chuong 5 ch.v- angular momentum

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ MOMENT ĐỘNG LƯỢNG

CHƯƠNG V

MOMENT ĐỘNG LƯỢNG

1. Moment động lượng cổ điển

Trong cơ học cổ điển, moment động lượng của hệ vật lý đo mức độ định hướng của xung lượng quanh một điểm gốc cho trước. Nó là một vectơ, xác định thông qua xung lượng và toạ độ:

= ×∑ a aa

L r p 5.1

Xét về mặt lý thuyết đối xứng, moment động lượng diễn tả cách ứng xử của một hệ vật lý đối với phép quay hê trục tọa độ. Nếu đối với hệ vật lý, không gian là đối xứng thì moment động lượng của hệ sẽ bảo toàn. Nếu moment động lượng không bảo toàn, hệ vật lý sẽ có cấu hình không gian bất đối xứng.

Trước hết, ta có thể thấy điều đó qua một số trường hợp riêng. Thực vậy, sử dụng hệ phương trình Hamilton, đạo hàm toàn phần theo thời gian của moment động lượng sẽ có dạng:

⎛ ⎞∂ ∂= × + × = × − ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∑ ∑( )a a a a a a

a a a a

dL H Hr p r p p rdt p r

Xét hai trường hợp cụ thể sau đây: a. Hệ kín, tức là hệ không tương tác với trường ngoài. 1. Một hạt tự do cũng có thể coi là hệ kín. Do Hamiltonian chỉ có phần

động năng:

=2

2pHm

cho nên: ∂ ∂

= =∂ ∂

, 0H p Hp m r

từ đó suy ra, đạo hàm toàn phần theo thời gian của moment động lượng bằng không, nghĩa là, moment động lượng là bảo toàn.

Điều này cũng đúng cho một hệ nhiều hạt tự do không tương tác với nhau.

2. Xét hệ kín gồm nhiều hạt tương tác với nhau. Nói chung, lực tương tác được giả thiết là chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai hạt. Lực hấp dẫn, lực tĩnh điện là những lực tương tác có tính chất như vậy. Do:

× = × =/ 0a a a ar p p p m Cho nên, đạo hàm toàn phần theo thời gian của moment cũng bằng không:

104


, ,

( ) ( )0a b a ba b a b

aa b a b

a b a b a b a b

U r r U r rdL r r r rrdt r r r r r r r r

∂ − ∂ −− ×= × = − =

∂ − − ∂ − −∑ ∑

bởi vì, tổng trên sẽ chứa từng cặp số hạng đôi một trái dấu nhau. Như vậy, moment động lượng của một hệ kín cũng bảo toàn. Đối với hệ

kín không gian là dẳng hướng. b. Hệ không kín, nhưng trường ngoài có những tính đối xứng nhất định. 1. Xét hệ trong trường ngoài có đối xứng trung tâm. Nếu chọn gốc toạ độ là tâm đối xứng, thế năng của trường chỉ phụ thuộc vào độ dài của vectơ bán kính. Ta có:

r

∂× = × =

∂( ) ( ) 0U r dU r rr rr dr r

Như vậy, nếu gốc toạ độ là tâm đối xứng, moment động lượng của hệ cũng bảo toàn. 2. Xét hệ trong trường ngoài đối xứng theo một trục nào đó, giả sử theo là trục Oz chẳng hạn. Khi đó, không phải tất cả các thành phần của moment động lượng đều bảo toàn. Tuy nhiên, ta vẫn có:

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= × = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

0za a a

a a az

dL U U Ur x ydt r y x

Như vậy, thành phần của moment theo trục đối xứng cũng bảo toàn. Qua những ví dụ trên, ta đã thấy rằng, khi hệ vật lý có cấu hình không

gian với những tính đối xứng nào đó, moment động lượng, hoặc một số thành phần của nó sẽ bảo toàn. Bây giờ ta sẽ chứng minh một mềnh đề tổng quát. Đó là:

Nếu không gian là đẳng hướng, vectơ moment động lượng sẽ bảo toàn. Thực vậy, do không gian là đẳng hướng, hệ vật lý sẽ không thay đổi khi

ta quay hệ trục toạ độ một cách góc tuỳ ý. Điều đó nghĩa là, Hamiltonian sẽ bất biến đối với phép quay hệ trục toạ độ. Xét một phép quay cực vi, nghĩa là góc quay có giá trị vô cùng bé. Nếu n là vectơ chỉ phương của trục quay còn δϕ là độ lớn của góc quay, ta có:

, n r r r rδϕ δϕ δ δϕ′= = − = − × 5.2Hamiltonian của hệ sẽ biến đổi thành:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , ,

, ,

H HH r p H r p H r p r pr p

dLH r p r p r p H r pdt

δϕ

δϕ δϕ

⎛ ⎞∂ ∂′ ′ ′→ = − × + ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

= + × + × = +

= 5.3

Như vậy, Hamiltonian bất biến sẽ kéo theo:

105


0dLdt

= 5.4

Nghĩa là, moment xung lượng bảo toàn. Trong lý thuyết nhóm, người ta chứng minh rằng, nếu mệnh đề trên

đúng cho phép quay cực vi, nó cũng sẽ đúng cho phép quay với góc hữu hạn. Trong cơ học lượng tử, moment động lượng sẽ tương ứng với toán tử

moment động lượng. Ta sẽ tìm toán tử moment động lượng bằng nguyên lý tương ứng, nghĩa là, toán tử này cũng sẽ liên quan đến sự biến đổi của toán tử Hamilton đối với phép quay hệ trục toạ độ.

Sau đây, để đơn giản, các toán tử sẽ được viết như những đại lượng cổ điển, tức là không có dấu mũ.

2. Vi tử sinh của nhóm quay

Tập hợp các phép quay xung quanh gốc tọa độ bảo toàn tính trực chuẩn của hệ trục làm thành một nhóm, ký hiệu là và được gọi là nhóm trực giao. Do không gian là Euclid, ta chỉ xét hệ cơ sở trực giao, cho nên, phép đổi hệ trục toạ độ cơ sở là phần tử của nhóm trực giao. Phép nhân nhóm được định nghĩa là phép quay liên tiếp.

(3)SO

Nếu { }, ,i j k là hệ trục tọa độ trực chuẩn, phép quay A sẽ biến chúng

thành { }, ,i j k′ ′ ′ . Khi đó, thành phần của một vectơ sẽ biến đổi theo ma trận 1A− . Để đơn giản, vectơ ở cơ sở r { }, ,i j k′ ′ ′ sẽ được ký hiệu là . Cách

viết này tuy không thỏa đáng, bởi vì, vectơ không phụ thuộc vào hệ cơ sở, chỉ thành phần của chúng mới phụ thuộc, tuy nhiên, cách viết này không gây nên sự lầm lẫn nào cả.

r′

Với phép quay (0,0, )A γ quanh trục một góc bằng Oz γ , các vectơ

cơ sở ( , biến đổi theo quy luật: , )i j k

( ) ( ) ( ) ( )cos sin 0

0,0, : , , sin cos 00 0

A i j k i j k i j k1

γ γγ γ γ

−⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′ ′→ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5.5

Như vậy, vectơ toạ độ sẽ biến đổi bằng ma trận ( )1 0,0,A γ− :

1

cos sin 0: sin cos

0 0 10

x xA r y

z zy

γ γγ γ−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜′→ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

5.6

106


Tương tự, các phép quay xung quanh trục , với góc bằng ,Ox Oy ,α β , ma trận biến đổi của vectơ toạ độ sẽ là:

( )

( )

1

1

1 0 0,0,0 0 cos sin ,

0 sin cos

cos 0 sin0, ,0 0 1 0

sin 0 cos

A

A

α αα α

α

β ββ

β β

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5.7

Một phần tử của nhóm sẽ phụ thuộc vào ba tham số. Ví dụ, chúng có thể là ba góc quay xung quanh ba trục, hay hai tham số xác định trục quay và một tham số xác định góc quay. Các yếu tố của ma trận nói trên là những hàm khả vi vô hạn đối với tham số, cho nên, nó được gọi là nhóm Lie. Do tính chất giải tích của nhóm Lie, ta chỉ cần xét các phép quay cực vi.

(3)SO

Nếu ký hiệu ba tham số bằng vectơ ( )iϕ ϕ= , và chọn ( )0,0,0 1A = , trong khai triển Taylor của A , ta chỉ cần giữ lại đến số hạng bậc nhất đối với tham số:

( ) 01 1i ii

AA iϕ iXδϕ δϕϕ =

⎛ ⎞∂= + = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

δϕ 5.8a

Các đại lượng:

0ii

AX i ϕϕ =⎛ ⎞∂

= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 5.8b

được gọi là các vi tử sinh của nhóm, bởi vì nếu biết chúng, theo (5.8a), mọi phép quay cực vi đều được xác định.

