cinemática de partículas

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Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

Eig

ht

hEd

ition

MECÁNICA DINÁMICAMECÁNICA DINÁMICA

UNIDADESUNIDADES::

1. CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS. 1. CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS.

2. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO. 2. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO.

3. CINÉTICA DE LA PARTÍCULA. 3. CINÉTICA DE LA PARTÍCULA.

4. CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO. 4. CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO.

11 - 1



Eig

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MECÁNICA DINÁMICAMECÁNICA DINÁMICA

11 - 2

Bibliografía:Bibliografía:

Mecánica Vectorial Para Ingenieros; Dinámica.Mecánica Vectorial Para Ingenieros; Dinámica.

• Beer & JohnstonBeer & Johnston

Ingeniería Mecánica; Dinámica. Ingeniería Mecánica; Dinámica.

• Willian Riley; Leroy SturgesWillian Riley; Leroy Sturges

Mecánica Para Ingenieros; Dinámica.Mecánica Para Ingenieros; Dinámica.

• Merian & kraigeMerian & kraige

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: DYNAMICS

Eighth Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CHAPTER


11Cinemática de

partículas



Eig

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11 - 4

ContentsIntroduction

Rectilinear Motion: Position, Velocity & Acceleration

Determination of the Motion of a Particle

Sample Problem 11.2

Sample Problem 11.3

Uniform Rectilinear-Motion

Uniformly Accelerated Rectilinear-Motion

Motion of Several Particles: Relative Motion

Sample Problem 11.4

Motion of Several Particles: Dependent Motion

Sample Problem 11.5

Graphical Solution of Rectilinear-Motion Problems

Other Graphical Methods

Curvilinear Motion: Position, Velocity & Acceleration

Derivatives of Vector Functions

Rectangular Components of Velocity and Acceleration

Motion Relative to a Frame in Translation

Tangential and Normal Components

Radial and Transverse Components

Sample Problem 11.10

Sample Problem 11.12



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11 - 5

Introduction

La dinámica incluye:

Cinemática: estudio de la geometría del movimiento. Cinemática se utiliza para relacionar el desplazamiento, velocidad, aceleración, y el tiempo desplazamiento, velocidad, aceleración, y el tiempo sin hacer referencia a la causa del movimiento.

Cinética: estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, la masa del cuerpo y el movimiento del cuerpola masa del cuerpo y el movimiento del cuerpo.

Cinética se utiliza para predecir el movimiento causado por fuerzas dadas o para determinar las fuerzas necesarias para producir un movimiento dado.

Movimiento Rectilíneo: posición, velocidad y aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta.

Movimiento Curvilíneo: posición, velocidad y aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una línea curva en dos o tres dimensiones.



Eig

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11 - 6

Movimiento rectilíneo: posición, velocidad y aceleración

• Una partícula que se mueve en línea recta se dice que está en movimiento rectilíneo.

• La posición de una partícula se define por la distancia positiva o negativa con respecto a un origen fijo en la línea.

• El movimiento de la partícula puede expresarse en la forma de una función, por ejemplo,

326 ttx

o en forma de un gráfico x - t.



Eig

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11 - 7


• La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa. La magnitud de la velocidad se conoce como velocidad de las partículas.

• Considere la posibilidad de partículas que ocupa la posición P en el tiempo t y P’ en t+t,

t

xv

t

x

t

0lim

velocidad mediavelocidad media

velocidad instantáneavelocidad instantánea

• Por definición, el limite de la velocidad corresponde a la derivada :

dt

dx

t

xv

t

0

lim

Ej:,

2

32

312

6

ttdt

dxv

ttx



Eig

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11 - 8

Movimiento rectilíneo: posición, velocidad y aceleración• Considere la posibilidad de partículas con una

velocidad v en el tiempo t y v’ en t+t,

aceleración instantáneaaceleración instantáneat

va

t

0lim

tdt

dva

ttv

dt

xd

dt

dv

t

va

t

612

312.:Ej

lim

2

2

2

0

• Por definición el limite de la aceleración corresponde a la derivada,

• Aceleración instantánea:

- positivo: el aumento de velocidad positiva, o disminución de la velocidad negativa

- negativa: disminución de la velocidad positiva o el aumento de velocidad negativa



Eig

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11 - 9


• Considere la posibilidad de partículas en movimiento dado por

326 ttx

2312 ttdt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

• at t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

• at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• at t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2



Eig

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11 - 10

Determinación del Movimiento de una partícula• Recordemos, el movimiento de una partícula se conoce si la posición es

conocida por todo el tiempo t.

