clases de conjugación en los - educacion.gob.es

Clases de conjugación en los

p-subgrupos de Sylow de GL(n, q)

Leyre Ormaetxea Butrón

2011



Tesis Doctoral

realizada porLeyre Ormaetxea Butrón

2011

Directores

Dr. D. Antonio Vera López y Dr. D. Jesús María Arregui

Lizarraga

Departamento de MatemáticasUniversidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea.



porLeyre Ormaetxea Butrón

Memoria realizada bajo la dirección del Catedráticode Algebra Dr. D. Antonio Vera López y del Dr. D.Jesús María Arregui Lizarraga, para optar al grado deDoctor en Ciencias, Sección Matemáticas, por la Uni-versidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea.2011

Tiatxu, tiotxu,aitite eta amomari.

Agradecimientos

Quiero aprovechar estas breves líneas para agradecer sentidamente todala colaboración y aprecio recibido por una serie de personas durante estosaños de intenso trabajo.

Primeramente agradecer a mis directores de Tesis, Antonio y Jesús Mariel tiempo y sobre todo la paciencia que me han dedicado. Sin su saber hacer,generosidad y su amabilidad conmigo todo esto no hubiese sido posible. Sonpocas las personas capaces de acoger a una estudiante como yo para quepueda hacer algo de provecho. Todos somos conscientes de nuestros límites ymuchas veces no habré estado al nivel que esperabais de mí, pero la ilusióne implicación personal en la investigación que he puesto espero que hayainclinado un poco la balanza y por supuesto, personalmente me ha servidode mucho y me ha abierto un abanico de posibilidades impensable. Nuncaolvidaré todas esas mañanas y tardes juntos Jesús Mari, programando einvestigando, son un recuerdo muy especial que me llevo en el corazón.

La colaboración junto con María Asun en los proyectos ha sido muygratificante, siempre se aprende algo más cada día.

Agradecer también a los de casa, a los que están y a los que faltan, todosestos años de paciencia y tesón para que haga siempre algo más, que aprenda,que estudie y que, en definitiva, me permita enseñar a otros los conocimientosadquiridos y ser, en la medida de lo posible, mejor persona. Nunca estuvo enmi persona el pensar que algún día podría leer esta Tesis, pero el buen hacerde tiatxu y tiotxu que siempre han estado ahí, en los momentos buenos y enlos malos, que por suerte o por desgracia siempre tocan, me han ayudadomucho. Como no, la pequeña mención a Floren, que es de la familia. Quemenos que dedicarles esta Tesis a ellos.

Mención aparte querría hacer a esos compañeros tan especiales: Paco,Jesús, Lucio, Jesús Mari, Antonio y Pedro, junto con los cuales las tertulias

y las horas de la comida se hacen tan amenas y especiales. Con hondo pesarJesús nos ha dejado, pero siempre estará ahí con nosotros. Esos chistes con-tados de esa manera tan peculiar, ese trato siempre tan correcto y su saberhacer, los echaremos de menos. La verdad, es que no se cómo agradeceros eseacogimiento, ese afecto y el saber estar tan afable que habéis tenido conmigo.

Muchas gracias también a todos los compañeros de Departamento quedía a día estais ahí para cualquier cosa que surja. También agradecer a JoseManuel Souto y Juan Carlos Peral el haberme dado la oportunidad de haceruna tesina y el poder cursar los cursos de doctorado, sin su ayuda no habríapodido llegar aquí.

Hago extensivo mi agradecimiento Departamento de Matemáticas, al Vi-cerrector de Investigación, en representación de la UPV/EHU, por sufragarlos gastos de la beca que he disfrutado y a todas las instituciones que hanfinanciado los Proyectos de Investigación y del Grupo Consolidado en los quehe tomado parte a lo largo de estos años.

Índice

1. Preliminares 15

1.1. Sistema completo de representantes de matrices canónicas deGn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Análisis de los puntos de ramificación e inertes de una matrizcanónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3. Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4. La estructura de los grupos Gn/G(k,l) . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5. Ordenes admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2. Algoritmos 61

2.1. Algunos algoritmos para calcular clases de conjugación en losp-Sylow de GL(n, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.1.2. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.3. Formas lineales reducidas . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1.4. Descripción del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.1.5. Ejemplos. Casos críticos (n ≤ 8) . . . . . . . . . . . . 88

3. Casillas correspondientes a puntos inertes y de ramificación 95

3.1. Casos correspondientes a sistemas simples de formas lineales 96

3.2. Casos correspondientes a sistemas dobles de formas lineales . 106

4. El número de clases de conjugación de p-subgrupos de Sylow

de GL(n, q) módulo (q − 1)13 119

4.1. Matrices canónicas con exactamente i casillas no nulas . . . . 128

4.2. Obtención de µi(n), i = 5, . . . , 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.3. Obtención de µi(n), i = 8, . . . , 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7

