Chương 8

Các hệ Fermi

8.1 Phương trình trạng thái của khí Fermi lý tưởng

Ta phải khử z từ hệ phương trình sau:

PV

kT=

∑p

ln(1 + ze−βεp

)(8.1)

N =∑p

ze−βεp

1 + ze−βεp(8.2)

với εp = p2/2m. Đặt v = V/N và cho V →∞. Ta có thể viết tổng theo p thành tích phântheo p. ∑

p

→ V

h3

∫d3p . (8.3)

Ta thu được:

P

kT=

4π

h3

∫ ∞0

dp p2 ln(

1 + ze−βp2/2m

)(8.4)

1

v=

4π

h3

∫ ∞0

dp p2 1

z−1eβp2/2m + 1(8.5)

Các tích phân bên phải có thể viết thành dãy:

P

kT=

1

λ3f5/2(z) (8.6)

1

v=

1

λ3f3/2(z) , (8.7)

103

với λ =√

2πh̄2/mkT và

f5/2(z) =∞∑l=1

(−1)l+1zl

l5/2(8.8)

f3/2(z) =∞∑l=1

(−1)l+1zl

l3/2. (8.9)

Trước tiên ta tìm z từ phương trình:

λ3

v= f3/2(z) . (8.10)

Xét 2 trường hợp:

a) Nhiệt độ cao, mật độ thấp: λ3/v � 1. Trong trường hợp này ta cũng có z � 1 vàcó thể bỏ qua các số hạng bậc cao trong dãy

λ3

v= f3/2(z) = z − z2

23/2+ . . . (8.11)

Suy ra:

z =λ3

v+

1

23/2

(λ3

v

)2

+ . . . (8.12)

Và:Pv

kT=

v

λ3

(z − z2

25/2+ . . .

)= 1 +

1

25/2

λ3

v+ . . . (8.13)

Khai triển trên gọi là khai triển Virial, với hệ số virial bậc 2 bằng:

λ3

25/2=

1

2

(πh̄2

mkT

)3/2

. (8.14)

Chú ý rằng hệ số này xuất hiện do hiệu ứng lượng tử của hạt fermion chứ không phải dotương tác giữa các hạt.

Do λ3/v � 1 nên ta có thể viết:

〈np〉 ≈λ3

ve−βεp . (8.15)

b) Nhiệt độ thấp, mật độ cao: λ3/v � 1. Trong trường hợp này ta cũng có z � 1.Sử dụng công thức:

f3/2(z) =4

3√π

[(ln z)3/2 +

π2

8(ln z)−1/2 + . . .

]+O(z−1) . (8.16)

Tại nhiệt độ T ≈ 0 ta có:λ3

v≈ 4

3√π

(ln z)3/2 . (8.17)

104

Hình 8.1: Số lấp đầy trung bình của khí Fermi lý tưởng.

Ta định nghĩa năng lượng Fermi:

εF ≡h̄2

2m

(6π2

v

)2/3

⇒ z(T = 0) ≈ eβεF . (8.18)

Số lấp đầy trung bình trạng thái lượng tử có xung lượng p được cho bởi:

〈np〉 ≈1

eβ(εp−εF ) + 1. (8.19)

Đây chính là hàm phân bố Fermi-Dirac. Tại T = 0:

〈np〉 =

{1 εp ≤ εF0 εp > εF .

(8.20)

Do vậy εF là mức năng lượng mà dưới nó có đúng N trạng thái lượng tử. Trong không gianxung lượng ta có bề mặt Fermi được định nghĩa là mặt cầu với bán kính pF =

√2mεF . Tại

T = 0 tất cả các hạt fermion lấp đầy tất cả các trạng thái dưới bề mặt Fermi.

