chƯƠng i: Ứng dỤng cỦa ĐẠo...
TRANSCRIPT
PHẦN I. ÔN THI ĐAI TRAGIAI TICH
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐAO HAMI. LÝ THUYẾT- Tính đạo hàm của các hàm số.- Sơ đồ khảo sát hàm số, áp dụng cho hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm số phân thức.- Các bài tập tiếp tuyến, tương giao đồ thị- Điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên (a; b)- Điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x0.- Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.II. BÀI TẬP ÁP DỤNGDạng 1: Khảo sát hàm số1.1 Hàm số bậc baSơ đồTXĐ: Ry’
y’=0 Bảng xét dấuHàm số đồng biến trên….Hàm số nghịch biến trên…..Hàm số đạt cực đại tại x=a, yCĐ=Hàm số đạt cực tiểu tại x=b, yCT=
=Bảng biến thiênGiao điểm của đồ thị và Ox:Giao điểm của đồ thị và Oy:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị các hàm số sau
a. b.
c. d.
e. Giải:a. TXĐ: R
Hàm số đồng biến trên
Hàm số nghịch biến trên
Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại
Bảng biến thiênĐồ thị hàm số cắt Oy tại (0; 5)Điểm (2;1)Vẽ đồ thị
4
2
2
4
5
1.2. Hàm số bậc 4 trùng phương
Sơ đồ: tương tự hàm số bậc ba. Bài 2: Khảo sát các hàm số sau
a. b.
c. d. Giải:a. TXĐ: R
Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên
Hàm số đạt cực đại tại x= , yCĐ =4Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, yCT=0
Bảng biến thiênĐồ thị
4
2
2
4
1.3. Hàm số phân thứcSơ đồ:TXĐ: R\{x0} (tìm x0 bằng cách cho mẫu bằng 0)
Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên Hàm số không có cực trị
, tiệm cận ngang
, tiệm cận đứng x=x0
Bảng biến thiênĐồ thị
Bài 3: Khảo sát các hàm số sau
a. b. c. d. Giải:
a. TXĐ: R\{ }
hàm số đồng biến trên hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên
Đồ thị
4
2
2
4
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x) đạt cực trị tại x0.Cách giải:Tính f’(x)Hàm số đạt cực trị tại x0 suy ra f’(x0)=0, tìm mThay giá trị m vừa tìm vào hàm số, thử lại (thường dùng dấu hiệu 2)Kết luận.
Bài 4: Tìm điều kiện của tham số để
a. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2
b. Hàm số đạt cực đại tại x=2
c. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-2
d. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
e. Hàm số có giá trị cực trị bằng -2 khi x=1 (a, b là tham số)
f. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x=2.Giải:a. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 nên suy ra y’(2)=0
Với m=2, ta có hàm số .
Có vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=2.KL m=2 là giá trị cần tìm.
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (7 dạng PTTT)
Bài 5: Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sốa. Tại điểm M(-2; -18)b. Tại điểm có hoành độ -1c. Biết tiếp tuyến có hệ số góc -3
Bài 6: Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sốa. Tại điểm có tung độ 4b. Tại điểm có hoành độ -2.
c. Tại điểm có hoành độ với và
Bài 7: Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sốa. Tại điểm có tung độ bằng 5b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Bài 8: Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;6).
Dạng 4: Tương giao đồ thị
Bài 9: Cho hàm số a. Tìm các giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình .
Bài 10: Cho hàm số Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất.
Bài 11: Cho hàm số Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.Bài 12:
a. Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt.
b. Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt.
c. Tìm toa độ giao điểm của hai đồ thị và Dạng 5 : Tinh diện tich hình phăngBài 13 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi
a. Đồ thị hàm số và hai trục toa độ
b. Đồ thị hàm số , trục Ox, các đường thẳng x=1 ; x=2
c. Đồ thị hàm số , trục Ox, các đường thẳng x=0, x=2Dạng 6: Chứng minh đăng thức có chứa đạo hàmCách giải:Tính đạo hàm, đạo hàm cấp hai (nếu đề bài yêu cầu)Thay vào hai vế của đẳng thứcChứng minh đẳng thức.
Bài 14:
a. Cho hàm số . Chứng minh
b. Cho hàm số . Chứng minh
Bài 15: Cho hàm số . Chứng minh
Dạng 7: Giải phương trình, bất phương trình có chứa đạo hàm
Bài 16: Cho hàm số , giải BPT
Bài 17: Cho hàm số , tìm x để
Bài 18: Cho hàm số , giải BPT
Dạng 8: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a; b]Cách giải:Tìm f’(x)
Trên (a; b), f’(x) = 0
Tính So sánh, kết luậnChú ý: nếu đề bài không cho đoạn [a;b] thì phải tìm GTLN, GTNN của hàm số trên TXĐ
Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a. trên [-3;2]. b. trên [0; 2].
c. . d. .
e. trên [-2; 2]. f.
g. trên h. trên [-2;0]
i. trên j.
k. trên Giải:
a.
Trên (-3;2), f(-3)=104, f(1)=-8, f(2)=-6
Kết luận: vậy
Bài 20:
Tìm m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên bằng -2.
Dạng 9: Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên RBài 21: Tìm m để hàm số
a. đồng biến trên R
b. đồng biến trên TXĐ
c. nghịch biến trên R
Bài 22: Tìm m để hàm số nghịch biến trên và
Bài 23: Tìm m để hàm số nghịch biến trên . ĐS:
Bài 24: Tìm m để hàm số đồng biến trên
Giải: Có
Với hàm số nghịch biến trên và do đó không thể đồng biến trên
Với hàm số nghịch biến trên và . Để hàm số nghịch biến trên ta
có . Vậy:
Bài tập tông hơp:
Bài 1 : Cho hàm số
Tìm m để đường thẳng y=m(x-1)+1 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt A, B và AB=3
Bài 2: Cho hàm số Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau.
Bài 5: Khảo sát hàm số
Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
Bài 6: Khảo sát hàm số
Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
Bài 7: Cho hàm số a. Lập PTTT với đồ thị hàm số tại điểm M(3; 2)b. Lập PTTT với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 1c. Lập PTTT tại điểm có tung độ là -2
Bài 8: Cho hàm số Lập PTTT với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng y=x+2
Bài 9: Cho hàm số Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A và B sao cho OA=4OB.
Bài 10: Cho hàm số
Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết khoảng cách từ I(1;2) đến tiếp tuyến là
Bài 11: Cho hàm số . Tìm trên đồ thị của hàm số hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng MN với M(-3;0) và N(-1;-1)
Bài 12: Cho hàm số Tìm trên đồ thị hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung.
Bài 13:Cho hàm số Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua O
Bài 14: Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 15: Tìm m để phương trình có nghiệm
CHƯƠNG II: HAM SÔ LUY THƯA, HAM SÔ MU, HAM SÔ LOGARITI. LÝ THUYẾT- Các tính chất biến đôi luy thừa, logarit
- Phương trình mu cơ bản - Phương trình logarit cơ bản- Bất phương trình mu cơ bản- Bất phương trình loga cơ bản- Phương pháp đăt ân phụ giải PT, BPT mu và loga.II. BÀI TẬP ÁP DỤNGDạng 1: Giải phương trình mu băng đăt ân phuBài 1: Giải các phương trình saua. b. c. d.
e. Giải:
PT tương đương với
Đăt ta có
Với Vậy PT có nghiệm x=-2.
Bài 2: Giải các phương trình saua. b.
c. d.
e. Bạn thường găp lỗi sai nào khi giải PT mu bằng đăt ân phụ:……………………………....………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 2: Giải phương trình logarit cơ bảnBài 3: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d. Giải:
b. ĐK:
PT tương đương với
Kết hợp điều kiện, PT có hai nghiệm x=2; x=
Bài 4: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
e. Bạn thường găp lỗi sai nào khi giải phương trình loga cơ bản: :…………………………...………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 3: Giải phương trình logarit băng đăt ân phuBài 5: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d. Giải: a. ĐK x > 0
Đăt , ta có
Với
Với
Vậy PT có hai nghiệm
Bài 6: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
Bạn thường găp các lỗi sai nào khi giải phương trình loga bằng đăt ân phụ:………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 4: Giải bất phương trình mu, logaBài 7: Giải các bất phương trình saua. b.
c. d.
e. f. Bạn thường găp lỗi sai nào khi giải BPT mu, loga:………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Bài tập nâng caoBài 8: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
e. f. Bài 9: Giải các phương trình
a. b.
c. d.
e. Bài 10: Giải phương trình
a. b.
b. Bài 11 : Giải phương trìnha. b.
c. d.
e. f.
h. i.
6 35 6 35 12x x
10245245 xx
2 3 2 3 14x x
4 15 4 15 8x x
7 48 7 48 14x x
2 1 2 1 2 2 0x x
Bài 12: Giải hệ Bài 13: Giải hệ
Bài 14: Giải hệ Bài 15: Giải hệ Bài 16: Giải phương trình
a.
b.
c.
d. Bài 17: Giải hệ
a. b.
c. d. Bài 18: Giải các bất phương trình
a. b.
c. d.
e.
CHƯƠNG III: TICH PHÂNI. LÝ THUYẾT- Bảng nguyên hàm cơ bản
- Hệ quả của bảng nguyên hàm cơ bản- Công thức tích phân, các tính chất của tích phân- Các bước tính tích phân đôi biến và các dạng đôi biến thường găp- Các bước tính tích phân từng phần và các dạng thường găp- Các bước tính diện tích, thể tích.II. BÀI TẬP ÁP DỤNGDạng 1: Tinh tich phân cơ bảnBài 1: Tính các tích phân sau
a. b. c.
d. e. f. Bài 2: Tính các tích phân sau
a. b. c. Bài 3: Tính các tích phân sau
a. b. c.
d. Dạng 2: Tinh tich phân băng đôi biếnĐăt , tính dt
Đôi cận:
Thay vào được tích phân mới biến t, cận mới : Cách đôi biến thường găp:
Đăt t= , bình phương, tính x theo t, tính dx
Đăt nếu tích phân có chứa Đăt nếu tích phân có chứa sinx.dx
Đăt t=ln x nếu tích phân có chứa lnx và
Đăt nếu tích phân có chứa
Bài 4: Tính các tích phân sau
a. b. c.
d. e. f. Bài 5: Tính các tích phân sau
a. b. c.
e. f. g. Bài 6: Tính các tích phân sau
a. b. c.
d. e. f. Bài 7: Tính các tích phân sau
a. b. c.
d. e. f.
g. Khi tính tích phân bằng đôi biến, bạn thường găp các lỗi sai nào:…………………………...………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 3: Tich phân từng phần
Công thức tích phân từng phầnCác bước:
B1: Đăt u: thì đăt u=P(x)
thì đăt u=lnxdv = (phần còn lại)dx
B2: Tính : (phần còn lại).dxB3: Thay vào công thức.
