàm sóng trong giếng thế phụ thuộc vào n
3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU
2
2 2nn n 2
2 2 22 2
n 2 2
2mEk n k n
a a
hE n n
2ma 8ma
Năng lượng của hạt bị lượng tử hóa Hạt chỉ có thể có nhữngnăng lượng xác định chứkhông thể có mọi nănglượng tùy ý
n = 1 (trạng thái cơ bản) ta cógiá trị năng lượng bé nhất
2
22
1ma2
E
Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong hố thế ứng với hàm sóng n
a
xn
axn
22
sin2
)12(2 2
22
1 nma
EEE nn
Khoảng cách giữa 2 mức liên tiếp
Giải bài toán hạt chuyển động vượt qua rào thế có U cao hơnnăng lượng của nó.
Theo cô hoïc löôïng töû E < Uo, ta thaáy haït vaãn coù khaû
naêng xuyeân qua raøo theá theo moät hieäu öùng goïi laø:
Hieäu öùng ñöôøng ngaàm.
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Mieàn I & III:
Mieàn II:
Phöông trình Schrodinger
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Em2
k,0kdx
d2
2
1
2
12
2
EUm2
k,0kdx
d02
2
2
2
22
2
xik
1
xik
1I11 eBeA
xk
2
xk
2II22 eBeA
)ax(ik
3
)ax(ik
3III11 eBeA
Nghiệm của của các phương trình vi phân
Hàm eikx mô tả một sóngtruyền từ trái sáng phải
ñaëc tröng cho soùng truyeàn qua raøo theá
moâ taû soùng phaûn xaï töø voâ cöïc trôû veà.
Caùc haèng soá : Ai, B
iñöôïc goïi laø caùc bieân ñoä soùng.
Vì raèng ôû voâ cöïc khoâng coù söï phaûn xaï soùng, do ñoù
ta ñaët B3
= 0
1iK (x-a)
3A e
1-iK (x-a)
3B e
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Tính heä soá xuyeân raøo:
Heä soá truyeàn qua raøo D laø tæ soá giöõa bình phöông
bieân ñoä soùng truyeàn qua haøng raøo vaø bình phöông
bieân ñoä soùng tôùi.
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Hệ số phản xạ R được định nghĩa là tỉ số giữabình phương biên độ sóng phản xạ và sóng tới
2
1
3
2
1
2
3
A
A
A
AD
2
1
1
2
1
2
1
A
B
A
BR
Caên cöù vaøo ñieàu kieän bieân (x = 0 & x = a):
ax
III
ax
II
IIIII
0x
II
0x
I
III
dx
d
dx
d
aa
dx
d
dx
d
00
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Ta coù theå ruùt ra caùc heä thöùc sau:
A1
+ B1
= A2
+ B2
ik1( A
1– B
1) = -k
2( A
2– B
2)
A2e
-k2a + B2
ek
2 a
= A3
- k2( A
2e
-k2a – B2e
k2a)= ik1A
3
0)ak2exp()n1(
n16D 222
2
nk
k
E
U E
1
2 0
ak
322eA
2
n.i1A
ak
322eA
2
n.i1B
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
0D exp[ (2a / ) 2m(U E)]
0
2
2.m(U E)D exp( 2.T.a), T
Hạt xuyên qua rào
Nếu hiệu năng lượng cho là E-U0=1,28.10-31 J, khi đó ta có thể dùng lý
thuyết để tính sự phụ thuộc của hệ số truyền qua D vào độ rộng hố thế a.
a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10
D 0,1 0,03 0,008 5.10-7
Ứng dụng:
1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại
2-Phân rã hạt anpha từ nhân có 2 prôtôn và 2 Nơtrôn.
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
3.4. . DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vịtrí cân bằng là một ví dụ về dao động tử điều hòa lượngtử.
Dao động tử điều hòa là một hiện tượng rất quan trọngcủa vật lí nói chung và cơ học lượng tử nói riêng.
Kết qủa về mức năng lượng
1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn
2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương
và là năng lượng ở nhiệt độ T = 0K.
3- Mức thứ n bất kỳ có giá trị
E
2
1E0
)2
1n(En n = 0, 1, 2,...