Có thể định nghĩa phép nhân sau đây giữa các vi tử sinh, gọi là phép nhân Lie:

( ) [ ], ,i k i k i k kX X X X X X X X→ = − i Phép nhân này phản giao hoán và không kết hợp. Tuy nhiên, nó thỏa mãn hệ thức sau đây, gọi là đồng nhất thức Jacobi:

[ ] [ ] [ ], , , , , ,i k l k l i l i kX X X X X X X X X⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0= 5.9Đối với mỗi nhóm Lie, ta đều có:

[ ],i k iklX X iC Xl= 5.10Các hằng số xác định hoàn toàn cấu trúc của nhóm Lie, cho nên, chúng được gọi là hằng số cấu trúc.

iklC

107


Nếu chọn tham số cho nhóm ( )3SO là ba góc quay xung quanh ba trục, vi tử sinh có thể xác định được thông qua ba ma trận như (5.5):

( )1 0

0 0 0,0,0 0 0 1

0 1 0iX A αα

α =

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟= − = ⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

5.11a

( )2 0

0 0 10, ,0 0 0 0

1 0 0iX A ββ

β =

−⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟= − = ⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

5.11b

( )3 0

0 1 00,0, 1 0 0

0 0 0iX A γγ

γ =

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

5.11c

Ta thấy rằng, trong trường hợp của nhóm quay , các vi tử sinh thoả mãn hệ thức giao hoán:

(3)SO

[ ], , i k ikl l ikl iklX X i X Cε ε= = 5.12trong đó, iklε được gọi là ký hiệu Ricci - Levi - Civita1.

Ký hiệu iklε về thực chất, là ký số hoán vị : (1,2,3) ( , , )P i j k→ :

( )1 pikl

σε = − Nó bằng 1, khi P là hoán vị chẵn, bằng 1− khi P là hoán vị lẻ và bằng không, khi có ít nhất một cặp chỉ số bằng nhau.

Có thể kiểm tra một cách trực tiếp rằng, ký hiệu Ricci - Levi - Civita thoả mãn các hệ thức sau đây:

δ δ δε ε δ δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

= = +

+ − − −

im in ip

ijk mnp jm jn jk im jn kp in jp km

km kn kp

ip jm kn im jp kn ip jn km in jm kp

+

ε ε δ δ δ δ= −ijk mnk im jn in jm

ε ε δ= 2ijk mjk im

5.13

Ký hiệu Ricci - Levi - Civita thường được dùng để diễn tả tích vô hướng và tích hỗn hợp:

1 Gregorio Ricci và học trò của ông là Tullio Levi – Civita là hai nhà hình học nổi tiếng người Italy, những công trình của họ đã giúp cho Einstein có công cụ để diễn đạt Lý thuyết tương đối tổng quát.

108


( ) ( ), ikl k l ikl k l l ki ia b a b a b a b a bε ε× = × = −

( ) ikl i k la b c a b cε× =

Như vậy, hằng số cấu trúc của nhóm quay chính là ký hiệu Ricci - Levi - Civita.

(3)SO

Các vi tử sinh không chỉ xác định phép quay cực vi, mà còn xác định cả phép quay với các góc hữu hạn. Ví dụ, với phép quay một góc bằng γ xung quanh trục , ma trận của nó có thể viết dưới dạng hàm mũ: Oz

( ) { }30,0, expA i Xγ γ= − 5.14aBởi vì, nếu khai triển hàm mũ (5.14a) thành chuỗi:

( ) ( ) ( )2 33 3 30,0, 1 / 2! /3!A i X i X i Xγ γ γ γ= − + − + − +

và chú ý rằng: 2 2 13 3, k kX X X 3X+≡ =

ta sẽ có:

( )cos sin 0

0,0, sin cos 00 0

A1

γ γγ γ γ

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tổng quát hoá cho một phép quay với góc hữu hạn quanh một trục bất kỳ, ta sẽ có:

( ) { }expA i Xϕ ϕ= − 5.14b

3. Biểu diễn một chiều của nhóm quay (3)SO

Các đại lượng vật lý thường được định nghĩa tại từng điểm của không

gian. Chúng có thể là vô hướng, như hàm sóng của một hạt, cũng có thể là vectơ, như cường độ của điện từ trường,…. Các đại lượng này cũng làm thành những không gian vectơ với số chiều nhất định. Chẳng hạn, một chiều, nếu là hàm sóng vô hướng, ba chiều, đối với cường độ điện trường…. Khi quay hệ trục toạ độ, các đại lượng vật lý sẽ biến đổi theo. Quy luật biến đổi của chúng cũng làm thành nhóm, và được quyết định bởi nhóm quay hệ trục toạ độ. Do các nhóm này phản ánh nhóm quay hệ trục toạ độ trong không gian các đại lượng vật lý, cho nên, chúng được gọi là các biểu diễn của nhóm quay. Không gian tạo bởi các đại lượng vật lý được gọi là không gian thực hiện biểu diễn, còn chiều của chúng được gọi là chiều biểu diễn. Để dơn giản ta cũng thường gọi không gian các đại lượng vật lý là biểu diễn của nhóm quay.

Nhóm quay là một nhóm Lie, cho nên, các biểu diễn của chúng cũng là những nhóm Lie. Nếu biểu diễn là G , thì mỗi phần tử , sẽ phụ

(3)SOD G∈

109


thuộc vào (3)A SO∈ , cho nên, tham số của ( )D A cũng được xác định thông qua các góc quay hệ trục tọa độ.

Khi đó, ( )D A cũng được xác định bằng các vi tử sinh như (5.8a,b):

( ) ( )01 , i

i

D AD A iK K i ϕδϕ

ϕ =

∂⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

5.15

trong đó, δϕ là vectơ góc quay. Các vi tử (5.15) cũng phải thoả mãn hệ thức giao hoán như các vi tử của nhóm : (3)SO

[ ],i k ikl lK K i Kε= Một trong những biểu diễn đơn giản của nhóm là hàm sóng vô

hướng (3)SO

( )rψ . Là vô hướng, hàm sóng không có tính định hướng, tuy nhiên, khi quay hệ trục toạ độ, định vị cấu hình không gian r của hàm sóng thay đổi, cho nên nó vẫn thay đổi. Đây chính là không gian thực hiện biểu diễn một chiều của nhóm . (3)SO

Gọi ( )D A là toán tử của biểu diễn tương ứng với phép quay A , khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r D A rψ ψ ψ ψ′ ′ ′→ = = 5.16aNhư vậy:

( ) ( ) ( )1D A r A rψ ψ −= 5.16b

Đối với một phép quay cực vi (5.2), (5.8a):

( ) ( )δϕ δ δ δϕ δϕ−′ = = − = + ⇒ = − = − ×1 1r A r iX r r r r i X r r

hàm sóng sẽ biến đổi theo công thức: ( ) ( )ψ ψ ψ δ ψ δ ψ→ = + = + ∇( ) ( ) ( ) ( )r D A r r r r r r =

( ) ( ) (ψ δϕ ψ δϕ ψ⎡ ⎤= − × ∇ = − ×∇ )⎣ ⎦( ) ( ) 1r r r r r Như vậy, suy ra:

( ) ( )1 1D A r iK ,δϕ δ= − ×∇ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ϕ 5.17Và dó đó, vi tử của nó sẽ là:

( )0 i

i

D AK i irϕϕ =

∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

− ×∇ 5.18

Sử dụng các hệ thức (5.13), ta có thể kiểm tra trực tiếp rằng:

[ ] ( ) ( ) [ ]ε ε⎡ ⎤= − ×∇ ×∇ = − ∂ ∂⎣ ⎦, ,i k irs klm r s l mi kK K r r x x,

( ) { } ( )ε ε δ δ ε= − ∂ − ∂ = ∂ − ∂ = ×∇irs klm r sl m l rm s i k k i ikl lx x x x r

[ ],i k ikl lK K i Kε= 5.19

110

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ MOMENT ĐỘNG LƯỢNG Nghĩa là, các hằng số cấu trúc của biểu diễn một chiều này cũng là các ký hiệu Ricci - Levi - Civita như của nhóm quay . (3)SO

4. Toán tử moment động lượng

Theo nguyên lý tương ứng, sự bảo toàn của toán tử moment động lượng sẽ liên quan đến tính bất biến của toán tử Hamilton đối với nhóm quay.

Giả sử toán tử Hamilton của hệ là bất biến đối với phép quay: ( ) ( )DH r H r=

suy ra: ψ ψ ψ− −= =1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )DH r r H A r A r H r D r 5.20

Nghĩa là, các ma trận của biểu diễn nhóm quay đều giao hoán với toán tử Hamilton.

Do ma trận đơn vị giao hoán với mọi toán tử, cho nên, vi tử của biểu diễn cũng phải giao hoán với toán tử Hamilton:

( ) ( )×∇ − ×∇ = 0r H H r 5.21Theo định luật bảo toàn trong cơ học lượng tử (Mục 5, chương III),

sẽ là một toán tử bảo toàn. (= − ×∇K i r )Để tìm hiểu ý nghĩa vật lý của toán tử này, ta hãy xét giới hạn cổ điển

của nó. Ta có, khi : 0→

( ) ( ) ( )− ×∇ = ×∇ = ×1 1i iS S

i r e r Se r p ei S

ổ điển, toán tử

Nghĩa là, ở giới hạn c K tỷ lệ với vectơ moment xung lượng: ( )= − ×∇ → = ×K i r L r p 5.22

Điều này nghĩa là: K L= sẽ là toán tử moment động lượng trong cơ học lượng tử.

Nếu so sánh với (5.17), toán tử moment động lượng L sẽ xác định phép biến đổi của hàm sóng vô hướng đối với phép quay hệ trục tọa độ:

( ) ( ) ( ) ( )1 ir D A r L rψ ψ δϕ⎛ ⎞→ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ψ 5.23

Như vậy, về mặt hình thức, toán tử moment động lượng của một hạt cũng có biểu thức như vectơ moment cổ điển.

Với một hệ nhiều hạt, moment động lượng sẽ có dạng: = −∑( ),x a az a ay

aL y p z p

= −∑( )y a ax aa

L z p x p ,az

111


= −∑( )z a ay aa

L x p y pax

3

Để thuận tiện cho viết tổng quát, ta sẽ coi trục là trục , khi đó, , thành phần của moment động

lượng sẽ được viết dưới dạng:

, ,Ox Oy Oz1,2,3 1 2, , x y zL L L L L L= = =

ε=∑i ikl ak ala

L x p (cộng theo cả chỉ số ) ,k l

(Ở đây, để tránh nhầm lẫn, ta chỉ dùng quy ước cộng theo chỉ số lặp lại cho mà không dùng cho chỉ số a ). ,i k

Toán tử moment động lượng là Hermitian. Thực vậy, do toạ độ và xung lượng là Hermitian, suy ra:

[ ]ε ε ε+ = = + =∑ ∑ ∑ ,i ikl al ak ikl ak al ikl al aka a a

L p x x p p x

ε ε δ= −∑ ∑ikl ak al ikl lk ia a

=x p i L

Do tỉ lệ với các vi tử sinh, thành phần của toán tử moment động lượng sẽ thỏa mãn hệ thức giao hoán:

[ ] [ ] 2, ,i k i k ikl l ikl lL L K K i K i Lε ε= − − = = 5.24aHoặc dưới dạng tường minh cho từng thành phần:

[ ], , , , ,x y z y z x z xL L i L L L i L L L i L⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y= 5.24bĐây là hệ thức cơ bản của moment động lượng, theo nghĩa, mọi toán tử

thỏa mãn hệ thức giao hoán nói trên đều được gọi là moment động lượng. Quy tắc giao hoán này được quyết định bởi quy tắc giao hoán giữa các vi tử sinh nhóm quay . (3)SO

Do thành phần của vectơ moment động lượng không giao hoán nhau, chúng không tồn tại đồng thời.

Giao hoán tử của moment động lượng và các biến động lực khác cũng dễ dàng suy ra từ (5.24a,b) và giao hoán tử cơ bản:

[ ]ε ε δ ε= = − =[ , ] ,i k irs r s k irs r sk ikl lL x x p x i x i x 5.25a

[ ]ε ε δ ε= = =[ , ] ,i k irs r s k irs rk s ikl lL p x p p i p i p 5.25b Nếu U là một hàm đối với toạ độ, ta có:

[ ] [ ] (, ,i ikl k l ikl k il

UL U x p U i x i r gradUx

ε ε )∂= = − = − ×

∂ 5.25c

Ta có thể xây dựng toán ử bình phương moment động lượng: t= + +2 2 2

1 2L L L L23

nó được hiểu là toán tử “độ dài” của moment động lượng. Do nó giao hoán với mọi thành phần của toán tử moment động lượng:

112


=

=) 0ε ε ε= = +

= + = −

2[ , ] [ , ] ( [ , ] [ , ] )( ) (

k i i k i i k i k i

ikl i l ikl l i ikl i l i l

L L L L L L L L L L Li L L L L i L L L L

cho nên, độ dài của moment động lượng và một trong ba thành phần của nó có thể tồn tại đồng thời. Nếu không nói khác đi, thành phần tồn tại đồng thời với

thường được coi là . 2L 3LThay cho hai thành phần { }1 2,L L , ta thường sử dụng các toán tử:

± = ±1 2L L iL Các toán tử này thoả mãn những hệ thức giao hoán sau đây:

+ − = − + =1 2 2 1[ , ] [ , ] [ , ] 2L L i L L i L L L3

± ±= ± = ±3 2 1[ , ] ( )L L iL L L ± ±= ± = ±3 2 1[ , ] ( )L L iL L L

+ − − += + + = + −2 2 23 3 3L L L L L L L L L3

Từ hệ thức giao hoán của moment, ta có thể suy ra hệ thức bất định Heisenberg cho các thành phần của chúng. Nếu ψ là trạng thái trong đó hình chiếu moment trên trục Oz là xác định, ta có:

ψ ψ ψδ δ< > < > = Δ Δ ≥ <2

2 21 2 1 2( ) ( ) .

4L L L L >2

3L

Mặt khác, giả sử: 3L ψ α ψ= , do Hermitian, 3L α là thực, khi đó:

3Lψ ψ α= , và như vậy:

21 2

1.2

L L αΔ Δ ≥ 5.26

Cũng từ hệ thức giao hoán, ta có thể chứng minh rằng, trong trạng thái có giá trị xác định, giá trị trung bình của và phải bằng không. Thực

vậy, gọi trạng thái đó là 3L 1L 2L

ψ , ta xét, chẳng hạn giá trị trung bình của : 1L

[ ] ( )1 2 3 2 3 31 1,L L L L L L Li i 2ψ ψ ψψ

= = −

Mặt khác, do ψ là hàm riêng của toán tử tương ứng với giá trị riêng 3Lα , và:

3 3, L Lψ α ψ ψ α ψ= = cho nên:

( )1 2 2 0L i L Lψ ψ ψα= − − =

5. Toán tử Runge - Lenz

113

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ MOMENT ĐỘNG LƯỢNG Một trong những đặc điểm nổi bật của hệ có thế đối xứng dạng Coulomb:

( ) ( ) AU r U rr

= = − 5.27

với A là một hằng số, đó là, bên cạnh moment động lượng bảo toàn, còn có thêm một vectơ khác cũng bảo toàn, gọi là vectơ Runge-Lenz:

( )12 e

rR p L L pm r

= × − × − A 5.28

Trước hết, có thể kiểm tra dễ dàng rằng, toán tử này là Hermitian. Thực vậy, áp dụng tính phản đối xứng của ký hiệu Ricci-Levi-Civita, và tính chất Hermitian của r , và , ta có: p L

( )12

ii ikl l k ikl l k

e

xR L p p L Am r

ε ε+ = − − iR= 5.29

Để chứng minh tính bảo toàn, ta phải chứng minh rằng nó giao hoán với Hamiltonian:

2

2 e

p AHm r

= − 5.30

Để chứng tỏ điều này, ta có thể tính trực tiếp các hệ thức giao hoán sau đây (cộng theo các chỉ số lặp lại):

2, 0ip p⎡ ⎤ ,=⎣ ⎦

[ ]2, , 2i ikl k l m m km ikl m lL p x p p p i p pε δ ε⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ 0= ,

31, ,i

ixp i

r r⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3, i k ik

x x xp ir r

⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

31 1 , , k l

i ikl k l iklx xL x p i

r r rε ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0= ,

23 3

2, 2 2i i i ik

x p x xp i i pr r r r

⎡ ⎤ ⎧= + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩kx ⎫

⎭

5.31

Sử dụng các kết quả của (5.31), suy ra rằng, toán tử Runge - Lenz giao hoán với toán tử Hamilton:

[ ] 3 3 3 3, 0k i i i i i i ki k

e

x x p x p x x xiAR H p i i pm r rr r r r

⎧ ⎫= − − − + + − =⎨ ⎬⎩ ⎭

k 5.32

Các thành phần của toán tử Runge-Lenz không giao hoán với nhau. Thực vậy, sử dụng (5.13), (5.24a,b) và (5.31) ta có thể chứng minh rằng:

114


[ ]2

2 22 2,i k ikl l ikl

ee e

p HR R A i L i Lmm m r

ε⎧ ⎫ −

= − + =⎨ ⎬⎩ ⎭

lε 5.33

Như vậy, cũng giống như moment động lượng, các thành phần của vectơ Runge - Lenz không xác định đồng thời.

Việc có thêm toán tử bảo toàn Runge - Lenz chứng tỏ rằng, nhóm đối xứng hàm sóng không chỉ là nhóm biểu diễn thông thường của và do đó, nhóm đối xứng thế dạng Coulomb cũng không chỉ là nhóm . Ta có thể tìm được nhóm đối xứng đó cho các trạng thái liên kết của nguyên tử hydrogen, một trong những trường hợp điển hình của một hệ có đối xứng trung tâm dạng Coulomb.

