MÁQUINAS ELÉCTRICAS

Ing. GILBERTO BECERRA ARÉVALO

INTRODUCCIÓN

El curso comprende el estudio de dos tipos de máquinas :

1) Máquinas Eléctricas Estáticas:

Se caracterizan porque en su parte operativa ninguna componente de la máquina semueve. En este campo de las máquinas se estudian:

– Al transformador 1Ø y 3Ø de potencia

– Al auto transformador 1Ø y 3 Ø de potencia

2) Máquinas Eléctricas Rotativas:

Se caracterizan porque en su funcionamiento una de las componentes de la máquinarota. En este campo de las máquinas se estudian a :

– Los Generadores en DC y AC

– Los Motores en DC y AC

En general toda máquina eléctrica basa su funcionamiento en elcampo magnético que produce la misma máquina.

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LA

MÁQUINA ELÉCTRICA ESTÁTICA

MAQUINA ESTÁTICAS1 = V1.I1 ; f S2 = V2..I2 ; f

CARGA

ELECTRIC

A

SALIDA A LA

CARGA

ENTRADA O

ALIMENTACIÓN

PERDIDAS DE

POTENCIA

*En la práctica las PÉRDIDAS DE POTENCIA para las máquinas estáticas,

son pequeñas; por lo que: S1 ≡ S2 ≡ S ≡ V.I

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LA

MÁQUINA ELÉCTRICA ROTATIVA

1. CASO DE GENERADOR O ALTERNADOR

CARGA

ELECTRICA

POTENCIA DE

ENTRADA

(Potencia

Mecánica)

Pe = τ.ω

POTENCIA

DE SALIDA

(Potencia

Eléctrica)

Ps = V.I

PERDIDAS MECANICAS + PERDIDAS ELECTRICAS

GENERADOR O

ALTERNADOR

2. CASO DE MOTOR

CARGA

MECÁNICA

POTENCIA DE

ENTRADA

(Potencia

Eléctrica)

Pe = V.I

POTENCIA

DE SALIDA

(Potencia

Mecánica)

Ps = τ.ω

PÉRDIDAS MECÁNICAS +

PÉRDIDAS ELÉCTRICAS

MOTOR AC Y

DC

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA

MAGNETOSTÁTICA

Fuentes magnéticas:

- Los imanes permanentes.

- La corriente eléctrica que fluye por un conducto.

CAMPO MAGNÉTICO O DENSIDAD DE FLUJO

MAGNÉTICO ( )

Las fuentes magnéticas se caracterizan por que producen en su espacio circundante líneas magnéticas o líneas de inducción magnética, que cumplen las siguientes propiedades:

1) Son líneas cerradas y orientadas de tal forma que cada punto de cada línea

magnética tiene asociado el vector en forma tangente. Por lo tanto, el

conjunto de líneas magnéticas definen un espacio vectorial llamado campo

magnético o densidad de flujo magnético

CASO IMÁN PERMANENTE:

CASO DE BOBINA CON CORRIENTE ELÉCTRICA (Electroimán):

Debido a la fuerte concentración de las líneas magnéticas dentro del núcleo:

2) Las líneas magnéticas no se cruzan

3) Las líneas magnéticas siempre buscan cerrase por el camino que les ofrece

menor reluctancia magnética o resistencia magnética (Rm). La familia de

materiales ferromagnéticos (hierro, níquel, cobalto, álnico y aleaciones como el

acero silicoso, etc.) se caracterizan por presentar baja resistencia magnética a las

líneas magnéticas.

4) El valor del campo magnético depende de las características magnéticas

del medio o material donde se encuentra. Por lo tanto, para los casos

anteriores, se cumple:

5) CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME:

Región del espacio donde el vector en todo punto es el mismo

(tiene el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido)

FLUJO MAGNÉTICO (Øm)

Es el número de líneas magnéticas que pasan a través de una determinada área o

superficie.

El flujo magnético a través de cada elemento diferencial de área

( dA) se define como:

dØm = .

flujo magnético total a través de toda área “A” :

Expresión general.

dASi es el ángulo entre los vectores y entonces aplicando el concepto de producto

escalar se tiene:

Expresión general

Si B y son constantes en todo punto del área A :

Øm= BA cos Expresión particular

Si es perpendicular al área y en el mismo sentido que entonces = 0º;

por lo tanto:

Øm = BA

dA

Expresión frecuentemente utilizada en

máquinas eléctricas

NOTA. Como Øm depende de la densidad de flujo magnético

B

entonces el flujo magnético también depende de las características

magnéticas del medio o material

UNIDADES:

- En el Sistema Internacional de Unidades, Øm se mide en weber y

B

se mide en weber / m2 o Tesla.

