chuyÊn ĐỀ phƢƠng phÁp tỌa ĐỘ trong mẶt phẲng a. lÝ...

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

y

u u

1M

M2

CHUYÊN ĐỀ : PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A. LÝ THUYẾT

I. Tọa độ

1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị ,i j

1i j .

2. ; u xu x y i y j ; M(x;y)1 2

OM OMOM xi y j

3. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ), ( '; ')u x y v x y

a. '; 'u v x x y y b. '; 'u v x x y y

c. ( ; )ku kx ky d. . ' 'u v xx yy

e. ' ' 0u v xx yy f. 2 2u x y ,

2 2v x y

g. cos ,.

.u v

u v

u v.

4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)

a. ;B A B AAB x x y y b. 2 2

B A B AAB x x y y

c. G là trọng tâm tam giác ABC (tứ giácABCD tương tự) ta có:

GA GB GC O , 3

OA OB OCOG

xG=

3

A B Cx x x ; yG=

3

A B Cy y y

d. M chia AB theo tỉ số k: MA kMB ;1 1

A B A BM M

x kx y kyx y

k k

(2 véc tơ gốc M)

Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; .2 2

A B A BM M

x x y yx y

e) Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC

h) Tính chất đường phân giác:

Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của góc A (D BC; E BC), ta có:

ABDB DC

AC ;

ABEB EC

AC

k) Diện tích :

* Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc ABC vôùi : AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2)

1. . os

2S AB AC c BAC

22 21. .

2S AB AC AB AC thì S =

2

1 | x1y2 – x2y1|

* Công thức khác: 1 1

sin ( )( )( )2 2 4

a

abcS ah ab C pr p p a p b p c

R

(Với a, b, c là ba cạnh, ah là đường cao thuộc cạnh a, 1

( )2

p a b c , R và r lần lượt là bán

kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC)

g/

u cuøng phöông vôùi '

u '

'

yy

xx = xy’ – x’y = 0 : :x x y y

-A,B,C phân biệt thẳng hàng khi 1 1

2 2

x y

AB k ACx y

, với AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2), k 0

Chú ý các bài toán hình học cơ bản của lớp 9

x o i

j

M


2

II. Phƣơng trình đƣờng thẳng

1. Một đƣờng thẳng đƣợc xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến

;n A B

*Phương trình tổng quát 0 0 0A x x B y y . 0Ax By C

hoặc có một vectơ chỉ phương ;u a b ta có thể chọn VTPT: ;n A b B a

*Phương trình tham số: khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ chỉ phương ;u a b ,

0

0

x x at

y y bt

, t R . 0 0( ) ;M M x at y bt

hoặc có một vectơ pháp tuyến ;n A B ta có thể chọn ;u a B b A

*Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k: 0 0y k x x y .

* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ) khác B(x B ;y B ): A A

B A B A

x x y y

x x y y

nhân

chéo

2. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng : 0Ax By C là:

2 2

,M MAx By C

d MA B

.

-Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt tại H thì ,d M MH

- Hoặc 0 0;H x at y bt d nên . 0dNH u tìm được t nên tìm được H

-PT đường thẳng cách đều hai đường thẳng 0Ax By C , / / / 0A x B y C là / / /

2 2 /2 /2

A x B y CAx By C

A B A B

(*) hay là tập hợp các điểm cách đều 2 đường thẳng.

Nếu 2 dường thẳng song song thì PT (*) trên có 1 đường thẳng

Nếu 2 đường thẳng trên cắt nhau thi PT trên(*) là 2 đường thẳng phân giác của 2 đường thẳng đó.

3. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.

Cho hai đường thẳng 0:

0:

2222

1111

cybxa

cybxa

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 21 và ta xét số nghiệm của hệ phương trình

0

0

222

111

cybxa

cybxa (I)

u

n


3

Chú ý: Nếu a2b2c2 0 thì :

2

1

2

1

2

121

2

1

2

1

2

121

2

1

2

121

//

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a

a

b

b

a

a

4. Góc giữa hai đƣờng thẳng.

*Góc giữa hai đường thẳng 21 và của (I) có VTPT

21 nvàn được tính theo công thức:

2

2

2

1

2

2

2

1

2121

21

212121

.

||

||||

|.|),cos(),cos(

bbaa

bbaa

nn

nnnn

hoặc tính theo véc tơ chỉ phương thay n

bằng u

* Góc giữa hai đường thẳng:( ): y = k 1 x + b và ( ’): y = k 2 x + b’ là:

tan 2 1

1 2

( ; ')1 .

k k

k k

(Công thức tan)

*Bài toán min,Max: MA+MB đạt min, MA MB đạt Max A,B cố định M thuộc đường thẳng

hoặc MA MB MC min hoặc đạt min cho A,B, C cố định M thuộc đường nào đó

Ví dụ: A(1;-1) B(-1;3) C(0;-5) và đường thẳng (d) 3x-4y +10=0 tìm M thuộc (d) mà

MA MB MC 2 3MA MB MC 2 2 2MA MB MC ; 2 2 22 3MA MB MC đạt min

Có 3MA MB MC MG min vậy từ G hạ đoạn vuông góc xuống (d) tại M

Có 2 3 2 2 3 3 6 ( 2 3 )MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI IA IB IC

Tìm điểm I thoả mãn 2 3 0IA IB IC I là điểm gọi là tâm tỉ cự 3 điểm xác định, từ I kẻ đoạn

vuông góc với đường thẳng (d) tại M là điểm cần tìm

** Đường phân giác trong của tam giác là trục đối xứng của 2 cạnh bên và khoảng cách từ 1 điểm

trên P giác cách đều 2 cạnh tam giác. d(M/ )=d(M/ )

III. Phƣơng trình đƣờng tròn

1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.

Phương trình:

Dạng 1: 2 2 2x a y b r .

Dạng 2: 2 2 2 2 0x y ax by c , điều kiện 2 2 0a b c và 2 2r a b c .

Tâm I(a;b)

* Nếu a2 + b

2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x

2 + y

2 - 2ax - 2by + c = 0

* Nếu a2 + b

2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x

2 + y

2 - 2ax - 2by + c = 0

2. Điều kiện để đường thẳng : 0Ax By C (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:

2 2

,Aa Ba C

d I rA B

(C)

r

I M


4

+Đôi khi ta xét b= 0 thay xét trực tiếp và sau đó xét b 0 thì đường thẳng (1) thành y kx b hoặc

0kx y b thì bài toán đơn giản hơn dùng cho cả tiếp tuyến và giao tuyến đường tròn và đường

thẳng.

*Chú ý tính chất cung góc lượng giác bán kính dây cung lớp 9

2. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn tại M0 .

Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: ;M x y

0 0;IM x a y b là véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến hay sử dụng tính chất:

0. 0OIM M M ta có (x – x0) (x0 – a)+ (y – y0) (y0 – b)= 0

hoặc 0 0 0 0( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c

2 2

0 0 0 0 0 0.( ) 0 0IM IM IM IM IM IM x a x a y b y b R ( CT tách đôi)

Ngoài ra có thể dùng PTHĐGĐ

2 2 2

0

x a y b r

Ax By C

có nghiệm kép là tiếp tuyến có 2

nghiệm là cắt nhau tại 2 điểm.

Chú ý tính chất bán kính và dây cung: IH là đường trung trực của AB

IV. Ba đƣờng conic

I.Elip 1 2/ 2E M mp MF MF a , 1 2,F F là 2 tiêu điểm

1. Phương trình chính tắc: 2 2

2 21

x y

a b , (a>b>0).

2. Các yếu tố: 2 2 2c a b , a> c>0.,a>b>0

Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b.

Hai tiêu điểm 1 2;0 , ;0F c F c .

Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn 1 2;0 , ;0A a A a ,

2 đỉnh trên trục bé 1 20; , 0;B b B b .

Tâm sai: 1c

ea

Bán kính qua tiêu điểm: M( 0 0;x y )thuộc (E) thì 1 1 0

2 2 0

cMF r a x

a

cMF r a x

a

3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: dùng điều kiện nghiệm kép của ph

trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm.

B. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y , phân

giác trong : 2 5 0BN x y .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn:

+ Do AB CH nên AB: 1 0x y .

B C

A

H N

x

y

F 2 F

1

B 2

B 1

A 2 A

1

O

M

I

A B

H


5

Giải hệ: 2 5 0

1 0

x y

x y

ta có (x; y)=(-4; 3).

Do đó: ( 4;3)AB BN B .

+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì 'A BC .

- Phương trình đường thẳng (d) qua A và

Vuụng gúc với BN là (d): 2 5 0x y .

Gọi ( )I d BN . Giải hệ: 2 5 0

2 5 0

x y

x y

. Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4)A

+ Phương trình BC: 7 25 0x y . Giải hệ: 7 25 0

1 0

x y

x y

Suy ra:

13 9( ; )

4 4C .

+ 2 2 450( 4 13 / 4) (3 9 / 4)

4BC ,

2 2

7.1 1( 2) 25( ; ) 3 2

7 1d A BC

.

Suy ra: 1 1 450 45

( ; ). .3 2. .2 2 4 4

ABCS d A BC BC

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD

có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:1 yxd và

06:2 yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ

các đỉnh của hình chữ nhật.

Hướng dẫn:

Ta có: Idd 21 . Toạ độ của I là nghiệm của hệ:

2/3y

2/9x

06yx

03yx. Vậy

2

3;

2

9I Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm

cạnh AD OxdM 1 Suy ra M( 3; 0) Ta có: 232

3

2

932IM2AB

22

Theo giả thiết: 2223

12

AB

SAD12AD.ABS ABCD

ABCD

Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ADd1

Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận )1;1(n làm VTPT nên có PT:

03yx0)0y(1)3x(1 . Lại có: 2MDMA

Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:

2y3x

03yx

22

13x

x3y

2)x3(3x

3xy

2y3x

3xy

2222

1y

2x hoặc

1y

4x.

Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)

Do

2

3;

2

9I là trung điểm của AC suy ra:

213yy2y

729xx2x

AIC

AIC

Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)

Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1

( ;0)2

I


6

A B

I

Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ

các đỉnh của hình chữ nhật đó.

HƢỚNG DẪN

+) 5

( , )2

d I AB AD = 5 AB = 2 5 BD = 5.

+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y

2 = 25/4

+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:

2 2

21 25

2( )( 2;0), (2;2)2 4

22 2 0

0

x

yx yA B

xx y

y

(3;0), ( 1; 2)C D

Bµi 4: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3;

- 2), cã diÖn tÝch b»ng 3

2 vµ träng t©m thuéc ®êng th¼ng : 3x – y

– 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.

Híng dÉn:

Ta cã: AB = 2 , M = ( 5 5

;2 2 ), pt AB: x – y – 5 = 0

S ABC = 1

2d(C, AB).AB =

3

2 d(C, AB)=

3

2

Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= 1

2

d(G, AB)= (3 8) 5

2

t t =

1

2t = 1 hoÆc t = 2

G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)

Mµ 3CM GM C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4)

Bài 5:

Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng :3 4 4 0x y .

Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC

bằng15.

Hướng dẫn:

1. Gọi 3 4 16 3

( ; ) (4 ; )4 4

a aA a B a

. Khi đó diện tích tam giác ABC là

1

. ( ) 32

ABCS AB d C AB .

Theo giả thiết ta có

2

246 3

5 (4 2 ) 2502

aaAB a

a

Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).

Bài 6:

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 2 2

( ) : 19 4

x yE và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) .

Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn:

Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0

Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có2 2

19 4

x y và diện tích tam giác ABC là

D C


7

1 85 85. ( ) 2 3 3

2 13 3 42 13ABC

x yS AB d C AB x y

2 285 1703 2 3

13 9 4 13

x y

Dấu bằng xảy ra khi

2 2

2139 4

2

23 2

x y

x

x yy

. Vậy 3 2

( ; 2)2

C .

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0

và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.

Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.

Hướng dẫn:

Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)

Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)

Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)

Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3

Bài 8:

Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi

qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình cần tìm là (x-a)2 + (x-b)

2 = R

2

Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình 2 2 2

2 2 2

2 2

(1 )

(1 ) (2 )

( 1) 2

a b R

a y R

a b R

2

0

1

2

a

b

R

Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)

2 = 2

Bài 9 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y

2 - 2x - 2my + m

2 - 24 = 0 có

tâm I và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm

phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.

Hướng dẫn :

Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.

Gọi H là trung điểm của dây cung AB.

Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.

IH = 2 2

| 4 | | 5 |( , )

16 16

m m md I

m m

22 2

2 2

(5 ) 2025

16 16

mAH IA IH

m m

Diện tích tam giác IAB là

12 2 12SIAB IAHS

2

3

( , ). 12 25 | | 3( 16) 16

3

m

d I AH m mm

Bài 10:

Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )5;2(,)1;1( BA ,

®Ønh C n»m trªn ®êng th¼ng 04 x , vµ träng t©m G cña tam gi¸c

n»m trªn ®êng th¼ng 0632 yx . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.

Híng dÉn:

I

A B

H

5


8

Ta cã );4( CyC . Khi ®ã täa ®é G lµ 3

23

51,1

3

421 CCGG

yyyx

.

§iÓm G n»m trªn ®êng th¼ng 0632 yx nªn 0662 Cy , vËy

2Cy , tøc lµ

)2;4(C . Ta cã )1;3(,)4;3( ACAB , vËy 5AB , 10AC , 5. ACAB .

DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ 2510.252

1..

2

1 222 ACABACABS =

2

15

Bµi 11: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi

)2;1(,)1;2( BA , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng

02 yx . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5

.

Híng dÉn:

V× G n»m trªn ®êng th¼ng 02 yx nªn G cã täa ®é )2;( ttG . Khi ®ã

)3;2( ttAG , )1;1( AB VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ

1)3()2(22

1..

2

1 222

22 ttABAGABAGS =2

32 t

NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng

5,43:5,13 . VËy 5,42

32

t, suy ra 6t hoÆc 3t . VËy cã hai ®iÓm G :

)1;3(,)4;6( 21 GG . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn )(3 BaGC xxxx vµ

)(3 BaGC yyyy .

Víi )4;6(1 G ta cã )9;15(1 C , víi )1;3(2 G ta cã )18;12(2 C

Bµi 12.

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®êng trßn (C): x2 + y2

- 2x + 4y - 4 = 0 vµ ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh x + y + m = 0.

T×m m ®Ó trªn ®êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®îc

hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm)

sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.

Híng dÉn: Tõ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R

= 3, tõ A kÎ ®îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn vµ ACAB =>

tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 3 23 IA

7

56123

2

1

m

mm

m

Bài 13:

Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);

B (3;4). Tìm điểm M() sao cho 2MA2 + MB

2 có giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn :

M (2 2; ), (2 3; 2), (2 1; 4)M t t AM t t BM t t 2 2 22 15 4 43 ( )AM BM t t f t

Min f(t) = 2

15f

=> M26 2

;15 15

Bài 14:


9

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x .

Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C)

tại A.

Hướng dẫn:

A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’

Pt đường thẳng IA : 2 3

2 2

x t

y t

, 'I IA => I’( 2 3 ;2 2t t ),

12 ' '( 3;3)

2AI I A t I

(C’): 2 2

3 3 4x y

Bài 15:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường

chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ

nhật.

Hướng dẫn:

(7;3)BD AB B , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0

(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c ,

I =2 1 2 17

;2 2

a c a c

là trung điểm của AC, BD.

I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c

M, A, C thẳng hàng ,MA MC cùng phương => c2 – 13c +42 =0

7( )

6

c loai

c

c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)

Bài 16:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình 2 21 : 4 5 0C x y y và

2 22 : 6 8 16 0.C x y x y Lập phương trình tiếp tuyến chung của 1C và 2 .C

Hướng dẫn:

1 1 1 2 2 2: 0;2 , 3; : 3; 4 , 3.C I R C I R

Gọi tiếp tuyến chung của 1 2,C C là 2 2: 0 0Ax By C A B

là tiếp tuyến chung của 1 2,C C

2 21 1

2 22 2

2 3 1;

;3 4 3 2

B C A Bd I R

d I RA B C A B

Từ (1) và (2) suy ra 2A B hoặc 3 2

2

A BC

Trường hợp 1: 2A B .

Chọn 1 2 2 3 5 : 2 2 3 5 0B A C x y

Trường hợp 2: 3 2

2

A BC

. Thay vào (1) được


10

Bµi 17:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y 2 2( ') : 4 – 5 0C x y x cùng đi qua M(1; 0). Viết phương

trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho

MA= 2MB.

Hướng dẫn:

+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R , đường thẳng (d)

qua M có phương trình 2 2( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b .

+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.

Khi đó ta có: 2 2 2 22 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H 2 2

1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d ,

.IA IH

2 2

2 2

2 2 2 2

94 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35

a bd I d d I d

a b a b

2 22 2

2 2

3635 36

a ba b

a b

Dễ thấy 0b nên chọn 6

16

ab

a.

Kiểm tra điều kiện IA IH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.

Bài 18:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực

tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M .

Hướng dẫn:

+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận

( 1; 2)HK làm vtpt và AC đi qua K nên

( ) : 2 4 0.AC x y Ta cũng dễ có:

( ) : 2 2 0BK x y .

+ Do ,A AC B BK nên giả sử

(2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b Mặt khác (3;1)M là

trung điểm của AB nên ta có hệ:

2 4 6 2 10 4.

2 2 2 2 0 2

a b a b a

a b a b b

Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B

+ Suy ra: ( 2; 6)AB , suy ra: ( ) :3 8 0AB x y .

+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận (3; 4)HA , suy ra:

( ) :3 4 2 0.BC x y

KL: Vậy : ( ) : 2 4 0, AC x y ( ) :3 8 0 AB x y , ( ) :3 4 2 0. BC x y

Bài 19: (đề 2010)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3 0 x y và d2: 3 0x y . Gọi (T) là

đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B.

Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ

dương.

Hƣớng dẫn:

. Ta thấy 1 2,d d tạo với Oy góc 030 Từ đó 0 060 ; 30AOB ACB

M

HK

C B

A


11

C

E

2 21 3 3 3. 1

2 2 2 2ABCS AB BC AB AB AB 2 2 1

. ; 13 3 3

OA AB A

4 22 ; 2

3 3OC OA C

Đường tròn (T) đường kính AC có:

1 3; , 1

2 22 3

ACI R

Phương trình (T):

2 21 3

122 3

x y

Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi

qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và

C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Hướng dẫn:

Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB

Ta có 6 6 4

, 4 22

d A

Vì là đường trung bình của ABC

; 2 ; 2.4 2 8 2d A BC d A

Gọi phương trình đường thẳng BC là: 0x y a

Từ đó: 46 6

8 2 12 16282

aaa

a

Nếu 28a thì phương trình của BC là 28 0x y , trường hợp này A nằm khác phía đối với

BC và , vô lí. Vậy 4a , do đó phương trình BC là: 4 0x y .

Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và BC : 4 0x y nên có phương

trình là 0x y .

Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình

0 2

4 0 2

x y x

x y y

Vậy H (-2;-2)

Vì BC có phương trình là 4 0x y nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a)

Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-a; a)

Suy ra: 5 ; 3 , ( 6; 4 6)CE a a AB a a

Vì CE AB nên . 0 6 5 3 10 0AB CE a a a a

20

2 12 06

aa a

a

Vậy

0; 4

4;0

B

C

hoặc

6;2

2; 6

B

C

.

Â

B


12

Bài 21: ( Đề 2011- khối A) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và

đường tròn (C): x2 + y

2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp

tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có

diện tích bằng 10.

1HD: Diện tích MAI=5 =1

. 52

AM 2 5AM và MI2 = IA

2 + AM

2 = 25

M M(m; -m – 2). Vậy (2 ; 3)MI m m nên ta có phương trình:

2 24 4 6 9 25m m m m m2 + m – 6 = 0 m = 2 hay m = -3

M (2; -4) và M (-3; 1).

C. BÀI TẬP TỰ RÈN

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A

và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y9=0 và x+3y5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A

và B.

ĐS: A(1;4), B(5;0).

2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) 2 2 4 4 6 0x y x y và đường

thẳng : 2 3 0x my m với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để

Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình 1916

22

yx

.

Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng

MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá

trị nhỏ nhất đó.

ĐS: 7,21;0,0;72 min MNNM

4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x1)2+(y2)

2=4 và

đường thẳng d: xy1=0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua

đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).

ĐS: A(1;0), B(3;2)

5. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có

phương trình là x3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= 0.

Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E): 114

22

yx

.

Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và

tam giác ABC là tam giác đều.

ĐS:

7

34;

7

2,

7

34;

7

2BA hoặc

7

34;

7

2,

7

34;

7

2BA

7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x+y +3=0, d2: xy 4=0, d3: x2y

=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1

bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS:

M(22;11), (2;1).


13

8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y

22x2y+1=0 và đường thẳng d:

xy+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán

kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

ĐS: M1(1;4), M2(2;1)

9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao

cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x 2y+3=0. ĐS: A(2;0),

B(0;4).

10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x1)2+(y+2)

2=9 và đường thẳng d:

3x4y+m=0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA,

PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

ĐS: m=19, m=41

11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB.

Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x2y3=0 và

6xy4=0. Viết phương trình đường thẳng AC. ĐS: AC: 3x4y+5=0

12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai

đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc

đường thẳng : x+y5=0. Viết phương trình đường thẳng AB.

ĐS: AB: y5=0; x4y+19=0

13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(2;2) và C(4;2). Gọi H

là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương

trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: x2+y

2x+y2=0

14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x+y+3=0, d2: xy4=0, d3:

x2y=0. Tìm tọa độ điểm M mằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường

thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS: M1(22;11), M2(2;1)

15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1: xy=0 và d2: 2x+y1=0. tìm tọa độ

các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc

trục hoành.

ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;1), D(0;0)

16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và 1;3 B . Tìm tọa độ trực tâm và

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS: 1;3,1;3 IH

17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng

BC là 033 yx , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng

2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

18. ĐS:

3

326;

3

347G hoặc

3

326;

3

134G

19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)2+y

2=4/5 và hai đường thẳng 1:

xy=0, 2: x7y=0. Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp

xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc đường tròn (C). ĐS: 5

22,

5

4;

5

8

RK

20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng

hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(1;1), đường phân giác trong của


14

góc A có phương trình xy+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y1=0. ĐS:

4

3;

3

10C

21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y2=0, d2:

x+y8=0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân

tại A. ĐS: B(1;3), C(3;5) hoặc B(3;1), C(5;3)

22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn (C): x2+y

22x6y+6=0 và điểm M(3;1).

Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng

T1T2. ĐS: T1T2: 2x+y3=0

23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường

tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

ĐS: (C1): (x2)2+(y1)

2=1 hoặc (x2)

2+(y7)

2=49

24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;3). Tìm điểm C thuộc đường

thẳng x2y1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

ĐS:

11

27;

11

43,3;7 21 CC

25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, 0^

90BAC . Biết M(1;1) là

trung điểm cạnh BC và

0;

3

2G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

ĐS: A(0;2), B(4;0), C(2;2)

26.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm

0;

2

1I , phương trình

đường thẳng AB là x2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành

độ âm. ĐS: A(2;0), B(2;2), C(3;0), D(1;2)

chuyÊn ĐỀ phƢƠng phÁp tỌa ĐỘ trong mẶt phẲng a. lÝ...

Documents