5. El número de clases de conjugación de p-subgrupos de Sylow

de GL(n, q) módulo gcd ((q + 1), (q − 1)13) · (q − 1)13 141

6. Conjetura de Higman 159

6.1. Líneas de pivotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.2. La relación que existe entre r(Gn) y los r(Gt) con t < n. . . . 1626.3. Matrices canónicas primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.4. Matrices canónicas primitivas quasimonomiales . . . . . . . . 1706.5. Matrices canónicas primitivas de Gn con

[n+12

]+λ, λ = 0, 1, 2

casillas no nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.6. Matrices canónicas primitivas de Gn con exactamente i ≤

[n−12

]casillas no nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Lista de Apéndices 194

A. Listado de matrices canónicas 195

B. Clases de conjugación de Hn, n = 6, . . . , 15. 205

C. El número de clases de conjugación de r(Gn),n = 5, . . . , 8. 247

D. Dn-Clases de matrices canónicas 263

Introducción

Graham Higman fue uno de los matemáticos más importantes del si-glo XX. En su juventud creó en la Universidad de Oxford una sociedad depersonas que le gustaban y se interesaban por las matemáticas, no necesaria-mente licenciados en Matemáticas. Siempre se interesó por superestructurasque contuvieran de alguna manera ordenada a las estructuras ya conocidas,que por entonces habían sido descubiertas de manera desordenada y parti-cularmente son interesantes sus contribuciones a la Teoría de Grupos.

Sea q = pt, con p primo. Sea Gn el p-grupo de las matrices unitriangularessuperiores n × n sobre el cuerpo finito Fq de q elementos y r(Gn) el núme-ro de clases de conjugación de Gn. Gn es un p-subgrupo de Sylow de GL(n, q).

En 1960 en Chicago, cuando había un enorme interés por la clasificaciónde los grupos simples, G. Higman conjeturó que r(Gn) es un polinomio en q.J.Thompson cogió el testigo y dedicó una parte de su investigación a intentardemostrar la conjetura de Higman.

G. Higman, en 1960, demuestra el siguiente resultado:Si el número de clases de conjugación de Gn se expresa en la forma qan

2,

entonces1

12− εn ≤ a ≤ 1

4+ εn, (1)

donde εn → 0 cuando n → ∞.

La cota inferior se obtiene considerando ciertos tipos explícitos de matri-ces no conjugadas dos a dos que llamamos matrices de tipo Higman y quea lo largo de la memoria aparecen en diversos capítulos. En 1990 (cf. C. R.Acad. Sci. Paris Ser. I 310(1990),81-84), A. Vera y J.M. Arregi demuestranel siguiente teorema:

9

r(Gn) ≤ qn2

6+n

6 (n− 1)! 2n−1.

mejorando la cota superior de Higman ya que la mejora de 1/4 a 1/6.

Estos dos jóvenes investigadores se adentran de lleno en la conjetura deHigman y a lo largo de 21 años desarrollan numerosos teoremas estructuralesque conducen a que la conjetura de Higman puede ser cierta. Más adelantedetallamos cronológicamente los resultados obtenidos.

En el año 1991 (cf. Proc. Roy. Soc. Edinburgh A 119,(1991), 343-346),se dan las matrices canónicas de Gn cuyo cardinal es uno de los dos valoresmáximos posibles, es decir, pt(n−1)(n−2)/2 y ptn(n−3)/2.

En el año 1992 (cf. J. of Algebra 152,(1992), 1-19), se obtienen cotassuperiores e inferiores de r(Gn), la clase residual de r(Gn) cuyo módulo estádado en términos del primo p, se analiza el vector conjugación de Gn tenien-do en cuenta que es la unión disjunta de las clases ClGn

(gi) para i = 1, . . . , ry |ClGn

(g1)| ≥ · · · ≥ |ClGn(gr)| y además se obtienen la dos primeras com-

ponentes del vector conjugación, ∆(Gn), del grupo Gn.

En el año 1994 (cf. Glasgow Math.J. 36 91-96), se obtiene tercera compo-nente de ∆(Gn), que es, el número de clases de conjugación cuyo centralizadortiene qn+1 elementos. Además se obtiene el conjunto completo de númerosque componen dicho vector:

{|CGn(B)| | B ∈ Gn} = {qu | n− 1 ≤ u ≤ n(n− 1)/2}.

En el año 1995 (cf. J. of Algebra 177,(1995),899-925), se fijan las basesteóricas y se desarrollan los algorimos para el cálculo simbólico de las cla-ses de conjugación de los p-subgrupos de Sylow de GL(n, q) formadas porlas matrices unitriangulares superiores. Linearizando el problema se puedenconstruir respresentantes de las clases de conjugación. Para valores peque-ños de n, n ≤ 8 se encuentra el vector conjugación y el número de clases deconjugación como polinomio en q, y los grados sólo dependen de n. Además,para n ≤ 7 se observa que la diferencia entre el valor nulo o no nulo de lascasillas es suficiente para construir un conjunto completo de representantesde las clases de conjugación.

En el año 1996 (cf. Bull. Austral. Math. Soc 53,(1996), 431-439), se de-termina, µi(n), el número de disposiciones de las entradas no nulas en lasmatrices canónicas que tienen exactamente i entradas no nulas para i ≤ 4,

dichos números son funciones polinómicas.