- En el Sistema Inglés, Øm se mide en líneas o maxwell y

B

se mide en líneas/pulgada2

1 weber = 108 líneas

INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO ( )

H

Es aquella cantidad magnética cuyo valor depende de la corriente eléctrica que

genera el campo, y no de las características magnéticas del medio (Ley de Ampere).

B

HRELACIÓN ENTRE y

Donde existen líneas magnéticas, existe una relación importante entre y

dada por la expresión:

En módulo :

Donde μ es la permeabilidad magnética del medio o material donde se encuentran

las líneas magnéticas.

B

H

Para el aire libre o vacío:

mVA

Weber

7

0 104VA

mTesla

m

HenrriosO O

CLASIFICACIÓN MAGNÉTICA DEL LOS MATERIALES

De acuerdo al nivel de contribución magnética de los materiales hacia el

campo magnético externo ( definida por su μ), se los clasifica en dos grupos:

a) Materiales no Ferromagnéticos o malos materiales magnéticos:

Presentan una pobre contribución magnética al campo externo (µmaterial = µo).

Estos materiales, se clasifican a su vez en:

a) Materiales diamagnéticos. Se caracterizan por disminuir muy ligeramente el

campo magnético externo (cobre, plata, oro, mercurio, etc.)

b) Materiales paramagnéticos. Se caracterizan por reforzar o incrementar muy

ligeramente el campo magnético externo (aluminio, platino, cromo, etc.)

NOTA 1: Explicación de la Física:

En el estado desimantado 0

im

NOTA 2. En los materiales no ferromagnéticos los momentos dipolares

magnéticos de los átomos, actúan en forma individual.

NOTA 3: Los materiales no ferromagnéticos son materiales lineales, dado que

dentro de estos materiales la relación B vs. H responde a una línea recta ( µmat ~

µo):

b) Materiales Ferromagnéticos o buenos materiales magnéticos: hierro,

álnico, níquel, cobalto, y aleaciones como el acero al silicoso.

Presentan las siguientes características:

a) Refuerzan considerablemente el flujo y campo magnético externo, debido al alto

μ que poseen.

Explicación de la Física. Considera que intrínsecamente estos materiales poseen

regiones que actúan como pequeños imanes (DOMINIOS):

Para un material ferromagnético virgen (nunca ha sido expuesto a un campo

externo) en el estado desimantado: la sumatoria de efectos magnéticos de sus

dominios es igual a cero (el material no refleja sus características magnéticas).

OJO: Los materiales ferromagnéticos solamente contribuyen a incrementar el campo o

flujo magnético externo, hasta antes de alcanzar su estado de saturación.

b) Son materiales NO LINEALES.

Comportamiento de un material ferromagnético virgen sólo en el proceso

de imantación:

c) Todo material ferromagnético sometido a una imantación, queda imantado

después que se le retira el flujo Imantador (retiene cierto magnetismo Br ). Por lo

tanto, el material ferromagnético se comporta como un imán.

d) Luego, si a un material ferromagnético se lo imanta y desimanta sucesivamente,

entonces, intrínsecamente el material desarrolla su denominado ciclo de

histéresis o lazo de histéresis.

e) Para un mismo material ferromagnético se pueden obtener muchos ciclos de

histéresis. Esto permite obtener la denominada curva de magnetización, o curva

de saturación o curva B – H del material, que generalmente es proporcionada por

el fabricante para ser utilizada con fines prácticos.

f) El alto µ que poseen los materiales ferromagnéticos, hace que su reluctancia

magnética o resistencia magnética sea pequeña, por lo que se dice que estos

materiales son “buenos conductores del flujo magnéticos”.

Permeabilidad Magnética Relativa de un medio o

material (µr)

Se define por la relación:

µr = µ / µo

Para materiales no ferromagnético µr = 1

Para materiales ferromagnéticos, µr >>> 1 y dependiendo

de la calidad del material ferromagnético µr como valor

promedio, puede ser muy grande hasta el orden de los

miles (400, 800, 1500,…., 10000, etc.).

LEY CIRCUITAL DE AMPERE

Es una ley física, que relaciona la corriente eléctrica con la

intensidad de campo magnético que genera dicha corriente.

Sea el siguiente sistema de hilos de corriente en el medio el aire libre:

La ley de ampere establece que:

C

dlH = corriente neta encerrada por la trayectoria “C”. (Expresión general)

H

dlSi es el ángulo entre los vectores y entonces la Ley de Ampere se puede expresar:

C dlHCos = corriente neta encerrada por “C”

APLICACIÓN Nº 1

Calcular la intensidad de campo magnético H a una distancia r de un alambre

recto y muy largo que transporta una corriente I . El alambre se encuentra en

el espacio libre.

Por Ampere:

C dlHCos = corriente neta encerrada por “C”

r

IHIrH pp

22

Si el alambre está en el aire libre, entonces:r2

IBHB 0

pp0p

APLICACIÓN Nº 2

Intensidad de campo magnético “H” dentro de un núcleo ferromagnético anular:

Aplicando Ampere:

C )dlHCos( = corriente neta cerrada por “C”

Como:

Hm = constante a lo largo de trayectoria “C”

θ = 0° a lo largo de trayectoria “C” y además

Hm . lm = NI

m

ml

NIH

m

VA

m

A Por lo tanto en el S.I de unidades “H” se mide en ò

lgpu

Aò

“NI” es denominado Fuerza magnetomotriz de la bobina (f.m.m de la

bobina).

lgpu

VA En el sistema Ingles “H” se mide en

m mB

NOTA: En general, en las máquinas eléctricas la fuerza magnetomotriz de sus

bobinas son las que producen el flujo magnético o campo magnético

para el funcionamiento de la máquina.

RELUCTANCIA MAGNÉTICA O RESISTENCIA MAGNÉTICA DE UN NÚCLEO (Rm)

Es la característica que tiene todo medio o material de oponerse al paso de las

líneas magnéticas o flujo magnético m

Sea el siguiente

núcleo feromagnético

que contiene un flujo

Øm :

Por Ampere, se cumple que:

Hm = NI / lm NI = Hm .lm ……………… (1)

Reemplazando (2) en (1):

Luego el circuito eléctrico correspondiente del núcleo ferromagnético

propuesto (circuito magnético), es:

Si el núcleo ferromagnético fuese ideal, entonces µ = ∞ y por lo tanto Rm = 0 y d = 0

CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Un circuito magnético es aquel conjunto de resistencias magnéticas donde existe

m producido por la f.m.m de bobinas.

Por lo tanto, toda máquina eléctrica resulta ser un circuito magnético ya que

físicamente están constitutitas por núcleos ferromagnéticos sobre las cuales

se arrollan o devanan bobinas que producen f.m.m par su funcionamiento.

Ejemplo: El núcleo ferromagnético anterior resulta ser un circuito magnético.

Luego, si despreciamos el de su bobina, entonces su circuito eléctrico

correspondiente será:d

Rm = Reluctancia del núcleo

Rma = Reluctancia del aire

CIRCUITOS MAGNÉTICOS IMANTADOS

CON CORRIENTE CONTINUA

1. CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLE DE SECCIÓN TRANSVERSAL

CONSTANTE IMANTADO CON DC

Núcleo:

Es del tipo ferromagnético laminado, comúnmente se utilizan láminas de

acero silicoso, de espesores 0.5mm, 0.35mm, 0.25mm. Las láminas están

debidamente aisladas utilizando generalmente una película de aislante de

CARLITE (resina química). Las máquinas eléctricas estáticas y rotativas, siempre

presentan núcleos ferromagnéticos laminados.

Longitud Media del Núcleo ( lm )

lm = (d + a/2 + a/2) x 2 + ( c - a/2 - a/2)x2

Sección Transversal efectiva o útil del núcleo ( Am )

Am = Área geométrica x factor de apilamiento o factor de relleno ; es decir :

Am = a.b x fa fa siempre ≤ 1

Para láminas con asilamiento carlite el fa generalmente varía entre 0.9 y 0.95 , y

suele ser dato de diseño.

NOTA: Se tiene como datos:

N = # de láminas del núcleo

t = espesor de cada lámina

entonces: Am = a.N.t

Despreciando el flujo de dispersión de la bobina el circuito eléctrico

correspondiente del circuito magnético propuesto es:

Luego se cumple las siguientes expresiones matemáticas:

Por Ampere: mm RNI Cuando se conoce μ o μr del núcleo.

mm lHNI Cuando no se conoce μ o μr del núcleo.

DATO:

SOLUCIÓN DEL CIRCUITO MAGNÉTICO PROPUESTO:

1er Caso:

m en el núcleo, y curva B-H del material.

INCÓGNITA:

f.m.m. “NI” de la bobina o corriente I o μ del material o Rm del núcleo o inductancia

L de la bobina.

Por Ampere:

NI = Hm . lm ………(1)

Con dato m

m

mm

AB

curva B-H del material, y se obtiene Hm :

Cálculo de la inductancia “L” del a bobina:

Por definición la inductancia de una bobina es:

I

NL m

Entonces reemplazando el valor de “I” calculado con la expresión (1) y m

se obtiene el valor de “L”

En el sistema internacional de unidades “L” se mide en Henrios (H), sin embargo las

unidades prácticas que se utilizan con frecuencia son el mH y el μH.

1mH = 10 -3 H

1μH = 10 -6 H

Nota:

La inductancia de una bobina es un parámetro eléctrico que depende de

factores constructivos.

Para el circuito magnético que se está analizando, se cumple:

Por definición:

I

NL m

Pero, del circuito eléctrico correspondiente se tiene que:

mm RNI

m

mR

NI

Luego reemplazando este flujo en la expresión de la inductancia, se tiene:

mR

NI

I

NL

m

2

R

NL

Pero:

m

mm

A

lR

m

m

l

ANL

2

2do Caso:

DATO: f.m.m. (NI) de la bobina y curva B-H del material:

INCÓGNITAS: m μ, Rm o L

Por Ampere:

mm lHNI

m

ml

NIH Utilizando curva B-H del material, se tiene :

con el Bm hallado, se determina: mmm AB

También se puede determinar los valores de:

m

mm

A

lR

I

NL m

CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLE DE SECCIÓN

TRANSVERSAL CONSTANTE CON

ENTREHIERRO, IMANTADO CON DC

Por ser las líneas magnéticas, líneas cerradas, entonces se cumple que:

ma

Por efecto de los bordes del entrehierro que produce ensanchamiento y

deformación de las líneas magnéticas, se cumple:

aA > geometricaA

El área del entrehierro se determina con expresiones empíricas.

Para el caso de entrehierros de caras rectangulares iguales y paralelas, se

utiliza la siguiente expresión empírica:

Aa = (a + la ) . (b + la )

CIRCUITO ELÉCTRICO CORRESPONDIENTE

Despreciando el d se tiene el siguiente circuito correspondiente:

mComo Ra > Rm será menor que cuando no tiene entrehierro

CASO GENERAL DE CIRCUITO MAGNÉTICO CON VARIAS R m EN SERIE

Su circuito eléctrico correspondiente despreciando flujo de dispersión es:

Se cumple:

O también:

CIRCUITOS MAGNÉTICOS DE SECCIÓN

RECTANGULAR CON RAMAS EN

PARALELO, IMANTADAS CON DC

Despreciando d el circuito eléctrico correspondiente es:

NOTA. En general, para resolver cualquier circuito magnético, se plantean las

“Leyes de Kirchoff Magnéticas”:

)( m)( mPRIMERA LEY: que entran en un nodo = que salen de un nodo

Para el circuito magnético propuesto:

mCmAmB

SEGUNDA Ley: ( voltajes magnéticos en cualquier trayectoria cerrada) = 0

Para el circuito magnético propuesto se puede plantear:

mAmAaBmBmBmB RRRNI

O también:

aBmBmAmAmBmB RlHlHNI

OJO: También se pueden plantear otras expresiones de la segunda ley.

UNIDADES MAGNÉTICAS

Denominación Magnética S.I. Sistema Ingles

Weber Líneas o Maxwell

Bm Weber/m2 o Tesla líneas/pulg2

Hm A-V/m o A/m AV/pulg o A/pulg

μo4 x 10-7 weber/A-V.m 1/313 klíneas/A-V.pulg

Rm 1 / H

1 weber = 108 líneas

PROBLEMA 1

El circuito magnético mostrado tiene un núcleo ferromagnético de acero silicoso

tipo H-23, formado por 80 láminas de 0,5mm de espesor y con un factor de

apilamiento de 0,9. Si por la bobina se hace fluir una corriente DC entonces la

densidad del flujo magnético en el entrehierro de la columna izquierda es 1.1182

Tesla. Determinar la fuerza magnetomotriz de la bobina

OJO: La corriente es de sentido contrario y las longitudes medias no

están correctas

la = 0.5 mm

a = 19 mm

SOLUCIÓN:

lmA= lmC= (2a + a/2) x 2 + (3a +a/2 + a/2)

lmA= lmC= 171 mm= 171 x 10-3 m

lmB = (3a +a/2 + a/2)

lmB = 76 mm = 76 x 10-3 m

Areas:

AmA= AmC= 19x80x0.5 mm2

AmA= AmC= 760 x 10-6 m2

AmB= 38x80x0.5 mm2 =2 AmA

AmB= 1520 x 10-6 m2

AaA = AaC = (a+la) (b+la)

AaA = AaC = (19 + 0.5) (80 x0.5/0.9 +0.5) mm2

Longitudes medias:

AaA = AaC = 876,416667 x 10 -6 m2

AaB = (38 + 0.5) (80 x0.5/0.9 +0.5) mm2

AaB = 1730,36111x10-6 m2

Reluctancias de los entrehierros:

R aA = R aC = la / μo AaB

R aA = R aC = 0.5 x 10-3 / 4x10-7x 876,416667 x 10-6 1/H

R aA = R aC = 453999,3718 1/H

RaB= 0.5 x 10-3 / 4x10-71730,36111x10-6 1/H

RaB= 229944,6949 1/H

Circuito eléctrico correspondiente:

Por simetría: ØmA = ØmC

Entonces ØmB = 2ØmA = 2ØmC

Incógnita: f.m.m. de la bobina (NI)

