1

Chuyn luyn thi i hc PHNG PHP GII CC BI TP HNH

KHNG GIAN TRONG K THI TSH Bin son: GV Nguyn Trung Kin 0988844088

Trong k thi TSH bi ton hnh khng gian lun l dng bi tp gy kh khn cho hc sinh. Nguyn nhn c bn l do hc sinh cha bit phn bit r rng dng bi tp la chn cng c, phng php gii cho ph hp. Bi vit ny s gip hc sinh gii quyt nhng vng mc . Phn 1: Nhng vn cn nm chc khi tnh ton

- Trong tam gic vung ABC (vung ti A) ng cao AH th ta lun c:

b=ctanB, c=btanC; 2 2 2

1 1 1

AH AB AC= =

- Trong tam gic thng ABC ta c: 2 2 2

2 2 2 2 cos ;cos2

b c aa b c bc A A

bc

+ = + = . Tng

t ta c h thc cho cng b, c v gc B, C:

- 1 1 1

sin sin sin2 2 2ABC

S ab C bc A ac B = = =

- V(khi chp)=1

.3

B h (B l din tch y, h l chiu cao)

- V(khi lng tr)=B.h

- V(chp S(ABCD)=1

3(S(ABCD).dt(ABCD))

- Tnh cht phn gic trong AD ca tam gic ABC: . .AB DC AC DB= - Tm ng trn ngoi tip l giao im 3 trung trc. Tm vng trn ni tip l giao im

3 phn gic trong ca tam gic. Phng php xc nh ng cao cc loi khi chp:

- Loi 1: Khi chp c 1 cnh gc vung vi y chnh l chiu cao. - Loi 2: Khi chp c 1 mt bn vung gc vi y th ng cao chnh l ng k t

mt bn n giao tuyn. - Loi 3: Khi chp c 2 mt k nhau cng vung gc vi y th ng cao chnh l giao

tuyn ca 2 mt k nhau .

C B H

A

2

- Loi 4: Khi chp c cc cnh bn bng nhau hoc cc cnh bn cng to vi y 1 gc bng nhau th chn ng cao chnh l tm vng trn ngoi tip y.

- Loi 5: Khi chp c cc mt bn u to vi y 1 gc bng nhau th chn ng cao chnh l tm vng trn ni tip y.

S dng cc gi thit m: - Hnh chp c 2 mt bn k nhau cng to vi y gc th chn ng cao h t nh

s ri vo ng phn gic gc to bi 2 cnh nm trn mt y ca 2 mt bn (V d: Hnh chp SABCD c mt phng (SAB) v (SAC) cng to vi y gc th chn ng cao h t nh S thuc phn gic gc BAC)

- Hnh chp c 2 cnh bn bng nhau hoc hai cnh bn u to vi y mt gc th chn ng cao h t nh ri vo ng trung trc ca on thng ni 2 nh ca 2 cnh cnh nm trn mt y ca 2 mt bn m hai nh khng thuc giao tuyn ca 2 mt bn. (V d: Hnh chp SABCD c SB=SC hoc SB v SC cng to vi y mt gc th chn ng cao h t S ri vo ng trung trc ca BC)

Vic xc nh c chn ng cao cng l yu t quan trng tm gc to bi ng thng v mt phng hoc gc to bi 2 mt phng. V d: Cho khi chp SABCD c mt bn SAD vung gc (ABCD), gc to bi SC v (ABCD) l 600, gc to bi (SCD) v (ABCD) l 450, y l hnh thang cn c 2 cnh y l a, 2a; cnh bn bng a. Gi P,Q ln lt l trung im ca SD,BC.Tm gc to bi PQ v mt phng (ABCD).Tnh V khi chp? R rng y l khi chp thuc dng 2. T ta d dng tm c ng cao v xc nh cc gc nh sau:

- K SH vung gc vi AD th SH l ng cao(SC,(ABCD))= ;( , ( )) )SCH SM ABCD HMS= , vi M l chn ng cao k t H ln CD

- T P h PK vung gc vi AD ta c ( , ( ))PQ ABCD PQK=

Phn 3: Cc bi ton v tnh th tch

D A

B C

M

H

S

P

Q

K

3

A. Tnh th tch trc tip bng cch tm ng cao: Cu 1) (TSH A 2009) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thang vung ti A v D., c AB=AD=2a; CD=a. Gc gia 2 mt phng (SCB) v (ABCD) bng 600. Gi I l trung im AD bit 2 mt phng (SBI) v (SCI) cng vung gc vi (ABCD). Tnh th tch khi chp SABCD? HD gii: V 2 mt phng (SBC) v (SBI) cng vung gc vi (ABCD) m (SBI) v (SCI) c giao tuyn l SI nn SI l ng cao. K IH vung gc vi BC ta c gc to bi mt phng

(SBC) v (ABCD) l 0 60SHI = . T ta tnh c: 212; 5; ( ) ( ) 3

2IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a= = = = + =

2 22 21 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 3

2 2 2

a aIH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = = = nn

2 ( )S IBCIH

BC= = 3 3

5a . T V(SABCD)= 3

3 15

5a .

Cu 2) (TSH D 2009) Cho lng tr ng ABCABC c y ABC l tam gic vung ti B, AB=a; AA=2a; AC=3a. Gi M l trung im ca on AC, I l trung im ca AM v AC. Tnh V chp IABC theo a? HD gii: - ABC ABC l lng tr ng nn cc mt bn u vung gc vi y. V I(ACC) (ABC), t I ta k IH AC th IH l ng cao v I chnh l trng tm tam gic

AAC2 4

3 3

IH CI aIH

AA CA = = =

C 22 2 2 2 2AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a = = = = = =

S

I A

B H

D

C

4

V(IABC)= 31 1 4 1 4

. ( ) . . .2 .3 3 3 2 9

aIH dt ABC a a a= = ( vtt)

B. Tnh th tch bng cch s dng cng thc t s th tch hoc phn chia khi a din thnh cc khi a din n gin hn

Khi gp cc bi ton m vic tnh ton gp kh khn th ta phi tm cch phn chia khi a din thnh cc khi chp n gin hn m c th tnh trc tip th tch ca n hoc s dng cng thc tnh t sth tch tm th tch khi a din cn tnh thng qua 1 khi a din trung gian n gin hn. Cc em hc sinh cn nm vng cc cng thc sau:

( ) . .

( ) . .

V SA B C SA SB SC

V SABC SA SB SC

= (1) Cng thc ny ch c dung cho khi chp tam gic

B C M

A

B

A

I

H

C

S

A

B

C

A B

C

5

Cu 1) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thoi cnh a, 0 60BAD = , SA vung gc vi y(ABCD), SA=a. Gi C l trung im SC, mt phng (P) i qua AC song song vi BD ct cc cnh SB, SD ca hnh chp ti B, D. Tnh th tch khi chp HD gii: Gi O l giao 2 ng cho ta suy ra AC v SO ct nhau ti trng tm I ca tam gic SAC. T I thuc mt phng (P)(SDB) k ng thng song song vi BD ct SB, SD ti B, D l 2 giao im cn tm.

Ta c: 1 2

;2 3

SC SD SB SI

SC SD SB SO

= = = =

D thy ( ) ( ) ( ) ( )2 ; 2SAB C D SAB C SAB C SABCV V V V = =( ) ( ) . . 1

( ) ( ) . . 3

V SAB C D V SAB C SA SB SC

V ABCD V SABC SA SB SC

= = =

Ta c 3( )1 1 1 3 3. ( ) . . . . . .3 3 3 2 6SABCD

V SA dt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a= = = =

3( )

3

18SAB C DV a = (vtt)

Cu 2) (D b A 2007) Cho hnh chp SABCD l hnh ch nht AB=a, AD=2a, cng SA vung gc vi y, cnh SB

hp vi y mt gc 600. Trn cnh SA ly M sao cho AM=3

3

a. Mt phng BCM ct DS ti

N. Tnh th tch khi chp SBCMN. HD gii: T M k ng thng song song vi AD ct SD ti N l giao im cn tm, gc to bi SB v

(ABCD) l 0 60SBA = . Ta c SA=SBtan600=a 3 .

S

B

C

D

O

B C

D A

6

T suy ra SM=SA-AM=3 2 3 2

33 3 3

SM SNa a a

SA SD = = =

D thy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2SABCD SABC SACD SABC SACDV V V V V= + = = ( ) ( ) ( )SBCMN SMBC SMCNV V V= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. . . 1. . .

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2. . . 2. . .

1 2 5

3 9 9

V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN SM SB SC SM SC SN

V SABCD V SABCD V SABC V SACD SA SB SC SA SC SD

+ = = + = +

= + =

M 3 3( ) ( )1 1 2 3 10 3

. ( ) 3 .23 3 3 27SABCD SMBCN

V SA dt ABCD a a a a V a= = = =

Phn 4: Cc bi ton v khong cch trong khng gian

A. Khong cch t 1 im n 1 mt phng V bn cht khi tm khong cch t 1 im n 1 mt phng ta tm hnh chiu vung gc ca im ln mt phng. Tuy nhin 1 s trng hp tm hnh chiu tr nn v cng kh khn, khi vic s dng cng thc tnh th tch tr nn rt hiu qu.

Ta c V(khi chp)=1 3

.3

VB h h

B =

Cu 1) Cho hnh chp SABC c gc to bi 2 mt phng (SBC) v (ABC) l 600, ABC,SBC l cc tam gic u cnh a. Tnh khong cch t nh B n mp(SAC).( d b khi A 2007) HD: Cch 1: Coi B l nh khi chp BSAC t gi thit ta suy ra BS=BA=BC=a. Gi O l chn ng cao h t B xung mp(SAC). O chnh l tm vng trn ngoi tip tam gic SAC. Gi M l

S

M N

A D

C B

7

trung im BC ta c ;SM BC AM BC . Nn gc to bi (SBC) v (ABC) l

0 a 3 60 AS=2

SMA SM AM= = = .

By gi ta tm v tr tm vng ngoi tip tam gic SAC. Tam gic SAC cn ti C nn tm vng trn ngoi tip nm trn trung trc ca SA v CN (N l trung dim ca SA). K trung trc ca SC ct trung trc ca SA ti O l im cn tm

22

2 2 32 1316cos

4

SA aSC aNC

SNCSC SC a

= = = =

22 2 22 4 32 ;

13cos 13 13

SCa a a

OC BO BC OC aSCN

= = = = = .

Cch 2: 0( ) ( )1 2

2 2 . ( ) . .sin 603 3.2SABCD SABM

aV V BM dt SAM AM MS= = = 3 3 ( )

16a dt SAC=

=21 1 13 3 39 3 ( ) 3

.AS= . . ( , ( )2 2 4 2 16 ( ) 13

a V SABC aCN a a d B SAC

dt SAC= = =

Cu 2) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thang 0 90ABC BAD= = , BA=BC=2a, AD=2a. Cnh bn SA vung gc vi y v SA= 2a , gi H l hnh chiu ca A ln SB. Chng minh tam gic SCD vung v tnh theo a khong cch t H n mp(SCD) (TSH D 2007)

HD gii: Ta c 2 2 2 22; 6; 2AC a SD SA AD a SC SA AC a= = + = = + = . Ta cng d dng tnh c 2CD a= . Ta c 2 2 2SD SC CD= + nn tam gic SCD vung ti C.

