circuitos hayt capitulo 08

5/10/2018 circuitos hayt capitulo 08 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/circuitos-hayt-capitulo-08-55a0d09c2befe 1/64

C i r c u i t o s R L Y R C

b e s i c o s

INTRODUCCION

En el capfrulo anterior se presentaron ecuaciones que gobiernan Ill.

r es pue s ra de va rie s c ir cu it os en in duc ta n cia y capa c it an c ia , p e ro no

se resolvio ninguna de ellas, En este memento se puede proceder aIll.s olu clo n d e lo s c irc nito s m a s s im p le s, re strin gie nd o 1 3arencion

a aqu ello squ e co ntien en s610 resis to res e in du cro res . a s610 re sis-

tores y capacitores

Si bien los circuitos que se analizaran tienen una apariencia

muyelemenral, tambien son de importancia practice. Las redes

d e esta fo rm a se em plean ell amp li fi ca d or es e le c tr 6n ic o s • .s is tem a s d e

control automasico. arnpl i f icadores operacionales, equipo de cornu-

m ead o nes yen ou as rnu chas ap licac io nes . La familiarizacion con

eS lOS circulrossimples permalra predecir ca n que exaceuud puecle

la sa lid a d e u n am plificad or segu ir u na en trad a qu e cam bia COil

rapidez co]'! el tiempo, 0predecir cuan rapidamentecambiafil la ve-

locidad de U I1 motor c omo respuesta 811m carnbio en SI! corr iente de

campo. Nuestro conocimienta del desempefio de los circuitcs RL y

RC s im p l es p e rm i ti ra sugerir modificaciones p ar a e J a rn plific ad or a

e l m otor a fin de obtener una respuesta m as deseable,

8.1 EL CIIRCUITORL SIN FUENTE

E1 analisis d e c irc uito s q ue c on tie ne n inductores y/ o c ap ac ito re s d e-

pende de la formulacidn y solucion de ecuaciones integrodiferen-

dales que caracterizan a l o s c ir c u it o s. Se Ilamara ecuaciol7 diferell.

cial lineal homogenea al tipo especial de ecuacion que se obuene, Ia

cual es simplemente una ecuacion diferencialen la que cada t6mino

es de primer grade en la variable dependienre 0 en uua de sus de-

rivadas. Se obtiene una solucion cuando se encuearra la expresion

CONCEPTOS(LAVE

-- -- ---

C o n s ta n te s d e t i e m p o R LyR C

Respuesta natural y fOfZa,da.

Determinacion de la

r e s p u e s ta e n funcion d e l

l i e m po d e u n a emtacion

d e C D .

C O m o dl"iermil1ar la s

c o n d r i o n e s inicial~ y 5U

e le c to e n la r e s p u e s t a d e l

O r c u i l o .

A n . a Iss de c i r w ilo s ( Un

f u n d o n e s d e e n tr ad a e s c a l o n

y ( o n i n te r r u p to r e s .

C o ns tr l . ! c ci6 n d e fo rm e s d e

onda pulsentes m e d i a n t e

l u n r i o n e s escelen u n i t i J r i o .

R e s p u e st a, d e c ir ru i to s

c o nm u t a d o s s ea e n c i a lme i l l e .

155

. . . . .---



II "

• F IC UR A 8 .1 C i . r u i t o R L e n s e n e p 3 r ~ e l q u e s e

v a a d e le lm i n a r i(t) s u je to a I~Q n d i t i6 ~ I n ie - a l

i(o) = In ,

I Q u i z < l p e r e z c a b a s t a l 1 l e ~iio ana r l l : a r u m c o m e n t e

v a r i Q _ b # ee n e l t ie m po q u e f l u y e Ell u n c i r c u l l o s in

f u en te s ! T e n g < p r e se n e q u e 1 . 6 1 0 s e c o n ec e I.

e o r ri e n te e n e J t em p o e s pe d li co I=Q : n o s e I e

c on o c e a n t e s d e e se t i e m po . E n e s e s e n tf d o, t am p o c o

s e s a be c om o s e v el .a e l c i r c u r t o a f l t E S d e , = (J , P a R I

q l J e c i r r u l e u n a c o r rr en te , s e ria n e oe s ar ia I il p r e s e n c i a

ele una fuente en a lg ]jn p Unta, perc no se ha a

p r o p o rC t o n a d o i n fo r m a c i o n .1 r e spec tO . P a r [anuM,

ella,n o s e r E qu ff r e p a ra anal iza! el c i r c u i t o indiQ1do

C A p iT U L O B ( I R e U IT O S R L V R C B A s I C 0 5

de Lavariable dependiente que ati. ace Laecuacion diferencial Y tambien la

distribucidn de energfa preescrita en los inductores 0 capacitores en el instante

preestablecido, por 10 general I =0,

La solucion de la ecuacion diferencial represenia una respuesra del circuito y

, e conoce con mucho nombre , Pue 'f O que depende de La"naturaleza ' general

del circuiro (Los t ipo de elementos, us tarnafto ,Ia interconexion de los elemen-

tos), Sf: dencmina a rnenudo como respuesta natural. Sin embargo, todo circui-

to real Que se construya nopued alrnacenar energia por s iempre: necesariarnente.

la resistencias asociada con 10 inductore y capacltores a la larga convertiran

toda la energfa almacenada en calor. La respuesta debe 1111 m al extinguirse (0 ea

desaparecer), razon por la cual con frecuencia se le eenoce como respuesta tran:

sitoria. Por ultimo, tambien e nece aria familiarizarse Con la aportacion de los

matemaucos a Ia nomenclatura: as ignan elnombre defullci611 complementaria a

la solucion de Ulna ecuaci6n diferencial lineal homogenea,

Cuando se analizan fuentes independientes que acnian sobre un circuito parte

de la respuesra recordara la naruraleza de la fuente part icular 0 funcion forzada)

que se utiliza; dicha parte, denorninada SO/II cion particular; respuesta de estado

permanetue o,respuesta!iOnada, se "complernenta" con la respuesta cornplemen-

(aria proclucida en el circuito sin fuente. La respuesta ccrnpleta del circuiro estara

dada entonces par la surna de Ia funci6n comptemeruaria y la solucion particular.

En otras palabras, la respuesta cornpleta consiste en 1 8 sums de la respuesta aatu-

ral y la respuesta forzada, La respuesta sin fuente podrfa Ilamarse respuesta na-

sural, re 'puc 'Ia transltorla. respuesta libre ofimdo/1 complemeniaria, pero debido

a su naturaleza mas descriptiva a menudo se denomina respuestanallJl'lIl.

Se examinaran varies rnerodos diferentes de solucirin de esta ecuacione

diferenciales ..S in embargo, la manipulacion maternatica no significa analizar

los circuitos. EI mayor interes e encuentra en las propia oluciones, en su sig-

nificado y su interpretacion, asf que se rrarara de farniliarizar 10 uficiente al

lector con Ia form a de 1<11.espuesta de : modo q ue se pu ed an elabo rar respuesta

para los nuevo circuitos con s6Lo UIl simple ruzonamiento. Si bien se necesitan

metodos analfticos complicados cuando fallan los enfoques mas simples. una

inruicion bien desarrollada eonstituye un recurso invaluable en este tipo de

s i r u aciones .

EI estudio comenzara can el analisis transitorio considerando el simple if-

cuito RL en erie que e presenta en la figura 8.1. Se va a designer la corriente

v ar ia ble e n el nempo como; (I); secrepresentara el valor (Ie i(r) en I=Ocomo 10:

ell otra palabras, i (0 ) =10' PO I ' 10 tanto, se tiene

diRi+ VI =Ri + L- =0

• df

di R-+-i=Odt L

I J l

La meta es una expresi6n de ;(t) que satisfaga esta ecuacion y tambien renga

el valor 1 0 en I= O. La solucion se obtiene mediante varies metodos diferente .

Metoda directo

n rnetodo muy directo para resolver una ecuacion difetencial con iste en ex-

presarla de manera que se separen las variables y Iuego se inregre cada miernbro



S K O ON 8 . 1 a O R C U r r o R l S IN W E N T E

de Ia ecuacion, Las variables en la ecuacidn [1 . 1 son i y l, Yresults evidente que

la ecuacion se podrfa multiiplicUf par di, dividirse entre i y arreglarse COil base en

las variables separadas:

di R- = --til. L

En razon de que lacorriente es 1 0 en I = 0 e i(l) en el riernpo I,se igualarfan

las dos integrales deflnidas que se obtienen al integrar cada rniernbro entre los

llmites correspondientes:

11(,) til' l' R .I

- = --dJ" t' 0 L

E fe c tu a nd o 1< 1n te g ra c io n i nd ic a da ,

1 " 1 1 R ' I '=--II"~ L 0 <

Ia c ua l rie ne c om o re su lta do

RIni-In hI = - - (t - 0)

L

D espu es d e u n p oc o e le rn auip ula cio n, se p ued e ve r qu e la corr iente i(t) e sta d ad apo r

S e co rnp rueba Iii so lucion s i se de rnuestra prim ero que la sustituc ion de 1 2 1

ecuacion [31 en la ecuac ion f I] produce la iden tidad 0 = O . Y despues que

Ia S,ISli ruci6n de I = 0 en la ecuacicn [3] rieae como resoltado i0) = /0. Ambo s

pasos SOil necesarios: la solu cio n d ebe satisfa ce r 1< 1cu ac ien d ifere nc ial que

caracteriza al eircuiro y tarnbien la condicion lnicial.

[2],

[3]

Si el.indudor de la 6gura8.2 fiene una corriente i t . : 8 2 aen taO, eo-

conrrae to expresiou de i,_(1) vatida para t > 0, y su valor en I B 200 "s.

E sr e t ip o de c ir cu it o e s i de n ti co al que se vio con amerioridad, por 10 que se

espera que In corriente que circula por el inductor sea de la forma

1£ .11 ) = = lo[RIL'

donde R = = 200 Q. L = = 50 mH e 10 es la corriente inicial que circula a

naves del inductor en / = = O.Por ende,

ir.(/) =2e-HIOIl'

Sustituyendo 1 = :200 X 10-6 s. se puede ver que idE) = 898.7 rrtA, que

es menor que 1 0 1 mitad del valor inicial.

PRAcnCA

8.1 Determiner lacorriente ill que circula a traves de la resisrencia ele laFigura 8.3 en 1= I ns si '8(0) =6 A.

Respuesta: 812 m Ao

50 mH

2000

• FIG UR A B .l. C i" U~ 1l R L simple I'll eJ que la

e n e r g f a 51' e lm a c e n e e n e l i n d u c t o r e n I",O .

500nH

I Kil.

• FIGURA B •. l C ifO Jn o p a r a el p ro b l e m a d e

pr. lOiOl 8 . 1 .



C A P iT U L O , 8 C lR c u rr O ~ R L Y H e B A $ IC O S

Metodo altemo

La oluci6n tambien e podrta obtener poe medic de una Iigera vanac ion del

metoda anterior. Luego de separar variables. se tendrfa la integral indefinida de

cada lado de la ecuaci6n L2]s i tambien se incluyeuna ccnstante de integracion,

De tal modo,

J di J R-=- -dr+Ki L

y la integracion origina

RIn=--1+ K

L[4 J

La constante K no puede evaluarse mediante la sustirueion de Ia ecuacion [4J

en la ecuacion diferencial original [11: resultant la identidad 0 = O. pue la

ecuac ton r4 ] e una solucion de 1 3 ecuaci6n [1'] para cualquier alor de K (com-

prnebelo usted mismo). La con stante de integracion debe elegir e para atisfacer

1 1 1 1ondition inicial dO ) = 10. Asf, en I = = = 0, In eC\ lad61 l [.41se convierte en

Info =K

y se ernplea esre valor de K en In ecuacion [4J para obtener la respue ta deseada:

Rlnr ==t' +III in

o

i(t) =iDe-RIlL

com o se hizo antes.

Metodo general

Cualquiera de e s C O S metodos e utilize cuando las variables son separable,

aunque esta no es siernpre Ia situacion, En los casos restames se confiara e r n un

mer do muy poderoso , cuyo exno dependera de nuestra inruicion 0experiencia,

S610 se ad iv ina ra a se upon dra una forma de olucir in y Iuego e probaran 10

upuestos, primero mediante la sustrrucicn en la ecuacion diferencial y luego II

traves de la aplicacion de las condiciones iniciales dadas, Debido a que no se

puede adivinar Ia expresion nurnerica exacta de la solucion, e C n iderara una

soluci6n que contenga varias eons tantes desconocidas y se eligiran 10 valores

para elias con el fin de sausfacer Ia ecuacion diferencial y las ccndiclone ini-

ciales , Mucbas de Ia ecuaciones diferenciale que se encuentran en el anali i

de circuitos tienen u na so lu cio n qu e p ue de representarse m ediante la funci6n ex-

ponencial 0 la suma de varias funclones expcueaciales . Se supondra una solu-

ci6n de la ecuacion [1] ell forma exponencial,

i(l') = A e S , f [5)

d on d e A Y s~ s on c on sta nre s q ue s e d eb en d ete nn iu ar, Despues d e s us tiru ir e sta

soluci6n upuesta en la ecuacion [1], se tiene:



S E C C IO N 8 .1 E L C lR C U IT O R L S IN F U EN T E

o

[ 6 ]

Con el fin de satisfacer la ecuacion para todos los valores del tiempo, se re-

quiere que A = 0,0 SI = -00,0 SI = -R/L. Pero si A= 00 si SI = -00, en-

tonces toda respuesta es nula; ninguna puede ser una soluci6n para el problema

en cuesti6n. Por 1 0 tanto, se debe elegir:

R

L[ 7 ]

as] que la soluci6n supuesta toma la forma

i(t) = Ae-RrIL

La constante restante debe evaluarse aplicando la condicion inicial i (0) = 10.

De tal modo, A= la,

YIa forma final de la soluci6n supuesta es (otra vez)

i(t) = loe-RIIL

En la figura 8.4 e muestra un resumen del metoda basico.

En realidad, puede tomarse una ruta mas directa, Para obtener la ecuacion

[7], se resuelve

Suponer una soluc i6n

general con las constantes

apropiadas

DSus ti tu ir la soluc i6n

de prueba en la

ecuaci6n diferencial y

simplificar el resultado

DDeterrninar el valor de una

consta nte que no de como

resu ltado una soluc ion t rivial

DBasarse en la(s) condici6n(es)

inicial(es) para determinarlos valores de la( s) constante( s)

que quedam)

RSI+- = 0

L

• FIGURA 8.4 D ia g r a m a d e f l u jo d e l m e to d a

g e n e ra l p a r a r e so l v e r e c u a c io n e s d i f er e nc i a le s d e

[ 8 ] p r i m e r o r d e n d o n d e s e p u e d e a d i v i n a r l a f o r m a

d e l a s o l u c i6 n c o n b a s e e n l a e x p e r ie n c ia

que se conoce como ecuacion caracteristica. Esta ultima se obtiene directa-

mente de la ecuacion diferencial, sin que sea necesaria la sustituci6n en la

soluci6n de prueba. Considerar la ecuacion diferencial general de primer

orden

dfa-+bf = 0

dt

donde a y b son constantes. Se sustituye sl en df idt y sO enf, 1 0 cual da como

resultado

dfa- + bf = (as + b)f = 0

dt

A partir de aquf se puede obtener directamente la ecuaci6n caracteristica

as+ b = 0

la cual tiene una sola rafz S = -b/a. Entonces, la soluci6n de la ecuaciondiferencial es

f = Ae-brla

EI procedimiento basico se puede extender facilmente a ecuaciones diferen-

ciales de segundo orden, como se estudiara en el capitulo 9.



C A P ir u L O 8 C lR C U IT O S R l Y R C B A s I C O S

EJEMPLO 8 2 -r»; ,_ \ ,_ Y -, -, I /• 1;- /1 i ! \

100

+

400 I)

(a)

100

400

+

(b)

1<:0

(e)

• FIGURA 8.5 (a ) CircuitoR L s imp le c on un

in te rr uptor dspa rado en e l t i empo t=

o . (b ) E I

c ir cu i to como se encuent ra an te s de t=O .

(e ) E I c i rcu itodespues de que e l in te rr uptor e s

activado y s e ha qu it ad o l a fu en te d e 2 4 V.

-\

En el eircuito de la figura 8.50. calcular la tension marcada como ven

tH 200ms.

Identifiear el objetivo del problema.En realidad, el diagrama de la figura 8.5a representa dos circuitosdiferentes:

uno con eI interruptor cerrado (figura 8.Sb) y otro con el interruptor abierto

(figura 8.5c).Detenninar v(0.2) en el circuito que se muestra en la figura 8.5c.

Recopilar la informacion conoeida.

Primero se debe verificar que ambos circuitos se encuentren dibujados y

marcados correctamente, A continuacion se elabora el supuesto de que el

circuito de la figura 8.5b se conecto por un largo periodo, para que todo

transitorio se haya disipado. Se puede hacer dicho supuesto bajo estas cir-

cunstancias a menos que se ordene 10 contrario.

Elaborar un plan.

El eireuito de la figura 8.Sc puede analizarse escribiendo una ecuacion

KVL. A fin de cuentas, se desea una ecuacion diferencial con v y t solo

como variables; para realizar esta tarea, pueden ser neeesarias ecuaciones

adieionales y algunas sustitueiones. A continuacion se resolvera la

ecuacion diferencial para encontrar v(t).

Construir un conjunto de ecuac:iones apropiado.

Con referenda a la figura 8.5c, se puede eseribir

di i,-v+lOiL+5-=0

dt

Sustituyendo ic = -v/40, se observa que

~ dv + ( 1 0 + 1 ) v = 040 dt 40

0, mas simplernente,

dv- + IO v =0dt

[ 9 ]

Determinar si se requlere de informacion adicional.

A partir de la experiencia previa, se sabe que una expresion compl eta de v

requerira el eonoeimiento de v en un momento especffieo, donde t = 0 es

el mas conveniente. Podrta uno sentirse tentado a mirar la figura 8.Sb y es-

eribir v (0) = 24 Y, 10 eual es valido solo justa antes de que el interruptor

abre. La tension en la resistencia puede cambiar a cualquier valor en e1

instante en el que se opera; unicamente permanecera sin sufrir ningun

cambio 1a corriente que circu1a por el inductor.

En el circuito de la figura 8.Sb, it: = 24/10 = 2.4A, puesto que el in-

ductor acnia como un corto circuito ante una corriente directa. Por 10

tanto, iL (0) = 2.4 A en el circuito de la figura 8..Se, es tarnbien un punto

clave en el analisis de este tipo de circuitos. Por 10 tanto, enel circuito dela figura8.Sc, V (0) = (40)(-2.4) = -96V

tntentar resolver.

Puede tomarse en cuenta cualquiera de las tres tecnicas basicas de solucion,

Con base en la experiencia, iniciar escribiendo la ecuacion caracteristica



S E CC IO N 8 .1 E L C 1 R C U IT O R L S IN F U E NT E

correspondiente a la ecuacion [9]:

s + 1 0 = 0=

Resolviendo, se puede ver que s = -10, por 10 que

vet) = Ae-10 t

(la cual , una vez sustituida en ellado izquierdo dela ecuacion [9], da

como resultado

-lOAe-IO t + lOAe-lO t = 0

como se esperaba),

Se encuentra el valor de A fijando el valor de t = 0 en la ecuaci6n [10]

y haciendo uso del hecho que v(O) = -96 V. Por 10tanto,

vet) = _96e-10 r

y v(0.2) = -12.99Y, de un maximo de -96 V.

.. V.~"'ificor10 soluci6n. ~Esrazonable 0esperodo?

Tarnbien se pudo haber encontrado la corriente del inductor dandose cuentade que el inductor "ve" una resistencia de 50 Q en el circuito de la figura

8.5c, 10cual proporcionarfa una constante de tiempo de T =50/5 = 10 s.

Asociado con el hecho de que se conoce i: (0) =2.4 A, se puede escribir,

idt) = 2.4e-IO t A, t > 0

A partir de la ley de Ohm, vet) = -40idt) = _96e-IO t, que es identic a a

la ecuaci6n [11]. No es coincidencia que la corriente del inductor y la ten-

si6n en la resistencia tengan la misma dependencia exponencial.· - .

8.2 Determinar la tension veil el irrductor del circuito de la figura 8.6 para

t > O .

Respuesta: - 25e-2t V.

Determinacion de la cantidad de energia

Antes de enfocar la atencion en la interpretacion de la respuesta, se volvera a ob-

servar el circuito de la figura 8.1 y se verificaran las relaciones de potencia y de

energfa. La potencia que se esta disipando en la resistencia es

PR = iR = il; Re-2R t/L

y se puede encontrar la energia total que se convierte en calor en la resistencia

mediante la integraci6n de la potencia instantanea desde un tiempo cero hasta e1

infinito:

WR = 100

PR dt = I I ;R 100

e-2R t

/L

dt

= 1 2 R ( - L ) e-2Rt/LI00 = ~ L 12

o 2R 0 2 0

Este es el resuItado que se espera, ya que la energfa total almacenada iniciaJ-

mente en el inductor es ~L II;, Y no existe ninguna energfa almacenada en el irrduc-

tor en el infinito, puesto que su corriente desciende hasta cero de un momenta a

otro. Por 1 0 tanto, toda la energia irricial se consume en la resistencia por disipaci6n.

[10]

[11]

4D

6D

• FICURA 8.6 C i rc u it o d e l p ro b le m a d e p ra c ti ca 8 .2 .



C A P i r o i o 6 C lR C U rr oS I? l Y R C B A s I C O S

8 .2 IP ROPIE 'DADESDE LARESPUES TA EXPONENCIA L

S e considerara t a n a tu r al e za de In respuesta de l circuito RL en sene, S e . sa be q ue

Lacorriente del inducror Sf. represents par rnedio de

i{t) =loe-RIIL

En I=0 , l a c orrie nte tie ne u n v alc r 1 0 , p e ro c u an d ce l tiernpo a umer ua , l a c o rr ie ru e

dlsminuye y se aproxirna a cero. La forma de este decaimienro exponenciel se

observaen Ia.grifica de [(1)/ fa como funcidn der que se exhibe enla l'igura 8.7.

