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Edicin digital para la Biblioteca Digital del ILCE Ttulo original: Science and Method De la traduccin: Emilio Mndez Pinto

Primera edicin: Cosimo, 1914 D. R. Cosimo, 1914 ISBN: 978-1-60206-448-5

Prohibida su reproduccin por cualquier medio mecnico o elctrico sin la autorizacin por escrito

de los coeditores.

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INTRODUCCIN

En este trabajo he recogido varios estudios ms o menos relacionados con la metodologa cientfica. El mtodo cientfico consiste en la observacin y el experimento. Si el cientfico tuviese un tiempo infinito a su disposicin, sera suficiente con decirle: Observa, y observa cuidadosamente. Pero como carece de tiempo para observar todo, y ms que nada para observar cuidadosamente, se ve forzado a seleccionar. La primera cuestin, entonces, es saber cmo hacer esta seleccin. Esta cuestin concierne tanto al fsico como al historiador, y tambin al matemtico, y los principios que guan a todos ellos no suelen ser muy distintos entre s. El cientfico se ajusta a ellos de manera instintiva, y al reflexionar sobre tales principios uno puede prever el posible futuro de las matemticas. Entenderemos todo esto mejor si observamos al cientfico trabajar, y para empezar, debemos tener algn conocimiento sobre el mecanismo psicolgico del descubrimiento, y especialmente sobre el descubrimiento matemtico. La observacin del mtodo matemtico de trabajar es especialmente instructiva para la psicologa. En todas las ciencias dependientes de la observacin debemos tener en cuenta los errores debidos a las imperfecciones de nuestros sentidos y de nuestros instrumentos. Afortunadamente, podemos admitir que, bajo ciertas condiciones, existe una compensacin parcial de estos errores, de tal suerte que en los promedios desaparecen. Esta compensacin obedece a la casualidad, pero qu es la casualidad? Es una nocin difcil de justificar, e incluso de definir, y an con todo eso, lo que he dicho acerca de los errores de observacin muestra que el cientfico no puede progresar sin ella. Resulta necesario, por tanto, ofrecer una definicin tan exacta como sea posible de esta nocin, tan indispensable y tan esquiva a la vez. Estas son generalidades que aplican, usualmente, para todas las ciencias. Por ejemplo, no hay una diferencia apreciable entre el mecanismo del descubrimiento matemtico y el mecanismo del descubrimiento en general. Ms adelante tocar cuestiones referidas ms particularmente a ciertas ciencias especiales, comenzando con las matemticas puras. En los captulos dedicados a stas, nos veremos obligados a tratar con asuntos algo ms abstractos, y para empezar, debemos hablar de la nocin del espacio. Todo mundo sabe que el espacio es relativo, o mejor dicho, todo mundo lo dice, pero cuntas personas an piensan como si lo consideraran absoluto? No obstante

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lo anterior, una pequea reflexin demostrar las contradicciones a las que estas personas estn expuestas.

Las cuestiones concernientes a los mtodos de instruccin son importantes, primero, por cuenta propia, y segundo, porque uno no puede reflexionar sobre el mejor mtodo para inculcar nuevas nociones en cerebros vrgenes sin, al mismo tiempo, reflexionar sobre la manera en que estas nociones han sido adquiridas por nuestros ancestros, y consecuentemente, sobre su verdadero origen, esto es, en realidad, sobre su verdadera naturaleza. Por qu es que, en la mayora de los casos, las definiciones que satisfacen a los cientficos no significan nada para los nios? Por qu resulta necesario ofrecerles otras definiciones? Esta es la cuestin que me he propuesto resolver en algunos de los captulos que siguen, y su solucin podra sugerir, pienso, reflexiones tiles a los filsofos interesados en la lgica de las ciencias. Por otra parte, hay muchos gemetras que creen que las matemticas pueden reducirse a las reglas de la lgica formal, y se han hecho innumerables esfuerzos en esta direccin. Para conseguir su objetivo no han dudado, por ejemplo, en revertir el orden histrico de la gnesis de nuestras concepciones, y se han empeado en explicar lo finito a partir de lo infinito. Pienso que he tenido xito en demostrar - para todos aquellos que se acercan al problema con una mente abierta - que en todo esto hay una ilusin engaosa. Confo en que el lector comprenda la importancia de esta cuestin, y perdone la aridez de las pginas que me he visto obligado a dedicar a este tema. Los ltimos captulos, relativos a la mecnica y la astronoma, se encontrarn

mucho ms fciles de leer. La mecnica parece estar a punto de experimentar una revolucin total. Las ideas que parecan ms firmemente establecidas estn siendo destrozadas por osados innovadores, aunque ciertamente sera prematuro posicionarse a su favor desde el principio solamente por el hecho de que sean innovadores; no obstante, es interesante exponer sus puntos de vista, y eso es lo que he intentado hacer. He seguido, en lo posible, un orden histrico, y esto para que las nuevas ideas no parezcan demasiado sorprendentes al no conocer la forma en la que nacieron. La astronoma nos ofrece magnficos espectculos, y a su vez hace surgir

tremendos problemas. No podemos siquiera soar con aplicar mtodo experimental alguno en esta ciencia, ya que nuestros laboratorios son muy pequeos. Pero los laboratorios nos permiten hacer analogas con los fenmenos astronmicos y stas pueden servir como gua al astrnomo. La Va Lctea, por ejemplo, es una coleccin de

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soles cuyos movimientos podran parecer, a primera vista, caprichosos. Pero no podra esta coleccin ser comparada con aquella de las molculas de gas cuyas propiedades hemos aprendido de la teora cintica de los gases? As, el mtodo del fsico viene a ayudar indirectamente al astrnomo. Finalmente, he intentado bosquejar, en unas cuantas lneas, la historia del desarrollo de la geodesia francesa. He mostrado a qu costo, y a partir de qu tipo de esfuerzos e incluso peligros, los geodestas nos han asegurado las pocas nociones que tenemos acerca de la forma de la Tierra. Es esta realmente una cuestin de mtodo? S, porque esta historia ciertamente nos ensea qu tipo de precauciones deben circundar cualquier operacin cientfica seria, y cunto tiempo y apuro estn involucrados en la conquista de un nico decimal nuevo.

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PARTE I

EL CIENTFICO Y LA CIENCIA

CAPTULO I

LA SELECCIN DE HECHOS

Tolstoi explica en algn lugar de sus escritos por qu, en su opinin, la ciencia por la ciencia misma es una concepcin absurda. No podemos conocer todos los hechos ya que son prcticamente infinitos en nmero. Debemos, por tanto, hacer una seleccin, y siendo as lo anterior, puede estar esta seleccin dirigida por el mero capricho de nuestra curiosidad? No es mejor estar guiados por la utilidad, por nuestras necesidades prcticas y, especialmente, por las morales? No tenemos una ocupacin mejor que contar el nmero de aves que habitan este planeta? Es claro que para l la palabra utilidad no tiene el mismo significado que para los hombres de negocios y, despus de ellos, para la mayora de nuestros contemporneos. Le importan poco las aplicaciones industriales de la ciencia, las maravillas de la electricidad o del automovilismo, que considera ms bien como obstculos al progreso moral. Para l, lo til slo es aquello que es capaz de hacer mejor al hombre. Apenas es necesario decir que, por mi parte, no puedo estar satisfecho con ninguno de estos ideales. No tengo simpata alguna ni por una plutocracia codiciosa y estrecha, ni por una democracia virtuosa y carente de aspiraciones, nicamente ocupada en poner la otra mejilla, y en donde encontremos buenas personas vacas de curiosidad quienes, evitando todo tipo de excesos, no se mueran por enfermedad alguna, sino por aburrimiento. Pero todo esto es una cuestin de gustos, y ese no es el punto que deseo discutir.

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Sin embargo, la cuestin sigue presente y reclama nuestra atencin. Si nuestra seleccin est nicamente determinada por el capricho o por la necesidad inmediata, no puede haber ciencia por ciencia misma, y consecuentemente no puede haber ciencia alguna. Es esto cierto? No hay disputa en el hecho de que deba hacerse una seleccin: sin importar qu tan grande sea nuestra actividad, los hechos nos superan, y nunca podemos alcanzarlos. Mientras el cientfico descubre un hecho, millones y millones se producen en cada milmetro cbico de su cuerpo. Intentar que la ciencia contenga a la naturaleza es como intentar que la parte contenga al todo. Pero los cientficos creen que existe una jerarqua de hechos, y que entonces puede hacerse una seleccin juiciosa. Sin duda estn en lo correcto, porque de otra forma no habra ciencia, y la ciencia s existe. Uno slo tiene que abrir los ojos para observar que los triunfos de la industria, que han enriquecido a tantos hombres prcticos, nunca habran visto la luz si slo hubiesen existido estos hombres prcticos, y si no hubiesen sido precedidos por tontos desinteresados que murieron pobres, quienes nunca pensaron en la utilidad, y que an as tuvieron una gua que no fue precisamente su propio capricho.

Lo que hicieron estos tontos, como lo ha dicho Mach, fue evitar a sus sucesores el problema de pensar. Si hubiesen trabajado solamente con miras a una aplicacin inmediata, no habra dejado nada detrs de ellos, y en vista de una nueva necesidad, todo habra tenido que ser hecho de nuevo. Ahora bien, a la mayora de los hombres no les gusta pensar, y esto quiz es bueno ya que el instinto los gua y muchas veces mucho mejor de lo que podra guiar la razn a una inteligencia pura, por lo menos siempre que persigan un fin inmediato y que siempre sea el mismo. Pero el instinto es rutinario, y si no estuviese fertilizado por el pensamiento, no avanzara ms con el hombre que con la abeja o la hormiga. Es necesario, por lo tanto, pensar por aquellos que no les gusta hacerlo, y como son muchos, cada uno de nuestros pensamientos debe ser til en tantas circunstancias como sea posible. Por esta razn, mientras ms general sea una ley, mayor es su valor.