Trong trường hợp hạt có spin s, các mức năng lượng của hạt bị suy biến với độ suy biếng = 2s + 1 trên một mức năng lượng. Ta có thể xác định mức năng lượng Fermi thông quađiều kiện:

g∑p

〈np〉T=0 = N. (8.21)

Đặt εF = p2F/2m, và giả sử các hạt lấp đầy tất cả các trạng thái dưới mức năng lượng Fermi,

ta thu được:g

(2πh̄)3

4π

3p3F =

N

V(8.22)

εF =h̄2

2m

(6π2

gv

)2/3

. (8.23)

Nhiệt độ Fermi được định nghĩa bởi

kTF ≡ εF . (8.24)

105

Hình 8.2: Nhiệt dung riêng của khí Fermi lý tưởng.

Nhiệt độ thấp, mật độ cao có nghĩa là T � TF . Khi đó, thế hóa học có thể tính được bằngkhai triển theo kT/εF :

µ = kT ln z = εF

[1− π2

12

(kT

εF

)2

+ . . .

]. (8.25)

Số lấp đầy trung bình bằng:

〈np〉 =1

eβ(εp−µ) + 1. (8.26)

Nội năng của hệ bằng:

U =∑p

εp〈np〉 =V

h3

4π

2m

∫ ∞0

dp p4〈np〉 (8.27)

và có thể lấy gần đúng theo khai triển:

U =3

5NεF

[1 +

5

12π2

(kT

εF

)2

+ . . .

](8.28)

Nhiệt dung riêng có thể thu được bằng:

CVNk≈ π2

2

kT

εF. (8.29)

Có thể thấy rằng CV giảm tuyến tính về 0 khi T → 0, và như vậy chứng tỏ định luật 3 củanhiệt động lực học là đúng cho khí Fermi.

Phương trình trạng thái của khí Fermi:

P =2

3

U

V=

2

5

εFv

[1 +

5

12π2

(kT

εF

)2

+ . . .

](8.30)

Nó cho thấy ngay tại nhiệt độ T = 0 áp suất của khí Fermi lên thành bình là khác 0. Đâychính là một biểu hiện của nguyên lý loại trừ Fermi.

106

Hình 8.3: Giản đồ Russell-Hertzprung.

8.2 Lý thuyết về sao lùn trắng

Thông thường độ sáng của các vì sao tỷ lệ với màu của chúng. Kết quả thực nghiệm cho thấyphần lớn các vì sao tuân theo quy luật này (dòng chính trong giản đồ Russell-Hertzprung).Tuy vậy tồn tại các vì sao nằm ngoài quy luật thông thường. Đó là các sao đỏ khổng lồ (redgiants) và các sao lùn trắng (white dwarfs).

Các nghiên cứu cho thấy sao lùn trắng có độ sáng thấp là bởi vì chúng đã sử dụng hếtnhiên liệu hydro, nguồn năng lượng chính của các vì sao, và được cấu tạo chủ yếu bởi heli.Nguồn sáng yếu ớt của chúng phát sinh từ năng lượng hấp dẫn được giải thoát trong quátrình thu nhỏ kích thước của vì sao.

Có thể xây dựng lý thuyết về sao lùn trắng với mô hình khí Fermi lý tưởng. Với khốilượng M cỡ bằng khối lượng mặt trời, sao lùn trắng là một khối khí heli với nhiệt độ cực

cao (∼ 107K) và áp suất cực lớn. Ở nhiệt độ 107 K các nguyên tử heli bị ion hóa hoàn toàn,và do vậy có thể coi vì sao là một khối khí tạo bởi các hạt nhân heli và các điện tử. Có thểcoi khí điện tử trong sao lùn trắng là khí Fermi lý tưởng với mật độ cỡ 1030 điện tử/cm3.Mật độ này ứng với năng lượng Fermi

εF ≈h̄2

2m

1

v2/3≈ 20MeV

và nhiệt độ Fermi

TF ≈ 1011K.