Bài 8: Tính các tích phân sau
a. b. c.
d. e. f. Bạn thường găp lỗi sai nào khi tính tích phân từng phần:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Dạng 4: Tinh diện tich hình phăng Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi
a. Đồ thị hàm số , đường thẳng x=2, trục Ox, Oy
b. Đồ thị hàm số , trục Ox, các đường thẳng x=0, x=1
c. Đồ thị hàm số , trục Ox, các đường thẳng x=-2; x=0
d. Đồ thị hàm số , y=-2x+2
e. Đồ thị hàm số , đường thẳng x=0, x=1.Dạng 5: Tinh thể tich khối tròn xoayBài 10: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bơi các đường sau quay xung quanh trục Ox
a. , trục Ox.
b. ; trục Ox, đường thẳng x1; x=2.
c. , trục Ox, trục Oy; đường thẳng x=1.
d. trục Ox, đường thẳng x=0.Khi tính thể tích, bạn thường găp lỗi sai nào:………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Bài tập nâng caoTính các tích phân sau
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
CHƯƠNG IV: SÔ PHỨCI. LÝ THUYẾT- Khái niệm số phức, số phức liên hợp, phần thực, phần ảo, mô đun- Điều kiện hai số phức bằng nhau- Cách làm các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức
- Giải PT ân z hệ số là số phức- Giải PT bậc hai với hệ số thực, II. BÀI TẬP ÁP DỤNGDạng 1: Tinh, trả lời các yếu tố của số phứcBài 1: Tìm số phức liên hợp, mô đun của
a. b.
c. d.
e. Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau
a. b.
c. d.
Bài 3: Cho . Tìm phần thực và phần ảo của Dạng 2: Tìm các số thực x, y để hai số phức băng nhauBài 4: Tìm các số thực x và y để
a.
b.
c. Dạng 3: Giải các phương trình ân zBài 5: Tìm các số phức z thỏa mãn
a. b.
c. d. Dạng 4: Giải phương trình bậc hai có Bài 6: Giải các phương trình
a. b.
c. d.
Bài 7: Goi là hai nghiệm phức của phương trình . TínhBài tập nâng cao
Bài 1 : Tìm phần thực, phần ảo của số phức biết
Bài 2: Cho là hai nghiệm của phương trình . Tính
Bài 3: Cho số phức . Tính mô đun của Bài 4: Tìm số phức z biết
a.
b.
Bài 5: Tìm số phức z biết .
Bài 6: Tìm số phức z biết Bài 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
a. là số thuần ảo
b. Bài 8 : Trên măt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết |z-i| = |(1+i)z|
HÌNH HỌCCHƯƠNG I+II: THỂ TICH KHÔI ĐA DIỆN. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
I. LÝ THUYẾT- Công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ- Công thức tính thể tích, diện tích xung quanh hình nón, hình trụ, khối nón, khối trụ- Công thức tính diện tích đáy khi đáy là: Hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác đều, hình tam giác vuông, hình tam giác cân.- Công thức tính diện tích hình tròn- Định lý Pitago- Tỉ số sin, cosin, tan trong tam giác vuông- Các khái niệm góc, khoảng cách.II. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 1: Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông cân tại B. Biết SA vuông góc với (ABC) và
SA= . Góc giữa SB và (ABC) là 600. Tính thể tích khối chóp.
Bài 2: Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC cân tại A, , BC= . Biết hai măt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC) và tam giác SBC vuông cân. Tính thể tích khối chóp.
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Có AB=a; BC=2a. Hai măt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Cạnh SC tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp.Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=a. Góc giữa A’B và (ABC) là 600. Tính thể tích khối lăng trụ.Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD=a, AB=3a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên SC tạo với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tạo A, BC=2 . Biết
A’B= . Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cân, và BC=2a. Biết góc giữa (A’BC) và (ABC) là 600. Tính thể tích khối lăng trụ.Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, thể tích khối nón, khối trụBài 8: Hình nón đỉnh S có bán kính đáy là 2a, góc giữa đường sinh và măt đáy là 600. Tính thể tích khối nón.
Bài 9: Hình trụ tròn xoay có I, I’ là tâm của hai hình tròn đáy. Biết II’=a và I’A=a với A là điểm nằm trên đường tròn tâm I. Tính thể tích khối trụ và diện tích xung quanh hình trụ.Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có tam giác ABC vuông, AB=BC=a, AA’=a . Tính thể tích khối lăng trụ.
A
A'
B
B'
C
C'
HD: Tam giác vuông tại BBài 2: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại B. AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Goi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC.
I
M
A
A'
B
B'
C
C'
HD: Sử dụng tỉ số đồng dạng suy ra chiều cao IH.
Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
=a, và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’,B’C’.
HD: Xét tam giác A’AM vuông tại A’, tính C’M. Sau đó sử dụng định lý cosin trong tam giác C’CM.
ĐS:
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, và mp(SAB) vuông góc với măt phẳng đáy.Goi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC .
a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
b. Tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM,DN.
HD: j
N
M AD
B C
S
a. Tam giác SAB vuông tại S. Kẻ SH vuông góc với AB có SH vuông góc với (ABCD)b. Lấy I là điểm thuộc AD sao cho AI=1/4 AD. Góc bằng góc giữa SM và MITính HI, dùng tam giác vuông SHI tính SIDùng định lý cosin trong tam giác SMI.
Bài 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a. Măt phẳng
(SBC) vuông góc với (ABC). Biết SB=2a , . Tính thể tích S. ABC.
ĐS:
Bài 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. M và N là trung điểm của AB và
AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH= . Tính thể tích S. CDNM và khoảng cách DM, SC.
HD:
H
N
M
AD
B C
S
Chứng minh được DM vuông góc với CN. Kẻ HK SC, có HK là đường vuông góc chungTính HK.
Bài 7: Cho hình chóp S. ABC có măt phẳng (SAC) vuông góc với (ABC), SA=AB=a, AC=2a và
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa hai măt phẳng (SAB), (SBC).HD:
A C
B
S
M
Có tam giác SAB cân tại A.Chứng minh được tam giác SAC=BAC nên SA=BC vậy tam giác SBC cân tại CLấy M là trung điểm SB có AM, CM cùng vuông góc với SBTính AM, CM, áp dụng định lý cosin.
ĐS: Bài 8: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. SA vuông góc với (ABCD). Biết AB=2a, AD=CD=a, SA=3a
a. Tính thể tích S. (BCD)b. Tính khoảng cách từ B đến (SCD).
A B
D C
S
HD: Tính gián tiếp, diện tích SCD=
Khoảng cách: Bài 10: Cho tứ diện S. ABC có SA vuông góc với (ABC) và SA=a. Biết diện tích tam giác SBC bằng hai lần diện tích tam giác ABC. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
ĐS: Bài 11: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB=2a, AD=DC=a, SA vuông góc với (ABCD). Biết góc giữa SC và (ABCD) là 450.
Tính thể tích S. ABCD và khoảng cách từ B đến (SCD).
A B
D C
S
ĐS:
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANI. LÝ THUYẾT- Các công thức toa độ vec tơ, độ dài đoạn thẳng, khoảng cách- Vec tơ pháp tuyến của mp. Vec tơ chỉ phương của đường thẳng.- Cách tính tích vô hướng, tích có hướng của hai vec tơ- Công thức phương trình tông quát của măt phẳng. Các dạng bài tập lập phương trình măt phẳng- Công thức phương trình tham số của đường thẳng. Các dạng bài tập lập phương trình đường thẳng.- Công thức phương trình măt cầu. Các dạng bài tập lập phương trình măt cầu- Tìm giao điểm đt và mp. Xét VTTĐ của hai đtII. BÀI TẬP ÁP DỤNGDạng 1: Tinh khoảng cách từ điểm đến măt phăng.Bài 1: Tính khoảng cácha. Từ M(2;-1;3) đến mp(P): 2x+y-2z+1=0b. Từ H(6;-3;1) đến mp(Q): -x+2y+2z-12=0c. Từ I(2;-2;-1) đến mp Oxyd. Giữa hai mp(P): 2x+2y-z+1=0 và (Q): 2x+2y-z-5=0.e. Giữa hai măt phẳng (P): x-y+3z+1=0 và (Q): x-y+3z-3=0Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thăng và măt phăngBài 2: Tìm toa độ giao điểm của các đường thẳng và măt phẳng sau
a. đường thẳng d: và mp (P): 2x+2y-z-12=0
b. đường thẳng d: và mp (P): x+3y+3z+1=0
c. đường thẳng d: và mp (P): x+2y+2z-1=0
d. đường thẳng d: và mp (P): 5x+y+z-4=0Dạng 3: Lập phương trình măt phăng. Bài tập PT măt phăngBài 3: Lập phương trình măt phẳng
a. Đi qua M(2; 1; -3) và vuông góc với đường thẳng d: b. Đi qua M(3; 0; 2) và song song với măt phẳng (P): 2x-y-3z-12=0. Tính khoảng cách giữa hai măt phẳngc. Đi qua A(2; 1; 0), B(-2; 2; 1), C(0; -1; 3)
Bài 4: Lập phương trình măt phẳnga. Đi qua M(2; 1; -2), N(-1; 2; 1) và vuông góc với măt phẳng (P): 2x-y-2z+1=0
b. Chứa đường thẳng d: và vuông góc với măt phẳng (P): -x+2y-z-1=0c. Đi qua điểm M(2; 1; -5) và vuông góc với hai măt phẳng (P): 2x+3y-1=0 và (Q): –x+2y-z-1=0.
