Mag. Mat. Juan C. Damián Sandoval

1.1 DEFINICIÓNUna función es una relación o correspondencia entre dosmagnitudes, de manera que a cada valor de la primeracomponente le corresponde un único valor de la segundacomponente, que se llama imagen, es decir:

es la regla de correspondencia.Además se cumple:i)

ii)

:f A B→ { }( ; ) / ( )f x y A B y f x= ∈ × =

( )y f x=

f A B⊂ ×

( ) ( ); ;a b f a c f b c∈ ∧ ∈ → =

1.2 DOMINIO Y RANGO• El dominio de una función está dado por el conjunto de

valores que puede tomar “x”

• El rango de la función está dado por el conjunto de

valores que puede tomar “y”

( ){ }( ){ }

( ) / ! ; ;

( ) / ; ;

Dom f x A y B x y f A

Ran f y B x A x y f B

= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

EJEMPLOS1. Determina cuál de los siguientes diagramas determina una función.

2. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a unafunción.

3. Encuentre si f es una función

4. Si g es una función

Encuentre , dominio y rango

2 2" "b a−

{ }2(3;5), ( 1; 3), ( , ), (3, 2 )( 1; ), ( ; )f a b b a b a b a b b= − − + − − − +

{ }(2;4), (5; ), (3;9), (2; ), (5;3), (3; )g a b b c c= + + −

" "a b c⋅ ⋅

5. Encuentre el dominio y rango de cada función en losgráficos representados

Dom f

Ranf

1.3 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

a) Función Creciente: Una función “f” es creciente en

el intervalo “I”,

1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ,Si x x f x f x x x I< ⇒ < ∀ ∈

b) Función Decreciente: Una función “f” es decreciente en el intervalo “I”,

1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ,Si x x f x f x x x I< ⇒ > ∀ ∈

Ejemplos1. Determine si las funciones dadas son crecientes o

decrecientes en los intervalos indicados.

2. Dada la siguiente gráfica, indique los intervalos decrecimiento y de decrecimiento

] ][ ]

2

2

) ( ) ( 1) , 0;5

) ( ) (2 ) , 2;6

a f x x x

b g x x x

= + ∈

= − − ∈

c) Función Positiva y Negativa:

[ [] ]

) ( ) 0, ( ) es ;

) ( ) 0, ( ) es ;

i f x f x negativa x a b

ii f x f x positiva x b c

< ⇔ ∈

> ⇔ ∈

d) Función Par e impar: Una función es par si

Una función es impar si

EjemplosVerificar si las funciones dadas son pares e impares

( ) ( ) f x f x x Domf− = ∀ ∈

( ) ( ) f x f x x Domf− = − ∀ ∈

4 2

3

) ( ) 3 2 ) ( )) ( ) 4 ) ( ) cos

a f x x x b f x senxc f x x x d f x x

= − + =

= − =

e) Intersecciones con los ejes coordenados.

- Intersección con el eje xHacemos y hallamos el valor de x.

-Intersección con el eje yHacemos , y hallamos el valor de y.

( ) 0y f x= =

0x =

1.4 VALOR NUMÉRICO.Consiste en evaluar una determinada función en el puntoindicado, dentro del dominio.

Ejemplos1.Si

Encuentre

2. Si Calcular

{ }2

(3;6), (4;9), (6;4), (7;8)

( ) 5 1

f

h x x x

=

= + +

2 (3) ( 1)2 (0) (6)f hPh f

+ −=

+2( ) 1f x x= +

( (1)) ( (2))3 ( ( 1))

f f f fEf f−

=−

3. Si encuentre el valor de

4.Calcule el valor de

5. Dada la siguiente gráfica

2( )f x x=( ) ( )f x h f x

h+ −

2 ( 3) 5 2, ( 1) 5, ( 1) 1Si f x x g x x h x x− = − + = + − = +

23 (3) 6 (2) [ (0)] (3) (1)E f h f g h= + − + −

( )y f x=

a) Determine el valor de

(5) ( 15)(0) (3)

f fEf f

+ −=

+

b) Dominio y rango.c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.d) Los intervalos donde la función positiva y negativae) Los puntos de intersección con los ejes coordenados.f) Donde la función es constante.

1. Función Constante

2. Función Lineal

3.Función Cuadrática

( )f x c={ }

( )( )

Dom f RRan f c

=

=

( ) 0f x ax b a= + ≠( )Dom f R=

2( )f x ax bx c= + + ( )Dom f R=

: , , son constantes, 0Donde a b c a ≠

4. Función Polinomial

es un polinomio

5.Función Racional

Donde son funciones polinomiales.

( ) ( )f x p x=

: ( )Donde p x( )Dom f R=

( )( )( )

p xf xq x

=

{ }( ) / ( ) 0Dom f R x R q x= − ∈ =

( ) ( )p x y q x

6. Función Radical

Si “n” es par:

Si “n” es impar

7.Función Valor Absoluto

donde

( ) ( )nf x p x=

( ) ( ) 0Dom f p x= ≥

( )Dom f R=

( )f x x=

<−≥

=0 si ,0 si ,

xxxx

x

( )Dom f R=

8. Función Por Partes o Tramos

EJEMPLOS1. Encuentre el dominio de las siguientes funciones

1 1

2 2

3 3

( ) , ( )( ) ( ) , ( )

( ) , ( )

f x x Dom ff x f x x Dom f

f x x Dom f

∈= ∈ ∈

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )Dom f Dom f Dom f Dom f= ∪ ∪

) ( ) 50a f x = 5 3) ( ) 7 3 1b f x x x x= − + +

2

2

5 1) ( )9

x xc f xx+ +

=−

2) ( ) 16d f x x= −

2

4) ( )2xe f x

x x−

=−

2

3) ( )2 8

xf f xx x

+=

− −

5 ; 4) ( )

5 ; 6x

g f xx x

<= + ≥

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

James Stewart, Calculo de una variable. Editores Cengage learning México 2008.

Moisés, Lázaro. (2007). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú.

Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica.

Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú.