Identificacin experimental de sistemas dinmicos

Especialidad de Ingeniera Electrnica

Semestre 2015-1

alumnoNota adhesivafopen -getabrir archivo de textoextraer dataoperaciones matrices|

Objetivo

Obtener un modelo matemtico apropiado del sistema dinmico basado en datos experimentales observados y el

conocimiento previo del sistema.

Existen 2 procedimientos bsicos para la identificacin de sistemas:

Identificacin de sistemas dinmicos

Identificacin analtica de sistemas: obtencin del modelo matemtico a travs del anlisis de la dinmica del sistema usando las leyes de la fsica.

Identificacin experimental de sistemas o modelo emprico: obtencin del modelo matemtico a partir de datos experimentales (seales de entrada y salida).

Una razn fundamental para la obtencin de un modelo matemtico es la necesidad de este para el desarrollo del controlador del sistema

estudiado.

alumnoNota adhesivaNo es real

Identificacin experimental de sistemas

Identificacin experimental de sistemas es un procedimiento alternativo que busca obtener un modelo matemtico que explique la relacin causa-efecto presente en los datos.

Se busca responder la siguiente pregunta: Qu modelo existe que, al ser excitado por una entrada ()

resulta en una salida ()?

Sistema

Estimado: ()

() ()

alumnoNota adhesivatiempo discreto te da valores especificados

Procedimientos para la identificacin

Los procedimento para la identificacin experimental pueden ser resumidos por los siguientes pasos:

Adquisicin de los datos : Ubicacin de sensores y actuadores, pruebas dinmicas y adquisicin de los datos de entrada y salida;

Eleccin de la representacin matemtica: determina las variables relevantes y el mtodo de muestreo que ser utilizado;

Seleccin de la estructura del modelo: seleccin de la estructura deseada

del modelo y definicin de los parmetros que sern ajustados; Estimacin de parmetros: ajuste de los parmetros usando las estadsticas

obtenidas de los datos; Validacin: evaluacin del desempeo del modelo para datos de prueba, es

decir, datos no usados durante el proceso de ajuste de los parmetros.

Fundamentos de anlisis de seales

Una seal se define como cualquier cantidad fsica que vara con el tiempo, espacio, o cualquier otra variable independiente. Tambin se puede decir que una seal es una funcin que lleva la informacin sobre el estado o el comportamiento de un sistema fsico.

En general, estas seales pueden ser representadas con buena precisin como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias y amplitudes, como sigue:

= 2() + ()

=1

Donde {}, {} y {} son generalmente conjuntos variantes con el tiempo de amplitudes, frecuencias y fases, respectivamente.

alumnoNota adhesivala serie de fourier es suma de senos y cosenos

Procesamiento digital vs analgico

Algunas ventajas del procesamiento digital son los siguientes:

Flexibilidad: sistemas digitales programables permiten mayor flexibilidad en la reconfiguracin del procesamiento digital de seales; alteraciones de sistemas analgicos exigen el rediseo de hardware y una gran cantidad de pruebas de rendimiento.

Almacenamiento: Las seales digitales pueden almacenarse fcilmente en medios magnticos sin ningn deterioro o prdida de la calidad de la seal despus de la conversin A / D.

Procesamiento: el mtodo de procesamiento digital de seal permite la implementacin de algoritmos de procesamiento de seal sofisticados mientras que es muy difcil realizar operaciones matemticas precisas en seales analgicas.

Procesamiento digital vs analgico

Una limitacin del procesamiento digital es:

Velocidad de conversin A / D: restringe el anlisis de seales con banda de frecuencia muy amplia.

Elementos bsicos del procesamiento digital de seales

Conversor A/D

Procesador Digital de Seales

Conversor D/A

Seal analgica

Seal digital

entrada

Seal digital salida

Seal analgica

entrada salida

Conversor A/D

El proceso de conversin de una seal analgica a digital es compuesto bsicamente por 3 etapas: Muestreo; Cuantificacin; Codificacin.

Muestreador Cuantificador Codificador

()

Seal en tiempo discreto

Seal cuantificada

0110101. . .

Seal digitalizada

Seal analgica

[] []

Conversor A/D

alumnoNota adhesivael muestreador decide el paso de tiempo

alumnoNota adhesivaprecision del trabajo

Conversor A/D (2)

Muestreo: es el proceso de conversin de una seal continua a una seal discreta, tomando muestras en instantes discretos de tiempo.

Cuantificacin: Es el proceso de conversin de la seal discreta en el

tiempo con valores continuos en una seal discreta en el tiempo con valores discretos (digitales). El valor de cada muestra de la seal es representada por un valor seleccionado en un conjunto finito de valores posibles.

Codificacin: En este proceso cada valor discreto es representado

mediante bits.

Muestreo

El procesamiento digital de una seal continua consiste en una conversin a una secuencia.

Una seal analgica () muestreada a cada segundos es representada

por:

= , < <

donde representa una secuencia de nmeros

La frecuencia de muestreo =1

debe ser suficientemente grande para

que no exista prdida de informacin espectral (evitar aliasing).

alumnoNota adhesivaCriterio de Nyquist : Fm>2f

muestreo

Proceso de muestreo

La imagen muestra el proceso de muestreo de una seal continua.