Puesto que la ftmd6n qu e se graficaraes e- I,/I., la curva no cumbia rd si R/ L se

rnantiene constante. En consecuencla, debe obtenersc la misrna curva para cada

circuito R L en serie que tenga la misma razon R j L (I L] R . Se vera como afecta

esta razon la forma de la curva,

o

• FIGIilRA IU G r 4f ic a d e e -lirj( e n f u ng t} n d e t,

S i se d u pl ic a l a r az on em re L y R. e l exponeate n o ca mbiara si Is e d up lic a ta m -

bie n. E n. o tra s p ala bra s, la respuesta o r ig ina l o cu rr ir a en un uernpo pos te r io r , as r qu e

la nueva curva se obtiene moviendo cada punto de la curva original dos veces m a sb ac ia Ia d ere ch a, C o n e sta ra z6 n L/ R mas grande, 1 9 corr ieme tarda m a s e n d ec ae r

h as ia c ua lq uie r fra cc io n d ad ad e s u v alo r original. S e p od rfa d eeir que el "an ch o" de

III

curva se duplica,0

que el ancho es proporcional a LJ R . Sin embargo, se dificuhadef inir el termino ancho, debido a que cada CLlJ'Va se exuende [desde 1 =0 hasta

oo! Ell vel. de eso, so debe considerar el tiempo que se requerirfa para que la

ccrriente decrezea hasta cero si continda disminuyendo a:;u rasa iniclal.

La iasa inicial de decaimiento se calcula evaluando In derivada en el tiernpo

ccro:

R

L

So des ig ns oj valo r del tiernpo que tarda i (1 0 e n dism inu ir desde la unidad has ia

cere, suponiendo una. rasa de decsuniemo constarue, mediante Ia leira griega r

( L U U ) . De ta l modo ,

(~) r = = I

a

I , ~ ~ I [ 1 2 J



S E C C IO N 8 .2 P R O P IE D A DE S D E L A R E SP U E S T A E X P ON E N C IA L

La proporci6n L/ R se mide en segundos, pues el exponente - R t / L debe ser

adimensional. EI valor del tiempo T se denomina constante de tiempo y se

muestra de manera grafica en la figura 8.8. Es posible encontrar en forma grafica

la constante de tiempo de un circuito RL en serie a partir de la curva de respuesta;

s610 se requiere dibujar la tangente a la curva en t = 0 y determinar la intersec-

ci6n de dicha tangente con el eje de tiempo, A menudo, esta operacion consti-

tuye una manera conveniente de aproxirnar la constante de tiempo a partir de la

imagen exhibida en un osciloscopio.

i

T ;

I

• FIGURA 8.8 La c on st an te d e t iempo r d e u n c ir cu it o R L e n s er ie e s L / R , l a cua l const it ove e l t iempo

r eq ue ri do p ar a q ue l a c ur va d e r es pu es ta d is m in uy a h a st a c e ro , s i e s ta am in or a a u na t as a c on st an te i gu al a s u

tasa de deca imiento in ic ial .

Una interpretaci6n igual de importante de la constante de tiempo T se obtiene

determinando el valor de it) / 1 0 at t = r. Se tiene

iCr) =e-I =0.3679

1 0o i(r) = 0.367910

Asf, en una constante de tiernpo la respuesta disminuy6 hasta 36.8% de su

valor inicial; el valor de r tambien se determina en forma grafica a partir de este

hecho, como e indica en la figura 8.9. Resulta conveniente medir el de-

caimiento de la corriente en intervalos de una constante de tiempo; ademas, al

recurrir a una calculadora manual 0 a una tabla de exponenciales negativas se

indica que iCt)/lo es 0.3679 en t = T, 0.1353 en t = 2T , 0.04979 en t = 3T ,

0.01832 en t = 4r y 0.006738 en t = Sr. En algunos puntas, entre tres a cinco

constantes de tiempo despues del tiempo cero, se coincidina en que la corriente

• FIGURA 8.9 Laco rr ient e en un c ir cu it o R L en ser ie se reduce hasta 3 7 O J o de su va lo r i ni ci al

ent= T, 1 4O f oe nt= 2r y 5% e nt= 3r.



CAP[ TULO 8 C IRCUI TOS R L Y RcBAsICOS

\es un a fracc ion In fim a d e 10 qu e er a al principio. En consecuenc ia , si se pregun-

tara if:U{infO tarda 1 0 corriente ell d ec ae r h as ia cerar. la resp uesta p od rfa ser

ce rca d e c in co c on s/a nte s d e tie mp o. E n e ste PUDlO, ihl,corrien te es rnen or a 1%

d e s u v alo r o rig in al!

-

PRACTICA

8.3 En un clrcuito RL en . erie in fueme, calcular el valor numer ico de la

razon: (a) ;(21:)/ j(t), (h) i(0.5!)/ ;(0), y (c) 1/1; si i(/)/ i (0) = 0.2; (d) I/rsi i(O) - i(t) =(0) I n 2 .

Respuesta: 0.36 : 0607: 1 .609 ; I. j 81 .

ANALlSI5 ASISIIDO POR COMPUTADORA ~ ..~.~ ~ ....

La cap acid ad d e rea lizar u n an ali: is tran siro rio d e PS pice re u lta m ay titil

cuan do se co nsidera la re puc ta de c ircu iros sin fuen te , En e te e jem plo , se

lisa u na carac tert tica e p ecia l qu e p erm ite v aria r u n p aram erro d e co mp o-nente, similar a la forma en que variamos la tension de cd en arras simu-

laciones. Este objetivo se logra si se Ie agrega la componente PARAM al

esquema, el cual puede colocarse el l cualquier parle pues no se alarnbra en

el c i rcui to, El circuito RL c om p le te s e m u es tra e n 13 .figu ra S .IO e in clu ye

u na co rrien te d e in du cto r in ic ia l d e I rn A.

C o n la fm alid ad d e re la cio na r e .l v alo r d e la re siste nc ia COil e l p a rame t ro

d ie barrid o p ro pu esto , se d eben llevar a cabo tres ta rea . Prim ero , se p ro per-

dona un nornbre al parametro, al cual se decide llamar Resistencia para

efectos de simplicidad, Le anterior se lcgra mediante LIndoble die en Ia eli-

quem PARA~METERS: anoradc el l el e quema. Luego, si e hace die en

los resultado de New Column aparece la ventana de dialogo que se mues-

2

L1

10uH R1

{Resistance}

Ie = 1m

oPARAMETERS:

Resistance = 1k

• F IG URA 8 .1 I) G r c l J I ! O R l S i m p l e d i b u j a d o e m p le a n d o l a h e m m l e n t l l d e c a p lU r a d e esqlJerMS.



S E eC iC N 8.2 P R O PI E DA D E S D E L A R ES P U E S liA E X P O N E N OA L

tra e n 1 3 fig ura .8 .11a, e ll la cual e ingresa Resistance en arne y u n v alo r

de 1ken Yalue. La segunda tares COD iste ell enlazar el valor de Ria l

p a rame r ro d e barrido, 1 0 c ua l s e logra haciendo do ble clic en e l valor po r

om is ion de R I en e l esquem a, y aparece Ia ven tana de d ialogo de In figu ra

8 . 1 1b . En Value se ingresa s imp lemen te [Resistance}. (O bse rvar que es

n e ce s ar io e c ri bi rl o en tre llave .]

"-,,-V_II'l."""""J

~r_

«(I) (b)

• F IG URA 8.11 (a ) V~ntana de c f i a l o g o A d d N ew C olum n en eI Property E d ' h o r d e PARAM,

(b ) V e l 1 l i l n a d e d J. l lo go p ara a S lg l1 arv a lo r a r e s i s l e n O a s .

L a , t er ce ra t ar ea coo ittl en configurar Ia s im u la cio n, 1 0 qu e in clu ye la coo-

fig ur ac i6 n d e l os p ar am e tr es para el analisis de t rans i tor ios , as! como los vallores

que e desean para RJ. En pspice e selecciona _ew Simulation Pro.fiJe

(figura .8 .12a) , en la cua l se e lecc iona 11m!!Domain (Transient) de nalysls

type, 30 0 as de _ R l l J ] to tim e , y s e m a ro a la s ete ec io n Parametric S weep box

en Qpt iO I lS . La u lt im a o p ci 6n apareceen e l cu ad ro d e d ialo go qu e se m ues tra

en la figu ra 8 . 12b. en la que se e lecc iona !ilobaJ parameter d e S w ee p

variable y e i ng re sa Resistance en farameter name. La 61L ir n as e le c c io n qu e

e requiere es marcar Logarithmic en weep type, un Start value de 10, LIn

End value de] 000 y 1 eointslDecade' d e fo rm a altema, s e p ud ie ro n h ab er

Iistado los valore de eados de resi tencia utilizando Value lis_t.

De s pu es d e c orre r la s im u la cio n a pa re ee la c aja d e u ou fic ac io n q ue s e

rnuestra eo ta tigura.l3, que preseata l os g ru po s de datos di ponibles de 1a

None D K III

F IGURA 8 . 1 1 V e n \ a n a d e d iB l0 g 0 d e l as s e c oo n e s d e d a to s d is p o n ib le s ;,

(Crll!!il ll i(J en ta signienra pligi/w)

U;rlIr:--~~--'~~. . . . . . . . . . .. . " "

! 3 L r i I ll i l . . . .. . . I . J ; I ; m ~rnfO l ! l

'~ - -.4 01 ...... ~ .--.""",,,,--H .......r----.dI

r- 5 k G . . ~I!..._.t-pDl'f~~

I'a)

-. .<-- ......I.__..I-I ............'.....-I

Iif~~. . . ~:~~'-

rJ_.!i::--_i'!"-1i::r1....... !.&.a-WI

'"' . . . . . . . . .- - - -.~ ....

. . . . .~-_v...... J

Ib]I . F IGURA 8.12 (0 ) Venl llna de d ioi logo de

simuli ICiOn. (b ) Vel ll il ni l d e d i~ lo g o d e p ar ar re no s d e

barndo,



• FICURA 8.I!1i C i r r u i t o R C e n p a ra le lo p a ra e l

q u e V( t ) s e v a a d et e m un ar , s u j e to a l a (Ql1dl(l()n

i n ic i a l > ' (0 ) = = 1 1 0•

C M 'iW lO 8 C 1R C U IT O S R L Y { ( ; Ce A s l c o s

grafica (Resistance = 1O, 100'y I 0 00 en este ca 0). Se elecciona un con-

junto de datos en particular realzandolo; e eleccionan los Ire en este

ejemplo, 10 que resulra en la salida Probe de [a figura 8.14.

Simple RLCircuil Tra"5f~"tSimu~.,). ~ @ ( g _ )I 1.CmA

n

du

c

t

II

r

R = 10 ohms

u O • .s m A

. .r

R 100 ohms

R ~ 1000 ohms

CA+-~--~~--~~--~~--~--~-r--~~--~~--ias 1CO"s

" 1(1.1)

The

• FIGURA 8.14 S a li d a d e P ro b e d e 105 i re s v a 'i o re ; d e r es s te o o a s,

i.Por que un valor mas grande de la constante de uernpo L/ R da origen a

una curva de respuesta que decae con mas uavidad? Se all alizara el efecro

d e c a da e le rn e nr o,

En tenninos de Ja constanre de tiempo r, se escribirfa irnplemente la

respuesra del circuito R L ell erie como

i(1) = loe-I/T

Un aumento de L permire un mayor almacenamiento de energta de la

rnisma corriente inicial , asl que esta energia mas grande requiere un tiempo

m as largo para que se d i ipe en la resis ten cia . De igual form a se aurnenraria

L/ Rill reducir R. En e te caso, la potencia que Auye hacia la res i tencia e

mellor para la misma corriente inicial: tambien en este caso e requiere un

tiempo mayor p ar a d is ip ar la e n er gf a a lm a c e na d a. Dicho e fe cro s e o bs er va

con elaridad en el resultado ~e slmulacion de Ia figura 8.14.

8 .l . C IRCU IlO RC SIN F UEN TE

Los circu itos que se basan en combinacione resi tencia-capacito r on ImL co -

rnunes que 'us analogo: resi tencia-inducror, La s principales razones consisten

en las menore perdidas que e generan en un apacitor Ilsico, el menor co to y

el heche de que el model maternauco imple concuerda mejor con eI compor-

tamieruo rea l del di positive. asi como su tam alia y peso r ne no re s (q ue son do

aspectos muy impcrtantes en las apllcaciones de c ir c u it o s i n te g ra do s) .

Se vern en qu e grade el analisis del circuito RC en paralelo (~oe ui en serie?)

qu e se rn ue: Ira en la figu ra 8 .15 co rresp on de < 11 el c ircu ito RL En el capacitor

seleccionado e upondra una nergfa almacenada inicial de

v(O) = V o



s E m 6 N B . 3 C i R C U ~ TO R C S IN F U E N T E

La corrierne total que sale del nodo de la parte superior deli esquema de cir-

cnito debe ser cera, por 1.0que se deberfa escribir

du I)

C-+-=Oc it R

La division entre C da como expresicndt' IJ

-+~=Odt RC

L a ec ua cio n 1ll3J tien e un a fo rm a familiar; m ie ntra s q ue la c om p ara cio n COIl

l a e c uac ion r 11

d i R-+-i=Odl L

muostra que Is sustituciou de i por l! y L/ R por RC da una eceacion identica a

la que sa considero antes .. A SI debe ser, pues a! circnito RC que se analizsra

ahora resuliael dual del eircuiro RL considerado primero, Dicha dualidad

obliga a que v(1) e ne l c ir cu ito RC e i(t) e n e l c ir cu it o R L t en g an e xp re si on e s

idem icas, s i lla r esis tenc ia de un c ircuito as igual al reciproco de Ia resistencia

del otro circuito y si L es nurnericamente igua l a C. En consecuencia, la respuesta

d e l c ir cu it o R L,

i ' ( / } =i(Ok-Rr/l. =loe-flr /I•

p erm ite e sc ribir d e in rn ed ia ro

11 (1 ) = v(O)e- I IRC' = IIoe-IIRC

para el circuito RC.

Suponiendo qu e se hubiese elegido Ia corriente i como la variable del cir-

cuito RC en vez de la tensidn (I, AJ aplicar 1(1ley de Kirchhoff de tension

se obtiene una ecuacion integral que se opone ala eeuacion diferencial. Sin em-bargo.al tamar la derivada del nempc de ambos lades de esta ecuaeion.

i di-+R- =0C dl

Y susu ruyendo ipo r 1 1 1 R '. s e o bu en e de n ue vo ~ aecuaci6n I J31 :

LI d»~+-=ORC dl

La ecuacion [I 5~ podrfa uulizarse como punto de partida, pero la aplicacion de

los principles de dualidad no habrta sido tan natural.

Se analizara ta naruraleza tlsica de Ia respuesta de tension de! circuito RC

segen se expresa por m ed io de 1 1 1 e cu ac io n [14 1. Enr =0 s e o bti en e 1 <1c nd lc io n

i n ic i al correc t a , y a m ed id a qu e Is e vue lv e lnfinita, la r en sio n tie nd e a c er o.B s reultimo resultado concuerda con .101dea de que si cualquier tension se conserve

en . e l c ap acito r, la en ergfa eoruinuarta flu ye nd o h ac ia In re siste nc ia y se d isi-

parts como calor. En consecuencia, Sf ? requiere una tension final nula. La

consiante de tiempo del circuito RC se determinarfa mediante las relaciones de

dualidad c on re sp ec to a la exp resio n de 1 :0c o ns ra n te d e uempo del circuno RL 0

[13]

[I]

[14J

[151



C A P iT U LO 8 C IR C U IT O S R L Y R C B A s l C O S

s610con observar el tiempo en el que la respuesta di minuy6 hasta 37% de su

valor inicial:t

-=1RC

por 1 0 que:

[16]

La familiaridad que se tiene con la exponencial negativa y la importancia de

la constante de tiempo r permite bosquejar con rapidez la curva de respuesta

(fig. 8.16). Valores mas grandes de RoC proporcionan mayores constantes de

tiempo y una disipaci6n mas lenta de la energfa almacenada. Una resistencia

__ mayor disipara una potencia mas pequefiacon una tension detenninada entre sus

extremos, par 10que requiere mayor tiempo para convertir la energfa almace-

nada en calor; una capacitancia mas grande almacena mayor energfa con una

tension determinada en ella, 10 que tambien en este caso requiere un tiempo

mayor para disipar su energfa inicial.

0.368 v o - -

o T

• FIGURA 8.16 ta t en s io n v e t ) e n e l c a p a ci to r d e l c i r cu i t o R C e n p a r a le l o

s e g r af i c a c om o u n a f u n c i6 n d e l t i e m p o . E I v a lo r i n ic ia l d e v ( t ) e s V o .

Encontrar la tension marcada ven t H 200 "s del circuito de lafigura 8.17a.

Para encontrar la tension que se pide, sera necesario dibujar y analizar dos

circuitos separados: uno antes de que se dispare el interruptor (figura 8.17b),

Yotro despues (figura 8.17c).

El unico proposito de analizar eI circuito de la figura 8.17b es obtener

una tensi6n inicial del capacitor; se supone que cualquier transitorio en ese

circuito desaparecio hace mucho tiempo y quedo un circuito de cd puro, Si

no existe ninguna corriente que circule a traves del capacitor 0 Iaresistencia

de 4 Q, entonces,

v(O) = 9 V [17]

Enseguida se enfoca la atencion en el circuito de la figura 8.17c, recono-

ciendo que

r =RC = (2+ 4)(10 x 10-6) =60 x 10-6 S

Por 1 0 tanto, a partir de la ecuacion [14],

vet) =v(O)e- I/RC = v(O)e-I/60xlO-6 [18]



S EC C iO N 8 .4 U NA P ER S P EC T IV A M A s G EN EA A I .

20 20

Hl

(b)

, . . : : 1 1

kl

• F IG UR A 8.11 (u ) C i r c l J I l o R C s i m p i e c on u n r n l~ r ru " l or d k s p ~ o a d o e [J eI t i e m p o ( '" IJ . (b ) a c i r c u i l O

an~ de I", 0 . ( e l E I a r( (l rt o dE'5pu~ d~ (!U~se dispilf i l e l i n t e m J p t o r y se quilillalu~nte· de 9 v .

La tension en et capacitor debe ser igual en ambos circuiros en l =0; en

n in gu na O IT ate nsio n a corriente se p on e dicha resrriccion. Sustituyendo la

ecuacion [17] en la [18].

vel) =90- 1/60K I!r' V

por 10 qu e u(200 x JO-6) "'" 32 J.l m V (m enos de 4% de su m axim o

valor) .

PRAC l ICA

8.4 Deterrni nar u{O) y u(2 ms) delcireuito de la figura 8.18.

Respuesta: 50 V.14.33 V.

8.4 UNA PERS!PECnVAMAs IGENERAL

Como se ha vista en los ejemplos 8.2 y 8.3. no resulta dificil trasladar los resul-

tados que se obruvieron para el circuito RL en serie a un circuito que comenga

cualquier rulrnero de resistencias y un inductor. De modo similar, se gcneraliaan

los resultados del circuito RC para un cireuiro concualquier uumero de resisten-

cias y un capacitor, lncluso es posible considerar circuiros que contengan fuentes

dependientes,

('ircuitos, RLgenerales

Como ejemplo, examiner el circuito que se i lustra en la Ilgura 8.19. La resisten-

ci a equivalence q ue e ! in du cto r enfrenta es

y por 10tanto 13constanre de tiempo vale

L:r = -~-

R"'l

• F IG URA B•.18

• F IG U R: AB .1 9 C ir c u i to s in f u e r n e q ue c on li e ne u n

i n du c to r y v a ~ ia s r es is re n c ia , Q U E Sf ' iln~lila I r n ' d l < l n l e

la d e t e r r m f l i l c i 6 1 l d e 1 0 c C l n s l < i n te d e " e r n p o T = = ! / R " " .

[191



Ta rnbi en se puede enunc ia r est o como

r=~,RTH

donde R TH es la resis tencia equivalente de Thevenin

" v is ta " par e l i nduc to r L.

Obser ve que f t ( O + ) e s s iempr e i gu al a f t ( O - ) .

Lo anter io r no es necesar iamente vel ido para l atens ion en e l incuc tor 0 para la tens ion 0 cornente

e n l a r e sis te nc ia , y a q ue p ue de n c amb ia r e n e l

t iempo cero.

C A PiT U LO 8 C I R C U I T O S R L Y R C s A s l C O S

Tambien se puede obscrvar que si varios inductores estan presentes en un cir-

cuito y pueden combinarse mediante arreglos en serie y/ o en paralelo, entonces

la ecuacion [19] puede generalizarse mas como

Leqr = - [20]

Reqdon de Leq representa la inductancia equivalente.

\\

Pequefias diferencias: distinci6n entre O C y 0 i

Si se regresa al circuito de la figura 8.19 y se sup one que alguna cantidad finita

de energfa e almacena en el inductor en t = 0, de tal forma que it. (0) 1 = O .

La corriente i i. en el inductor esta dada por

ii. = idO)e-tlr

asf que 10 anterior representa 10 que se podria llamar Ia soluci6n basica del

problema. Es muy probable que se necesite alguna otra corriente 0 tension

aparte de iL como la corriente i: en R 2 . Siempre se pueden aplicar las leyes de

Kirchhoff y Ia ley de Ohm a Ia parte resistiva del circuito sin ninguna dificultad,

pero la division de corriente proporciona la respuesta mas rapida en este circuito:

. R, [. (0) -t/r]l? = - IL e- RI + R2

Tambien e puede conocer el valor inicial de alguna corriente aparte de la del in-

ductor. En raz6n de que Lacorriente en una resistencia puede cambiar de manera

instantanea; se indicara el instante posterior a cualquier cambio que podrfa ocurrir

en t = 0 mediante el uso del simbolo 0+; en un lenguaje mas matematico, i, (0+)

es ellimite de la derecha de i, (r) a medida que t tiende a cero.' Por 1 0 tanto, si se

proporciona el valor inicial de 1 1 como i, (0+), entonces el valor inicial de iz es

. (0+) . (o+)R,12 =1, -

R2

A partir de tales valores, se obtiene el valor inicial necesario de iLeO):

idO+) = -[i,(0+) + i2(0+)] = - R , + R2 II(0+)R2

-

as! que la expresi6n de i2 se convierte en

. . (0+) R, -t/r12 =1, -e

R2

Se vera si se obtiene esta ultima expresion de modo mas directo. En razon de

que Ia corriente en el inductor decae de manera exponencial como e'!', toda

corriente que circula por el circuito debe seguir el mismo comportamiento fun-

cional. Lo anterior resulta claro al considerar la corriente en el inductor como

una fuente de corriente que se aplica a una red resisti va. Cada corriente y tension

en la red resistiva debe tener la rnisma dependencia de tiempo. Por 10 tanto, me-

diante estas ideas se puede expresar i2 como:

iz = Ae-'/r

\

donde

L

r=-Req

(I ) Obse rvar que s610 es una conveniencia de notacion. Cuando se contrapone con1=0+ 0 su compariera

r =0- en una ecuacion, simplememe se ernplea cl valor cere. La notacion pcrrnite diferenciar con claridad entre

los tiempos anterior y posterior al acontecimiemo, tal.como la apertura 0 cierre del interrupter, 0 en un surninistro

de potencia que se activa 0 desacriva.