En el año 2001 (cf. J. of Algebra 244,(2001), 343-351), se obtiene que elnúmero de clases de conjugación de Gn de cardinalidad qs, con s ≤ n − 3,es un polinomio en q − 1, con coeficientes enteros no negativos, fs(q − 1),de grado menor o igual que la parte entera de

√2s + 1. Además, fs(q − 1)

depende sólo de s y no de n. De hecho los coeficientes de dichos polinomiosse obtienen usando ciertas funciones generatrices.

En el año 2003 (cf. Linear Algebra and its Applications 370,(2003), 85-124), se desarrolla y mejora el algoritmo obteniéndose el vector conjugaciónde Gn para n ≤ 13. (Para n ≤ 5 se había obtenido en [5] y para 6 ≤ n ≤ 8en [7].) En particular, se concluye que, para esos valores, el número de clasesde conjugación de Gn es un polinomio en q con coeficientes enteros y grado[n(n+6)/12]. Es por ello que la conjetura de Higman es cierta para n ≤ 13.Por otro lado para cada entero posivo n, encuentran explícitamente un con-junto de q[n(n+6)/12] clases de conjugación diferentes.

En el año 2004 (cf. Linear Algebra and its Applications, 387,(2004), 193-219), se describen los algoritmos para calcular el número de clases de con-jugación, el vector conjugación de Gn,p, el carácter (racional o real) de loselementos de Gn,p, el cardinal del centralizador de cada matriz de Gn,p, elvector conjugación del subconjunto normal Nπ correspondiente a una apli-cación pivote π, y el carácter (inerte o de ramificación) de las casillas delas matrices de Gn,p. Para el primo p = 2 la conjetura de Kirilov, que todamatriz de Gn,2 es conjugada con su inversa, se verifica para n ≤ 12 pero paran = 13 existe un único par de clases de conjugación inversas no conjugadas.Para n = 14, se da un listado completo de matrices canónicas de los 22contraejemplos de la conjetura de Kirillov. Para n ≤ 14 se prueba que A yA5 son conjugadas y para n = 25 se encuentra una matriz A ∈ G25,2 tal queA y A5 son no conjugadas. Además, para n = 32 se encuentra una matriztal que A y A−1 son conjugadas pero A y A5 no los son. Por consiguiente,la conjetura de Isaacs, cualquier matriz real de Gn,2m es racional, no es cierta.

Para p = 3, Isaacs y Kereguezian dan una matriz A ∈ G20,3 tal que A yA4 son no conjugadas. Para cualquier primo impar p, A. Vera y J.M. Arreguiobtienen una matriz A ∈ Gn,p, con n = 6p+1 tal que A y Ap+1 son no conju-gadas. Consecuentemente, existen caracteres irreducibles de G6p+1,p que sonno Q(ǫp) valuados, donde ǫp es una raíz primitiva de la unidad. Además deque para p = 3 y n ≤ 13 se calculan el vector conjugación de Gn,3 y verificanque cualquier matriz A ∈ Gn,3 es conjugada con A4.

En el año 2005 (cf. J. Group Theory 8,(2005), 701-717), se prueba queel cálculo de ciertas matrices canónicas representantes de las clases de con-

jugación de Gn puede reducirse al cálculo de matrices similares de menortamaño que llaman matrices condensadas. Los métodos usados se realizancon técnicas combinatorias incluyendo funciones generatrices (polinómicas),las cuales aumentan en gran medida la eficacia en los cálculos del vector con-jugación de Gn. Estas permiten obtener el número de clases de conjugaciónde tamaño qz con z ≤ 2n−8. Estos números son polinomios en q de acuerdocon la conjetura de Higman.

Pasamos a detallar brevemente los seis capítulos de esta memoria.

En el primer Capítulo se hace una introducción sobre todo lo concernientea las clases de conjugación en los p-subgrupos de Sylow de GL(n, q). De talmodo que nos ayude a entender, en cierta manera, todo el trabajo previorealizado para la obtención de nuevos resultados. Tengamos en cuenta quecada clase de conjugación de GL(n, q) esta formada por una clase de matricessemejantes. Como representante de una clase de semejanza se acostumbra atomar una matriz determinada que se llama forma canónica.

La idea conductora para la obtención de una matriz canónica es la deir introduciendo ceros siempre que sea posible, pero teniendo un orden deprioridades de modo que para la obtención de un cero ulterior no se permitala destrucción de un cero que ya haya sido obtenido.

En el segundo Capítulo se da una explicación de la teoría y resultadosprevios necesarios, entre ellos es destacable la sección correspondiente a lasformas lineales reducidas, para implementar un algoritmo que nos permitallegar a los resultados plasmados en esta memoria. A la hora de implementaresta teoría en un lenguaje de programación nos hemos inclinado a la imple-mentación de los programas tanto en lenguaje C como en Maple.