(3)SO(3)SO

Đặt:

2e

i imQ R

H=

− 5.34

Theo (5.33), các toán tử này sẽ thoả mãn hệ thức giao hoán: [ ],i k iklQ Q i Llε= 5.35

Thêm vào nữa, ta có thể chứng minh rằng: [ ],i k ikm mR L i Rε= 5.36

Từ các hệ thức (5.22), (5.35) và (5.36) suy ra rằng, nếu định nghĩa:

( ) ( )1 1, 2 2i i i i i iM L Q N L Q= + = − 5.37

thì M và sẽ thoả mãn các hệ thức sau đây: N

[ ] [ ] ( )1 1, ,4 2i k i i k k ikl l l ikl lM M L Q L Q i L Q iε ε= + + = + = M 5.38

[ ] [ ] ( )1 1, ,4 2i k i i k k ikl l l iklN N L Q L Q i L Q i Nε ε= − − = − = l 5.39

[ ], 0i kM N = 5.40Như vậy, các trạng thái liên kết của nguyên tử hydrogen không chỉ có

nhóm đối xứng là , mà là nhóm (3)SO ( ) ( )3SO SO 3× . Nhóm này có sáu vi tử, và ,i iM N là các vi tử của nó.

6. Giá trị riêng của toán tử moment động lượng

Để tìm giá trị riêng của một toán tử, cách thông thường là chọn một

biểu diễn nhất định. Trong biểu diễn đó, các toán tử thường là đạo hàm theo tọa độ, vectơ trạng thái trở thành hàm sóng, và bài toán vectơ riêng, giá trị riêng được quy về giải phương trình vi phân cho hàm sóng với những điều

115


tm

kiện biên thích hợp. Cách giải quyết bài toán trị riêng như thế, được gọi là phương pháp giải tích. Phương pháp giải tích thích hợp trong bức tranh Schroedinger.

Bài toán trị riêng cũng có thể giải quyết từ các hệ thức giao hoán của toán tử. Các hệ thức giao hoán không phụ thuộc vào biểu diễn, các giá trị riêng của các toán tử cũng vậy. Thay cho việc tìm vectơ trạng thái cụ thể, ta sẽ tìm ma trận của các toán tử, khi đó, yếu tố của ma trận của toán tử sẽ cho ta biên độ xác suất chuyển dời từ trạng thái này sang trạng thái khác. Cách giải quyết bài toán trị riêng như vậy, được gọi là phương pháp đại số. Phương pháp này thích hợp trong bức tranh Heisenberg.

Lẽ dĩ nhiên, cả hai phương pháp này là tương đương nhau. Cơ học lượng tử dùng phương pháp giải tích để giải bài toán trị riêng, được gọi là cơ học sóng. Khi dùng phương pháp đại số, nó được gọi là cơ học ma trận. Cơ học sóng được Schroedinger và de Broglie xây dựng và phát triển, trong khi cơ học ma trận là của Heisenberg, Dirac và Born.

Sau đây, ta sẽ tìm giá trị riêng của các toán tử moment động lượng bằng phương pháp đại số. 2

3,L LĐể các kết quả thu được có thể sử dụng được cho những biểu diễn

nhiều chiều mà ta sẽ bàn đến trong chương XII, ta sẽ không nhấ thiết phải chọn biểu diễn một chiều mà vi tử là toán tử oment động lượng . Ta sẽ ký hiệu vi tử của một biểu diễn bất kỳ bằng

LJ . Chúng cũng là moment động

lượng loại nào đó. Moment động lượng L liên quan đến biểu diễn một chiểu, thường được gọi là moment quỹ đạo.

Như vậy, các thành phần của J sẽ thoả mãn hệ thức giao hoán: [ ],i k ikl lJ J i Jε= 5.41

Chiều của không gian biểu di n có thể là khác một. Tương tự như trường hợp moment quỹ đạo, ta sẽ chọn

ễ2J , 3J là xác định đồng thời.

Giả sử giá trị riêng của 3J và 2J là α và 2λ , và giả sử hệ vectơ

riêng chung trực chuẩn của chúng là ,λ α :

3

2 2

, ,

, ,

, ,

J

J

λ λ α α

λ α α λ α

λ α λ λ α

λ α λ α δ δ′ ′

=

=

′ ′ =

5.42

Do moment là Hermitian, các giá trị ,α λ đều là thực. Từ hệ thức:

( )2 2 2 2 21 2 3 3

12

J J J J J J J J J+ − − += + + = + + 5.43

116

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ MOMENT ĐỘNG LƯỢNG suy ra, 0λ ≥ , và:

( ) ( )2 23

1, , ,2

J J J J J J ,λ α λ α λ α λ+ − − + α− = + =

( ) ( )2 22 2 1 , ,2

J Jλ α λ α λ α− += − = + ≥ 0 5.44

Như vậy: λ α λ− ≤ ≤ 5.45

Nhận xét rằng, vectơ ,J λ α±

cũng là vectơ riêng của 3J nhưng tương ứng với giá trị riêng bằng ( )1α ± . Thực vậy:

( ) ( )3 3, , 1J J J J J J ,λ α λ α α± ± ± ±= ± = ± λ α 5.46

Như vậy, khi tác dụng J+ lên ,λ α , ta sẽ làm cho α tăng lên một

đơn vị, còn khi tác động J− lên ,λ α , ta sẽ làm cho α giảm đi một đơn vị.

Chính vì thế J+ thường được gọi là toán tử nâng (hoặc sinh), J− là toán tử hạ (hoặc huỷ), J± được gọi chung là toán tử thang bậc (ladder operators).

Ta sẽ chỉ xét trường hợp λ có giá trị hữu hạn. Do α bị chặn trên, cho nên, sẽ phải tồn tại một giá trị lớn nhất max jα = , sao cho:

, 0J jλ+ = 5.47Khi đó, bằng cách tác động cả hai vế của (5.47) với J− , ta có:

( ) ( )2 2 2 23 3, ,J J j J J J j j j jλ λ λ− + = − − = − − =, 0λ

Điều này kéo theo: ( )1j jλ = + 5.48

Tương tự, do α bị chặn dưới, suy ra, phải tồn tại một giá trị nhỏ nhất min jα ′= , sao cho:

, 0J jλ− ′ = 5.49Bằng cách tác dụng cả hai vế của (5.54) với J+ , ta có:

( )( )( )

2 23 3

2 2

, ,

1 , 0

J J j J J J j

j j j j j

λ λ

λ

+ − ′ ′= + −

′ ′= + + − =

= 5.50

Điều này kéo theo: j j′ = − và 1j j′ = + 5.51

Nghiệm thứ hai bị loại, vì khi đó j j′ > , như vậy:

117


j jα− ≤ ≤ 5.52 Kết quả là, khi cho một giá trị của , ta có j 2 1j + giá trị của α . Do số các giá trị của α phải là nguyên, cho nên, 2 j phải là nguyên. Từ đó suy ra, α sẽ là nguyên hoặc bán nguyên. Ký hiệu α bằng , ta có: m

Giá trị riêng của toán tử 2J và là: 3J( )2 21 , , j j m j m jλ α= + = − ≤ ≤ 5.53a

( )2 2, 1 , , ,z ,J j m j j j m J j m m j m= + = 5.53b

trong đó, sẽ là số nguyên hoặc bán nguyên không âm, và tuỳ thuộc vào , giá trị của cũng sẽ là nguyên hoặc bán nguyên, hoặc âm hoặc dương.

j jm

Vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng nói trên sẽ được ký hiệu là ,j m . Tương ứng với một giá trị của , ta sẽ có j 2 1j + giá trị của , cho

nên, giá trị riêng của

m2J là suy biến bội 2 1j + .

Thông thường, khi nói rằng, moment của một hạt là , nghĩa là, độ dài

của nó bằng

j( 1)j j + .

Không gian sinh bởi { },j m , j m j− ≤ ≤ sẽ có 2 1j + chiều, nó bất

biến đối với hệ toán tử { }23,J J . Trong mỗi không gian đó, các toán tử 2J

và 3J sẽ có dạng đường chéo, còn các toán tử thang bậc, và do đó, 1, 2J J sẽ không có dạng đường chéo.

Để tìm ma trận của chúng, ta sẽ tìm ma trận của toán tử thang bậc J± . Do các ma trận thang bậc nâng, hạ giá trị của , cho nên: m

( )

( )

, 1

, 1

, ,

, ,j m m

j m m

J j m C j m

J j m D j m+ +

− −

1

1

= +

= − 5.54

trong đó, ( ) (, 1 , 1,j m m j m mC D )+ − là các hệ số, có thể chọn là thực, và các hệ số

này chính là các yếu tố khác không của ma trận toán tử thang bậc: ( ) ( ), 11,, 1 , j m mjm jnj m J j m J C+ + ++

+ = = 5.55a

( ) ( ), 11,, 1 , j m mjm jmj m J j m J D− − −−− = = 5.55b

Do J J+± = ∓ , cho nên:

, , , ,j m J j m j m J j m±′ ′ ′ ′= ∓ 5.56Điều đó nghĩa là:

( ) ( ), 1 1,j m m j m mC D+ += , ( ) ( ), 1 1,j m m j m mD C− −= 5.57

118

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ MOMENT ĐỘNG LƯỢNG Và do đó:

( ) ( ) ( )+ − − − −= = 2, 1 1, 1,, ,j m m j m m j m mJ J l m D C j m C j m, 5.58

Lấy tích vô hướng của vectơ này với ,j m , ta có:

( )2

1, , ,j m mC j m J J j m+ −− = =

( ) ( )( )2 2 23 3, ,j m J J J j m j m j m= − − = − + 1+

Như vậy,

( ) ( )( )1, 1j m mC j m j m− = − + + 5.59a

Tương tự:

( ) ( )( )1, 1j m mD j m j m+ = + − + 5.59b

Thay kết quả (5.59a,b) vào (5.54), ta có:

( )( )( )( )

, 1

, 1

J j m j m j m j m

J j m j m j m j m

+

−

= − + + +

= + − + −

, 1

, 1 5.60

Từ đó suy ra:

( )( )

( )( )

1 1, ,2 2

1 , 12

1 , 12

x ,J j m J j m J j m

j m j m j m

j m j m j m

+ −= + =

= − + + +

+ + − + −

+ 5.61

Tương tự:

( )( )

( )( )

1 1, ,2 2

1 , 12

1 , 12

y ,J j m J j m J j mi i

j m j m j mi

j m j m j mi

+ −= −

= − + + +

− + − + −

=

+

j

5.62

Như vậy, ta đã giải quyết được hoàn toàn bài toán giá trị riêng cho một toán tử moment tuỳ ý. Nói chung, ta có thể cho một số nguyên hoặc bán nguyên dương tuỳ ý, khi đó,

jj m− ≤ ≤ . Các vectơ riêng ,j m sẽ không

được tính cụ thể, tuy nhiên, bằng các hệ thức (5.53b), (5.61), (5.62), và xuất phát từ trạng thái ,j j , ta có thể tìm được ma trận của các toán tử moment

119


1động lượng. Các hệ thức này chứng tỏ rằng, khi cho , không gian sinh bởi j2 j + vectơ ,j m sẽ là một không gian bất biến đối với J . Như vậy:

Không gian sinh bởi { }, / j m j m j− ≤ ≤ là biểu diễn 2 1j + chiều

của nhóm . (3)SOTa sẽ minh hoạ kết quả thu được trên đây cho hai trường hợp cụ thể. Nếu 1/ 2j = , . Trong trường hợp này toán tử 1/ 2, 1/ 2m = − J

thường được ký hiệu bằng . Ta có: S1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xS S S+ −= + = ,−

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xS S S+ −− = − + − = ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2yS S S i

i i+ −= − = ,−

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2yS S S i

i i+ −− = − − − = − ,

Kết quả là:

0 1 0 1 0, ,

1 0 0 0 12 2 2x y zi

S S Si

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

5.63

Nếu 1j = , . Trường hợp này, 1,0, 1m = − J thường được ký hiệu bằng . Ta có: L

1 1 11,1 1,1 1,1 1,02 2 2xL L L+ −= + =

1 1 1 11,0 1,0 1,0 1,1 1, 12 2 2 2xL L L L+ − −= + = + −

1 1 11, 1 1, 1 1, 1 1,02 2 2xL L L+ −− = − + − =

1 11,1 1,1 1,1 1,02 2 2y

iL L Li i+ −= − =

1 11,0 1,0 1,0 1,1 1,2 2 2 2y

i iL L L Li i+ − −= − = − + 1−

120


1 11, 1 1, 1 1, 1 1,02 2 2y

iL L Li i+ −− = − − − = −

Như vậy: 0 1 01 0 1

2 0 1 0xL

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

0 00

2 0 0y

iL i

ii

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 00 0 00 0 1

xL⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

5.64

6. Phổ năng lượng của nguyên tử hydrogen

Do M và thỏa mãn hệ thức giao hoán của moment, cho nên, chúng cũng là moment và ta có thể áp dụng kết quả thu được trên đây cho chúng và từ đó, suy ra phổ năng lượng cho nguyên tử hydrogen.

N

Giá trị riêng của 2M và 2N có dạng là ( ) 21μ μ + và ( ) 21ν ν + . Do cả hai đại lượng này đều bảo toàn, suy ra, trạng thái của electron trong nguyên tử hydrogen có thể được đặc trưng bằng hai số nguyên là μ và ν . Tương ứng với mỗi số nguyên đó, ta có 2 1μ + giá trị của zM và 2 1ν + giá trị của . zN Theo (4.37), ta có:

( )

( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 14 4 21 14 4 2

e

e

mM L Q LQ QL L R LQ QLH

mN L Q LQ QL L R LQ QLH

⎛ ⎞= + + + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + − − = − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

5.65

Có thể chứng minh rằng, các tích vô hướng trong các biểu thức của (5.65) đều bằng không. Thực vậy, theo định nghĩa (5.34) của toán tử Q , ta chỉ cần tính, chẳng hạn, : LR

( )12

ii i i ikl k l k l

xLR L R L p L L p Am rε⎛ ⎞= = − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1 22

iirs r s ikl k lmn m n klm m ikl k l

xx p p x p i p A x pm rε ε ε ε ε= − −

Số hạng cuối cùng bằng không, bởi vì:

121


1i iikl k l ikl l k i kl ikl

x xA x p A p x x i Ar r

ε ε δ= +r

ε

trong đó, iklε phản đối xứng với chỉ số , trong khi tích ik i kx x hoặc ikδ lại đối xứng đối với cặp chỉ số đó.

Hai số hạng đầu bằng không, bởi vì: 2 irs ikl r s k m n lmn irs ikl r s m klmx p p x p i x p pε ε ε ε ε ε− =

( )22 2k k l m n lmn l m n lmn k l m klm l k m klmx p p x p x p x p i x p p x p pε ε ε= − − − ε =

ε +

22 2 2k k m l n lmn k k lm n lmn l m n lmnx p x p p i x p p x x p pε δ ε= + −

4 0l m n lmni x p p ε− =

Như vậy, bình phương của các toán tử M à v N là bằng nhau và chúng bằng tổng bình phương của hai toán tử R và L .

Bằng cách sử dụng (5.31), ta cũng có thể chứng minh rằng:

( ) ( )2 1 12 2

i iikl k l k l ikl k l k l

e e

x xR p L L p A p L L pm r m r

ε ε⎧ ⎫⎧ ⎫

= − − −⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

A−

có thể diễn tả thông qua bình phương của moment động lượng : L

( ) (2

2 2 2 2 2 2 22 22e e e

p A HR A L A Lm m r m

⎛ ⎞= + − + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠) 5.66

Thay kết quả (5.66) vào (5.65), ta có:

( )2 2

2 2 2 2 21 24 2 8

e e

e

m mHM L A LH m H

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= − + + = − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ 4

A

Từ đây giải ra H , ta được:

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22 2 22 4 1 12 4 2 2 1e em A m A m AH

M μ μ μ= − = − = −

+ ++ +

2e 5.67

Đặt 2 1 nμ + = và gọi nó là số lượng tử chính, ta có 1,2,...n = và:

( )

2 4

2 2 2 220

1 12 2 4

e em A m eHn πε

= − = −n

5.68

Đây chính là phổ năng lượng của các trạng thái liên kết của nguyên tử hydrogen. Công thức này trùng với (1.15), thu được từ cơ học lượng tử cũ của Bohr. Trong khi trạng thái của electron trong nguyên tử hydrogen phụ thuộc vào hai số lượng tử μ và ν , năng lượng của nó lại chỉ phụ thuộc hoặc vào một số lượng tử μ hoặc vào số lượng tử ν . Cho nên, bên cạnh sự suy biến

122


theo zM , bằng 2 1μ + , ta còn có thêm sự suy biến theo , bằng zN 2 1ν + . Tóm lại, sự suy biến trong trường hợp trường Coulomb sẽ là:

( )( ) 22 1 2 1 nμ ν+ + = 5.69

7. Hàm riêng của toán tử moment quỹ đạo trong biểu diễn toạ độ Trong mục này, ta sẽ dùng phương pháp giải tích để tìm hàm riêng và

giá trị riêng của moment quỹ đạo L . Để đơn giản, ta chỉ xét hệ một hạt. Khi đó, trong biểu diễn toạ độ, toán tử moment quỹ đạo sẽ có dạng L r p= × .

Đối với trường đối xứng trung tâm, tốt nhất là xét tọa độ cầu, chứ không phải là tọa độ Descartes. Hệ thức liên hệ giữa hai tọa độ này là:

θ ϕ θ ϕ= = =sin cos , sin sin , cos θx r y r z r 5.70Yếu tố thể tích sẽ có dạng:

2 2sindV r drd d r drdθ θ ϕ= = Ω 5.71Trong toạ độ Descartes, thành phần của moment quỹ đạo sẽ phụ thuộc

cả vào ba biến độ dài, tuy nhiên, khi chuyển sang tọa độ cầu, chúng chỉ còn phụ thuộc vào hai biến góc.

Thực vậy, với , ta có: zL⎛ ⎞∂ ∂

= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠zL x y

i y x

x y z y xx y z xϕ ϕ ϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y

123


Hình 1. Toạ độ cầu, ϕ là góc cực, θ là góc phương vị

Cho nên:

zL iϕ∂

= −∂

5.72

Tương tự, đạo hàm theo biến θ sẽ có dạng: x y z ctg x y tg z

x y z x yθ θ

θ θ θ θ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ z 5.73

Mặt khác, do sin ix iy r e ϕθ ±± = , ( )cos iz r e ctg x iyϕθ θ−= = + , cho nên:

x yL L iL i y z z xz y x z±

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = − − ± −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠=

( ) ix iy z i e tg zz x y

ϕ θ±⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ± ± ± =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∓ ∓

z+

( ) ( )ie ctg x iy i x iyx y

ϕ θ± ⎡ ⎤∂ ∂± ± =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∓ ∓

ie ctg x y ictg x y tg zx y y x

ϕ θ θ± ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ± + + −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

∓z

θ

Cho nên các toán tử thang bậc sẽ có dạng:

ϕ θθ ϕ

±±

⎛ ⎞∂ ∂= ± +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

iL e ictg 5.74

Từ đó suy ra:

ϕ ϕ θ ϕθ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

sin cosixL i e ctg 5.75a

ϕ ϕ θ ϕθ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

cos siniyL i e ctg 5.75b

Đối với toán tử bình phương moment, ta có:

+ −= + +2 23 3L L L L L =

ϕ ϕθ θθ ϕ θ ϕ ϕ

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

22

2i ie ictg e ictg i

ϕ=

124


θ θ θϕ θ ϕ θ ϕθ θ

⎡ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − − + + − +⎢ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎣

2 22

2 2sini ictg ctg ictg ∂

+

θ θϕ θ ϕϕ ϕ

⎤∂ ∂ ∂− − − + ⎥∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎦

2 2 22

2 2ictg ctg i ∂

Như vậy:

θθ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

2 22 2

1 1(sin )sin sin

L 5.76

Trong hệ toạ độ cầu, do moment quỹ đạo không phụ thuộc vào biến độ dài, mà chỉ phụ thuộc vào biến góc, cho nên, moment quỹ đạo còn được gọi là moment góc (angular momentum) .

Hàm riêng chung của { }2 , zL L trong biểu diễn toạ độ:

( ), ,lmr l m r ,ψ θ ϕ= 5.77sẽ được tìm dưới dạng phân ly biến số:

( ) ( ) ( ) ( ), , mlm lm lr N f r Pψ θ ϕ θ ϕ= Φ 5.78

Do các toán tử moment chỉ phụ thuộc vào biến góc, cho nên thừa số ( )f r vẫn còn tuỳ ý. Nó sẽ được xác định khi ta yêu cầu lmψ cũng là hàm

riêng của các toán tử Hamilton. Gọi giá trị riêng của toán tử là và hàm riêng tương ứng là 3L m

( )ϕΦm . Khi đó, hàm riêng ( )ϕΦm sẽ thoả mãn phương trình:

( ) ( ) ( )ϕϕ ϕ

ϕ∂Φ

Φ = − = Φ∂3m

m mL i m 5.79

Điều này kéo theo: ϕΦ = im

m Ce 5.80trong đó, C là hệ số chuẩn hoá. Để hàm sóng thoả mãn tính đơn trị:

ϕ ϕ π= +exp( ) exp ( 2 )im im suy ra, phải là số nguyên. m

Như vậy, khác với moment động lượng nói chung, có thể nguyên hoặc bán nguyên, moment quỹ đạo chỉ có thể là một số nguyên lần . 3L

Để chuẩn hoá cho toàn hàm sóng, ta sẽ chuẩn hoá từng phần tương ứng với từng biến. Do hàm riêng của chỉ phụ thuộc vào biến góc 3L ϕ , cho nên, theo công thức (5.71) của yếu tố thể tích, ta sẽ yêu cầu:

2 2 2

01 2d C

πϕ πΦ = =∫

125


Như vậy, hàm riêng chuẩn hoá của có dạng: 3L

( ) { }1 exp2m imϕ ϕπ

Φ = 5.81

Để tìm được phương trình cho hàm θ( )mlP , ta thay hàm Φ vừa tìm

được vào ( )ψ θ ϕ, , ,l m r . Khi đó:

( ) ϕθψ θθ θ θ θ

⎡ ⎤= − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

22 2

, 2( )1 (sin ) ( )

sin sin

mm iml

l m ldPd mL f r P e

d dθ

( ) ( ) ϕ θ= + 21 (im mll l f r e P )

Hay, phương trình của hàm θ( )mlP sẽ là:

( )θθ θθ θ θ θ

⎛ ⎞θ− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2( )1 sin ( ) 1 ( ) 0

sin sin

mm ml

l ldPd m P l l P

d d 5.82

Phương trình này phụ thuộc vào m dưới dạng bình phương, cho nên, hai nghiệm tương ứng với và 0m > 0m < sẽ không độc lập tuyến tính.

Nếu đổi biến mới θ= su co , phương trình của ( )mlP u sẽ có dạng:

( ) ( )⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦

22

2( )1 1

1

mml

ldP ud mu l l P

du du u=( ) 0u

u

±

l

5.83

Phương trình này đối xứng với phép đổi dấu , do đó, nghiệm của nó phải có tính đối xứng xác định:

→ −u

= − = ⇒ =2( ) ( ) ( ) 1m m ml l lP u CP u C P u C

Nó được gọi là phương trình liên đới với phương trình Legendre, hay ngắn gọn, là phương trình Legendre liên đới.

Khi , đặt 0m= 0lP P= , hàm này sẽ thoả mãn phương trình:

( ) ( )⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦2 ( )1 1l

ldP ud u l l P

du du=( ) 0u 5.84

Đây được gọi là phương trình Legendre và nghiệm của nó được gọi là đa thức Legendre.

Trong phương trình Legendre liên đới, bằng cách thay hàm số: = − 2 / 2( ) (1 ) ( )m m

lP u u W u

( ) ( )−

′= − − + −2

2 22 2( ) 1 1m mm

ldP u mu u W u Wdu

126


( ) ( ) ( )−⎡ ⎤⎡ ⎤

′− = − − − + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

22 2 2 2( )1 1 1

m mmldP ud u mu mu u W u

du du2 W

( ) ( ) ( ) ( )+

′ ′′− − − + − + −2

2 22 21 2 1 1m m

m u W m u u W u W2 2m

ta sẽ tìm được phương trình cho W:

[ ]+⎡ ⎤− + + − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦2 1 2(1 ) ( 1) ( 1) (1 ) 0m md dWu l l m m u

du duW 5.85

Mặt khác, nếu , đạo hàm hai vế của phương trình Legendre và ký hiệu đạo hàm theo bằng dấu phảy, ta có:

0m ≥u

( ) ( )′⎡ ⎤′ ′− + − + +⎢ ⎥ =⎣ ⎦

2 ( )2 ( ) 1 1 ( )ll l

dP ud uP u u l l P udu du

( ) ( )′ ′′ ′= − − + − + + =

22

2( ) ( )2 ( ) 4 1 1 ( ) 0l l

l ldP u d P uP u u u l l P u

du du

Nếu nhân cả hai vế của kết quả này với ( )21 u− , ta có:

( ) ( ) ( )′⎡ ⎤ ′⎡ ⎤− + + − +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

22 ( )1 1 1 1 1ll

dP ud u l l Pdu du

=( ) 0u 5.86

Tổng quát hoá kết quả này, bằng cách đạo hàm lần phương trình Legendre và ký hiệu

m( )m

lW P= , ta có:

[ ]+⎡ ⎤− + + − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦2 1 2(1 ) ( 1) ( 1) (1 ) 0m md dWu l l m m u

du duW 5.87

Điều đó nghĩa là, đạo hàm lần đa thức Legendre chính là hàm m W. Như vậy, nghiệm của phương trình Legendre liên đới sẽ là:

= − 2 / 2 ( )( ) (1 )m

m m ll m

d P uP u udu

5.88a

và những tính chất của nó sẽ thu được từ tính chất của đa thức Legendre. Trong trường hợp , ta sẽ chọn: 0m <

−= −( ) ( 1) ( )m ml lP u P um 5.88b

Nghiệm của phương trình Legendre2, thường được tìm dưới dạng một chuỗi quanh điểm : 0u=

=∑( ) nl n

nP u c u

Nếu thế nghiệm này vào phương trình Legendre: 2 Xem, ví dụ J. Mathews, R.L. Walker, Toán dùng cho vật lý, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Ha Nội, 1971. Đồng thời xem thêm chương VII, phần II, về dao động tử điều hoà.