Bài 5: Cho hai đường thẳng d: và d’:a. Chứng minh d và d’ chéo nhau.b. Lập phương trình măt phẳng (P) chứa d và song song với d’.c. Lập phương trình măt phẳng đi qua M(3; 0; -1) và song song với hai đường thẳng d và d’
Bài 6: Cho điểm A(2; -1; -1) và đường thẳng d: a. Lập phương trình măt phẳng chứa A và db. Tìm toa độ hình chiếu H của A trên d.
c. Tìm điểm M thuộc d sao cho OM=Bài 7: Lập phương trình măt phẳng đi qua các điểm O, M(2; 1; 1) và N(-1; 2; 1)Bài 8: Cho điểm A(2; 1; 0). Tìm toa độ hình chiếu của A trên măt phẳng (P): x-y+2z+1=0Bài 9: Tính khoảng cách giữa hai măt phẳnga. (P): 2x+y-z-1=0 và (Q): 2x+y-z+3=0b. (P): 2x+2y-z-3=0 và (Q): 2x+2y-z-5=0Bài 10: Lập phương trình măt phẳng
a. chứa M(-1; 7; 2) và vuông góc với (P): 2x+y-z-3=0 và song song với d:
b. chứa M(-1;7;2) và đường thẳng d: Bài 11: Lập phương trình măt phẳng
a. Tiếp xúc với măt cầu tại H(3;1;4)
b. Tiếp xúc với măt cầu tại A(2;-1;4)
c. Tiếp xúc với măt cầu và song song với mp (P): 2x+2y-z+12=0Bạn thường mắc lỗi sai nào khi lập phương trình măt phẳng:……………………………...………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 4: Lập phương trình đường thăngBài 11: Cho A(2; 1; -2), B(1; 5; 2), C(-3; 0; 1)
a. Lập phương trình đường thẳng ABb. Lập phương trình đường thẳng ACc. Lập phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BCBài 12: Lập phương trình đường thẳng
a. đi qua A(2; 3; -1) và song song với đường thẳng d:
b. đi qua M(0; 2; -1) và song song với đường thẳng d:
Bài 13: Lập phương trình đường thẳnga. đi qua A(5; 2; 1) và vuông góc với (P): x-2y+2z+1=0b. đi qua B(2;-1;3) và vuông góc với (P): 2x-y+4=0.
Bạn thường mắc lỗi sai nào khi lập phương trình đường thẳng:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 5: Xét vị tri tương đối của hai đường thăng
Bài 14: Chứng minh hai đường thẳng và d’: chéo nhauBài 15: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau
a. d: và d’:
b. d: và d’:Bạn thường mắc lỗi sai nào khi xét VTTĐ của hai đường thẳng:……………………….....………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 6: Lập phương trình măt cầuBài 16: Lập phương trình măt cầua. đi qua A(2;0;0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 3) và gốc Ob. đi qua A(2; 3; 1), B(0; 0; 2), C(1; 0; 0), D(0; 3; 0)Bài 17: Cho điểm A(3; 2; 4), B(2; 0; -1)a. Lập phương trình măt cầu đường kính ABb. Lập phương trình măt cầu tâm A, đi qua B
Bài 18: Cho hai điểm M(2; -2;4) và N(1; 0; 2)a. Lập phương trình măt cầu đường kính MNb. Lập phương trình măt cầu tâm M và đi qua NBài 19: Lập phương trình măt cầu a. Tâm I(3; -2; -1) và tiếp xúc với măt phẳng (P): 2x+2y+z+7=0b. Tâm A(0; 2; -1) và tiếp xúc với (P): x-2y-2z+14=0
c. Tâm I(3; 4; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Bạn thường mắc lỗi sai nào khi lập phương trình măt cầu:………………………..............………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Dạng 7: Tìm tọa độ tâm, tinh bán kinh măt cầuBài 20: Tìm toa độ tâm, tính bán kính măt cầu có PT
a.
b.
c.
d. Bạn thường mắc lỗi sai nào khi tìm tâm và bán kính măt cầu:……………………….........………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
PHẦN II. ÔN THI NÂNG CAOI. PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁCBài tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
Bài tập2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
Bài tập 3 Rút gọn các biểu thức:
Bài tập 4 Tính
Bài tập 5 Tính các giá trị lượng giác của cung x biếtt:
e) Cho tanx = 2. Tính
g) Cho .
Tính
h) Cho . Tính:
Bài 10 Chứng minh:
Cho . CMR:
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
* Chú ý: . 1. Phương trình lượng giác cơ bản.
23, Tìm sao cho: .
24, Tìm sao cho: .2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
a) Daïng phöông trình. b) Caùch giaûi c) Moät soá baøi toaùn:
3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giáca) Dạng phương trình a.sin2x+bsinx+c=0(a.cos2x+bcosx+c=0;
a.tann2x+btanx+c=0; a.cot2x+bcotx+c=0)b) Cách giải: Đăt sinx=t(cosx;tanx;cotx=t) đưa về phương trình bậc hai sau đó giải
theo t.c) Một số bài toán:
4. Phương trình đẳng cấp đối với sinx hoặc cosx
5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
II. PHƯƠNG TRÌNH, BÂT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TYI. Lý thuyết - Là phương trình có ân dưới dấu căn bậc hai, bậc ba
- PT vô tỷ cơ bản: (1)Cách giải: vì phép bình phương hai vế không phải là phép biến đôi tương đương( chỉ tương đương khi hai vế cùng dấu, trường hợp này là không âm) nên có
VD: Giải phương trình
Hãy so sánh với cách giải đăt điều kiện và bp, ta thấy cách giải trên ưu điểm hơn.II. Bài tập1. Phương trình cơ bảnBài tập: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
e. f.
g. h. √2x−1+x2−3 x+1=02. Phương trình Bài tập: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d. 3. Phương trình với A, B, C là các biểu thức chứa x. Cách giải:ĐKBình phương hai vếBiến đôi về PT cơ bản, giải PT cơ bản So sánh với điều kiện, kết luận.Bài tập: Giải các phương trình saua. b. c. d. e. f.
g. h. i. 4. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình cơ bảnPhép đăt ân phụ là một biện pháp hay trong bài toán giải phương trình, hệ phương trình, nhờ đó ta đưa được phương trình phức tạp về phương trình đơn giản với ân phụ. Có nhiều biện pháp đăt ân phụ, tuy nhiên trong mục này ta xét các bài toán đăt ân phụ đơn giản: Đăt các biểu thức giống nhau làm ân phụ.
Bài tập: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
i. j. Bài tập: Giải các phương trình sau
a.
b.
c.
d.
e.
f.
5. Phương trình dạng ( trong các căn có 1 nhân tử chung)Ta cần nhớ:Với A, B : . Với A, B<0: Để giải PT này, Tìm ĐK, trên ĐK đó ta xét 3 TH:TH1: A=0, PT nghiệm đúngTH2: A, B, C, D >0, PT tương đương với TH3: A, B, C, D<0, PT tương đương với Bài tập: Giải các phương trình
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
6. Nhân, chia đồng thời với biểu thức liên hợp
Biểu thức có liên hợp là
Có ( A, B không đồng thời bằng 0)
Mục đích: Làm xuất hiện nhân tử chung. Bài tập: Giải các phương trình sau
a.
b. Giải:
a. ĐK:
(1) Lưu ý: có thể giải như sau
Từ (1) có x=1/3 và , giải PT này. Bài tập: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
e.* f.
g. h. Câu g:
: Bình phương, có nghiệm x=2.
Bài tập : Giải phương trình Nhâm thấy có nghiệm x=1, ta tìm cách biến đôi bám vào nhân tử x-1
PT(2) vô nghiệm vì VT lớn hơn 1.
7. Phương trình có chứa tổng căn và tích cănĐăc điểm: Là phương trình có chứa đồng thời và Ta thường chon cách giải sau:Đăt Bình phương hai vế, rút ra theo tThay vào được phương trình mới ân t, tìm t, trơ lại biến xVD: Giải phương trình
ĐK: Đăt ,
Ta có: Với t=4: Bài tập: Giải các phương trình sau
a.
b.
c.
d.
e.
f. 8. Phương pháp hàm số: f(A) = f(B) (Lớp 12) với A, B là các biểu thức chứa xNội dung của PP:Đăt hai ân phụ A, B là các biểu thức chứa xBiến đôi phương trình về dạng f(A) = f(B).Chứng minh hàm số f(t) đồng biến (hoăc nghịch biến),Suy ra A=B.
VD: Giải phương trình
PT tương đương với
Đăt , xét hàm số f(t)=
Có >0, vậy hàm số đồng biến trên R.
Nên có A = B hay 2x+1=-3x 9. Bất phương trình chứa căn thức cơ bản
Là BPT có dạng sau: hoăc Để giải, ta phải khử dấu căn bằng phép bình phương hai vế, nhưng ta chú ý là chỉ được bình
phương khi hai vế không âm. thì đã không âm (khi nó có nghĩa), còn g(x) thì sao. Bằng cách xét các khả năng của g(x) ta có lời giải như sau
a.
TH1:
TH2: Nếu có dấu bằng thì ơ BPT 2 trong TH2 có dấu bằng.
b. Bài 4: Giải BPT
a. b.
c. d.
Bài 5: Giải BPT
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
10. Bất phương trình chứa nhiều dấu căn
Dạng chung: ĐKBình phương hai vếBài 6: Giải các BPT sau
a. b.
c. d.
e. f.
11. Nhân, chia đồng thời với biểu thức liên hợp
Biểu thức có liên hợp là
Có ( A, B không đồng thời bằng 0)Mục đích: Làm xuất hiện nhân tử chung.Bài tập: Giải các bất phương trình sau
a. Giải: ĐK x 0
b. ĐK:
BPT
TH1: vô nghiệm
TH2: nghiệm đúngVậy BPT có nghiệm
c. ĐK:
BPT
d. ĐK: x . Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.
BPT (với lưu ý là )
Nhận xét: Với x >7 thì nên BPT không có nghiệm x>7
Ngược lại, có nghiệm 12. Các dạng BPT khácBài tập: Giải BPT sau1−√1−4 x2
x <3Hướng dẫn: Áp dụng cách giải của BPT chứa ân ơ mẫu
TH1: x>0; BPT tương đương với
Nếu BPT nghiệm đúng
TH2:x<0, BPT tương đương với
Bài tập: Giải BPT √ x2−3 x+2 + √ x2−4 x+3 ¿ 2√ x2−5 x+4
đk:
[ x≤1[ x≥4
[
. nếu x < 1: (*) ⇔ √2−x + √3−x ¿ 2√4−x đúng.
. nếu x = 1: (*) đúng.
. nếu x = 4: (*) đúng.
. nếu x > 4: (*) ⇔ √ x−2 + √ x−3 ¿ 2√ x−4 vô nghiệm.Vậy nghiệm của (*) là x ∈ (−∞ ; 1] ¿ {4}.
