círculo geometria
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Resolución del circulo geometria planaTRANSCRIPT
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EL CICULO
Definiciones necesarias:
Crculo.- figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidista de un punto interior
fijo, llamado centro, la distancia constante se llama radio.
Circunferencia.- curva que limita al crculo.
Elementos de la circunferencia y el crculo
Grafico 1. Elementos del crculo
Radio.- toda recta que va del centro a un punto cualquiera de la circunferencia. En el grfico
segmento AB
Todos los radios son iguales, dos crculos son iguales si tienen iguales sus radios.
Curda.- segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, segmento CD.
Toda cuerda determina en la circunferencia dos arcos, arco mayor y arco menor. Llamados arcos
subtendidos por la cuerda. Salvo que se indique lo contrario, cuando se habla de arco subtendido
por la cuerda, se refiere al menor de los dos.
Secante.- recta que corta la circunferencia, ejemplo recta IJ
Tangente a un crculo es la recta de longitud ilimitada que tiene con la circunferencia solo un
punto en comn, llamado punto de tangencia, en el grafico punto de tangencia T.
Arco.- porcin de circunferencia. En el grafico ejemplo arco PH, denominamos arco con dos letras
generalmente las de sus extremos y colocando este smbolo sobre ellas, o anteponiendo arc. a
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las letras del nombre, ejemplo arc.PH, el orden de las letra debe ser
tomado en sentido anti horario, as en el grafico siguiente si decimos
arc. AB se refiere al arco menor, si queremos referimos al arco mayor
seria arc. BA.
Dimetro.- cuerda que pasa por el centro. Ejemplo en
el grafico 1 EF
Los arcos determinados en la circunferencia por el
dimetro son iguales, y se llaman semicircunferencias.
Propiedades fundamentales de la tangente
* P punto de tangencia L recta tangente
* OP perpendicular a L, porque la distancia entre el centro de la
circunferencia y la tangente es igual al radio.
TEOREMA
Una recta perpendicular al segmento radial de una circunferencia en su extremo externo es
tangente a la circunferencia (figura 18.14)
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Demostracin (reduccin al absurdo)
De la hiptesis, la recta t es perpendicular al segmento radial OT en el punto T
Demostremos que ningn otro punto de la recta t pertenece a la circunferencia.
Sea P otro punto de la recta y supongamos que P pertenece a la circunferencia, lo cual implica que
OP =OT por ser radios de la misma circunferencia. Por tanto el OTP sera issceles, y como los
ngulos de la base son congruentes entonces el ngulo OTP sera tambin recto, lo cual es una
contradiccin porque tendramos un tringulo con dos ngulos rectos. Luego P no pertenece a la
circunferencia y t es tangente a la circunferencia * OP= r.
Corolario
Toda recta perpendicular a una tangente en el punto de tangencia pasa por el centro del crculo
TEOREMA
Los segmentos tangentes trazados a una circunferencia desde un punto exterior son
congruentes y determinan ngulos congruentes con la recta que pasa por el centro y
el punto de interseccin de las tangentes (demostrar)
Aplicacin
Demostrar que la recta que une el punto de interseccin de dos rectas tangentes a una
circunferencia O y el centro es mediatriz de la cuerda que une los puntos de Tangencia.
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ngulos de un crculo:
Angulo central: con respecto a un crculo cualquiera, ngulo central es todo ngulo cuyo vrtice
est en el centro del crculo y sus lados son radios.
Medida de un ngulo por un arco.- se dice que un ngulo central se mide por el arco que lo
subtiende o por el arco comprendido entre sus lados.
Angulo AOB = arco AB
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TEOREMA
La perpendicular trazada desde el centro del circulo a la cuerda, biseca la cuerda y el arco los arcos
subtendidos por la cuerda (demostrar)
TEOREMA
En todo crculo, dos paralelas interceptan arcos iguales.
NOTA: en los grficos de los teoremas las lneas en rojo son las construcciones necesarias para las
demostraciones.
Angulo inscrito.- es aquel cuyo vrtice est en la circunferencia y sus lados son cuerdas, el ngulo
esta inscrito en el arco que contiene su vrtice.
Teorema
Todo ngulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.
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Datos o hiptesis:
- B ngulo inscrito en un crculo de centro O
- AC arco comprendido entre sus lados
Tesis a demostrar:
- < B = arc AC
Corolario 1: Todo ngulo inscrito en un semicrculo es un ngulo recto.
Corolario 2: Un ngulo inscrito en un arco mayor que un semicrculo es agudo; en un menor obtuso.
Corolario 3 : Todos los ngulos inscritos en un mismo arco o arcos iguales son iguales.
Definicin:
Angulo semi- inscrito.- ngulo cuyo vrtice est en la circunferencia y uno de sus lados es una
cuerda y el otro una tangente.
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Teorema
Todo ngulo Semi-insctito tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.
Datos o hiptesis :
- XY tangente
- QP cuerda
Tesis a demostrar :
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Definicin:
Angulo interior: ngulo formado por dos cuerdas que se cortan.
Teorema
Todo ngulo interior tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.
Datos o hiptesis :
- AD y CB cuerdas
- O punto de cruce
Tesis a demostrar :
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3. Considerando que, < BCD 140 determine la medida del
arco AB
Tarea
1. Demuestre que las rectas tangentes a una circunferencia O en los extremos de un dimetro son paralelas.
2. Demuestre que si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia
son colineales.
3. Demuestre que dos circunferencias congruentes son tangentes exteriores y entonces cualquier punto que equidiste de sus centros pertenece a la recta tangente comn.
4. Demuestre que en todo tringulo rectngulo circunscrito la suma de las medidas de los
catetos es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el dimetro de la circunferencia.
5. Demuestre que en todo cuadriltero circunscrito a una circunferencia la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados
6. En el grafico se sabe que RE y RA son
tangentes y que:
Arco BA = 80
Arco CB = 40
Arco ED= 30
Determinar el valor de los ngulos
indicados
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7. Calcular x. Si arc CB = 100 y A es punto de tangencia
8. Hallar x si AB es dimetro y mPAC = 50
9. En la figura mostrada, calcular x donde A y B son puntos de tangencia
10. Desde el punto P exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las
cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre s, calcule la medida del ngulo APD si el arco
AD mide 130.
11. En una circunferencia, el dimetro AB se prolonga hasta
un punto P, desde el cual se traza un rayo secante PMN
tal que la longitud PM sea igual al radio, Si el arco AN
mide 54 calcular el ngulo APN.
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12. H: CQ tang. Al crculo O
T: arco TC=?
13. H: DC tang.
T: