chuyende luonggiac

K2p

i.net

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Chuyên mục: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LTĐH 2014

Lời nói đầu. Phương trình lượng giác hầu như có mặt trong tất cả các đề thi Đại học, Cao đẳng từ xưa đến nay củaBộ GD-ĐT. Phương trình lượng giác thường đặt ở vị trí câu II trong các đề thi Đại học, Cao đẳng với mức độ bìnhthường để học sinh TB khá trở lên cũng có thể có khả năng lấy điểm. Tuy vậy, để lấy được điểm nguyên vẹn của câunày cũng còn là vấn đề so với nhiều học sinh. Các em học sinh cứ than phiền lượng giác công thức nhiều, biến đổiphức tạp và trong nhiều công thức nên chọn công thức nào để biến đổi thích hợp...?Tôi xin mạn phép nói với các em ấy rằng, những lý do đó chưa hẳn là chính đáng đâu các em à!Với hi vọng giúp đỡ các em học sinh ấy học tốt lượng giác hơn, các em sẽ không còn ngại ngùng với đống công thứchỗn độn của lượng giác khi đối mặt với các dạng câu lượng giác trong đề thi. Nhưng với sự hỗ trợ của các thầy cô, cácbạn học sinh, sinh viên với những kinh nghiệm bản thân cùng khả năng phân tích, định hướng sát thực sẽ giúp các emhọc sinh tiếp cận gần hơn với các phương trình lượng giác để các em có hướng tư duy đúng.Chuyên đề được viết dưới dạng các bài toán chọn lọc cụ thể. Mỗi bài toán đều có sự phân tích, định hướng lời giải kĩcàng được chia sẽ từ các bạn học sinh, các thầy cô dày dặn kinh nghiệm trên diễn đàn K2pi.net. Với ngôn ngữ đờithường, có pha chút hài hước, hi vọng sẽ mang lại cho các em học sinh những kiến thức, kinh nghiệm thật quý báunhất.

*****

1. Giải phương trình sau: 8(sin6 x+ cos6 x) + 3!3 sin 4x = 3

!3 cos 2x" 9 sin 2x+ 11

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Trước hết, nhìn tổng quan phương trình trên, trong phương trình chỉ chứahai hàm lượng giác là hàm sin và hàm cosin nên điều đáng chú ý đầu tiên đó là bậc (6) và các góc lượng giác (chứacác góc x # 2x # 4x). Những điều ta nhìn thấy này ắt hẳn khiến ta nghĩ đến công việc cần làm đầu tiên là hạ bậc(để bậc nhỏ lại) và sử dụng công thức nhân đôi (để chuyển về cùng góc). Cụ thể:• sin6 x+ cos6 x = [sin2 x]3 + [cos2 x]3 = (sin2 x+ cos2 x)(sin4 x" sin2 x cos2 x+ cos4 x)

= 1" 3 sin2 x cos2 x.• sin 4x = 2 sin 2x cos 2x.Khi đó, phương trình đã cho tương đương với

8!

1" 3sin2xcos2x"

+ 6!3 sin 2x cos 2x = 3

!3 cos 2x" 9 sin 2x+ 11

Như vậy, với bước làm đầu tiên, bậc cao đã giảm xuống, góc 4x đã mất đi. Đến đây, phương trình đã được đơn giảnhóa đi một phần đáng kể, nhưng chúng ta còn phải thực hiện một thao tác nữa bằng cách sử dụng một công thứcquen thuộc sin2 x cos2 x =

1

4(2 sinx cosx)2 =

1

4sin2 2x. Lắp ráp nó vào phương trình trên ta thu được:

8

#

1"3

4sin2 2x

$

+ 6!3 sin 2x cos 2x = 3

!3 cos 2x" 9 sin 2x+ 11

$% " 2 sin2 2x+ 2!3 sin 2x cos 2x"

!3 cos 2x+ 3 sin 2x" 1 = 0 (1)

Những vấn đề khó khăn nhất đã được giải quyết, bậc cao nhất chỉ là bậc 2, phương trình chỉ còn một góc duy nhấtlà 2x. Phương trình bây giờ không còn điều gì để băn khoăn ngoài việc đưa về phương trình tích. Đến đây, nếu mấtmột khoảng thời gian mò mẫm ta cũng sẽ nhóm được thành nhân tử thôi. Để khỏi mất thời gian hơn, chúng ta cầncó một cách nhìn nhận tốt hơn để nhóm thành nhân tử nhanh hơn. Nào, chúng ta cùng theo dõi cách nhìn sau nhé:+ Trong phương trình có 5 hạng tử, để có được nhân tử chúng ta hi vọng su khi ghép những cặp đôi sẽ thành. Nhưngvới 5 hạng tử ta không thể ghép đủ các cặp đôi. Điều này có nghĩa rằng sẽ có một nhóm nào đó có chứa 3 hạng tử.Để ý mối tương quan của các hạng tử, chúng ta có thể tạm nhóm như sau:

(1) $% (2!3 sin 2x cos 2x"

!3 cos 2x) + ("2 sin2 2x+ 3 sin 2x" 1) = 0

$%!3 cos 2x(2 sin 2x" 1) + ("2 sin2 2x+ 3 sin 2x" 1) = 0 (2)

Với hi vọng PT(2) sẽ có nhân tử 2 sin 2x" 1, ta chú ýax2 + bx+ c = a(x" x1)(x " x2) = (x " x1)(ax " ax2) với x1, x2 là hai nghiệm thực của tam thức ax2 + bx + c. Ápdụng vào bài toán ta có ngay sự phân tích:

(2) $%!3 cos 2x(2 sin 2x" 1) + (sin 2x" 1)(1" 2 sin 2x) = 0 (3)

$% (2 sin 2x" 1)(!3 cos 2x" sin 2x+ 1) = 0

Diễn đàn K2pi.net 1

K2p

i.net

LƯỢNG GIÁC 2014

Lúc này, chúng ta hãy thở phào nhẹ nhỏm khi ý đồ bài toán đã bị chúng ta phá vỡ. Nếu không may, trong trườnghợp PT(3) không thể tạo thành nhân tử như ta nghĩ, lúc đó, chúng ta đổi hướng phân tích bằng cách thay sin2 2x =1" cos2 2x và tiếp tục thực hiện như vậy. Phương trình tích cuôi cùng đã thuộc dạng cơ bản. Các nghiệm của nó là

x =!

12+ k!;x = ±

5!

12+ k!;x =

!

4" k!, (k & Z)

!

2. Giải phương trình: 2 sin 6x cos x

2 = 4 cos 2x cosx+ sin 4x cos x

2 + 4 cos 5x

Bài toán

Phân tích hướng giải. (1)(Lê Đình Mẫn) Trong PT chúng ta thấy đa số các số hạng đều có dạng tích hai hàmlượng giác, các góc thì lệch nhau quá nhiều

x

2, x, 2x, 4x, 5x, 6x. Thông thường một bài lượng giác trong đề thi ĐH thì

không đến nổi khó lắm đâu. Chỉ cần nắm hết các kĩ năng đưa về dạng nhân tử là OK! Đối với bài này tôi chỉ thấyanh chàng 5x nó lẻ loi quá thôi. Nhưng mà 5x = 4x+ x = 6x" x = ... Có ai đó đã nghĩ ngay đến công thức đưa tíchvề tổng. Nhưng liệu có vội vàng quá không khi ta sẽ càng làm cho PT có nhiều góc lẻ và có thể phức tạp hơn chăng?Vì thế, hãy cố gắng để tâm chút đến mối liên quan giữa các góc.Đập thẳng vào mắt ta: x

2# x # 2x # 4x. Đó có thể ẩn chứa sự nhân đôi chăng?

Và phải làm sao để tạo nên mối liên hệ giữa góc 5x và các góc khác đây? Tôi chỉ mới biết nghĩ có thế này thôi5x = 4x+ x = 6x" x. Muốn vậy, tôi cần có cos 5x. cosx hay cos 5x. sinx.Hơn nữa, với cái này 4 cos 2x cosx, nếu ta thêm sinx thì ta được4 cos 2x cosx. sin x = 2 cos 2x. sin 2x = sin 4x.Mấu chốt của phương trình đó chính là sự vắng mặt của sinx.Thật là thú vị phải không nào! Bắt đầu với các ý tưởng đó thôi.+TH1: Nếu sinx = 0 thay vào PT suy ra cosx = "1 % x = ! + k2! (k & Z).+TH2: Với sinx '= 0, nhân hai vế PT với sinx được PT tương đượng

2 sinx sin 6x cosx

2= sin 4x+ sinx sin 4x cos

x

2+ 4 cos 5x sinx

$% 2 sinx sin 6x cosx

2= sin 4x+ sinx sin 4x cos

x

2+ 2(sin 6x" sin 4x)

$% 2 sin 6x%

cosx

2sinx" 1

&

= sin 4x%

cosx

2sinx" 1

&

$%'

2 sin 6x" sin 4x = 0 (1)cos x

2 sinx" 1 = 0 (2)!

•(1) $% sin 2x(4 cos2 2x " cos 2x " 1) = 0 $%

(

)

)

)

)

)

)

*

x =!

2+ k!

x = ±arccos

%

1!"17

8

&

2+ k!

x = ±arccos

%

1+"17

8

&

2+ k!

•(2) $% cos x

2 sinx " 1 = 0 (Vô

nghiệm!)Một hướng khác khi giải phương trình (1):

"2 sin2 2x+ (2!3 cos 2x+ 3) sin 2x"

!3 cos 2x" 1 = 0

Xem phương trình này là phương trình bậc hai ẩn sin 2x. Ta có

! = (2!3 cos 2x+ 3)2 " 8(

!3 cos 2x+ 1) = 12 cos2 2x+ 4

!3 cos 2x+ 1 = (2

!3 cos 2x+ 1)2

Khi đó ta thu lại được sin 2x =!3 cos 2x+ 1 hoặc sin 2x =

1

2

Phân tích hướng giải. (2)(xuannambka)

2 Tài liệu miễn phí

K2p

i.net


2 sin 6x cos x

2 = 4 cos 2x cosx+ sin 4x cos x

2 + 4 cos 5x( cos x

2 (sin 6x" sin 4x) + 12 sin 4x cos

x

2 " 2 cos 2x cosx" 2 cos 5x = 0( 2 sinx cos x

2 cos 5x+ cos 2x sin 2x cos x

2 " 2 cos 2x cosx" 2 cos 5x = 0( 2 cos 5x

!

sinx cos x

2 " 1"

+ cos 2x!

sin 2x cos x

2 " 2 cosx"

= 0( 2 cos 5x

!

sinx cos x

2 " 1"

+ 2 cosx cos 2x!

sinx cos x

2 " 1"

= 0

('

sinx cos x

2 = 1 (1)cos 5x+ cosx cos 2x = 0 (2)

(1) ( 12

!

sin x

2 + sin 3x2

"

= 1 ( sin x

2 + sin 3x2 = 2 (

+

sin x

2 = 1sin 3x

2 = 1( V N

(2) ( cosx(4cos22x" cos 2x" 1) = 0

(

(

*

cosx = 0cos 2x = 1

8

!

1 +!17"

cos 2x = 18

!

1"!17"

(

(

*

x = !

2 + k!

x = ± 12 arccos

!

18

!

1 +!17""

+ k!

x = ± 12 arccos

!

18

!

1"!17""

+ k!

3. Giải phương trình

cosx = cos23x

4

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Nhận thấy hình thức phương trình rất đơn giản với một hàm lượng giác vớihai loại góc x )

3x

4. Thao tác đầu tiên, nghĩ ngay đến công thức hạ bậc.

PT $% cosx =1 + cos

3x

22

Bởi hình thức đơn giản của phương trình nên ta không cần đến một thao tác biến đổi phức tạp nào ngoài cách nhìnnhận để lựa chọn công thức thích hợp.Hai góc x và 3x

2tuy nó không có mối quan hệ gì trực tiếp, nhưng ta hãy thử tìm mối quan hệ gián tiếp của chúng.

Thực vậy, ta nhận thấy x = 2.x

2,3x

2= 3.

x

2. Như vậy đã quá rõ ràng để ta biết phải tiếp tục chọn công thức nào

trong bài toán. Cụ thể:• cosx = 2 cos2

x

2" 1;

• cos3x

2= 4 cos3

x

2" 3 cos

x

2;

Lúc này, phương trình đã cho tương đương với:

2 cos2x

2" 1 =

1 + 4 cos3x

2" 3 cos

x

22

$% 4 cos3x

2" 4 cos2

x

2" 3 cos

x

2+ 3 = 0

Phương trình cuối giải ra được nghiệm

x = k4!;x = ±5!

3+ k4!;x = ±

!

3+ k4!, k & Z .

!


sin4x+ cos4x+ sin3x" cos3x =7 (sinx" cosx) + cos4x

4

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Hỏa Thiên Long) Nhận thấy sự đối xứng giữa các hàm sin và cos. Chỉ lòi ra thằng: cos 4xlà mất đối xứng thôi. Cần loại bỏ cos 4xNhưng loại bỏ theo cách nào? Tốt hơn là đưa về sin4 x và cos4 x vì chúng đã có mặt sẵn rồi. Vậy ta có bước biến đổiđầu tiên:cos 4x = cos2 2x" sin2 2x = sin4 x+ cos4 x" 6 sin2 x. cos2 xKhi đó, chắc là do ngẫu nhiên nên ta có được:sin4x+ cos4x" cos 4x

4 = 32 .(sin

2 x+ cos2 x)2 = 34 .