Teorema de Muestreo:

El teorema de muestreo determina que frecuencia de muestreo debe ser utilizada para permitir posteriormente una adecuada reconstruccin de la seal.

alumnoNota adhesivaLa frecuencia correcta par ano perder informacion

Teorema de muestreo

El contenido de frecuencia de una seal informa como la seal es caracterizada en trminos de sus componentes de frecuencia.

Considere la frecuencia mxima de la seal como . Entonces, para

evitar prdida de informacin es recomendable que la frecuencia de muestreo sea 2 (conocida como frecuencia de Nyquist).

Cuando la frecuencia de muestreo es menor a 2 se produce el

fenmeno de aliasing.

Ilustracin del fenmeno de aliasing

Visualizacin del fenmeno de aliasing en el tiempo para seales senoidales discretas

en el tiempo.

Ilustracin del fenmeno de aliasing

Visualizacin de las seales senoidales discretas en el tiempo

donde no ocurre aliasing.

Representacin de sistemas lineales

Existen varias formas de representar el mismo modelo matemtico. Algunas formas de representacin son las siguientes: Funcin de transferencia (F.T.); Espacio de estados; Modelos AR, ARX, ARMAX, etc.

Forma 1: Funcin de transferencia.

=()

()=

2 + + 1 =

()

()=

+

2 + +

F.T. continua F.T. discreta

Ejemplo de un circuito elctrico.

alumnoNota adhesivaecuaciones diferenciales

Forma 2: Modelo de espacio de estados

Representacin de sistemas lineales (2)

+ = + = +()

= + = + ()

Modelo continuo Modelo discreto

Forma 3: Otras representaciones discretas

Modelo general: =

+

()

1: es el operador de atraso. 1 = 1 ;

(): ruido blanco;

Donde:

alumnoNota adhesivasalida

alumnoNota adhesivaentrada

alumnoNota adhesivaperturbacion

Modelo FIR;

Modelo ARX;

Modelo ARMAX.

Modelos bajo esta estructura:

Representacin de sistemas lineales (3)

= 1 11

B = 11 + +

C = 1 + 11 + +

D = 1 + 11 + +

= 1 + 11 + +

, , , y (): son los polinomios definidos como:

Modelo de respuesta al impulso finita (FIR)

= () + ()

()

= ()

+

+

() ()

(Ruido blanco)

(Entrada) (Salida)

El modelo FIR puede ser obtenido a partir del modelo general considerando = = = = 1.

: F.T. del sistema con respecto a la entrada .

Modelo no recursivo

La respuesta del sistema usando convolucin puede ser escrito como:

= + ()

=0

alumnoNota adhesivase asume que todas las perturbaciones entran al final ese el el principio de FIR

Modelo ARX

=

+

1

()

()

()

1

()

() +

+

() ()

() (Ruido blanco)

(Entrada) (Salida)

Modelo Auto-regresivo con entradas externas (ARX). Puede ser obtenido a partir del modelo general considerando = = = 1.

=

F.T. del sistema con respecto a la entrada .

=1

F.T. del sistema con respecto al ruido blanco .

Los modelos ARX pertenecen a la clase de modelos que presentan la seal del error en la ecuacin.

= () + ()

Filtro ARX

alumnoNota adhesivasistema

Modelo ARMAX

=

+

()

()

()

()

()

()

() +

+

() ()

() (Ruido blanco)

(Entrada) (Salida)

=

F.T. del sistema con respecto a la entrada .

=()

F.T. del sistema con respecto al ruido blanco .

Los modelos ARMAX pertenecen a la clase de modelos que presentan la seal del error en la ecuacin.

= () + ()

Modelo Auto-regresivo con media mvil y entradas externas (ARMAX). Puede ser obtenido a partir del modelo general considerando = = 1.

Filtro ARMA

alumnoNota adhesivase le suma al ruido al final, no tiene porque pasar por el mismo sistema

alumnoNota adhesivasistema

alumnoNota adhesivaC(q) es el proceso propio de la perturbacion, este agrega complejidad al sistema

Mtodos de Identificacin

Mtodos paramtricos: son aquellos mtodos que resultan en un modelo matemtico como una funcin de transferencia, modelos de espacio de estados, modelos ARX, etc.

Mtodos no paramtricos: son aquellos que no resultan en un modelo

matemtico. Estos mtodos son destinados a la obtencin de respuestas grficas que caracteriza la dinmica del sistema. Ejemplos tpicos son:

la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia.

alumnoNota adhesivaes una aproximacion

Mtodos Paramtricos

Se basan en la prediccin del error ( la diferencia entre la salida del proceso y la prediccin hecha por el modelo). El criterio de mnimos cuadrados es uno de los mtodos usados.