S E C C I 6 N 8. 4 U N A P E R S P E C TIV A M A s G E N E R A L

YA debe determinarse a partir del conocimiento del valor inicial de iz . Puesto

que se conoce i 1(0+), la tension a traves de R I Y de R2 se determina como

10 que nos conduce a

. (0+) . (0+) R I12 = II R2

Por 10 tanto,

. () . (0+) R I -I/rI? t =11 -e- R 2

Una secuencia similar de pasos proporcionara una solucion rapida a un gran

mimero de problemas. Se reconoce prirnero la dependencia del tiempo de la

respuesta como un decaimiento exponencial, se determina la con stante de tiernpo

apropiada combinando re i tencias, se escribe la solucion con una amplitud

desconocida y luego se determina la amplitud a partir de una condici6n inicial.

Esta misma tecnica se aplica a cualquier circuito can un inductor y cualquierruirnero de resistencias, as! como a circuitos especiales que contengan dos 0 rna

inductores, y tambien dos 0 mas resistencias que se puedan sirnplificar mediante

la combinaci6n de resistencias 0 inductancias en un inductor y en una resistencia.

¥C" '~~ ' . ~J"\~ "__, EJEMPlO 8.4

Determinar tanto il como iL del circuito de la figura 8 .2Oa para t > O.

3mH 3 mH

(a) (b)

• FIGURA 8.10 (0) C 1 rc u it o c o n r es is te n c ia s e in d u c to re s m u l t ip le s . (b ) D e s pu e s d e t=0 , e l c ir c u i t o s e s im p li f ic .J . J u n a r e ss te n d a e qu iv a le n t e d e 1 1 0Q e n s e r i e c on

L eq =2 .2 rn l l.

Despues de t = 0, cuando la fuente de tensi6n se desconecta como se mues-

tra en la figura 8.20b, se calcula con facilidad una inductancia equivalente,

2x3Leg = 2 + 3 + 1 = 2,2 mH

una resistencia equivalente, en serie can la inductancia equivalente,

90(60 + 120)Req = 90+ 180 + 50 = 110 r2

(Con tinaa en fa s iguien te pdg ina)



lA 1= [)

• FIGURA B.21

( A P iT h i L O 8 C lR C U IT O S R L Y R C B A s lc O S

y una. COil tante de tiernpo

r __ L o _ 'q _ 2.2 x 10-3 10

_ R C " q _ I 1 0 = - f l . S

De tal m odo. 1<1orma d e I n r esp ue sta n atu ra l es K e -,0 OiXII , donde K es una

consiante desconocida, Si se considera al circuito justa antes de la aperturedel interruptor (f ee 0-) it = J 8/50 A. Enraz6n de que i!. (0+) = idO-),

se abe que i/ . = 18/50 A 0 360 rnA en t = 0+, por 1 0 que

. { 360 mA, , <0II. = 3601! -5{J 0001 rnA . I 2 :. ( )

o existe ninguna restriccion sabre i, para que cambie iestantaneamente

en r = 0, po r 10 que su valor e ll I ; ; ; ;; :0- (18/90 A I)200 rnA) 1 1 0es relevame

para encontrar i I en I > O . Ell lugar de eso, se debe enccntrar i(O+} a craves

del conocimiento de it(0+). Mediante Is divi .si6n de corriente. se tiene

Porconsiguiente,

. {200 mA,'1 = _240e-s u O O O , rnA,

1<0

I?,O

Se puede verificar I:lI an iili sis, mediante PSpice y el modele de inrerrupror

Sw_tOpcn aunquc se debe recorda!' que, en realidad. csta parte on solamenre

dos valore de resistencias: LlDO correspondierne a ante de que el iruerruptor 5e

active en el tiernpo especificado (el valor por omi i 6 1 l e de 10 mQ) y el otro es

despues de que el interrupter e active el valor por omisi6n es de I MQl. Si la

resistencia equivalente del re to del circuito es comparable con cualquiera de los

valores, e to' deberan editar e mediante doble clic en el Imbolo del interrup-

tor del diagrama del circuito. Observar que tambien hay un modele de interrupror

qu e c ie rra en un u e rn p o e sp e cf fi co : Sw_ tC l os c.

PRAcTICA

8.5 Para I= 0.15 en el circu ito de la figura 8,21 . e ncoatrar el valor de (0)

0 , -1 . H it: (b) i; (e l I'!.

R es pu es ta : 0 .7 56 A ; 0; 1.2 44 A .

Ahora se considerarala tarea de determiner 101espue ta natural de cualquier

circuito que pueda repre entarse mediante un inductor equivaleme en serie

COil una resistencia equivalente, Un circuito qlle contenga varias resistencias e

inductores 110 siempre posee una forma que permite que ias resistencias 0 los ill'

d uc to re s s a c omb in en ell e lemen to s e qu iv a le nr es i nd iv id ua te s. En tales casos, no

ha y un solo terrnino exponencial negative 0 una ala c oa sta ru e d e tie rn po a so cia -

dos con el circuiro, sino que habra, en general, varies terminc: expcnenciale

negatives. cuyo ruirnero sera igual OIlde inductores que quedan luego de haber



S E CC I( )N 8 .4 U N A P E R S P E C T IV AM A s G E N E R A L

efectuado todas las combinaciones posibles de inductore . En el capitulo 9 se es-

tudia esta situacion de manera mas detallada.

Circuitos RCgenerales

Muchos de los circuitos RC para los que se deseana encontrar una respuesta na-

tural contienen mas de una sola resistencia y un solo capacitor. Del mismo mo-

do en que se hizo can los circuitos RL, se analizan primero los casos en los que

el circuito dado puede reducirse a un circuito equivalente consistente en s610 una

resistencia y un capacitor.

Suponga primero que se abordara un circuito que nada mas contiene un ca-

pacitor, pero un niimero cualquiera de resistencias. Se puede sustituir la red re-

sisti va de dos terminales que se encuentra en las terminales del capacitor por una

resistencia equivalente, y luego se podria escribir de inmediato la expresion de

la tensi6n del capacitor. En dichas circunstancias, el circuito tiene una constante

de tiempo efectiva dada por

T = RegC

donde Reg es la resistencia equivalente de la red. Una perspectiva altema es que

Reg sea en realidad la resistencia equivalente de Thevenin "vista" pOTel capacitor.

Si el circuito tiene mas de un capacitor, pero puede reemplazarse de algunaforma mediante combinaciones en serie y/o en paralelo con una capacitancia

Ceq, entonces el circuito tendra una constante de tiernpo efectiva dada por

r = RCeq

expresandose eI caso general como,

t: = ReqCeg

Sin embargo, vale la pena mencionar que los capacitores en paralelo sust ituidos

por una capacitancia equivalente tendrfan que contar con condiciones iniciales

identicas,

-

Determinar v(Oc) e i1(OC) del circuito de la figura 8.22a si v(Oi) H Yo.

(a) (b)

• FIGURA 8.22 (a ) C i rc u it o q u e c o n ti en e u n c a p ac i t o r y v a ri a s

r e s i s t e n o a s . (b) L a s r e si s te n ci as s e s u st it uy e n p o r u n a s o la

r es is te n c i a e qu iv a le n te ; l a c o n s t an te d e t ie m p o e s a h ar a s im p le m e n te

r = R e q C .

Primero se simplifica el circuito de Ia figura 8.22a como se muestra en la

figura 8.22b, 10que perrnite escribir

v = Voe-r/R,qC

{Continua ell fa siguiente ptigina)



cAPlru La 6 ( I R (U ITQS R L V R C BAslcos

donde

'j

Toda corrierne y toda tens ion en In pane resisriva de Is red debe tener la

f o rm a Ae-rlfl~C. d ond eA e s e l valor ce rr es poad le n te a la s condiciones ini-chiles de csa corriente 0 tens ion. As], la corr ienre ell R I;por ejemplo, se ex-

presarfa como :

donde

r = ( R 1 + RI R 3 ) C- RI + Rl '

e i(0+) queda por determinarse 11partir de III condicion inicial. Cualquier

corriente que fluya en el circuuo cuando I= 0+ debe provenir delcapacitor,

Por lctanto, ya que v no puede cambial' de f orm a i ns ram a ne a ,

u«(J+) = l ' C O - ) = 11 0 Y

il(0+) = V o , R 3

R2 +R,IR:J(RI + R 3) RI + R3

PRAcnCA

8,6 Calcular los valores de l ie Yde I)" del circuito dela figura 8..23 paraI

igual a; (a) 0-: (b) 0+; {el 1.3 ms .

• FU'URA8.1l

Respuesta: 100 V.38.4 V: 100 v, 25.6 V: 59.5 V. ~5.22 v.

E J me t od a puede aplicarse a c ir cu i to s que cueruen con un elerneruo de a lma-

cenarn ie ruo de energfa Y tam bien con una 0m ils fuen ies depend iem es, En d i-

chos cases, se puedeescribir una ecuacidn KCL a .KVLapropiada junto con

ctralquiera otra ecuacien de soporte que sea necesaria, reducir todo a una sola

ecuacion diferencial y exrraer la ecuacion caracterfstiea para enconrrar Ia cons-

tanre de tiernpo. De forma alrernativa, se puede empezar a bUSCIl[ 111resisrencia

equivaleme deThevenin de 1 0 8 red conecrada aleapaciror 0 inductor y utillzarla

en el calculo de la constanre de tiernpo RLoRC apropiada, a meum; que Ia fuen-te d cp en die nre e s~ 6 c on tr ola da per u na t en si on 0 corriente asociada call e l e le -

menlo de almacenamiento dieenergla, en cuyo <:a50 IlO podr::i utilizarse el meto-

do de Thevenin. En eJ ejemplo siguiente se estudia esta cuesnon can mayor

deiulte.



S E C C IO N 8 .4 U N A P E R S P E C T IV AM A s G E N E R A L

. EJEMPLO 8.6

En el circuito de la figura 8.24a, encontrar la tension marcada vc para

t > 0 si vcW ) H 2 V.

100

lO a

l,uF

• FIGURA 8.24 (0) C i r c u i t o R C s im p le q u e c o n ti e n e u n a f u e n te d e p e n d i e n te n o c o n tr o la d a p o r

u n a t en s i6 n 0 c o rr ie n te d e c a p a ci to r . (b) C ir c u it o p a ra e n c o n tr a r e l e q u iv a l e n t e d e T h e v e n i n d e l a

r e d c o n e ct ad a a l c a p a ci to r .

La fuente dependiente no esta control ada par una tension 0 corriente de ca-

pacitor, par 1 0 que se puede comenzar par buscar el equivalente de

Thevenin de la red a la izquierda del capacitor. Si se conecta una fuente de

referencia de 1A , como en la figura 8.24b,

donde

Mediante un poco de algebra se puede ver que Vx =-60Y, por 1 0 que

la red tiene una resistencia equivalente de Thevenin de -60Q (inusual,

pero no imposible cuando se trabaja con una fuente dependiente). Por 10

tanto, el circuito tiene una con stante de tiempo negativa

r = -60(1 x 10-6) = -60 I 1 - S

Por 10 tanto, la tension en el capacitor es,

vcCt) =Ae,/60x 10-6 Y

donde A = vcCO+) = vc(O-) = 2 Y. Porende,

vcC t ) =e,/60x 10-6Y [21]

10 cual, sorprendentemente, es inestable: crece de manera exponencial con

el tiernpo. Esto no puede continuar de forma indefinida; uno 0mas elemen-

tos del circuito fallaran en un momento u otro.

De manera alternativa, se podrfa e cribir una ecuacion KCL simple para

el nodo superior de la figura 8.24a

(

6 d V C )Vc = 30 LSil - 10- dt [22]

donde. VcII= 30

[23]

(Continua en la siguiente pdgina)



In

+

1'1

• FIGURA 8.25 Circu it o del p roblema de

p ra di ca 8 .7 .

2 m F

C A P iT U L O 8 C IR C U IT O S R L Y R C S A s I C O S

Sustituyendo la ecuacion [23] en la [22] y con un poco de algebra, se ob-

tiene

dve

dt

I-::c:------=----;-VC =060 x 10-6

la cual tiene como ecuaci6n caracteristica1

s - =060 X 10-6

Par 10 tanto,

1

s = - : C 6 - = - 0 - x - - - : l - : C O - - ~ 6

y, asf

vcCt) = Aet/60XIO-6 V

como se calcul6 con anterioridad. La sustituci6n de A = 1!c(O+) = 2

da como resultado la ecuaci6n [21], que es la expresi6n del calculo de la

tensi6n del capacitor para t >O.

PRAcTICA

8. 7 (a) Considerando el circuito de la figura 8.25, determinar la tensi6n

1!c(r) para t > 0 si Vc (0-) = 11V. (b) i,Es "estable" este circuito?

Respuesta: (a) vcCr) =11e-2x 10·r/3 V, t >O. (b) Sf, decae (exponencialmente) en lugar

de crecer conforme transcurre el tiempo.

Algunos circuitos que contienen varios resistencias y capacitores se podrfan

sustituir por un circuito equivalente que contenga s610una resistencia y un ca-

pacitor; se requiere que el circuito original pueda descomponerse en dos partes,

una que incluya todas las resistencias y la otra todos los capacitores, de modo

que ambas partes s610se conecten mediante dos conductores ideales. Sin em-bargo, este par 10general no es el caso, asf que can mucha probabilidad se re-

queriran las constantes de tiempo multiples, a fin de describir circuitos con

varias resistencias y capacitores.

Como comentario, se debe ser precavido ante ciertas situaciones que im-

pliquen s6lo elementos ideales que se conectan en conjunto de manera re-

pentina. Por ejemplo, es posible imaginar que se conectan dos capacitores

ideales en serie que tengan tensiones desiguales previas a f = O. La anteriorplantea un problema al usar modele maternatico de un capacitor ideal; sin em-

bargo, los capacitores reales tienen resistencias asociadas, a traves de las cuales

se disipa energfa.

8.5 LA FUNCI6N ESCAL6N UNITARIO

Se ha estudiado la repuesta de los circuitos RL y RC cuando no se presentan

fuentes 0 funciones forzadas; se denomina respuesta natural debido a que su

forma depende 610de la naturaleza del circuito. La raz6n de que se obtenga al-

guna respuesta surge de la presencia de almacenarniento de energfa inicial dentro



S E C C IO N 8 .5 L A F U N C I 6 N E S CA L6 N U N I T AR IO

de los elementos inductivos 0 capacitivos en el circuito, En algunos casos se

pueden encontrar circuitos que contienen fuentes e interruptores; se inforrno que

ciertas operaciones de conmutacion se efectuaronen t = a con el fin de eliminartodas las fuentes del circuito, al tiempo que e dejan cantidades de energfa alma-

cenadas aqui y alia. En otras palabras, se han resuelto problemas en los que las

fuentes de energfa se eliminan en forma repentina del circuito; se debe considerarahora el tipo de respuesta que se producira cuando las fuentes de energia se

apliquen de forma subita a un circuito.

El enfoque sera en la respuesta que aparece cuando las fuentes de energfa que

se aplican de repente son fuentes de cd. Puesto que al parecer todo dispositivo

electrico se energiza al menos una vez y debido a que la mayorfa se activa y de-

sactiva muchas veces en el curso de su vida util, el estudio se aplica a muchos

casos practices. Aun cuando por el momenta se restringe a fuentes de cd, se pre-

sentan innumerables casos en los que dichos ejemplos mas simples correspon-

den al funcionamiento de dispositivos practices. Por ejemplo, el primer circuito

que se analizara podrfa representar la forrnacion de la corriente cuando se arranca

un motor de cd. La generacion y el uso de los pulsos de tension rectangulares

necesarios para representar un nurnero 0 un comando en un microprocesador

proporciona much os ejemplos en el campo de la circuiteria electr6nica 0 tran-

sistorizada ..Se presentan circuitos similares en los circuito de sincronizaci6n y

banido de los receptores de televisi6n, en sistemas de cornunicacion que uti-

lizan modulacion por pulsos y en los sistemas de radar, por nombrar unos cuan-

tos ejemplos,

Se ha hablado de la "aplicacion repentina" de una fuente de energia, y por es-

ta frase se entiende que su aplicacion es en el tiempo cero.? Por 10 tanto, la ope-

racion de un interruptor en sene con una bateria es equivalente a la funcion for-

zada que es nula hasta eJ instanteen que se cierra el interruptor, y es igual de ah f

en adelante ala tension de la bateria. La funcion forzada tiene un rompimiento,

o discontinuidad, en el instante en el que se cierra el interruptor. Ciertas funcio-

nes forzadas especiale que on discontinuas 0 tienen derivadas discontinuas se

denominanfunciones singulares, las mas importantes de las cuales son lafun-

cion escalon unitario y lafuncion impulso unitario.

Se define la funcion forzada de escalon unitario como una funcion del tiempoque es nula para todos los vaLores de su argumento que son menores que cera

y que es la unidad para todos los valores positivos de su argumento. Sea ( t - to)

el argumento y repre entemo La funci6n de e calon unitario por u, entonces

u (t - to ) debe ser cero para todos los valores de t menores que to , Y sera la

unidad para todos los valores de t mayores que to . En t = to , u(t - to ) cambia en

forma abrupta desde 0 hasta 1. Su valor en t = to no esta definido, pero se

conoce en todos los instantes de tiempo que estan arbitrariamente cerca de

t = to . A menudo se indica 10 anterior escribiendo uCto) = 0 Y u(t(_i) = 1. La

definicion maternatica concisa de la funci6n forzada de escalon unitario es

uC t - to) = {~t < to

t > to

y la funcion se muestra de manera grafica en la figura 8.26. Observar que una

recta vertical de longitud unitaria se presenta en t = to. A pesar de que este "au-

menta" no es, de manera estricta, una parte de la definicion del escalon unitario,

suele mostrarse en cada dibujo.

l2~Desde luego, esto no es ffsicamente posible. Sin embargo, si es muy corra la escala de riempo en laeual ocurre

un suceso de este ripe comparada con las dernas escalas de t iempo relevantes que describen la operacion del cir-

cuiro, eI sef talarnientc aludido es mas 0 rnenos cierto, as! como matematicamente conveniente.

1I(t-(0)

o '0

• F IG URA 8.26 F u n ci6 n f o rz ad a d e e s c a l6 n

u r u t a n o u(t - to ).



1 1 ( 1 )

• FIGURA 8.17 L a f u nc io n f o rz a d a d e e s ca lo n

u n i t a r i o u(t) s e m u es tr a c om o u n a f u n c io n d e t.

C A P iT U LO 8 C lR C U IT O S R L Y R C s A s l C O S

Se observa tarnbien que el escal6n unitario no necesita ser una funci6n del

tiempo. Por ejemplo, u (x - xo ) podria usarse para denotar una funci6n de es-

cal6n unitario, donde x podria ser una distancia en metro , pOTejemplo, 0 una

frecuencia.

A menudo en el analisis de circuitos una discontinuidad 0 una accion de con-

mutacion ocurre en un instante, el cual se define como t = O.En e e caso, ento = 0, se representa la funci6n forzada de escal6n unitario correspondiente me-diante u(t - 0),0 en forma mas simple u(t). Esto se ilustra en la figura 8.27. Asi,

u(t) = {~t<O

1>0

La funci6n forzada de escal6n unitario es en sf rnisma adimensional. Si se

desea representar una tensi6n, se requiere multiplicar u(t - to) por alguna ten-

sion constante, como 5 V. De tal modo, vet) = 5u(t - 0.2) V constituye una

fuente de tension ideal que e cero ante de I= 0.2 s y una constante de 5 Vdespues de t =0.2 s.La funcion forzada se muestra en la figura 8.28a conectada

a una red general.

Fuentes fisicas y la funcion de escalon unitarioAhora es necesario preguntarse de modo logico cual fuente ffsica es la equiva-

lente a esta funcion forzada discontinua. Por equivalente, se entiende simplemente

que las caractensticas de tensi6n-corriente de las dos redes son identicas. En

la fucnte de tension de escal6n de Ia figura 8.28a, la caractenstica de tension-

corriente es bastante simple: la tension escera antes de t = 0.2 s,de 5V despuesde t =0.2 s, y la corriente puede tener cualquier valor (finito) en cualquier in-

tervalo de tiempo. Un primer pensamiento podrfa llevar a intentar un equiva-

lente como el que se muestra en la figura 8.28b, una fuente de cd de 5 V en serie

con un interruptor que se cierra en t = 0.2 s. Sin embargo, no es equivalente

para t < 0.2 s, debido a que la tensi6n entre la baterfa y el interruptor no esta es-

pecificada por completo en dicho intervalo. La fuente "equivalente" es un cir-

cuito abierto y la tension en ella quizas sea cualquiera. Despues de I= 0.2 s, las

redes son equivalentes y si es el iinico intervalo que interesa, y si las corrientcs

iniciales que fluyen de las dos redes son identicas en t = 0.2 s,entonces la figura8.28b se convierte en un equivalente util de la figura 8.28a.