Do nhiệt độ Fermi lớn hơn rất nhiều so với nhiệt độ của vì sao, khí điện tử là khí Fermi bị

suy biến mạnh, và có thể coi là khí Fermi lý tưởng ở trạng thái cơ bản. Áp suất khổng lồcủa khí Fermi ở trạng thái cơ bản (do nguyên lý loại trừ Pauli) cân bằng với lực hấp dẫngiữa các hạt nhân heli. Gọi P0 là áp suất của khí Fermi và R là bán kính của vì sao. Ta có:∫ R

∞P04πr2dr = −αγM

2

R, (8.31)

107

Hình 8.4: Sự phụ thuộc của bán kính vào khối lượng của sao lùn trắng.

trong đó vế trái là công để nén khối khí với khối lượng M từ trạng thái vô cùng loãng vềtrạng thái có bán kính R, vế phải là năng lượng hấp dẫn với γ là hằng số hấp dẫn và α là

một hệ số với độ lớn cỡ bằng 1. Ở nhiệt độ cao cần xét tới hiệu ứng tương đối tính của khíelectron khi tính áp suất P0.

Kết quả của mô hình cho thấy sự phụ thuộc của bán kính sao lùn trắng vào khối lượngcủa nó như hình vẽ. Sao lùn trắng chỉ tồn tại nếu M < M0. Các tính toán cụ thể hơn củaChandrasekhar cho kết quả:

M0 = 1.4M�, (8.32)

trong đó M� là khối lượng của mặt trời. Khối lượng này được gọi là giới hạn Chandrasekharvà đã được kiểm chứng bởi các quan sát thiên văn. Khi M > M0, sao lùn sẽ bị suy sụp dolực hấp dẫn, và khi mật độ vật chất quá cao vì sao có thể bị nổ tung (vụ nổ supernova).

8.3 Tính nghịch từ Landau

Tính chất từ của vật liệu chủ yếu là do các điện tử trong vật liệu (liên kết với nguyên tửhoặc linh động). Hạt nhân của các nguyên tử đóng góp không đáng kể do khối lượng củachúng lớn hơn nhiều lần khối lượng của điện tử và moment từ của chúng cũng chỉ bằng cỡ10−3 moment từ của điện tử.

Đối với điện tử trong từ trường ngoài, có 2 hiệu ứng quan trọng liên quan tới tính chấttừ của vật liệu: (a) Các quỹ đạo của điện tử bị lượng tử hóa trong từ trường và momenttừ sinh ra bởi chuyển động của điện tử có hướng ngược với hướng của từ trường ngoài, (b)Spin của các điện tử có xu hướng xếp song song với phương của từ trường và cùng hướngvới từ trường. Hiệu ứng thứ nhất dẫn tới tính chất nghịch từ. Hiệu ứng thứ 2 liên quan tớitính chất thuận từ của vật liệu.

Trong mục này chúng ta tạm bỏ qua tính chất thuận từ và chỉ quan tâm tới tính nghịchtừ của vật liệu. Ta giả sử các điện tử là hoàn toàn tự do và không có spin. Như vậy vấn đề

108

được đưa về bài toán khí điện tử tự do trong từ trường ngoài.

Độ từ cảm của một chất được định nghĩa bởi:

χ ≡ ∂M

∂H, (8.33)

trong đó H là từ trường ngoài, M là cảm ứng từ trên một đơn vị thể tích. Ta có:

M =1

V

⟨−∂H∂H

⟩(8.34)

với H là Hamiltonian của hệ với sự có mặt của từ trường ngoài. Một hệ được gọi là nghịchtừ nếu χ < 0, thuận từ nếu χ > 0. Trong tập hợp chính tắc ta có thể tính M theo công thức

M = kT∂

∂H

lnQN

V. (8.35)

Trong tập hợp chính tắc lớn ta có

M = kT∂

∂H

lnZ

V, (8.36)

sau khi khử z ta thu được M .