Por dato: BaA = 1.1182 Tesla ØaA = ØmA = BaA . AaA

ØmA = 1.1182 x 876,416667 x 10-6 weber

ØmA = 0.98 x 10-3 weber = ØmC

ØmB = 2 x ØmA = 1,96 x 10-3 weber

Del circuito eléctrico correspondiente se cumple:

NI = ØmBRmB + ØmBRaB + ØmCRmC + ØmCRaC

O también:

NI = HmB lmB + HmC lmC + ØmB RaB + ØmC RaC …………..(1)

Pero: ØmB BmB = ØmB / AmB BmB = 1,29 tesla

de la curva B – H del material: HmB = 297 AV/m

También: ØmC BmC = ØmC / AmC BmC =1,29 tesla

de la curva B-H del material: HmC = 297 AV/m

Remplazamos valores en (1) se obtiene:

NI = 968,9641 A.V Respuesta

PROBLEMA 2

El circuito magnético mostrado tiene núcleo de acero silicoso formado por láminas

de 0,5 milímetros de espesor de material tipo H – 23 y tiene un factor de

apilamiento de 0,9. Se pide:

a) Determinar la inductancia total de las bobinas, si la densidad del flujo

magnético en el entrehierro es 0,75 Tesla

b) Si el núcleo del mencionando circuito magnético se ajusta de tal manera que

no tenga entrehierro, entonces ¿Es verdad que la inductancia total de las bobinas

se incrementa con respecto al caso anterior, para el mismo valor de corriente

DC? Demostrar su respuesta:

OJO: Las bobinas

son de 1000 esp.

y 300 esp. y son

aditivas, y no

sustractivas como

aparece en la

figura.

SOLUCIÓN

a)

lm = 200 x 2 + (300 – 50 – 0.9) x 2 mm = 898 x 10 -3 m

Am = 50x50x0.9 mm2 = 2.25x10-3 m2

Aa = (50+ 0.9) x (50+0.9) = 2590,81 x 10 -6 m2

Ra= 0,9 x 10 -3 / 4x10-7x 2590,81 x 10-6 1/H

RTa = 2 Ra = 552, 875158 x 103 1/H

Circuito Eléctrico correspondiente:

Por dato:

Ba = 0.75 tesla

Entonces:

Øa = Øm = Ba Aa

Øm = 0.75 x 2590,81x 10-6 Tesla

Øm = 1943,1075 x 10-6 Tesla

Piden el valor de la inductancia total de bobinas:

LTOTAL = 1300 Øm / I…………….. (1)

Calculo de I:

Del circuito eléctrico correspondiente:

1300 I = Øm (Rm + RTa) o también:

1300 I = Hm lm + Øm RTa…………. (2)

Pero: Øm Bm = Øm / Am = 0,8636 Tesla = 0,86 Tesla

Entonces de la curva B-H del material se obtiene: Hm = 134 AV/m

Reemplazando valores en (2):

I = 0.92 A

Reemplazando valores en (1):

L total = 2.746 H Respuesta

b)

Con entrehierro: L total = (1300)2 / (Rm + Rta)

Por lo tanto: L total < L* total

Sin entrehierro: L*total = (1300)2 / Rm

La proposición es VERDADERA, dado que la inductancia de las

bobinas se incrementa sin entrehierro

CIRCUITOS MAGNÉTICOS ALIMENTADOS CON

VOLTAJE ALTERNO: REACTORES DE NUCLEOS

FERROMAGNETICOS

Sea el siguiente reactor de núcleo ferromagnético:

¿Cuál es la forma de

onda de la f.e.m

inducida e(t); del flujo

Ф(t) confinado en el

núcleo, y de la

corriente de

excitación io(t)?

Por Faraday:

…………………. (1)

Si despreciamos las resistencias de las bobinas y el d , entonces del circuito

de la bobina se cumple:

v(t) = e (t)……………………. (2)

Así mismo, de (2) y (1) se concluye que el flujo magnético )t(

confinado en el núcleo, resulta ser una ONDA ALTERNA SENOIDAL.

Por lo tanto, si para cualquier instante, este flujo es:

tSen.)t( max

e(t) = N. dΦ/dt

Por lo tanto, la f.e.m inducida tiene una forma de onda del tipo alterno senoidal.

La fuerza electromotriz (f.e.m) que se induce en la bobina es:

90tSen..fN2)t(eft2Cos.f2..N)t(eft2Sen.dt

d.N)t(e maxmaxmax

Por lo tanto, el valor eficaz de la f.e.m. inducida en la bobina es:

2

EE max max.N.f44.4E

Pero )t( = B(t).A

Entonces:

maxmax B.A

Por lo tanto:

E = 4,44 f.N.A.Bmax (Expresión de diseño)

Pero: v(t) = e(t) V = E (Valores eficaces)

Luego, en la práctica se considera: V = 4.44 f.N.A.Bmax

Comportamiento gráfico de e(t) y Φ(t) :

Representación fasorial de e(t) y Φ(t) :

PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN LOS NÚCLEOS FERROMAGNÉTICOS

Todo flujo alterno contenido o confinado dentro de un material ferromagnético,

ocasiona calentamiento del núcleo, el mismo que se disipa en forma de calor.

