Chuỗi Fourier

Tóm tắt lý thuyết

Các ví dụ

Bài tập tự giải

Tóm tắt lý thuyết

Chuỗi hàm dạng

được gọi là chuỗi lượng giác. Các hằng số  được gọi là các hệ số của chuỗi. 

Nếu chuỗi lượng giác hội tụ trên một đoạn có độ dài  thì nó hội tụ tại mọi điểm trên trục số và tổng chuỗi

 là hàm  tuần hoàn chu kì  

Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đều tới tổng  trên đoạn  thì tổng  là hàm số liên tục trên  và các hệ số của chuỗi thỏa mãn hệ thức Euler

Các hệ số  xác định theo công thức Euler được gọi là các hệ số Fourier của hàm f.

Nếu  là hàm tuần hoàn chu kỳ  sao cho các hệ số Fourier tồn tại thì chuỗi lượng giác

với  là các hệ số Fourier được gọi là chuỗi Fourier của hàm  

Chú ý rằng, nếu  là hàm chẵn thì các hệ số  với mọi  và nếu  là hàm lẻ thì các hệ số

 với mọi .

Trong trường hợp thứ nhất,  là hàm chẵn, chuỗi Fourier của hàm  có dạng

Trong trường hợp thứ hai,  là hàm lẻ, chuỗi Fourier của hàm  có dạng

Chuỗi Fourier của hàm  có thể hội tụ hay phân kỳ và trong trường hợp hội tụ thì tổng chuỗi có thể không

phải là hàm Vậy khi nào chuỗi Fourier của hàm  hội tụ tới chính hàm  Định lý Dirichlet sẽ trả lời cho câu hỏi này.

Định lý 35 (Dirichlet). Giả sử  là hàm tuần hoàn với chu kì , bị chặn trên  Nếu hàm

 đơn điệu từng khúc trên , nghĩa là tồn tại một phép chia đoạn

sao cho  đơn điệu trên mỗi khoảng  thì chuỗi Fourier của hàm  hội tụ trên  

Hơn nữa,

Nếu  là điểm liên tục của  thì

Khai triển Fourier trong đoạn có độ dài

Giả sử  là hàm số xác định trên đoạn có độ dài  chẳng hạn là đoạn  thỏa mãn các điều kiện

của định lý Dirichlet. Khi đó, hàm  xác định như sau:

 khi  và  với mọi

là hàm tuần hoàn chu kỳ  thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet. Hàm  được gọi là một thác

triển tuần hoàn của hàm f. Lập chuỗi Fourier của hàm

với các hệ số Fourier

Theo định lý Dirichlet,

Do đó

Tại

Khai triển chẵn

Giả sử  là hàm số xác định trên đoạn  thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet. Đặt

 khi  và  khi

Khi đó  là hàm chẵn xác định trên đoạn  Hàm  được gọi là thác triển chẵn của hàm f. Bước tiếp

theo là thác triển tuần hoàn hàm  ta được hàm tuần hoàn chu kỳ  là  Hàm  là hàm chẵn, khai triển Fourier của nó có dạng

với các hệ số Fourier

Theo định lý Dirichlet,

Do đó

Khai triển này được gọi là khai triển chẵn của hàm  trong khoảng Khi thác triển chẵn, hàm  

liên tục tại  và  nên

Khai triển lẻ

Giả sử  là hàm số xác định trên đoạn  thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet. Đặt

 khi  khi

Khi đó  là hàm lẻ xác định trên đoạn  Hàm  được gọi là thác triển lẻ của hàm f. Bước tiếp theo là

thác triển tuần hoàn hàm  ta được hàm tuần hoàn chu kỳ  là  Hàm  là hàm lẻ, khai triển Fourier của nó có dạng

 với các hệ số Fourier

Theo định lý Dirichlet,

Do đó

Khai triển này được gọi là khai triển lẻ của hàm  trong khoảng Khai triển Fourier trong đoạn có độ dài 2l.

Giả sử  là hàm số xác định trên đoạn có độ dài 2l, chẳng hạn là đoạn  thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet. Khi đó, hàm

xác định trên đoạn  và cũng thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet trên đoạn . Do đó

Hay

Các hệ số Fourier trong khai triển này  (sử dụng phép biến đổi )

[ Mục lục ]

Các ví dụ

80. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm  tuần hoàn với chu kì  xác định bởi công thức

Từ đó tính tổng chuỗi số

Hướng dẫn.

Các hệ số Fourier của hàm  được tính theo công thức Euler

   

                                 

                            

                                 

                                 

Vậy chuỗi Fourier của hàm  là

Theo định lí Dirichlet,

Vì hàm  liên tục tại các điểm  cho nên

Tại các điểm , tổng của chuỗi  Fourier của hàm  bằng

Đặc biệt, tại  ta có

Vậy

81. Khai triển thành chuỗi  Fourier  hàm  tuần hoàn với chu kì  xác định bởi công thức

Từ đó chứng minh rằng

Hướng dẫn. Hàm  là hàm chẵn, liên tục trên , các hệ số Fourier  Các hệ số còn lại được tính theo công thức Euler

                            

Vậy chuỗi Fourier của hàm  là

Hàm  liên tục trên toàn trục số, theo định lí Dirichlet,

Tại

Vậy

Chú ý: Nếu thay  thì

82. Khai triển thành chuỗi  Fourier  hàm  tuần hoàn với chu kì  xác định bởi công thức

.