127


=

0n

′′ ′− − + +2(1 ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0l l lu P u uP u l l P u ta sẽ thu được công thức truy hồi cho hệ số khai triển:

++ + − − − + + =2( 1)( 2) ( 1) 2 ( 1)n n nn n c n n c nc l l c hay:

++ − + − + +

= =+ + + +2

( 1) ( 1) ( )( 1)( 1)( 2) ( 1)( 2)n n

n n l l n l l nc cn n n n nc 5.89

Từ hệ thức này ta sẽ suy ra, mọi hệ số của chuỗi đều được xác định thông qua và . Do l nguyên dương, cho nên, khi 0c 1c =n l , thì sẽ triệt tiêu, và do đó, tất cả các hệ số có thứ tự lớn hơn cũng triệt tiêu. Như vậy, chuỗi sẽ suy biến thành một đa thức bậc .

+2lc

lTừ hệ thức truy hồi, ta có: ( )

− −

− − − + + − − += = −

− −2 21 ( 2) ( 1) ( 1)( 2)

( 1) ( 1)n nn n l l l n l nc c

n n n n nc 5.90

Suy ra: ⎡ ⎤

= − + + + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− − + + − + − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

2 4

0

3 5

1

( ) 1 ( 1) ( 1)( 2)( 3)2 4

( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( 4)3! 5!

lu uP u c l l l l l l

u uc u l l l l l l

+!

5.91

Tuỳ thuộc vào là số nguyên chẵn hoặc lẻ, đa thức sẽ có bậc chẵn hay lẻ. Chọn , thích hợp, ta có:

l0c 1c

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2

2 20 0

1 2 2 !1 1! ! 2 !2 2

l lk

l k k l l kl ll l

k k

l kP u u C C u

k l k l k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −−

= =

− −= =

− −∑ ∑ l k 5.92

Trong đó, cận trên của tổng là phần nguyên của . / 2lĐồ thị của một vài đa thức Legendre khác nhau được cho trong hình 2.

128


Hình 2. Đồ thị của đa thức Legendre với các chỉ số l nhỏ

Biểu thức tường minh của một số đa thức Legendre đầu tiên là:

( )0 1P u = , ( )1P u u= , ( ) ( )22

1 3 12

P u u= −

( ) ( )33

1 5 32

P u u u= − , ( )4 24

1 35 30 38

P u u= − +

( ) ( )5 35

1 63 70 158

P u u u= − + u

( )6 4 26

1 231 315 105 516

P u u u= − + −

Biết đa thức Legendre ta sẽ suy ra hàm Legendre liên đới và hàm riêng

của hệ toán tử { }2, zL L sẽ có dạng sau đây:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψ θ ϕ θ ϕ ϕ θ≡ = Φ, , , , cosml m lm lm m lr f r Y N f r P 5.93

trong đó là hệ số chuẩn hoá đối với biến lmN θ .

Hàm ( ,lmY )θ ϕ được gọi là hàm điều hoà cầu. Chúng làm thành hệ hàm trực giao trên mặt cầu.

Hệ số chuẩn hoá được lựa chọn sao cho “độ dài”, tức là chuẩn, của hàm điều hoà cầu bằng 1:

lmN

( ) ( )θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ= =∫2 2

, , sinlm lmY Y d 1d 5.94

Vì hàm riêng của toán tử 3L đã được chuẩn hoá, cho nên, để chuẩn hoá hàm điều hoà cầu, theo (5.71), ta chỉ cần:

π

θ θ θ θ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦∫ 2 22 2

0

(cos ) sin (cos ) 1m mlm l lm lN P d N P 5.95

7. Chuẩn của đa thức Legendre và hàm điều hoà cầu

Để tính tích phân (5.94), ta thường không sử dụng biểu thức tường minh (5.92) của đa thức Legendre mà sử dụng dạng gọn hơn (compact) của nó, gọi là dạng Rodrigues:

= −21( ) ( 1)2 !

ll

l l ldP u u

l du 5.96

129


Thực vậy, đặt ( )2 1l

F u= − , ta có:

( ) ( )22

2 1 21

luF F u F luu

′ ′= ⇔ − +−

0F =

Đạo hàm lần phương trình này, ta được: 1l +( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1l l lu F uF l l F′′ ′− − + + 0=

Như vậy, thoả mãn phương trình Legendre. Mặt khác, do: ( )lF( ) ( ) ( )2 !l l

lF u l P u= cho nên, công thức Rodrigues (5.96) đã được chứng minh.

Trước tiên ta tính chuẩn của đa thức Legendre.

[ ] [ ]π

θ θ θ θ−

= =∫ ∫1

2 2

0 1

(cos ) (cos ) sin ( )l l lP P d P u =2du

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫1

2 22 2

1

1 ( 1) ( 1)2 ( !)

l ll l

l l ld du u

l du du=du

− −

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫1 12

2 2 22 2 2 2 2

1 1

( 1) ( 1) (2 )!( 1) ( 1) ( 1)2 ( !) 2 ( !)

l l ll l

l l ld lu u du u

l du l=l du

= − = =+ +∫

1 2

2 20

(2 )! (2 )! ( !) 22 (1 ) 2(2 1)! 2 1( !) ( !)

l ll l lt t dtl ll l

Như vậy, chuẩn của đa thức Legendre sẽ là:

θ =+2(cos )

2 1lPl

5.97

Từ (5.96) suy ra: π

θ θ θ θ−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫12 2

0 1

(cos ) (cos ) sin ( )m m ml l lP P d P u =

2du

[ ] [ ]−

= −∫1

22 2

1

1 (1 ) ( ) ( )2 ( !)

m mm

n ll m md du P u P u

l du du=du

[ ] [ ]−

−−

⎧ ⎫−= −⎨ ⎬

⎩ ⎭∫1 1

22 2 1

1

( 1) ( ) (1 ) ( )2 ( !)

m mm

l ll m md d dP u u P u du

dul du du

Mặt khác, ta có:

130


[ ]−

−−

⎧ ⎫− = − + − − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

12 2

1(1 ) ( 1) ( 1) (1 )m m

m ml lm m

d P d Pd u l l m m udu du du

=1

[ ]−

−−= − + − + −1

2 11( )( 1) (1 )

mm

lmdl m l m u Pdu

cho nên, tích phân nói trên chuyển thành:

[ ]− −

−− −

−

+ − += −∫

1 1 12 1

2 2 1 11

( )( 1) ( ) (1 )2 ( !)

m mm

l ll m ml m l m d dP u u Pdu

l du du= =

+=

− +( )! 2( )! 2l ml m l 1

Như vậy, chuẩn của hàm Legendre liên kết sẽ là:

θ +=

− +( )! 2(cos )( )! 2

ml

l mPl m l 1

5.98

Từ kết quả trên, suy ra hệ số chuẩn hoá của hàm điều hoà cầu là: + − +

= ⇒ =− + +

2 ( )! 2 ( )! 21( )! 2 1 ( )! 2lm lml m l m lN Nl m l l m

1 5.99

Thay (5.99) vào (5.93) ta thu được biểu thức cuối cùng cho hàm điều hoà cầu:

( ) ( ) ϕθ ϕ θπ+ −

= =+

(2 1) ( )!, c4 ( )!

m imlm l

l l mY Pl m

os e

( )( )

( ) ϕθ θπ θ

+

+

+ −= −

+2(2 1) ( )! 1 sin cos 1

4 ( )! 2 ! cos

l m lm iml l m

l l m d el m l d

5.100

Dưới đây là biểu thức tường minh của hàm điều hoà cầu cho một số giá trị đặc biệt của và hàm Legendre liên kết, hàm điều hoà cầu cho các giá trị đầu tiên của chỉ số :

m,l m

( ) ( ) ( )2 1 !!(2 1), s4 (2 )!!

l illl

llY el

in ϕθ ϕ θπ

−+=

( ) ( ) ( ) ( )1 11, 1

2 3 !!(2 1), sin4 (2 2)!!

l i ll l

llY el

ϕθ ϕ θπ

− −− −

−−=

−

5.101

( ) ( ) ( ) ( ) ϕθ ϕ θ θπ+

++= +1,

2 1 !!(2 3), sin 2 14 (2 )!!

l ill l

llY ll

=!!cos e 5.102

131


( )2 3 cos ,lll Yθ θ ϕ= + Ta có:

( ) ( )1,1cos , ,

2 3ll l lY Yl

θ θ ϕ θ ϕ+=+

5.103

Ta cũng có:

( ) ( )( )