Esto nos muestra cmo debe hacerse nuestra seleccin. Los hechos ms interesantes son aquellos que pueden usarse varias veces, aquellos que tienen oportunidad de repetirse. Hemos sido lo suficientemente afortunados como para nacer en un mundo en donde existen tales hechos. Supongamos que en lugar de ochenta elementos qumicos hubiera ochenta millones, y que no fuesen algunos comunes y otros raros, sino que todos estuviesen distribuidos de manera uniforme. Entonces cada vez

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que tomsemos un guijarro habra una gran probabilidad de que estuviese compuesto por alguna sustancia desconocida. Nada de lo que supiramos sobre otros guijarros nos podra decir algo acerca de l, y ante cada objeto nuevo seramos como nios pequeos, y como l, slo podramos obedecer a nuestros caprichos o a nuestras necesidades. En tal mundo no habra ciencia, y quiz el pensamiento y la vida misma seran imposibles, ya que la evolucin nunca hubiese desarrollado los instintos de la propia preservacin. Providencialmente esto no es as, y esta bendicin, como todas aquellas a las que estamos acostumbrados, no suele ser apreciada en su justo valor. Los bilogos estaran igualmente desconcertados si hubiese slo individuos y no especies, y si la herencia no hiciese que los nios se parezcan a sus padres. Cules son, pues, los hechos que tienen la oportunidad de repetirse? En primer lugar, los hechos simples. Es evidente que en un hecho complejo muchas circunstancias estn unidas por casualidad, y que slo una casualidad an ms improbable podra unirlas as de nuevo. Pero hay tales cosas como los hechos simples? Y si las hay, cmo hemos de reconocerlas? Quin puede decir que lo que creemos como simple no oculta una complejidad alarmante? Todo lo que podemos decir es que debemos preferir hechos que parecen ser simples sobre aquellos en donde nuestra tosca visin detecte elementos disimilares. Slo hay, entonces, dos alternativas posibles: o bien esta simplicidad es real, o bien los elementos estn tan ntimamente mezclados que no admiten ser distinguidos. En el primer caso, tenemos la posibilidad de encontrarnos con el hecho simple de nuevo, ya sea en toda su pureza o como el elemento de un todo ms complejo. En el segundo caso la ntima mezcla tiene, similarmente, mayor probabilidad de ser reproducida que lo que tiene una coleccin heterognea de serlo. La casualidad puede mezclar, pero no deshacer una mezcla, y una combinacin de varios elementos en un edificio bien ordenado en el cual algo pueda ser distinguido, slo puede hacerse deliberadamente. Hay, por tanto, poca probabilidad de que una coleccin en donde distintas cosas puedan ser distinguidas se reproduzca. Por otra parte, hay una gran probabilidad de que una mezcla que parezca homognea a primera vista se reproduzca varias veces. De acuerdo con lo anterior, los hechos que parecen simples, incluso aunque no sean as en realidad, sern ms fcilmente producidos de nuevo por la casualidad. Es esto lo que justifica el mtodo instintivamente adoptado por los cientficos, y lo que quiz lo justifica an mejor es que los hechos que ocurren frecuentemente nos parecen simples slo porque estamos acostumbrados a ellos.

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Pero dnde se encuentra el hecho simple? Los cientficos han intentado encontrarlo en dos extremos: en lo infinitamente grande y en lo infinitamente pequeo. El astrnomo lo ha encontrado porque las distancias entre las estrellas son inmensas, tan grandes que cada una de ellas [las estrellas] parece slo como un punto y las diferencias cualitativas desaparecen, y porque un punto es ms simple que un cuerpo que tenga forma y cualidades. El fsico, por otra parte, ha buscado al fenmeno elemental en una divisin imaginaria de cuerpos en tomos infinitamente pequeos, porque las condiciones del problema, que experimentan lentas y continuas variaciones a medida que pasamos de un punto del cuerpo a otro, pueden ser consideradas como constantes dentro de cada uno de estos pequeos tomos. De manera similar, el bilogo ha llegado instintivamente a considerar a la clula como ms interesante que el animal entero, y los eventos han probado que est en lo correcto, ya que las clulas que pertenecen a los organismos ms diversos tienen ms semejanzas entre ellas - para aquellos que pueden reconocerlas - que los organismos por s mismos. El socilogo se encuentra en una posicin ms desconcertante. Los elementos, que para l son los hombres, son muy disimilares, muy variables, muy caprichosos y, en pocas palabras, demasiado complejos por s mismos. Adems, la historia no se repite a s misma. Cmo es entonces que debe seleccionar al hecho interesante, al hecho que se repite? El mtodo es precisamente la seleccin de hechos, y de acuerdo con esto, nuestro primer cargo debe ser idear un mtodo. Muchos mtodos han sido creados porque ninguno tiene la ltima palabra, y casi cada tesis sociolgica propone un nuevo mtodo que, no obstante, su autor es muy cuidadoso en no aplicar, de tal forma que puede decirse que la sociologa es la ciencia con el mayor nmero de mtodos y el menor nmero de resultados. Debemos comenzar, por lo tanto, con los hechos regulares; pero tan pronto como se establece la regla, tan pronto como ya no est en duda, los hechos que estn en completa conformidad con ella pierden su inters, debido a que ya no pueden ensearnos nada nuevo. De tal suerte que es la excepcin la que se vuelve importante. Dejamos de buscar semejanzas y ponemos nuestra atencin, ante todo, en las diferencias, y de stas seleccionamos primero aquellas que estn ms acentuadas, no slo porque son las ms llamativas, sino porque sern las ms instructivas. Esto se

explicar mejor a partir de un ejemplo sencillo. Supongamos que estamos buscando determinar una curva al observar algunos de los puntos que se encuentran sobre ella. El hombre prctico que buscase slo la utilidad inmediata nicamente observara los puntos que requiriese para algn objeto especial. Estos puntos estn mal distribuidos

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sobre la curva, de tal forma que algunos estn hacinados en ciertas partes y son escasos en otras, y resulta imposible conectarlos por una lnea continua, a la vez que resultaran intiles para cualquier otra aplicacin. El cientfico procedera de otra manera. Ya que desea estudiar la curva por s misma, distribuira los puntos para ser observados de forma regular, y tan pronto como conoce algunos de ellos, los unira por una lnea regular, y entonces tendra la curva completa. Pero cmo es que consigue esto? Si ha determinado un punto extremo sobre la curva, no permanecer cerca de este extremo, sino que se mover al otro extremo. Despus de las dos extremidades, el punto central ser el ms instructivo, y as sucesivamente.

As, cuando ha sido establecida una regla, debemos primero buscar los casos en donde se presente la mejor oportunidad para que tal regla falle. Esta es una de las muchas razones del inters por los hechos astronmicos y por las eras geolgicas. Al hacer grandes excursiones en el espacio o en el tiempo, podemos encontrar completamente alteradas nuestras reglas ordinarias, y estas grandes alteraciones nos darn una visin ms clara y una mejor comprensin de tales cambios pequeos de lo que podran drnoslas lugares ms cercanos a nosotros, de lo que podra drnoslas el rincn ms pequeo de este mundo en el que estamos llamados a vivir y a movernos. Conoceremos mejor este rincn por los viajes que habremos hecho a lugares distantes en donde no tenemos asunto alguno. Pero a lo que debemos aspirar no es tanto a comprobar semejanzas y diferencias, sino a descubrir similitudes ocultas bajo discrepancias aparentes. Las reglas individuales parecen, al principio, discordantes, pero al observar ms cerca podemos, generalmente, detectar una semejanza. Aunque difieran materialmente, se aproximan en la forma y en el orden de sus partes. Cuando las examinamos desde esta perspectiva, las veremos ampliadas y tendientes a abarcarlo todo. Esto es lo que da valor a ciertos hechos que vienen a completar un todo, y muestran que ste es la viva imagen de otros todos conocidos. No puedo detenerme ms en este punto, pero estas pocas palabras resultarn suficientes para demostrar que el cientfico no hace una seleccin al azar de los hechos a ser observados. No cuenta el nmero de aves, como dice Tolstoi, porque el nmero de estos animales, interesantes como son, est sujeto a caprichosas variaciones. Ms bien intenta condensar una gran cantidad de experiencia y una gran cantidad de pensamiento en un pequeo volumen, y esto es por lo que un pequeo libro de fsica contiene tantos

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experimentos pasados, y mil veces tantos como sea posible, y cuyos resultados son conocidos de antemano. Pero hasta ahora slo hemos considerado una parte de la cuestin. El cientfico no estudia la naturaleza porque resulte til hacerlo, sino la estudia porque encuentra placer en ello, y encuentra placer en ello porque la naturaleza es bella. Si la naturaleza no fuese bella no valdra la pena conocerla, y tampoco valdra la pena vivir. Por supuesto que no estoy hablando de esa belleza que impresiona a los sentidos, de la belleza de las cualidades y las apariencias. Me encuentro lejos de despreciarla, pero no tiene nada que ver con la ciencia. A la que me refiero es a esa belleza ms ntima que surge del armonioso orden de sus partes, y que puede ser comprendida por una inteligencia pura. Esto es lo que da un esqueleto al cuerpo, por decirlo de alguna manera, de las brillantes visiones que adulan nuestros sentidos, y sin este soporte la belleza de estos fugaces sueos sera imperfecta, porque sera indefinida e incluso elusiva. La belleza intelectual, por el contrario, es autosuficiente, y es por ella - quiz ms que por el buen futuro de la humanidad - que los cientficos se condenan a s mismos a largas y dolorosas labores. Es, pues, la bsqueda de esta belleza especial, el sentido de la armona del mundo, lo que nos hace seleccionar los hechos ms adecuados para contribuir a tal armona, as como el artista selecciona aquellas caractersticas de su modelo que completen el retrato y le den carcter y vida. Y no hay miedo alguno de que esta instintiva y no reconocida preocupacin desve al cientfico de la bsqueda de la verdad. Podemos soar con un mundo armonioso, pero qu tan lejos estar del mundo real! Los griegos, los mayores artistas que haya habido jams, construyeron un cielo para s mismos, y qu cosa tan pobre es al lado del cielo tal como lo conocemos! Es porque la simplicidad y la vastedad son bellas que preferimos buscar hechos simples y hechos vastos, que nos deleitamos ahora en seguir los gigantes caminos de las estrellas, ahora en escrutar - con un microscopio - la prodigiosa pequeez que tambin resulta vasta, y ahora en buscar - en las eras geolgicas - los rastros de un pasado que nos atrae debido a su lejana. Ahora vemos que la atencin por lo bello nos conduce a la misma seleccin que la atencin por lo til. De manera similar la economa del pensamiento, aquella economa del esfuerzo que, de acuerdo con Mach, es la tendencia constante en la ciencia, es una fuente de belleza como tambin una ventaja prctica. Las construcciones que admiramos son aquellas en donde el arquitecto ha conseguido adecuar los medios

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con el fin, en donde las columnas parecen llevar las cargas impuestas sobre ellas de manera ligera y sin esfuerzo alguno, como las elegantes caritides del Erectein. De dnde surge esta concordancia? Es simplemente que las cosas que nos parecen bellas son aquellas que mejor se adaptan a nuestra inteligencia, y que consecuentemente son, al mismo tiempo, las herramientas que mejor maneja la inteligencia? O se debe ms bien a la evolucin y a la seleccin natural? Han exterminado las personas cuyo ideal se conforma mejor con sus propios intereses, propiamente entendidos, a otros y han tomado su lugar? Tanto unos como otros persiguieron su ideal sin considerar las consecuencias, pero mientras que a unos esta persecucin los llev a su destruccin, a otros les permiti construir Imperios. Estamos tentados a creer esto, ya que los griegos triunfaron sobre los brbaros, y si Europa, heredera del pensamiento griego, domina el mundo, es por el hecho de que los salvajes adoraban los colores llamativos y el estridente ruido de los tambores que apelaban a sus sentidos, mientras que los griegos amaban la belleza intelectual oculta detrs de la belleza sensible, y es esta belleza la que da certeza y fuerza a la inteligencia. Si duda Tolstoi estara horrorizado ante tal triunfo, y se resistira a admitir que podra resultar realmente til. Pero esta bsqueda desinteresada de la verdad por su propia belleza es tambin saludable, y puede hacer mejor al hombre. S muy bien que hay decepciones, que el pensador no siempre encuentra la serenidad que debe, y que incluso algunos cientficos han tenido temperamentos completamente malos. Debemos entonces decir que la ciencia debe abandonarse, y que slo debe estudiarse la moral? Puede alguien suponer que los moralistas estn por encima de todo reproche una vez bajados del plpito?

