chuong1_chvrbd_17-5-2015

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT

KHOA KỸ THUẬT XD-TRƯỜNG ĐHBK-ĐHQG HCMPGS. TS. BUI CONG THANH

PGS TS Bui Cong Thanh

I. GiỚI THIỆU CHUNG

dA

dV

fdV

Lực thể tích–Lực bề mặt

Lực thể tích: lực trên đơn vị thể tích - N/m3

Ex: Lực trọng trường, lực quán tính

Lực bề mặt: tác dụng trên một đơn vị bề mặt - N/m2

pdA


I. GIỚI THIỆU CHUNG (tt)

P1

P2

P4

P5

(A)(B)

P1

(A)

P2

Nội lực



ΔA 0

F dFp

A dAlim

��

i

p ou p

Vectơ ứng suất tại 1 điểm

Ký hiệu:

Các thành phần ứng suất: Ứng suất pháp : Ứng suất tiếp :

P1

(A)

P2

p



Xác định hệ trục tọa độ xyz sao cho trục z vectơ pháp tuyến

n

Các thành phần ứng suất trên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến z: Ứng suất pháp: z

Ứng suất tiếp: zx, zy

P1

(A)

P2

z

zx zy

x

y

z



Các thành phần ứng suất trên các mặt của hình khối lập phương

Ứng suất pháp: x, y, z

Ứng suất tiếp: xy, xz, yz, yx, zx, zy

Nguyên lý đối ứng của ứng suất tiếp

xy yx yz zy zx xz; ;



Quan hệ giữa các thành phần ứng suất tại 2 điểm rất gần nhau trong hệ tọa độ vuông góc

B A x x xx x

xy xy xyB Axy xy

B A xz xz xzxz xz

dx dy dzx y z

dx dy dzx y z

dx dy dzx y z

x x xy xy xz xzDo : (x, y,z); (x, y,z); (x, y,z)



Nếu 2 điểm A và B ở trên đường thẳng song song với trục x, khi đó dy = dz = 0 và

B A xx x

xyB Axy xy

B A xzxz xz

dxx

dxx

dxx

x x+ dx

x

y

z



Tenxơ ứng suất

x xy xz

yx y yz

zx zy z

vecto u/s tren mat co phuong phap tuyen x

vecto u/s tren mat co phuong phap tuyen y

vecto u/s tren mat co phuong phap tuyen z

T

Chín thành phần ứng suất trên 3 mặt phẳng vuông góc là các thành phần của một ma trận gọi là “tenxơ ứng suất” tại một điểm



QUY ƯỚC DẤU

Ứng suất pháp: > 0 nếu là ứng suất kéo

Ứng suất tiếp: > 0 nếu

Trên mặt dương, có cùng chiều với chiều dương của trục

tương ứng

Trên mặt âm, trái chiều với chiều dương của trục tương ứng



TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐiỂM

Tính chất: Nếu các thành phần của tenxơ ứng suất được biết thì TTƯS tại điểm đó hoàn toàn được xác định

Định nghĩa: “TTƯS tại 1 điểm là tập hợp tất cả các thành phần ứng suất trên mọi mặt phẳng đi ngang qua điểm đó”


II. Ứ/SUẤT TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG

z

x

y

dA

dAx

dAy

dAz

tn

nn n

x

yx

y

z

xy xzyx

yz

zxzy tx

ty

tz

z

Cân bẳng của phân tố tứ diện


II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG (tt)

x x yx zx x x yx y zx z

y xy y zy xy x y y zy z

z xz yz z xz x yz y z z

t cos(n,x)+ cos(n,y)+ cos(n,z) n n n



Ưng suất toàn phần trên m/p nghiêng2 2 2

n x y zt t t t

Sự cân bằng của phân tố tứ diện theo các phương x, y và z lần lượt cho:

Các t/p ứng suất trên mặt phẳng nghiêng có phương pháp tuyến n


II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG (tt)

Ứng suất pháp:

x y z

n x x y y z z

n cos n

t.