Estimador de Mnimos Cuadrados

Los parmetros estimados deben satisfacer las observaciones de la forma ms exacta posible. La diferencia entre las observaciones y los resultados obtenidos de los parmetros estimados debe ser mnima;

Segn Gauss, existe un nmero de observaciones estrictamente necesario

para la determinacin de las magnitudes desconocidas; Adicionalmente, Gauss expresa que, por causa de los errores de medicin,

mas observaciones que el nmero mnimo son necesarios. El uso de observaciones redundantes resulta en la reduccin de los efectos del error.

alumnoNota adhesiva

Estimador de mnimos cuadrados

Sistemas con solucin nica

Sea una funcin escalar = () y varias aplicaciones de la misma.

1 = 1

=

2 = 2

=

Podemos decir que la funcin () est parametrizada por el vector si puede ser representada de la siguiente forma:

= (,)

En el caso vectorial, : depende de un vector de parmetros, .

Estimador de mnimos cuadrados (2)

De la misma forma, tenemos:

1 = ,

=

2 = ,

= ,

Siendo conocidos los conjuntos:

1, 2, ,

, , ,

Podemos preguntarnos, si es posible determinar: y

Consideremos que: = , puede ser escrito como:

=

Sern tomados " datos a fin de obtener ecuaciones para determinar elementos de .

Estimador de mnimos cuadrados (3)

Hechas estas consideraciones, podemos escribir:

12

=

12

=

Donde: . Si es no singular, es posible determinar el vector de parmetros como:

=

Para sistemas sobre-determinados: >

Como la matriz no es cuadrada, no puede ser invertida. Entonces el vector de parmetros puede ser calculado como:

=

alumnoNota adhesivaentrada

alumnoNota adhesivasalida , si se conoce la entraqda y la salida se puede aproximar a una salida ortogonal

Mtodo de mnimos cuadrados

Se asume que se conoce el valor estimado del vector de parmetros, , y que es cometido un error , es decir,

= +

Para > datos en forma matricial, tenemos:

= +

Donde es el vector de errores cometidos al intentar obtener como .

El objetivo es estimar de forma que minimice la sumatoria de los errores cuadrticos.

= ()2

=1

= = 2

Mtodo de mnimos cuadrados (2)

Con el objetivo de minimizar la funcin costo, , con respecto a , es

necesario resolver

= 0. Para esta consideracin:

=

Validacin de los modelos

En este proceso se busca responder las siguientes preguntas:

El modelo obtenido es el adecuado?; El modelo es suficientemente bueno?; Cul ser la funcionalidad del modelo?.

Comparar la simulacin del modelo estimado con los datos medidos es probablemente la forma ms usual de validar un modelo.

En ese caso, NO se debe usar los datos usados para la obtencin del modelo en el proceso de validacin.

Coeficiente de correlacin de Pearson

El coeficiente de correlacin (CR) representa el grado de relacin que existe entre dos variables.

El CR es usado en el proceso de estimacin experimental para

determinar el grado de confiabilidad de los datos usados en el proceso de modelado.

El CR de Pearson es la medida de correlacin ms usada y puede ser

obtenida como:

=(, )

()

Covarianza:

, =1

( )( )

=1

Varianza:

2 = ( )

2=1

Ejemplo 1: Modelo del motor DC

Identifique el modelo ARX de orden 2 de un motor DC mediante el mtodo de mnimos cuadrados usando los datos obtenidos experimentalmente de la entrada de voltaje del motor y la salida de velocidad angular del motor (). Valide el modelo obtenido.

Descargue los datos experimentales: rpm.txt y voltaje.txt

Ejemplo 1: Modelo motor DC

Los datos de entrada y salida son los siguientes:

Puede colocarse un filtro pasa-baja en la salida para mejorar la calidad de los datos recibidos

Ejemplo 1: Modelo motor DC

El proceso de adquisicin present las siguientes caractersticas:

Frecuencia de muestreo de 1 Khz;

Seal de entrada en forma de escalones de 11 niveles de voltaje;

Total de muestras adquiridas: 1650.

Para el proceso de estimacin usaremos 500 muestras. Considerando el orden de las matrices A y B como 2, se procede a obtener la matriz de datos X como:

=

(2) (1)(3) (2)

(2) (1)(3) (2)

(499) (498)

(499) (498)

=

(3)(4)

(500)

,

Ejemplo 1: Modelo motor DC

Estimando el vector de los parmetros , para n=500 , tenemos:

= =

0,34040,40041,28980,9930

, , = , + , + ()

Entonces, el modelo ARX estimado es:

Coeficiente de correlacin: 0,976 97,6 % de confiabilidad

Ejemplo 1: Modelo motor DC

Validacin de los resultados

Para el proceso de validacin usaremos todos los datos adquiridos, es decir, tomaremos las muestras del 1al 1650.

En la figura se puede observar que el sistema estimado aproxima razonablemente la respuesta del sistema real

Varianza del error: 2,0423

Referencias

Keesman, Karel J (2011). System Identification: An Introduction. Springer.

Aguirre, L. A. (2007). Introduccin a la identificacin de sistemas Tcnicas lineales y no lineales aplicadas a sistemas reales. Editora UFMG.