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CAPTULO II

EL FUTURO DE LAS MATEMTICAS

Si deseamos prever el futuro de las matemticas, debemos estudiar la historia y la condicin actual de esta ciencia. Para nosotros los matemticos, no resulta este procedimiento, hasta cierto punto, profesional? Estamos acostumbrados a la extrapolacin, cuyo mtodo consiste en deducir el futuro del pasado y del presente, y como somos muy conscientes de sus limitaciones, no corremos riesgo alguno de engaarnos en cuanto al alcance de los resultados que tal mtodo pueda proporcionarnos. En el pasado ha habido profetas del infortunio, y encontraron placer en repetir que todos los problemas susceptibles a ser resueltos ya haban sido resueltos, y que despus de ellos no habra nada sino rebuscos. Afortunadamente, nos puede tranquilizar el ejemplo del pasado. Repetidas veces ha habido hombres que pensaron haber resuelto todos lo problemas, o por lo menos que haban hecho un inventario de todo aquello que admite soluciones. Y desde entonces el significado de la palabra solucin se ha extendido: los problemas insolubles se han convertido en los ms interesantes de todos, y se han presentado otros problemas con los que ni siquiera se haba soado. Para los griegos una buena solucin era aquella que empleara solamente una regla y un comps; despus fue una obtenida a partir de la extraccin de radicales, y despus una en donde slo figuraran las funciones algebraicas y los radicales.1 De esta forma, los pesimistas se encontraron continuamente rebasados, continuamente forzados a retraerse, de modo que, en verdad, pienso que hoy en da ya no existen. Mi intencin, por lo tanto, no es refutarlos, ya que estn muertos. Sabemos muy bien que las matemticas continuarn desarrollndose, pero debemos encontrar en qu direccin lo harn. Se me dir en todas las direcciones, y esto es en parte cierto, pero si fuese del todo cierto, sera algo un tanto alarmante. Toda nuestra riqueza pronto sera desconcertante, y su acumulacin producira una masa tan impenetrable como lo fue para el ignorante la incgnita verdad.

1 Poincar habla de las distintas formas para resolver ecuaciones de ciertos grados. Nota del Traductor.

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Tanto el historiador como el fsico deben hacer una seleccin de hechos. El cerebro del cientfico, que es nicamente un rincn del Universo, nunca ser capaz de contener todo el Universo. De lo anterior se sigue que, de los innumerables hechos ofrecidos por la naturaleza, debemos dejar de lado algunos y retener otros. Lo mismo es cierto, a fortiori, en las matemticas. De manera similar, el matemtico no puede retener, a la desbandada, todos los hechos que se le presentan, tanto ms cuanto que es l - estaba a punto de decir su propio capricho - el que crea estos hechos. Es l quien rene los elementos y construye una nueva combinacin de arriba abajo, ya que, generalmente, la naturaleza no entrega las cosas confeccionadas. Sin duda existen casos en donde un matemtico ataca un problema para satisfacer algn requerimiento de la ciencia fsica, y en donde el fsico o el ingeniero le piden hacer algn clculo con miras a alguna aplicacin particular. Debemos entonces decir que nosotros, los gemetras, debemos limitarnos a esperar rdenes y que, en lugar de cultivar esta ciencia por nuestro propio placer, debemos no tener ms preocupacin que la de servir a los gustos de nuestros clientes? Si el nico objeto de las matemticas consiste en ayudar a aquellos que realizan un estudio de la naturaleza, entonces es de ellos de quienes debemos esperar la voz de mando. Es esta la forma correcta de ver el asunto? Ciertamente no, porque si nunca hubisemos cultivado las ciencias exactas por ellas mismas, nunca hubisemos creado instrumento matemtico alguno, y cuando viniese la voz de mando de los fsicos, nos encontraramos desprovistos de toda arma. Similarmente, los fsicos no esperan a estudiar un fenmeno hasta que alguna necesidad material urgente lo haga una necesidad absoluta, y sin duda estn en lo correcto al actuar as. Si los cientficos del siglo dieciocho hubiesen desatendido a la electricidad por considerarla simplemente una curiosidad sin inters prctico, no tendramos, en el siglo veinte, ni telgrafos, ni electroqumica, ni traccin elctrica. Los fsicos forzados a seleccionar no se encuentran, al hacer tal seleccin, nicamente guiados por la utilidad. Qu mtodo siguen, pues, al hacer una seleccin entre los distintos hechos naturales? Ya he explicado este en el captulo precedente. Los hechos que les interesan son aquellos que pueden llevar al descubrimiento de una ley, aquellos que tienen una analoga con muchos otros hechos y que no nos aparecen aislados, sino lo ms estrechamente agrupados con otros. El hecho aislado atrae la atencin de todos, tanto del lego2 como del cientfico, pero lo que el verdadero cientfico slo puede ver es

2 El lego se refiere a aquellas personas que no son especialistas en una materia, o que carecen de los

conocimientos y procedimientos tcnicos de tal o cual tema. Nota del Traductor.

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el enlace que une varios hechos que presentan una profunda aunque oculta analoga. La ancdota de la manzana de Newton probablemente no es cierta3, pero es simblica, de tal suerte que la trataremos como si fuese cierta. Pues bien, debemos suponer que antes de Newton muchos hombres haban visto manzanas caer, pero ninguno fue capaz de sacar conclusin alguna de eso. Los hechos seran estriles si no hubiese mentes capaces de seleccionar entre ellos y distinguir aquellos que ocultan algo y reconocer qu es lo que ocultan, mentes que, detrs del hecho desnudo, pueden detectar su alma. En matemticas hacemos exactamente lo mismo. De los distintos elementos a nuestra disposicin, podemos formar millones de combinaciones diferentes, pero cualesquiera de estas combinaciones, siempre que est aislada, carece absolutamente de valor. A menudo tales combinaciones conllevan mucho trabajo para su construccin, pero carecen de todo valor a menos que, quiz, puedan suministrar algn tema para un ejercicio en escuelas secundarias. Sera muy distinto si esta combinacin tiene lugar en una clase de combinaciones similares cuya analoga hemos reconocido; ya no estaramos ante la presencia de un hecho, sino de una ley. Y entonces el verdadero descubridor no es el obrero que pacientemente ha construido algunas de estas combinaciones, sino el hombre que ha llevado a cabo su relacin. El primero slo ha visto al mero hecho, el ltimo ha detectado el alma de tal hecho. La invencin de una nueva palabra a menudo ser suficiente para subrayar la relacin, y entonces la palabra ser creativa. La historia de la ciencia nos proporciona una serie de ejemplos que a todos nos son familiares. El clebre filsofo viens Mach ha dicho que el papel de la ciencia es economizar el pensamiento, tal como una mquina economiza el esfuerzo. Creo que

esto es muy cierto. El salvaje calcula con sus dedos o juntando guijarros. Al ensear a los nios la tabla de multiplicar los salvamos de innumerables operaciones que tendran que hacer juntando guijarros. Una vez reconocido, ya sea por guijarros o por otra forma, que 6 veces 7 es 42, y registrando en la mente tal resultado, no es necesario repetir la operacin. El tiempo empleado en este clculo no fue en vano, incluso si fue slo para un regocijo propio. La operacin slo tom dos minutos, pero hubiese tomados dos millones si un milln de personas tuvieran que repetirla. As, la importancia de un hecho se mide por el rendimiento que nos da, esto es, por la cantidad de pensamiento que nos permite economizar.

3 Al parecer, tal ancdota fue inventada por Voltaire. Nota del Traductor.

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En la fsica, los hechos que dan un gran rendimiento son aquellos que ocupan su lugar en leyes muy generales, porque nos permiten prever un gran nmero de otros hechos, y sucede exactamente lo mismo en las matemticas. Supongamos que me dedico a un clculo muy complicado y que, despus de mucho trabajo, llego a un resultado. No habr ganado nada si este resultado no me permitiese prever los resultados de otros clculos anlogos, y dirigirlos con certeza, evitando el ciego tanteo con el que me tuve que contentar la primera vez. Por el contrario, no habr perdido el tiempo si este mismo tanteo me permitiese revelar la profunda analoga que existe entre el problema recin tratado y una clase mucho ms extensa de otros problemas, si me mostrase, en seguida, sus semejanzas y sus diferencias, si, en pocas palabras, me permitiese percibir la posibilidad de una generalizacin. Entonces ya no ser simplemente un nuevo resultado que he conseguido, sino una nueva fuerza. Una frmula algebraica que nos da la solucin para un tipo de problema numrico, si finalmente remplazamos las letras por los nmeros, constituye un ejemplo simple que tiene lugar, en seguida, en la mente de uno. Gracias a esta frmula, un solo clculo algebraico nos ahorra la molestia de repetir constantemente clculos numricos. Pero este es slo un tosco ejemplo: todo mundo percibe que hay ciertas analogas que no pueden ser expresadas por una frmula, y que son las ms valiosas. Si un nuevo resultado debe tener algn valor, debe unir elementos conocidos desde hace tiempo, pero hasta entonces dispersos y aparentemente extraos unos con otros, y de pronto introducir orden donde reinaba la apariencia del desorden. Entonces ser posible dilucidar, de un vistazo, cada uno de estos elementos en el lugar que ocupan en el todo. No slo es el nuevo hecho valioso por cuenta propia, sino que por s mismo da un valor a los viejos hechos que logra unir. Nuestra mente es tan frgil como nuestros sentidos, y se perdera en la complejidad del mundo si sta no fuese armoniosa. Tal como el miope, slo vera los detalles, y estara obligada a olvidar cada uno de estos detalles antes de examinar al siguiente, porque sera incapaz de considerarlo en el todo. Los nicos hechos dignos de nuestra atencin son aquellos que introducen orden en esta complejidad y que de esta forma la hacen accesible para nosotros. Los matemticos conceden una gran importancia a la elegancia de sus mtodos y de sus resultados, y esto no es simple diletantismo. Qu es lo que nos da la sensacin de elegancia en una solucin o en una demostracin? Es la armona de las distintas partes, su simetra, y su feliz ajuste; es, en una palabra, todo lo que introduce orden, todo lo que otorga unidad, lo que nos permite obtener una clara comprensin tanto del