8.3.1 Các mức năng lượng Landau

Landau đã chỉ ra rằng trong từ trường ngoài quỹ đạo chuyển động của điện tử bị lượng tửhóa và phổ năng lượng của chúng trở nên rời rạc. Hamilton của điện tử trong từ trường chobởi:

H =1

2m

(p̂ +

e

cA)2

, (8.37)

trong đó e là điện tích của điện tử với dấu dương, A là thế vector (H = ∇ ×A). Phươngtrình Schrodinger là bất biến đối với phép biến đổi gauge:

A(r) → A(r)−∇ω(r) (8.38)

ψ(r) → exp

[− ieh̄cω(r)

]ψ(r) (8.39)

trong đó ω(r) là hàm vô hướng bất kỳ. Giả sử H theo phương z, ta có thể chọn một phépbiến đổi gauge sao cho:

Ax = −Hy, Ay = Az = 0 (8.40)

Hamiltonian trở thành:

H =1

2m

{[p̂x − (eH/c)y]2 + p̂2

y + p̂2z

}(8.41)

Giả sử hàm sóng có dạng:ψ(x, y, z) = ei(kxx+kzz)f(y) (8.42)

109

Hình 8.5: Phổ năng lượng của điện tử trong trường không có từ trường ngoài và có từ trườngngoài.

suy ra f(y) thỏa mãn phương trình cho dao động tử điều hòa:[1

2mp̂2y +

1

2mω2

0(y − y0)2

]f(y) = ε′f(y) (8.43)

ω0 = eH/mc, y0 = (h̄c/eH)kx ε′ = ε− h̄2k2z/2m (8.44)

Tần số dao động ω0 được gọi là “tần số cyclotron”, là tần số ứng với chuyển động của mộtđiện tích cổ điển theo quỹ đạo tròn trong mặt phẳng vuông góc với phương của từ trường.Năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa và bằng

ε(pz, j) =p2z

2m+ h̄ω0

(j +

1

2

), (j = 0, 1, 2, . . .) (8.45)

với pz = h̄kz. Đây là các mức năng lượng Landau.

Ta có:

0 ≤ y0 =h̄c

eHkx ≤ L, kx =

2πnxL

, nx = 0,±1,±2, . . . (8.46)

Từ phương trình trên ta thấy nx phải là số nguyên dương và có giá trị cực đại cho bởi

g =eH

hcL2. (8.47)

g chính là độ suy biến của các mức năng lượng Landau.

Có thể xem xét chuyển động của điện tử trong từ trường với việc lượng tử hóa từ thông(từ thông phải là số nguyên lần của φ0 = hc/e) và hiệu ứng Aharonov-Bohm (xem sách).Quỹ đạo của điện tử bị lượng tử hóa và hàm sóng của điện tử có thể có dạng mạng vortex.Moment từ của quỹ đạo nhỏ nhất chính bằng magneton Bohr µB = eh̄/2mc.

8.3.2 Độ từ cảm

Khi đã xác định được các trạng thái lượng tử của hệ (các mức năng lượng và độ suy biến)ta có thể tính toán tính chất vĩ mô của hệ sử dụng cơ học thống kê. Ta xét hàm phân hoạch

110

lớn:Z =

∏λ

(1 + ze−βελ) λ = {pz, j, α} α = 1, 2, . . . , g (8.48)

lnZ =

g∑α=1

∞∑j=0

∑pz

ln[1 + ze−βε(pz ,j)] (8.49)

=2gL

h

∞∑j=0

∫ ∞0

dp ln[1 + ze−βε(p,j)] (8.50)

Số điện tử trung bình bằng:

N = z∂

∂zlnZ =

2gL

h

∞∑j=0

∫ ∞0

dp1

z−1eβε(p,j) + 1(8.51)

Thực hiện các gần đúng, ta thu được:

lnZ ≈ zV

λ3

[1− 1

24

(h̄ω0

kT

)2]

(8.52)

với λ =√

2πh̄2/mkT và ω0 = eHmc

.

M = kT∂

∂H

lnZ

V≈ − z

12kTλ3

(eh̄

mc

)2

H . (8.53)

Suy ra:

χ =∂M

∂H≈ − z

3kTλ3

(eh̄

2mc

)2

(8.54)

Tại nhiệt độ thấp ta có z � 1. Từ p.t. (8.51) ta có gần đúng:

N

V≈ z

λ3⇒ z ≈ λ3

v. (8.55)

Suy ra:

χ ≈ − 1

3kTv

(eh̄

2mc

)2

. (8.56)

Có thể thấy tính nghịch từ tuân theo định luật Curie χ ∼ −1/T .