En el tercer Capítulo se hace un estudio genérico del carácter inerte ode ramificación de una casilla (i, j) de una matriz canónica. Atendiendo alcaracter inerte o de ramificación de una casilla (i, j) y teniendo en cuenta lasformas lineales que están en la misma componente conexa de las formas eincógnitas que Lij . Hacemos el estudio de sistemas de formas lineales simplesy sistemas de formas lineales dobles.

En el cuarto Capítulo desarrollamos una teoría de grafos que nos permitedeterminar el número de clases de Gn módulo (q − 1)13, a saber, se pruebaque para n ≥ 13, existe una función f(n, q) y una constante k ≥ 0 tal que

r(Gn) = 1 +12∑

i=1

µi.(q − 1)i + f(n, q) + k.(q − 1)13 = g(n, q) + k(q − 1)13.

Es más, se dan de forma explícita las fórmulas de µi = µi(n), i = 0, . . . , 12,que dependen sólo de n y no de q. Un hecho de relevante importancia paranuestra investigación aparece en este capítulo, y es la definición de matrizcanónica primitiva y conexa. De hecho, estas definiciones de primitividad yconexidad son fundamentales en la investigación.

En el quinto Capítulo analizamos el número de clases de conjugaciónr(Gn) módulo (q2 − 1)(q − 1). En particular probamos la congruencia,

r(Gn) ≡ |Gn| (mod (q2 − 1)(q − 1)),

que mejora la correspondiente de P.Hall al sustituir el primo p, por la po-tencia primaria q = pt. Se prueba que

r(Gn) =

12∑

i=0

µi(n)(q − 1)i + µ′13(n)(q − 1)13 + k1(q + 1)(q − 1)13,∀n ∈ N.

donde los µi(n) se dan en [13] para i ≤ 12.

En el sexto Capítulo para n ≤ 13 hemos encontrado los coeficientes ajpara ciertos j tales que

r(Gn) =

[(n2+6n)/12]∑

j=1

aj (q − 1)j .

El objetivo es identificar para todo n cómo se pueden contruir los coeficientesaj haciendo uso de una teoría de grafos adecuada, en la que un desarrolloprevio de los conceptos y herramientas de trabajo, nos puede llevar directa-mente al cálculo de los citados coeficientes. Existe una relación entre r(Gn)y r(Gi) para i < n. Obtenemos también que si T es el conjunto de matricescanónicas de Gn que no tienen ninguna quebrada nula (conceptos definidospreviamente) entonces

r(Gn(P)) = r(T (P)

n ) +

n−1∑

k=1

(−1)k−1

(n

k

)

r(G(P)n−k) + (−1)n−1.

Los resultados aludidos confirman la conjetura de Higman, nos hace se-guir con empeño la búsqueda de nuevos métodos cuando menos para perfilarlas propiedades de una posible expresión polinómica general de r(Gn).

1Preliminares

1.1. Sistema completo de representantes de matricescanónicas de Gn

En orden a determinar el número de clases de conjugación de Gn, setrata de hallar un conjunto de representantes especiales de dichas clases.Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales, el método de Gauss parasu resolución sustituye en pasos sucesivos el sistema inicial por otro que tengaen sus coeficientes un número máximo de ceros, dentro de ciertas condiciones,y cuya resolución sea inductivamente trivial o patentemente imposible. Conesta misma intención (que no filosofía) en cada clase de conjugación de Gn

se escoge una matriz con un número máximo de ceros dentro de ciertascondiciones. Como observa Higman, el resultado de conjugar en Gn por unade sus matrices elementales que implique a los índices i < j, es que a la filai-ésima se le resta un múltiplo de la j-ésima y a la columna j-ésima se lesuma la un múltiplo de la i-ésima. Esto supone un problema que no habíaen el caso del método de Gauss aludido: si introducimos ceros en la fila ipuede suceder que aparezcan valores no nulos en la columna j, o bien, porel contrario, si introducimos ceros en la en la columna j puede suceder queaparezcan valores no nulos en la fila i: tenemos que optar por una de las dosposibilidades, tenemos que emplear la escoba ordenadamente de modo que,en cada paso, no deshagamos la labor realizada hasta el momento.

Denotemos por Eij la matriz cuadrada de tamaño n con un 1 en el lugar(i, j) y cero en el resto. Se tiene

Eij ·Ers = δjrEis. (1)

Observamos que el conjunto de matrices In + xEij , i < j, x ∈ Fq, es unsistema generador de Gn. Introducimos en el conjunto

J = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n}

15

16 Capítulo 1

un orden de modo que los factores en (1) precedan a su producto:

(n− 1, n) ≺ (n− 2, n− 1) ≺ (n− 2, n) ≺ · · · ≺ (1, 2) ≺ (1, 3) ≺ . . . (1, n),

es decir, (i, j) � (k, l) si y sólo si i > k, ó i = k y j < l.Geométricamente, el único caso en el que el producto de Eij por Ekl es nonulo corresponde al siguiente dibujo

. . .

∗ · · · Ei,j → Ei,s

. . .... ↑∗ · · · Ej,s

. . ....∗

. . .

Figura 1.1

(observemos que Eij esta encima y a la izquierda de Ejs, y el producto Eis

corresponde al lugar de corte de la fila i-ésima con la columna s-ésima.)