Con el fin de obtener un equivalente exacto de la funcion forzada de escalon

unitario, se podrfa instalar un interruptor de dos vias y un polo.Antes de t = 0.2 s,

el interruptor sirve para asegurar la tensi6n cera entre las terrninales de entrada

de Iared general. Despues deI= 0.2 s,el interruptor se cierra para proporcionaruna tension de entrada constante de 5 V. En t = 0.2 s, la tension es indeterrni-

nada (como en la funci6n forzada de escalon), y la bateria se encuentra por el

t '" 0.2 s

Red

general

5V

Red

general

Red

general

C a ) (b) (e )

• FIGURA 8.18 (a ) U n a furr ion f o rz ad a d e e sc a l o n d e te ns io n s e m u es tr a c om o la f u e n te d e u n a r e d

g e n e r a l . (b ) U n c ir c u i t o s im p le q ue a p e s a r d e q ue n o e s e l e qu iv a l e n t e d e l i n c i s o (a ) s e p o dr ia u ti l i z e r e n

m u c h o s c a s o s c om o s u e qu iv a l e n t e . ( r ) E q u i v a l e n t e e xa rt o d e l i n c i s o (a).



5 IE C C IO N 8 .5 L A F U N O O N E S C A L O N U N I J A R I O

mom e nt a e n c o rt oc ir cu it (jpor s ue rr e s e S,fa t ra ba ja nd o c on m o d elo s maremari-

CO' !). E l e qu i v ale ru e e xa cto d e la fig ura 8.28a s e ilu str a e n 1 3 fig ura S.28c .

L a figu ra 8 .29 a p re se nta u na fu nc io n fo rza da d e c orrie me d e e sc alo n qu e a c-

tlva a un a red gen era l. S i se in ten ta u titu ir e s re c ircu ito po r u na fuen te d e cd en

p ara le lo c an u n in te rru pter (qu e se ab re e n I = 10). se d ebe re co no ce r q ue 10. cir-

cui tos SOIl e qu iv ale ru es d esp ue s d e f ='0, p ero q ue l i a s r es pu es ta s p o sr er io re s a

e se in sta nte so n se me ja nte s s6 10 si la s c on dic io ne s in ie ia les re su lta n igu ale s. E l

irc uito d e la figura &.29b irn plic a q ue n o e xis te te nsio n e ntre las ie rm in ale s d e

la fu en te d e c orrie nte d ura nte I < 10- Esre no e e l caso de l c ircu ito de la figu ra

8.29a. S in e mba rg o, a rn en ud o se p od rfa n u sa f lo s c irc uito s d e la s figu ra s 8.29a

y b d e m a ne ra in dis tin ta , E 1 e qu iv ale nte e xa cto d e la fig ura 8.29u e el d ua l d e la

figura 8.28c; DO e s p o si bl e construir e l eq uiva le nte e xac to d e la figura 8 .29b solo

con las func iones forzadas de escalon de corr iente y de ten i6n.3

La funcien pulse rectangular

A lg un as f un ci on es fo rz ad as mu:y u t il e 'S s e ob ti e n en med ian te la m a nip ula ci6 n d e

la fu nc i6 n fo rza da d e e sc alo n u nita rio , S e d efin in 'i u n p ulse d e te nsio n r ec ta ng u-

l ar m e di an te l as s ig ui en te s c on dic io ne s;

I0 I< to

U (I -to):::: 1 1 , 0 ° to < I< Ii

1 :> II

EI puL 0 se dibuja en la figura 8.30. i.E factible representarto en termino

d e la fu nc io n lorzada d e e sc alo n u nita rio ? S e a na liza rs la d ife re nc ia d e .108d o'

e sc ato ne s u nita rio s, 1,1(/-10)-1/(1 -I]). La d ife renc ia en tre las do s fu n -

C lones e eaton que se m uestran en la figura 8 .31 a es un pu lse rec tangu la r. La

fuente Vou(l-lol - Vou(/ -It> um in istra la ten ion de eada qu e e in d ica ell

In figura 8.31IJ .

(a» (b)

• FICURA 8.31 (a ) E s c a lo n e s u n i l li ri o s u(/ - to ) Y -u(t - 1 ' , ) , (b) F u en te q ue

p lO d u (e ~ l p u l so d e l e n s l6 n r e d :i ln g u la r d e l a f ig L J i< l B JO .

S i se tiene una F u e nt e d e Lerl~i611s eno ida l V",. en WI qu e se c on ecta d e rn an era

repen una a un a re d en I = to , e nto nc es u na fu nc io n 'o rza da d e te n ic n apropiada

ser ia U( / ) = V",ll(1 -Io)senwi. S i se d ese a re pre e ma ru n e sta llid o d e en ergfa d el

tr an srn is or d e u n a uto m ov il c on tro l a do p or ra dio q ue o pe ra a 4 7 MH z (2 95 M ra d/s ),

e podr fa de ac riva r la f ue rne ' oo ida l de 70 ns de pu e m e dia nte u na .e gu nd a fu n-

c ion fo rza da d e c eaton unirario," Por 1 0 ta nto , e l p ulse d e ICIlIsi6n es

V(l) = V ,, ,[U (I - til)-u(f -II) - 7 x 1O -'8 )] se n{2 95 x L Olil)

E , t a I un ci on f rzada e d ibu ja en la figura 8 .32 .

(3) El tljWI'rucnld I lU « I ~ d iO l Jj nr se s ! s e CUllO'-"<, In c orn en tc qu e c lrc ula p or sl rmerruptur a nte s d e I = II.

14)..t\J parecer, IIno ec rnuy dil!:-.1roen 10$corureles de este 3111om6vil. ,lUn t i . e r n ; p o . de reacc ldn de U. I,~?

Re d

general

(b)

'. F IGURA 8.29 (a) FUlloon IOlZadade &ilIon

d e c cr n en te s Q u e s e < p li c a a u n a r e d g en N a l ,

(b) C ir r u it o s im p le q u e, a lJ nq ue n o e s . . 1

e q u iv a l e~ l e e x < l ct od e l i n c i s e (0), s e p o d ri a e m p le a r

c om o s o e q u i ll a l en le e n m u d J o s c a se s ,

o

• F IC iIU R. A 8 .3 0 F u n c i¢ n l or z ad a Que1 ! 3U11 i ilt~

( p u ls o d e tension r e c ta n g u l a r) .



(II)

ib J

• F IGURA 8.3:5 (0 ) £ 1 cirmil(l dado. (b ) Cir,uiUl

e q U W d lente que p o s e e I ~ ms rna respuese 1 (1 J por"

cua lq l lie r t iempo.

I ( A P . l T U l O a C I R C U I T O S R l. Y R C B . A s I C O S

I I F IG URA B . 12 . P ul so d e r ad io lr ew en aa d e 4 7 M H l, o E S c ri to per

v(l) = V", [u(t - r ;J - u(l-t, ~ 7 x 10-1)1 sen(295 X liY').

PRACTIC.A

8.8 Evaluar 10siguienre ell l' = 0.8: (a) 3rl{t) - 2rI{-t) + D.Su(l -I};

(b) 1411(t) ]II(-I) ; (c) 2 (1(1 ) S en1T1.

Respues ta : as , 0 ; 1 .1 76 .

8..6 ACCIONAMI :ENTO DE C IRC .uITOS R i

COil el nivel de ccnocimiento adquirido hasta ahora se puede someter una red

simple a la aplicacion repenuna de una Fuente de cd, lEIcircuito esta compuesro

por una baterfa cuya tension es V oen serie con u n in te rru pte r, u na resistenciax,

y un inductor L. EJ inrerruptor se cierra en 1 =O. como .5C indica en el esquema

del circuito de la figura 8.33(/. Resul ia evldente qu e la corriente ;(1) es nula ames

de 1=0, en consecuencia, se puede sustituir la barerfa y el interrupter por una

fu nc io n fo rza da d e e sc alo n d e te ns io n VOII(t), que n o p ro du ce tam po co respuesta

antes de I= 0. Despues de I= 0, los des circuiios son identicos. Por consiguiente,

s e b us c a L a c or ri en te i(f) en el ci.rC'L!~lO d e la F ig ura 8.330 -0 en e l c ir c ui to e qu iva -

len te de la f lg llm . 8.33b.

S e d e ie rm in a r a i(l) e n e st e t ie m po cser ib iendo In ecuac ion de circui to apeopiada

y resolviendola despues por separacion de variables e inregracion. Luego de que

s e o bt en ga I n r es pu es ta "j s e i n ve s ti gu en las dos parte s. de la s que se co rnpone , severa que bay un significado fisko de cada uno de ambos terminos. Con lin en-

tendiruiemo mas in tu lrivo d e la fo rm a e n qu e se origina cada ter rnino, se podran

o bte ne r so lu eio ne s m as rapidas y de mayor significado paraeada problema

que irnplique la aplicacion repentina de cualquier lucnte. Se procedera can el

m e todo de so luciou m a s fo rm a l.

Al aplicar la ley de Kirchhoffde tension al cireuiao de la figura 8.33b, se uene

IiiR i + L~ = Vou(t )

dl

Puesto que la funci6n fo rzada de escalon unitar io es discontinue en' =O.se

considerara prirnero la solucion rara i < 0 y luego para ( > 0 La apl icacion de

rension cero obliga a una respuesta cero, puesro que I= -00. por lo que

iel)= a I < 0

En el tiernpo posirivo, sin embargo. 1 1 ( 1 ) es uniiaria y se deb!': resolver Ia

eeuacion

eli

R i + L dt = Va 1 > - 0



S E C C I 6 N 8 .6 A C C IO N AM I E N TO D E C IR C U IT O S R L

Las variables se separan mediante pasos algebraicos simples, que dan como

resultado

Ldi

Vo - R i

Ycada lado puede integrarse en forma directa:

= dt

L--In(Vo - Ri) = t +k

R

Para evaluar k, debe referirse a una condici6n inicial, Antes de t = 0, i (t ) es

cero, y por ella i0-) = O.Puesto que no se puede cambiar la corriente en un in-

ductor pOI una cantidad finita en el tiempo cero sin que se asocie con una tension

infinita, se debe tener i (0+) = O.Dejando i = 0 en t = 0, se obtiene

L--lnVo =k

R

y, por 10 tanto:

L-- [lneVa - Ri) -In Vo l = tR

Reordenando, se tiene

Vo - Ri__:__ =«:"!':

Vo

o sea

. Vo Vo -RI/L1=- --e

R Rt>O

Asi, una expresion de la respuesta valida para cualquier t seria

i = (; - ; e-R1/L) u(t)

Procedimiento directo

Esta es la solucion deseada, pero no se obtuvo de Ia forma mas simple. Para esta-

blecer un procedimiento mas directo, se tratara de interpretar los dos terminos

que aparecen en la ecuaci6n [25]. El termino exponencial tiene la forma funcio-

nal de la respuesta natural del circuito RL ; es una exponencial negativa, tiende a

cero cuando aumenta el tiempo y se caracteriza por la constante de tiempo L/ R.

De esta rnanera, la forma funcional de esta parte(de la respuesta resulta identica a

la que se obtuvo en el circuito sin fuente. Sin embargo. la amplitud del termino

exponencial depende de la tension de la fuente Vo . Se podria generalizar entonces

que la respuesta sera la suma de dos terminos, donde uno de ellos tiene una for-

ma funcional identica a la de la respuesta sin fuente, pero cuenta con una ampli-

tud que depende de la funcion forzada. Pero, (,que pasa con el otro termino?La ecuaci6n [25] incluye tambien un termino constante, Vol R. i,Por que se

presenta? La respuesta es simple: la respuesta natural tiende a cero cuando la

energfa se disipa de manera gradual, pero la respuesta total no tiende a cero. Ala

larga, el circuito se comporta como una resistencia y un inductor en serie con

una batena. Puesto que el inductor funciona como un cortocircuito para la-cd, la

unica corriente que circula en este caso es V ol R . Dicha corriente es una parte de

[24]

[25]



C AP iT UL O 8 C lR CU IT OS R L Y R C B A s l C O S

' _

la respuesta que se atribuye de manera directa a la funcion forzada y se conocera

con el nombre de respuesta forrada. Esta es la respuesta que se presenta durante

mucho tiempo despues de que se cierra el interruptor.

La respuesta completa se compone de dos partes: la respuesta natural y la

forzada La primera es una caracterfstica del circuito y no de las fuentes. Su

forma se podrfa encontrar considerando el circuito sin fuente y tiene una ampli-

tud que depende de la amplitud inicial de la fuente y del almacenamiento deenergla inicial. La respuesta forzada tiene las caracteristicas de la funcion

forzada; se determina al considerar que todos los interruptores se cerraron desde

hace mucho tiempo. En razon de que por ahora interesan s610 los interruptores y

las fuentes de cd, la respuesta forzada es meramente la solucion de un problema

de circuito de cd.

ill) I Kfl

","- 3) V00 mH

• F IC URA 8 .3 4 C irc urto R L s imp le cont ro lado par

una func i6n fo rzada de esca lon de tens ion .

En el circuito de la figura 8.34, encontrar i(t) para t HI, 3 i,3c , Y

100 "s despues de que el valor de la fuente haya cambiado.

Despues de que ha transcurrido un tiempo considerable des de que los transi-

torios desaparecieron (t ~ (0), el circuito es un simple circuito de cdcontrolado por una fuente de tension de 12 V. El inductor aparenta ser

un cortocircuito, por 10que

12i(oo) = 1000 = 12 rnA

i,Que significa i (3-)7 Esto es simplemente una conveniencia de notaci6n

para indicar el instante antes de que la fuente de tension cambie de valor.

Para t < 3, uC t - 3) = O.Por ende, tambien, i (3-) = O.

En t = 3+, la funci6n forzada 12u(t - 3) =12 V. Sin embargo, debido a

que la corriente que circula por el inductor no puede modificarse en un

tiempo cero, i(3+) = i(3-) = O.

EI metodo mas directo para el analisis del circuito en I > 3 s es reescribir

la ecuacion [25] como

i(t') = (; - ~e-R"IL)U(t')

y observar que esta ecuacion se aplique al circuito tarnbien si se corre el eje

del tiempo de tal forma que .

t' = t - 3

Por ende, con VoiR = 12 rnA y RI L = 20000 S-I,

i(t -3) = (12_12e-20OOO(,-3))u(t -3) rnA [26]

que puede escribirse de una manera mas simple como

it) = (12 - 12e -20000(1-3)) u (t - 3) rn A [27]

puesto que la funcion impulso unitario obliga a un valor de cero en t < 3,

como se necesitaba. Sustituyendo t = 3.0001 sen la ecuaci6n [26] 0 [27],

se puede observar que i= 10.38 rnA en un tiempo igual a 100 us despuesde que haya cambiado el valor de la fuente.



S EC C IO N 8 .7 R ES PU ES TA S N A TU R A l Y F OR Z AD A

PRAcnCA

8 .9 La Fuente de ten i6n 60 - 4Ou(t) V esta en serie con u na resisrenc ia de

10 Q Y U1 1 inductor de 50 rnll. D eterm inar las m a gn itu de s d e la eorriente y la

tel1lsion el l el ind ucto r en u n tiem po I i gu al a : tal 0- ; (b) 0+ ; (c) 00 ; (d) 3 r ns ,

Re puesur 6 A . 0 V : 6 A , 40 V ; 2 A , 0 V: 4 .20 A , 22 ..0 V.

Desar ro llo de un entend im ien1 i: o in 1 tu iti vo

La razon de la dos respue ta , forzada y natural, quiza se yea a partir de argu-

m em o s ffs ic os . S e s abe que, a la la rga , e l c ircu ito ad op tara la r es pues ta f or z ada .

S in em bargo . en el insran te en qu e e cierren lo s in terrup rore e la s c orrie nre s d e

in d uc to r in ic ia le ( '0 e n c ir eu ito RC las t ensiones ell lo s c ap ae i te re s) te nd ra n v a-

lo res que d epen den in so lo de la en ergfa a lm acenad a en d icho s e lem ento s. N o e

p ue de e sp era r qu e ta le s corr ienres 0 te nsio ne s s ea n la s m ism a s q ue Ia s d ern an da -

d as p ar la r esp ue s ta fo rza da , P or consiguierue, d eb e h ab er illl per iodo transitorio

d uran te e l cu al las orrientes y l as i ens lones cambiea de su valores iniciales

dados a Ins valores finales requeridos. La parte de la respu La que proporciona

u na rran sic io n d e. d e lo s valore: in ic ia le s h as ta 1 0 finale. e la re puesta natura l

(H a m ad a a m e nu do re sp ue sta transitoria com o ya e hizo 1100ar). Si s e de s cr ib e

la respuesia de un circuito RL ir np le s in fuente En estes rerminos , e nto nc es s e

podra afirm ar que la re puesta fo rzada es nu la y qu e 1 < 1 respuesta natura l sirve

p ara co ne ctar la resp ue ta in ic ia l dicrada p or la en ergfa a lm acen ad a can el va lo r

c ero d e I n r es pu es ra fo rza da ,

La descripcion sdlo resulta apropiada ell el Cit 0 de ciJ·('UiIOS en los que, 11la

la rg a, la re sp ue sta n atu ra l s e d esv an ec e, L a a nte rio r o cu rre s ie rn pr e e n c lr cu ito s

ftsic os d on de se a so cia cierta resistencia c on c arla e le me nro . a un qu e existen va-

rio s c ircu ito s " pa to lo gico s" en lo s qu e la resp uesra n atu ra l n o d esap arece cu an -

do el rie rnpo . e vu elve infin ito . Por e jem pl , los c ircu itos eu los cu ales las co -

rrie ru es a trap ad as c ircu lan p or law s in du ctivo s, a las ten sio nes esran a trap ad as

en cadenas de capacitores en erie.

8 .7 R ESPU ESIA S NA TU R A L Y FOR lA D A

H ay una e x ce le n r e raaon m atem auca para ccus idera r que Ja re -puesta comple ta

d eba ten er d os [p arte (la resp uesta forzada y la respu esta n atura l) . La razo n se

basa en el heche de que la solucien de cualquier ecuacion diferencial l in e al p u e-

de expr e sa rs e com o In s um a de do . p artes : solution complementarta ( respuesta

natural) y la solucion particular ( respuesta forzada). Sin entrar en detal les sobre

la teorlageneral de las ecu a .io nes d iferencia les , e p roced era a exam iner u na

ecu acion genera l d 1 t ipo qu e. e estu dio en la ecc ion an terio r:

elidr + P i = Q

o

di + Pi dt = Qdl

S e podrfa identificar Q co mo u na fu nci6n Io rzad a y e xp re sa rla c om o Q~i) pa-

ra s ub ra ya r su d ep en de nc ia g en era l d el rie rn po , S e s irn plifi ca 1 :1e xp lic ac io n ise

r 2 8 J



C A P IT uL O 8 C lR C U IT Q S R I Y R C B A s I C O S

'U i poneque P es un a con mote po itiva . D e pue . se supondra que Q e C()I1Slan-

re , re tringiendo de e c m odo cl U 0 d e fu ncio nes fo rzad as d e cd .

En cu alqu ier texto u su al de ecuacion es d iferencia le , se d ernu estra que i

ambos la de s d e 1 ,1e cu ac io n [281 5 1 ' : m ultip lic an p or u n fa cto r d e in te grac ien

ap ro piad o, cad a u no SI': convierre ell una diferencial exacta que se in tegra en

fo rm a d irec ta p ara o bten er la o lu ci6n . N o se C1 r a n e pa ra nd o L a. v a ria ble s, s 61 0

e ordenaran de modo que. ea posible la integracion. En In eC1I2ci6n a n te rio r , e l

fa cto r d e m te gra cic n e s eJ P dr a s imp l emen te e'", plies Pc una con lam e. S i se

rn ultip liea cad a lad o d e In ecu acio n p or ta l factor de imegr a ci on 5e obtiene

[29]

L·~fo rm a d Ilad o izqu ierd o e sim plifica a l reco no cer qu e es una diferencial

exacts de i'":

dUel"l = erl di + iPel" dl

y p or e lla , la e cu ac io n [2 9J s e c on vie rte en

d(ieP,) = QePI dl

A I integrar cada lade,

ir/'I = Qerl

dt + A

d nde A e una co nstan te d e in tegracien . La m ultip lica tion por e-PI prope r -

d on a la so lu cio n p ara ;(1).

L30j

S i e con oce la fun cio n fo rzada Q(t) se o btien e la fo rm a fu ncio nal d e i (I) al

evalu ar la in tegra l. S in em bargo n o se evalu ara Lal in tegra l en cad a p ro blem a,

p u es in te re sa mas u tilizar la ecu acid n PO ] p ara d ed ucir varias co nclu sio ne

generales.

La respuesta natural

e observa primero que en un circuito sin luente, Q debe SCI' cero y l a s o lu c ion

c on sis te e n 1 0 1 r es p ue st a n a tu ra l

[ 3 11

S e p uede ver que la co n ian te P nunca e negativa en un circuito so lo co n re-

s is te n c ia s . i nduc to r es y cap acito res; u valor depen de nada rna de lo s e lern en-

La pasivos del circutro" y de su iruercoaexion en el circuito. Po r 10tanto. to

respuesta natural se aproxima a cera cuando el tiempo aumenta sill limire. Este

d ebe ser 101 ase d el circuito RL sim ple debido a que Ia energia in ic ia l s e d is ip a

d e m od o grad ual en la resis ten cia , en fo rm a d e calo r. T am bien hay circu uo s id e-

alizados en 10 que P es cere: e n ta le s c ir cu ito s Ill. re sp ue sia n atu ra l M se

de . v a nee e .

En con ecuencia , se vera que uno de 10 do ' re rm inos que confo rrnan la

re sp ue sta c om p leia tie ne L aforma de la resp ue: ta na tu r al ; i n cl uye 11Ila ampl i tud

(5) Si cl C':in:uihl in<,:luye UlUI rucntc dcpendlcruc 0 u n a r e si s re n e ia nC , s lHi v ck . P podria ser ne~..tiva.



S E C C IO N 8 .7 R E S P U E S T AS N AT UR A L V F O R Z A DA

que dependera (aunque a menudo no sera igual) del valor inicial de la respuesta

completa, y por ello tambien del valor inicial de la funcion forzada.

La respuesta forzada

A continuaci6n se puede ver que el primer terrnino de la ecuaci6n [30] depende

de la forma funcional de Q(t), la funci6n forzada. Siempre que se tiene un cir-cuito en el que la respuesta natural se desvanece conforme t se vuelve infinita, el

primer termino debe describir por completo la forma de la respuesta despues de

que desaparecio la respuesta natural. Por 10 general este terrnino recibe el nom-

bre de respuesta forzada; tambien se conoce como respuesta de estado perma-

nente, solucion particular 0 integral particular.