8.4 Tính thuận từ Pauli

Hamiltonian đầy đủ của một điện tử phi tương đối tính trong từ trường ngoài cho bởi:

H =1

2m

(p̂ +

e

cA)2

− µ0 σ̂ ·H, (8.57)

111

trong đó µ0 = eh̄/2mc và σ̂ là ma trận Pauli. Giả sử ta bỏ qua tính nghịch từ và chỉ xéttính chất thuận từ bằng cách xét Hamiltonian sau:

H =p̂2

2m− µ0 σ̂ ·H. (8.58)

Các trị riêng của σ̂ ·H bằng sH với s = ±1. Các mức năng lượng của một điện tử cho bởi:

εp,s =p2

2m− sµ0H. (8.59)

Năng lượng của hệ N điện tử:

En =∑p

∑s

εp,snp,s (8.60)

np,s = 0, 1∑s

∑p

np,s = N (8.61)

Đặt:np,+1 ≡ n+

p np,−1 ≡ n−p (8.62)∑p

np,+1 = N+

∑p

np,−1 = N− = N −N+ (8.63)

Suy ra:

En =∑p

(n+p + n−p )

p2

2m− µ0H(N+ −N−). (8.64)

Xét hàm phân hoạch:

QN =∑

{n+p },{n−p }

e−βEn (8.65)

Trong trường hợp khí Fermi không có spin:

Q(0)N =

∑∑np=N

exp

(−β∑p

p2

2mnp

)≡ e−βA(N) (8.66)

Suy ra:

QN = e−βµ0HN

N∑N+=0

e2βµ0HN+Q(0)N−Q

(0)N+

(8.67)

Ta chỉ xét số hạng đóng góp lớn nhất vào tổng thống kê ứng với N+ = N+:

QN =N∑

N+=0

eβNf(N+) ≈ eβNf(N+) (8.68)

trong đó:

f(N+) = max[f(N+)] (8.69)

f(N+) ≡ µ0H

(2N+

N− 1

)− 1

N[A(N+) + A(N −N+)]. (8.70)

112

Hình 8.6: Tính thuận từ Pauli.

Gọi kTν(N) là thế hóa của khí Fermi lý tưởng không có spin:

kTν(N) =∂A(N)

∂N. (8.71)

Suy ra phương trình cho N+:

kT [ν(N+)− ν(N −N+)] = 2µ0H. (8.72)

Chú ý rằng cảm ứng từ trên một đơn vị thể tích và độ từ cảm cho bởi:

M =µ0(2N+ −N)

Vχ ≡ ∂M

∂H(8.73)

Năng lượng Fermi của hệ:

εF (N) ≡(

2π2N

V

)2/3h̄2

2m. (8.74)

Xét 2 trường hợp nhiệt độ thấp và nhiệt độ cao.

Nhiệt độ thấp kT � εF :

kTν(N) = εF (2N)

{1− π2

12

[kT

εF (2N)

]2

+ . . .

}(8.75)

N+ ≈N

2

(1 +

3µ0H

2εF

)(8.76)

χ ≈ 3µ20H

2εFv

[1− π2

12

(kT

εF

)2]

(8.77)

113

Hình 8.7: Cảm ứng từ tự phát của khí Fermi không lý tưởng với tương tác đẩy giữa các điệntử.

Nhiệt độ cao kT � εF :

ν(N) ≈ ln

(Nλ3

V

). (8.78)

χ ≈ µ20

kTv. (8.79)

8.5 Tính chất từ của khí Fermi không lý tưởng

Tương tác giữa các điện tử ảnh hưởng như thế nào tới các tính chất từ? Một cách định tínhcó thể chỉ ra rằng tương tác đẩy giữa các điện tử làm tăng tính chất nghịch từ của hệ, vì khiđó hàm sóng của 2 điện tử sẽ có xu hướng phản đối xứng trong không gian để giảm thiểunăng lượng đẩy. Hàm sóng phản đối xứng yêu cầu hàm sóng spin phải là đối xứng. Như vậytương tác đẩy có xu hướng làm spin của các điện tử hướng song song và cùng chiều nhau.

Giả sử tương tác đẩy có thể được mô tả thông qua 1 tham số duy nhất, a, là độ dài tánxạ của điện tử. Chúng ta vẫn sử dụng mô hình cũ và thêm năng lương đẩy. Năng lượng củahệ N điện tử:

En =∑p

(n+p + n−p )

p2

2m+

4πah̄2

mVN+N− − µ0H(N+ −N−). (8.80)

kF |a| � 1 k2F = (3π2n)2/3 (8.81)

Có thể chỉ ra rằng (xem sách) tương tác đẩy dẫn đến hiện tượng cảm ứng từ tự phát,tức là cảm ứng từ M của hệ là khác 0 khi T < Tc với Tc là nhiệt độ Curie:

kTcεF

=2

π√

3

√2

πkFa− 1 (8.82)

114

8.6 Điện tử trong chất rắn

8.6.1 Cấu trúc vùng điện tử

Hình 8.8: Năng lượng của điện tử phụ thuộc vào xung lượng theo các hệ thức tán sắc(dispersion relation), hay còn gọi là cấu trúc vùng (band structure). Các khe năng lượngxuất hiện do đối xứng tinh thể với a là hằng số mạng. Hình trái: cấu trúc vùng trong khônggian xung lượng toàn phần. Hình phải: cấu trúc vùng trong không gian xung lượng rút gọn.

Hình 8.9: Vùng dẫn, vùng hóa trị và mức Fermi (µ) trong kim loại, bán dẫn và chất điệnmôi.

Sự phụ thuộc của năng lượng vào số sóng (hay xung lượng) của điện tử được gọi là hệthức tán sắc. Đối với điện tử tự do:

εfree =h̄2k2

2m. (8.83)

Trong tinh thể, do tính đối xứng của hàm sóng, hệ thức tán sắc của điện tử bị thay đổi vàkhác so với điện tử tự do. Có thể tồn tại các vùng năng lượng bị cấm và các vùng năng

115

lượng không bị cấm. Vùng năng lượng không bị cấm có thể là vùng dẫn (điện tử không bịliên kết với nguyên tủa) hoặc vùng hóa trị (điện tử bị liên kết với nguyên tử). Giữa 2 vùngnày có thể có hoặc không có khe năng lượng. Tùy thuộc vào sự tồn tại và độ rộng của khenăng lượng mà vật liệu có tính chất kim loại, bán dẫn hoặc điện môi. Mức Fermi là mứcnăng lượng của thế hóa học µ. Tại T = 0, µ có giá trị bằng năng lượng Fermi εF .

8.6.2 Điện tử và lỗ trống

Sự vắng mặt của điện tử tại một mức năng lượng ε và xung lượng p tương đương với việcxuất hiện một lỗ trống với năng lượng bằng −ε, xung lượng −p và điện tích −e. Do số lấpđầy của điện tử tuân theo phân bố Fermi-Dirac và bằng:

np =1

eβ(ε−µ) + 1(8.84)

Suy ra số lấp đầy của lỗ trống bằng:

1− np =1

eβ(µ−ε) + 1(8.85)

Cặp điện tử - lỗ trống có thể coi là cặp hạt và phản hạt.

Khi điện tử ở vùng hóa trị (valence band) bị kích thích và nhảy lên vùng dẫn (conductionband) thì xuất hiện lỗ trống tại vùng hóa trị.

Hình 8.10: Vùng dẫn, vùng hóa trị và khe năng lượng trong bán dẫn.

Năng lượng của điện tử (εc) và lỗ trống (εv) bằng:

εc = ε0 + ∆ +p2

2m∗cεv = ε0 −

p2

2m∗v(8.86)

với m∗c và m∗v là khối lượng hiệu dụng của điện tử ở vùng dẫn và vùng hóa trị.

Mật độ điện tử và lỗ trống:

nelec = 2

∫d3p

h3

1

eβ(εc−µ) + 1(8.87)

116

nhole = 2

∫d3p

h3

1

eβ(µ−εv) + 1(8.88)

Giả sử β(εc − µ)� 1 và β(µ− εv)� 1, ta có:

nelec ≈ 2

∫d3p

h3e−β(εc−µ) = 2e−β(ε0+∆−µ)

(m∗ckT

2πh̄2

)3/2

(8.89)

nhole ≈ 2

∫d3p

h3e−β(µ−εv) = 2e−β(µ−ε0)

(m∗vkT

2πh̄2

)3/2

(8.90)

Điều kiện cân bằng điện tíchnelec = nhole (8.91)

Suy ra:

µ = ε0 +∆

2+

3

4kT ln

m∗cm∗v

. (8.92)

Với T = 0, ta có µ = ε0 + ∆2, tức là mức Fermi nằm chính giữa khe năng lượng. Điều này

cũng đúng khi β∆� 1. Khi đó ta có:

nelec = nhole = 2e−β∆/2

(√m∗cm

∗vkT

2πh̄2

)3/2

. (8.93)

Thông thường đối với bán dẫn, ∆/k = 0.7 eV, mc = mv = m, T = 300 K, ta có nelec ≈1.6× 1013 cm−3. Mật độ điện tử này nhỏ hơn rất nhiều so với mật độ điện tử trong kim loại(cỡ 1020 cm−3). Do vậy độ dẫn của bán dẫn lý tưởng là không đáng kể.

8.6.3 Pha tạp trong bán dẫn

Trong bán dẫn thông thường luôn tồn tại các pha tạp (bao gồm cả sai hỏng trên mạng tinhthể). Các pha tạp này có thể bắt giữ điện tử, tạo ra các trạng thái liên kết của điện tử. Cácpha tạp có thể là nguồn cung cấp điện tử hoặc nguồn thu điện tử trong bán dẫn. Tùy thuộcvào loại pha tạp mà bán dẫn được chia thành 2 loại:

Bán dẫn loại n (n là viết tắt của negative): các mức năng lượng của pha tạp nằm ở phầntrên của vùng cấm, gần với vùng dẫn (δ � ∆). Các mức năng lượng này được lấp đầy bởiđiện tử tại T = 0. Khi nhiệt độ tăng, điện tử có thể bị kích thích nhảy lên vùng dẫn. Dovậy, các mức năng lượng này gọi là các mức donor.

Bán dẫn loại p (viết tắt của positive): các mức năng lượng pha tạp nằm ở phần dưới củavùng cấm, gần với vùng hóa trị (δ′ � ∆). Các mức năng lượng này có thể nhận điện tử bịkích thích từ vùng hóa trị và tạo ra lỗ trống. Do vậy, các mức năng lượng này gọi là các mứcacceptor.

Trong trường hợp pha tạp loại n, gọi số trạng thái liên kết của các pha tạp trên một đơnvị thể tích là nD. Mật độ điện tử tại các mức donor được cho bởi:

ndonor =2nD

e−β(δ+µ) + 1(8.94)

117

Hình 8.11: Các mức năng lượng pha tạp trong bán dẫn loại n và loại p.

trong đó số 2 thể hiện 2 trạng thái spin. Mặt khác, mật độ điện tử ở vùng dẫn bằng

nelec =2z

λ3λ =

√2πh̄2

m∗ckTz = eβµ (8.95)

Do các điện tử ở vùng dẫn hoàn toàn được cung cấp bởi các donor nên ta có:

nelec + ndonor = 2nD (8.96)

2z

λ3+

2nDe−β(δ+µ) + 1

= 2nD (8.97)

eβδz2 + z − nDλ3 = 0 (8.98)

z =1

2e−βδ(

√4nDλ3 + 1− 1) (8.99)

Suy ra:

nelec =e−βδ

λ3(√

4nDλ3 + 1− 1) . (8.100)

Có thể chỉ ra rằng ở nhiệt độ thấp, mật độ điện tử tăng theo nhiệt độ theo hệ thức nelec ∼T 3/4e−δ/kT . Mật độ điện tử tiệm cận về 2nD ở nhiệt độ cao.