Hướng dẫn. Hàm  liên tục tại mọi điểm  Ta có

                            

                            

 Vậy chuỗi Fourier của hàm  là

 Hàm  liên tục tại mọi điểm  theo định lý Dirichlet,

Tại các điểm  tổng chuỗi Fourier của hàm  bằng

Chú ý: Tại

Do đó ta tính được tổng

83. Khai triển thành chuỗi  Fourier  trên đoạn  hàm số

Hướng dẫn. Theo công thức Euler

Vậy chuỗi Fourier của hàm   (thực ra là của thác triển tuần hoàn với chu kỳ  của ) là

Theo định lý Dirichlet,

Chú ý: Tại  

Do đó ta tính được tổng

84. Tìm khai triển chẵn và khai triển lẻ trên đoạn  của hàm số

Hướng dẫn. Thác triển lẻ của hàm số  là

Theo ví dụ 83,

Vậy khai triển lẻ của  trên khoảng  là

Thác triển chẵn của hàm số  là hàm

Theo công thức Euler

                            

   

Vì hàm tuần hoàn với chu kỳ  thác triển tuần hoàn của  là hàm liên tục trên toàn trục số, cho nên

Vậy khai triển chẵn của hàm số  trên đoạn  là

Chú ý: Tại ,

Do đó ta có

85. Khai triển thành chuỗi  Fourier  trên khoảng  hàm số

Hướng dẫn. Vì  là hàm lẻ nên  với mọi n. Các hệ số Fourier còn lại

 Vậy chuỗi Fourier của hàm    (thực ra là của thác triển tuần hoàn với chu kỳ  của ) là

 Theo định lý Dirichlet,

[ Mục lục ]

Bài tập tự giải

86. Khai triển Fourier hàm số tuần hoàn với chu kỳ  xác định bởi công thức

87. Cho hàm số  Tìm các hệ số Fourier của hàm  và lập chuỗi Fourier của nó. Hàm

 có khai triển được thành chuỗi Fourier trên  không?88. Cho hàm số

(a) Khai triển  thành chuỗi Fourier. Chứng minh rằng chuỗi Fourier của  hội tụ đều trên  tới (b) Tính tổng

89. Khai triển hàm  thành chuỗi Fourier trên đoạn

90. Khai triển hàm  trên khoảng  thành chuỗi lượng giác

(a) chỉ chứa

(b) chỉ chứa

(c) chứa cả  và .

1. Chứng minh rằng các chuỗi sau hội tụ và tính tổng của các chuỗi

(a)   

(b) 

2. Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi

(a)                      (b)   

(c)                       (d)   

(e)                                  (f)   

(g)                              (h)   

          (i)                                   (k)  3. Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi        

(a)                          (b)   

(c)                  (d)   4. Xét sự hội tụ của các chuỗi

(a)                       (b) 

(c)                                  (d)    

(e)                             (f)  5. Xét sự hội tụ của  chuỗi

6. Xét sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ hoặc phân kì của các chuỗi

(a)                               (b)  7. Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi

8. Xét sự hội tụ đều của các dãy hàm

(a) trên

(b) trên

(c) trên

(d) trên 9. Chứng minh rằng

10. Chứng minh rằng chuỗi hàm  hội tụ đều trên  nhưng không hội tụ đều trên khoảng

11. Chứng minh rằng chuỗi  hội tụ đều trên  và chuỗi  không hội tụ đều trên khoảng đó.

12. Chứng minh rằng nếu chuỗi số  hội tụ thì chuỗi hàm

hội tụ đều trên khoảng 13. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Tổng của chuỗi có liên tục, khả vi trên miền hội tụ của chuỗi không?14. Tìm miền hội tụ của các chuỗi

(a)                            (b)  15. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa

(a)                           (b) 

(c)                  (d)   

(e)                           (f)   16. Tìm miền hội tụ của các chuỗi

(a)                        (b)   

(c)                               (d)    

(e)               (f) 

17. Chứng minh rằng với

18. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi

19. Tìm miền hội tụ và tính tổng của các chuỗi

(a)                               (b)   

(c)                 (d)   20. Khai triển các hàm sau thành chuỗi MacLaurin

(a)             (b) 

(c)                               (d)  

(e)               (f)  21. Sử dụng khai triển hàm thành chuỗi, hãy tính gần đúng

(a)  với độ chính xác

(b) với độ chính xác

22. Khai triển Fourier hàm  theo các hàm sin trên đoạn .

23. Khai triển Fourier hàm  theo các cosin trên đoạn .

24. Khai triển Fourier hàm  theo cả sin và cosin trên đoạn .

25. Khai triển Fourier hàm  theo cả sin và cosin trên đoạn .26. áp dụng khai triển Fourier  các hàm thích hợp để tính tổng các chuỗi số

(a)                                  (b)  .