Por ahora, se decide considerar solo 10 problemas que implican la apli-

eaei6n repentina de Fuentes de cd, asf que Q(t) sera entonees una constante para

todos los valores del tiempo. Si se desea, se evahia ahora la integral en la ecuaei6n

[30] para obtener la respuesta forzada

. QIf = P

y la respuesta eompleta

i(t) = Q +Ae-P c

p

En el caso del circuito RL en serie, QIP representa la eorriente constante

Vol R Y 1 1 P la constante de tiempo r , Se observa que la respuesta forzada po-

drfa haberse obtenido sin evaluar la integral, debido a que debe ser la respuesta

completa en el tiempo infinito; corresponde solo a la tension de la fuente divi-

dida por la resistencia en serie. Ello quiere decir que la respuesta forzada se ob-

tiene por inspecci6n del circuito final.

Determinacion de la respuesta completa

Se utiliza el circuito simple RL en serie para ilustrar 13 forma de determinar la

respuesta completa mediante la adicion de las respuestas natural y forzada, El

circuito de la figura 8.35 ya se analiz6, pem por un metodo mas largo. La respuestadeseada es la corriente i(t), as! que se expresa prirnero esta corriente como la

suma de la corriente natural y de la corriente forzada, esto es,

i = in +i:

La forma funcional de la respuesta natural debe ser la misma que la que se ob-

tuvo sin fuente alguna. Por 10 tanto, se sustituye la fuente de tension de escal6n

por un cortocircuito y se reconoce el lazo ell serie RL anterior. De tal modo,

ill = Ae-Rt/L

donde la amplitnd A aun debe determinarse; ademas, debido a que la condici6n ini-

cial se aplica ala respuesta completa, no se puede suponer simplemente A = i0).

A continuaci6n se analiza la respuesta forzada. En este problema particular la

respuesta forzada debe ser constante, debido a que la Fuente es una constante V o pa-

ra todos los valores positivos de tiempo. Por 1 0 tanto, despues de que la respuesta

natnral se desvanece, no hay tensi6n en el inductor; por consiguiente, aparece una

tensi6n Va en los extremos de R , de modo que la respuesta forzada es sirnplemente

. V aIf = Ii

[32]

[33]

i(r)

V , ' ' ' ' OFIGURA 8.35 C n t u i t o R L e n s e n e q u e s e

e m p l e a p a r a i l u s t r a r e l m e to d a m e d i a n t e e l c u a l l a

r e sp u e st a c om p le ta s e o b t i e n e c om o l a s u m a d e

l a s r es p u es ta s n a tu r a l y f o r z a d a .



• FIGURA 8 .3 6 G r. iti ca de I s (QrnEnle que~uve

po l el m d u a o r d e l a ~ & u r a 8 J 5 . E x te n d le n d o l a l in e a

t . J n ge n te a l o n ge n d e 105 e le s s e a k a n w l a r e sp u e si a

l o rz ed a e n I ; ; I

C A P jT U lO 8 O R C U IT O S R L Y R ( B A s I C O S

Observar que Ia respuesra forzada esta por complete deterrninada: no hay

una amplitud desconocida. A continuacion e cornbinan las do re puesras para

obtener

. A -RilL + V o1= e R

y se apljca la condicicn inicial para evaluar A. La corriente es cero antes de

I = 0, aderna . 110 e po ible que eambie de valor en forma insranninea, pue to

que e la corriente que fluye por un inductor, En consecuencia, la corrienre e

n ula in m e dia ram cm e d es pu es del = O . Y

y por 1 0 Ianto.

. V o ('J -RilL)i=- -e

R1 3 4 1

O bse rvar con io do cuidado que A no es e l valor inicial de i, pues A =- V ol R.

CD tanto que iO J =O. AI considerar 1 0 circuito: sin fuente, se encuentra que A

rue el valor iniclal de la respue ta o Sin embargo, cuando se presentan funcioneforzadas, se debe dererminar primero el valor inicial de la respuesra y luego nrsti-

tuirlo en la ecuacion de 10respuesta cornpleta pam dererminar A.

Dicha re o puesta se grafica en la figura 8.36 y se observa c6mo ' e forma la

corrierue a partir de II valor inicial de cer , hasta SIl valor final de Vol R. La rran-

sicion se lleva a cabo de manera efecuva en un tiempo 3r. Si nue tro circuito

represenra la bobina de campo de un gran motor de cd. resultarla factible tener

L = : : : J 0 H, R = 20 [2, 10 cual da como resultado r = 0.5 . La corriente de campo

e es tab lecede esemodo e n c e rc a d e L 5 s . E n e l c as e d e u n u em p o c orr es po nd ie nte

a u na c on sta nte de t iernpo, In c orrie ru e a lc an za 6 3.2 % d e u v alo r fin al.

EJEMPLO 8.8 --:. " c ~ ~ ~ , .

Determinar i(t) para todos los valores de tiempe en el circuito de Iafigura 8.37.

• F iIG URA , 8.37 C i r c u i t t J de l e j emp lo 8 . B .

E I c irc uito c on tie ne u na fu en te d e te nsion de cd a s! como u na fu en te d e te n-

i6n de e calon, Sena posible que e opte por sustituir to do 10 que esta a la

izquierda del inductor por el equivalente de Thevenin, pero mejor .s610 eva

a reconocer la form a de ta l eq u ivalenre com o una :rei tencia en se rie COli

alguna Fuente de [en ion. EI circuito contiene nada mas un elemeruo de aJ-

macenamiento de energfa: el inductor. e puede ver prirnero que

L 3r=-=-=2ss; 1 .5



S E C C IO N 8 .7 R E S P U ES T AS N A TU R A L Y F O R Z A D A

y si se recuerda que

Por 1 0 tanto, la respuesta natural es una exponencial negativa como se vio antes:

il l = Ke-r/2 A t>O

Deb.ido a que lafunci6n forzada es una fuente de cd, la respuesta forzada

sera una corriente constante. EI inductor acnia como un cortocircuito en la

cd, de modo que

if = I~O = 50 A

Por 10tanto,

i=50 + Ke-O.5 t A I> 0

Para evaluar K, se debe estabJecer el valor inicial de la corriente del in-

ductor. Antes de t =0, la corriente es igual a 25 A Yno puede cambiar en

forma instantanea; en consecuencia,

25 = 50 + K

o

K = -25

Par consiguiente,

i = 50 - 25e-oS J A t > 0

Se completa la soluci6n al establecer tambien

i= 25A t <0

o escribiendo una expresion simple valida P'U"acualquier t,

i= 25 + 25(1 - e-05')u(t) A

La respuesta completa e dibuja en la figura 8.38. Observar c6mo la res-

puesta natural sirve para conectar la respuesta correspondiente a t < 0 con

la respuesta forzada constante.

PRACTICA

8.10 Una fuente de tensi6n Vs = 20u(t) Vesta en serie con una resistencia

de 200 Q Yun inductor de 4 H. Determinar la magnitud de la corriente del

inductor en t igual a: (a) 0-; (b) 0+; (c) 8 ms; C d ) 15ms.

Respue ta: 0; 0; 33.0 rnA; 52.8 rrtA.

Como ejemplo final de este metodo mediante el cual se considera casi por

observaci6n la respuesta completa de cualquier circuito sujeto a un transitorio,

examinar una vez mas el circuito RL en serie, pero en esta ocasi6n sujeto a un

pulso de tension.

La res1'1Ie'l~ h,tzad"

cornienza ulrededor de

t » .h

----------+-

i(r) (A)

• FIGURA 8.38 L a r e s p u e s ta itt) d e l c ir cu i t o q u e

s e m u e S l r a e n l a f i g u r a 8 .3 7 s e d ib u ja p a r a v a l o re s

d e t i e m pa m e no re s y m a yo re s q ue c e r a .



C A P iT U L O 8 C IR C U IT O S R L Y R C B A s I C O S

vet)

0 1 to

(a)

;(1) R

-Vou(t - to) _

(b)

• FICURA 8.39 (a ) P u ls o d e t e n s io n r ed a n gu la r

q u e s e u ti l i z er s c om o la f u n c i6 n f o rz ad a e n u n

c i r c u i t o R L e n s e ri e s im p l e . (b) C i r c u i t o R L e n s e ri e

q u e m u e st r a la r e p r es em a c io n d e la f u n cio n f o rz ad a

m e d ia n t e la c om b in a c i6 n e n s e n e d e d o s f u e n t e s

in d e pe n d ie n te s d e t e n s io n d e e s ca lo n . S e d e s e a

o b te n e r l a c o r r ie n te / ( 1 )

ill)

itt)

(b)

• FICURA 8.40 D o s c u rv a s d e r es p ue s ta s

p o s ib le s s e p r e s en ta n p a ra e l C l r cu it o d e la f i g u ra

8.39b. (a ) r s e s e le c cio n a c o m o t o /2 (b) T s e e l ig e

c o m o 2 t o .

Determinar la respuesta de corriente en un circuito RL en serie simple

cuando la funcion forzada se compone de un pnlso de tens ion rectangular

de amplitud Vo y duracion to .

Se representa la funci6n forzada como la suma de dos fuentes de tensi6n deescal6n Vou (t ) Y- Vou(t - to), como se indica en la figura 8.39a y b,

asimismo, se planea obtener 1arespuesta mediante el principio de superposi-

ci6n. Considerar que i 1 (r) designa 1aparte de it) que se debe a la fuente

superior Vou(t) que acnia sola, y que i2(t) designa 1aparte debida a1desem-

pefio individual de - Vou(t - to). Entonces:

El objetivo consiste en escribir ahara cada una de las respuestas parciales i,

e iz como la suma de la respuesta natural y de la forzada. La respuesta iI t)

resu1tafamiliar, pues e te problema fue resuelto en la ecuaci6n [34]:

it(t) = ~ (1 - e-Rt/L), t > 0

Observar que dicha soluci6n s610es valida para t > 0, como se indica;

is = 0 para t < O .

Se hace necesario ahora dirigir la atenci6n hacia la otra fuente y su

respuesta i2(t). S610difieren la polaridad de la fuente y el tiempo de su apli-

caci6n. Por 10tanto, no hay necesidad de determinar la forma de la

respuesta natural y de la respuesta forzada; la solucion de i(r)es

i2(t) = - ~ [1 - e-R(t-to)/L], t > to

donde el intervalo aplicable de t, t > to, debe indicarse tambien en este

caso; e i2 = 0 para t < to .

Ahara se suman las dos soluciones, pero se debe hacer can cuidado, puesto

que cada una es valida para un intervalo de tiempo diferente. De tal modo:

i(t)=O, t < 0 [35]

i(t) = ~(l- e-Rt/L), 0< t < to [36]

y

t > to

0, de manera mas compacta,

i(t) = ~e-Rt/L(eRtO/L - 1), t > to [37]

Aunque las ecuaciones [35] a [37] describen totalmente la respuesta del cir-

cuito de la figura 8.39b a la forma de onda del pulso de la figura 8.39a, la forma

de onda de corriente en sfmisma es sensible tanto a la constante de tiempo T del

circuito como ala duraci6n del pulso de tension to . En la figura 8.40 semuestran

dos posibles curvas.



S E CC IO N 8 .8 A C C I O N AM I E N T O D E C lR C U IT O S R C

La curva de la izquierda se grafica para el caso en el que la constante de

tiempo equi vale nada mas ala mitad de la longitud de la pulsaci6n aplicada; por

10 tanto, la porci6n ascendente de la exponencial casi alcanza a V ol R antes de

que comience el decairniento de la exponencial. La situaci6n opuesta se muestra

a la derecha; ahi, la constante de tiempo es el doble de to , asi que la respuesta

nunca tiene oportunidad de llegar a amplitudes mayores.

El procedimiento que se utiliza para determinar la respuesta de un circuito

RL luego de que se activan 0 desactivan (dentro 0 fuera del circuito) fuentes de

cd en algun instante de tiempo se resume como sigue. Suponer que el circuito

se reduce hasta una resistencia equivalente Re q en serie con una inductancia

equivalente Le q cuando todas las fuentes independientes se igualan a cera. La

respuesta que se busca se representa mediante f(t).

1. Con todas las fuentes independientes suprimidas, simplificar el cir-

cuito para deterrninar Req, Leq Y la con stante de tiempo r = L eq/ R eq.

2. Considerando a Leq como un circuito cerrado, utilizar metod os de

analisis de cd para calcular i L (0-), la corriente en el inductor justo

antes de la discontinuidad.

3. Considerando a Leq una vez mas como un circuito abierto, aplicar los

metodos de analisis de cd para determinar la respuesta forzada. Este es

el valor aproximado de f (t ) cuando t ~ 00; se representa mediante

f (oo).

4. Escribir la respuesta total como la suma de las respuestas forzada y

natural: f (t) = f (oo) + Ae - r/r.

S. Determinar f (O+) mediante la condici6n de que idO+) = iL(O-). Si

se desea, Leq se podrfa reemplazar por una fuente de corriente it.(0+)

[un circuito abierto si idO+) = 0] para e te calculo,Con excepci6n de

las corrientes en el inductor (y las tensiones en el capacitor), otras ten-

siones y corrientes en el circuito pueden cambiar de manera abrupta.

6 . f(O+) = f (oo) + A and f (t) = !(oo) + [!(O+) - !(oo)] e='!", 0

respuesta total = valor final + (valor inicial - valor final) e=",

PRAcTICA

8.11 EI circuito de la figura 8.41 ha estado durante largo tiempo en la forma

que se muestra, El interruptor se abre en I = O . Calcular i R en t igual a:

(a) 0-; (b) 0+; (c) 00; Cd ) 1.5 ms.

Respuesta: 0; LOmA; 4 rnA; 5.34 mAo

8.8 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RC

La respuesta completa de cualquier circuito RC tam b ien se obtiene como lasuma de las respuestas natural y forzada. Debido a que el procedimiento es casi

identico al que se estudi6 a detalle en el caso de los circuitos RL, el mejor

metodo en esta etapa se ilustra mediante un ejemplo completo que sea relevante,

donde el objetivo no sea solarnente una cantidad relacionada con el capacitor,

sino tambien la corriente asociada con una resistencia.

0.1 H

• FIGURA 8.41



C AP iT U lO 8 C lR .C U 1 TO S R L Y R C M s I C O S

Determinar In tension en el capacitor vc(t) y 1 3 corrteme i(t) en la re-

sis:tencia, de 200 - de la figura 8.42 plU3 cualquie:r tiempo.

'(If)50mF

~ 1 11 1

(a)

r 0

50 n ·'10mF

(b)

, [l

(c)

• FU liU RA 8.42 (0 ) G r c u i t o R C e n e l qUE s e obtienen la s respuestas m m p l e r i l ; It, e I sumando

U"~r e sp u e s ts f o rz a d a y u n a n a t u ra l. ( 0 ) C ir c u i t o p a r a I~. ( e l C i rc u it !) p a r a t 2: 0 ,

Se cornienza considerando el estado del circuito en r < O. correspondiente al

interrupter en la po ici6n como e repre enta en la figura b. Como es usual.

se supone qu e no hay tran irorios presentes, por 10que solo e relevante para

encontrar Iic(O-) una respue La forzada debido a la fuente de 120 V. En con-

secuencia.Ia im ple d ivi i6n de (en ion p roduce la tens ion in ic ia l

50uc(O} --(120) = lO a v

50 + 10

Pu esto qu e la ten sion d el cap acito r no pu ede ca mbiar en fo rm a in stan ta nea ,esra tens ion tam bien es va lida en I=0- Y l =0+ .

EI lnterrupror 'e m ueve ahora hacia b. de modo qu e la respuesia com-

pleta es

lie = lief + lie"



S E CC IO N S .B A C C l O N ~ I E N T O D E C I R C U I T O S 1([ '.. ..------'\

EI . circuiro correspondiente so d ibu jo n uevarn ea te p er co nven ien cia en la

I':igtlra 8.42c. La fo rm a d e la resp uesta n atu ra l se o btien e m ed ian te la su stita -

cion de Lafuente de SOV por un cortocircuiro luego de evaluar la resistencia

equivalente para encontrar la coustante de tiempo (en otras palabras, se tram

d e d eterm in er La. es isten cia equ iv alen te d e T hev en in " vista" d esd e las ter-

min ales del capaci tor):

De m odo que:

P ar a e va lu ar la resp uesta fo rzad a co n el inrerruproren b. s e e sp era ha sta

que todas las rensiones y corrientes hayan dejado de carnbiar; por 10Ianto,

se considera al capacitor co m o u n c irc uito abserto y se apltca una vez m as la

divjsion detension:

-0 ( 200 II 50 )U -)'c( - 60 + 2 6 0 I I 50

= 50 ( (50)(200) 1 250 ... ) = 20 V

. 60 + (50) (200) /250

Por 1 0 tanto,

Vc = 20 + Ae-rll.2 V

y de la condicion inieial ya obtenida,

1 00 =20+ A

o

Vc =20 + SOe-'fl.l v r : : : : O

l!c= 101)V., J <' 0

La r es pu es ia s e grafica en la tigura 8.43a; t ambien en este case se ve que hi

respuesta natural forma una transicion desde la respuesta inicial basta la final.

A co ru i nuac ion Sf a bo rd a 1(r ). L a re sp ue sra 110 necesita permanecer

constante durante el periodo de conmurac i on , Con el contacto en a, resultaevi-

d e nte q ue i =50/260 = 192 .3 m l li ar np e re s, C u a ado e l i nt er ru p te r s e muev e IIla posicion b, la respuesta forzada para esta corriente se convierteen

. s o ( 50 )IJ "" 60 + (50)(200)/(50 + 200} . SO+ 200 = 0.1 amperes

La forma de la respuesta natural es la rnisma a L a que ya se determine para

la te ns io n e n e J c ap ac ito r:

AI combinar las respuestas natural y forzada, se obtiene

i=0.1 + Ae-rn.:! 3.111PCf«lS

(Conlimill m ta siguient« pligirra)

(a)

i(l) (AI

1/,)

• FICURA 9.43 L a s respuesias ( a) l ie Y ( 1 ; ) 'I.e

g la f i G m c o m o f u n d o n € S d e l t i e m po p er a e J c i r c u i t o

de la Iig ll r~ &42 .



C A P i r u L O a C l R C U I T O S R l Y R C B A s I C O S

Para evaluar A. se nece ita conocer iCO+). la cual se calcula fijando la

arencion ell el elernento de almacenamiento de energfa (el capacitor). EI

h ec h o de que lie deba perm anecer en 1 00 V duram eel in terva 10 d e c on -

mutacion esla condicien directriz gobernante que establece las dernas

corrientes y ten iones ell / = 0+. Puesto que Vc (0+) = 100 V. Ycomo el ca-

p ac ito r e S H ie n paralelo conla resistencia de 200 Q, s e en cu en t ra que

iO+) =0.5 ampere, II = 0.4 ampere, par 10 cual

l(/) = 0 .1 9 '2 3 a m p ere

1(/)=0.1 +0.4(,-1/12 ampere 1>0

/(1) =0.1923 + (-0.0923 +0.4g-1/ 1.2)1J(t) amperes

donde IO !ultima expresion e s c orre cta p am c ua lq uie r I.

La respuesta completa para cualquier r tarnbien Sf escribe de rnanera

concise urilizando li( -I).cor:respondi.endo asf a Ia unidad para / < 0 y 0

para I> O . Asf.

HI) = d. 1923u(-I)+ (0.1 + O.4e-I/ I . 2 ) L I ( I ) amperes

Esta respue ta se presents en Ia figura 8.43b. Observar que s610 se nece-

sitan CU l i lTO numero pam escribir la forma funcional de 13 re o puesta de estc

circuito de un solo elernento de almacenarniento de energfa, 0 para hacer la

gral1ca: el valor constante antes de la conrnutacion (0.1923 ampere). e l valor

in sta nta ne o ju sro d esp ue s d e 1 ; , \ c on rm n ac io n (O .S ampere).la respuesta

forzada constante (0.1 ampere) yla constante de tiernpo (I ). En este case.

1 0 1 funcion exponencial ~egativa apropiada resulta faci l de escribir 0 graficar.

PRAcTICA

8.12 En el ca 0 del circuito de Iii figure 8.44, determinar vc I) en r igual a:

(a) 0-: (b) 0+; (c) : Cd)0 .08 s.

S()kn

• IRGURA 8.44

R esp uesta: 20 V : 2 0 V : 2 v: 2 4.4 V .

Se concluye can l a l is ta de los duales de los enunciados dados 31 final de la

seccion 8.7 .

EI p roced im ien to que s e u ti li za para encoutrar La respuesta de un circuito RC

despues de que la: fuentes de cd se activan 0 desacrivan .. incorporandolas oelim inando las de l circu ito , en u lg(ln instante. p or e je rn pl o I= O . se resume

como sigue. Se hace el supnesto de que el circuito se reduce a una sola resisten-

cia equivalente R " q en paralelo can una sola capacitancia equivalente Ceq

cuando tad as la o Fuentes independientes se igualan a cera. La respuesla que e

busca se representa por medic de f (r J.



S E CC IO N 8 .8 A C C IO N AM I E N T O D E C lR C U IT O S R C

1. Con todas las Fuentes independientes suprimidas, simplificar el cir-

cuito para detenninar Req, Ceq y la constante de tiempo r = ReqCeq.

2. Considerar a Ceq como un circuito abierto, y utilizar metodos de

analisis de cd para calcular vc(O-), la tensi6n del capacitor justa antes

de la discontinuidad.3. Considerar a Ceq una vez mas como un circuito abierto, y aplicar los

metodos de analisis de cd para determinar la respuesta forzada. Este es

el valor aproximado de f(t) cuando t -+ 00; se representara mediante

f(oo).

4. Escribir la respuesta total como la suma de las respuestas forzada y

natural: f(t) = f(oo) + Ae-t/T•

5. Deterrninar f(O+) mediante la condici6n de que vc(O+) = vc(O-). Si

se desea, Ceq se podria reernplazar por una fuente de tensi6n Vc (0+)

[un cortocircuito si vcCO+) =0] para este calculo, Con excepci6n de

las tensiones en el capacitor (y las corrientes en el inductor), tal vez

otras tensiones y corrientes en el circuito cambien de manera abrupta.