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todo como de las partes. Pero esto es precisamente lo que causa que nos d un gran rendimiento y, en realidad, mientras ms claro y de un solo vistazo observemos este todo, mejor percibiremos las analogas con otros objetos colindantes y, consecuentemente, tendremos mayor probabilidad de conjeturar las posibles generalizaciones. La elegancia puede resultar del sentimiento de sorpresa causado por la inesperada aparicin conjunta de objetos usualmente no asociados. Y en esto, de nuevo, resulta provechosa, porque da a conocer relaciones hasta entonces desconocidas. Tambin es provechosa incluso cuando nicamente resulta del contraste entre la simplicidad de los medios y la complejidad del problema presentado, porque entonces nos hace reflexionar sobre las razones de este contraste, y generalmente nos muestra que esta razn no es casual, sino que debe encontrarse en alguna ley insospechada. Dicho brevemente, el sentimiento de la elegancia matemtica no es sino la satisfaccin debida a la conformidad entre la solucin que deseamos descubrir y las necesidades de nuestra mente, y es a causa de esta misma conformidad que la solucin puede resultar en un instrumento para nosotros. Esta satisfaccin esttica est consecuentemente conectada con la economa del pensamiento, y de nuevo se me ocurre la comparacin con el Erectein, pero no quiero abusar de eso. Es por la misma razn que, cuando un clculo ms o menos grande nos ha conducido a algn resultado simple a la vez que sorprendente, no nos encontramos satisfechos hasta que hayamos mostrado haber podido prever, si no todo el resultado, por lo menos s sus rasgos ms caractersticos. Por qu sucede esto? Qu es lo que nos impide estar contentos con un clculo que aparentemente nos ha enseado todo lo que queramos saber? La razn es que, en casos anlogos, los grandes clculos podran no ser capaces de ser utilizados de nuevo, mientras que esto no resulta cierto para el razonamiento, a menudo semi intuitivo, que nos hubiera permitido prever el resultado. Siendo corto este razonamiento, podemos observar todas las partes de un vistazo, de tal suerte que inmediatamente percibimos qu debe cambiarse para adaptarse a todos los problemas de naturaleza similar que puedan presentarse. Y como nos permite prever si la solucin de estos problemas ser simple, nos muestra, por lo menos, si vale la pena emprender el clculo. Lo que he dicho es suficiente para mostrar qu tan vano sera intentar remplazar la libre iniciativa del matemtico por un proceso mecnico de cualquier tipo. Para obtener un resultado que tenga cualquier valor real, no es suficiente con reproducir mecnicamente ciertos clculos, o con tener una mquina que ponga las cosas en orden:

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no es slo el orden, sino el orden inesperado, lo que tiene valor. Una mquina puede apoderarse del hecho desnudo, pero el alma de ste siempre se le escapar. Desde mediados del siglo pasado, los matemticos se han vuelto cada vez ms ansiosos por alcanzar una exactitud absoluta. Sin duda tienen toda la razn, y esta tendencia cada vez ser ms marcada. En matemticas, la exactitud no lo es todo, pero sin ella no hay nada: una demostracin sin exactitud no es nada en absoluto. Esta es una verdad que creo no est en disputa, pero si la tomamos literalmente nos conduce a la conclusin de que antes de 1820, por ejemplo, no haba tal cosa como las matemticas, y esto claramente es una exageracin. Los gemetras de aquel da estaban dispuestos a asumir lo que nosotros explicamos a partir de prolijas disertaciones. Esto no significa que ellos no vieran absolutamente nada de esto, sino que lo pasaban un poco por alto y, para poder haberlo visto claramente, hubieran tenido que tomarse la molestia de declarar tal problema. Slo que, es necesario declararlo tantas veces? Aquellos que fueron los primeros en prestar una atencin especial a la exactitud nos han dado razones que hemos intentado imitar; pero si las demostraciones del futuro han de construirse sobre este modelo, los trabajos matemticos sern excesivamente largos, y si temo a esta longitud no es slo por la congestin de las bibliotecas, sino porque, a medida que tales trabajos sean cada vez ms grandes, nuestras demostraciones perdern la apariencia de armona que desempea, como ya vimos, un papel sumamente til. Nos debemos dirigir hacia la economa del pensamiento, y por tanto no es suficiente con dar modelos a ser copiados. Debemos permitir a los que vengan despus de nosotros trabajar sin modelos, y no repetir razonamientos previos, sino resumirlos en unas cuantas lneas. Y esto ya se ha hecho con xito en algunos casos. Por ejemplo, haba toda una clase de razonamientos parecidos unos con otros, y que se encontraban por todas partes; eran perfectamente exactos, aunque demasiado largos. Un da alguien pens en el trmino uniformidad de convergencia, y este trmino por s mismo hizo que todos esos razonamientos fueran tiles; ya no era necesario repetirlos, ya que ahora podan asumirse. As, los que gustan de controversias nos prestan un doble servicio, primero al ensearnos a hacer las cosas como ellos si es necesario, pero ms

especficamente al permitirnos, tanto como sea posible, no hacer las cosas como ellos sin sacrificar exactitud alguna. Un solo ejemplo nos ha mostrado la importancia de los trminos en las matemticas, aunque hay muchos ms. Es casi imposible de creer lo que la economa

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del pensamiento, tal como Mach deca, puede llevar a cabo gracias a un trmino bien escogido. Creo haber dicho en algn lado que las matemticas son el arte de dar el mismo nombre a distintas cosas. Es suficiente con que estas cosas, aunque distintas en materia, sean similares en forma para permitir que su ser, por as decirlo, se maneje en el mismo molde. Cuando el lenguaje ha sido bien escogido, uno puede quedar asombrado al encontrar que todas las demostraciones hechas para un objeto conocido inmediatamente aplican para muchos nuevos objetos: nada requiere ser cambiado, ni siquiera los trminos, ya que los nombres se han vuelto los mismos. Un trmino bien escogido es a menudo suficiente para eliminar las excepciones permitidas por las reglas establecidas en la fraseologa anterior. Esto explica la invencin de las cantidades negativas, de las cantidades imaginarias, de los decimales al infinito, y no s qu tantas cosas ms. Y no debemos nunca olvidar que las excepciones son perniciosas, ya que encubren a las leyes. Esta es una de las caractersticas por la cual reconocemos hechos que nos dan una gran ganancia: son los hechos que permiten estas afortunadas innovaciones del lenguaje. El simple hecho, por lo tanto, puede carecer de inters: pudo haber sido notado muchas veces sin prestar servicio alguno a la ciencia, y slo adquiere un valor cuando algn pensador ms cuidadoso percibe la conexin que conlleva, y lo simboliza con un trmino.

Los fsicos proceden justamente as. Han inventado el trmino energa, y ste ha sido enormemente fructfero, ya que tambin crea una ley al eliminar excepciones, porque da el mismo nombre a cosas que difieren en materia, pero que son similares en forma.

Entre los trminos que han ejercido la influencia ms afortunada de todas estn el de grupo y el de invariable. Nos han permitido percibir la esencia de muchos razonamientos matemticos, y nos han mostrado en cuntos casos los antiguos matemticos trataban con grupos sin saberlo y cmo, creyndose lejos un razonamiento del otro, de pronto se encontraron juntos sin comprender por qu. Hoy debemos decir que se estaban examinando grupos isomorfos. Ahora sabemos que, en un grupo, la materia tiene poca importancia, que slo importa la forma, y que cuando conocemos bien un grupo, conocemos tambin, por ese simple hecho, todos los grupos isomorfos. Gracias a los trminos grupo e isomorfismo, que resumen esta sutil regla en unas pocas slabas y en seguida la hacen familiar para todas las mentes, el paso es inmediato y puede hacerse sin dedicar mucho esfuerzo mental. La

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idea de grupo est, adems, conectada con la de la transformacin. Por qu damos tanto valor al descubrimiento de una nueva transformacin? Es porque, a partir de un nico teorema, nos permite trazar diez o veinte ms. Podra decirse que tiene el mismo valor que un cero aadido a la derecha de un nmero entero. Esto es lo que ha determinado la direccin del movimiento de la ciencia matemtica hasta ahora, y es casi seguro que la determinar en el futuro. Pero la naturaleza de los problemas que se presentan contribuye a esta direccin en el mismo grado. No debemos olvidar cul debe ser nuestro objetivo, y en mi opinin, ste es doble: nuestra ciencia bordea tanto la filosofa como la fsica, y es por estos dos vecinos por los que debemos trabajar. Y as siempre hemos visto, y an veremos, a los matemticos avanzando en dos direcciones opuestas. Por un lado, la ciencia matemtica debe reflexionar sobre s misma, y esto resulta til porque al reflexionar sobre s misma reflexiona sobre la mente humana que la ha creado; tanto ms cuanto que de todas las creaciones mentales, las matemticas constituyen la que menos ha tomado prestado del exterior. Esta es la razn de la utilidad de ciertas especulaciones matemticas, tales como las que tienen miras en el estudio de postulados, de las geometras inusuales, de las funciones con un comportamiento extrao, etc. Mientras ms se aparten estas especulaciones de las concepciones ms ordinarias y, consecuentemente, de la naturaleza y de las aplicaciones a los problemas naturales, mejor nos mostrarn lo que puede hacer la mente humana si se encuentra alejada de la tirana del mundo exterior; mejor nos harn conocer, consecuentemente, esta mente por s misma.

