Clase 7 13/Febrero/2015

Se analizan dispositivos que almacenan carga eléctrica. Los capacitores seanalizan por lo común en una variedad muy amplia de circuitos eléctricos. Porejemplo se usan para sintonizar la frecuencia de receptores y radios, como filtrosen suministro de energía eléctrica, para eliminar chispas en los sistemas deincendio de automóviles y como dispositivos de almacenamiento de energía.

Un capacitor se componen de dos conductores separados por un aislante. Se veraque la capacitancia de un capacitor dado depende de su geometría y del materialllamado dieléctrico que separa a los conductores.

Considere dos conductores quetienen cargas de igual magnitudpero de signo opuesto, como semuestra en la figura.

Un capacitor consiste de dos

conductores que conducen cargas

de igual magnitud pero de signos

opuestos.

Tal combinación de dos conductores se denomina capacitor. Losconductores se conocen como placas. Debido a la presencia de lascargas existe una diferencia de potencial ∆𝑉 entre los conductores.Puesto que la unidad de diferencia de potencial es el volt, unadiferencia de potencial suele ser llamada voltaje. Se usara ese terminopara describir la diferencia de potencial a través de un elemento decircuito o entre dos puntos en el espacio.

¿Qué determina cuanta carga está sobre las placas del capacitor paraun voltaje determinado? En otras palabras, ¿Cuál es la capacidad deldispositivo para almacenar carga aun valor particular de ∆𝑉?

Los experimentos muestran que la cantidad de carga 𝑄 sobre uncapacitor es linealmente proporcional a la diferencia de potencial entrelos conductores; es decir, 𝑄 𝛼 ∆𝑉. La constante de proporcionalidad depende de la forma de separación de los conductores. Esta relación sepuede escribir como Q = C∆V si se define a la capacitancia como sigue:

La capacitancia 𝐶 de un capacitor es la razón entre la magnitud de lacarga en cualquiera de los dos conductores y la magnitud de ladiferencia de potencial entre ellos:

𝐶 =𝑄

∆𝑉𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

Nota. La capacitancia siempre es una cantidad positiva, porque ladiferencia de potencial aumenta linealmente con la carga almacenada,la proporción 𝑄/∆𝑉 es constante para un capacitor dado.

La capacitancia se expresa en el SI con las unidades coulomb por volt.La unidad de la capacitancia del SI es el farad (F)

1𝐹 =1𝐶

𝑉

El farad es una unidad de capacitancia muy grande. En la práctica losdispositivos comunes tienen capacitancias que varían de microfarads(10−6 𝐹) a picofarads, para propósitos prácticos los capacitores casisiempre se marcan con "𝑚𝐹" para microfarads o, de maneraequivalente, "𝑝𝐹“ para picofarads.

Considere un capacitorformado a partir de un parde placas como se muestraen la figura

Un capacitor de placas paralelas constade dos placas conductoras paralelas,cada una de área A, separadas por unadistancia d. Cuando el capacitor secarga, las placas transportan igualescantidades de carga. Una placa conducecarga positiva y la otra conduce carganegativa.

Cada placa esta conectada a la terminal de una batería que actúa como una fuentede diferencia de potencial. Si el capacitor esta inicialmente descargado, la bateríaestablece un campo eléctrico en los alambres conectores cuando se realizan lasconexiones.

Centremos la atención sobre la placa conectada a la terminal negativa de labatería. El campo eléctrico aplica una fuerza sobre los electrones en el alambreafuera de esta placa, esta fuerza provoca que los electrones se muevan hacia laplaca.

Este movimiento continua hasta que la placa, el alambre y la terminal están todosen el mismo potencial eléctrico.

Una vez alcanzado el punto de equilibrio, ya no existe mas una diferencia depotencial entre la terminal y la placa, y como resultado no existe un campoeléctrico en el alambre, por tanto el movimiento de los electrones se detiene. Laplaca ahora porta una carga negativa.

Un proceso similar ocurre en la otra placa del capacitor, con los electronesmoviéndose desde la placa hacia el alambre, dejando la placa cargadapositivamente.

En esta configuración final la diferencia de potencial a través de las placas es lamisma que existe entre las terminales de la batería.

Suponga que se tiene un capacitor especificado de 4𝑝𝐹 de carga por cada volt dediferencia de potencia entre los dos conductores. Si una batería de 9 Volts seconecta a través de este capacitor, uno de los conductores terminará con una carganeta de −36 𝑝𝐶 y el otro finalizara con una carga neta de +36 𝑝𝐶.

Problema 1

A) ¿Cuánta carga existe en cada placa de un capacitor de 4𝜇𝐹 cuando se conecta auna batería de 12𝑉? B) Si este mismo capacitor se conecta a una batería de 1.50V,¿que carga se almacena?

Solución

Datos:

𝐶 = 4𝜇𝐹; ∆𝑉 = 12𝑉

Inciso a

Sabemos que: 𝐶 =𝑄

∆𝑉⟹𝑄 = 𝐶 ∙ ∆𝑉 = 4 × 10−6 × 12

∴ 𝑄 = 48𝜇𝐶

Solución

Datos:

𝐶 = 4𝜇𝐹; ∆𝑉 = 1.50𝑉

Inciso b

Sabemos que: 𝐶 =𝑄

∆𝑉⟹𝑄 = 𝐶 ∙ ∆𝑉 = 4 × 10−6 × 1.5

∴ 𝑄 = 6𝜇𝐶

Problema 2

Dos conductores con cargas netas de +10𝜇𝐶 𝑦 − 10𝜇𝐶 tienen una diferencia depotencial de 10V. Determine a) la capacitancia del sistema y b) la diferencia delpotencial entre los dos conductores si las cargas en cada uno se incrementan hasta+ 100𝜇𝐶 𝑦 − 100𝑢𝐶.

Solución

Datos:

𝑄1 = +10𝜇𝐹 𝑄2 = −10𝜇𝐹 ∆𝑉 = 10𝑉

Inciso a

Sabemos que: 𝐶 =𝑄

∆𝑉=

10×10−6

10

∴ 𝐶 = 1𝜇𝐹

Solución

Datos:

𝑄1 = +100𝜇𝐹 𝑄2 = −100𝜇𝐹 ∆𝑉 = 10𝑉

Inciso b

Sabemos que: ∆𝑉 =𝑄

𝐶=

100×10−6

1×10−6

∴ ∆𝑉 = 100V

La capacitancia de un par de conductores con cargas opuestas se pueden calcularde la siguiente manera: se supone una carga de magnitud 𝑄, y la diferencia depotencial se calcula mediante las técnica antes vistas. Por lo tanto se usa laexpresión 𝐶 = 𝑄/∆𝑉 para evaluar la capacitancia. Como se podría esperar, elcalculo se efectúa con relativa facilidad si la geometría del capacitor es simple.

Se puede calcular la capacitancia de un conductor esférico aislado de radio 𝑅 ycarga 𝑄 si se supone que el segundo conductor que forma el capacitor es una esferahueca concéntrica de radio infinito. El potencial eléctrico de la esfera de radio 𝑅 es

simplemente𝑘𝑒𝑄

𝑅, 𝑦 𝑉 = 0, se establece por lo tanto lo siguiente:

Esta expresión muestra que la capacitancia de una esfera cargada aislada esproporcional a su radio y es independiente tanto de la carga sobre la esfera comode la diferencia de potencial.

𝐶 =𝑄

∆𝑉=

𝑄

𝐾𝑒𝑄/𝑅=𝑅

𝑘𝑒= 4𝜋𝜖0𝑅

La capacitancia de un par de conductores depende de la geometría de los mismos.Se ilustra esto con tres geometrías familiares, es decir, placas paralelas, cilindrosconcéntricos y esferas concéntricas.

Geometría Capacitancia observaciones

Esfera cargada aislada de radio

𝑅 (segundo conductor cargado

supuesto al infinito: que seencuentra alejado una distanciamuy grande con respecto a unpunto de referencia)

𝐶 = 4𝜋𝜖0𝑅Esta expresión muestra que la capacitancia de una esfera cargada

aislada es proporcional a su radio y es independiente tanto de la

carga sobre la esfera como de la diferencia de potencial.

Capacitor de placas paralelas

con área de placa A y

separación de placa d𝐶 = 𝜖0

𝐴

𝑑

La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional

al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación

de estas.

Capacitor cilíndrico de longitud 𝐿 y

radios interior y exterior a y b

respectivamente.𝐶 =

𝐿

2𝑘𝑒𝑙𝑛𝑎𝑏

Un ejemplo de este tipo de arreglo geométrico es un cable coaxial, el

cual consta de dos conductores cilíndricos concéntricos separados de

un aislante. El cable conduce señales eléctricas en los conductores

interior e exterior. Tal geometría es especialmente útil para

proteger las señales de cualquier influencia externa

Capacitor esférico con radios

interior y exterior a y b

respectivamente𝐶 =

𝑎𝑏

𝑘𝑒 𝑏 − 𝑎

Un capacitor cilíndrico consta de un

conductor cilíndrico solido de radio a

y longitud L rodeado por un cascaron

cilíndrico coaxial de radio b. La

segunda figura es la vista

transversal. Las líneas punteadas

representan la forma de la superficie

gaussiana cilíndrica de radio y

longitud L.

Key = Tecla

Movable plate = Placa móvil

Soft insulator = Aislante suave

Fixed plate =Placa fija

La capacitancia de un capacitor de

placas paralelas es proporcional al

área de sus placas e inversamente

proporcional a la separación de estas.

Un capacitor esférico consta de una

esfera interior de radio a rodeada por

un cascarón esférico concéntrico de

radio b. El campo eléctrico entre las

esferas esta dirigido radialmente hacia

afuera cuando la esfera interior tiene

carga positiva.

Problema 3

Una esfera conductora cargada y aislada de 12cm de radio crea un campo eléctricode 4.90 × 104𝑁/𝐶 a una distancia de 21 cm de su centro. A) ¿Cuál es su densidadde carga superficial? B) ¿Cuál es su capacitancia?

Solución

Datos

𝑅 = 0.12𝑚, 𝑟 = 0.21𝑚, 𝐸 = 4.9 × 104𝑁/𝐶

𝑟

𝑅

Esfera

Conductora

Solución

Datos

𝑅 = 0.12𝑚, 𝑟 = 0.21𝑚, 𝐸 = 4.9 × 104𝑁/𝐶

Inciso a

Por Gauss tenemos que: Φ = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄

𝜖𝑜

⇒ 𝐸 × 4𝜋𝑟2 =𝜎 4𝜋𝑅2

𝜖𝑜

⇒ 𝜎 =𝐸𝜖𝑜𝑟

2

𝑅2=

4.9×104 8.85×10−12 0.21 2

0.12 2 = 1.33𝜇𝐶/𝑚2

Solución

Datos

𝑅 = 0.12𝑚, 𝑟 = 0.21𝑚, 𝐸 = 4.9 × 104𝑁/𝐶

Inciso b

Sabemos que la capacitancia para una esfera conductora es:

𝐶 = 4𝜋𝜖𝑜𝑅

𝐶 = 4𝜋 × 8.85 × 10−12 0.12

𝐶 = 13.3𝑝𝐹

Problema 4

A) Si una gota de liquido tiene una capacitancia de 1𝑝𝐹, ¿Cuál es su radio? B) Siotra gota tiene un radio de 2 mm. ¿Cuál es su capacitancia? C) ¿Cuál es la cargaen la gota mas pequeña si su potencial es de 100V?

Solución

Inciso a

Datos

𝐶 = 1𝑝𝐹 𝑅 =?

Considerando a la gota del liquido como una esfera, entonces:

𝐶 = 4𝜋𝜖0𝑅

⟹ 1× 10−12 = 4𝜋 8.85 × 10−12 𝑅

∴ 𝑅 = 8.96 × 10−3𝑚

Solución

Inciso b

Datos

𝑆𝑖 𝑅 = 2 × 10−3𝑚 𝐶 =?

Sabemos que para una esfera

𝐶 = 4𝜋𝜖0𝑅

⇒ 𝐶 = 4𝜋 × 8.85 × 10−12 2 × 10−3

∴ 𝐶 = 0.224𝑝𝐹

Solución

Inciso c

Datos

𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑞 =? 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 2 × 10−3𝑚 ∆𝑉 = 100𝑉

Entonces como: 𝐶 =𝑄

∆𝑉⟹ 0.224 × 10−12 =

𝑄

100

∴ 𝑄 = 22.4𝑝𝐶