Dicho calentamiento se debe a dos fenómenos físicos que produce el flujo

alterno dentro del material:

1. Hace que el material intrínsecamente desarrolle su ciclo de histéresis, el cual se

repite a la frecuencia del flujo o voltaje de alimentación, ocasionando las

denominadas PÉRDIDAS DE HISTÉRESIS (PH).

2. Hace que dentro del material ferr. se genere o induzca corriente eléctrica, las cuales

son denominadas corrientes parásitas o de torbellino o corrientes de Foucault, que

por efecto Joule ocasiona las denominadas PÉRDIDAS POR FOCAULT (PF).

Pérdidas por Histéresis (PH)

son producidas por el movimiento y fricción molecular intrínseco que se produce

dentro del material ferromagnético, como consecuencia de la repetición del ciclo

de histéresis a la frecuencia del voltaje de alimentación.

Sea el siguiente flujo

senoidal dentro del

núcleo ferromagnético:

Luego, por cada período “T” del flujo imantador, el material ferromagnético

intrínsecamente desarrolla un ciclo de histéresis; esto hace que el ciclo de histéresis

se repite a la frecuencia del voltaje de alimentación, que finalmente se traduce en

calentamiento.

Expresión Matemática (teórica) de la PH. El físico Steinmetz, empíricamente

determinó que las pérdidas por histéresis son directamente proporcionales al área

encerrada por el ciclo, y encontró la siguiente expresión matemática (teórica) para

determinar dichas pérdidas:

Donde:

Para un núcleo construido se puede considerar:HkVol . constante de histéresis

Por lo tanto:n

HH BfkP max.. watts

Nota: En la práctica las perdidas por histéresis solamente podrán ser

reducidas utilizando buenos materiales ferromagnéticos, es decir

materiales ferromagnéticos BLANDOS como el acero silicoso que presenta

ciclos de histéresis de área reducida.

Pérdidas por corrientes parásitas o pérdidas por Focault (PF)

Experimentalmente se comprueba que todo material conductor que es

atravesado por un flujo magnético alterno, se calienta, disipando energía en forma

de calor. Esto demuestra que de acuerdo con la ley de Faraday - Lenz, el flujo

alterno dentro del material induce corrientes eléctricas, al cual se le denomina

corrientes parasitas o corrientes de Foucault, las cuales por efecto joule calentaran

al material.

Las corrientes parásitas o de Foucault producen en los núcleos ferromagnéticos

las denominadas pérdidas por FOCAULT (PF).

Las corrientes parásitas y las pérdidas que produce dependen de la frecuencia del

flujo imantador que es la misma que del voltaje de alimentación.

.

Las corrientes parásitas producen dentro del material el fenómeno de

apantallamiento que hacen que el flujo y campo magnético se aleje del centro

del área del núcleo para concentrarse en el área lateral de la sección transversal.

Para reducir las corrientes parásitas y por ende las pérdidas por Focault en los

núcleos ferromagnéticos de las maquinas eléctricas, lo que se hace en la práctica

es aumentar la resistencia eléctrica del núcleo, mediante 2 procedimientos:

1. Construyendo núcleos laminados con láminas debidamente aisladas.

2. Aleándolo al material ferromagnético con silicio en hasta 4% o 5%, con lo

cual se logra no solo aumentar la resistividad del material ferromagnético

sino también se logra mejorar la permeabilidad magnética.

EXPRESIÓN MATEMÁTICA (TEÓRICA) A LAS PÉRDIDAS POR FOCAULT (PF)

Despreciando el efecto de apantallamiento, la expresión matemática (teórica)

que se deduce para determinar las pérdidas por Foucault es:

6

....2

max

222 BftVolPF

Donde:

Vol = volumen neto del núcleo

t = espesor de la lámina ferromagnética

f = frecuencia del voltaje de alimentación

Bmax = valor pico de la senoide B(t)

ρ = resistividad del material

Para un núcleo construido:

6

.. 22 tVolKF Constante de Foucault

Luego, reemplazando la constante de Focault se tiene:

2

max

2 .. BfKP FF Watts

PÉRDIDAS TOTALES O PÉRDIDAS EN EL FIERRO (Pfe)

FHfe PPP Watts o :2

max

2

max .... BfKBfKP F

n

Hfe Watts

DETERMINACIÓN PRÁCTICA DE LAS Pfe

En la práctica Industrial las Pfe se determinan utilizando curvas de pérdidas

del material ferromagnético, proporcionadas por el fabricante:

Por lo tanto, las pérdidas en el fierro de diseño serán: fefefe GpP . watts

Donde: feG = peso neto de fierro, que se determina teniendo en cuenta la

densidad del material (dato).

fierro

)(

)(3mVol

KgG fe Donde: Vol = volumen neto de

MEDIDA DE LAS PÉRDIDAS EN EL FIERRO

Se utiliza un VATÍMETRO 1Ф, para lo cual se monta el siguiente circuito.

El vatímetro lee toda la potencia activa que absorbe el reactor; es decir:

NOTA. Si no se tuviese vatímetro, entonces se puede determinar las pérdidas

en el fierro utilizando un voltímetro, un amperímetro y un cosfímetro:

CosIVPfe .. 0

Las cualidades magneticas de las chapas o laminas de acero al silicio dependen del laminado

que se les practique y de los tratamientos ternicos sometidos duyrante su fabricacion.

Las chapas laminadas en caliente presentan menor u y mayores perdidas magneticas que las

chapachapas laminadas en frio para la misma frecuencia.

A la lamina obtenida por laminacion en frio tambien se lo llama lámina de grano orientado,

que son las que se utilizan en lafabricacion de transformadores de mediana y alta frecuencia.

Despreciando la resistencia de la bobina y el flujo de dispersión ( ), d

por Ampere, se tiene:

CORRIENTE DE EXCITACIÓN QUE ABSORBE UN REACTOR (io(t) )

Forma de la onda de la io(t):

Pero )(t dentro del núcleo, hace que el material intrínsecamente desarrolle

ciclos de histéresis:

Luego, como el µ del material no permanece constante debido al ciclo de histéresis,

entonces la forma de onda de la )(0 ti deja de ser senoidal, y presenta el siguiente

comportamiento grafico:

La io(t) resulta ser una onda periódica simétrica rotacional, por lo que su

expresión matemática queda definida por la serie de Fourier con armónicos

de orden impar:

io(t) = Imax1 sen wt + Imax3 sen 3wt + Imax5 sen 5wt + ………………+ Imaxk sen kwt +…

… + I’max1 cos wt + I’max3 cos 3wt + I’max5 cos 5wt + ………………+ I’maxk cos kwt +…

Interpretación Práctica de la io :

S = Pfe + Q ; Pero por ser el dispositivo un reactor: Q >>Pfe

Potencia que absorbe

el reactor: S = V.Io

Potencia activa

Potencia reactiva

S tiende a ser Q , por lo tanto se tiene el siguiente triángulo de potencias:

Luego se tiene el siguiente diagrama fasorial para las corrientes:

MODELO CIRCUITAL DEL REACTOR DE NÚCLEO FERROMAGNÉTICO

Despreciando la resistencia de la bobina y el Ød, el modelo circuital del reactor es el

siguiente:

Donde:

g = conductancia de pérdidas en siemens o mhos.

b = susceptancia de magnetización en siemens o mhos.

Luego la admitancia del reactor es: jbgY

NOTA. Si se considera “R” de la bobina y Ød el modelo del reactor será:

La caída de tensión ∆ V en la práctica es bastante pequeña y por lo tanto despreciable

DETERMINACIÓN DE LOS

PARÁMETROS DEL MODELO CIRCUITAL

DEL REACTOR

Se monta el siguiente circuito

Entonces se cumple que:

Pfe = V2 . g g = Pfe / V2 mhos o siemens

También se cumple que:

jbgY

Entonces:

22 gYb 2

2

2

0

V

Pfe

V

Ib mhos o siemens

Nota: En el diseño también se pueden encontrar el valor de los parámetros

“g” y “b”.

Se sabe que:

22

0 mr III ………………….(1)

En la práctica Ir es pequeña comparada con Im, dado que suele ser

aproximadamente hasta un 15% de I0, por lo que de acuerdo con la expresión (1):

mII 0

en ele diseño, el valor de I0 se puede determinar usando la siguiente curva:

Entonces: I0 = (S.Gfe) / V Amperios

Donde: Gfe = peso neto del fierro en Kg

V = voltaje de diseño en voltios

Nota: Si no se desprecia la Ir, entonces la Im se determina usando la curva B-H

del material ferromagnético, y la Ir con la curva de pérdidas. Luego se aplica la

expresión matemática (1).