6. f(O+) = f(oo) + Ay f(t) = f(oo) + [f(0+) - f(oo)]e-t/T, 0

respuesta total = valor final+ (valor inicial=- valor final) e-tI T .

Como se ha visto, los mismos pasos basicos que se aplican al analisis de los

circuitos R L pueden tarnbien aplicarse a los circuitos RC. Hasta el momento, el

interes se ha enfocado solo en el analisis de circuitos con funciones de cd

forzadas, a pesar del hecho de que la ecuacion [30] es valida para funciones mas

generales como Q(t) = 9cos(St - 7°) 0 Q(t) =2e-5t . Antes de concluir esta

secci6n, se explora uno de estos escenarios.

Determinar la expresi6n de v(t) en el circuito de la figura 8.45 que sea

valida en t > O.

EJEMPLO 8.11

Con base en la experiencia, se espera una respuesta completa de la forma

v(t) = vI + VI!

donde es probable que vI haga recordar la funci6n forzada y Vn tendra laforma Ae-t I T .

l ,Que es la constante r? del circuito? Se sustituye la Fuentecon un cir-

cuito abierto y se encuentra la resistencia equivalente de Thevenin en para-

lela con el capacitor:

Req = 4.7 + 10 = 14.7 Q

Por 10 tanto, la constante de tiempo es I =ReqC = 323.4 {LS, 0 10 que es 10

mismo, III=3.092 x 103 s-I.

Existen varias formas deproceder, a pesar de que quizas la mas directa

es llevar a cabo una transforn.acion de fuente, 10 que genera una Fuentedetension de 23.5e-w. J O tu(t ) V en serie con la resistencia de 14.7 QYel ca-

pacitor de 22 iJ,F. tObserve que este fenomeno no modifica Laconstante de

tiempo.)

[Continua en la siguiente pdgina)

Ion

+

4.7 f1

• F IG URA 8 .4 5 C ircu ito R C s imp le cont ro lado por

una func ion for zada con deca im iento exponencial .



FIGURA 8 .4 6 (i rc uil o R C s i m p l e c o e t ro l a d o po r

u n a i u n c i 6 n f o rz ad a s e n o i d a l .

4.7 n

J O n

C A P IT uL O 8 C IR C U rT O S R I Y R C B A s I C O S

S i se escribe una s imple ecuacion LK T para t » 0, se tiene que

23.5e-2 1 1 i O O / = (14.7)(22 x DO~5)du +vdl'

Can un poco de sirnplificacion s e ob ti ene ,

a u + 3.092 x 10'1J =72.67 X 1 03 e-2O O :b

dl

1 0 cual, cuando e com para COil las ecuacion " (~ 8 ] Y [ 0], perm ite que se

expr se la re pue ta completa como

v(1) = e-P1 f QePfdl +Ae-Pf

d on d e, el l e st e e as o, P = 1/1:"=3.092 x 10J and Q (I) = 72.67 x

103e -20001. Por 10 t anto, se puede observar que

IJ(I) = e-3092t J 72.67 x 10,3e-2000lel092Jdl + A.e-3092f V

L1evando a cabo la iruegracion que se indica.

u(t) =66.55e-2OOO ' + Ae-309J/V [381

La unica fuente esta controlada por una funci6n escalon con un valor decero para n < O. par 10que se sabe que v(O-) = O.Puesto que ues un a ten-

i6n de capacitor, u(O+) =11(0-), Ypor 10 tanto e encuentra de manera rnuy

encii la la condicion inicial v(O) = O.Susutuyendo esta expresion en la

ecuacion [38], e encuentra qu e A=-66.55 Y, por 1 0 qu e

v(t)= 66.55 (e-2 O O O r- e-3(921) V, I > 0

PRAcTICA

8.13 Determinar Ia ten i6n ven el capacitor del circui to de In figur~ 8.46 para

I:> O .

8.9 PRED ICC ION DE LA RESPUESTA DE c ReUllOS

CONMU I A DO S SECUENCIALMENlE

Ern e l ejemplo 8.9 se estudia de manera breve la respuesta de un circuito RL II

una forma de onda de pulses en la que una Fuente se conmut6 hacia y despues se

conmur6 tuera del circuiro . Es te tipo de siruac ion es rnuy conu in en la pracuca,

ya que alguoo circuitos e ul n disefiados para energizarse s610 una vez (por

ejemplo, l os c ir cu it o disparadores de las b ols as c on aire para proteccion de 1 0

pasajeros en 10' aurornoviles), En la prediccion de la respuesta de 10 circuito

RL y Re simples que estan sujeios a pulses a a serie de pulsos -a rnenudo

co no cico s co m o circuitos cenmutados seauencialmente=- la clave e s e l ta m an o

d e la con sta nte d e rie m po del c ircuito en re lacien can los d i fe ren tes tiem p os que

definen la secueacia del pulso, EI principia fundamental detra del analisis es i

el elernento de almacenamienro de energfa tieue riempo p a ra c a rg ar se por com-pleto antes de que termine el pulso y si cuenta con el tiempo para descargarse to-

ralmente antes de que comience el segundo pulso.

Considerar el eircuito que se rnuestra en In fig ura SA7a, el cual esta conec-

tado a una fuente de Le n i6n pul ada que puede ser de crita por siete pararnetros

separados que se definen en la figura 8.47b. La forma de onda e. ta aeotada por

dos valore , VI y V2. El tiempo IF que se requiere para cambiar de VI a V2 se

llama. tiempo de elevacion (TR). y el tiempo tr que se requiere p ar a c ar nb ia r de



S E C C IO N 8 .9 P R ED IC C I 6 N D E L A R E SP U ES TA D E C lR C U IT O S C O NM U TA DO S S E C U E NC IA LM E NT E

PW

Rl

----\jV ..--·

1 k

V2

TF

Vs1~V2~TD~

TR=TF ~PW~PER =

C1

1u

----.-- V I -+------i

o ~"'* '1ri·-~-"",i

TD

(a) (b)

• F IG UR A 8 . 4 7 (a) E s q u e m a d e u n c ir cu it o R C s im p le c o ne ct a do a u na f o rm a d e o nd a d e t e n s io n p u l s a da . (b ) D ia g r a m a d e

la s d e f i n ic io ne s d e lo s p a r e rn e t r o s d e l V P U LS E d e S P I C E .

V2 a VI se llama tiempo de bajada (TF). La duraci6n Wp del pulso se conoce

como ancho de pulso (PW), y el periodo T de la forma de onda (PER) es el

tiempo que Ie lorna al pulso repetir. Observar tambien que el SPICE permite un

retraso de tiempo (TD) antes de que el tren de pulsos comience, 10 cual puede

ser de utili dad para que las respuestas de los transitorios iniciales decaigan en

algunas configuraciones con circuitos.

Para los propositos de este estudio, se establece un retraso de tiempo cera,

V I = 0 Y V2 = 9 V . La constante de tiempo del circuito es T = RC = I ms, por

10 que se establecen los tiempos de subida y de bajada como I ns..A pesar de que

SPICE no aceptara que una tensi6n cambie en un tiempo cero puesto que resuelve

las ecuaciones diferenciales util izando intervalos de tiempo discretos, comparado

con la constante del tiempo de 1ns del circuito es una aproximaci6n a "instantanea",

Se consideraran los cuatro ca os basicos que se encuentran resumidos en la

tabla 8.1. En los primeros dos casos, al ancho del pulso Wp es mucho mayor que

la constante de tiempo T del circuito, por 10 que se espera que los transitorios que

resulten del comienzo del pulso se desvanezcan antes de que terrnine el pulso.En los ultirnos dos casos, es valido el caso contrario: el ancho del pulso es tan

corto que el capacitor no tiene tiempo de cargarse totalmente antes de que ter-

mine el pulso, Un problema similar se presenta cuando se considera la respuesta

del circuito cuando el tiempo entre pulsos (T - WI') es corto (caso II) 0 largo

(caso III) en comparaci6n con la constante de tiempo del circuito.

T A B L A 8.1 C ua tro ca sa s d is tin to s d e a nc ho d e p ulso y de

periodo en re laci6n can la constan te de tiem p o de l c ircuito de 1 m s

Caso Ancho del pulso W p Periodo T

I 10ms (r«Wp) 20 ms (r «T - WI')

II 10ms (r «Wp) 10.1 ms (r »T - Wp)

III 0.1 ms (r »W p) 10.1 ms (r «T - WI')

IV 0.1 ms (r »W p) 0.2 ms (r »T - Wp)

En la figura 8.48 se ha bosquejado de manera cualitativa la respuesta del

circuito para cada uno de los cuatro casos seleccionando de forma arbitraria

la tension del capacitor como una cantidad de interes, ya que se espera que

cualquier tension 0 corriente tenga la misma dependencia con respecto al



C A P iT UL O 8 C IR C U IT O s R L Y R C B A s I C O S

C\ fl. Ir=a) (b)

I e ((e) C d )

• FICURA 8.48 T e n s i6 n d e l c a p a ci t o r d e l c ir cu i t o R C c o n u n a nc h o d e p u ls e y p e ri o d o d e sc ri t o s e n

(0) c a s o I; (b) c a s e II ; (e ) c a s o I II , y (d) c a s e IV .

tiempo. En el caso I, el capacitor tiene tiempo para cargarse y descargarse to-

talmente (figura 8.48a), mientras que en el caso IIfigura 8.48h), cuando se re-

duce el tiempo entre pulsos, se Ie termina el tiempo para descargarse totalmente.

Por el contrario, el capacitor no tiene tiempo para cargarse totalmente tanto en

el caso III (figura 8.48e) como en el caso IV (figura 8.49d).

Caso I: Tiempo suficient.e para cargarse

y descargarse total mentePar supuesto, se pueden obtener valores exactos para la respuesta en cada caso

mediante una serie de analisis. Primera se considera el caso L En razon de que

el capacitor cuenta can el tiempo para cargarse totalmente, la respuesta forzada

correspondera a la tension de control de 9 V de cd. La respuesta completa al

primer pulso es, por 10 tanto,

vc(r) = 9 + Ae-1 O O O T V

Can Vc (0) = 0, A = -9 V y, par ende,

vdt) = 9(1 - e-IO O O T ) V [39]

en el intervalo de 0 < t < 10 ms. En t = 10 ms, la tension de la fuente decae de

forma repentina hasta 0 V, Y el capacitor comienza a descargarse a traves de la

resistencia. En este intervalo de tiempo se esta tratando can un circuito RC sim-

ple "sin fuentes" y se puede escribir la respuesta como

vc(t) = Be-1000(t-OOI), 10 < t < 20 ms [40]

donde B = 8.99959 V hallado al sustituir t = 10 ms en la ecuacion [39]; can

base en la practica, se puede redondear este resultado a 9 V si se observa que elvalor calculado es congruente can el supuesto de que el transitorio inicial se

desvanece antes de que termine el pulso.

En t = 20 ms, la fuente de tension salta de inmediato de nuevo a 9 V. La ten-

sion en el capacitor, exactamente antes de este evento, se obtiene mediante la susti-

tucion de t = 20 ms en al ecuaci6n [40], 1 0 que Ileva a Vc (20 ms) = 408.6 f. tV, un

valor practicamente igual a cera comparado can el valor pico de 9 V.



S E C C IO N B .9 P R ED IC C IG N D E L A R E S P U E S TA D E C IR C U IT O S C O N M U T AD O S S E C U E NC IA LM E NT E

Si se conserva la convenci6n de redondear a cuatro dfgitos significativos, la

tensi6n en el capacitor al comienzo del segundo pulso es cero, que es la misma que

en el punto de comienzo. Por ende, las ecuaciones [39] y [40] forman las bases de

la respuesta de todos los pulsos subsecuentes, por 10cual se puede escribir

1

9(1- e-1000t) V, 0::: t ::: lO ms

ge-10CXl( t-OOl) V 10 < t : : : 20msve(t) =. 9(1 _ e-1000U-O .(l2)) V, 20 < t : s 30 ms

ge-1OOO(t-003)V, 30 < t : s 40 msy asf sucesivamente,

Caso II: Tiempo suficiente para cargarse totalmente

pero sin descargarse por completo

A continuaci6n se estudia 10que sucede si el capacitor no se alcanza a descargar

totalmente (caso ll). La ecuaci6n [39] au n describe la situaci6n en el intervalo

a < t < 10 ms, y la ecuaci6n [40] describe la tensi6n del capacitor en el inter-

valo entre pulsos, los cuales se han reducido a 10 < t < 10.1 ms.

Exactamente antes de la aparici6n del segundo pulso en t = 10.1 ms, Ve es

ahora de 8.144 V; el capacitor s610 habfa tenido 0.1 ms para descargarse y,

por 10 tanto, au n retiene 82% de su maxima energfa cuando comienza el pulso

siguiente. Por 10 tanto, en el intervalo siguiente,

vcCt ) = 9+ Ce-1 000(1-10.1 10-') V, 10.1 < t < 20.1 ms

donde Vc (10.1 ms) =9 + C =8.144 V, por 10 que C = -0.856 V Y

vcCt ) = 9 - 0.856e-1000(t-I01XIO-J) V, 10.1 < t < 20.1 ms

el cual alcanza el valor pico de 9 V mucho mas rapido que el pulso anterior,

Caso III: Falta de tiempo para cargarse totalmente pero

tiempo suficiente para descargarse por completo

l,Que pasa si no esta claro que el transitorio se disipara antes de que termine el

pulso de tension? En realidad, esta situaci6n se presenta en el caso III. De la

misma forma como se escribio en el caso I,

vcCt) =9 + Ae-1OOOt V

se aplica a esta situacion, pero ahora s610 en el intervalo a < t < 0.1 ms. La

condici6n inicial no ha carnbiado, por 10que A = -9 V como era antes. Sin em-

bargo ahora, exactamente antes de que el primer pulso termine en t =0.1 ms, se

puede ver que Vc = 0.8565 V. Esto se encuentra muy lejos del maximo posible

de 9 V si se le proporciona al capacitor suficiente tiempo para cargarse total-

mente y es un resultado directo si la duraci6n del pulso es de un decimo de la

constante de tiempo del circuito.

EI capacitor comienza ahora a descargar e, de tal forma que

vcCt ) = Be-1 OOO(t-l x 10-') V, 0.1 < t < 10.1 ms [42]

Se ha deter min ado ya que vc(O.l- ms) = 0.8565 V, por 10 que

veCO . l + ms) = 0.8565 Vy la sustituci6n en la ecuaci6n [42] da como resultadoB = 0.8565 V. Justo antes de que aparezca el segundo pulso en t =10.1 ms, la

tensi6n del capacitor ha disrninuido a a V, practicarnente; esta es la condi-

ci6n inicial al comienzo del segundo pulso, por 10 que la ecuacion [41] puede

reescribirse como

vcCt) = 9 - ge- 10OO (t-lOlxlO-') V,

para describir la respuesta correspondiente.

lO.1 < t < 10.2 ms

[41]

[43]



C A P iT UL O 8 O R C U I T O S R l Y R C l I A s I C O S

Caso I .V: Falta de tiempo para cargarse totalmenteo aun para descargarse por completeEn el ultimo caso, se considers la siruacion donde el aneho y el periodo del pulso

son tan pequeiios que el capacitor no puede nl cargar e 11j de cargarse totalrnente

ell un solo periodo, Can base en la experiencia, se puede escribir

Uc(I) =9 - ge-1OOO~ V,

vcCt) =O.8565e-1OOO(1-1",IO-'1 V,

lIe(i) = 9 + Ce-1000I.t-2 10-'1 V,

vdl) =De-j~I-3,,1O IV.

O<I<Olms [44J

[45]

[46J

[47]

0.1 < I < 0.2 m.

0.2 < I-c 0.3 ms

0.3 < I < 0.4 Ins

Exactamente arne de que se presente el segundo pulso en i=0.2 rns, la ten-

slon en el capacitor ha decafdo a lie = 0.7750 V; sin contar con el tiempo sufi-

ciente para descargars totalmente, retiene una gran fracci6n de la poca energta

que pudo alrnaeenar inicialrnenre, En el segundo intervale de 0.2 < t < 0.3 rns,

13 usurucion de vc(O..2+) = Ilc(O.2-) = 0.7750 V enla ecuacion [46] Ciacomo

resultado C =-8.225 V. Enseguida, se evalua 13 ecuacion [46] en r = 0,3 rns

Y e calcula lie = 1.558 V justa ante' del final del segundo pulse. A 1.D = 1.558 V y el capacitor se carga lentarnente para incremenrar los niveles

de tension ell varies pul os. A estas alturas, serfa de utilidad s o se graficaran las

ItI)

·1

tu.. ll~lf,""l - - - r;~

~ . . m t 1 B f 1 ; T J ' - i l l I ~ i ~ ts : u : ; : ' : : ~ - ; : ; = ;: -= ~

. ;. .~ : . ~ . ' ; - - h - r - - H - - H - , - , - - : . ~ . .: . .~ . . . . ~. .......--:-~.-J-~--~••(•.. jou( ••-:-•• · · < - · . • ·.~--·r---~.~--1-··;-·+-I-~,,···.,..·~I~.; : : : i i : f 1 :: . : ii, ! i

- - 1 - - - : - - l - 1 ' " +rrr " r a t t r ~ ~ - - ~ - · t · l ' -r t--~'T''"~"~"1' _ ~ r ~ . -'!--':---'I:'-~-- -~-~-'!o- -~" u.~nt··+'·l·· ••,t.•~••~,·.~-

~~'~:~:~:4-~ii~i~;~i~i~:_'~~:~:_'~;~'~.~:

lIN 11m 2~: !J1! I ! ; : i ; ! ~

,, -

C ! i. 1U

.,••.,.+-+-,-+-;-.,.-:-f-+-'- .......-'.........+~~-I

1 :' . . ' " _ .- t · - - j - - - ~ · · · .' ' t °· ' r +: ··-t·.. - · - · . ; - - : - ' . , . .

. ~... '-'~'-'j· · t · + · · · r · · .l ~ · r . . · ~ · .. ~ .. j . u . : .

:·t '1 - ' " r - - i - ' 1 ' ' ' - ' ' 'f . - ~ i· ··t..~.~., t"j'-~"· · ~~ · · · r · · ~ · ·l · . . t . . . ~ .. .. . ~ .. . ~ . -- [ -- . ---!.....+-..~.... r'...-:-..~...

" " '" . . . .. U(C1=H

, . , _-I I

(e) ( i )

FltiUiRA8.A, R f 5 u l t a d o s de l a , i m l l l~ c i 6 n en PSpke rorr e spondien te s a : (0 ) c e so I ; (b) ~s o II :

(c ) caso III: (d) c . J S O IV.



S E C C IO N 8 .9 P R E D IC C IO N D E L A R E SP U E S T A D E C IR C U I T O S C O NM U TA DO S S E C U E N C IA LM E NT E

respuestas en detalle, por 1 0 que ahora se muestran en la figura 8.49 los resulta-

dos de la simulaci6n en PSpice de los casos I a IV Observar en la figura 8.49d,

en particular, que la pequefia respuesta transitoria de cargaJdescarga similar en

forma a la que semuestra en las figuras 8.49a-c esta sobrepuesta a una respuesta

de tipo carga de la forma (1 - e-t/T). [Por 1 0 tanto, el capacitor debe emplear

aproximadamente de 3 a 5 constantes de tiempo del circuito para cargarse a su

maximo valor en siruaciones donde un solo periodo no Ie aJcanza para cargarse

o descargarse completamente!

Lo que no se ha hecho todavia es predecir el comportamiento deIa respuesta

en t »5r, a pesar de que se podrfa estar interesado en hacerlo, especialmente si

no fuera necesario considerar una secuencia de pulsos muy larga, uno solo a la

vez. Se puede observar que la respuesta de la figura 8.49d tiene un valor prome-

dio de 4.50 V a partir de 4 ms en adelante, Lo anterior es exactamente la mitad _

del valor que se esperana si el ancho del pulso de la fuente de tensi6n permitiera

que el capacitor seeargara por completo. En realidad, en ellargo plaza este valor

promedio puede calcularse multiplieando la tension del capacitor en cd por el

coeiente entre aneho del pulso y el periodo,

PRAcTICA

-',f~-8.14 Graficar idt) en el rango de 0 < t < 6 s para (a)_~~-:3_Ii~(0.-

3uCt - 2) + 3u(t - 4) - 3u(t - 6) + .:_.; (b) vs(t) = 3u(~!7~~-~'+

3u(t - 2.1) - 3u(t - 4.1) +.... - _~r .-_

Respuesta: (b) Yea la figura 8.50[1; {e) yea lafigura 8 .5Gb . .

In

(a)

4

2

(b) (e)

• FIGURA 8.50 (a) C i rc u it o d e l p ro b le m a d e practica 8 . 1 4 . (b) S o lu c io n a l a p a rt e (a) (e) S o lu c i6 n a l a p a r t e (b).



APUCAC IGN PRAcTICA

lim:ites de frec uenc ia en lo s c irc uito5 ~ntegradosdigi ta les

Los modernos circuiros integrados digitaies ..tales como la

J6gica de arreglo programable (PAL) y los microprocesa-

dores (figurs 8S1 )',se cornponen de circuitos transistori-

za do s in te rc on ec ta do s co no cid os c om o compuertas.

F IGURA 8 . 5 1 (irMa 11l1~do Power e 16M .

La s senates digitales se representan de rnanera simbo-

liea mediante cornblnaciones de unos y ceres que son da-

lo s 0 ins trucciones (c om o " su ma r" 0 " r es ta r ") . E I6 c tr ie .a -

mente, se represenra un "1" logico per medic de una

tension "alta", y un "0" logico por una tension "baja" . En

la practica, ha y un intervale de t en sio ne s q ue correspon-den a carla LLriO de dichos valores; por ejemplo, en la Serle

7 400 de lo s circuito s integrados logicos T IL, cualquier

tem;i61!lentre 2 y 5 V se interpretara com o u n " 1" 1 6g ic o, y

to da te ns io n e ntr e 0 y 0 .8 V seenrendera com o un "0" 1 6-

gico, La s te n si on e s e n tr e 0. 8 y 2 V no corresponden a ru n-gun estado logico, com o se m uestra en la figura8 .52.