,x ;n cos n,y ;n

n t n t n t

cosavec

n

n, z

Ứng suất tiếp:

n n nt 2 2

n ij i jnn

Theo quy ước chỉ số:

2 2 2n x x y y z z xy x y yz y z zx z xn n n 2 n n 2 n n 2 n n


III. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TRÊN BIÊN, S

x x x yx y zx z x

y xy x y y zy z

z xz x yz y z

Y

Zz

t n n n

t n n n

t n

t

t

tn n

Nếu phân tố tứ diện ở trên bề mặt, S→ điều kiện cân bằng trên bề mặt được viết:

x y zt , t , t các thành phần lực bề mặt


IV. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN BẰNG TRONG(V)

xyx xzx

yx y yzy

zyzx zz

f 0x y z

f 0x y z

f 0x y z

Phương trình vi phân cân bằng tĩnh học:

yxyx dy

y

z

y

xx

yx

xx dx

x

zxzx dz

z

x y zf , f , f Các t/p lực thể tích


V. ỨNG SUẤT CHÍNH – PHƯƠNG CHÍNH – BẤT BIẾN CỦA TENXƠ ỨNG SUẤT

Mặt chính: là mặt trên đó chỉ tồn tại ứng suất pháp

Phương chính: phương của vectơ pháp tuyến của mặt chính

Ứng suất chính: ứng suất pháp của mặt chính

n = tn = ứng suất chính; khi n = 0



x xy xz

xy y yz

xz yz

x y z

2 2 2x y z y

zz

x z

x y

n n n

n n n n n n 1

n n n

0

0 avec

0

Xác định ứng suất chính:

x x x yx y zx z x

y xy x y y zy z

z xz x yz y

y

z zz

t n n n

t n n

n

nn

t n n nn



3 2x xy xz

1 2 3xy y zy

xz yz z

I I I 0det 0

(Equation caracteristique)

x y z

x y y z z x xy yz zx

ij

bat bien thu nhat

bat bien thu hai

bat bien

I :

I

I det( ) thu:

:

ba

1

2 2 22

3

I1, I2, I3 – các bất biến của tenxơ ứng suất



“Tồn tại 3 mặt chính ứng suất vuông góc với nhau từng đôi một” 3 ứng suất chính:

1 2 3

Tương ứng với mỗi ứng suất chính (k), tồn tại phương chính có côsin chỉ phương ni

(k)

(k ) (k ) (k )x y z

2 2 2(k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k )x y z x y z

(k ) (k ) (k )x

x xy xz

xy y y

(k )

(k ) z

xz y zyz z (k )

0

0 av

n n n

n n n nec

0

n n 1

n n n


VI. ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI

Biểu diễn theo trục chính

Ứng suất trên mặt phẳng nghiêng:

2 2 21 1 2 2 3 3

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2

2 2 22

3 3

1 3

n n n (i)

t n n n n n n (ii)

avec : (n n n 1 iii)

ni – cosin chỉ phương của vectơ pháp tuyến đơn vị đối với các trục chính


VI. ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI (tt)

Từ (iii)

2 2 21 2 2 3 3 1f n ,n g n hay hay ,n h n ,n

Điều kiện dừng đối với ni cho:

Tập hợp các nghiệm thứ nhất, và các ứng suất tương ứng:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

tuong ung voi

tuong ung vo

n 1, n 0

0

0

, n 0;

n 0, n 1, n 0;

n 0, n 0, n

i

tuong u1; ng vo 0i

Các phương chính, không có ứng suất tiếp



23 2 3

31

1 2 3

1 2 3 1

1

3

1 2 3 2 1 2

1 1n 0, n , n

2 21 1

n , n 0, n

1

2

2 21 1

n , n , n 0

1

2

2 2

2

1

Tập hợp nghiệm thứ hai và các ứng suất tương ứng



x1x1

x2

x3

x2

x3

x1

x2

x3

Ba cặp mặt phẳng có ứng suất tiếp cực đại

13

311221 23


VII. ỨNG SUẤT BÁT DIỆN

1 2 3

1n n n

3

Mặt bát diện: có vectơ pháp tuyến đơn vị nghiêng đều với các trục chính ứng suất

2 2 2 2bd 1 2 3

1t

3

Ứng suất bát diện toàn phần

bd 1 2 3

1

3

Ứng suất pháp bát diện:

2 2bd bd bd

2 22

1 2 2 3 3 1

t

1

3

Ứng suất tiếp bát diện:

x1

x2

x3


VIII. TENXƠ ỨNG SUẤT CẦU – TENXƠ ỨNG SUẤT LỆCH

my- m

x- mm

m

X

Y

Z

x

y

X

z

xy

xz

yx

yz

zyzx

Y

Z

xy

xz

yx

yz

zy zxX

Y

Z

z- m

= +

Phân tích tenxơ ứng suất thành 2 thành phần:Tenxơ ư/s cầu (Spherical Stress Tensor) + Tenxơ ư/s lệch (Deviator Stress Tensor)

Tenxơ ư/s cầu Tenxơ ư/s lệch Tenxơ ứng suất


VIII. TENXƠ ỨNG SUẤT CẦU – TENXƠ ỨNG SUẤT LỆCH (tt)

m my z

mx

m

m

with 3

0 0

0 0

0 0

Tenxơ ứng suất cầu

x m xy xz

ij yx y m yz

zx zy z m

s

Tenxơ ứng suất lệch


VIII. TENXƠ ỨNG SUẤT CẦU – TENXƠ ỨNG SUẤT LỆCH (tt)

Tính chất:

m m m m mI 3 I

Bất biến thứ nhất của tenxơ ư/s cầu Bất biến thứ nhất của tenxơ ứng suất

Bất biến thứ nhất của tenxơ ứng suất lệch triệt tiêu

1 11 22 33 x m y m z mJ s s s 0

Bất biến thứ hai của tenxơ ư/s lệch:

2 2 222 bd 1 2 2 3 3 1 ij ij

3 1 1J s s

2 2 2


IX. TRẠNG THÁI Ư/S PHẲNG VÀ VÒNG TRÒN MOHR

Biểu thức giải tích

TTƯS phẳng vectơ ứng suất 1 plan

Td: Trong m/p (x,y) z = zx = zy = 0

Tenxơ ứng suất:

x xy

x xy

yx yyx y

hay rut go

0

T 0 T

0 0 0

n


IX. TRẠNG THÁI Ư/S PHẲNG VÀ VÒNG TRÒN MOHR(tt)

Ứng suất chính: là nghiệm của phương trình

x xy

xy y

2x y x y y

2x0 0

2

x y x y1 2xy

2 2 2

Phương ư/s chính: Nếu J ứng suất chính

(J) (J)x J x xy y

(J) (J)xy x y J y

n n 0

n n 0

(J)y xyJ x

J (J)x xy J y

ntan

n



Biểu thức giải tích và vòng tròn Mohr

+

x

x

x’y’y

O

x

y

x

y

y

x

A

B

x y x yxy

x y

xy

cos2 sin22 2

sin2 cos22

2

x y x y2 2xyc ; R

2 2

2 2 2c R Vòng tròn Mohr



P(y,xy) M(x,xy)

N(y,yx)

H H’ ABC

M’(,)

x

xy

yx

y

x

y



Cách vẽ vòng tròn Mohr ứng suất : Chọn trục hoành biểu diễn , và trục tung có chiều dương hướng xuống dưới biểu diễn ; Gọi M(x, xy) biểu diễn các thành phần ư/s trên mặt có pháp tuyến x, và N(y, yx = -xy) biểu diễn các thành phần ư/s trên mặt có pháp tuyến y, trực giao với mặt x Nối MN cắt trục hoành tại điểm C(c, 0); Vòng tròn tâm C, bán kính CM là vòng tròn Mohr Vòng tròn cắt trục tại 2 điểm A và B tương ứng với ứng suất chính và phương chính



Tính (bằng cách sử dụng vòng tròn Mohr

Để tính các thành phần ứng suất trên 1 mặt có pháp tuyến tạo một góc với trục x: n

Vẽ vòng tròn Mohr;

Chọn điểm cực P có tọa độ P(y, xy);

Kẻ đường Pu // với phương cho cắt vòng tròn tại M có tọa độ (cần tìm

n



Xác định ứng suất chính và phương chính

Các ứng suất chính được xác định bởi tọa độ 2 điểm ở 2 đầu đường kính, A et B, với:

2

x y x y 2I xyOA = OC + CA = c +R

2 2

2

x y x y 2II xyOB OC CB c R

2 2

Các phương chính là các phương PA et PB


X. TRẠNG THÁI Ư/S KHỐI VÀ VÒNG TRÒN MOHR(tt)

xI

xII2

1

3

xIII

max

max

3

2

1

ABC

max

M(

Ba vòng tròn Mohr:

Trạng thái ứng suất khối sẽ được biều diễn bởi một điểm nằm trong miền giới hạn bởi 3 vòng tròn Mohr ứ/s


XI. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ViẾT THEO QUY ƯỚC CHỈ SỐ

Phương trình vi phân cân bằng:

0

iji

j

f tron x

g (V)

Điều kiện bề mặt:

ij j i tren t Sn

Các t/p ư/s trên mặt phẳng nghiêng

i ij jt n

Ứng suất pháp: n = ijninj


XII. Thí dụ

Thí dụ 1: TTƯS tại một điểm trong vật thể cho bởi :

ij

7 0 2

0 5 0

2 0 4

Xác định các thành phần ứng suất trên mặt phẳng đi ngang qua điểm này và có vec tơ pháp tuyến đơn vị

1 2 3n 2 / 3 e 2 / 3 e 1/ 3 e


XII. Thí dụ (tt)

Lời giải

x

y

z

t 7 0 2 2 / 3 14 / 3 2 / 3 4

t 0 5 0 2 / 3 10 / 3 10 / 3

2 0 4 1/ 3 4 / 3 4 / 3 0t

x xy xzx x

y yx y yz y

z zx zy z z

t n

t n

t n


XII. Thí dụ (tt)

Thí dụ 2: Trong thí dụ trên, tính: (1) ứng suất pháp; (2) ứng suất toàn phần; (3) góc hợp bởi ứng suất toàn phần và phương pháp tuyến

22

0

2 10 2 1 44t.n 4x 0

3 3 3 3 9

10t 4 5.2

3

t.n t .cos cos 0.94 20


XII. Thí dụ (tt)

Thí dụ 3: Cho tenxơ ứng suất tại 1 điểm:

5 0 0

T 0 6 12 (MPa)

0 12 1

Xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại.


XII. Thí dụ (tt)

2

1 2 3 10 MPa; 5 M

5 0 0

0 6 1 2 0

0

Pa; 15

5 5

M

15

1

0 0

Pa

2 1

Lời giải

1 3max 12.5 MP

10 1a

5

2 2

Ứng suất tiếp cực đại:

Ứng suất chính xác định bởi:


Bài tập

1cb

c1a

ba1

cb

ca

ba

T

1/ Cho tenxơ ứng suất tại 1 điểm:

Trong đó: a, b, c là các hằng số, và là 1 giá trị của ứng suất.

Xác định các hằng số a, b, c sao cho các ứng suất triệt tiêu trên các mặt nghiêng đều với các trục tọa độ.


Bài tập (tt)

0y20

y20y5

0y5xy3

T 2

2

2/ Trường ứng suất trong một vật thể được biểu diễn bởi tenxơ ứng suất:

Xác định các thành phần X, Y, Z của lực thể tích sao cho các phương trình vi phân cân bằng thỏa trong vật thể


Bài tập (tt)

5 0 0

T 0 6 12 (MPa)

0 12 1

3/ Cho tenxơ ứng suất tại 1 điểm:

Xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại.

Đáp số: 1 = 10 MPa, 2 = 5 MPa, 3 = -15 MPa


Bài tập (tt)

10 6 0

6 10 0

0 0 1

ij

4/ Xác định các giá trị của ứng suất lệch chính cho ten-xơ ứng suất sau:

Trả lời: s1 = 16-7 = 9, s2 = 4-7 = -3, s3 = 1-7 = -6


Bài tập (tt)

2 2

2 3ij

2

x y (1 y )x 0

(1 y )x (y 3y) / 3 0

0 0 2z

5- Cho tenxơ ứng suất tại 1 điểm trong môi trường liên tục:

Hãy xác định: 1. lực thể tích để phương trình cân bằng thỏa2. các ứng suất chính tại điểm P(a,0,2).3. ứng suất tiếp cực đại tại P.4. các thành phần ứng suất lệch chính tại P.

chuong1_chvrbd_17-5-2015

Documents