Pero es en la direccin opuesta, en la direccin de la naturaleza, a donde debemos dirigir nuestros esfuerzos. Ah nos encontramos con el fsico o con el ingeniero, quien dice: Podras integrar esta ecuacin diferencial por m? La necesito dentro de una semana para la pieza de una construccin que tiene que estar finalizada en cierta fecha. Esta ecuacin, responderamos, no forma parte de aquellas que pueden integrarse, de las cuales sabes que no existen muchas. S, lo s; pero entonces, para qu sirves? Ms a menudo que no, un entendimiento mutuo resulta suficiente. El ingeniero realmente no requiere la integral en trminos finitos, slo requiere conocer el comportamiento general de la funcin integral, o simplemente quiere una cierta figura que sea fcilmente deducida de esta integral si la conociese. Normalmente no la conocemos, pero

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podramos calcular la figura sin ella, si supisemos justamente qu figura y qu grado de exactitud requiere el ingeniero. Formalmente, no se consideraba a una ecuacin resuelta hasta la solucin fuese expresada por medio de un nmero finito de funciones conocidas. Pero es casi imposible en el noventa y nueve por ciento de los casos. Lo que siempre podemos hacer, o mejor dicho, lo que siempre debemos intentar hacer, es resolver el problema cualitativamente, por as decirlo, esto es, intentar conocer aproximadamente la forma general de la curva que representa la funcin desconocida. Entonces queda encontrar la solucin exacta del problema. Pero si la incgnita no puede ser determinada por un clculo finito, siempre podemos representarla a partir de una serie infinita convergente que nos permita calcularla. Puede esto considerarse una solucin verdadera? La historia dice que Newton una vez hizo conocer a Leibniz un anagrama algo parecido a lo siguiente: aaaaabbbeeeeii, etc. Naturalmente, Leibniz no lo comprendi en absoluto, pero nosotros que tenemos la llave sabemos que tal anagrama, traducido a la fraseologa moderna, significa: S cmo integrar todas las ecuaciones diferenciales, y nos vemos tentados a comentar o que Newton era excesivamente afortunado o que tena ilusiones muy singulares. Lo que quiso decir fue simplemente que poda formar (por medio de coeficientes indeterminados) una serie de potencias satisfaciendo formalmente la ecuacin presentada. Hoy en da una solucin similar no nos satisfara por dos principales razones: porque la convergencia es demasiado lenta, y porque los trminos se suceden unos a otros sin obedecer ley alguna. Por otra parte, la serie no nos deja nada que desear, primero, porque converge muy rpido (esto es para el hombre prctico que quiere sus nmeros tan rpido como sea posible), y segundo, porque percibimos, de un vistazo, la ley de los trminos, que satisface los requerimientos estticos del terico. Ya no hay, por tanto, algunos problemas resueltos y otros no resueltos, sino que slo hay problemas ms o menos resueltos, dependiendo de si esto se cumple por una serie de convergencia ms o menos rpida o por una ley ms o menos armoniosa. No obstante, una solucin imperfecta puede llevarnos hacia una mejor. A veces la serie es de tal convergencia tan lenta que el clculo es impracticable, y solamente habremos conseguido demostrar la posibilidad del problema. El ingeniero considera que esto es absurdo, y tiene razn, porque no lo ayudar a terminar su construccin dentro del tiempo permitido, y no se preocupa por si ser til para los ingenieros del siglo XXII. Pero nosotros pensamos diferente, y a menudo encontramos

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ms placer en haber economizado un da de trabajo para nuestros nietos que una hora para nuestros contemporneos.

A menudo por tantear, por as decirlo, empricamente, llegamos a una frmula lo suficientemente convergente. Qu ms quieres?, dir el ingeniero y, a pesar de todo, no estamos satisfechos, porque hubisemos querido ser capaces de predecir la convergencia. Y por qu? Porque si hubisemos sabido cmo predecirla en un caso, sabramos cmo predecirla en otro. Hemos tenido xito, es cierto, pero eso es poco ante nuestros ojos si carecemos de una esperanza real en repetir nuestro xito. A medida que la ciencia crece, se vuelve ms difcil considerarla en su totalidad. Entonces se hace un intento por cortarla en piezas y satisfacerse con una de estas piezas; en pocas palabras, por especializarse. Un movimiento muy grande en esta direccin constituira un serio obstculo al progreso de la ciencia. Como he dicho, es a partir de las inesperadas concurrencias entre sus distintas partes que puede haber un progreso, y demasiada especializacin hara imposibles tales concurrencias. Esperemos que los congresos, como los de Heidelberg y Roma, al ponernos en contacto unos con otros, abran una ventana al territorio de nuestros vecinos y nos obliguen a comparar tal territorio con el nuestro, y as escapemos, en cierta medida, de nuestra pequea aldea. En este sentido, sern el mejor remedio contra el peligro del que he hablado. Pero me he detenido mucho en las generalidades, y es tiempo de entrar a considerar los detalles. Echemos un vistazo a las distintas ciencias particulares que vienen a constituir las matemticas; veamos qu ha hecho cada una de ellas, a qu direccin tiende, y qu podemos esperar de ella. Si las visiones precedentes son correctas, veremos que el gran progreso del pasado ha sido posible cuando dos de estas ciencias se han unido, cuando los hombres fueron conscientes de la similitud de su forma a pesar de la disimilitud de su materia, cuando se han modelado una sobre la otra de tal forma que cada una se beneficia de los triunfos de su compaera. Al mismo tiempo, debemos fijarnos en las concurrencias de naturaleza similar para el progreso futuro.

ARITMTICA

El progreso de la aritmtica ha sido mucho ms lento que el del lgebra y el anlisis, y es fcil entender la razn. La sensacin de continuidad es una preciosa gua de la que carece el aritmtico. Cada nmero entero est separado del resto y tiene, por decirlo de

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alguna manera, su propia individualidad; cada uno de ellos es una especie de excepcin, y esa es la razn por la cual los teoremas generales siempre sern menos comunes en la

teora de nmeros, y tambin la razn por la cual aquellos que existen estarn siempre ms ocultos y escaparn a la deteccin. Si la aritmtica est retrasada en comparacin con el lgebra y el anlisis, lo mejor que puede hacer es intentar modelarse a partir de estas ciencias para poder beneficiarse de su avance. El aritmtico debe guiarse, pues, por las analogas con el lgebra. Estas analogas son numerosas, y si en muchos casos no han sido lo suficientemente estudiadas como para ser servibles, s han sido por lo menos prefiguradas, y el propio lenguaje de estas dos ciencias muestra que stas han sido percibidas. As, hablamos de nmeros trascendentales, y tomamos consciencia del hecho de que la futura clasificacin de estos nmeros ya tiene un modelo en la clasificacin de las funciones trascendentales. Sin embargo, no est muy claro cmo es que debemos pasar de una clasificacin a otra; pero si fuese claro ya se hubiese hecho, y ya no sera el trabajo del futuro. El primer ejemplo que viene a mi mente es la teora de los congruentes, en la que encontramos un paralelismo perfecto con la teora de las ecuaciones algebraicas. Sin duda conseguiremos completar este paralelismo, que debe existir, por ejemplo, entre la teora de las curvas algebraicas y la de los congruentes con dos variables. Cuando los problemas relativos a los congruentes con varias variables hayan sido resueltos, habremos dado el primero paso hacia la solucin de muchas cuestiones concernientes al anlisis indeterminado.

LGEBRA

La teora de las ecuaciones algebraicas continuar atrayendo la atencin de los gemetras, al ser tan numerosos y distintos los lados por los cuales se puede abordar tal teora.

No debe suponerse que el lgebra est completa porque provee reglas para formar todas las combinaciones posibles; an queda encontrar muchas combinaciones interesantes, como aquellas que satisfacen tales o cuales condiciones. De esta forma, se construir una especie de anlisis indeterminado, en donde las cantidades desconocidas ya no sern nmeros enteros sino polinomios. De tal suerte que ahora ser el lgebra el que se modelar sobre la aritmtica, guiado por la analoga del nmero entero, ya sea

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con el polinomio entero con coeficientes indefinidos, o con el polinomio entero con coeficientes enteros.

GEOMETRA

Parecera que la geometra no puede contener nada que no est ya contenido en el lgebra o el anlisis, y que los hechos geomtricos no son sino los hechos del lgebra o el anlisis expresados en otro lenguaje. Podra suponerse, entonces, que despus de la revisin recin hecha, no habra nada que decir sobre esta ciencia. Pero esto implicara no reconocer la gran importancia que tiene un lenguaje bien formado, o no comprender lo que se aade a las cosas por el mtodo de expresar, y consecuentemente de agrupar, tales cosas.

Para empezar, las consideraciones geomtricas nos llevan a plantearnos nuevos problemas. Estos ltimos son ciertamente, si se quiere, problemas analticos, pero son problemas que nunca nos hubisemos planteado con motivo del anlisis, y ste, no obstante, se beneficia de ellos, tal como se beneficia de aquellos que se ve obligado a resolver para satisfacer los requerimientos de la fsica. Una gran ventaja de la geometra yace precisamente en el hecho de que los sentidos pueden asistir al intelecto, y ayudarlo a determinar el camino a seguir; es as como muchas mentes prefieren reducir los problemas del anlisis a la forma geomtrica. Desafortunadamente, los sentidos no pueden llevarnos muy lejos, y nos dejan estancados tan pronto como deseamos salir de las tres dimensiones clsicas. Significa esto que cuando hemos dejado este dominio restringido, en el que parece que los sentidos nos quieren hacer prisioneros, ya no debemos contar con nada excepto con el anlisis, y que toda geometra de ms de tres dimensiones es vana y carece de objeto alguno? En la generacin que nos precede, los ms grandes maestros hubieran respondido que s. Hoy en da estamos tan familiarizados con esta nocin que incluso podemos hablar de ella en un curso universitario sin causar mucho estupor. Pero qu uso puede tener? Esto no es difcil de ver. En primer lugar, nos provee de un lenguaje muy conveniente que expresa, en trminos muy concisos, lo que el lenguaje ordinario del anlisis expresara en frases tediosamente largas. Ms que lo anterior, este lenguaje nos permite dar el mismo nombre a cosas que guardan un parecido entre s, y expone analogas difciles de olvidar. Nos permite, pues, encontrar nuestro camino en aquel espacio que parece ser demasiado grande para nosotros al

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convocar continuamente en nuestra mente al espacio visible, sin duda slo una imagen imperfecta de aqul, pero aun as una imagen. Otra vez aqu, como en los ejemplos precedentes, es la analoga con lo que es simple lo que nos permite comprender aquellos que es complejo. Esta geometra de ms de tres dimensiones no es una simple geometra analtica, y tampoco es puramente cuantitativa, sino tambin cualitativa, y es principalmente sobre esta base que se vuelve interesante. Hay una ciencia llamada geometra de posicin que tiene por objeto el estudio de las relaciones de posicin de los distintos elementos de una figura, despus de haber eliminado sus magnitudes. Esta geometra es puramente cualitativa, y sus teoremas seguiran siendo ciertos si las figuras, en lugar de ser exactas, fuesen trazadas por un nio. Tambin es posible construir una geometra de posicin de ms de tres dimensiones. La importancia de esta geometra es inmensa, y no puedo insistir demasiado en ello. Lo que Riemann - uno de sus principales creadores - ha ganado de ella resulta suficiente para demostrar lo anterior. Debemos conseguir construirla completamente en los espacios superiores, y entonces tendremos un instrumento que realmente nos permitir ver el hiperespacio y complementar nuestros

sentidos. Los problemas de la geometra de posicin quiz no se habran presentado si nicamente hubiese sido usado el lenguaje del anlisis. O quiz me equivoque, porque ciertamente se hubieran presentado, al ser su solucin necesaria para una multitud de cuestiones relativas al anlisis, aunque se hubiesen mostrado aislados, uno despus de otro, y sin ser nosotros capaces de percibir su vnculo comn.