Bài tập: Giải BPT HD: Coi là BPT tích, với lưu ý điều kiện của căn
BPT tương đương với hoăc
BPT có nghiệm Chú ý HS nếu không có hai trường hợp sẽ mất nghiệm x=2
Bài tập: Giải BPT ĐK:
BPT tương đương với
Giải bằng BPT cơ bản có
Bài tập: Giải BPT HD: Chứng minh mẫu âm
BPT tương đương với
Vậy xảy ra dấu bằng nên
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Phương pháp thếBài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
1, 2,
3, 4,
5, 6,
7, 8,
9, 10,
11, 12,
13, 14,
15, 16,
17, 18, II. Phương pháp đặt ẩn phụBài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1, 2,
3, 4,
5, 6,
7, 8,
9, 10,
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau
1, . 2,
3, 4,
5
,
6, 7,
8,
9,
10,
11,
12,
13, Bài 3. Giải các hệ phương trình sau
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8, 9, III. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm sốBài 1. Giải các hệ phương trình sau
1, 2,
3,
4,
5,
6, .
7,
8,
9,
10,
11, IV. Tổng hợp đề thi qua các năm
1, [A - 2008]:
2, [B - 2008]:
3, [D - 2008]: 4, [B - 2009]:
5,
[D - 2009]:
6, [A - 2011]:
7, [A,A1 - 2012]:
9, [D - 2012]:
10, [A,A1 - 2013]:
11, [B - 2013]:
12, [A,A1 - 2014]:
13,
[B - 2014]:
TÔ HƠP- XÁC SUÂT
HOÁN VỊ – CHỈNH HƠP – TÔ HƠP1. Hoán vịĐN: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được goi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.
. Quy ước: 0! = 1.2. Chỉnh hợpĐN:Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chon ra k phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được goi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh
hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.3. Tổ hợpĐN:Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chon ra k phần tử của X được goi là một tô hợp chập k của n phần tử. Số các tô hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là
.
.Nhận xét: + Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tô hợp là n phần tử phải phân biệt.+ Chỉnh hợp và tô hợp khác nhau ơ chỗ là sau khi chon ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tô hợp thì không.4.Nhị thức NewtơnPHẦN I: BAI TOÁN ĐẾM1. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
2. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chon ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chon để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?3. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
4. (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn hoc sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa.2. Hai bạn A và E ngồi ơ hai đầu ghế.
5. (HV BCVT 1999)Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác
nhau, sao cho trong các chữ số đó có măt số 0 và 1.
6. (ĐHQG HN khối B 2000)Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
7. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)Một lớp có 30 hoc sinh nam và 15 hoc sinh nữ. Có 6 hoc sinh được chon ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chon khác nhau nếu:1) phải có ít nhất là 2 nữ.2) chon tuỳ ý.
8. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.
9. (ĐH Y HN 2000)
Có 5 nhà toán hoc nam, 3 nhà toán hoc nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán hoc và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
10. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi1. Có bao nhiêu số trong đó phải có măt chữ số 2.2. Có bao nhiêu số trong đó phải có măt hai chữ số 1 và 6.
11. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chon ra 5 người sao cho:1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
12. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có măt đủ 3 chữ số trên.
13. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tông các chữ số của mỗi số là một số lẻ.
14. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.1. Có bao nhiêu cách chon ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.2. Có bao nhiêu cách chon ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
15. (ĐH GTVT 2000)Một lớp hoc có 20 hoc sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
16. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
17. (CĐSP Nha Trang 2000)Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có măt chữ số 0.
18. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)Một lớp hoc sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chon một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chon?
19. (ĐH An ninh khối D 2001)Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có măt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần.
20. (ĐH Cần Thơ 2001)
Một nhóm gồm 10 hoc sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 hoc sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 hoc sinh nam phải đứng liền nhau.
21. (HV Chính trị quốc gia 2001)Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau.2. Có bao nhiêu cách chon ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam.
22. (ĐH Giao thông vận tải 2001)Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có măt chữ số 4.
23. (ĐH Huế khối DHT 2001)Từ một nhóm hoc sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chon ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chon?
24. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)Trong số 16 hoc sinh có 3 hoc sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số hoc sinh đó thành 2 tô, mỗi tô có 8 người sao cho ơ mỗi tô đều có hoc sinh giỏi và mỗi tô có ít nhất 2 hoc sinh khá.
25. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
26. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
27. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
28. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)Có 6 hoc sinh nam và 3 hoc sinh nữ xếp thành một hàng doc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 hoc sinh nam đứng xen kẽ 3 hoc sinh nữ. (Khi đôi chỗ 2 hoc sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).
29. (HV Quan hệ quốc tế 2001)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ơ vị trí chính giữa?
30. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có măt chữ số 0 nhưng không có măt chữ số 1.2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có măt đúng 2 lần, chữ số 3 có măt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có măt không quá một lần.
31. (ĐHSP HN II 2001)Tính tông tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
32. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345.
33. (ĐH Văn Lang 2001)Một lớp có 10 hoc sinh nam và 10 hoc sinh nữ. Cần chon ra 5 hoc sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chon nếu trong 5 hoc sinh đó phải có ít nhất:1. Hai hoc sinh nữ và hai hoc sinh nam.2. Một hoc sinh nữ và một hoc sinh nam.
34. (ĐH Y HN 2001)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?
35. (ĐH khối D dự bị 1 2002)Đội tuyển hoc sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 hoc sinh khối 12, 6 hoc sinh khối 11, 5 hoc sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 hoc sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chon.
36. (ĐH khối B 2003 dự bị 2)Từ một tô gồm 7 hoc sinh nữ và 5 hoc sinh nam cần chon ra 6 em trong đó số hoc sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chon như vậy?
37. (ĐH khối D 2003 dự bị 1)Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
38. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245.
39. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
40. (ĐH khối B 2004)Trong một môn hoc, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
41. (ĐH khối B 2005)Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
42. (ĐH khối A 2005 dự bị 1)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tông các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
43. (ĐH khối B 2005 dự bị 1)Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
44. (ĐH khối B 2005 dự bị 2)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.
45. (ĐH khối D 2006)Đội thanh niên xung kích của một trường phô thông có 12 hoc sinh, gồm 5 hoc sinh lớp A, 4 hoc sinh lớp B và 3 hoc sinh lớp C. Cần chon 4 hoc sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 hoc sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chon như vậy?
46. (CĐ GTVT III khối A 2006)Từ một nhóm gồm 15 hoc sinh khối A, 10 hoc sinh khối B, 5 hoc sinh khối C, chon ra 15 hoc sinh sao cho có ít nhất 5 hoc sinh khối A và đúng 2 hoc sinh khối C. Tính số cách chon.
47. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tông của tất cả các số đó.
BAI GIAI1. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chon e {0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chon a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chon là: 47A = 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.
Ta loại những số có dạng 0bcde . Có 3 cách chon e, và 36A cách chon b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có
3.36A = 360 số chẵn có dạng 0bcde .
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài.2. n = abcde* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0). Có 3 cách chon vị trí cho 1. Sau đó chon chữ số
khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có 47A cách.
Như thế: có 3.47A = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.
* Xem các số hình thức 0bcde . Có 2 cách chon vị trí cho 1. Chon chữ số khác nhau cho 3 vị trí
còn lại từ X \ {0,1}, số cách chon là 36A .
Như thế: có 2.36A = 240 số hình thức dạng 0bcde .
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.2. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Số cách chon 4 bi trong số 15 bi là: 415C = 1365.
Các trường hợp chon 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 2 1 14 5 6C C C = 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có1 2 14 5 6C C C = 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có1 1 24 5 6C C C = 300
Do đó số cách chon 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720Vậy số cách chon để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645.
3. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 01. Vì số tạo thành là số lẻ nên f {1, 3, 5}. Do đó: f có 3 cách chon
a có 4 cách chon (trừ 0 và f)b có 4 cách chon (trừ a và f)c có 3 cách chon (trừ a, b, f)d có 2 cách chon (trừ a, b, c, f)e có 1 cách chon (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f {0, 2, 4}.* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số* Khi f {2, 4} thì:
f có 2 cách chona có 4 cách chonb có 4 cách chonc có 3 cách chond có 2 cách chone có 1 cách chon
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
4. (ĐH Hàng hải 1999)1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách.Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách.Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.2. Xếp A và E ngồi ơ hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.
5. (HV BCVT 1999)* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:
6 510 10A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:69A = 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:6 5
9 9A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có măt 0 và 1 là:136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.
6. (ĐHQG HN khối B 2000)* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:Có 4 khả năng chon chữ số hàng ngàn (không chon chữ số 0)
Có 34A khả năng chon 3 chữ số cuối.
Có 4.34A = 4.4! = 96 số.
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có 34A = 24 số
Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chon chữ số hàng nghìn, có 23A = 6 khả năng chon 2 chữ
số cuối. Vậy có 3.6 = 18 sốDo đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
7. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chon:
* 2 nữ, 4 nam có 2 415 30C .C cách
hoăc * 3 nữ, 3 nam có 3 315 30C .C cách
hoăc * 4 nữ, 2 nam có 4 215 30C .C cách
hoăc * 5 nữ, 1 nam có 5 115 30C .C cách
hoăc * 6 nữ có 615C cách
Vậy: có 2 415 30C .C +
3 315 30C .C +
4 215 30C .C +
5 115 30C .C +
615C cách
2. Nếu chon tuỳ ý thì số cách chon là: 645C .
8. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:
abc0 hoăc abc2 hoăc abc4* Với số abc0 ta có: 5 cách chon a, 4 cách chon b, 3 cách chon c. Có 5.4.3 = 60 số* Với số abc2 hoăc abc4 ta có: 4 cách chon a, 4 cách chon b, 3 cách chon c. Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoăc ab5 .* Với số ab0 ta có: 5 cách chon a, 4 cách chon b. Có 5.4 = 20 số* Với số ab5 ta có: 4 cách chon a, 4 cách chon b. Có 4.4 = 16 sốVậy có: 20 + 16 số cần tìm.
3. Goi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 có 4 số* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử có 3! = 6 số.Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm.
9. (ĐH Y HN 2000)
Số cách chon 1 nhà toán hoc nam, 1 nhà toán hoc nữ, 1 nhà vật lí nam là: 1 1 15 3 4C .C .C = 5.3.4 = 60
Số cách chon 1 nhà toán hoc nữ, 2 nhà vật lí nam là: 1 23 4C .C = 18
Số cách chon 2 nhà toán hoc nữ, 1 nhà vật lí nam là: 2 13 4C .C = 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chon10. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Xét số năm chữ số 1 2 3 4 5a a a a a1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có 45A = 120 cách.
Vậy có 5.120 = 600 số.
2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có 25A cách.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có 34A = 24 cách.
Vậy có 25A .
34A = 480 số.
11. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
1. Chon 2 nam và 3 nữ: có 2 310 10C .C = 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chon sau:* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
* 3 nam và 2 nữ: có 3 210 10C .C = 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có 4 110 10C .C = 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.12. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các số có 5 chữ số này, xét các số không có măt các chữ số 2, 3, 4. Loại này có: 6 cách chon chữ số hàng vạn
7 cách chon chữ số hàng nghìn7 cách chon chữ số hàng trăm7 cách chon chữ số hàng chục7 cách chon chữ số hàng đơn vị
Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số.Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có măt đủ các chữ số 2, 3, 4.
13. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho 1 2 3 4a a a a . Có hai khả năng:1. Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5 {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5 số có 5 chữ số
1 2 3 4 5a a a a a với tông các chữ số là một số lẻ.2. . Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5 {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số có 5 chữ số
1 2 3 4 5a a a a a với tông các chữ số là một số lẻ.Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tông các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tông các chữ số là một số lẻ.
14. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
1. Có: 25C cách chon ra 2 viện bi đỏ.413C cách chon ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có: 25C .
413C = 7150 cách chon
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng có 3 39 5C .C cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng có 2 2 29 5 4C .C .C cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng có 1 1 49 5 4C .C .C cách
Vậy có tất cả: 3 39 5C .C +
2 2 29 5 4C .C .C +
1 1 49 5 4C .C .C = 3045 cách.
15. (ĐH GTVT 2000)Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 hoc sinh thường: có 1 22 18C .C
* 2 cán bộ lớp và 1 hoc sinh thường: có 2 12 18C .C
Vậy số chon là: 1 22 18C .C +
2 12 18C .C = 324 cách.
16. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x = 1 2 3 4 5 6a a a a a aTừ giả thiết a1 {5,6,7,8,9}, a6 {1,3,5,7,9}Có 2 khả năng:1. a1 lẻ:
* a1 có 6 cách chon* a6 có 4 cách chon
* sau khi chon a1, a6, cần chon 2 3 4 5a a a a , mỗi cách chon ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử.
Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4.48A = 40320 số
2. a1 chẵn:* a1 có 2 cách chon* a6 có 5 cách chon
* 2 3 4 5a a a a có 48A cách chon
Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.48A = 16800 số
Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.17. (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là: 5.35A = 300
Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có măt chữ số 0 là:45A = 120
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.18. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chon 3 em nam: có 39C cách
Chon 2 em nữ: có 26C cách
Vậy có: 39C .
26C = 1260 cách.
19. (ĐH An ninh khối D 2001)Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:
Thế thì:* Có 6 cách chon vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
* Sau khi đã chon vị trí cho số chữ 0 ta còn 36C = 20 cách chon vị trí cho 3 chữ số 4.
* Sau khi đã chon vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách chon cho 3 chữ số còn lại.Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
20. (ĐH Cần Thơ 2001)Coi 7 hoc sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách để bố trí 7 hoc sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 hoc sinh nữ bằng 4!. Nhưng để xếp 7 hoc sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
3421. (HV Chính trị quốc gia 2001)1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức
là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam số cách chia là: 3 26 4C .C = 120
2. * Số cách chon ra 5 người mà không có nam là: 56C = 6
* Số cách chon ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là: 4 16 4C .C = 60
Vậy số cách chon ra 5 người mà có không quá 1 nam là: 6 + 60 = 66.
22. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A = 1 2 3 4 5 6a a a a a a .
+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy có 57A =
2520 số.+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chon a1. Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vị trí còn lại
là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn 46A số khác nhau. Vậy
trường hợp này có 6.5.46A = 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.23. (ĐH Huế khối DHT 2001)
* Số cách chon 5 em từ 13 em là: 513C = 1287
* Số cách chon 5 em toàn nam là: 57C = 21
* Số cách chon 5 em toàn nữ là: 56C = 6
Vậy số cách chon 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 126024. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Mỗi tô có 1 hoăc 2 hoc sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tô nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tô có 8 hoc sinh trong đó phải có 1 hoc sinh giỏi và ít nhất 2 hoc sinh khá. Các hoc sinh còn lại tạo thành tô thứ hai. Trường hợp 1: Có 2 hoc sinh khá:* Có 3 cách chon 1 hoc sinh giỏi.
* Có 25C = 10 cách chon 2 hoc sinh khá.
* Có 58C = 56 cách chon 5 hoc sinh trung bình.
Có: 3.10.56 = 1680 cách. Trường hợp 2: Có 3 hoc sinh khá:* Có 3 cách chon 1 hoc sinh giỏi.
* Có 35C = 10 cách chon 3 hoc sinh khá.
* Có 48C = 70 cách chon 4 hoc sinh trung bình.
Có: 3.10.70 = 2100 cách.
Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.25. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:
Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:Có 4 cách chon vị trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chon vị trí cho chữ số 5. Số cách chon 3
chữ số con lại là: 35A
Số các số thu được là: 4.4.35A = 960 số
Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:Có 5 cách chon vị trí cho chữ số 5.
Số cách chon 4 chữ số còn lại là: 45A
Số các số thu được là: 5.45A = 600 số.
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.26. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có 9 cách chon chữ số hàng trăm, 9 cách chon chữ số hàng chục, 8 cách chon chữ số hàng đơn vị. Vậy có 9.9.8 = 648 số.2. Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu được chon tuỳ ý trong 7 chữ
số còn lại nên số các số tạo thành là: 47A = 840
Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0.* Chữ số tận cùng có 3 cách chon (từ 2, 4, 6)* Chữ số đứng đầu có 6 cách chon* 3 chữ số còn lại được chon tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại.
Số các số tạo thành: 3.6.36A = 2160
Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.27. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120
số các số có chứa 61 là 5! = 120Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số.
28. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9.Để có đúng 2 hoc sinh nam đứng xen kẽ với 3 hoc sinh nữ thì mỗi hoc sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 hoc sinh nữ đứng ơ các vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).Có 5 căp 3 vị trí của 3 hoc sinh nữ.Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi căp 3 vị trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam vào 6 vị trí còn lại là 6!.Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.
29. (HV Quan hệ quốc tế 2001)Ta chỉ có 1 cách chon vị trí cho chữ số 9.Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.
30. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Số được xét có dạng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a . Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ a2 đến a6: có 5 cách xếp.
Còn lại 5 vị trí, ta chon 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này: có 58A cách.
Vậy tất cả có: 5.58A = 33600 cách.
2. Số được xét có dạng: 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a .
Chon 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có 27C cách.
Chon 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 35C cách.
Còn 2 vị trí, chon 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2!28C cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:
27C .
35C .2!
28C = 11760 số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.
Đối với các số 2 3 4 5 6 70a a a a a a :
* Chon 2 vị trí để xếp chữ số 2: có 26C cách.
* Chon 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 34C cách.
* Chon 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách.
Như vậy loại này có: 26C .
34C .7 = 420 số.
Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.31. (ĐHSP HN II 2001)
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xét x = 1 2 3 4 5a a a a a X.
Nếu chon a5 = 1 thì 1 2 3 4a a a a ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 3, 4, 5, 7, 8 có 45A
số có chứ hàng đơn vị là 1.
Tương tự có 45A số có chứ hàng đơn vị là 3; …
Tông tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x X là:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).45A = 3360.
Lập luận tương tự, tông tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x X là: 3360.10; …Vậy tông tất cả các phần tử của X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960.
32. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)1. Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c {1;2;3;4;5} = E.Vì x chẵn nên c {2;4} có 2 cách chon c.
Với mỗi cách chon c, có 24A cách chon bc .
Vậy tất cả có: 2.24A = 24 số chẵn.
2. Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6} * Nếu a ≥ 4 thì x > 345.* Nếu a = 1 hoăc 2 thì với moi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta đều có x = abc < 345. Loại
này có: 2.25A = 40 số.
* Nếu a = 3 thì x = 3bc < 345
b 1hoaëc 2; c E \ a,bb 4; c 1hoaëc 2
Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số.Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số.
33. (ĐH Văn Lang 2001)1. Nếu trong 5 hoc sinh phải có ít nhất 2 hoc sinh nữ và 2 hoc sinh nam thì có 2 trường hợp:
* 2 nam và 3 nữ: có 2 310 10C .C cách.
* 3 nam và 2 nữ: có 3 210 10C .C cách.
Vậy tất cả có: 2.2 310 10C .C = 10800 cách.
2. Nếu trong 5 hoc sinh phải có ít nhất 1 hoc sinh nữ và 1 hoc sinh nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có 1 410 10C .C cách.
* 2 nam và 3 nữ: có 2 310 10C .C cách.
* 3 nam và 2 nữ: có 3 210 10C .C cách.
* 4 nam và 1 nữ: có 4 110 10C .C cách.
Vậy tất cả có: 2.1 410 10C .C + 2.
2 310 10C .C = 15000 cách.
34. (ĐH Y HN 2001)Ta xét các trường hợp sau:1. Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 có 3 cách chon chữ số hàng đơn vị.a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chon chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chon chữ số hàng trăm. Sau khi đã chon chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chon chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số.b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chon chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chon chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 3.6 = 18 số.2. Chữ số hàng đơn vị là 8:a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chon chữ số hàng trăm. Sau khi đã chon chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chon chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 6.7 = 42 số.b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chon chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 6 số.Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số.
35. (ĐH khối D dự bị 1 2002)
Tông số cách chon 8 hoc sinh từ 18 em của đội tuyển là: 818C = 43758
Tông số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:Bộ phận I gồm các cách chon từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em được chon (số cách phải tìm).Bộ phận II gồm các cách chon từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên không có cách chon nào mà cả 8 em thuộc cùng một khối).Bộ phận II có thể chia thành ba loại:
8 em được chon từ khối 12 hoăc 11: có 813C cách.
8 em được chon từ khối 12 hoăc 10: có 812C cách.
8 em được chon từ khối 11 hoăc 10: có 811C cách.
Vậy số cách phải tìm là: 818C – (
813C +
812C +
811C ) = 41811 cách.