Tương tự đối với pha tạp loại p, mật độ lỗ trống cho bởi:

nhole =e−βδ

′

λ3(√

4nAλ3 + 1− 1) . (8.101)

Bằng việc kiểm soát mật độ pha tạp loại n hoặc loại p, người ta có thể kiểm soát mật độcác điện tích dẫn (điện tử hoặc lỗ trống) trong vật liệu.

118

Bài tập

8.1 Chứng minh rằng năng lượng tự do Helmholtz của khí Fermi lý tưởng ở nhiệt độ thấpcho bởi:

A

N=

3

5εF

[1− 5π2

12

(kT

εF

)2

+ . . .

].

8.2 Một hệ các nucleon tự do bị giam cầm trong hộp có thể tích V . Năng lượng của mộtnucleon với xung lượng p bằng

εp =p2

2m+mc2

với mc2 = 1000 MeV.

(a) Giả sử số nucleon là không bảo toàn, tính hàm phân hoạch của hệ tại nhiệt độ T vớithống kê Fermi.

(b) Tính mật độ năng lượng trung bình.

(c) Tính mật độ hạt trung bình.

(d) Thảo luận sự cần thiết của định luật bảo toàn số hạt nucleon.

8.3 Một hình trụ được chia thành 2 ngăn bởi một piston dịch chuyển tự do. Hai khí Fermilý tưởng nằm ở hai ngăn được đánh số 1 và 2. Các hạt ở ngăn 1 có spin 1/2, các hạt ở ngăn2 có spin 3/2. Tất cả các hạt có cùng khối lượng. Tìm tỷ lệ mật độ hạt của hai khí tại T = 0và T →∞.

8.4 Một hạt nhân nguyên tử nặng với khối lượng A được mô hình hóa như là một khíFermi với số neutron và proton bằng nhau, được giam cầm trong một hình cầu với bán kínhR = r0A

1/3, trong đó r0 = 1.4 × 10−13 cm. Tính năng lượng Fermi của hệ và năng lượngtrung bình trên một nucleon.

8.5 Một khí lý tưởng gồm các nguyên tử phi tương đối tính có mật độ n, khối lượng m, spin12và moment từ µ. Các nguyên tử với spin hướng lên và hướng xuống tạo thành 2 khí độc

lập.

(a) Tại từ trường H = 0, các nguyên tử chiếm tất cả các mức năng lượng dưới mức nănglượng Fermi εF (H). Tìm số nguyên tử N± có spin hướng lên (+) và hướng xuống (−). Gợiý: Năng lượng của một nguyên tử bằng (p2/2m)∓ µH.

(b) Tìm từ trường H nhỏ nhất có thể làm phân cực khí hoàn toàn, là hàm của mật độ n.

8.6 Một khí Fermi gồm N điện tử không có spin và có khối lượng m. Ngoài các trạng tháitự do, mỗi điện tử còn có N trạng thái liên kết với năng lượng −ε.

(a) Tìm số điện tử trung bình ở trạng thái liên kết, Nb, và ở trạng thái tự do, Nf .

(b) Tìm điều kiện để xác định z = eβµ.

(c) Tìm z làm hàm của nhiệt độ và mật độ hạt, giả sử rằng z � 1. Tại nhiệt độ nào thìđiều kiện này đúng?

(d) Tìm mật độ điện tử tự do tại các giới hạn nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp.

119

8.7 Cho một khí Fermi 2 chiều (2D) gồm N điện tử có spin 12, giam cầm trong một hộp có

diện tích A.

(a) Tìm mật độ các trạng thái một điện tử trong không gian xung lượng.

(b) Tìm mật độ các trạng thái theo năng lượng D(ε) và thử vẽ đồ thị.

(c) Tìm năng lượng Fermi và xung lượng Fermi.

120