O

S

P

C

M

B

A

N

8

2 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 .AS . 2 2

AS 3AB AS 22

2 2333 3

AB a aAH a

AH AB a a

aSH

SH SA AH aSB a

= + = = =+ +

= = = =

21. .( ) 1

( ) ( ) ( ) . ;2 2 2

AB BC AD adt BCD dt ABCD dt ABD AB AD

+= = =

2

23

1( ) . 2

2

( ) . . 2 1 1. 2. 2; ( ) . ( )

( ) . . 3 3 3.2 6

dt SCD SC CD a

V SHCD SH SC SD a aV SBCD SA dt BCD a

V SBCD SB SC SD

= =

= = = = =

32( )9

V SHCD a= .Ta c 32

3 ( ) 2 1( /( )) .3

( ) 9 32

V SHCD ad H SCD a

dt SCD a= = =

B. Khong cch gia 2 ng thng cho nhau trong khng gian

Khi tnh khong cch gia 2 ng thng cho nhau a v b trong khng gian ta tm on vung gc chung ca 2 ng thng , Nu vic tm on vung gc chung gp kh khn th ta tin hnh theo phng php sau: - Dng (tm) mt phng trung gian (P) cha a song song vi b sau tnh khong cch t 1 im bt k trn b n mp(P) hoc ngc li dng mp(P) cha b song song vi a sau tnh khong cch t 1 im a n (P). - Khi tnh khong cch t 1 im n mt phng ta c th vn dng 1 trong 2 phng php trnh by mc A.

B C

D A

H

S

9

Cu 1) Cho lng tr ng ABCABC c y ABC l tam gic vung AB=BC=a, cnh bn 2AA a = . Gi M l trung im ca BC. Tnh theo a th tch khi lng tr ABCA B C v

khong cch gia 2 ng thng AM, BC.(TSH D2008)

HD gii: 32

( ) .2

V ABCA B C S h a = = . Gi N l trung im ca BB ta c BC song song vi

mp(AMN). T ta c: ( , ) ( , ( )) ( , ( ))d B C AM d B AMN d B AMN = = v N l trung im ca BB. Gi H l hnh chiu vung gc ca B ln (AMN), v t din BAMN l t din vung ti B nn ta

c 2 2 2 2

1 1 1 1

7

aBH

BH BA BN BM= + + = chnh l khong cch gia AM v BC.

(Ch :1) Trong bi ton ny ta dng mt phng trung gian l mp(AMN) tn dng iu kin BC song song vi (AMN). Ti sao khng tm mt phng cha BC cc em hc sinh t suy ngh iu ny Ch 2) Nu mt phng (P) i qua trung im M ca on AB th khong cch t A n (P) cng bng khong cch t B n (P)) Cu 2) Cho hnh chp t gic u SABCD c y l hnh vung cnh a. Gi E l im i xng ca D qua trung im ca SA, M l trung im ca AE, N l trung im ca BC. Chng minh MN vung gc vi BD v tnh khong cch gia 2 ng thng MN v AC.(TSH B 2007) HD gii: Gi P l trung im ca SA, ta c t gic MPNC l hnh bnh hnh. Nn MN// PC. T suy ra MN//(SAC). Mt khc BD mp(SAC) nn BD PC BD MN .

Ta c: d(MN, AC)=d(N,(SAC))=1 1 1

( , ( )) 22 4 2

d B SAC BD a= =

B

C

A

N

B H

M

C A

K

10

( Vic chuyn tnh khong cch t N n (SAC) sang tnh khong cch t B n (SAC) gip ta n gin ho bi ton i rt nhiu. Cc em hc sinh cn nghin cu k dng ton ny vn dng) Ch 2) Nu mt phng (P) i qua trung im M ca on AB th khong cch t A n (P) cng bng khong cch t B n (P)) Phn 5: Cc bi ton tnh gc gia 2 ng thng cho nhau trong khng gian. Khi cn tnh gc gia 2 ng thng cho nhau a v b trong khng gian ta phi tm 1 ng thng trung gian l c song song vi a v c ct b. Khi gc to bi a v b cng chnh l gc to bi b v c. Hoc ta dng lin tip 2 ng thng c v d ct nhau ln lt song song vi a v b. Sau ta tnh gc gia c v d theo nh l hm s csin hoc theo h thc lng trong tam gic vung. Cu 1) Cho lng tr ng ABCABC c di cnh bn bng 2a , y ABC l tam gic vung ti A. AB = a , AC = a v hnh chiu vung gc ca A ln mp (ABC) l trung im ca cnh BC , Tnh theo a th tch khi chp AABC v tnh csin gc to bi AA v BC . (TSH A2008) HD gii :Gi H l trung im ca BC. Suy ra AH (ABC) v

2 21 1 32 2

AH BC a a a= = + = Do AH = 2 2' 3.A A AH a =

V(AABC) =1

3AH.dt (ABC) =

3

2

aTrong tam gic vung ABH ta c

HB= 2 2' ' 2A B A H a+ = nn tam gic BBH cn ti B. t l gc to bi AA v BC th 1' cos

2.2 4

aB BH

a = = =

(Trong Bi ton ny ta chuyn tnh gc to bi AA v BC sang tnh gc to bi hai ng thng ln lt song song vi AA v BC l BBv BC ) Tel 0988844088

S

M P

E

A

N C

D

B

11

B Cu 2:Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh 2a , SA = a, SB = a 3 mp (SAB) vung gc vi mt phng y . Gi M,N ln lt l trung im ca cc cnh AB,BC. Tnh theo a th tch khi chp SBMDN v tnh cosin gc to bi SM v DN. Hd gii: T S h SH vung gc AB th SH vung gc vi mp (ABCD). SH cng chnh l ng cao khi chp SBMDN . Ta c SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 SAB vung ti

S2

ABSM a SAM = = l tam gic u 3

2

aSH =

D thy dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do V(SBMDN)=31 3

. ( )3 3

aSH dt BMDN =

K ME song song vi DN ( E thuc AD) suy ra AE =2

a gi s

(SM,DN)= ( , ).SM ME = Ta c SA vung gc vi AD (nh l 3 ng vung gc ) suy

ra 2 2 2 25 5

,2 2

a aSA AE SE SA AE ME AM ME = + = = + = Tam gic SME cn ti E

nn cos52

5

SM

ME = =

B H

C A

B

C A

12

MT S BI TP Cu 1) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung tm O, SA vung gc vi hnh chp. Cho AB=a, SA= 2a . Gi H v K ln lt l hnh chiu ca A ln SB, SD. Chng minh SC (AHK) v tnh th tch hnh chp OAHK. Cu 2) Cho lng tr ng ABCA1B1C1 c tt c cc cnh u bng a. M l trung im ca on AA1. Chng minh BM B1C v tnh d(BM,B1C) Cu 3) Cho lng tr ng ABCA1B1C1 c AB=a, AC=2a, AA1=2a 5 v 0 120BAC = . Gi M l trung im ca cnh CC1. Chng minh MB MA1 v tnh khong cch t C ti mp(A1BM). Cu 4) Cho lng tr ng ABCA1B1C1 c y ABC l tam gic vung AB=AC=a, AA1=a 2 . Gi M, N ln lt l trung im ca on AA1 v BC1. Chng minh MN l ng vung gc chung ca cc ng thng AA1 v BC1. Tnh

1 1MA BCV .

Cu 5) Cho t din u ABCD c cnh bng a. Gi O l tm ng trn ngoi tip tam gic BCD. Gi M l trung im ca CD. Tnh gc gia AC v BM. Cu 6) Cho hnh chp SABC c y ABC l tam gic vung ti A, BC=a,

SA=SB=SC=3

2

a.Tnh khong cch t S n (ABC) Tnh gc to bi ng thng SA v

mp(ABC) Cu 7) Cho khi lng tr ng ABCABC c y ABC l tam gic u cnh a, AA=a. Tnh gc to bi mp(ABC) v mp(BCA) Cu 8) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l na lc gic u ni tip ng trn ng knh AB=2a, SA=a 3 v vung gc vi mp(ABCD) Tnh gc to bi mp(SAD) v mp(SBC) Tnh gc to bi mp(SBC) v mp(SCD).

S

A E

M

B N C

D H

13

Cu 9) Cho hnh lng tr ABCABCc y ABC l tam gic u tm O. Hnh chiu vung gc ca C trn (ABC) trng vi O .Bit khong cch t O n CC l a .Gc to bi 2 mt phng (AACC) v (BBCC) l 1200. Chng minh ABBA l hnh ch nht. Tnh th tch lng tr v gc to bi mt bn (BCBC) v y (ABC). Cu 10) Cho t din ABCD, c y l tam gic cn ABC v DA vung gc vi (ABC)

AB=AC=a, BC= a5

6. Gi M l trung im ca BC. V AH vung gc vi MD (H thuc MD)

a) Chng minh rng AH vung gc vi mt phng (BCD)

b) Cho AD= a5

4. Tnh gc gia hai ng thng AC v DM

c) Gi G1 v G2 ln lt l trng tm ca tam gic ABC v tam gic DBC. Chng minh rng G1G2 vung gc vi mt phng (ABC)

Cu 11) Cho hnh chp SABC c 2 mt phng (SAB) v (SBC) vung gc vi nhau v SA vung gc vi mt phng (ABC), === BSA,45;2 0CSBaSB

a) Chng minh rng BC vung gc vi SB b) Tm gi tr ca 2 mt phng (SCA) v (SCB) to vi nhau gc 60 0

Cu 12) Cho hnh vung ABCD. Gi S l im trong khng gian sao cho SAB l tam gic u v (SAB) vung gc vi (ABCD)

a) Chng minh rng (SAB) vung gc vi (SAD) v (SAB) vung gc vi (SBC) b) Tnh gc to bi 2 mt phng (SAD) v (SBC) c) Gi H,I ln lt l trung im ca AB, BC. Chng minh rng mt phng (SHC) vung

gc vi mt phng (SDI) Cu 13) Cho cho hnh lng tr u ABCA'B'C' c cnh y bng a, Chiu cao bng h. im M

thuc AB sao cho 4

5

'=

MB

MA.

a) Tnh gc to bi AC v BC b) Mt phng (P) i qua M song song vi cc ng thng AC v BC ct ng thng

CC ti D. Tnh t s 'DC

DC

Cu 14) Cho cho hnh lng tr tam gic u ABCA'B'C' c tt c cc cnh bng a. Gi C1 l trung im ca CC. Tnh gc to bi BC1 v AB v gc to bi 2 mt phng ( 1C AB) v )(ABC) Cu 15) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh a, SA vung gc vi (ABCD) v SA=a. Tnh

a) Tnh khong cch t S n (ECD) trong E l trung im ca SA b) Tnh khong cch gia AC v SD

Cu 16) Cho hnh hp ng ABCDABCD c y l hnh thoi cnh a, 060 =A , AC to vi (ABCD) gc 600

a) Tnh ng cao hnh hp b) Tm ng vung gc chung ca AC v BB.Tnh di on vung gc chung

Cu 18) Cho hnh chp SABCD c y l hnh thoi ABCD c A=1200 , BD=a, cnh bn SA vung gc vi y , Gc to bi (SBC) v (ABCD) l 600.Tnh

14

a) ng cao k t S b) Khong cch gia hai ng thng AC v SD; BC v SD

Cu 19) Cho hnh chp u SABCD c cc cnh bng a. Gi M,N l trung im ca SA, SC. Bit BM to vi ND gc 600. Tnh th tch khi chp Cu 20) Cho hnh chp u SABCD c cc cnh bng a y tm O. Gi M, N l trung im ca SA, BC. Bit gc to bi MN v (ABCD) l 600

a) Tnh MN, SO b) Tnh gc to bi MN v mt phng (SAO) c) Tnh th tch khi chp SABCD

Cu 21) Cho hnh lp phng ABCDABCD cnh a. Tnh gc to bi (BAC) v (DAC). Cu 22) Cho lng tr tam gic ABCABC c hnh chiu vung gc ca nh A ln mt phng (ABC) trng vi tm vng trn ngoi tip tam gic ABC . Bit tam gic ABC l tam gic cn ti

A v ABC = 1200,AB = a; Gc to bi mt phng (ABC) v (ABC) bng 600 . Tnh th tch khi lng tr ABCABC v khong cch t A ln mt phng (ABC). Cu 23) Cho lng tr tam gic ABCABC c y ABC l tam gic vung ti A,AB = a ; AC = a 3 cc cnh AA,AB,AC u hp vi y cc gc bng nhau .Gc to bi mt phng (AAC) v y `1(ABC) bng 600

a) Tnh th tch khi lng tr ABCABC b) Trn AC ly im M sao cho M l trung im ca AC ng thng AC ct AM

ti I . Tnh th tch khi chp IABC. c) Gi O l trung im AM tnh khong cch t O n mt phng (ABC) d) Tm tm bn knh mt cu ngoi tip khi chp AABC.

Cu 24) Cho hnh chp SABCD c ABCD l hnh vung cnh a . Cnh SA vung gc vi y , gc to bi mt phng (SBD) v y l 600. Gi M l trung im SA ,N l trunh im ca SD . Tnh th tch khi chp SABCD v cosin gc to bi BM v AN. Cu 25) Cho khi chp SABCD c SA = x v cc cnh cn li u bng 1 . Tnh th tch VSABCD ca khi chp v tm x VSABCD ln nht . Cu 26) Cho t din DABC .Bit tam gic ABC vung ti A, AB = a, BC = 2a .Cc mt (DAB) v (DAC) cng hp vi (ABC) gc ,mt bn (DBC) vung gc vi (ABC)

a) Tnh th tch khi t din theo a v .

b) Xc nh gc khi bit VABCD=32 3

9

a.

Cu 27) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh bnh hnh ,mt mp( ) qua AB ct SC,

SD ti M,N. Tnh SM

SC ( ) chia hnh chp thnh hai phn c th tch bng nhau.

Cu 28) Cho hnh chp t gic u SABCD c tt c cc cnh u bng a. Gi M v P ln lt l trung im ca SA v SC, mt phng (DMP) ct SB ti N .Tnh th tch khi chp SDMNP.

Cu 29) Trn cc cnh SA,SB ca t din SABC ly cc im M,N sao cho 1

, 22

SM SN

MA NB= = .

Mt mt phng ( )i qua MN v song song vi SC chia t din thnh 2 phn . Tnh t s th tch hai phn .

Cu 30) Cho hnh chp SABC c ABC l tam gic vung ti A v ABC = 600. Bit cc mt bn hnh chp cng hp vi mt y gc 300 v din tch xung quanh ca hnh chp bng a2.

a) Tnh th tch ca khi chp SABC theo a b) Tnh khong cch t nh C n mt bn (SAB) theo a .

15

Cu 31) Cho khi lng tr tam gic ABC.ABC c y ABC l tam gic u cnh a , cnh bn AAhp vi mt y gc 600 . Hnh chiu ca A ln mp(ABC) trng vi trng tm G ca tam gic ABC . Tnh th tch ca khi lng tr cho . Cu 32) Cho khi lng tr ABC.ABC c y ABC l tam gic u . Bit AA = AB = a . Tnh th tch khi lng tr bit cc mt bn (AAB) v (AAC) cng hp vi mt y (ABC) mt gc 600. Cu 33) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thang vung ti A, hai y l AD = 2a , BC = a. Bit AB = a , SA = a v SA (ABCD).

a) Tnh th tch ca khichp SACD. b) Tnh th tch ca khi chp SBCD v khong cch d(B; (SCD))

Cu 34) Cho khi chp SABC c y ABC l tam gic vung A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a v ABC = . Gi H l hnh chiu ca S trn BC.

a) Tnh th tch khi chp SABC theo a v b) Tnh khong cch t B n mt phng (SAH). c) Cho (P) l mt phng qua A , trng tm tam gic SBC v song song vi BC chia khi

chp SABC thnh 2 phn. Tnh th tch mi phn Cu 35) Cho khi chp DABC c mt (DBC) vung gc vi y , cc mt bn (DAB) v (DAC) cng hp vi y gc 0( 90 ) < . Tnh th tch ca khi chp trong cc trng hp sau

a) ABC l tam gic vung ti A c AB = a , AC = 2a ; b) ABC l tam gic u c cnh bng a.

MT S BI TP CHN LC V HNH KHNG GIAN THNG DNG TRONG K THI TSH

BIN SON GV NGUYN TRUNG KIN 0988844088 Cu 1) Khi chp SABCD c y l hnh bnh hnh, M l trung im ca SC. Mt phng (P) i qua AM, song song vi BD chia khi chp lm 2 phn. Tnh t s th tch hai phn . Cu 2) Cho hnh chp t gic u SABCD c cc cnh bng a.

a) Tnh th tch khi chp. b) Tnh khong cch t tm mt y n cc mt ca hnh chp.

Cu 3) Khi chp SABCD c y l hnh vung cnh a. SA (ABCD); SA=2a. Gi E, F l hnh chiu ca A trn SB v SD. I l giao im ca SC v (AEF). Tnh th tch khi chp SAEIF. Cu 4) Cho lng tr ng ABCA1B1C1 y l tam gic u. Mt phng (A1BC) to vi y 1 gc 300 v tam gic A1BC c din tch bng 8. Tnh th tch khi lng tr.

Cu 5) Khi lng tr ABCA1B1C1 c y l tam gic vung cn, cnh huyn AB= 2 . Mt phng (AA1B) vung gc vi mt phng (ABC), AA1= 3 ; gc A1AB nhn, gc to bi (A1AC) v mt phng (ABC) bng 600. Tnh th tch khi lng tr. Cu 6) Khi lng tr t gic u ABCDA1B1C1D1 c khong cch gia 2 ng thng AB v A1D bng 2, di ng cho mt bn bng 5.

a) H AH A1D (KA1D). chng minh rng AK=2. b) Tnh th tch khi lng tr ABCDA1B1C1D1.

Cu 7) Cho hnh t din ABCD c cnh AD vung gc vi mt phng (ABC), AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm. Tnh khong cch t im A ti mt phng (BCD).

16

Cu 8) Cho hnh chp tam gic u SABC nh S, di cnh y bng a. Gi M, N ln lt l trung im ca cc cnh SB v SC. Tnh theo a din tch tam gic AMN, bit rng mt phng (AMN) vung gc vi mt phng (SBC). Cu 9) Cho hnh chp SABC c SA=3a v SA vung gc vi mt phng (ABC). Tam gic ABC c AB=BC=2a, gc ABC=1200. Tnh khong cch t nh A n mt phng (SBC). Cu 10) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh a, tam gic SAB u v nm trong mt phng vung gc vi y. Tnh gc gia 2 mt phng (SAB) v (SCD). Cu 11) Cho hnh chp tam gic u SABC c y ABC l tam gic u cnh a, SA=2a v SA vung gc vi mt phng (ABC). Gi M v N ln lt l hnh chiu vung gc ca A trn cc ng thng SB v SC

a) Tnh khong cch t A n mt phng (SBC) b) Tnh th tch ca khi chp ABCMN.

Cu 12) Hnh chp tam gic SABC c cc cnh bn SA=SB=SC=a, gc ASB=1200, gc BSC=600, gc ASC=900. Chng minh rng tam gic ABC vung v tnh th tch hnh chp SABC theo a. Cu 13) Cho hnh chp t gic u SABCD. Khong cch t A n mt phng (SBC) bng 2a. Gc gia cc mt bn v mt y l .

a) Tnh th tch khi chp theo a v b) Xc nh th tch khi chp nh nht.

Cu 14) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh ch nht vi AB=a, AD= 2a , SA=a v SA vung gc vi mt phng (ABCD). Gi M v N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC.

a) Chng minh rng mt phng (SAC) vung gc vi mt phng (SMB). b) Tnh th tch ca khi t din ANIB.

Cu 15) Cho lng tr ng ABCABC c y ABC l tam gic vung ti B, AB=a, AA=2a, AC=3a. Gi M l trung im ca on thng AC, I l giao im ca AM v AC

a) Tnh theo a th tch khi t din IABC b) Tnh khong cch t im A n mt phng (IBC)

Cu 16) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thang vung ti A v D, AB=AD=2a, CD=a, gc gia 2 mt phng (SBC) v (ABCD) bng 600. Gi I l trung im ca cnh AD. Bit 2 mt phng (SBI) v (SCI) cng vung gc vi mt phng (ABCD), tnh th tch khi chp SABCD theo a. Cu 17) Cho hnh lng tr tam gic ABCABC c BB=a, gc to bi BB v mt phng (ABC) l 600, tam gic ABC vung ti C v gc BAC=600. Hnh chiu vung gc ca im B ln mt phng (ABC) trng vi trng tm ca tam gic ABC. Tnh th tch khi t din AABC theo a.

Cu 18) Trong khng gian cho hnh chp tam gic u SABC c 7SC a= . Gc to bi (ABC) v (SAB) =600. Tnh th tch khi chp SABC theo a. Cu 19) Trong khng gian cho hnh chp SABCD vi ABCD l hnh thoi cnh a, gc ABC=600,

SO vung gc vi y ( O l tm mt y), 3

2

aSO = . M l trung im ca AD. (P) l mt

phng qua BM v song song vi SA, ct SC ti K. Tnh th tch khi chp KABCD. Cu 20) Cho hnh chp SABC c y ABC l tam gic u cnh a, cnh bn SA vung gc vi

y (ABC). Tnh khong cch t A n mt phng (SBC) theo a bit 6

.2

aSA =

17

Cu 21) Cho hnh chp SABCD c y l hnh ch nht, 2, 2 .AD a CD a= = Cnh SA vung gc vi y v 3 2 .SA a= Gi K l trung im AB.

a) Chng minh rng (SAC) vung gc vi (SDK) b) Tnh th tch khi chp CSDK theo a; tnh khong cch t K n (SDC).

Cu 22) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh a. Mt phng (SAC) vung gc vi y, gc ASC=900, SA to vi y 1 gc 600. Tnh th tch khi chp. Cu 23) Cho lng tr ABCABC c y ABC l tam gic u cnh a, hnh chiu vung gc ca A ln mt phng (ABC) trng vi tm O ca tam gic ABC. Mt mt phng (P) cha BC v

vung gc vi AA ct lng tr theo 1 thit din c din tch 2 3

8

a. Tnh th tch khi lng tr

Cu 24) Cho hnh chp SABC c AB=AC=a; ; 32

aBC SA a= = ; gc SAB bng gc SAC v

bng 300. Tnh th tch ca khi chp theo a. Cu 25) Cho hnh chp t gic u SABCD cnh y bng a. Gi G l trng tm tam gic SAC

v khong cch t G n mt bn (SCD) bng 3

.6

a

a) Tnh khong cch t tm ca mt y n mt bn (SCD) b) Tnh th tch ca khi chopSABCD.

Cu 26) Cho hnh chp SABC c ng cao AB=BC=a; AD=2a. y l tam gic vung cn ti B. Gi B l trung im ca SB, C l chn ng cao h t A xung SC.Tnh th tch khi chp SABC. Cu 27) Cho lng tr ng ABCABC c y ABC l tam gic vung, AB=BC=a, cnh bn AA= 2a . Gi M l trung im ca cnh BC

a) Tnh theo a th tch ca khi lng tr ABCABC b) Tnh khong cch gia 2 ng thng AM v BC.

Cu 28) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh 2a; SA=a; SB= 3a v mt phng (SAB) vung gc vi mt phng y. M v N ln lt l trung im ca cnh AB v BC. Tnh th tch khi chp SBMDN v gc gia (SM;ND). Cu 29) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thang, gc BAD bng gc ABC v bng 900; AB=BC=a; AD=2a. SA vung gc vi y v SA=2a. Gi M, N ln lt l trung im ca SA; SD. Tnh th tch khi chp SABCD v khi chp SBCMN. Cu 30) Cho lng tr ABCABC c di cnh bn bng 2a, y ABC l tam gic vung ti A, AB=a; AC= 3.a v hnh chiu vung gc ca A trn (ABC) l trung im ca cnh BC. Tnh theo a th tch khi chp AABC v cosin ca gc gia 2 ng thng AA v BC. Cu 31) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh a, mt bn SAD l tam gic u v nm trong mt phng vung gc vi y. Gi M, N, P ln lt l trung im ca cc cnh SB, BC, CD. Chng minh AM vung gc vi BP v tnh th tch khi t din CMNP.

Cu 32) Cho lng tr ng ABCA1B1C1 c AB=a; AC=2a; AA1= 2 5a v gc BAC=1200. Gi

M l trung im ca cnh CC1. Chng minh rng MB MA1 v tnh khong cch d t im A n mt phng (A1MB) Cu 33) Cho hnh chp SABC c gc gia 2 mt phng (SBC) v (ABC) bng 600 . Cc tam gic ABC v SBC l cc tam gic u cnh a. Tnh theo a khong cch t nh B n mt phng (SAC).

18

Cu 34) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung tm O, SA vung gc vi y. Cho AB=a; SA= 2a . Gi H v K ln lt l hnh chiu ca A ln SB; SC. Chng minh SC (AHK) v tnh th tch khi chp OAHK. Cu 35) Trong mt phng (P) cho na ng trn ng knh AB=2R v im C thuc na vng (SAB;SBC)=600. Gi H, K ln lt l hnh chiu ca A trn SB, SC. Chng minh tam gic AHK vung v tnh VSABC

Cu 36) Lng tr ng ABCA1B1C1 c y l tam gic vung AB=AC=a; AA1= 2a . Gi M, N ln lt l trung im ca AA1 v BC1. Chng minh rng MN l on vung gc chung ca AA1 v BC1. Tnh th tch khi chp MA1BC1 Cu 37) Cho lng tr ng ABCA1B1C1 c tt c cc cnh u bng a. M l trung im ca on AA1. Chng minh BM B1C v tnh ( )1;BM B Cd Cu 38) Cho hnh chp t gic u SABCD c y l hnh vung cnh a. E l im i xng ca D qua trung im SA, M l trung im ca AE, N l trung im ca BC. Chng minh MN vung gc vi BD v tnh khong cch gia MN v AC theo a. Cu 39) Cho hnh chp SABCD c y l hnh thang, gc ABC= gc BAD= 900; AD=2a; BA=BC=a. Cnh bn SA vung gc vi y v SA= 2a . Gi H l hnh chiu vung gc ca A trn SB.

a) Chng minh rng tam gic SCD vung b) Tnh khong cch t H n mt phng (SCD)

Cu 40) Cho hnh chp SABC m mi mt bn l 1 tam gic vung. SA=SB=BS=a. Gi M, N, E ln lt l trung im ca cc cnh AB, AC, BC. D l im i xng ca S qua E, I l giao im ca AD v (SMN)

a) Chng minh rng AD vung gc vi SI b) Tnh theo a th tch khi t din MBSI

Cu 41) Cho hnh hp ng ABCDABCD c cc cnh AB=AD=a; AA=3

2

av gc

BAD=600. Gi M v N ln lt l trung im ca AD v AB. Chng minh AC vung gc vi mt phng (BDMN) v tnh th tch khi chp ABDMN. Cu 42) Hnh chp SABCD c y ABCD l hnh ch nht vi AB=a, AD=2a, cnh SA vung

gc vi y, cnh SB to vi mt phng y gc 600. Trn cnh SA ly M sao cho 3

3

aAM = ,

mt phng (BCM) ct SD ti N. Tnh th tch khi chp SBCNM. Cu 43) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thoi cnh a. Gc BAD=600. SA vung gc vi mt phng (ABCD), SA=a. Gi C l trung im ca SC, mt phng (P) i qua AC v song song vi BD, ct cc cnh SB, SD ca hnh chp ln lt ti B, D. Tnh th tch ca khi chp SABCD. Cu 44) Cho lng tr ABCABC c AABC l hnh chp tam gic u, cnh y AB=a, cnh bn AA=b. Gi l gc gia 2 mt phng (ABC) v (ABC). Tnh tan v th tch khi chp ABBCC. Cu 45) Cho hnh chp t gic u SABCD c cnh y =a. Gi SH l ng cao ca hnh chp. Khong cch t trung im I ca SH n mt phng (SBC) bng b. Tnh th tch khi chp SABCD.

19

Cu 46) Cho hnh lp phng ABCDABCD c cnh =a v im K thuc cnh CC sao

cho:2

3

aCK = . Mt phng i qua A, K v song song vi BD chia khi lp phng thnh 2

khi a din. Tnh th tch ca 2 khi a din . Cu 47) Cho 1 hnh tr trn xoay v hnh vung ABCD cnh a c 2 nh lin tip A; B nm trn ng trn y th nht, 2 nh cn li nm trn ng trn y th 2 ca hnh tr. Mt phng (ABCD)to vi y hnh tr gc 450. Tnh din tch xung quanh v th tch ca hnh tr. Cu 48) Cho hnh nn nh S, y l ng trn tm O, SA v SB l 2 ng sinh. Bit SO=3a, khong cch t O n mt phng (SAB) bng a, din tch tam gic SAB=18a2. Tnh th tch v din tch xung quanh. Cu 49) Cho hnh tr c 2 y l 2 hnh trn tm O v O. Bn knh y bng chiu cao v bng a. Trn ng trn y tm O ly im A, trn ng trn y tm O lyim B sao cho AB=2a.

a) Tnh din tch ton phn ca hnh tr v th tch ca khi tr b) Tnh th tch t din OOAB.

Cu 50) Cho hnh chp ct tam gic u ngoi tip 1 hnh cu bn knh r cho trc. Tnh th tch khi chp ct bit rng cnh y ln gp i cnh nh. (Hnh chp ngoi tip hnh cu nu hnh cu tip xc vi tt c cc mt ca hnh chp). Cu 51) Cho hnh chp tam gic u SABC c di cnh bn bng a. Cc mt bn hp vi mt phng y mt gc . Tnh th tch khi cu ni tip hnh chp. Cu 52) Cho hnh chp SABCD. Hai mt bn (SAB) v (SAD) cng vung gc vi mt y. y ABCD l t gic ni tip trong ng trn tm O, bn knh R. Xc nh tm v tnh th tch khi cu ngoi tip hnh chp SABCD bit SA=h. Cu 53) Hnh cu ng knh AB=2R. Ly H trn AB sao cho AH=x ( 0

20

P S:

Cu 1) S:1

2

Cu 2) 3 2 6

) ; )6 6

a aa b

Cu 3) 316

45

aS

Cu 4) 8 3

Cu 5) 3 5

10V =

Cu 6)

) 20 5; 10 5b V V= =

Cu 7) 60 34

( )17

cm

Cu 8) 2 10

( )16

aS dvdt=

Cu 10) 21

7

Cu 11) 32 57 3 3

) ; )19 50

a aa b

Cu 12) 3 2

12

aV =

Cu 13) 3

2

4 3;cos

3cos .sin 3

a

=

Cu 14) 3 2

36

aV =

Cu 15) 34 2 5

;9 5

a aV d= =

Cu 16) 33 15

5V a=

Cu 17) 39

208

aV =

Cu 18) V=3a3

2 2

2 2 2

' ' '

2 3tan ;

3

6A BB CC

b a

a

a b aV

=

=

Cu 19) 3

6

aV =

Cu 20) 2

2

aAH =

Cu 21)

3 3 52 ;10

aV a h= =

Cu 22) 3 6

12

aV =

Cu 23) 3 3

12

aV =

Cu 24) 3

16

aV =

Cu 25) 33 3

) ; )4 6

a aa b

Cu 26) 3

)36

ac

Cu 27) 3 2 7

) ; )2 7

a aa b

Cu 28) 33 5

;cos3 5

a aV = =

Cu 29) 3

3) ; )3

aa a b

Cu 30) 3 1

;cos2 4

aV = =

Cu 31) 3 3

96

aV =

Cu 32) 5

3

ad =

Cu 33) 3 13

13

ad =

Cu 34) 32

27

aV =

Cu 35) 3 6

12

RV =

Cu 36) 3 3

12

aV =

Cu 37) 10

30

ad =

Cu 38) 2

4

ad =

Cu 39) 3

ah =

Cu 40) 3

36

aV =

Cu 41) 33

16

aV =

Cu 42) 310 3

27

aV =

Cu 43) 33

18

aV =

Cu442 2

2 2 2

' ' '

2 3tan ;

3

6A BB CC

b a

a

a b aV

=

=

Cu 45) 3

2 2

2.

3 16

a bV

a b=

Cu 46) 3 3

1 2

2;

3 3

a aV V= =

Cu 47)

3

2

3 2( );

16

3

2xq

aV dvtt

aS

=

=

21

Cu 49)

2 3

3

4 ; ;

3( )

12

TP

OOAB

S a V a

aV dvtt

= =

=

Cu 50) 27 3V r=

Mt s bi tp t luyn 1) Cho lng tr ng ABCABC y l tam gic cn c BC=AB=a, gc .BAC = Mt phng

(BAC) to vi y lng tr mt gc6

= .

Tnh th tch lng tr theo ,a Tnh din tch BAC v tnh khong cch t nh B n mt phng (BAC). 2) Cho lng tr ng ABCABC y l tam gic u cnh a. Mt phng (ABC) to vi mt bn (BCCB) mt gc . Gi I, J l hnh chiu ca A ln BC v BC. Chng minh AIJ = Tnh theo a th tch khi lng tr.

3) Cho lng tr ng ABCABC y l tam gic u. Tam gic ABC c din tch bng 3 v

to vi y mt gc thay i 02

<

22

9) Trn cc cnh SA,SB ca t din SABC ly cc im M,N sao cho 1

, 22

SM SN

MA NB= = . Mt

mt phng ( )i qua MN v song song vi SC chia t din thnh 2 phn . Tnh t s th tch hai phn . 10) Cho khi chp SABC c y ABC l tam gic vung A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a v

ABC = . Gi H l hnh chiu ca S trn BC. Tnh th tch khi chp SABC theo a v Tnh khong cch t B n mt phng (SAH). Cho (P) l mt phng qua A , trng tm tam gic SBC v song song vi BC chia khi chp SABC thnh 2 phn. Tnh th tch mi phn 11) Cho khi chp DABC c mt (DBC) vung gc vi y , cc mt bn (DAB) v (DAC) cng hp vi y gc 0( 90 ) < . Tnh th tch ca khi chp trong cc trng hp sau a) ABC l tam gic vung ti A c AB = a , AC = 2a ; b) ABC l tam gic u c cnh bng a. 12) Cho hnh chp t gic u SABCD. Tnh khong cch t A n mt phng (SBC) bng 2a. Gc gia cc mt bn v mt y l . Tnh th tch khi chp theo a v Xc nh th tch khi chp nh nht. 13) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh bng a. Gi M, N l trung im ca AB, AD, H l giao im ca CN vi DM. Bit SH vung gc vi (ABCD) v 3SH = . Tnh th tch khi chp SCDNM v khong cch gia DM v SC theo a (A 2010) 14) Cho lng tr tam gic u ABCABC c AB=a gc to bi (ABC) v (ABC) bng 600. Gi G l trng tm tam gic ABC. Tnh th tch khi lng tr v tm tm bn knh mt cu ngoi tip khi chp GABC theo a. (B 2010) 15) Cho hnh chp SABCD c y ABCD l hnh vung cnh bng a. SA=a. Hnh chiu vung

gc ca S ln (ABCD) l im H thuc AC sao cho 4

ACAH = . Gi CM l ng cao tam gic

SAC. Chng minh M l trung im ca SA v tnh th tch SMBC theo a. (D 2010)