36. (ĐH khối B 2003 dự bị 2)Có 3 khả năng:
5 nam và 1 nữ: có 5 15 7C .C cách
4 nam và 2 nữ: có 4 25 7C .C cách
3 nam và 3 nữ: có 3 35 7C .C cách
Vậy tất cả có: 5 15 7C .C +
4 25 7C .C +
3 35 7C .C = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 cách.
37. (ĐH khối D 2003 dự bị 1)Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoăc 2, 4, 6, 8. Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử.
Do đó có 68A số thuộc loại này.
Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu). Vậy số các số loại này là: 4. 6 5
8 7A A .
Vậy tất cả có: 68A + 4. 6 5
8 7A A = 90720 số.38. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Goi số cần tìm là: x = 1 2 3a a a
Vì x < 245 nên a1 = 1 hoăc a1 = 2
a1 = 1: x = 2 31a aa2, a3 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5
Có: 24A = 4.3 = 12 số
a1 = 2: x = 2 32a aa2 có 2 khả năng:* a2 < 4 a2 {1, 3} a2 có 2 cách chon, a3 có 3 cách chon trong 3 số còn lại Có 2.3 = 6 số* a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 a3 có 2 cách chon Có 2 số
Có 6 + 2 = 8 số x = 2 32a aVậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài.
39. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4a a a a .Chon a4 từ {1, 5, 9} có 3 cách chon.Chon a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} có 3 cách chon.Chon a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} có 3 cách chon.Chon a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} có 2 cách chon.Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài.
40. (ĐH khối B 2004)Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoăc 3, nên có các trường hợp sau:
* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó có 2 2 115 10 5C .C .C đề.
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó có 2 1 215 10 5C .C .C đề.
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó có 3 1 115 10 5C .C .C đề.
Vậy tất cả có: 2 2 115 10 5C .C .C +
2 1 215 10 5C .C .C +
3 1 115 10 5C .C .C = 23625 + 10500 + 22750
= 56875 đề.41. (ĐH khối B 2005)
Có 1 43 12C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công
các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì có 1 42 8C C cách phân công các thanh niên tình
nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và
tỉnh thứ hai, thì có 1 41 4C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba.
Vậy tất cả có: 1 43 12C C .
1 42 8C C .
1 41 4C C = 207900 cách phân công.
42. (ĐH khối A 2005 dự bị 1)
Goi x = 1 2 3 4 5 6a a a a a a là số cần lập.YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 a3, a4, a5 {1, 2, 5} hoăc a3, a4, a5 {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 {1, 2, 5} Có 6 cách chon a1
Có 5 cách chon a2
Có 3! cách chon a3, a4, a5
Có 4 cách chon a6
Có: 6.5.6.4 = 720 số x.b) Khi a3, a4, a5 {1, 3, 4}, tương tự ta cung có 720 số x.Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x.
43. (ĐH khối B 2005 dự bị 1)Ta có các trường hợp:
3 nữ và 5 nam: có 3 55 10C C = 2520 cách.
4 nữ và 4 nam: có 4 45 10C C = 1050 cách.
5 nữ và 3 nam: có 5 35 10C C = 120 cách.
Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách.44. (ĐH khối B 2005 dự bị 2)
Cách 1: Goi x = 1 2 3 4 5a a a a a là số cần lập.
Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: có 25A = 20 cách.
Sau đó, ta có 5 cách chon 1 chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên. 4 cách chon 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai. 3 cách chon 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba.
Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số. Cách 2:
* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: có 25A = 20 cách.
* Bước 2: có 35A = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại.
Vậy có 20.60 = 1200 số.45. (ĐH khối D 2006)
Số cách chon 4 hoc sinh từ 12 hoc sinh đã cho là: 412C = 495
Số cách chon 4 hoc sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau: Lớp A có 2 hoc sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 hoc sinh.
Số cách chon là:2 1 15 4 3C C C = 120
Lớp B có 2 hoc sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 hoc sinh:
Số cách chon là: 1 2 15 4 3C C C = 90
Lớp C có 2 hoc sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 hoc sinh:
Số cách chon là: 1 1 25 4 3C C C = 60
Số cách chon 4 hoc sinh mà mỗi lớp có ít nhất một hoc sinh là:120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chon phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.46. (CĐ GTVT III khối A 2006)
Số cách chon 2 hoc sinh khối C là: 25C = 10
Chon 13 hoc sinh trong số 25 hoc sinh khối A và B. Số cách chon bất kì là: 1325C = 5200300
Số cách chon được 4 hoc sinh khối A và 9 hoc sinh khối B là: 4 915 10C C
Số cách chon được 3 hoc sinh khối A và 10 hoc sinh khối B là: 3 1015 10C C
Số cách chon sao cho có nhiều nhất 4 hoc sinh khối A là: 4 915 10C C +
3 1015 10C C = 13650 + 455 = 14105
Số cách chon sao cho có ít nhất 5 hoc sinh khối A là: 13 4 9 3 10
25 15 10 15 10C C .C C .C = 5186195 Vậy số cách chon sao cho có ít nhất 5 hoc sinh khối A là:
2 13 4 9 3 105 25 15 10 15 10C C C .C C .C = 51861950
47. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) Goi ab là số tự nhiên phải tìm a ≠ 0Do ab chẵn nên b {0, 2, 4, 6, 8}Có 2 trường hợp:* Nếu b = 0 thì a {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} có 9 cách chon a. có 9 số a0
* Nếu b ≠ 0 thì b {2, 4, 6, 8} có 4 cách chon b.Khi đó có 8 cách chon a. có 4.8 = 32 số abVậy tất cả có: 9 + 32 = 41 số cần tìm. Đăt S là tông của 41 số đó.S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)
= 45.10 982 – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.
PHAN II: BAI TẬP BIỂU THỨC TÔ HƠP- NHỊ THỨC NIU TƠN1. (CĐSP TPHCM 1999)
Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: k k 2 k 1
14 14 14C C 2C2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
Tính tông: 6 7 8 9 1010 10 10 10 10C C C C C
trong đó knC là số tô hợp chập k của n phần tử.
3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
Tìm các số nguyên dương x thoả: 1 2 3 2x x xC 6C 6C 9x 14x
4. (ĐHQG HN khối A 2000)
Chứng minh rằng: k k 1 1000 1001
2001 2001 2001 2001C C C C (trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)
5. (ĐHQG HN khối B 2000)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:
174 3
3 21 xx , x ≠ 0
6. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
Giải bất phương trình: 2 2 3
2x x x1 6A A .C 102 x
7. (ĐHSP HN khối A 2000)
Trong khai triển nhị thức
n283 15x x x
, hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng n n 1 n 2
n n nC C C 798. (ĐHSP HN khối BD 2000)
Biết tông tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.
9. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Tìm hệ số của x31 trong khai triển của f(x) =
40
21xx
10. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:
1. 0 1 2 nn n n nC C C ... C = 2n
2. 1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2nC C C ... C = 0 2 4 2n2n 2n 2n 2nC C C ... C
11. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7
12. (ĐH khối D 2002)Tìm số nguyên dương n sao cho:
0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C = 243
13. (ĐH dự bị 2 2002)
Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: 3 n 2
n nA 2C ≤ 9n.14. (ĐH khối A 2003)
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của
n5
31 xx , biết rằng:
n 1 n
n 4 n 3C C 7(n 3) (n nguyên dương, x > 0).15. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Chứng minh rằng với moi số nguyên dương n ta đều có: 1 3 5 2n 1 0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C ... C C C C ... C16. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
1. Giải phương trình: 1 2 3x x xC 6C 6C = 9x2 – 14x
2. Chứng minh rằng: 1 3 5 17 1920 20 20 20 20C C C ... C C = 219
17. (CĐ khối AD 2003)Chứng minh rằng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1
18. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị)
Giải bất phương trình: 3 n n nn 2n 3n(n!) C .C .C 720
BAI GIAI1. (CĐSP TPHCM 1999)
k k 2 k 114 14 14C C 2C (0 ≤ k ≤ 12, k N)
14! 14! 14!2k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!
1 1 12(14 k)(13 k) (k 1)(k 2) (k 1)(13 k)
(k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) k2 – 12k + 32 = 0 k = 4 hoăc k = 8Vậy: k = 4 hoăc k = 8
2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
S = 6 7 8 9 1010 10 10 10 10C C C C C
= 0 1 9 10 10
10 10 10 10 101 1C C ... C C C2 2 =
10 510
1 1.2 C2 2 = 386.3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
1 2 3 2x x xC 6C 6C 9x 14x (x N, x ≥ 3)
x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x
x(x2 – 9x + 14) = 0
x 0 (loaïi)x 2 (loaïi)x 7 (nhaän) Vậy: x = 7
4. (ĐHQG HN khối A 2000)Ta sẽ chứng tỏ:
0 2001 1 2000 2 1999 1000 10012001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001C C C C C C ... C C
Thật vậy, chỉ cần chứng tỏ: k k 1
2001 2001C C (1) với k = 0, 1, 2, …, 999.
Ta có: (1)
2001! 2001!
k!(2001 k)! (k 1)!(2000 k)! (k + 1) < 2001 – k 2k < 2000 k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, …, 999.
Vì vậy: k 10002001 2001C C ,k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức
k 1000k 1001 )
và: k 1 1001
2001 2001C C , k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức
k 999k 1000 )
k k 1 1000 1001
2001 2001 2001 2001C C C C (đẳng thức k = 1000)5. (ĐHQG HN khối B 2000)
Số hạng tông quát của khai triển là:
17 3417 k k k2 3 3 12 3k k3 4 417 17C x x C x (k N, 0 ≤ k ≤ 17)
Để số hạng không chứa x thì
17 34k 012 3 k = 8
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng 817C .
6. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
Điều kiện:
x N2 2x x N2 x x 33 x
Ta có: 2 2 3
2x x x1 6A A .C 102 x
12 .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤
6 x(x 1)(x 2). 10x 1.2.3 x2 ≤ x2 – 3x + 12 x ≤ 4Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4.
7. (ĐHSP HN khối A 2000)
* Xác định n: n n 1 n 2
n n nC C C 79 1 + n + n(n 1)
2 = 79
n 12n 13 (loaïi)
* Ta có:
12 k 12 k28 4 2812 k3 15 3 1512
k 0x x x C x x
=
48 11212 kk 15 512k 0
C x
Số hạng không phụ thuộc x
48 112k 015 5 k = 7.