CANTORISMO

He hablado antes de la necesidad que tenemos de volver continuamente a los primeros principios de nuestra ciencia, y de la ventaja de este proceso para el estudio de la mente humana. Es esta necesidad la que ha inspirado dos esfuerzos que han ocupado un gran lugar en la historia ms reciente de las matemticas. El primero es el cantorismo, y los servicios que ha prestado a la ciencia son bien conocidos. Cantor introdujo en la ciencia un nuevo mtodo para considerar el infinito matemtico, y tendr ocasin de hablar de nuevo de l en la segunda parte del tercer captulo. Uno de los rasgos caractersticos del cantorismo es que, en lugar de llegar a lo general erigiendo construcciones cada vez ms complejas, y definiendo a partir de la construccin, comienza con el genus supremum y

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solamente define, como decan los escolsticos, per genus proximum et differentiam specificam. De ah el horror que ha producido en ciertas mentes, tal como la de Hermite, cuya idea favorita consista en comparar lo matemtico con las ciencias naturales. Para la mayora de nosotros estos prejuicios se han disipado, pero ha resultado que nos hemos encontrado con ciertas paradojas y aparentes contradicciones, que sin duda hubiesen regocijado el corazn de Zenn de Elea y a la escuela de Megara. Entonces toca buscar un remedio, y cada hombre por su propio camino. Por mi parte pienso, y no soy el nico que as lo hace, que lo importante es nunca introducir cualesquiera entidades, sino slo aquellas que puedan ser completamente definidas en un nmero finito de palabras. Sea cual sea el remedio adoptado, podemos prometernos la alegra que experimenta un doctor al intentar remediar un sutil caso patolgico.

LA BSQUEDA DE POSTULADOS

Se han hecho varios intentos, desde otro punto de vista, para enumerar los axiomas y postulados ms o menos ocultos que conforman las bases de las distintas teoras matemticas, y en esta direccin el seor Hilbert ha obtenido los resultados ms brillantes. Al principio parece que este dominio debe estar estrictamente limitado, y que ya no habr ms que hacer cuando haya sido completado el inventario, cosa que no puede tomar mucho tiempo. Pero cuando todo haya sido enumerado, habr muchas formas de clasificarlo. Un buen bibliotecario siempre encuentra trabajo que hacer, y cada nueva clasificacin resultar instructiva para el filsofo. Concluyo aqu esta revisin, que no puedo siquiera soar con hacerla completa. Pienso que estos ejemplos han sido suficientes para mostrar el mecanismo por el cual las ciencias matemticas han progresado en el pasado, y la direccin en la que deben avanzar en el futuro.

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CAPTULO III

DESCUBRIMIENTO MATEMTICO

La gnesis del descubrimiento matemtico es un problema que debe inspirar a los psiclogos con el ms vivo inters, porque este es el proceso por el cual la mente

humana parece tomar menos prestado del mundo exterior, y en donde acta, o por lo menos as lo parece, slo por s misma y sobre s misma, de tal suerte que al estudiar el proceso del pensamiento geomtrico podramos esperar llegar a lo que resulta ms esencial en la mente humana.

Esto ha sido entendido desde hace tiempo, y hace pocos meses una revista llamada LEnseignement mathmatique, editada por los seores Laisant y Fehr, hizo una investigacin sobre los hbitos de la mente y los mtodos de trabajo de distintos matemticos. He esbozado las principales caractersticas de este artculo cuando los resultados de la investigacin fueron publicados, de tal suerte que apenas he sido capaz de hacer uso de ellos, y me contentar con decir que la mayora de la evidencia presentada confirma mis conclusiones. No digo que haya unanimidad, por la simple razn de que al apelar al sufragio universal no podemos esperar obtenerla. Un primer hecho debe sorprendernos, o mejor dicho debera sorprendernos si no estuvisemos acostumbrados a l. Cmo es que hay personas que no comprenden las matemticas? Si esta ciencia slo recurre a las reglas de la lgica - aquellas aceptadas por toda mente bien formada -, si su evidencia est fundada sobre principios comunes a todos los hombres, y que nadie excepto un loco se atrevera a negar, cmo es que hay tantas personas completamente impermeables a ella? No hay nada misterioso en el hecho de que no todo mundo es capaz de descubrir. Que una persona sea incapaz de retener una demostracin que alguna vez ha aprendido es todava comprensible. Pero lo que parece ms sorprendente, cuando lo consideramos, es que alguien sea incapaz de comprender un argumento matemtico en el momento mismo en el que se le muestra. Y, sin embargo, aquellos que slo pueden seguir el argumento con dificultad son mayora; esto es incontestable, y la experiencia de los maestros de educacin secundaria ciertamente no me va a contradecir. Y an ms, cmo es posible el error en las matemticas? Un intelecto sano no debera cometer ningn error lgico, y sin embargo hay mentes muy agudas que no

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darn un paso en falso en un argumento pequeo tal como los que debemos hacer en las acciones ordinarias de la vida, pero que son incapaces de seguir o repetir, sin error, las demostraciones matemticas que sin duda son ms largas, pero que son, despus de todo, solamente acumulaciones de pequeos argumentos exactamente anlogos a aquellos que en principio resultan tan fciles. Es necesario aadir que los mismos matemticos no son infalibles? La respuesta me parece bastante obvia. Imaginemos una larga serie de silogismos en donde las conclusiones de aquellos que preceden forman las premisas de aquellos que les siguen. Deberamos ser capaces de comprender cada uno de los silogismos, y no es en el paso de las premisas a la conclusin en donde estamos en peligro de ir por mal camino, sino entre el momento en que nos encontramos por primera vez con una proposicin como la conclusin de un silogismo, y el momento en que la encontramos una vez ms como la premisa de otro silogismo, porque quiz habr transcurrido mucho tiempo y habremos roto muchos eslabones de la cadena. De acuerdo con lo anterior, bien puede suceder que hayamos olvidado tal silogismo o, lo que es peor, olvidado su significado, de tal forma que podemos intentar remplazarlo por una proposicin algo dismil, o preservar la misma declaracin pero otorgndole un significado ligeramente distinto, y es as como estamos en peligro de caer en un error. Un matemtico debe a menudo usar una regla y, naturalmente, comienza por demostrarla. En el momento en que la demostracin est fresca en su memoria, comprende perfectamente su sentido y su significado, y no est en peligro de cambiarla. Pero ms tarde se encomienda a la memoria, slo aplica tal demostracin mecnicamente, y entonces, si su memoria falla, puede cometer un error. Es as como, tomando un simple y casi vulgar ejemplo, a veces cometemos errores en el clculo porque hemos olvidado la tabla de multiplicar. Segn esta visin, las aptitudes especiales de los matemticos se deberan a una memoria muy certera o a una tremenda capacidad de atencin, y sera una cualidad anloga a la del jugador de whist que puede recordar las cartas jugadas, o, subiendo un escaln ms, a la del jugador de ajedrez que es capaz de imaginar un gran nmero de combinaciones y de retenerlas en su memoria. Todo buen matemtico debe ser tambin un buen jugador de ajedrez y viceversa, y similarmente tambin debe ser un buen calculador. Ciertamente esto sucede a veces, y as Gauss era, al mismo tiempo, un gemetra genial y un calculador muy precoz y certero.

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Pero hay excepciones, o quiz me equivoque, porque no puedo llamarlas excepciones si stas son ms numerosas que los casos que confirman la regla. Ms bien, fue Gauss la excepcin. En cuanto a m, debo confesar que soy absolutamente incapaz de hacer una suma sin cometer un error. De manera similar, debo ser un psimo jugador de ajedrez. Fcilmente puedo calcular que, al jugar de cierta manera, estar expuesto a tales o cuales peligros; entonces reviso mis otros movimientos, que habr rechazado por otras razones, y termino haciendo el primer movimiento examinado, olvidando en el intervalo los peligros que haba previsto originalmente. En pocas palabras, mi memoria no es mala, pero es insuficiente para hacerme un buen jugador de ajedrez. Por qu entonces no me falla al momento de seguir un difcil argumento matemtico en donde la mayora de los jugadores de ajedrez se perderan? Claramente porque mi memoria est guiada por la tendencia general del argumento. Una demostracin matemtica no es una simple yuxtaposicin de silogismos, sino que consiste, ms bien, en silogismos puestos en un cierto orden, y el orden en el que estn puestos estos elementos es mucho ms importante que los elementos mismos. Si tengo

la sensacin, la intuicin, por decirlo de alguna manera, de este orden, de tal suerte que puedo percibir la totalidad del argumento de un vistazo, ya no es necesario temer olvidar uno de los elementos, porque cada uno de ellos estar puesto de manera natural en la proposicin preparada para l, sin que se tenga que hacer esfuerzo de memoria alguno.

Me parece entonces que, mientras repito un argumento que he aprendido, lo habra podido descubrir. Esto es a menudo slo una ilusin, pero incluso entonces, aun cuando no sea lo suficientemente ingenioso como para crear algo por m mismo, lo redescubro a medida que lo repito. Podemos entender que esta sensacin, esta intuicin del orden matemtico que nos permite conjeturar armonas ocultas y relaciones, no puede pertenecer a todo mundo. Algunos no tienen esta delicada sensacin tan difcil de definir, ni tampoco una memoria y una atencin fuera de lo comn, de tal forma que son absolutamente incapaces de comprender incluso los primeros pasos de las matemticas superiores. Y esto aplica para la mayora de las personas. Otros poseen la sensacin slo en un grado menor, pero estn bendecidos con una memoria fuera de lo comn y con una gran capacidad de atencin. Estos ltimos aprenden los detalles uno despus de otro de memoria, pueden comprender las matemticas e incluso aplicarlas, pero no estn en condicin de crear. Los otros, por otra parte, poseen la intuicin especial de la que he

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hablado ms o menos desarrollada, y no slo pueden comprender las matemticas - incluso cuando su memoria no sea tan extraordinaria - sino que tambin pueden ser creadores, e intentar hacer un descubrimiento con una mayor o menor probabilidad de xito, de acuerdo con el desarrollo de esta intuicin. Qu es, en realidad, el descubrimiento matemtico? No consiste en hacer nuevas combinaciones con entidades matemticas ya conocidas. Eso puede hacerlo cualquiera, y las combinaciones que as surgen pueden ser infinitas en nmero, adems de que la mayor parte de ellas estaran desprovistas de todo inters. El descubrimiento consiste precisamente en no construir combinaciones intiles, sino en construir aquellas que resulten tiles, y que son una minora infinitamente pequea. El descubrimiento es, pues, discernimiento, seleccin. He explicado antes cmo debe hacerse esta seleccin. Los hechos matemticos dignos de ser estudiados son aquellos que, dada su analoga con otros hechos, son capaces de conducirnos hacia el conocimiento de una ley matemtica, en la misma forma que los hechos experimentales nos conducen al conocimiento de una ley fsica. Son aquellos que nos revelan relaciones insospechadas entre otros hechos, desde hace tiempo conocidos, pero errneamente credos como inconexos entre s. Entre las combinaciones que elegimos, las ms fructferas son comnmente aquellas formadas por elementos trados de dominios ampliamente separados. No estoy diciendo que para el descubrimiento sea suficiente con traer objetos tan incongruentes como sea posible, ya que la mayor parte de las combinaciones as formadas sera completamente infructfera, no obstante que algunas entre ellas, aunque sean muy raros los casos, son las ms fructferas de todas. El descubrimiento, como he dicho, es seleccin. Pero quiz esta no es la palabra correcta, porque sugiere la idea de un comprador al que se le ha mostrado un gran nmero de muestras, y examina una despus de otra para hacer su seleccin. En nuestro caso, las muestras seran tan numerosas que una vida entera no alcanzara para examinarlas. Las cosas no suceden as. Las combinaciones infructferas no se presentan tanto en la mente del descubridor. En la esfera de su consciencia nunca aparecen sino combinaciones realmente tiles, y algunas que rechaza que, no obstante, participan en cierta medida del carcter de las combinaciones tiles. Todo sucede como si el descubridor fuese un examinador secundario que slo tiene que interrogar candidatos declarados elegibles despus de pasar una prueba preliminar.