• Las condiciones de movimiento son especificados por el tipo de aceleración experimentada por la partícula. La determinación de la velocidad y la posición requiere dos integraciones sucesivas.

• Tres clases de movimiento puede ser definido por:- La aceleración dada como una función del tiempo, a = f (t)- La aceleración dada como una función de la posición, a = f (x)- La aceleración dada como una función de la velocidad, a = f (v)



Eig

ht

hEd

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11 - 11

Determinación del Movimiento de una partícula• Aceleración dada como una función del tiempoAceleración dada como una función del tiempo, , aa = = ff((tt):):

tttx

x

tttv

v

dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt

dx

dttfvtvdttfdvdttfdvtfadt

dv

00

0

00

0

0

0

• Aceleración dada como una función de la posiciónAceleración dada como una función de la posición, , aa = = ff((xx):):

x

x

x

x

xv

v

dxxfvxvdxxfdvvdxxfdvv

xfdx

dvva

dt

dva

v

dxdt

dt

dxv

000

202

1221

or or



Eig

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hEd

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11 - 12

Determinación del Movimiento de una partícula

• Aceleración dada como una función de la velocidadAceleración dada como una función de la velocidad, , aa = = ff((vv):):

tv

v

tv

v

tx

x

tv

v

ttv

v

vf

dvvxtx

vf

dvvdx

vf

dvvdxvfa

dx

dvv

tvf

dv

dtvf

dvdt

vf

dvvfa

dt

dv

0

00

0

0

0

0



Eig

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11 - 13

Sample Problem 11.2

Determine:velocidad y altura sobre el suelo en el

tiempo t. Altura más alta alcanzada por la pelota y

el tiempo correspondiente, y Tiempo cuando la pelota se cayó al suelo

y la velocidad correspondiente.

Una pelota es lanzada con una velocidad vertical 10 m/s desde una ventana de 20 m sobre el suelo.

SOLUCIÓN.

• Integrar dos veces para encontrar v (t) e y (t).

• Resolver para t en el que la velocidad es igual a cero (tiempo de elevación máxima) y evaluar la altura correspondiente.

• Resolver para t en el que la altitud es igual a cero (el tiempo de impacto en el terreno) y evaluar la velocidad correspondiente.



Eig

ht

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11 - 14

Sample Problem 11.2

tvtvdtdv

adt

dv

ttv

v

81.981.9

sm81.9

00

2

0

ttv

2s

m81.9

s

m10

2

21

00

81.91081.910

81.910

0

ttytydttdy

tvdt

dy

tty

y

22s

m905.4

s

m10m20 ttty

SOLUTION:• Integrar dos veces para encontrar v (t) e y (t).



Eig

ht

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11 - 15

Sample Problem 11.2• Resolver para t en el que la velocidad es igual a cero y

evaluar la altitud correspondiente.

0s

m81.9

s

m10

2

ttv

s019.1t

• Resolver para t en el que la altitud es igual a cero y evaluar la velocidad correspondiente.

22

22

s019.1s

m905.4s019.1

s

m10m20

s

m905.4

s

m10m20

y

ttty

m1.25y



Eig

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11 - 16

Sample Problem 11.2• Resolver para t en el que la altitud es igual a cero y

evaluar la velocidad correspondiente.

0s

m905.4

s

m10m20 2

2

ttty

s28.3

smeaningles s243.1

t

t

s28.3s

m81.9

s

m10s28.3

s

m81.9

s

m10

2

2

v

ttv

s

m2.22v



Eig

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11 - 17

Sample Problem 11.3

Un mecanismo de freno utilizado para reducir el retroceso de armas se compone de un pistón en movimiento en un cilindro fijo lleno de aceite. El pistón retrocede con una velocidad inicial vo, el aceite es forzado a través de orificios en el pistón, haciendo que el pistón y el cilindro para desacelerar a una velocidad proporcional a su velocidad.Determine v (t), x (t) y v (x).

kva

SOLUTION:

• Integrate a = dv/dt = -kv to find v(t).

• Integrate v(t) = dx/dt to find x(t).

• Integrate a = v dv/dx = -kv to find v(x).



Eig

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11 - 18

Sample Problem 11.3SOLUTION:

• Integrate a = dv/dt = -kv to find v(t).

ktv

tvdtk

v

dvkv

dt

dva

ttv

v

00

ln0

ktevtv 0

• Integrate v(t) = dx/dt to find x(t).

tkt

tkt

tx

kt

ek

vtxdtevdx

evdt

dxtv

00

00

0

0

1

ktek

vtx 10



Eig

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11 - 19

Sample Problem 11.3

• Integrate a = v dv/dx = -kv to find v(x).

kxvv

dxkdvdxkdvkvdx

dvva

xv

v

0

00

kxvv 0

• Alternatively,

0

0 1v

tv

k

vtx

kxvv 0

0

0 or v

tveevtv ktkt

ktek

vtx 10with

and

then



Eig

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11 - 20

Movimiento Rectilíneo y Uniforme

Para las partículas en movimiento rectilíneo y uniforme, la aceleración es cero y la velocidad es constante.

vtxx

vtxx

dtvdx

vdt

dx

tx

x

0

0

00

constant



Eig

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Movimiento Rectilíneo y Uniforme

11 - 21

El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta

que se presenta con frecuencia en la partícula. En este movimiento, la que se presenta con frecuencia en la partícula. En este movimiento, la

aceleración aceleración aa de la partícula es nula para todos los valores de de la partícula es nula para todos los valores de tt, , por tanto la por tanto la

velocidad velocidad vv es constante es constante

Integrando esta ecuación se obtiene Integrando esta ecuación se obtiene

la coordenada de posición x.la coordenada de posición x.

Esta expresión puede emplearse Esta expresión puede emplearse

únicamente cuando se sabe que únicamente cuando se sabe que

la velocidad de la partícula la velocidad de la partícula

es constante.es constante.



Eig

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11 - 22

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

De partícula en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la aceleración de la partícula es constante.

atvv

atvvdtadvadt

dv tv

v

0

000

constant

221

00

221

000

000

attvxx

attvxxdtatvdxatvdt

dx tx

x

020

2

020

221

2

constant00

xxavv

xxavvdxadvvadx

dvv

x

x

v

v



Eig

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11 - 23

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo de El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo de

movimiento también muy corriente . En el la aceleración de la partícula es movimiento también muy corriente . En el la aceleración de la partícula es

constante.constante.



Eig

ht

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11 - 24

También podemos emplear la También podemos emplear la

siguientesiguiente

ecuación:ecuación:

““recuerde”recuerde”

Por tanto:Por tanto:



Eig

ht

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11 - 25

Solución Gráfica del Movimiento Rectilíneo

• Dada la curva de x-t, la curva v-t es igual a la pendiente de la curva x-t.

• Dada la curva v-t, la curva es igual a la pendiente de la curva v-t.



Eig

ht

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11 - 26

Solución Gráfica del Movimiento Rectilíneo

• Teniendo en cuenta la curva a-t en el cambio de velocidad entre T1 y T2 es igual al área bajo la curva a-t entre en T1 y T2.

• Dada la curva v-t, el cambio de posición entre la T1 y la T2 es igual al área bajo la curva v-t entre T1 y T2.



Eig

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11 - 27

Otros Métodos Gráficos

• Moment-area method to determine particle position at time t directly from the a-t curve:

1

0

110

01 curve under areav

v

dvtttv

tvxx

using dv = a dt ,

1

0

11001

v

v

dtatttvxx

1

0

1

v

v

dtatt first moment of area under a-t curve with respect to t = t1 line.

Ct

tta-ttvxx

centroid of abscissa

curve under area 11001



Eig

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11 - 28

Otros Métodos Gráficos

• Method to determine particle acceleration from v-x curve:

BC

ABdx

dvva

tan

subnormal to v-x curve



Eig

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11 - 29

Ejemplo:Ejemplo:



Eig

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Lanzamiento de Proyectiles

11 - 30

En el lanzamiento de proyectiles se demuestra que las componentes de la En el lanzamiento de proyectiles se demuestra que las componentes de la

aceleración y velocidad son: aceleración y velocidad son:



Eig

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Lanzamiento de Proyectiles

11 - 31

Ejemplo:Ejemplo:



Eig

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11 - 32

Movimiento de Varias Partículas: Movimiento Relativo

• Dos partículas que se mueven en la misma línea, el tiempo debe ser registrado en el mismo instante de partida y los desplazamientos se debe medir desde el mismo origen en la misma dirección.