θ ϕ θ+ − − − − −

⎡ ⎤++ += −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

21 1 1 1 1 1

2 12 3 (2 3), cos 2 2 2l l l l l l

ll lY Yl l

Y 5.104

Như vậy:

( ) ( )

( )

21, 1 1, 1

1, 1

2cos , ,2 1 2 3

1 ,2 1

l l l l

l l

lY Yl l

Yl

θ θ ϕ θ ϕ

θ ϕ

− − + −

− −

= ++ +

++

5.105

Nếu , ta có: 0,1,2l =

0014

Yπ

= , 103 cos

4Y θ

π= , 10

3 cos4

Y θπ

= 5.106a

1, 13 sin

8iY e ϕθ

π±

± = ± , ( 220

5 3cos 116

Y θπ )= − 5.106b

2, 115 cos sin8

iY e ϕθ θπ

±± = ± , 2 2

2, 215 sin

32iY e ϕθ

π±

± = 5.106c

8. Hệ thức truy toán cho hàm điều hoà cầu

Do hàm điều hoà cầu ( ),lmY θ ϕ là vectơ riêng chung của và , cho nên:

2L 3L

( ) ( )( ) ( )1, 1lm lmL Y l m l m Y ,θ ϕ θ± ±= ± +∓ ϕ 5.107Từ các hệ thức này, ta sẽ tìm được hệ thức truy toán sau đây, rất cần thiết cho các tính toán sau này:

( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

1,

1,

1 1cos , ,

2 1 2 3

,2 1 2 1

lm l m

l m

l m l mY Y

l l

l m l mY

l l

θ θ ϕ θ ϕ

θ ϕ

+

−

+ + − += +

+ +

+ −+

+ −

5.108

Thực vậy, bằng cách áp dụng lần hệ thức (5.107) ta có: m

132


( ) ( )( ) ( ) ( )!

, ,2 ! !

l m

lm lll m LY Y

l l mθ ϕ θ

−−+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

ϕ

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1

1 !, ,

2 1 ! 1 !

l m

l m l ll m LY Y

l l mθ ϕ θ

−−

+ +

+ + ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ + − ⎝ ⎠ϕ

( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1 11 !2

, ,2 ! 1 !

l m

l m l ll m LY Yl l m 1θ ϕ θ

− −−

+ +

+ + ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠ϕ−

5.109

Như vậy:

( ) ( )( ) ( ) ( )!

cos , cos ,2 ! !

l m

lm lll m LY Y

l l mθ θ ϕ θ θ ϕ

−−+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

5.110

Mặt khác, chú ý rằng:

( ) ϕ ϕθ θ θ θθ ϕ

− −− − ⎛ ⎞∂ ∂⎡ ⎤ = = − + =⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠,cos cos cos sin ,i iL L e ictg e θ

( ) ( )ϕ ϕθ θ θ− −− = − + =sin cos sin 0i iL e e ctg θ 5.111

Cho nên: 1 1

,cos ,cos ,cosn n nL L L Lθ θ

− −− − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Lθ − =

( )1

sinn

iLn e ϕ θ−

−−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Nghĩa là:

( ) ( )( ) ( ) ( )!

cos , cos ,2 ! !

l m

lm lll m LY Y

l l mθ θ ϕ θ θ ϕ

−−

⎧+ ⎪⎛ ⎞= +⎨⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎪⎩

( ) ( )1

sin ,l m

ill

Ll m e Yϕ θ θ ϕ− −

−−⎫⎛ ⎞− − ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎭

5.112

Số hạng thứ nhất trong ngoặc ở vế thứ hai của biểu thức trên có thể biến đổi như sau:

( ) ( )1,1cos , ,

2 3

l m l m

ll l lL LY Y

lθ θ ϕ θ ϕ

− −− −

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

133


( ) ( )( ) ( ) ( )1,2 1 ! 1 !

,1 ! 2 3 l m

l l mY

l m lθ ϕ+

+ + −=

+ + + 5.113

Để tính số hạng thứ hai, trước hết ta sử dụng (5.101) sau đó là (5.105):

( ) ( ) ( )ϕϕ θ θπ

+−− −+= =112 1 !!(2 1)sin sin

4 (2 )!!li li

lllle Y e

l

( ) ( )θ θ− − − −+ +

= − = −2 21, 1 1, 1 1, 1

2 1 2 11 cos cos2 2l l l l l ll lY Y

l l − −Y

( )( ) ( )1, 1 1, 12 2 ,

2 1 2 1 2 3l l l ll Y Y

l l lθ ϕ− − + −= −

+ + + 5.114

Sử dụng (5.109), (5.114) có thể tính được số hạng thứ hai của (5.112):

( ) ( )( )

1

1, 1 1, 12 2

2 1 2 1 2 3

l m

l l l lL ll m Y Y

l l l

− −−

− − + −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞− − − =⎨ ⎬⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( )( ) 1,

2 2 2 ! 1 !2 1 1 ! l m

l l l ml m Y

l l m −

⎧ − − −⎪= − − +⎨ + − +⎪⎩

( ) ( )( )( )( ) 1,

2 ! 1 !2 1 2 3 1 ! l m

l l mY

l l l m +

⎫− + ⎪− ⎬+ + + + ⎪⎭

( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1 11 !2

, ,2 ! 1 !

l m

l m l ll m LY Yl l m 1θ ϕ θ

− −−

+ +

+ + ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠ϕ−

Gộp hai kết quả với nhau, ta được hệ thức (5.108) cần tìm.

9. Mô hình vectơ cho moment động lượng

Khi xét các hệ có nhiều phần độc lập nhau, mỗi phần có moment động lượng riêng của nó, ta thường phải tìm toán tử moment động lượng toàn phần của hệ. Để làm điều đó, ta thường dùng một phương pháp trực giác sau đây, gọi là mô hình vectơ của moment. Theo mô hình này, mỗi toán tử moment động lượng vẫn được diễn tả bằng một vectơ, như vectơ moment cổ điển, với độ dài bằng ( )1l l + . Phép cộng moment vẫn theo quy tắc hình bình hành. Phép chiếu moment lên một trục, được tiến hành như với vectơ cổ điển.

Trong mô hình vectơ, việc hình chiếu lớn nhất của moment lên trục luôn luôn nhỏ hơn độ dài của vectơ đó:

Oz

134


< + =( 1)l l l Lể

5.115có nghĩa là, vectơ moment không th trùng với trục . Điều này phù hợp với hệ thức bất định. Thực vậy, nếu

OzL trùng với trục Oz ,

0x yL L= = , 2zL L L= = 5.116

nghĩa là, cả ba thành phần của vectơ moment là tồn tại đồng thời. Điều này trái với hệ thức bất định (5.26).

Việc giá trị trung bình của ,x yL L bằng không trong trạng thái có 2L và

xác định, sẽ được hiểu rằng, vectơ moment không thể đứng yên ở một vị trí, mà luôn luôn quay xung quanh trục Oz . (Hình 1). Đây gọi là chuyển động tiến động của moment động lượng.

zL

Hình 2. Vectơ moment tiến động xung quanh trục Oz

Việc hình chiếu của moment lên trục bị lượng tử hoá, được hình

dung như góc nghiêng của vectơ moment với trục đã bị lượng tử hoá. Lượng tử hoá góc nghiêng của

OzOz

L với trục , được gọi là lượng tử hoá không gian. (Hình 2)

Oz

Hình 3. Lượng tử hoá không gian với 2l =

135

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ MOMENT ĐỘNG LƯỢNG Khi hệ gồm hai phần độc lập nhau, mỗi phần có moment động lượng là

1L và 2L , thì moment toàn phần của hệ sẽ là:

1 2L L L= + 5.117trong đó, phép cộng theo quy tắc hình bình hành (Hình 4):

Hình 4. Moment động lượng toàn phần

Khi đó, mỗi vectơ moment đều tiến động xung quanh vectơ moment tổng. Do moment là vectơ, cho nên, độ dài của vectơ moment tổng không chỉ phụ thuộc vào độ dài của mỗi moment, mà còn phụ thuộc vào góc tạo bởi hai vectơ đó. Như vậy, cho dù 1L và 2L giao hoán nhau, khi cho và , moment

1l 2ltoàn phần vẫn không hoàn toàn xác định: l

( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 1 21 1 1L l l l l l l L L= + = + + + + 2 5.118

Nếu 1L và 2L cùng chiều nhau, moment toàn phần lớn nhất là:

1 2l l l= + 5.119trong khi nếu chúng ngược chiều nhau:

1 2l l l= − 5.120Do có sự lượng tử hoá không gian, moment toàn phần sẽ có các giá trị liên tiếp sai khác nhau một đơn vị và:

1 2 1l l l l l− ≤ ≤ + 2 5.121 Nói riêng, nếu và 1 1l = 2 1/ 2l = , moment toàn phần sẽ có các giá trị là

. 3/ 2, 1/2l =

136

chuong 5 ch.v- angular momentum

Documents