PROBLEMA 1

Cuando a un reactor de núcleo ferromagnético se lo alimenta con 200V, 60Hz

entonces las pérdidas por histéresis son 40 Watts y las pérdidas por Foucault

20 Watts, siendo la densidad de flujo magnético 0.93 Tesla. Si a dicho reactor se

lo alimenta con el voltaje V(t) = 250 sen (377t) + 71.5 sen (1131t) voltios. Entonces,

¿Cuáles serán las nuevas pérdidas en el fierro?. Considerar exponente de Steinmetz

1.6. Despreciar la resistencia de bobina y flujo de dispersión.

Solución:

1er caso:

f1=60H

PH1 = 40

PF1 = 20 W

Bmáx1 = 0.93 Tesla

2do caso:

Analizando cada componente senoidal, se tiene:

De igual manera, para la componente: v2’’(t) =71.5 sen (1131t) voltios, se obtiene.

Luego, considerando las dos componentes senoidales:

22222 '''''' FHFHfe PPPPP …….(α)

Cálculo de los Bmax de cada componente de voltaje senoidal:

En general, se sabe que: V = 4.44.f..N.A.Bmax, entonces:

Para el caso 1: 200 = 4,44 x 60 x NA x 0.93 …………(1)

Para componente v2’(t) : 176,78 = 4,44 x 60 x NA x B’max2 ….... (2)

Para componente v2’'(t) : 50,51 = 4,44 x 180 x NA x B’’max2…... (3)

Dividiendo (2) entre (1): B’max2 = 0,822 tesla

Dividiendo (3) entre (1): B,,max2 = 0,0783 tesla

Cálculo de las pérdidas por histéresis para cada caso:

En general se sabe que:

PH = KH .f .Bnmax

Para caso 1: 40 = KH x 60 x 0.931.6…………………(4)

Para la componente v2’(t) : P’H2 = KH x 60 x 0.8221.6……………..(5)

Para la componente v2’’(t) : P’’H2 = KH x 180 x 0.07831.6 ……………(6)

Dividiendo (5) entre (4) : P’H2 = 32,831 Watts

Dividiendo (6) entre (4) : P’’H2 = 2,289 Watts

Cálculo de las pérdidas por foucault para cada caso:

En general se sabe que:

PF = KF .f2 .B2max

Para caso 1: 20 = KF x 602 x 0.932……………...(7)

Para la componente v2’(t) : P’F2 = KF x 602 x 0.8222………….(8)

Para la componente v2’’(t) : P’’F2 = KF x 1802 x 0.07832 ……….(9)

Dividiendo (8) entre (7) : P’F2 = 15,625 Watts

Dividiendo (9) entre (7) : P’’F2 = 1.276 Watts

Luego, reemplazando los valores encontrados en (α), se obtiene:

Pfe2 = 52,021 Watts

Un reactor de núcleo ferromagnético está diseñado para trabajar con 60Hz.

Si este reactor es instalado en un sistema eléctrico de 50Hz con la misma tensión:

PROBLEMA 2:

¿Aumenta o disminuye la corriente de excitación que absorbe el reactor?

Solución:

1er caso

2do caso

En general, despreciando R de la bobina y el flujo de dispersión, por Ampere:

N.I = H.l

En general se sabe que: V = 4,44 . f . N.A . Bmáx entonces:

Primer caso: V = 4,44 . 60 . N.A . Bmax1

Segundo caso: V = 4,44 . 50 . N.A . Bmax2

Dividiendo:

150

60

2max

1max B

B Bmax2 = 1.2 Bmax1

Finalmente, analizando el gráfico, se obtiene:

Teniendo en cuenta lo anterior se concluye que:

Iomax2 > Iomax1

PROBLEMA 3:

La densidad de flujo magnético y las pérdidas en el fierro de un reactor de núcleo ferromagnético a 6600V, 60Hz, son 1.6 tesla y 2500 Watts respectivamente. Supóngase que se duplican las dimensiones lineales del núcleo que se reducen a la mita el número de espiras de su devanado y que a este nuevo reactor así formado se lo alimenta con 13200 voltios, 50Hz.

¿Cuáles serán las pérdidas en el fierro de este nuevo reactor, (consideren que el factor de apilamiento es el mismo en ambos casos?

1er caso:

2do caso:

Determinación de la relación de los Bmax:

En general: V = 4.44 . f .N. A . Bmax

Primer caso: 6600= 4,44 x 60 x NA x Bmax1

Bmax1 = Bmax2

Segundo caso: 13200 = 4,44 x 50 x NA x Bmax2

2

En general, también se sabe que:

Pfe = η .Vol . f . Bn máx + Vol . 2 . t2 . f2 . Bmax

2

6ρ

*) Aplicando esta expresión de pérdidas a cada caso se tiene:

Caso 1: 2500 = η . A1 . lm . f . Bn max + A1 . lm . 2 . t2 . f2 . Bmax

2

6p

Caso 2: Pfe2 = η . 8 A1 . lm .f . Bn max + 8 A1 . lm . 2 . t2 . f2. Bmax

2

6ρ

Pfe2 = 8 (2500)

Pfe2 = 20000 Watts