Vậy là đã OK trong ý tưởng biến đổi phương trình về dạng đối xứng của 2 hàm trên.


K2p

i.net

LƯỢNG GIÁC 2014

sin3 x" cos3 x+ 34 = 7(sin x!cosx)

4

Khi gặp một bài toán có tính đối xứng ta thường nghĩ đến điều gì nhỉ? Tất nhiên là đưa về tổng tích rồi. Vì vậy, talại biến đổi như sau:PT $% (sinx" cosx).(4 sinx. cosx" 3) + 3 = 0

5. Giải phương trình:1

cos!

x" !

2

" "1

sin!

3!2 " x

" = 4 cos

#

x"5!

4

$

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Lưỡi Cưa) Đánh giá về hàm: chỉ chứa hàm bậc nhất của sin và cos có hệ số đối xứng.Đánh giá các góc: x"

!

2;3!

2" x các góc này biến sin # cos biến cos # sin, góc này x"

5!

4# x"

!

4làm xuất hiên

sinx" cosx.Vậy đây là PT đối xứng của sin và cos ta nghĩ đến đặt: t = sinx" cosx hoặc t = sinx+ cosx tùy vào PT là đối xứngcủa hiệu hay tổngTrước hết, dùng công thức cung có liên quan đặc biệt để xử lí mấy chỗ (Cũng giúp chúng ta tìm điều kiện dễ hơn)cos(x " !

2 ) = cos(!2 " x) = sinxsin(3!2 " x) = sin(!2 " x+ !) = " sin(!2 " x) = " cosxvà cos(x" 5!

4 ) = cos(x" !

4 " !) = cos(x" !

4 )Khi đó, phương trình đã cho viết lại

1

sinx+

1

cosx= 4 cos(x"

!

4)

Phương trình chứa ẩn ở mẫu —-> đặt điều kiện đã.Điều kiện: sin 2x '= 0 ( x '=

k!

2. (Cả sinx và cosx khác 0)

Biến đổi quy đồng mẫu số, nhưng trước tiên ta nhận thấy

V T =cosx+ sinx

sinx cosx

Hãy xem vế phải của phương trình, tôi nghĩ kiểu này nên dùng công thức cộng cung

cos(x"!

4) = cosx cos

!

4+ sinx sin

!

4=

1!2(cosx+ sinx)

Như vậy chúng ta có thừa số chung là sinx+ cosx. Phương trình được viết lại

(sinx+ cosx)(1

sin x cos x" 2

!2) = 0

Từ đó, nghiệm của phương trình làx = "

!

4+ k!, x =

!

8+ k!, x =

3!

8+ k!


sin4 x+ cos4 x+ sin(3x"!

4) cos(x"

!

4)"

3

2= 0

Bài toán

Phân tích hướng giải. Khai triển hai cái ngoặc ta được:sin4 x+ cos4 x+ 1

2 (sin 3x" cos 3x)(cosx+ sinx)" 32 = 0

( 2(sin4 x+ cos4 x) + (sin 3x" cos 3x)(cos x+ sinx)" 3 = 0( 2(sin4 x+ cos4 x) + (3 sinx" 4 sin3 x" 4 cos3 x+ 3 cosx)(cos x+ sinx)" 3 = 0( 2(sin4 x+ cos4 x) " 3 + [3(sinx+ cosx)" 4(sinx+ cosx)(1 " sinx cosx)](sin x+ cosx) = 0( 2(sin4 x+ cos4 x) " 3 + (sinx+ cosx)2(2 sin 2x" 1) = 0( 2(1" 1

2 sin2 2x)" 3 + (1 + sin 2x)(2 sin 2x" 1) = 0

( sin2 2x+ sin 2x" 2 = 0

('

sin 2x = 1sin 2x = "2 (loại)

,

( x = !

4 + k!, k & Z


K2p

i.net


7. Giải phương trình2!3 cos2 x+ 2sin3xcosx" sin4x"

!3!

3 sinx+ cosx= 1

Bài toán

Phân tích hướng giải. (1) (Lưỡi Cưa)Điều kiện: tanx '= "

1!3( x '= "

!

6+ k!

Hiển nhiên là qui đồng mẫu số và thu gọn

2!3 cos2 x+ 2 sin 3x cosx" sin 4x"

!3"

!3 sinx" cosx = 0

Xử lí chỗ này trước nè2 sin 3x cosx = sin 2x+ sin 4x

Đến đây, ta được cái ngon lành hơn

2!3 cos2 x+ sin 2x"

!3"

!3 sinx" cosx = 0

Đến đây chỉ còn lại hai cung x và 2x. Đưa về cung x

2!3 cos2 x+ 2 sinx cosx"

!3"

!3 sinx" cosx = 0

Cái này thì mời các mem xem lại định hướng ở bài 1.Ta thu được các nghiệm

cosx =

!3

2hoặc

!3 cosx+ sinx = "1

Đến đây, hãy khoan nghĩ là 1điểm đã thuộc về mềnh! Đối chiếu điều kiện và loại nghiệm nào?

TH1. cosx =

!3

2. Ta có

tan2 x =1

cos2 x" 1 =

1

3

Như vậy, chỉ lấy được tanx =1!3( x =

!

6+ k!.

TH2. Cho hai họ nghiệm x = "!

2+ k2! cái này TMĐK

Cái thứ hai x =5!

6+ k2!. Thay vào, ta có

tan(5!

6+ k2!) = tan

5!

6= "

1!3

Không TMĐK roài.Túm lại, chỉ có hai họ nghiệm x =

!

6+ k! hoặc x = "

!

2+ k2!

Phân tích hướng giải. (2) (Lê Đình Mẫn)Điều kiện bài toán

!3 sinx+ cosx '= 0 $% tanx '= "

1!3

$% x '= "!

6+ k!, k & Z.

Ở dưới mẫu số là một hệ thống khá chặt chẽ bởi vì nó thuộc dạng quen thuộc a sinx+ b cosx.Ở trên tử số, ta nhận ra mối quan hệ cũng khá rõ ràng giữa các số hạng nếu ghép chúng lại. Chú ý:• 3x+ x = 4x, 3x" x = 2x % 2 sin 3x cosx = sin 4x+ sin 2x $% 2 sin 3x cosx" sin 4x = sin 2x;• 2 cos2 x" 1 = cos 2x.Do đó, phương trình tương đương với một phương trình thuộc dạng cơ bản sau:

!3 cos 2x+ sin 2x =

!3 sinx+ cosx

$% sin%

2x+!

3

&

= sin%

x+!

6

&

$%

(

*

x = "!

6+ k2!

x =!

6+

k2!

3

(k & Z).

Bước quan trọng cuối cùng để có nghiệm chính xác đó là đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai. Ngoài cách làmtheo thầy Lưỡi Cưa, ta có thể sử dụng đường tròn lượng giác bằng cách biểu diễn các điểm biểu thị nghiệm lên và đối


K2p

i.net

LƯỢNG GIÁC 2014

chiếu.Bằng cách cho lần lượt một vài giá trị nguyên k = 1, 2, 3, 4, ... ta được các giá trị x cụ thể. Khi biểu diễn các giá trịđó lên đường tròn lượng giác ta có hình như sau chẳng hạn:+ Hai điểm M, N chính là hai điểm biểu thị các giá trị x không thỏa mãn điều kiện, khi nghiệm trùng một trong cácđiểm này ta loại bỏ ngay.+ Họ nghiệm thứ nhất chính là điểm N nên không nhận; họ nghiệm thứ hai biểu thị bởi ba điểm B, N, C nên chỉ cócác nghiệm thuộc hai điểm B, C là ta nhận. Bây giờ, ta chỉ cần ghi công thức các nghiệm thuộc hai điểm này ra nữalà xong.+ Điểm B ứng với họ nghiệm x =

!

6+ k2!, điểm C ứng với họ nghiệm x = "

!

2+ k2! hoặc x =

3!

2+ k2!

Kết luận, hai họ nghiệm của phuơng trình ban đầu là

x =!

6+ k2!; x = "

!

2+ k2!, k & Z .

!

8. Giải phương trình : tan2x+ 3 =!

1 +!2 sinx

" !

tanx+!2 cosx

"

Bài toán

Phân tích hướng giải. (1) (Lưỡi Cưa)Điều kiện: cosx '= 0 ( x '=

!

2+ k!

Đổi tanx =sinx

cosx. Qui đồng mẫu số

sin2 x+ 3 cos2 x = (1 +!2 sinx)(sin x cosx+

!2 cos3 x)

Khai triển ra1 + 2 cos2 x = sinx cosx+

!2 cos3 x+

!2 sin2 x cosx+ 2 sinx cos3 x

Chú ý chỗ này !2 cos3 x+

!2 sin2 x cos x =

!2 cosx(cos2 x+ sin2 x) =

!2 cosx

Phương trình được viết lại1 + 2 cos2 x = sinx cosx+

!2 cosx+ 2 sinx cos3 x

Chú ý cái nàysinx cosx+ 2 sinx cos3 x = sinx cosx(1 + 2 cos2 x)

Thu được(1 + 2 cos2 x)(1" sinx cos x) =

!2 cosx

Đoán được nghiệm sinx = cosx =1!2

Thực hiện đánh giá

1 + 2 cos2 x * 2!2 cos2 x = 2

!2| cosx| * 0

và1" sinx cosx = 1"

1

2sin 2x *

1

2> 0

Do đó,V T *

!2| cosx|

Dẫn tới !2 cosx *

!2| cosx| ( cosx * 0

Tóm lại phương trình có nghiệm x =!

4+ k2!

Phân tích hướng giải. (2) (Lê Đình Mẫn)Nút thắt sẽ được mở nhẹ nhàng cho bài toán khi chúng ta nhìn ra được điều sau đây:Với mọi số thực a, b, c, d ta luôn có

(a" c)2 + (a" d)2 + (b " c)2 + (b" d)2 * 0 $% a2 + b2 + c2 + d2 * (a+ b)(c+ d)!

Áp dụng BĐT trên với a = 1, b =!2 sinx, c = tanx, d =

!2 cosx ta có ngay

tan2x+ 3 *%

1 +!2 sinx

&%

tanx+!2 cosx

&

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 1 =!2 sinx = tanx =

!2 cosx.


K2p

i.net


9. Giải phương trình:

8 cos2 x" 2 cosx" 6" 2!3 sinx = "

1

cosx.

Bài toán

Phân tích hướng giải. (N H Tu prince) ĐK:cosx '= 0 % x '= !

2 + k2!Để phương trình trở nên đơn giản hơn,ta phải làm mất ẩn ở mẫu thức,nhân hai vế cho cosx,phương trình trở thành:8 cos3 x" 2 cos2 x" 6 cosx" 2

!3 sinx cos x+ 1 = 0

Không khó để nhận thấy công thức nhân hai và nhân ba đang ẩn nấp,áp dụng công thức để thu gọn phương trình:( 2(4 cos3 x" 3 cosx)" 2

!3 sinx cosx" (2 cos2 x" 1) = 0

( 2 cos 3x"!3 sin 2x" cos 2x = 0 ( 2 cos 3x =

!3 sin 2x+ cos 2x

Phương trình giờ đã gọn hơn,nhưng lại gặp bất cập về góc khi 2x, 3x không liên quan nhiều đến nhau,chỉ còn ba hạngtử tham gia nên ta nghĩ đưa về dạng cơ bản,nhóm hai hạng tử cùng góc với nhau.Có dạng a sinx + b cosx,thử biểudiễn dưới dạng m sin(x+ ") được:2 cos 3x = 2 sin

!

2x+ !

6

"

( cos 3x = cos!

!

3 " 2x"

Phương trình đã về dạng cơ bản.Nghiệm của phương trình là

x =!

15+ k2!x =

7!

15+ k2!x = "

11!

15+ k2!x =

13!

15+ k2!x = "

!

3+ k2!

10. Giải bất phương trình!3 sin 2x * 6 sin2 x" 4 sinx+ 2

Bài toán

Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Thông thường với bài toán lượng giác chúng ta sẽ biến đổi để tìm ra nhậntử chung và đưa về phương trinh tích. Nhưng với bài toán này việc xuất hiện nhân tử

!3 sin 2xchúng ta chỉ có thể

nhóm với sinx hoặc hạ bậc 2sin2x = 1 " cos2x, tuy nhiên việc làm này không đem lại kết quả. Vậy lời giải cho bàitoán nằm ở đâu? Các bạn để ý là

6sin2x" 4 sinx+ 2 =36sin2x" 24 sinx+ 12

6=

(6 sinx" 2)2 + 8

6> 0

Do đó để bất phương trình có nghiệm ta phải có sin 2x > 0.Và công thức nhân đôi chúng ta có:

!3 sin 2x = 2

!3 sinx cosx.

Tiếp đến khi bình phương cả hai vế của bất phương trình vế trái xuất hiện sin2xcos2x = sin2x!

1" sin2x"

. Tức là taquy được bài toán về giải phương trình chỉ có chứa . Đây chính là nút thắt của bài toán.Do cả hai vế đều không âm nên bình phương hai vế của bất phương trình ta được

12sin2x!

1" sin2x"

*!

6sin2x" 4 sinx+ 2"2 ( 3sin2x" 3sin4x *

!

3sin2x" 2 sinx+ 1"2

( 3sin2x" 3sin4x * 1 + 9sin4x" 12sin3x+ 10sin2x" 4 sinx

( 12sin4x" 12sin3x+ 7sin2x" 4 sinx+ 1 + 0 (#

sinx"1

2

$2!

12sin2x+ 4"

+ 0 ( sinx =1

2

Công việc còn lại của chúng ta là đối chiếu điều kiện nghiệm. Tuy nhiên nếu giải trực tiếp điều kiện sin 2x > 0thì cácem trong chương trình học chưa được học và cũng không được rèn luyện nhiều về bài toán giải bất phương trình cơbản. Vậy phải làm thế nào?Ta xử lý như sau:Ta cósinx = 1

2 ('

x = !

6 + k2!x = 5!

6 + k2!.

Với nghiệmx = !

6 + k2! % sin 2x = sin!

!

3 + k4!"

="32 > 0nên thỏa mãn.

Với nghiệm x = 5!6 + k2! % sin 2x = sin

!

5!3 + k4!

"

= sin!

5!3

"

= sin!

5!3 " 2!

"

= " sin !

3 = ""32 < 0nên ta loại

nghiệm này.Vậy bất phương trình có nghiệm là x = !

6 + k2!, k & Z

11. Giải phương trình!1" sinx (1" sin 2x) +

1

cos2x= 2 tanx

Bài toán


K2p

i.net

LƯỢNG GIÁC 2014

Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Thật tự nhiên nếu chúng ta nhìn ra cái đẹp tiềm ẩn:• 1" sin 2x = sin2 x+ cos2 x" 2 sinx cosx = (sinx" cosx)2;

•1

cos2 x" 2 tanx = 1 + tan2 x" 2 tanx = (tanx" 1)2.

Bằng những công thức cơ bản ta đưa phương trình về PT tương đương sau:!1" sinx(sinx" cosx)2 + (tan x" 1)2 = 0 (1)

!

Rõ ràng căn thức luôn có nghĩa bởi sinx + 1, ,x '=!

2+ k!(k & Z) và V T(1) * 0. Do đó, nghiệm của phương trình

phải thỏa mãn tanx = 1 $% x =!

4+ k!(k & Z).


4 cos 2x (cos 2x+ 4 sinx" 3)" 24 sinx" 16!3 cosx+ 37 = 0

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Công thức cần sử dụng: cos 2x = 2 cos2 x" 1 = 1" 2 sin2 x. Sau khi sử dụngcông thức nhân đôi này vào phương trình, ta nhận thấy phương trình có đặc điểm như sau:• Bậc của phương trình lên đến bậc 4;• Tuy trong phương trình có chứa hai hàm lượng giác sinx, cos x nhưng hai hàm này độc lập trong từng hạng tử. Vìthế, việc đưa phương trình về tích là hầu như không thể bởi con số 37 nó không có mối quan hệ nào với một trong cáchệ số của các hạng tử còn lại. Nói cách khác ta buộc phải tách 37 ra từng mảnh nhỏ để thâm nhập vào từng nhómriêng biệt.Chính vì lẽ đó, ta thử tìm cách tạo ra những biểu thức không âm khi lấy tổng sẽ cho kết quả là số không âm. Ý tưởnglà như thế nhưng khi thực hiện cũng phải có tiểu xảo. Tiểu xảo đó là gì? Đó chính là đoán nghiệm.

Dễ dàng mò ra được nghiệm sinx =1

2, cosx =

!3

2. Điều này định hướng cho ta phân tích sao cho tạo ra

(2 sinx" 1)2, (2 cosx"!3)2, ... chẳng hạn. Hãy thử làm, ta sẽ có kết quả:

PT $% (2 sinx" 1)4 + 4(2 cosx"!3)2 = 0

!

13. Giải phương trìnhsin2x (tanx" 2) = 3 (cos 2x+ sinx cosx)

Bài toán

Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Trước tiên thấy xuất hiện tanxtrong phương trình chúng ta phải đặt điềukiện trước.Điều kiện cosx '= 0.Tới đây để ý cos2x = 2cos2x" 1hoặc bằng 1" 2sin2xđều được.Ta đưa về phương trình sin2x (tanx" 2) = 3

!

2cos2x+ sinx cosx" 1"

.Thử chia hai vế của phương trình cho cos2x '= 0xem sao.tan2x (tanx" 2) = 3

!

2 + tanx" 1cos2x

"

( tan2x (tanx" 2) = 3!

1 + tanx" tan2x"

.( tan3x+ tan2x" 3 tanx" 3 = 0 ( (tanx+ 1)

!

tan2x" 3"

= 0.

('

tanx = "1tanx = ±

!3

('

x = "!

4 + k!x = ±!

3 + k!.

Nhiều em thắc mắc là tại sao chia cả hai vế cho cos2xở đây. Có hai lý do, một là sin2x (tanx" 2) = sin2x!

sin x

cosx " 2"

cóthể coi là bậc hai đối với hàm số lượng giác. cos2x + sinx cosx = cos2x " sin2x + sinx cosxcũng là bậc hai đối vớihàm số lượng giác. Khi cả hai vế cùng bậc thì ta có thể chia cả hai vế cho cos2xhoặc sin2x. Hai là tại sao lại khôngchia cho sin2x, ở đây chúng ta sử dụng luôn điều kiện cosx '= 0. Do vậy khi chia không cần phải xét cosx = 0có lànghiệm của phương trình hay không?Nhưng thông thường những bài toán có chứa các đại lượng mình thường khuyên các em là biến đổi tanx = sin x

cosx ; cotx =cos xsin x

. Vậy bài toán này có làm được như vậy hay không? Và câu trả lời là hoàn toàn có thể, tuy nhiên việc biến đổi vànhóm và hạng tử chung đòi hỏi các em có một kỹ năng nhất định trong việc rèn luyện giải phương trình lượng giác.Trong trường hợp ta biến đổi phương trình như sausin2x

!

sin x

cosx " 2"

= 3!

cos2x" sin2x+ sinx cosx"

.( sin3x" 2sin2x cosx = 3

!

cos3x" sin2x cosx+ sinxcos2x"

.Tới đây thì các em có thể nhận ra ngay việc chia cả hai vế của phương trình cho cos3x.


K2p

i.net



(sinx+ cosx)2 " 2sin2x

1 + cot2x=

!2

2

-

sin%!

4" x

&

" sin%!

4" 3x

&.

Bài toán

Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Điều kiện sinx '= 0. Khi đó biến đổi phương trình thành

sin2x!

1 + sin 2x" 2sin2x"

=!2.cos

%!

4" 2x

&

. sinx

.( sinx (cos2x+ sin 2x) =

!2cos

%!

4" 2x

&

(!2 sinxcos

%!