Por otra parte, cada par (k, l) ∈ J y cada matriz T ∈ Gn se tienen lassiguientes igualdades:

EklT = Ekl +∑

(i,j)≻(k,l)

xijEij ,

para algunos xij ∈ Fq

TEkl = Ekl +∑

(i,j)≻(k,l)

yijEij ,

para algunos yij ∈ Fq. Por tanto, también se satisface la siguiente identidad

T−1EklT = Ekl +∑

(i,j)≻(k,l)

zijEij

para algunos zij ∈ Fq. Por consiguiente, el conjunto

G(k,l) = {A = (aij) | aij = 0 para (i, j) � (k, l)}= {In +

∑

(i,j)≻(k,l)

aijEij | aij ∈ Fq}

Preliminares 17

es un subgrupo normal de Gn de orden

pn−1+(n−2)+...(n−(k−1))+(n−l) = pnk−k(k−1)/2−l.

Damos ahora la siguiente caracterización de matrices:

Lema 1.1.1. Sea X ∈ Gn. Entonces, son equivalentes:

1) X es una matriz de la forma:

X = A(In + bEkl)T (2)

con A ∈ Gn y T ∈ G(k,l)

2)

X = A+ bEkl +∑

(i,j)≻(k,l)

yijEij , (3)

para algunos yij ∈ Fq.

Demostración. En efecto, tenemos

A(In + bEkl) = (In +∑

(i,j)∈JaijEij)(In + bEkl)

= In + bEkl +∑

(i,j)∈JaijEij +

∑

i<l

baikEil = A+ bEkl +∑

i<l

baikEil

notemos en la igualdad anterior que i < j = k < l implica que (i, l) ≻ (k, l).Por tanto,

A(I + bEkl)(I +∑

(r,s)≻(k,l)

brsErs) =

A+ bEkl +∑

i<k

baikEil +∑

(r,s)≻(k,l)

brsErs +∑

(r,s)≻(k,l)

∑

(i,j)∈J

brsaijEijErs

+∑

(r,s)≻(k,l)

bbrsEklErs +∑

i<k;(r,s)≻(k,l)

baikbrsEilErs.

Observemos que los dos últimos sumatorios son nulos. En efecto, (r, s) ≻(k, l) implica k ≥ r, luego l 6= r (si l = r, entonces k < l = r, imposible)luego EklErs = 0 y EilErs = 0. En definitiva, tenemos

A(I + bEkl)(I +∑

(r,s)≻(k,l)

brsErs)

= A+ bEkl +∑

i<k

baikEil +∑

(r,s)≻(k,l)

brsErs +∑

i<r<s;(r,s)≻(k,l)

brsairEis.

18 Capítulo 1

En la última igualdad notemos que los pares que recorren los tres sumato-rios, a saber (i, k), (r, s) y (i, s) son posteriores a (k, l), y consecuentemente(2) es del tipo (3) (nótese que (i, k) ≻ (k, l) pues i < k; (r, s) ≻ (k, l),y (i, s) ≻ (k, l) pues i < j = r ≤ k en el último sumatorio). El recíprocotambién es cierto. En efecto, denotemos por (k, l)∗ el posterior a (k, l), setiene

(k, l)∗ =

{

(k + 1, l), si l < n

(k − 1, k), si l = n.

Además, la existencia de subíndices i < r < s con (r, s) ≻ (k, l) implican(i, s) ≻ (r, s) ≻ (k, l). Dados los yij con (i, j) ≻ (k, l) en (3), definimos losbij como sigue:Para (u, v) = (k, l)∗ sea

buv =

{

yuv, si (u, v) = (1, l + 1) y k = l − 1

yuv − bauk, si (u, v) = (k + 1, l) y k ≤ l − 2.

Para (u, v) ≻ (k, l)∗, supuesto dados los bu′v′ para todos los pares (u′, v′) con(k, l) ≺ (u′, v′) ≺ (u, v), entonces definimos

buv =

{

yuv −∑

u<w<v;(w,v)≻(k,l) bwvauw, si v 6= l

yuv −∑

u<w<v;(w,v)≻(k,l) bwvauw − bauk, si v = l.

Es evidente que si T = In +∑

(i,j)≻(k,l) bijEij , entonces se tiene la igualdad(2).

Denotamos por (k, l)∗ el par anterior a (k, l), entonces se tiene

G(k,l)∗/G(k,l) = {In + bEkl | b ∈ Fq} ≃ (Fq,+)

Además,

(In + bEkl)T = ITn + bET

kl = In + b(Ekl +∑

(i,j)≻(k,l)

zijEij)

= (In + bEkl)(In +∑

(i,j)≻(k,l)

zijEij),

por consiguiente G(k,l)∗/G(k,l) ≤ Z(Gn/G(k,l)) y tenemos la siguiente seriecentral:

1 = G(1,n) < G(1,n−1) < . . . < G(n−2,n) < G(n−2,n−1) < G(n−1,n) = Gn

Para cada matriz A ∈ Gn si aplicamos la fómula (1) a la serie anteriortenemos

|CGn(A)| =∏

(i,j)∈J

λij,

Preliminares 19

donde λij = rGn/G(i,j)(AG(i,j)∗/G(i,j)) ≤ r(G(i,j)∗/G(i,j)) = q.

En este caso, veamos que los valores posibles que puede tomar los númerosλkl son 1 ó q. Supongamos que λkl 6= q. Entonces, existe T ∈ Gn y b ∈ Fq−{0}tales que

AT = A(In + bEkl),

del Lema 1.1.1 se sigue que la igualdad anterior puede escribirse tambiénasí

T−1AT = A+ bEkl +∑

(r,s)≻(k,l)

xrsErs,

es decirAT = TA+ bTEkl +

∑

(r,s)≻(k,l)

xrsTErs (4)

Observemos ahora que

TEkl = Ekl +∑

(i,j)≻(k,l)

yijEij,

para algunos yij ∈ Fq, por consiguiente aplicando esta última propiedad en(4) se sigue que

AT = TA+ bEkl +∑

(r,s)≻(k,l)

zrsErs,

luego si T = In + T0 se tiene

AT0 = T0A+ bEkl +∑

(r,s)≻(k,l)

zrsErs,

para algunos zij ∈ Fq. Finalmente, si multiplicamos por cualquier y ∈ Fq setiene

AT0y = yT0A+ byEkl +∑

(r,s)≻(k,l)

yzrsErs,

es decir

A(In + yT0) = (In + yT0)A+ bEkl +∑

(r,s)≻(k,l)

yzrsErs,

que también podemos escribir como sigue

T−11 AT1 = A+ byEkl +

∑

(r,s)≻(k,l)

yzrsErs,

con T1 = In + yT0, por tanto de nuevo usando el Lema 1.1.1 se sigue que:

T−11 AT1 = A(In + byEkl)T2

20 Capítulo 1

para algún T2 = In +∑

(r,s)≻(k,l) xrsErs ∈ G(k,l). Por consiguiente

AT1 = A(In + byEkl),

y como by recorre los elementos de Fq se sigue que λkl = 1 como se queríademostrar.

Veamos el siguiente teorema:

Teorema 1.1.1. Sea A ∈ Gn y λkl = rGn/G(k,l)(AG(k,l)∗/G(k,l)). Entonces

λkl = 1 ó q.

Demostración. Tenemos

|CGn(A)| =∏

(k,l)∈JrGn/G(k,l)

(AG(k,l)∗/G(k,l)),

si llamamos H(k,l) = Gn/G(k,l) y N(k,l) = G(k,l)∗/G(k,l) entonces

|CGn(A)| =∏

(i,j)∈JrH(k,l)

(AN(k,l)),

en definitiva|CGn(A)| = qnr(A),

donde nr(A) es el número de pares (k, l) ∈ J tales que λkl = q.

La propiedad que se recoge en el lema siguiente nos va a sugerir el in-troducir un concepto nuevo, a saber el tipo de una matriz; veremos mastarde que en cada clase de conjugación de Gn existe una única matriz de tipomínimo.

Lema 1.1.2. Sea (k, l) ∈ J . Supongamos que A y B son dos matrices deGn Gn-conjugadas tales que aij = bij para todo (i, j) ≺ (k, l) perteneciente aJ y akl 6= bkl. Entonces, existe una matriz C ∈ Gn, Gn-conjugada con A quesatisfacen:

1) cij = aij para todo (i, j) ≺ (k, l) perteneciente a J .

2) ckl = 0.

Demostración. De la hipótesis se sigue que existe T ∈Gn tal que

AT = B = In +∑

(i,j)≺(k,l)

bijEij + bklEkl +∑

(i,j)≻(k,l)

bijEij,

luego

AT = B = In +∑

(i,j)∈J

aijEij + (bkl − akl)Ekl +∑

(i,j)≻(k,l)

(bij − aij)Eij .

Preliminares 21

es decir,

AT = A+ bEkl +∑

(i,j)≻(k,l)

xijEij ,

con b = bkl − akl 6= 0. Por tanto, se sigue de (3) que existe T1 ∈ G(k,l) tal que

AT = A(In + bEkl)T1. Tomando la matriz T2 = In + dT0 con d = −b−1akl yC = AT2 , se sigue de

AT2 = A(I + dbEkl)T3

con T3 ∈ G(k,l), que ckl = 0.

Deseamos encontrar en cada de conjugación de Gn una matriz que la re-presente y que sea lo mas sencilla posible, por ejemplo que posea el “el mayornúmero posible de ceros".

Consideremos el conjunto de índices J = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n}. Sea(k, l) ∈ J . Para cada A ∈ Gn definimos el (k, l)-tipo de A como la tupla

µ(k,l)(A) = µ(aij)(i,j)�(k,l),

donde µ(aij) = 1 ó 0, según sea aij 6= 0 ó aij = 0, respectivamente.Sean A,B ∈ Gn, entonces escribimos µ(k,l)(A) < µ(k,l)(B) si y sólo si

existe (i0, j0) ∈ J que satisfacen las siguientes condiciones:

1. (i0, j0) � (k, l).