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Pero lo que he dicho hasta ahora es nicamente lo que puede observarse o inferirse al leer los trabajos de los gemetras, siempre que sean ledos con cierto grado de reflexin. Es tiempo de ahondar ms, y de ver qu sucede en el alma misma del matemtico. Para este propsito pienso que no puedo hacer mejor cosa que referir mis recuerdos personales. Solamente voy a confinarme a relatar cmo es que escrib mi primer tratado sobre funciones fuchsianas.4 Debo disculparme de antemano porque voy a introducir algunas expresiones tcnicas que, no obstante, no deben alarmar al lector porque no tiene necesidad de comprenderlas. Debo decir, por ejemplo, que encontr la demostracin de tal y cual teorema bajo tal y cual circunstancia; el teorema podr tener un nombre brbaro que muchos no conocern, pero esto carece de importancia. Lo que es interesante para la psicologa no es el teorema sino las circunstancias.

Por un periodo de quince das estuve intentando probar que no poda haber una funcin anloga a lo que desde entonces he llamado funciones fuchsianas. En ese tiempo era muy ignorante, y cada da me sentaba enfrente de mi mesa y gastaba una hora o dos de mi tiempo intentando con un gran nmero de combinaciones, pero nunca llegu a ningn resultado. Una noche tom un poco de caf oscuro, cosa contraria a mi costumbre, y fui incapaz de conciliar el sueo. Una multitud de ideas continuaban surgiendo en mi cabeza, tanto as que casi poda sentirlas empujndose unas a otras, hasta que dos de ellas se unieron, por as decirlo, para formar una combinacin estable. A la maana siguiente, haba logrado establecer la existencia de una clase de funciones fuchsianas, a saber, aquellas derivadas de las series hipergeomtricas. nicamente tena que verificar los resultados, lo que tom un par de horas. Entonces quise representar estas funciones por el cociente de dos series. Esta idea era perfectamente consciente y deliberada, ya que se encontraba guiada por la analoga con las funciones elpticas. Me preguntaba cules deberan ser las propiedades de estas series, si existan, y consegu sin mucha dificultad formar la serie que he llamado Theta-Fuschsiana. En este momento dej Caen, donde viva en ese entonces, para tomar parte en una conferencia geolgica organizada por la Escuela de Minas. Los incidentes del viaje me hicieron olvidar mi trabajo matemtico. Cuando llegamos a Coutances, tomamos un descanso para ir a dar una vuelta y, tan pronto como di el primer paso, me vino la idea -

4 Estas funciones toman su nombre del matemtico alemn Lazarus Fuchs. Nota del Traductor.

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aunque nada en mis pensamientos anteriores me haba preparado para ella - de que las transformaciones que haba utilizado para definir las funciones fuchsianas eran idnticas a las de la geometra no euclidiana. No hice verificacin alguna, y no tena tiempo para hacerlo, ya que retom de nuevo la conversacin tan pronto como me sent en el descanso, pero sent una certeza absoluta a la vez. Cuando regres a Caen, verifiqu el resultado en mi tiempo libre para satisfacer mi consciencia. Entonces empec a estudiar cuestiones aritmticas sin conseguir un gran resultado aparente, y sin sospechar que pudieran tener la menor conexin con mis estudios previos. Disgustado por mi falta de xito, me retir para pasar unos das en la playa, y para pensar en cosas distintas. Un da, mientras caminaba sobre el acantilado, vino la idea a m - de nuevo con las mismas caractersticas de concisin, brusquedad, y certeza inmediata - de que las transformaciones aritmticas de formas cuadrticas ternarias indefinidas son idnticas que las de la geometra no euclidiana. Regresando a Caen, reflexion sobre este resultado y deduje sus consecuencias. El ejemplo de las formas cuadrticas me mostr que hay otros grupos fuchsianos adems de aquellos que corresponden a las series hipergeomtricas; observ que poda aplicar a ellos la teora de la serie de Theta-Fuchsiana y que, consecuentemente, hay otras funciones fuchsianas adems de aquellas que se derivan de las series hipergeomtricas, las nicas que conoca en ese entonces. Naturalmente, me propuse

formar todas estas funciones. Les puse sistemticamente un cerco y captur todos los accesorios uno por uno. Haba uno, sin embargo, que todava se mantena fuera, y cuya cada llevara consigo la de la fortaleza principal. Pero todos mis esfuerzos no sirvieron, en un principio, de nada, excepto para hacerme comprender mejor la dificultad de todo esto, que ya era algo. Todo este trabajo era perfectamente consciente. Luego part hacia Mont-Valrien, donde tena que servir mi tiempo en el ejrcito, y entonces mi mente estuvo ocupada en cosas muy distintas. Un da, mientras cruzaba la calle, la solucin de la dificultad que me haba llevado a estar paralizado me vino de golpe. No intent desentraarla inmediatamente, y fue slo despus de mi servicio termin que regres a la cuestin. Tena todos los elementos, y solamente necesitaba ensamblarlos y organizarlos. Como corresponde, compuse mi tratado definitivo de una sentada y sin mucha dificultad. Es intil multiplicar los ejemplos, y me contento con este. En cuanto a mis otras investigaciones, las cuentas que dara seran muy similares, y las observaciones

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relatadas por otros matemticos en la investigacin de LEnseignement mathmatique solamente las confirmaran.

Uno se encuentra a la vez sorprendido por estas apariciones de iluminacin repentina, que no son ms que obvias indicaciones del largo transcurso de un trabajo inconsciente previo. La parte desempeada por este trabajo inconsciente en el descubrimiento matemtico me parece indisputable, y encontramos rastros de l en otros casos menos evidentes. A menudo, cuando un hombre est trabajando en una cuestin difcil, no consigue nada la primera vez que se pone a trabajar. Despus toma una especie de descanso, y se pone de nuevo delante de su mesa. Durante la primera media hora an no encuentra nada, y despus, de repente, la idea decisiva se presenta en su mente. Podramos decir que el trabajo consciente prob ser ms fructfero porque fue interrumpido y el descanso reestableci la fuerza y refresc la mente. Pero es ms probable que el descanso haya sido ocupado por un trabajo inconsciente, y que el resultado de este trabajo fue revelado ms tarde al gemetra exactamente como en los casos que he citado, excepto que la revelacin, en lugar de surgir durante una caminata o un viaje, vino durante un periodo de trabajo consciente, pero independiente de tal trabajo, que a lo mucho slo realiza el proceso de desbloqueo, como si fuese el estmulo que despert en forma consciente los resultados ya adquiridos durante el descanso, y que hasta entonces permanecan inconscientes.

Tengo otra observacin que hacer con respecto a las condiciones de este trabajo inconsciente, a saber, que ste no es posible, o por lo menos no es fructfero, a menos que est primero precedido y despus seguido por un periodo de trabajo consciente. Estas repentinas inspiraciones nunca se producen (y esto ya est lo suficientemente probado por los ejemplos que he dado) excepto despus de algunos das de esfuerzos voluntarios que parecen ser absolutamente infructferos, en los que se piensa no haber conseguido nada, y en donde parece estarse en un camino totalmente equivocado. Estos esfuerzos, sin embargo, no eran tan estriles como uno pensaba, ya que pusieron en movimiento a la mquina consciente, y sin ellos no hubiera trabajado sobre nada en absoluto, y por tanto no hubiese producido nada. La necesidad del segundo periodo de trabajo consciente puede ser comprendida ms fcilmente. Es necesario trabajar los resultados de la inspiracin, deducir las consecuencias inmediatas, ponerlas en orden, y exponer las demostraciones; pero, sobre todo, es necesario verificarlas. He hablado de la sensacin de certeza absoluta que acompaa a la inspiracin; en los casos descritos, esta sensacin no es engaosa, y este

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casi siempre ser el caso. Pero debemos tener cuidado de pensar que esta es una regla sin excepciones. A menudo la sensacin nos engaa sin ser menos distinta por ese motivo, y solamente detectamos tal engao cuando intentamos establecer las demostraciones. He observado este hecho ms notablemente con respecto a ideas que han llegado a m en la maana o en la noche cuando estoy en la cama en un estado semi-somnoliento.

Tales son los hechos del caso, y sugieren las siguientes reflexiones. El resultado de todo lo que precede es demostrar que el ego inconsciente, o como es llamado, el ego subliminal, desempea un papel sumamente importante en el descubrimiento matemtico. Pero el ego subliminal es generalmente pensado como puramente automtico. Ahora hemos visto que el trabajo matemtico no es un simple trabajo mecnico, y que no podra ser confiado a una mquina, sin importar el grado de perfeccin que supongamos haberle dado. No es slo cuestin de aplicar ciertas reglas, de fabricar tantas combinaciones como sea posible de acuerdo con ciertas leyes fijas. Las combinaciones as obtenidas seran extremadamente numerosas, intiles, y estorbosas. El verdadero trabajo del descubridor consiste en escoger entre estas combinaciones con miras a eliminar aquellas que resulten intiles, o en otro caso a no molestarse en escoger en absoluto. Las reglas que deben guiar esta eleccin son extremadamente sutiles y delicadas, y es prcticamente imposible establecerlas en un lenguaje preciso; deben ser sentidas y no tanto formuladas. Bajo estas condiciones, cmo podemos imaginar a un tamiz capaz de aplicarlas mecnicamente? Lo siguiente se presenta, pues, como una primera hiptesis. El ego subliminal no es de ninguna manera inferior al ego consciente; no es puramente automtico; es capaz de discernir; tiene tacto y ligereza de tacto; puede seleccionar y puede adivinar. Ms que eso, puede adivinar mejor que el ego consciente, ya que tiene xito ah donde el ltimo falla. En pocas palabras, no es el ego subliminal superior al ego consciente? La importancia de esta cuestin ser fcilmente comprendida. En una conferencia reciente, el seor Boutroux mostr cmo este ego ha surgido en ocasiones completamente distintas, y que consecuencias traera responder afirmativamente a la pregunta hecha anteriormente. (Vase tambin, del mismo autor, Science et religion, pp. 313 et seq.). Estamos forzados a dar una respuesta afirmativa a esto dados los hechos que he expuesto? Confieso que, por mi parte, me encuentro poco dispuesto a aceptarlo. Regresemos, pues, a los hechos, y veamos si no admiten otras explicaciones.

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Es cierto que las combinaciones que se presentan en la mente - en una especie de iluminacin sbita despus de un periodo un tanto largo de trabajo inconsciente - resultan ser, generalmente, tiles y fructferas, y que parecen ser el resultado de un examen preliminar. Se sigue de esto que el ego subliminal, habiendo adivinado a partir de una delicada intuicin que estas combinaciones podran ser tiles, no ha formado combinacin algunas excepto stas, o que ha formado un gran nmero de otras combinaciones que, debido a su carencia de inters, permanecieron inconscientes? Bajo este segundo aspecto, todas las combinaciones se forman como resultado de la accin automtica del ego subliminal, pero slo aquellas que resultan interesantes encuentran su camino en el campo de la consciencia. Esto tambin es sumamente misterioso. Cmo podemos explicar el hecho de que, de los miles de productos de nuestra actividad inconsciente, algunos puedan cruzar cierto umbral y otros se queden fuera? Es la mera casualidad la que les da este privilegio? Evidentemente no. Por ejemplo, de todas las agitaciones de nuestros sentidos, slo las ms intensas retienen nuestra atencin, a menos que sta se haya dirigido a ellas por otras causas. Ms comnmente son los fenmenos inconscientes privilegiados, aquellos capaces de volverse conscientes, los que - directa o indirectamente - ms afectan nuestra sensibilidad. Podra parecer sorprendente que la sensibilidad sea insinuada en conexin con las demostraciones matemticas que, al parecer, solamente interesan al intelecto. Pero no si tenemos en cuenta la sensacin de la belleza matemtica, la armona de los nmeros y las formas, y la elegancia geomtrica. Este es un sentimiento esttico real

que todos los verdaderos matemticos reconocen, y esto es verdaderamente sensibilidad. Ahora bien, cules son las entidades matemticas a las que atribuimos este carcter de belleza y elegancia, y que son capaces de desarrollar en nosotros una especie de emocin esttica? Aquellas cuyos elementos estn armoniosamente ordenados, de tal suerte que la mente pueda, sin mucho esfuerzo, tomar el todo sin desatender los detalles. Esta armona es, en seguida, una satisfaccin a nuestras exigencias estticas, y un auxilio a la mente que respalda y gua. Al mismo tiempo, al poner ante nuestros ojos un todo bien ordenado, nos da el presentimiento de una ley matemtica. Ahora, como he dicho antes, los nicos hechos matemticos dignos de atraer nuestra atencin y capaces de ser tiles son aquellos que pueden hacernos conocer una ley matemtica. De acuerdo con lo anterior, llegamos a la siguiente conclusin. Las combinaciones tiles son precisamente las ms bellas, quiero decir las que ms atraen la atencin de aquella

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sensibilidad especial que todos los matemticos conocen, pero que es tan ignorada por los hombres legos que a menudo slo pueden sonrer ante ella. Qu sigue, entonces? Del gran nmero de combinaciones que ciegamente forma el ego subliminal, casi todas carecen de inters y de utilidad. Pero precisamente por esto no ejercen accin alguna sobre la sensibilidad esttica, y entonces la consciencia nunca llega a conocerlas. Slo unas pocas son armoniosas, y consecuentemente tiles y bellas a la vez, y sern capaces de afectar a la sensibilidad especial del gemetra. Una vez surgidas, dirigiremos nuestra atencin sobre ellas, y entonces tendrn la oportunidad de volverse conscientes.

Esto es nicamente una hiptesis, pero hay una observacin que tiende a confirmarla. Cuando una iluminacin sbita invade la mente del matemtico, casi nunca lo engaa. Pero tambin sucede a veces que, como ya he dicho, no soporte la prueba de la verificacin. Pues bien, casi siempre se ha de observar que esta falsa idea, si hubiese sido correcta, habra adulado a nuestro instinto natural para la elegancia matemtica.

De esta forma, es esta sensibilidad esttica especial la que desempea el papel del delicado tamiz del que ya he hablado, y esto hace lo suficientemente claro el porqu el hombre que carece de ella nunca ser un verdadero descubridor.

Sin embargo, no han desaparecido todas las dificultades. El ego consciente est estrictamente limitado, pero en cuanto al ego subliminal, no conocemos sus limitaciones, y de aqu que no estemos muy reacios a suponer que, en un corto periodo de tiempo, pueda formar ms combinaciones distintas de las que pueda comprender toda la vida de un ser consciente. Estas limitaciones, no obstante, existen. Es concebible que [el ego inconsciente] pueda formar todas las combinaciones posibles, cuyo nmero haga tambalear a la imaginacin? Con todo, esto parecera ser necesario, porque si slo produjese una pequea porcin de las combinaciones, y eso por casualidad, habra muy poca probabilidad de que la correcta - aquella que debe ser seleccionada - se encuentre entre ellas.

Quiz debamos buscar la explicacin en aquel periodo de trabajo consciente preliminar que siempre precede todo trabajo inconsciente fructfero. Si se me permite una comparacin vulgar, representemos a los futuros elementos de nuestras combinaciones como algo parecido a los ganchudos tomos de Epicuro. Cuando la mente est en completo reposo, estos tomos estn inmviles; estn, por decirlo de alguna manera, unidos a la pared. Este reposo completo puede continuar

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indefinidamente sin que los tomos se encuentren y, consecuentemente, sin posibilidad alguna de la formacin de cualquier combinacin. Por otra parte, durante un periodo de aparente reposo, pero de trabajo inconsciente, algunos de ellos se separan de la pared y se ponen en movimiento. Se abren paso en todas direcciones a travs del espacio, como un enjambre de mosquitos o, si se prefiere una comparacin ms erudita, como las molculas gaseosas en la teora cintica de los gases. Sus mutuas colisiones pueden producir entonces nuevas combinaciones. Cul es la parte que desempea el trabajo consciente preliminar? Claramente es liberar algunos de estos tomos, separarlos de la pared y ponerlos en movimiento. Pensamos no haber conseguido nada cuando hemos agitado los elementos de mil maneras distintas para intentar acomodarlos y no hemos encontrado un arreglo satisfactorio. Pero despus de esta agitacin, no regresarn a su reposo original, sino continuarn circulando libremente. Ahora bien, nuestra voluntad no los ha seleccionado al azar, sino en bsqueda de un objetivo perfectamente definido. Aquellos que ha liberado no son, por tanto, tomos casuales, sino aquellos de los que razonablemente podemos esperar la solucin deseada. Los tomos liberados experimentarn, pues, colisiones, ya sea unos con otros, o con los tomos que han permanecido inmviles, y contra los cuales chocarn en su curso. Me disculpo una vez ms si mi comparacin parece muy tosca, pero no puedo encontrar una forma mejor de exponer mi pensamiento sobre esta cuestin. Sea como fuere, las nicas combinaciones que tienen posibilidad alguna de ser formadas son aquellas en donde por lo menos uno de los elementos es uno de los tomos deliberadamente seleccionados por nuestra voluntad. Ahora, evidentemente lo que he llamado la combinacin correcta se encuentra entre estos ltimos. Quiz haya aqu algn medio para modificar lo que result paradjico en la hiptesis original. Una observacin ms. Nunca sucede que el trabajo inconsciente suministre el resultado confeccionado de un clculo largo en donde slo tengamos que aplicar reglas fijas. Podra suponerse que el ego subliminal, puramente automtico como es, se ajusta peculiarmente a este tipo de trabajo que es, en un sentido, exclusivamente mecnico. Parecera que, al pensar durante la noche sobre los factores de una multiplicacin, podramos esperar encontrar el producto confeccionado al caminar o, de nuevo, que una ecuacin algebraica, por ejemplo, o una verificacin podra hacerse inconscientemente. La observacin prueba que este no es el caso en absoluto. Todo lo que podemos esperar

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de estas inspiraciones, que son los frutos del trabajo inconsciente, es obtener puntos de partida para tales clculos. En cuanto a los clculos por s mismos, stos deben hacerse en el segundo periodo de trabajo consiente que sigue a la inspiracin, y en donde se verifican los resultados de tal inspiracin y se deducen sus consecuencias. Las reglas de estos clculos son estrictas y complejas; demandan disciplina, atencin, voluntad, y, consecuentemente, consciencia. En el ego subliminal, por el contrario, reina lo que he llamado libertad, si uno pudiese dar este nombre a la mera ausencia de disciplina y al desorden que nace de la casualidad. Slo que este mismo desorden permite uniones inesperadas. Har una ltima observacin. Cuando antes relat algunas observaciones personales, habl de una noche de agitacin, en la que trabaj a pesar de m mismo. Los casos de lo anterior son frecuentes, y no es necesario que la actividad cerebral anormal sea causada por un estimulante fsico, como en el caso citado. Pues bien, parece que, en estos casos, asistimos a nuestro propio trabajo inconsciente, que se vuelve parcialmente perceptible a la consciencia sobreexcitada, pero que no cambia, por ese motivo, su naturaleza. Entonces nos volvemos vagamente conscientes de lo que distingue ambos mecanismos o, si se prefiere, de los mtodos de trabajo de los dos egos. Las observaciones psicolgicas que he hecho parecen confirmar, en sus caractersticas generales, los puntos de vista que he venido enunciando. Ciertamente hay una gran necesidad de esto, porque, a pesar de todo, son y permanecen [las observaciones] como hipotticas. El inters de la cuestin es tan grande que no me arrepiento de haberlas presentado al lector.

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CAPTULO IV

CASUALIDAD

I

Cmo podemos aventurarnos a hablar de las leyes de la casualidad? No es la casualidad la anttesis de toda ley? Es as como Bertrand se expresa al principio de su Clculo de Probabilidades. La probabilidad es lo opuesto de la certeza; es, pues, lo que ignoramos, y consecuentemente parecera ser lo que no podemos calcular. Aqu hay, por lo menos, una aparente contradiccin, y una sobre la que ya se ha escrito mucho.

Para empezar, qu es la casualidad? Los antiguos distinguan entre los fenmenos que parecan obedecer leyes armoniosas, establecidas de una vez y para siempre, de aquellos que atribuan a la casualidad y no podan predecirse porque no estaban sujetos a ley alguna. En cada dominio, las leyes precisas no decidan todo, sino que establecan los lmites dentro de los cuales la casualidad poda moverse.