4" 2x

&

=!2cos

%!

4" 2x

&

.(

'

cos!

!

4 " 2x"

= 0sinx = 1

('

x = 3!8 + k !

2x = !

2 + k2!!

.

15. Giải phương trình2 sin

%!

3" 2x

&

+ 2 sin 2x+!3

cosx= 4 cos 4x

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Chưa vội đặt ĐK đầu tiên ta cần định hướng lời giải trước: PT có nhiềugóc khác nhau, thông thường là biến đổi quy về một góc nào đó nhằm làm giảm số góc phân biệt, thử nhân hai vếvới cosx để khử mẫu khi đó VP chứa cos4xcosx nếu sử dụng công thức biến tích thành tổng thì lại làm tăng số góckhác nhau, thấy không ổn, chuyển sang phân tích tử số của phân thức VT với hi vọng xuất hiện nhân tử cosx, thậtmay mắn vận may đã đến và đây là lời giải:ĐK: cosx '= 0

PT(!3 (cos2x+ 1) + sin 2x

cosx= 4 cos 4x (

2cosx!!

3cosx+ sinx"

cosx= 4 cos 4x (

!3cosx+ sinx = 2 cos 4x, (2)

(Đến đây việc giải tiếp tìm nghiệm là đơn giản, nhưng đây là một PT có ĐK, thông thường tôi không vội vàng tìmnghiệm mà tôi sẽ định hướng để sử lý ĐK.Điều kiện tôi vẫn để nguyên từ đầu chưa giải nó ra bởi cần định hướng trước và nó đơn giản chỉ là cosx '= 0: có rấtnhiều cách sử lý ĐK nhưng nên tránh dùng đường tròn lượng giác, phương trình đại số sử lý k nguyên trừ trường hợpbất khả kháng, cách thông thường đơn giản mà ta thử đầu tiên là thử trực tiếp giá trị của hàm ĐK vào PT muốn vậyta cần biến đổi PT theo hàm đó)Ta có PT:

!3cosx+ sinx = 2[2(2 cos2 x" 1)2 " 1]

Với cosx = 0 thì ±1 = 2 không đúng rồi% cosx = 0 không thỏa mãn PT(2). vậy nghiệm của (2) luôn thỏa mãn ĐKhay chính là nghiệm của PT ban đầu. bây giờ chỉ ra họ nghiệm được rồi!

(2)( cos(x "!

6) = cos4x (

(

)

*

x = "!

18+ k

2!

3x =

!

30+ k

2!

5

, (k & Z)

Vậy nghiệm của PT là:

(

)

*

x = "!

18+ k

2!

3x =

!

30+ k

2!

5

, (k & Z)

16. Giải phương trình 4 cos3 x+2 cos2 x(2 sin x!1)!sin 2x!2(sin x+cosx)2 sin2 x!1 = 0

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Ở bài này mẫu số chỉ đóng vai trò loại nghiệm ! Không trình bày nhiềutôi để ý đến các yếu tố sinx+ cosx và sin2x đi vào biến đổi giải luôn:ĐK: cos2x '= 0PT ( 2 cos2 x [2(sinx+ cosx)" 1]" [2(sinx+ cosx)" 1]" (sinx+ cosx)2 = 0( [2(sinx+ cosx)" 1] cos 2x" (sinx+ cosx)2 = 0( (sinx+ cosx)

!

2 cos2 x" cosx" 1"

= 0Tới đây bắt đầu đi phân tích sử lý ĐK: cos2x '= 0 suy ra sinx+ cosx '= 0


K2p

i.net

LƯỢNG GIÁC 2014

Vậy PT ( 2 cos2 x" cosx" 1 = 0,( (I)

/

cosx = 1

cosx = "1

2

0

Bây giờ biến đổi ĐK về hàm cosx để kết hợp:cos2x '= 0 ( cosx '= ±!2

2Vậy (I) thỏa mãn ĐK

Vậy PT có nghiệm là/

x = k2!

x = ±2!

3+ k2!

, (k & Z)

17. Giải phương trình2!

sin4x+ cos4x"

" 1

cos2x= cos

%

x"!

4

&

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) ĐK: cos 2x '= 0 (

1

sinx+ cosx '= 0

cosx" sinx '= 0(

2

3

4

cos(x "!

4) '= 0

sin(!

4" x) '= 0

PT( cos 2x = cos(x"!

4) ( 2 cos(x"

!

4). sin(

!

4" x) = cos(x" !

4 ) ( sin(!

4"x) =

1

2(Tới đây mọi thứ đều thỏa mãn

ĐK#

% PT có nghiệm là:

/

x =!

6+ k2!

x = " 7!12 + k2!

, (k & Z)


cos 2x+ cos3x

4" 2 = 0

Bài toán

Phân tích hướng giải. (thanhbinhmath) Do cos2x + 1; cos 3x4 + 1 nên cos2x+ cos 3x

4 + 2.Phương trình đã cho tương đương với hệ1

cos2x = 1

cos 3x4 = 1

( x = k4!.


tan3%

x"!

4

&

= tanx" 1

Bài toán

Phân tích hướng giải. (tutuhoi) Ta có công thức tan(a" b) = tan a!tan b

1+tan a. tan b

Nhưng nếu áp dụng trực tiếp công thức này thi ta sẽ dẫn tới việc sử dụng các hằng đẳng thức bậc 3. Vậy có cách nàotránh được việc đó không?Để làm điều đó ta nghĩ tới việc đặt ẩn phụ. Đặt t = x" !

4 % x = t+ !

4 .Vậy ta có thể trình bày như sau:Điều kiện:1

cos!

x" !

4

"

'= 0

cosx '= 0

1

x '= 3!4 + k!

x '= !

2 + k!

Ta có phương trình sau khi đặt ẩn phụ:tan3t = tan

!

t+ !

4

"

+ 1( tan3t = 1+tan t

1!tan t+ 1

( tan t(tan t+ 1)(tan2t" 2 tan t+ 2) = 0( tan t = 0 hoặc tan t = 1Với tan t = 0 ( t = k! ( x = !

4 + k!

Với tan t = 1 ( t = "!

4 + k! ( x = k!

Đối chiếu với điều kiện là có nghiệm rồi.