Vậy số hạng cần tìm là: 712C = 792
8. (ĐHSP HN khối BD 2000)
Ta có: (x2 + 1)n = n k 2k
nk 0
C x(1)
Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn phương trình: x12 = x2k k = 6.
Trong (1) cho x = 1 thì n k
nk 0
C = 2n
Từ giả thiết n k
nk 0
C = 1024 2n = 1024 n = 10
Vậy hệ số cần tìm là: 610C = 210.
9. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
40
21xx =
40 k40 k k
40 2k 0
1C x .x =
40 k 3k 80
40k 0
C x
Hệ số của x31 là k40C với k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 k = 37
Vậy: hệ số của x31 là 37 3
40 4040.39.38C C 1.2.3 = 40.13.19 = 9880.
10. (ĐH Thuỷ lợi 2000)Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
* Với n = 2, đpcm 2
222
1 1 A 22A đúng* Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có:
2 2 2 2
2 3 4 k
1 1 1 1 k 1... kA A A ATa cần chứng minh BĐT đúng với n = k + 1.
Thật vậy,
2 2 2 2 2 2
2 3 4 k k 1 k 1
1 1 1 1 1 k 1 1... kA A A A A A =
k 1 1k (k 1)k =
2(k 1) 1 k(k 1)k k 1
Vậy:
2 2 2 2
2 3 4 n
1 1 1 1 n 1... nA A A A , n ≥ 211. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
a9 = 1 + 9 9 9 9 910 11 12 13 14C C C C C
= 1 + 1 2 3 4 510 11 12 13 14C C C C C
= 1 + 10 +
11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.102 6 24 120
= 300312. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)
1. (1 + x)n = 0 1 2 2 n nn n n nC C x C x ... C x
Cho x = 1 0 1 2 nn n n nC C C ... C = 2n
2. (1 – x)2n = 0 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C x C x C x ... C x
Cho x = 1 đpcm.13. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7
là: 5 5 55 6 7C C C = 1 +
6! 7!
5!1! 5!2! = 2814. (ĐH khối D 2002)
Ta có: (x + 1)n = n k k
nk 0
C x
Cho x = 2 ta được: 3n = n k k
nk 0
C 2 3n = 243 n = 5.
15. (ĐH dự bị 2 2002)
BPT
n 3n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) 9n
2
n 3n - 2n - 8 0
3 ≤ n ≤ 4 n = 3 hoăc n = 4.16. (ĐH khối A 2003)
Ta có: n 1 n
n 4 n 3C C 7(n 3) n 1 n n
n 3 n 3 n 3C C C 7(n 3)
(n 2)(n 3)
2! = 7(n + 3) n + 2 = 7.2! = 14 n = 12.Số hạng tông quát của khai triển là:
12 k5 60 11kk 3 k k2 212 12C (x ) x C x
Ta có: 60 11k2x = x8
60 11k2 = 8 k = 4.
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là
412
12!C 4!(12 4)! = 495.17. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Ta có khai triển:
(x + 1)2n = 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n 2nC x C x C x ... C x CCho x = –1 ta được:
0 = 0 1 2 3 4 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C ... C C
1 3 2n 1 0 2 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2nC C ... C C C ... C18. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
1. Điều kiện:
x 1x 2 x 3x 3 x Nx N
PT x +
x! x!6 62!(x 2)! 3!(x 3)! = 9x2 – 14x
x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x
x(x2 – 9x + 14) – 0
x 0 (loaïi)x 7 (loaïi)x 2 x = 2
2. Cách 1:
* Ta có: (1 – x)20 = 0 1 2 2 19 19 20 2020 20 20 20 20C C x C x ... C x C x
Cho x = 1 ta có: 0 1 2 19 2020 20 20 20 20C C C ... C C = 0
0 2 20 1 3 1920 20 20 20 20 20C C ... C C C ... C
Đăt: A = 0 2 2020 20 20C C ... C ; B = 1 3 19
20 20 20C C ... C A = B (1)
* Ta có: (1 + x)20 = 0 1 2 2 19 19 20 2020 20 20 20 20C C x C x ... C x C x
Cho x = 1 ta có: 0 1 2 19 2020 20 20 20 20C C C ... C C = 220
A + B = 220 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A =
2022 = 219 (đpcm).
Cách 2: Áp dụng công thức
k k 1 kn 1 n nC C C và 0
nC 1, ta được:
1 3 5 17 1920 20 20 20 20C C C ... C C =
= 0 1 2 3 16 17 18 1919 19 19 19 19 19 19 19C C C C C C C C
= (1 + 1)19 = 219.19. (CĐ khối AD 2003)
Cách 1:Ta có: Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + … + 2P2 + P1] =
= (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!= n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!= n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!= (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1!= (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1!= …..= 2! – 1.1! = 1
Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1. Cách 2: Chứng minh bằng qui nạp:
* Với n = 1, ta có P1 = P2 – 1 1! = 2! – 1. Mệnh đề đúng.* Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1), tức là ta có:
P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk = Pk+1 – 1* Ta cần ch. minh: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – 1
Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – 1 + (k +1)Pk+1 = (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (đpcm)
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHĂNGD¹ng 1: X¸c ®Þnh c¸c yÕu tè cña tam gi¸c vµ tø gi¸cBài 1. Xác định các yếu tố của tam giác và tứ giác 1, Cho tam giác có diện tích bằng 2, , trung điểm của là . Tìm toa độ các đỉnh của tam giác.
2, Cho hcn có , là trung điểm của , , đỉnh thuộc
đường thẳng . Tìm toa độ các đỉnh biết .
3, Cho hv , là trung điểm của , là hình chiếu vuông góc của
lên , là trung điểm của . Tìm toa độ các đỉnh của hình vuông biết .4, Cho tam giác vuông tại . thuộc cạnh sao cho , đường tròn
tâm đường kính cắt tại . Xác định toa độ các đỉnh của tam giác ,
biết đường thẳng đi qua điểm , và .
5, Cho tam giác cân tại , , điểm nằm trên đường cao kẻ từ . Tìm toa độ các đỉnh .
6, Cho hv , , đường thẳng đi qua điểm , đường
thẳng đi qua điểm . Biết tam giác cân tại . Viết phương trình .
7, Cho hv , , đường thẳng đi qua điểm , đường
thẳng đi qua điểm . Tìm toa độ các đỉnh của hình vuông biết .
8, Cho hình thoi , , đường thẳng đi qua điểm , đường
thẳng đi qua điểm ; . Tìm toa độ các đỉnh của hình thoi biết
.
9, Cho tam giác có , trung tuyến , là trung
điểm của . Điểm không nằm trên đường thẳng và khác phía với so với đường thẳng đồng thời khoảng cách từ và đến đường thẳng bằng nhau.
Tìm toa độ các điểm .
10, Cho hv , trung điểm , điểm thuộc cạnh sao cho .
Biết và . Tìm toa độ đỉnh biết .
11, Cho hcn có , điểm nằm trên đường thẳng sao
cho . Tìm toa độ các đỉnh của hcn biết và .
12, Cho hcn , , điểm nằm trên cạnh , đường thẳng
đi qua điểm ; . Tìm toa độ các đỉnh của hcn biết .13, Cho hcn , , . Tìm toa độ các đỉnh của hcn biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1.
Bµi 2. LËp ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c biÕt vµ ph-¬ng tr×nh ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh cña tam gi¸c lµ .Bµi 3. Cho tam gi¸c biÕt vµ hai ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ lÇn lît cã ph¬ng tr×nh , . T×m täa ®é c¸c ®iÓm .Bµi 4. Cho tam gi¸c biÕt vµ hai ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc cã ph¬ng tr×nh , . ViÕt ph¬ng tr×nh c¹nh .Bµi 5. Cho tam gi¸c biÕt ®êng trung tuyÕn , ph©n gi¸c trong . ViÕt ph¬ng tr×nh c¹nh . Bµi 6. Cho tam gi¸c vu«ng t¹i , biÕt ®èi xøng nhau qua gèc täa ®é. Ph©n gi¸c trong gãc cã ph¬ng tr×nh . T×m täa ®é biÕt ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm .
Bµi 7. Cho h×nh vu«ng cã , ®Ønh n»m trªn , lµ trung ®iÓm cña vµ ph¬ng tr×nh . T×m c¸c ®Ønh .
Bµi 8. Cho h×nh thoi biÕt . T×m täa ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cña h×nh thoi.Bµi 9. Cho tam gi¸c biÕt h×nh chiÕu vu«ng gãc cña lªn ®êng th¼ng lµ ®iÓm , ph©n gi¸c trong vµ ®êng cao . T×m täa ®é ®Ønh .Bµi 10.[§H khèi D - 2012]. Cho h×nh ch÷ nhËt biÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh , ®êng chÐo ®i qua ®iÓm
. T×m täa ®é c¸c ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt.Bµi 11. Cho tam gi¸c biÕt ph©n gi¸c trong , ®êng cao . C¹nh ®i qua ®iÓm . T×m täa ®é c¸c
®Ønh cña tam gi¸c biÕt diÖn tÝch tam gi¸c b»ng Bµi 12.[§H khèi B - 2009]:T×m trªn ®êng th¼ng ®iÓm
sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®Õn ®êng th¼ng b»ng .Bµi 13. Cho tam gi¸c c©n t¹i ®Ønh vµ ph¬ng tr×nh c¹nh
. T×m täa ®é biÕt diÖn tÝch tam gi¸c b»ng .
Bµi 14. Cho tam gi¸c biÕt , träng t©m cña tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng . T×m täa ®é biÕt diÖn tÝch tam
gi¸c b»ng .Bµi 15. Cho h×nh thoi biÕt
. T×m täa ®é biÕt diÖn tÝch b»ng vµ .
Bµi 16. Cho h×nh ch÷ nhËt biÕt t©m , ph¬ng tr×nh , . T×m täa ®é biÕt cã hoµnh ®é
©m.
Bµi 17.[§H khèi A - 2012 - theo ch¬ng tr×nh ChuÈn]:Cho h×nh vu«ng . Gäi lµ trung ®iÓm cña , lµ ®iÓm trªn c¹nh sao cho
. Gi¶ sö vµ ®êng th¼ng . T×m täa ®é ®iÓm .Bµi 18.[§H khèi B - 2009]. Cho tam gi¸c c©n t¹i ®Ønh vµ ph¬ng tr×nh c¹nh . T×m täa ®é biÕt diÖn tÝch tam gi¸c b»ng .Bµi 19.[§H Khèi A - 2009]: Cho h×nh ch÷ nhËt cã ®iÓm lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo vµ . §iÓm thuéc ®êng th¼ng vµ trung ®iÓm cña c¹nh thuéc ®êng th¼ng
. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng .Bµi 20.[§H Khèi A - 2013]: Cho h×nh ch÷ nhËt cã , ®iÓm
thuéc ®êng th¼ng . Gäi lµ ®iÓm ®èi xøng víi qua , lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña lªn ®êng th¼ng . T×m täa ®é
c¸c ®iÓm , biÕt r»ng .Bµi 21.[§H Khèi B – 2013 – Theo CT ChuÈn]: Cho h×nh thang c©n cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nh©u vµ . §êng th¼ng
vµ tam gi¸c cã trùc t©m . T×m täa ®é c¸c ®iÓm .Bµi 22.[§H Khèi B – 2013 – Theo CT N©ng cao]: Cho tam gi¸c cã
ch©n ®êng cao h¹ tõ ®Ønh lµ , ch©n ®êng ph©n gi¸c trong gãc lµ vµ trung ®iÓm cña c¹nh lµ . T×m täa ®é ®Ønh
.Bµi 23.[§H Khèi A – 2010 – Theo CT N©ng cao]: Cho tam gi¸c c©n ®Ønh , ®êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm c¸c c¹nh cã ph¬ng tr×nh . T×m täa ®é c¸c ®Ønh , biÕt ®iÓm n»m trªn ®êng cao ®i qua ®Ønh .Bµi 24.[§H Khèi D – 2011 – Theo ct ChuÈn]. Cho tam gi¸c cã ®Ønh
, träng t©m , ph©n gi¸c trong gãc cã ph¬ng tr×nh . T×m täa ®é c¸c ®Ønh .
Bµi 25.[§H Khèi D – 2014]: Cho tam gi¸c cã ch©n ®êng ph©n gi¸c
trong gãc lµ . §êng ,tiÕp tuyÕn t¹i cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c cã ph¬ng tr×nh . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng .
Bµi 26.[§H Khèi B – 2014]: Cho h×nh b×nh hµnh . §iÓm
lµ trung ®iÓm cña , ®iÓm lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña
lªn vµ ®iÓm lµ träng t©m tam gi¸c . T×m täa ®é c¸c ®iÓm .
Bµi 27.[§H Khèi A – 2014]: Cho h×nh vu«ng cã lµ trung ®iÓm cña , ®iÓm thuéc ®o¹n sao cho . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng .Bµi 28.[ §H Khèi A - 2010]: Cho tam gi¸c vu«ng t¹i , cã ®Ønh
, ph©n gi¸c trong gãc cã ph¬ng tr×nh . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng , biÕt diÖn tÝch tam gi¸c b»ng 24 vµ ®Ønh
cã hoµnh ®é d¬ng.Bµi 29.[§H khèi D - 2010]:Cho ®iÓm (0;2)A vµ ®êng th¼ng D ®i qua gèc täa ®é O . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn D . ViÕt ph¬ng tr×nh D biÕt kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn trôc hoµnh b»ng AH .Bµi 30. Cho tam gi¸c ABC biÕt h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C lªn ®êng th¼ng AB lµ ®iÓm ( 1; 1)H - - , ph©n gi¸c trong : 2 0AD x y- + = vµ ®êng cao : 4 3 1 0BK x y+ - = . T×m täa ®é ®Ønh C .Bµi 31.[§H Khèi D- 2010]: Cho tam gi¸c cã ®Ønh , trùc t©m
, t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp lµ . X¸c ®Þnh täa ®é ®Ønh , biÕt cã hoµnh ®é d¬ng.Bµi 32.[§H Khèi D- 2013 – Theo ct ChuÈn]: Cho tam gi¸c cã ®iÓm
lµ trung ®iÓm cña c¹nh , ch©n ®êng cao kÎ tõ ®Ønh lµ , t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp lµ . X¸c ®Þnh täa ®é ®Ønh .
Bµi 33. Cho tam gi¸c ABC biÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ ®Ønh B lÇn lît cã ph¬ng tr×nh 4 5 9 0, 2 0x y x y+ - = + - = . B¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
b»ng 156 , ®iÓm
1(2; )2M n»m trªn c¹nhAB . T×m täa ®é c¸c ®iÓm , ,A B C .
Bµi 34. Cho tam gi¸c biÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ ®Ønh lÇn lît cã ph¬ng tr×nh
. B¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
b»ng , ®iÓm n»m trªn ®êng th¼ng . T×m täa ®é c¸c ®iÓm .
D¹ng 2: §êng trßn vµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßnBµi 1.[§H khèi D - 2012 - theo ch¬ng tr×nh n©ng cao]: Cho ®êng th¼ng
. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn cã t©m thuéc , c¾t trôc t¹i , c¾t trôc t¹i sao cho .
Bµi 2.[§H khèi B - 2009 - theo ch¬ng tr×nh N©ng cao]: Cho hai ®êng
th¼ng vµ ®êng trßn . X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña ®êng trßn , biÕt r»ng tiÕp xóc víi vµ .Bµi 3. Cho ®êng trßn vµ ®êng th¼ng
. Qua ®iÓm kÎ c¸c tiÕp tuyÕn ®Õn ®êng trßn , ( lµ c¸c tiÕp ®iÓm), gäi lµ t©m cña . T×m täa ®é ®iÓm sao chotø gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 10.Bµi 4. Cho ®êng trßn vµ ®êng th¼ng
. Qua ®iÓm kÎ c¸c tiÕp tuyÕn ®Õn ®êng trßn , ( lµ c¸c tiÕp ®iÓm), gäi lµ t©m cña . T×m täa ®é ®iÓm sao cho .Bµi 5. Cho ®êng trßn vµ ®êng th¼ng
. Qua ®iÓm kÎ c¸c tiÕp tuyÕn ®Õn ®êng trßn , ( lµ c¸c tiÕp ®iÓm), gäi lµ t©m cña . T×m täa ®é ®iÓm sao cho .Bµi 6. Cho ®êng trßn vµ ®iÓm . Chøng minh r»ng tõ ®iÓm lu«n kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn ®Õn ®êng trßn
, ( lµ c¸c tiÕp ®iÓm). T×m täa ®é t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c .Bµi 7. Cho ®êng trßn cã t©m . Chøng minh r»ng mäi ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm lu«n c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm vµ c¾t t¹i hai ®iÓm sao cho tam gi¸c nhän vµ .Bµi 8. Cho ®êng trßn vµ . Qua ®iÓm kÎ c¸c tiÕp tuyÕn ®Õn ®êng trßn , ( lµ c¸c tiÕp ®iÓm). T×m täa ®é ®iÓm biÕt r»ng .
Bµi 9. Cho ®êng trßn vµ . X¸c ®Þnh täa ®é c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng ngo¹i tiÕp biÕt .Bµi 10. Cho ®êng trßn vµ . Gi¶ sö sao cho lµ h×nh b×nh hµnh. ViÕt ph¬ng tr×nh c¹nh
.
Bµi 11. Cho h×nh thoi biÕt trung ®iÓm cña lµ vµ lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn . T×m täa ®é
biÕt .Bµi 12. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , ®Ønh (1;1)B . §êng trßn ®êng kÝnh AB cã ph¬ng tr×nh
2 2( ) : 4 2 4 0C x y x y+ - - + = c¾t BC t¹i : 4H BC BH= . T×m täa ®é ®iÓm C .
Bµi 12. Cho ®êng trßn 2 2( ) : 2 4 1 0C x y x y+ - + + = , ( )C c¾t Oy t¹i ,A B .
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn 1( )C ®i qua ,A B vµ 1( )C c¾t Ox t¹i ,M N sao cho 6MN = . Bµi 13. Cho và , goi là tâm đường tròn. Qua điểm kẻ tiếp tuyến và một cát tuyến cắt tại hai điểm ( nằm giữa và
). Tìm toa độ điểm , biết tam giác vuông tại và có diện tích bằng 5.Bµi 14.Cho tam giác có trực tâm , đường tròn ngoại tiếp tam giác là
. Điểm , là trung điểm của . Tìm toa độ các đỉnh của tam giác .
Bµi 15.Cho điểm và đường tròn .
. Viết phương trình biết là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Bµi 16.Cho tam giác nội tiếp đường tròn , phân giác trong góc A có phương trình . Biết diện tích tam giác bằng 3 lần diện tích tam giác
, (I là tâm của (T)). Viết phương trình biết .
Bµi 17.[§H Khèi A – 2012]: Cho ®êng trßn . ViÕt ph¬ng tr×nh elip cã ®é dµi trôc lín b»ng 8 vµ c¾t t¹i bèn ®Ønh t¹o thµnh h×nh vu«ng.Bµi 18.[§H Khèi B – 2012]: Cho h×nh thoi cã vµ ®êng trßn tiÕp xóc víi c¸c c¹nh cña h×nh thoi lµ . ViÕt ph¬ng tr×nh elip ®i qua bèn ®iÓm biÕt .Bµi 19.LËp ph¬ng tr×nh cña elip biÕt ®é dµi trôc lín b»ng , c¸c ®Ønh trªn trôc nhá cïng hai tiªu ®iÓm n»m trªn mét ®êng trßn.
Bµi 20.Cho cã hai tiªu ®iÓm . T×m ®iÓm
sao cho b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c b»ng .
Bµi 21.Cho cã hai tiªu ®iÓm . T×m ®iÓm nh×n hai tiªu ®iÓm díi mét gãc vu«ng.
Bµi 22. Cho vµ ®iÓm . T×m ®iÓm sao cho tam gi¸c ®Òu vµ ®èi xøng nhau qua .
Bµi 23.Cho vµ . T×m ®iÓm sao cho tam gi¸c c©n t¹i .
Bµi24.Cho vµ . T×m ®iÓm sao cho tam gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt, biÕt thuéc gãc phÇn t thø nhÊt.
Bµi 25.[§H Khèi A - 2011]: Cho . T×m täa ®é c¸c ®iÓm sao cho tam gi¸c c©n t¹i vµ cã diÖn tÝch lín
nhÊt.
Bµi 26.Cho vµ . T×m täa ®é c¸c ®iÓm
sao cho lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c .