'\-,,11 (V)

5

4

L6giCQ'I'

3

00 10J 200 300 400 500 600 700 800 900 I 000

riempo rs)

F I G U R A 8 . 5 2 C a r a c te r ts l i ca s de c a r g a/ d e sc d r g ll d e u l ll a C d p i l ci ta n c i a d e

l ra y e c tm l il q u e I d ef lt if lc a lo s r a n g Q 5 d ," t e o 5 1 0 n m p a r a e l" !" 1 6g ;{ ()y p a r a

eI '0" l i l ~ i c o .

Un parametro clave de los circuitos digitales es la ve-

locidad a la que es posible usarlos de manera eficaz, En

este senti do, la "velocidad' se refiere a cuan rapido cam-

bia una compuerla de UI) estado 16gico a otro (ya sea

de "0" logico a "J" l6gico 0 viceversa). y el rerardo r e oquerido para transmitir la salida de una cornpuerta a la

RESUM EN Y REPASO

D La re sp ue sra d e u n c irc uiro c on . f ue nte s q ue s e activan 0 de sa c ti va n en

fO fm a repentina de un circuito en el que hay c ap ac ito re se i nd uc to re s

siernpre estars cornpuesta por dos partes: una respuesta natural y una

respuestaJorzada.

D La form a de la respuesia natural (denom inada tam bien com o respuesta

transitoria'; depende s610 de lo s valores de las componentes y de la forma

e n q ue s e a la m b ra n e ntre elias.

D La form a dela respuesta forzada refieja In de lacfuncion forzada, Po r 10

tanto , una funcio n rorzada de cd siem pre provoca una respuesta fcrzada

COil stame.

D Un circuito reducido basta una sola induetanciaequivalerue L y una sola

resistencia equivalente R t endra una respuesta natural dada por

I (I) = ioe- I' , donde r = L/ R representa la constante de tiernpo del

circuiro,



entrada de la siguiente. A pesar de que los transistores

con tienen capacitancias " inco rporadas' que afectan su

velo cidad de con mutac lcrr , o n las trayectorias de inter-

conexlon las que en verdad lirnitan J i l i velocidad de 10

circuitos integrados digitale: mas veloces, Se puede

bacer un modele de la trayectoria de imerconexion entre

dos cornpuertaslcgiear con un circuito RC simple (si

bien los tarnaiio caracterf ticos conrinuan decreciendo

en los disebos modemo. e requieren modele mas de-

tallados para predecir con exactitud el de empeiio del

circulto). Par ejemplo, considerar una trayectoria de

2000 "tm de largo y 2 J,<.mde ancho . Se puede hacer el

modele de esta trayectoria par media de un circuito inte-

grade co rm in basado en silic ic .. en donde la capaci tancia

sea de 0.5 pF y la r es t i en ci a corre panda a L O a Q, como

e indica en la figura 8.53.

loon

~1 " , 1 0 . 5 pF '

o - 0

• FUiURA 8.51 M o d e l o d e d r cu ilO d e u n a ! ra y e cto r ia d e armM i n t e & r a d c .

Suponer qu e la tension Vs~1 reptesenta la tension de

'al icia de una eompuena qu e cambia de un estado de "0"

1 6g ico a un estado de "1 " 1 6g ico . La tension Vtn, aparece

en la entrada incluso de orra cornpuerta; ademas, in-

teresa el tiempo que tarda Vent en alcanzar el mismo

valor q ue v SliI.

Suponiendo que la capacirancia de 0.5 pF que carac-

te riza a la tra ye cto ria d e in te rc on exio n e sta d esc arg ad a alprincipia [esto e .. ven,(O) = 0],. al calcularse la con tante

de riempo RC de Ia trayectoria como J; = RC = 50 ps,

y definiendo I= 0 como cuando cambi a tJ~ll se obtiene

la expresi o n

v"",(I) = Ae.-"r +1)",1 (0)

Dejando venl(O) =O . se observa que A = -Vo;al (0 ) demodo que;

VCllI(l) = V (0)[ I - e-t /Tl

Luego de exarninar esta ecuacion e puede observer

que II,,", alcanzara el valor V s u l (0) despues de ~5r 0250

p•. Si Lat ension V 5 I L i cambia otra v ez a n te s de qu e finalice

este tiempo rransitorio. el capacitor 110 tendra tiernpo

suf icieme para cargarse. En tales situaciones, Ven, sera

mellor qu e vw{O). Suponiendo por ejemplo que U s a , I ( O )

e igua l a la tension minima de ., l " 16gico, e s to s ig n if ic a

qu e lien' 110 eo rresponde a un " I" lcgico , S i Llsul cambia

de m odo repen tino a 0 V (,'0" logico ) , e I capacitor em-

pieza a de cargarse de manera que uj, se reduce mas.

Por Latanto, a t conrnutar dema iado rapido los e . tado

logicos no se puede iran ferir la informacion de una

cornpuerta a otra,

La mayo. velocidad a la que se cambian los e tados

logicos es entonces (5'f)-1_ La anterior se express en

t e rminus de Ia fre cu en cia d e operacion maxima como

I1 m " " - = -_- = 2 GHz

2(:>r)

d ou de el fac to r 2 rep re en ta u n p erio do de cargaJdesearga.

Si e desea operar el circuito integrado a una frecuencia

m as alta. de m od o que los c alcu lo e efecn ien m as rapido,

es necesario reducir la capacitancia ' 1 /0 ta resistencia deinrerconexiou.

o Un circuito reducido hasta una : a la capacirancia equivalente C y una sola

r e si st en c ia e q ui v al en t s R ten dra u na resp ue ra n atu ra l d !a da p or

'I.!{I) =Voe-r/r• donde r =RC es la constante de tiempo

del circuito,

o L a fu n cio n de e calon unitario con utuye una rnanera iltil para hacer

el modele del cierre 0 la apertura de un interrupter, iernpre

que se tenga cuidado de vigilar Lascondiciones

iniciales.

o La respuesta completa d e u n c ir cu ito RL 0RC excitad o p or u na

fuente de cd tendril. la forma 1(0+) =/(00) + A y fU ) =1(00) +[/(0+) - Jt J]e-I/r, 0 respue ta total = valor final +(valor inicial - valor final)e-r1r.

o La respuesta compLeta de un cireui to RL 0 RC puede deterrninarse

tambien e cribiendo una sola ecuacion diferencial de la cantidad

de intere y re olviendola,



C A P ir u lO a C lR C UIT OS R L Y R C B A s I C O S

• FIGURA 8.54

/,=0'

20n

• FIGURA 8.55

Cuando se trata con circuito conmutados en secuencia 0circuitos

conectados en forma de onda pulsante ,el problema primordial es conocer

si eJelemento de almscenamiento de energia cuenta can suficiente tiempo

para cargarse 0 descargarse totalmente, como una rnedicion relacionada con

la consranre de tiempo del circuito.

LECTURAS AD IC IONALES

U na g ula q ue tra ta so bre te cn ica s d e s olu cic n d e e cu ac io ne s d ife re nc ia l@ s p ue de

e n co n tra rs e e n :

W . E . Boy c e y R . C. DiPr ima , EII!'II ll !l1fw'J' Differentia! Equations and Boundary

Value Problems. 7a . ed .. Wiley , Nueva Y ork 2002.

Una deser ie c ien al d e ta lle d e lo s t ra n sit orio s ell drcuitos e le ctric os p ue ce e nc on -

t ra rs e e n :

E. Weber . Linear Transient Analysis Volume I. W iley ueva York , 1 9 54 .

(F ue ra d e p ub lica ci6 n. s in e m b arg o, lie p ue de e nc on rra r e n la s b ib lio te ca s d e

rn uc h as u ni vcrsidades.)

EJERCICIOS

8.1 EI circuito RL de fuent.e libre

I. C an sidcrar el circuuo RL simple que se muestra en la tigura 854. Si I? = 4.7 k~.L = I JLH. e i (D} =2 r nA , c alc ul ar (a ) i n I= 100 p s: (b); en I= 212.8 P ;

(c ) VJ I e ll 75 ps; (d) tiL e n 7S ps,

2. EI c ircu ito que se m uestra en la figu ra 8 ..5 4 co nsia d e u na. resis tencia R = 1 Q Y

una i nducranc ia L = 2 H. En I = 0 , la in du cta nc ia a lrn ac en a [0 0 m J d e energfa,Calcular (Ii) iell I = L s: (b) ien I = 5 s: (c) i em r = las: (tI) l a e ne rg fa r es ta nte

el l 1<1nductancia en I :0: 2 s.

3. Pus cl eircuuo RL simple que e muestra en 1a f igura 8 .5 4. s e s al le que R es de 100 n.S i i(O ) = 2 rnA e ;(50 Ils) =735.8 Jl.A. dete rm iner e l a lo r de la inductancia L .

4. E n e l c ir cu uo RL s im p le q ue s e rn ne stra e n 12 1 fig ura 8 .5 4, s e s ab e q ue L es de

3 mH . S i i(O) = L5 A e ;( 2 s)= = 5 51.8 rnA . dere rm inar e .l v alo r d e I n r cs is ie nc ia R .5. La inductancia de 3 m H en e l circuito de 1< '1i gur a 8 . 5 4 aimacena 1 J de energfa en

I"" 0 Y 100 ml en I = I r ns . Calcular R.

6 .8 1 in te rru pte r d el c ire un o d e 13 f igura 8.55 h a e sta do c crra do d es de q ue lo s

d in o a urio s dearnbulaban sobre 1,1tierra. S i el inrerrupior se abre en I=0,

de te rminer (a) it: en cl instante despue de que cambia cl interrupter: (h) )I en

e l in sta nie p oste rio r a l c am bio de l in terruptor.

7 . E I in te rru pto r d el c irc uito d e 13 f igura 8.56 e s de u n $010 po l a c on dos r nov ir n ien te s

que e dibujan para indicar que cicrra tillc ir cu it .o an te s de ab ri r eI o tto : a m e n ud o,esie ripe> d e lm erru pio r se c on oc e c om o interrupter qu e " esta ble ce c om acto a ntes d e

ln te rr um p ir to ". S u po nie nd o q ue h a e sta do e n I n p os ic io n d lb uja du e n 1 1 . 1ig u ra d u-

ra nte la rgo u ern po, d ete rm in ar e l valor de IIe;1. . (a) ,e n el insrarue ju sto a nte s d e qu e

c ambi e e l l ru e rr u pt or : (b ) C I T I cl i ns tame justa despues d e qu e c am bie e l iruerrupior,

1n

• FIGURA 8.56



E J E R C I C I O S

S. Despues de p e rr na n ec e r p o r horas en la conliguraci6n indicada, el interrupter del

circ uito d e In figm a 8 .5 7 s e cierra en f =O . E n I=5 us, calcular: (al it; (b) isw.

I kQ I kn

4mH

• F IG URA 8.S'1

9 . L ue g o d e e st ar c er ra do d ur an te largo t iernpo, el interrupter del circuite de L a figura

8.58 se a b re e n I=0. {(I) Dcre rm ina r i.. (t) para I » O . (b) Evaluar i. (e) Calcular

II si i r . (II) =O .5 i ~110).

1.0. En el easo del circuito que e rnue Ira en la ligula 8.59. (a) escribir la ecuacicn

diferencial que describe la len-ion VR en el resi tor para I:> O. (b) Resolver In

e cu ac io n c ar ac te rf t ic a (c) Calcu lar I J N _ justo antes d e qu e e a bra el iru errup ro r,exactamente t l esp l ie . d e q ue . e a br a e l ir ue rr up to r y en t = I

8.2 Propiedades de la respuesta exponencial

11. La figura 8.7 rnue Ira una grafica de i/lo como una funcion de I, (a) Determinar

lo s v alores de t/t para 10 cuales i/o es 0.1. 0.01 Y0.001. (0) Si e traza una tan-

gerne a la curva en cl punta donde I/r = I. ~d6nde intersecara III eje t'.

11.Ccnsultar la respucsia que se muestra en la figura 8.60 y determinar la constanre

de tiempo del cireuito y la corricnte inicial que circula por el inductor .

• F IG URA 8.60

13. Dibujar la tension de la resistencia ell un circuito RL simple caracter izado por una

energja inicial de 15 ml almaccnada ell el inductor de i0 ml], para R = 1 k!2,

R = 10 kQ Y R = 100 kQ. Verlficar SIl solucidn con una simulacion P pice

sencilla.

1 4 . S e a n R = I MQ Y L ;:;;3 .3 l. tH e n 0 1 circ uu o d e la lig ura 8 .1 . (a} Calcular laconstantc de tiernpo del circuho. (b) Si el inductor iieee una energfa inicsal de

43 j 1 . J en r = 0 , d e te rm i n a r i en 1 = 5 ps. (c) V erific ar s u s olu cic n c on u na s im u -

lacien PSpice .

1.5.Se envfa una seiial digital a traves de un alambre enrollado sin perdidas que ilene

una inductancia de 125.7 ~H. Determiner el maximo valor penni lido de Ia re-

s is ie nc ia e qu iv ale ru e d e T h e v en in d el e qu ip o d e r ec ep cio n. s i lo s rransltorlos debendurar men os de 1 00 ns,

Ion son

• fl.GUIA B.58

In H1

F IGURA S.59



!!I,FICURA 8.61

C A P j T l U L O a C I R C L l I T O S R L Y I? C B A s I C O S

1 6. E I interrupter d e I n fi gu ra 8.61 h e e st ad o abiene po r m uc ho tie mp o antes d e c e rr a rs e

en r = 0 Para ~I intervale de tiempo -5 < 1 ~ 5 Ils . dibujar: (11) it.(I): (b) i,(I).

I mH IkQ I.OmA

• FIGURA 8.61

B .3 EI circuitQ He d e fU en te lib re

~1 7 . E n e l c ir cu it o RC e n p ara le lo d e la fig ura 8.6 2, C = I J .L FY R = 100 Mr . l: r ep re -

scnran las perdidas enel dielectrico de l capacitor, EI capacitor alrnacena I ml en

[ = O. (a) Determinar II I constarne de ticrnpo clel circulto. (1;) Calcular ien 20 s,

(c) verificar la solucion con una simulacion PSpice,

18. Suponer que, en el circulto de la figura 8.62, R =I n . C = 2 Fe i0) =10 V.

Calcular tI en (el) I =1 s; (b) r = :1 s: (el I = 5 s: (d) I= J 0 s.J 9 . U t il iza r R = 1 kQ Y C =4 li1 F en e l e ire uh o de la fig ura 8 .6 I. S i 1 1 (0 )"" 5 V.

calcular (a) v en I= 1 m s: (a) i n I= 2 m s; (c) la e nergfa que qu ed a e n e l ca pa ci-

tor en! = 4 rns.

2 0. S e s ab e q ue e n e l c irc uito RC qu e se mue s tr a e n I ll. f . iguJf3 8.6 2, C e s d e I O [) p E

(1) S i 1) (0 ) = 1.5 V Y v( 2 IlS) := I DO m V, determ inar el valor de la resis tencia R .

(I)) Veri f icar la s olu cio n c on u na s im u la cio n P S pic e.

21. Un receptor estereo uene un suministro de potcncia que incluye dos grandcs capac i. -

teres de 50 m F concciados en paralelo , C uando se interrum pe 11'1tim en tac ion de

poiencia del receptor; 51 ! observa que el LEO ambar que S , \ , : u sa c om o in dic ad or de

"potencia actlvada' 51 ! a t em l a poc o a poco duranee unoseuaruos segundos, Comon o h a y n ad a im c re sa rn e e n In te le vis io n, d ec id e e fe ctu ar u n c xp erim e m o u tiliz an do

u na c am a ra d e 35 !TIm c on u n o b tu ra d or de v e lo c k lad v a ri ab le y una pe l lc u ta ba ra ia .

Se uti l izan cuatro velocidades de disparo: 150 O1S. I s, 1.5:<;'i 2.0 s, A mcdidaque

a um e m a Ia v clo cid ad d el d is pa ra do r d e 1 50 rn s a 1 .5 s . I a im a g en qu e a pa re ce e n III

p elfc ula re ve la da a um e n ta e n b rillo , N o s e n o ta n in g un a d ife re ne ia significativeen tr e la s irn iig e l]e ~ to m a da s a .v elo cid ad es d e d is pa ra do r d e 1 ,5 , Y 2 . 0 s m i en tra s

que a un a ve lo cid ad d e I S O m s s e o bse rv n u na im a g en c on 1 4 % d e la iru en sid ad qu e

se obtiene con las m35 bajas velocidades de cdmara. Estimar la resistcncia equiva-

lente de Thdvenin del circuiio conectado al suministro de palencia del receptor .

22 , (a) Determinar ucU) para e l t ie rn po Iell e l circuito d e la rig u ra 8 .6 3. (I)) i,En que

tie m po s c tienc vc = 0.1 <ldO) '?

1(}Q 24Q

i',

+

SA

.FI(i:llRA 8.,63

2 3. U na fuerne de corricnte d e 4 A . u na re siste nc la d e: 20 Q Y u n ca pa cito r d e 5 Jl F

c su in c on ec ia do s e n p ara lc lo . .L a a rn plu ud d e la f i l e - m e d e c orrie nte d ls m in uy e d e

rnanera repent ina hasta cere (conviniendose en una fuente de corriente de 0 A) en

r = O . i ,E n q uI ': r icm po : (a) la rensidn d el c ap ac ito r d is min tly e ha sta la r nita d d e S Il

valor inicial, y (b) In energia almacenada en el capacitor se reduce hasta 13m itad

de s 'u v a lo r i ni ci al ?



E J E R C I C I O S

14. Determiner IJc(l) e ic(l) para el circuito de la figura 8.64 y dibujar amaa s curvass ob re e l rniSITIO e je de uem po para -0 . I -< r < 0.1 ,

~". +

IOV~'~

• FIGURA 8.64

25. En el circuito de la ligura 8.65. calcular <:1valor de la corr iente denominada i y latension designada 11en I=0 ,I = J .5 rns y l =3.0 rns,

• FICURA B.65,

8.4 Una perspectiva m as general

2 6, E I in terrupter de la flg1Wl8.66 se abre en I =Odespues de hsber esrado cerrado pa r

un tiempo indefinldo. Encontrar iL e ix BI I {n} [ :;;;;0-: (b) I = 0+; (c) I = : 100 jj.s.

• f'IGURA 8.66

27. U n induc to r de 0.2 H c s!a ; e n p ara le lo c on u na r cs is ie nc ia de 10 0 n . La c or rie ntc e n e l

induc tor es de 4 A en I = 0, (11) Determ ine it.(I) en I = 0. 8 m s, (b) S i se c on ec ta o tra

reslstencia de 1 00 n e n p a ra le lo c on e l in du cto r e n / = I r ns , c a lc u la r iLen J = 2 m s,

28. U n inductor de :20 mi - l e s r a c on ec ta do e n p ar ale lo c an u na resisiencia de 1 k !.1 .

Conslderar que.el valor de 13 corrientc de law cs de 40 rnA ell I =O. (a) i.En qu e

uernpo 1 01 orriem e 'era de I Q > rnA? (b) i .Que resistencia e n s er ie d e be c o nn u na rs een el circuuo en I = lOu. " de modo que la corriente sea de lOrnA en I= 15 /Ls?

29 . E n la re d d e la figure 8.67. los valores iniciales son il0 ) ee 20 rnA e

i(O ) = 1 5 r nA . . (a) Detcrrninar II(Q) . (b) Calcular lI(I JlS), (G ' ) i. En q ue t i empo

es u(r) = O.llI(O)?

.:lOmB 30 m H

• FIGURA 8.67



• Ii= IG URA 8.10

C A P iT U L O 8 C lR C U IT O S ra Y R C ! l A s I C O S

3,0.Elcgir valores para R IY R2 en el circuito de la figura 8.6,8, de manera que

IIR(O+) = La v y 'iJR(llmj ~ 5 V .

• F IG URA 8.,68

3 LEI inrernrptor del circuiro de J i l l figura 8.69 ha csrado abierto par mucho tiempo,

antes de CCITiIJ~een 1= O . (a) Determinar iLV) para t > O. (b) Dibujar I :Jz(r) pam

m e n o s -4 <: 1 <: +4 m s.

24 V 2jrnH 30n

• FIG U RA 8.69

32, Si iL (10)= [0 A ell et circuito de la figura S.70. encontrar ii: (I) para ( > O.

33.0b:;ervar el clrcuno de la r igura 8.71 y determmar i, en I=-0.1, 0.03 Y O.Ls,

Elabornr un dibujo de ' I en luncion de t, -0.1 -c I< I s.

M V ( ~ f ~ Q ~ ' " f " o• FIGURA 8.71

34. Un circulro est:l cornpuesto per un inductor de 0,5 H . una resisiencia de 1.00 Yuna

resiseencia de II() n en serie .. L a corriente en eJ inductor es de 4 A en 1 = O.

(a) Calcular id 15 rns). (h) La resistencia de 40 Q esta en cortocircuito en

I= 15 m s, Caleular iL(30 ms).

35 , EI circuito de la figura 8.72 cocnene dos induct ores en paralelo, 10 que permite que

circule una corriente atrapada en torno al tazo inductivo. Sean i] (0-) = J IO A e

i~(O-) =20 A. «(I) Calcular i1(0+), i,(O+) 'I i0+). (b) iDeiennil1ar 1: 1 ccnstante de

tiem po r para i(I), ( el P r op o rc io n ar i(!)./':> O . (tl) Obtener v(ll . (e) Determiner

; 1(r) e ;2 (I) a partir de ~ (/) Y los valores iniciales, If) Demosrrar que la

energfa almacenada en I= 0 es lgual a 13 sums de In e nergta drslpacaen la red

r es is ti va e n tr e r '" 0 y I = 00, m as Laene rg i a a lmacenadaen 108 md uc to re s e n

' =00 .

0 .4 H

• FIGURA ·8.11



E J E R C i C I O S

36. E I c ircu iro de la ligu ra 8.73 ha estado en la form a que se ind ica desde ayer al

m e d io dfa . E I huerrupior s e a b re e x ac ta rn e rn e a la s 1 0 : 00 a .r n, D e t er m in a r ilY vc a

las (0) 9:59 a.m.; (h) 10:05 a.rn, (c) Calcular i(0 en t ."" 1.2t. Cd) Verificar la

solucidn con PSpice.

I"I):oo ...m.

.j.

2HlI

0.1 f

,,

• FIGURA 8.73

37. I...wego de e sta r p or mucho tiempo en la configuracidn que se senala. el interrupter

de la figura 8.74 se abre en I"'". Calcntar lo s valores para (!1) iAO-): (b) i,,(O-):

(c) i, (0+); (d) i , . (O+); (e) i . . . (O.4 s),

WmF

• FIGURAB.14

38 . Luego de perm anecer ccrrado po r rnucho tiem po, e l interrup ter de 1 3 figura 8 .7 5 se

abre en I=O . «(l} En co mra r lie (I) pan ] l ::> O . (b) Calcu la r i;d-IOO / J. s) eiAU 00 j1:5). (c) Verilicar su sotucion con PSp ice .

1=0

• FICiURA 8.75

39. Muchas luna.';despues de que el circuite de 1 3 figura 8.76 se cnsarnblo por primern

v e z, s u i nl eI T up { () r~ e cierra en (= O . (<I) O brener I, (I) para r < O . (b) Encentrar

idlJ para I> O . .

j p. F;; kfl 12 kQ

• F IG UR A 8 .76



C A P iT U L O 8 C lR C U I T O S R L Y R C B A s I C O S

40. Mucho tiempo despues de que se ensamblo el circuito de la figura 8.77, ambos in-

terruptores se abren de forma simultanea en t =0, como se indica. (a) Obtener laexpresi6n de VsaI correspondiente at> 0.. (b) Calcular los valores de VsaI ent =+, I j . l .S Y 5 us.

,--------0 -1',,1 +0------,

800 200

0 .0 1 J LF00 800

• FIGURA 8.77

41 . (a) Suponer que el circuito de la figura 8.78 ha estado en la forma que aparece du-

rante bastante tiempo. Determinar vcCt) para cualquier t luego de que se abre el in-

terruptor. (b) Calcular vcCt) en t =3 us. (c) Verificar su soluci6n con PSpice.

50

• FIGURA 8.78

42 . Detenninar los valores de Ro Y RI en el circuito de la figura 8.79, de modo quevc =50 V en t =0.5 IDS Y Vc =25 V en t =2 ms.

• FIGURA 8.79

43. Para el circuito de la figura 8.80 deterrninar vdt) para (a) t < 0; (b) t > O .

IkO

t= 0

2kO 3 kO

0 .1 f. LF

+

_l_IOOV~

51& IOkO

• Fl(iURA 8.80



E J E R C I C I O S

44. Proporcionar el valor de iIU) para 1 <: (J y r > 0 en el circuito de la figura 8.81,

2nF

• F IG URA 8. 8 1

4 5. E I in terrupter de 1 11ig ura 8.82 se rnueve de A a B en I=0 ce sp ue s d e esta r e n A

p or m u c ho tie m p o, E sto c olo ca a lo s do s capacitores en serie, 1 0 cu al p erm i te q ue

en los eapacitorcs queden atrapadas rensiones de cd iguales y opucstas, (a) Deter-

rninar 1)1 (0-) 1J2(O-) Y 1)11(0-). (n) Calcular VI (0+) , v,(O+} y 1!R(IJ+).

(c) Obtener la c onst a rn c de iiempo de vR(I). Cd) Pmpor c i nnar vRII), ( > 0,

((I) Determiner iU), (1) Encontrar VI (I) y u 2(.11 ) a partir de i(t) y los valoresini-

csales. (g) Demosrra r que Ia energfa a l rnacenada en { = 00 m as la energia total

disipada en la resis iencia de 20 kQ es igual a lacncrgfa alrnacenadaen los capaci-

tares en I = O .

5kfl A ~~ 20k~2 (

~ il - /'1.. . . . .

100V. . '. s ~F J . "T 10~I -• FIGURA 8.81

4 6. E I va lor de i,ell e l c irc uito d e Ill. f ig ura 8 .8 3 e s 1 m A p ara I < 0, y c er n p a ra I > O .

Dete rmmar v, (np ar a { al I« 0; (h) I> - O .

i,

• FICURA 8.Bl

47. EI valor de v, en el circuito de Ill.figura 8.84 e~ 20 V para I< O. Ycero para I > O.

Ca le u la r ( , (l) para (Il) I < 0 : (h) I > O .

4K EI interrupter en In figura 8.85 ha estado cerrado poT varias horns, quizd dernasiadas.

E I r U S ! b lees II In ti p o e spe ci a l d e res isrenci a que se sab re ca h en L a y r unde si la

c orrie nre qu e c irc ula p ar e lla e xc ed e I A p or m as d e 100 m s (ta mbie ll e xisren o tro slipos de Iusibles), La resistencia del fusible es de 3 mQ. Si se abre el interrupter en

1 = O. i,se Iundira? Verificar su respuesta call PSpicc.

IV

• F IG URA 8,85

" ,+

• FU;;URA 8•.84

20u:F

10k!}



49. Utilizando las funciones escalon unitario, generar una expresi6n que describa la

forma de onda que se muestra en lafigura 8.86.

I

50. Mediante las funciones escalon unitario generar una expresion que describa la

forma de onda que se muestra en la figura 8.87.

-+----'------l.4-----+- t (s) 51. Dada la funcion J(t) =6u(-t) + 6u(t + I) - 3u(t + 2), evaluar J(t) en

t=a) -1; (b) 0-; (e) 0+; (d) 1.5; (e) 3.

52. Dada la funci6n get) =9u(t) - 6u(t + 10) + 3u(t + 12), evaluar get) en

t =(a) -I; (b) 0+; (e) 5; (d) 11; (e) 30.

53. Los valores de Fuente del circuito de la figura 8.88 son VA =300u(1 - I) V,

VB = -120u(t + 1) V e ic = 3u( -t) A. Determinar i en t = -1.5, -0.5, 0.5,

Y 1.5 s.

C A P iT U LO 8 C lR C U IT O S R L Y R C B A s I C O S

8.5 La fu n c io n escalon unitario

• FIGURA 8.88

54. Los valores de Fuente de la figura 8.88 son VA =600tu(t + I) V,

VB =600(1 + I)u(t) V e ic =6(1 - l)u(t - 1) A. (a) Proporcionar ilen

t = -1.5, -0.5, 0.5 Y 1.5 s. (b) Dibujar i] en funci6n de t para

-2.5 < t < 2.5 s.

55. En t = 2, obtener el valor de (a) 2u(l - t) - 3u(t - I) - 4u(t + 1);

(b) [5 - u(t)J[2 + u(3 - I)l[ I - u(l - t)]; (e) 4e-II(3-l)u(3 - f).

56. Obtener ix para t < 0 Y t > 0 en el circuito de la figura 8.89 si la rama desconocida

contiene: (a) un interruptor normal mente abierto que se cierra en t =0, en serie

con una bateria de 60 V, referencia +en la parte superior; (b) una Fuente de

tension, 60u(t) V, referencia + en la parte superior.

• FIGURA 8.89

57. Determinar ix en el circuito de la figura 8.90 en interval os desde t =-0.5 shasta

t=3.5 s.

t = 2 s

200,,(3 - t) V l00u(r - 1) V

• FIGURA 8.90



E l E R C l C l O S

58 . EI imcr ruptor de '1 8 figura 8 . 9 1 eS l< 1en la p osicio n A p ar a I < 0. En I ee 0 ~e mUeVI , : .hac ia B, y lue go h ac ia C en I =4 s y h ac ia D en I =6 S, donde pe rr nanec e.

G rafica r u{tl c om o u na fu nci6n d el tiem po y expresarla com o una sum a de fun-c lo ne s f or za da s de e sc alo n .

• FiG URA lUi

5 9. U na forma de enda de tension que aparece en un elernemo desconocido tiene como

expresion 7 11 (1 ) - 02.1I(I} + 8u{1 - 2) + 3 V. (el) D ete rm in ar la t e n s - i o n en I= 1 s.(Ii) S i la c or rie me c orre sp on die rn e a tr a ves del elemeruo C$ 3.5u (r) - G . II I (r) +411 ( I - 2) ,+ 1 .5 A . ; ,qut tip o d e clemente es y cual e s s u v a lo r?

B.~ A(:cionamiento de circuitos Rl1.2 V

60. En el czrc uito de la figu re 8 .92 , (a) cn con tra r una exp resion para UR{r ) v a li da , p a ra

' lodo t iempo: (h) calcular UI/ en t = 2 m s: (c) v erific ar la respuesta d e Ia pane(b ) ulilizando I 'Spic(l .

6 1. O b se rv ar e l e ir cu ir o d e la fig ur a 8 .9 3 y (a) deterruinar it:{I); (b) u ti li za r l a e xp re -5 i6n d e idl) c on e l fin d e c alc ula r !JdJ).

• ' Fl C il i RA . 8. '9 1

I ,

~ " ~ f• FIGURAB.91

2H

• FIGURA 8.;94

6 2 . E n eo n tr a r h . en e l c ircu ito de la figura Il94 en r igual a «(I) -0.5 s: (b) [ 1 . 5 s; (e ) 1..5s,

6 3, D e a eu erd o c on e l c irc uito q ue s e p re se nra e n la fig ura 8.95, obtener Is expresion

a lg e bra ic a d el m i srn o Y iambien graflcar ln: (a) iLU); (b) UI(J) •

• FIGURA8.9S • FIGURA 8.96

6 4 . Co n s ul ta r e l' c irc uito d e la figa ra 8 ,9 6 y (a) c alcu la r la po tenc ia abso rbida par la

resistcncia de:2 kQ en f = I ms; (b) determinar el valor de i(l) en 3 !tS; (c) pro-

porc ionar 13 c or rie n tc m a x im a 3 r ra v cs de III resis iencia de 1 2 kQ . Cd)COl1lfiITlillU

s us r es pu es ta s c on P $p ic c.



C A P Ur u L O :8 C I R C : : UI T O S R L Y R C B As I ( O S

8.7 Respuestas natur,af yforzada

~ . l r ' l > ~. 30/LH

b 1 f -• FICiURA 8.97

• FICURA 8.98

65. En el circuiio que se muestra en laflgura 8.97, (a) encontrar una cxpresion valida

pam i(1) ell todo riempo: (b) calcularur) ell r = 1.5/1';;; (c) verificar el resultudo

COil una simulacion PSpice.

66. Ell elcircuito RL de la ligura 8.9B, (a) encoruear J i l l expresion de ulI{r) valida pararode L i empo : (b) calcular VR (I) en I=2 rns: (c) ver i f icar el resultadocon una

simulacicn PSp ic e .

67. Con referencia al crrcuho de 1<1igura 8.99, caleular 1)1 (I) ell I ;;;;;;27 IJ .,S .

• FICURA 8.99

68. EI imerruptor de 13 figura 8. WIJ ha esiado cerrado par largo tiernpo. (a) Obtener j I.

para I < O . (b) Calcular iL{I) pa rac ualqu ier r lu ego d e qu e se abre el inaerruptoren.l " '" O .

• FI(i,URA 8•.100

69. EI interrupter de 10:figura g,1 01 ha esiado abierto durante Iargo tiempo.

(a) Obiener i para I<O . ( 1 . » Determinar iL (1) para cualqoier t d esp ue s d e qu e

s e c ie r ra el i nt ermpt or e n I=O .

5Q

2!H1 - 0.1 HA

3A

•• f l:(iUiRA 8.101

70. Para eI circuito que se rnuestra en la figura 8. [02, obtener los valore s de it. Y U I en

t igual a Ca ) O~; (b ) 0+; ("J 00; (d ) 0.2 ms .

• IFI:CiUiRA8.102



1 0 01 1 (1 ) r nA t

• FIGURA 8.105 O · g " A

E J E R ( I ( l O S

71. La ecuacion [33]'de la seceicn 8.7 represema la solucion general del clrcuito RL

a cc io n ad o e n s er ie , d on d e Q e s u n a fu ncio n d e u ern po e n g en era l, y Ay P 5011

constantes. Sean R " " 12 5 . ! ; ' l Y L"" 5 H . encontrar i(l) para.I;.. si la tu nc io n d e

t ensi on tc rzada L.Qm es (a ) r o V; (IJ) 10 1 1I) V; (c ) 1 0+ iOu (I) V;(d) IOu(/)cos501 V.

72. EI interrupter de la figura 8.103 permanecio cerrado durante un r iernpo

proloogado. (a) Proporcionar iL para 1 < (I. (b) Justo despues de ab rir e l in te rr up te r,

encenrrar i1.(0+) (c) Determinar il.(oo). (d) Obtener In expresion de iL (I) relariva

a/ :> n .

200

-=-IOOV 0.51'1

-=-IOOV

• FIGURA 8.103

73. Calcular it para cualquier iel l el circuito de la figura 8.104.

74. Suponer que el interrupter de la figura 8.10S ha esrado cerrado pO T rnucho tiempo y

que se abre despues en r = O . Proporcionar (, en Iiguala (a) 0-; (b) 0+; (c) 40 ms,

0.5 H

11)0

30V -=-

• F IGURA 8.104

7 5. S up on er q ue e J in te rru pte r d e Ia fiigura 8 .105 permanec io a bie no p ar rn uc no

tiernpo y que se cierra despues en 1= O . Determiner I~en l igual a (a) 0-; (0) 0+; • FIGURA8.106(c) 40 ms,

7 '6. Obicnc r II., V) pa m cualquier I en eI circuito de La figura 2.106.

77. De acucrdo con el circuito que se presents en 1 3 figura 8. 107 , calcular (a) !I-(t);

(b) i (I).

• FICiURA 8.107



• FICURA 8.108

• FICURA 8.111

• FICURA. 8.113

C A P iT U L O 8 C lR C U IT O S R L Y R C B A S I C O S

78. Encontrar la expresion de vet) en el circuito de la figura 8.108 que sea valida para

todo tiempo.

79. Encontrar la expresion de vet) en el circuito de la figura 8.109 que sea valida para

cualquier tiempo.

2=4'~')A~

• FICURA 8.109

8.8 Ac c ionam ie nto de circuitos RC

80. (a) Proporcionar Vc del circuito de la figura 8.110 en t = -2 jh S Yt =+2 us :

(b) Verificar su soluci6n con PSpice.

2 ill lkO

• FICURA 8.110

81. Con referencia al circuito RC de la figura 8.111, encontrar la expresi6n de vc(t)

que sea valida para cualquier tiempo.

82. Despues de permanecer cerrado por largo tiempo, el interruptor de la figura 8.112

se abre en t =O.CaJcular iA para cualquier tiempo.

lkO Jill

lO Y 0 .0 1 fL F

• FICURA 8.112

83. Luego de estar abierto por mucho tiempo, el interruptor de la figura 8.112 se cierra

en t =O.Deterrninar iA para cualquier tiempo.

84. EI interruptor del circuito de la figura 8.113 ha estado abierto por mucho tiempo.Se cierra de forma repentina en t =O.Encontrar iOn! igual a: (a) -1.5 s; (b) 1.5 s.

85. Sea Vs = -12u( -t) + 24u(t) V en el circuito de la figura 8.114. Sobre el intervalo

de tiempo -5 ms < t < 5 rns, encontrar la expresion algebraica de: (a) vc(t);

(b) ien! (t). Graficarlas .

• FICURA 8.114



E J E I K t O O S

8,6.Calcular Ve para! >0 en el circuito de la Iigura &. L15.

FI~URA 8.115

87. Obrener el valor de vd!) en I= 0.4 Y0.8 s para el circuiio de la figura 8.11'6.

• FICURA 8.11&

88.En el circuito de III figure 8.117: (a) determinar vc(1) para redo tiempo, y(6) graflcar tid!) para -I < ! < 2 s. Verificar susolucion COil PSpice.

IOkr l

5kO 10kQ

40"U) V lO Ol/(I-I) V

• FIGURA 8.111

89. En cl circuito de la Figura 8.118, determiner VN (t) para (a) I< 0; (b) I:> O.

Suponer lucgo que el interrupter ha estado cerrado durante l argo tiempo y que sc

a bre e n I= O.CaJcu Ja r IJR(I) para (c) I< 0: (d) I> O .

90. EI interrupter de la figura 8.119 se ha mantenido en A durante largo tiempo, Se

r nuev e hac ia B enr =0 y re gre . a h acia A e n r = I m s . C alc ula r RI y R2 d e m o do

que vd I rns) = 8 V Y vd2 ms) = I V.

• BCURA 8.119

SA

• FIGURA 8.118



J ~ .s~F

200n 1 / ' "

• FICURA 8.123

C A P iT U L O 8 C I R C U 1 1 05 R L Y R C B A 5 1 C 0 5

91. Encontrar el primer instante de tiempo Iuego de t = 0, para el cual Vx = 0 en el

circuito de la figura 8.120.

l o o n

u(t) A lOOu(t) V

• FICURA 8.120

92. En el circuito de la figura 8.121, un interrupter se abre en t =0, en tanto que elotro interruptor se cierra en forma sirnultanea. Graficar la potencia absorbida por

la resistencia de 1kQ en el intervale - 1ms .:":: :"::7 ms. En t =0, la fuente de I

rn A tambien se desactiva,

7mA

• FICURA 8.121

93. Si el interruptor en la figura 8.122 ha estado cerrado por varios dfas, (a) determinarv en t =5.45 ms; (b) calcular la potencia disipada par la re istencia de 4.7 kQ en

t = 1.7 ms; (e) obtener la energfa total que ala larga la re istencia de 4.7 kQ con-

vertira en calor, luego de que se abra el interruptor.

9V

• FI:CURA8.122

94. Suponer que el amp op que se presenta en lafigura 8.123 es ideal y calcular v,(t)

para cualquier t.

95. Suponga que el amp op que se rnuestra en la figura 8.] 24 es ideal y Ca ) encontrar

Vo(t) para todo t. (b) Verificar la soluci6n con PSpice. Sugerencia: se puedengraficar funciones con Probe ingresando la expresion en la caja Trace Expression.

• FICURA 8.124



E J E R C I C I O S

96. (a) Obtener iL (0) para el circuito RL de la figura 8.125; (b) con PSpice y el valorinicial que encontr6 en el inciso a, determinar ii.en t =50 rns.

50

20u(t) A

• FICURA 8.125

97. (a) Suponer que el amp op que se muestra en la figura 8.126 es ideal y quevc(O) =O . Encontrar vo(t) para cualquier t. (b) Verificar su soluci6n con PSpice.

Sugerencia: se pueden graficar las funciones en Probe incorporando la expresi6n

dentro de la caja Trace Expression.

98. Disefiar un circuito que permita que la luz de una habitaci6n permanezca encen-

dida pOl'5 segundos despues de que se desactiv6 el interruptor. Considerar un foco

electrico de 40 W y un surninistro de 115V ca.

99. Un detector de movimiento instalado como parte de un sistema de seguridad parece

ser muy sensible a las fiucruaciones de potencia electrica. Se va a insertar un cir-

cuito de retardo entre el sensor y el circuito de alarma, de modo que se minirnicen

los disparos falsos. Bajo el supuesto de que el equivalente de Thevenin del sensor

de movimiento sea una resistencia de 2.37 kit en serie con una fuente de 1.5 Y Y

que la resistencia equivalente de Thevenin del circuito de alarma sea de 1Mit,

disefiar un circuito y que pueda insertarse entre el sensor y el circuito que requiera

una serialdel sensor que dure por 1 0 menos 1 segundo completo. EI movirniento delcircuito sensor/alarma trabaja del modo siguiente: el sensor surninistra de manera

continua una corriente pequeria al circuito de alarma, a menos que se detecte

movimiento, en cuyo caso se interrumpe la corriente.

B.9 Prediccion de la r es pue s ta d e c ir cu ito s c onmuta do s s e cuen c ia lm e nt e

~ I00. (a) Construir una forma de onda pulsada en PSpice para modelar la forma de ondade tensi6n VB del ejercicio S 3 y graficarla utilizando Probe. (Sugerencia: conectar

Lafuente a una resistencia para llevar a cabo la simulaci6n). (b) Construir la

forma de onda pulsada en PSpice para modelar laforma de onda de la corriente ic

del ejcrcicio S 3 y graficarla por medio de Probe.

gr.1 01. (a) Bosquejar la tensi6n VR de la resistencia del circuito de la figura 8.127 como

respuesta a una forma de onda pulsada Vs (I). El valor rnfnirno de vs(t) es 0 Y, su

maximo es de 3 Y,e l ancho del pulso es de 2 s y el periodo es de S s. Limitar el

bosquejo a 0 ~ t < 20 s. (b) Verificar el bosquejo realizando la simulaci6n

apropiada con PSpice.

gr.102. (a) Graficar la corriente i del inductor del circuito de la figura 8.128 como respuesta a

una forma pulsada vs(t). EI valor rrunirno de vs(t) es 0 Y,su maximo es 5 Y,el anchodel pulso es de 5 s y el periodo esde 5.5 s. Limitar el bosquejo a 0 ~ t < 20 s.

(b) Verificar el bosquejo realizando la simulaci6n apropiada con PSpice.

103.La fuente de tensi6n Vs de la figura 8.129 es una fuente pulsada que tiene un valor

mfnirnode 2 V, un valor maximo de 10V Y un ancho de pulso de 4 RC. Dibujar la

tensi6n del capacitor si el tiempo entre pulsos de Vs es (a ) 0.1 RC; (b) RC; (c ) 10RC.

• FICURA 8.129

0.1 J LF Iill

v,

v, = 4e-20O O O r u(t)V

• FICURA 8.1l6

i l f }If!

• FICURA 8.127

iii)If!

• FICURA 8.128

100 mH



C A P , I T IlL O B C 1 R C U lT O S R I Y R C B P s I ( O S

104.Con referencia al circuito de 1 3 figura 8.13,0, dibujar h (tJ en un periodo de

o . : s I :::: I J si i(l) es como SC mucstraen la ligura 8.131.

( C I ) II = 4 ns (b) 11= 150 ns (c) II = 150 ns

12 = 160 ns

Ij= 16 4 ns

/~=200 ns

12 =300 ns

I) = 450 ns

14 = = 500 ns

lOk ! 1

12 = 200 ns

I,=350 ns

!.=400 ns

;(1')

• fUiURA 8.130

i(1!

D )0- I' I . ~• H G U R A.B .lI1 1

circuitos hayt capitulo 08

Documents