2. µ(aij) = µ(bij) para todo (i, j) ≺ (i0, j0).

3. ai0,j0 = 0 y bi0,j0 6= 0.Claramente, el conjunto ({µ(k,l)(A) | A ∈ Gn},�) es un conjunto total-mente ordenado, cuyo orden es conocido como ordenación lexicográfica.Si tomamos (k, l) = J = (1, n), entonces la tupla µ(A) = µ(1,n)(A) =(µ(aij))(i,j)∈J se llama el tipo de la matriz A.

Teorema 1.1.2. Sea (k, l) ∈ J . Entonces cada clase de conjugación deH(k,l) = Gn/G(k,l) contiene una única matriz con la propiedad de tener (k, l)-tipo mínimo en su clase de conjugación.

Demostración. Para (k, l) = (n−1, n) el grupo H(n−1,n) es un grupo abelianode orden q, por tanto cada clase de conjugación tiene un sólo elemento y elresultado es trivial. Supongamos (k, l) ≻ (n−1, n) y que el Teorema es ciertopara todos los pares anteriores a (k, l). Sean A,B ∈ Gn que satisfacen lassiguientes condiciones:

1. AT ≡ B (mod G(k,l)) para alguna T ∈ Gn.

22 Capítulo 1

2. A = AG(k,l) y BG(k,l) tienen (k, l)-tipo mínimo en ClH(k,l)(A). Tene-

mos AT ≡ B (mod G(k,l)∗) y claramente los elementos A = AG(k,l)∗ y

B = BG(k,l)∗ tienen (k, l)∗-tipo mínimo en ClH(k,l)∗(A). Por consiguien-

te, de la hipótesis inductiva aplicada a H(k,l)∗ se sigue que A = B, demodo que, aij = bij para todo (i, j) � (k, l)∗. Finalmente, akl = bkl,en otro caso, haciendo uso del Lema 3, podemos considerar una matrizC ∈ Gn Gn-conjugada de A y tal que ckl = 0 y cij = bij = aij paratodo (i, j) � (k, l)∗. Pero A y B tienen (k, l)-tipo mínimo, luego ne-cesariamente akl = 0 = bkl, una contradicción. Así pues akl = bkl, esdecir A = B como se quería demostrar.

Corolario 1.1.1. Cada clase de conjugación de elementos de Gn contieneun único representante de tipo mínimo.

Demostración. Se sigue directamente del teorema anterior poniendo(k, l) = (1, n).

Definición. Si AG(k,l) es el único elemento de ClH(k,l)(AG(k,l)) que tiene

(k, l)-tipo mínimo, entonces se dice que AG(k,l) es un elemento canónico deH(k,l). Evidentemente, A es una matriz canónica de Gn si y sólo si AG(k,l) esun elemento canónico de H(k,l) para todo (k, l) ∈ J .

Sabemos que para cada A ∈ Gn se tiene

rH(k,l)(AN(k,l)) = 1 ó q. (5)

Cuando el valor es 1 decimos que (k, l) es un punto inerte de A, en otrocaso, cuando el valor es q decimos que (k, l) es un punto de ramificación

de A. Se tiene

|CGn(A)| = qnr(A) y |ClGn(A)| = qni(A), (6)

donde nr(A) es el número de puntos de ramificación de A y ni(A) es elnúmero de puntos inertes de A.

En el teorema siguiente damos caracterizaciónes lineales de (5). Eviden-temente, rH(k,l)

(AN(k,l)) = 1 si y sólo si rH(k,l)(AN(k,l)) 6= q, lo que equivale

a la existencia de T = (tij) ∈ Gn tal que In 6= [A, T ] ∈ N(k,l). A su vez, éstaúltima condición se cumple si y sólo si

AT ≡ TA (mod G(k,l)∗) y AT 6≡ TA (mod G(k,l)∗).

Preliminares 23

La primera congruencia equivale a las igualdades:

j∑

r=i

airtrj =

j∑

s=i

tisasj,∀(i, j) � (k, l)∗.

Simplificando el sumando tij + aij obtenemos la condición deseada

j−1∑

r=i+1

airtrj =

j−1∑

s=i+1

tisasj,∀(i, j) ≤ (k, l)∗. (7)

Usando (7), la condición AT 6≡ TA (mod G(k,l)) equivale a

l−1∑

r=k+1

akrtrl 6=l−1∑

s=k+1

tksasl. (8)

Por tanto, rH(k,l)(AN(k,l)) = 1 si y sólo si existen elementos tij ∈ Fq,

(i, j) ∈ J que satisfacen las condiciones (7) y (8). Reunimos estas condi-ciones en la propiedad Q:

Sea A = (aij) una matriz de Gn y (k, l) ∈ J . Consideremos la siguientepropiedad:

Q: existe una matriz T = (tij) ∈ Jn que cumple las siguientes propie-

dades:

i)

j−1∑

r=i+1

airtrj =

j−1∑

s=i+1

tisasj para todo par (i, j) ≺ (k, l) tal que j ≥ i+2.

ii) k ≤ l − 2 yl−1∑

r=k+1

akrtrl 6=l−1∑

s=k+1

tksasl.