K2p

i.net


20. Giải phương trình2012(sinx)2013 + 2013(cosx)2012 = 2013

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đầu tiên nhìn thấy mũ to như tảng đá thế này chắc không thể biến đổithông thường được rồi, nghĩ cách thôi, đánh giá chăng chắc phải thử mới biết, đó chính là việc đi tìm hướng cho lờigiải!Ta biết hàm sin và cos có giá trị trong khoảng ["1; 1] nên trị tuyệt đối của lũy thừa càng lớn thì càng nhỏ vậy ta nghĩđến hướng đánh giá đưa về sin2x và cos2x và ta bắt đầu đánh giá:Ta có:(sinx)2013 + |(sinx)2013| = (|sinx|)2013 + sin2x(cosx)2012 + cos2xV T = 2012[(sinx)2013 + (cosx)2012] + (cosx)2012 + 2012(sin2x+ cos2x) + cos2x + 2012 + cos2x + 2013Tới đây ta nhận xét PT xảy ra tức có nghiệm khi tất cả các BĐT đều rảy ra dấu bằng tại cùng giá trị của biến x vàđiều kiện đó là:

PT)

1

(sinx)2013 = sin2x

(cosx)2012 = cos2x = 1) sinx = 0 ) x = k! , (k & Z)

Vậy Nghiệm của PT là: x = k! , (k & Z)

21. Giải phương trình:sin 4x" cos 4x = 1 + 4(sinx" cosx)

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Huy Vinh) Ta có:sin 4x" cos 4x = 1 + 4.(sinx" cosx)( 2 sin 2x. cos 2x+ 1" 2 cos2 2x = 1 + 4.(sinx" cosx)( cos 2x.(sin 2x" cos 2x) = 2.(sinx" cosx)( (cos2 x" sin2 x)(sin 2x" cos 2x) = 2.(sinx" cosx)( (cos x" sinx)(cos x+ sinx)(sin 2x" cos 2x) = 2.(sinx" cosx) (1)-TH1: sinx = cosx ( x =

!

4+ k! ; k & Z

-TH2: sinx '= cosxTừ (1)( (cos x+ sinx)(sin 2x" cos 2x) = "2( 2 sinx. cosx+ 2 sin2 x" 1 = "2( 2 sinx.(sinx+ cosx)2 " cosx" sinx+ 2 = 0( 2 sinx+ 4 sin2 x. cosx" cosx" sinx+ 2 = 0( sinx+ (4" 4 cos2 x). cos x" cosx+ 2 = 0( sinx+ 3 cosx" 4 cos3 x+ 2 = 0( sinx" cos 3x+ 2 = 0Đến đây không thể phân tích để đưa ra pt tích như những bài khác được nữa. Khi đó ta nghĩ ngay tới phép đánh giá,nhận thấy hàm sin và cos thì bị giới hạn trong đoạn ["1; 1]Đánh giá như sau:Ta có: sinx * "1;" cos3x * "1 % sinx" cos 3x+ 2 * 0Mà sinx" cos 3x+ 2 = 0Dấu bằng xảy ra( sinx = " cos 3x = "1sinx = "1 ( x = "

!

2+ k2!

cos 3x = 1 ( x =h2!

3% vô nghiệm. Kết luận, phương trình đã cho có nghiệm x =

!

4+ k! k & Z

22. Giải phương trình:(8 sin3 x+ 1)3 = 162 sinx" 27.

Bài toán


K2p

i.net

LƯỢNG GIÁC 2014

Phân tích hướng giải. (Mạo Hỡi) Trước tiên ta đặt t = 2 sinx cho gọn.Phương trình đã cho trở thành:

(t3 + 1)3 = 27(3t" 1).

Xử lí sao đây? Không lẽ khai triển ra? Bậc 9 đó, không dễ chơi đâu.Bấm máy nghiệm vô tỉ quá, có chăng là nghiệm lượng giác?Ừ, cũng có lí, có thể lắm, nhưng chưa thấy ý niệm lượng giác hóa.Nháp ra xem nào, à này có thể đưa về hệ đối xứng không nhỉ, trông thấy quen lắm.Ừ, có lí đấy, xem nào, mũ 3 ở vế trái và quan hệ bậc nhất ở vế phải.Hơn nữa 33 = 27, lại có số 1 cùng xuất hiện, nên nghi ngay đặt u = 3t" 1Khi đó ta có hệ:

+

(t3 + 1)3 = 27u(u + 1)3 = 27t3

Ồ, thấy rồi kìa, ta xử nó theo hàm hay trừ từng vế quen thuộc?Nếu trừ vế theo vế ta có t3 = u, ngon?Nhưng còn trường hợp khác là một biểu thức rất cồng kềnh, nhưng may sao nó gồm bình phương thiếu và cộng thêm27 nên > 0 rồi. Nếu học hàm rồi thì ta có:Xét hàm số f(a) = (a+ 1)3 + 27a thì f #(a) > 0.Ta có f(u) = f(t3)Từ đó tóm lại ta có:

t3 = u # t3 " 2t" 1 = 0(1).

Ồ, đây là một phương trình quen thuộc với rất nhiều bạn nè.Tôi chém lại nha.Bấm máy tính, nghiệm vô tỉ quá, xem ra phân tích thành nhân tử bằng đồng nhất hệ số cũng không ăn thua. Tựnhiện chúng ta nghi ngờ có lượng giác hóa, vì nếu chú ý cos 3" = 4 cos3 "" 3 cos" nên

2 cos 3" = 8 cos3 "" 6 cos".

Điều này giúp ta nghĩ tới đặt t = 2 cos", sau đó chia cả 2 vế của phương trình cho 2 đi:

cos 3" = "1

2(2).

Trời không phụ lòng người rồiNgon.Nhưng vấn đề là chưa chặn được khoảng giá trị của t, vì ta có ?t & RTa để ý phương trình bậc 3 có không quá 3 nghiệm, nên giờ cứ giả sử t & ["2; 2] rồi đã, xem tìm được bao nhiêunghiệm.Chú ý khi đặt theo cos thì phải chặn " & [0;!](3)Sau khi giải (2), đối chiếu với (3) ta có 3 nghiệm thỏa (2)." =

2!

9;" =

8!

9;" =

4!

9Như thế (1) có 3 nghiệm

t = 2 cos2!

9; t = 2 cos

8!

9; 2 cos

4!

9.

Từ đó tìm ra t, tìm ra x.(có 6 họ nghiệm).


cosx. cosx

2. cos

3x

2" sinx.sin

x

2. sin

3x

2= 1

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Tôi thấy nó có mang bóng dáng của BĐT nên chọn ý tưởng đánh giá thử:Ta có:V T 2 + (cos x

2 . cos3x2 )2+(sinx

2 . sin3x2 )2 +

5

(cos4 x

2 + sin4 x

2 ).(cos4 3x

2 + sin4 3x2 )+

5

(cos2 x

2 + sin2 x

2 ).(cos2 3x

2 + sin2 3x2 ) +

1Từ đây ta có cách giải quyết PT!


3cot2x+ 2!2sin2x =

%

2 + 3!2&

cosx

Bài toán


K2p

i.net


Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Xin phép chỉ nêu ý tưởng định hướng: Tôi vẫn thường quan niệm rằngnếu PT có chứa sin ;cos và có cả cot hoặc tan thì thường đưa cot và tan về sin và cos. PT này tôi cũng làm vậy:PT ( 3 cos2 x" (2 + 3

!2) sin2 x cos x+ 2

!2 sin4 x = 0

Coi PT là PT bậc hai của cosx ta có: ! = (3!2" 2)2 sin4 x

Ngon rồi ! Dĩ nhiên là còn ĐK

25. Giải phương trình:sinx. sin 2x+ sin 3x = 6cos3x

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đây là PT dạng đa thức của hàm lượng giác, dạng này tương đối cơ bảnthường dùng nhẩm nghiệm đưa PT về dạng tích, trường hợp nghiệm hữu tỉ thì đơn giản rồi, còn nghiệm vô tỉ thì chúý các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, chẳng hạn đối với PT của hàm: tanx hoặc cotx ta chú ý các giá trị như

là: ±!3;±

1!3; ... ; với sinx hoặc cosx thì là:±

!2

2;±

!3

2; ...

Ta chú ý các hạng tử sau khi đưa về cùng một góc có bậc đều bằng ba( Ở đây sinx = sinx(sin2 x+ cos2 x).).Vậy ta đưa PT về PT đẳng cấp bậc ba của tanx hoặc cotx để giải, và bây giờ là lời giải:PT ( sin3 x" 2 sin2 x cosx" 3 sinx cos2 x+ 6 cos3 x = 0Để ý cosx = 0 không thỏa mãn PT % PT ( tan3 x" 2 tan2 x" 3 tanx+ 6 = 0

Đặt: t = tanx ta được PT: t3 " 2t2 " 3t+ 6 = 0 ( (t2 " 3)(t" 2) = 0 ('

t = ±!3

t = 2

+ Với: t = ±!3 % tanx = ±

!3 ( x = ±

!

3+ k!, (k & Z).

+ Với: t = 2 % tanx = 2 ( x = arctan 2 + k!, (k & Z).Vậy PT có các họ nghiệm: x = ±

!

3+ k! ; x = arctan 2 + k!, (k & Z) !

26. Giải phương trình:4cos3x+ 3

!2 sin 2x = 8 cosx

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Bài này thì cơ bản quá rồi, muốn nói nhiều cũng không được !

PT( cosx!

2 sin2 x" 3!2 sinx+ 2

"

= 0 (

(

*

cosx = 0

sinx =

!2

2

(

(

)

)

)

*

x =!

2+ k!

x =!

4+ k2!

x =3!

4+ k2!

, (k & Z)

27. Giải phương trình:cos 2x+ sin 2x" tanx

1 + cotx=

!3 cos 2x

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đây là PT có chứa phân thức nếu ta chọn cách nhân hai vế với 1 + cotxđể khử mẫu chắc chắn sẽ làm phát sinh nghiệm ngọai lai và sẽ khó khăn trong việc kết hợp nghiệm, vây đầu tiên hãynghĩ cách khử mẫu bằng cách tự triệt tiêu tức rút gọn phân thức, tất nhiên là được rồi nên tôi mới nói như vậy! Vàcách giải như sau:ĐK:1 + cotx '= 0 ( cotx '= "1

PT ((sinx+ cosx)(2 cos x"

1

cosx)

sinx+ cosx

sinx

=!3 cos 2x

( cos 2x tanx =!3 cos 2x (

'

cos 2x = 0, (1)tanx =

!3, (2)

Bây giờ sử lý ĐK đây ! Tùy vào PT mà ta có cách sử lý khác nhau, chú ý cả hai PT: (1) và (2) đều biến đổi được vềcotx nên ta chọn cách thông qua giá trị của một hàm tức biến đổi PT về hàm cotx

(1)(

2

3

4

cot2 x" 1

1 + cot2 x= 0

cotx '= "1( cotx = 1 ( x =

!

4+ k!, k & Z


K2p

i.net

LƯỢNG GIÁC 2014

(2)( cotx =1!3

, (Thảo mãn ĐK)

% x = !

3 + k!, k & Z

Vậy PT có hai họ nghiệm: x =!

4+ k! ; x = !

3 + k!, k & Z


tan2x(sin2x" 6) +1

cosx(4

sin3x

cosx" 3sin2x)" 2sinx(cosx+ 2) + 3cosx+ 6 = 0

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Bài này nhìn kềnh càng thế này thôi nhưng chỉ để luyện tập chiêu thứcnhóm nhân tử chung mà thôi ! Dù muốn nói nhiều cũng không thể trong bài này, chỉ còn nước là giải luôn:ĐK:cosx '= 0

PT( tan2 x(sin 2x" 6) +sin2 x

cos2 x(4 sinx" 3 cosx) " 2 sinx(cosx+ 2) + 3(cosx+ 2) = 0

( (tan2 x" 1)(2 sinx" 3)(cosx+ 2) = 0 ( tan2 x = 1 ( tanx = ±1

( x = ±!

4+ k!, k & Z

Tới đây ta thấy ĐK chỉ để cho vui thôi ! Vì cosx '= 0 là để cho tanx xác định mà tanx = ±1 thì có giá trị xác địnhrồi!Kết luận nghiệm của PT là: x = ±

!

4+ k!, k & Z

29. Giải phương trình: !3 sin 2x" cos 2x = 2

!3 cosx" 2 sinx+ 3

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đầu tiên ta để ý đến các biểu thức đẳng cấp của sin và cos và xử lý nó:PT(

!3 sin 2x" cos 2x = 2(

!3 cosx" sinx) + 3 ( "2 cos

%

2x+!

3

&

= 4 cos%

x+!

6

&

+ 3

Bây giờ ta đưa về PT bậc hai của cos:PT ( 4 cos2

%

x+!

6

&

+ 4 cos%

x+!

6

&

+ 1 = 0 ( cos%

x+!

6

&

= "1

2

30. Giải phương trình:5 cos3 x+ 7 cosx" 6 = sin 2x+ 6 cos 2x

Bài toán

Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Nhìn thấy cos3 x; cos x; sin 2x;6 + 6 cos 2x đều có chứa cosx; nên tốt nhấtta cứ gom nhân tử chung rồi tính tiếp !

PT( cosx!

5 cos2 x" 12 cosx" 2 sinx+ 7"

= 0 ('

cosx = 0, (1)5 cos2 x" 12 cosx" 2 sinx+ 7 = 0, (2)

(1)( x =!

2+ k!.(k & Z)

Giải (2) ta thấy cos x

2 = 0 không thỏa mãn nên đặt: t = tan x

2

(2)( t(6t3 " t2 + t" 1) = 0 ('

t = 0, (3)6t3 " t2 + t" 1 = 0

, (4)

(3)( x = k2!, k & Z(4):6t3 " t2 + t" 1 = 0.Cái này nản quá !


chuyende luonggiac

Documents