ABAB xxx

ABAB xxx

ABAB vvv Velocidad relativa de B con respecto a A

ABAB vvv

ABAB aaa Aceleración relativa de B con respecto a A

ABAB aaa



Eig

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11 - 33

Sample Problem 11.4

Una pelota lanzada verticalmente desde el nivel de 12 m en el hueco del ascensor con una velocidad inicial de 18 m/s. En ese mismo instante, de plataforma abierta ascensor pasa 5 el nivel m se mueve hacia arriba a los 2 m/s.

Determine (a) cuándo y dónde la pelota golpea el ascensor y (b) la velocidad relativa de la bola y el ascensor en el contacto.

SOLUTION:

• Sustituir la posición inicial y la velocidad y la aceleración constante de la pelota en las ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

• Sustituir la posición inicial y la velocidad constante de ascensor en la ecuación para el movimiento rectilíneo y uniforme.

• Escriba la ecuación de la posición relativa de la bola con respecto al ascensor y resolver de la posición relativa de cero, es decir, el impacto.

• Sustituir el tiempo el impacto en la ecuación para la posición del ascensor y la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor.



Eig

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11 - 34


• Sustituir la posición inicial y la velocidad y la aceleración constante de la pelota en las ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

22

221

00

20

s

m905.4

s

m18m12

s

m81.9

s

m18

ttattvyy

tatvv

B

B

• Sustituir la posición inicial y la velocidad constante de ascensor en la ecuación para el movimiento rectilíneo y uniforme.

ttvyy

v

EE

E

s

m2m5

s

m2

0



Eig

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ition

11 - 35

Sample Problem 11.4

• Escriba la ecuación de posición relativa de la bola con respecto al ascensor y resolver de la posición relativa de cero, es decir, el impacto.

025905.41812 2 ttty EB

s65.3

smeaningles s39.0

t

t

• Sustituir el tiempo de impacto en las ecuaciones para la posición del ascensor y la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor.

65.325Ey m3.12Ey

65.381.916

281.918

tv EB

s

m81.19EBv



Eig

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11 - 36

Movimiento de varias partículas: movimiento dependiente• La posición de una partícula depende de la posición de

uno o varias partículas.

• La posición del bloque B depende de la posición del bloque A. La longitud de la cuerda es constante, se deduce que la suma de las longitudes de los segmentos debe ser constante.

BA xx 2 constante (un grado de libertad)

• Las posiciones de los tres bloques son dependientes.

CBA xxx 22 constante (dos grados de libertad)

022or022

022or022

CBACBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx



Eig

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11 - 37

Sample Problem 11.5

La polea D está conectado a un anillo que se tira hacia abajo a una velocidad de 3 in/s. En t = 0, el collarín A comienza a moverse hacia abajo desde la posición K con una aceleración constante y la velocidad inicial cero. Sabiendo que la velocidad del collarín es de 12 in/s cuando pasa por L, determine el cambio de altura, velocidad y aceleración del bloque B cuando el collarín A pasa por L.



Eig

ht

hEd

ition

11 - 38


• Definir el origen en la superficie superior horizontal con desplazamiento positivo hacia abajo.

• El collarín describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Resolver para t la aceleración y el tiempo para llegar a L.

2

2

020

2

s

in.9in.82

s

in.12

2

AA

AAAAA

aa

xxavv

s 333.1s

in.9

s

in.12

2

0

tt

tavv AAA



Eig

ht

hEd

ition

11 - 39

Sample Problem 11.5• La polea D tiene movimiento rectilíneo y uniforme.

Calcular el cambio de posición en el tiempo t.

in. 4s333.1s

in.30

0

DD

DDD

xx

tvxx

• El movimiento del bloque de B depende de los movimientos de A y D. Escribir la relación de movimiento y resolver para el cambio de posición de bloque B en el tiempo t.

La longitud total del cable se mantiene constante,

0in.42in.8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

in.160 BB xx



Eig

ht

hEd

ition

11 - 40

Sample Problem 11.5• Al diferenciar la relación, se obtienen ecuaciones que

relacionan las velocidades y las aceleraciones de A, B, y D.

0s

in.32

s

in.12

02

constant2

B

BDA

BDA

v

vvv

xxx

s

in.18Bv

0s

in.9

02

2

B

BDA

v

aaa

2s

in.9Ba

cinemática de partículas

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