(Sabemos que la propiedad Q se cumple si y sólo si rH(k,l)(AN(k,l)) = 1.

En otro caso se tiene que rH(k,l)(AN(k,l)) = q.)

Damos ahora otra caracterización en términos de la dependencia lineal deciertas formas lineales asociadas a la matriz.

Si definimos las siguientes formas lineales:

Lij =

j−1∑

r=i+1

airxrj −j−1∑

s=i+1

asjxis si j ≥ i+ 2,

Li,i+1 = 0, i = 1, . . . , n− 1,

24 Capítulo 1

donde las variables xrs, (r, s) ∈ J son linealmente independientes, las con-diciones (7) y (8) equivalen a decir que la forma Lkl es linealmente inde-pendiente de las formas “anteriores"(respecto del recorrido de subíndices)Lij , (i, j) ≺ (k, l). En efecto, recordemos antes de nada el siguiente resul-tado del Algebra Lineal: Si V es un K-subespacio vectorial de dimensión nsobre K y W es un K-subespacio de V de dimensión m ≤ n, entonces elortogonal

W⊥ = {α ∈ V ∗ | α(w) = 0 ∀w ∈ W}de W es un subespacio del espacio dual

V ∗ = {α : V −→ K | α es lineal },

de dimensión n−m. Además, si U es un K-subespacio de V ∗ y definimos

U⊥ = {v ∈ V | α(v) = 0 ∀α ∈ U},

entonces también se tiene

dimKU⊥ = n− dimKU.

(véase por ejemplo, “Lectures in Algebra"N. Jacobson Vol. 2 pag. 55).

Si se tiene la existencia de una solución tij, (i, j) ∈ J que satisfacen(7) y (8) es claro que esto obliga a que Lkl sea l.i. de las Lij con(i, j) ≻ (k, l). Recíprocamente, si Lkl es l.i. de las Lij con (i, j) ≻ (k, l),

tomando, V = Fn(n−1)/2q , K = Fq y U =< Lij | (i, j) ≺ (k, l) > se sigue que

sidimFqU = m y dimFq(U + FqLkl) = m+ 1,

entonces

dimFqU⊥ = n(n− 1)/2 −m y dimFq(U + FqLkl)

⊥ = n(n− 1)/2− (m+ 1),

luego (U+FqLkl)⊥ ⊂ U , es decir, existe una n(n−1)/2-tupla (tij | (i, j) ∈ J )

que está en U⊥, y no está en (U + FqLkl)⊥, es decir que satisface (7) y (8).

De este modo, hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 1.1.3. Sea A ∈ Gn. Para cada (i, j) ∈ J definimos las siguientesformas lineales:

Lij =

j−1∑

r=i+1

airxrj −j−1∑

s=i+1

asjxis si j ≥ i+ 2,

Li,i+1 = 0, i = 1, . . . , n− 1,

donde las variables xrs, (r, s) ∈ J son linealmente independientes. Sea (k, l)un elemento de J , Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:

Preliminares 25

1) Si la forma Lkl es una combinación lineal de las formas Lij,(i, j) ≺ (k, l), entonces (k, l) es un punto de ramificación de A.

2) Si la forma Lkl es linealmente independiente de las formas Lij ,(i, j) ≺ (k, l), entonces (k, l) es un punto inerte de A.

Nota. Dada la matriz A, la escritura de la forma lineal Lij es rápida poniendola atención en la quebrada de A dada en la Figura 1.2. Damos una regla parala escritura de tales formas. Observemos primeramente que los coeficientes dela forma lineal Lij son precisamente los coeficientes de la siguiente quebradade la matriz de A:

. . .

∗ ai,i+1 . . . ai,j−1

. . . ai+1,j

. . ....

∗ aj−1,j

∗. . .

cambiando de signo el trozo de columna de la quebrada:

. . .

∗ ai,i+1 . . . ai,j−1

. . . −ai+1,j

. . ....

∗ −aj−1,j

∗. . .

Figura 1.2

El recorrido es: se recorre la linea de izquierda a derecha y seguidamen-te la columna de arriba hacia abajo. Los índices de las incógnitas tambiéncorresponden a los lugares de las casillas de la dicha quebrada, pero el re-corriendo se realiza, comenzando por la columna de arriba abajo, y despuéspor la linea de izquierda a derecha. Solapando dichos recorridos, obtenemoscada coeficiente con su incógnita.

26 Capítulo 1

. . .

∗ xi,i+1 . . . xi,j−1

. . . xi+1,j

. . ....

∗ xj−1,j

∗. . .

Figura 1.3

En el caso de que A sea una matriz canónica podemos simplificar el aná-lisis de la (in)dependencia lineal puesta de manifiesto en el teorema anterior.

DenotemosGn = H(k,l) = Gn/G(k,l), Gn = Gn/G(k,l)∗

yN(k,l) = G(k,l)∗/G(k,l) ≃ (Fq,+).

Supongamos que A = AG(k,l)∗ = In +∑

(i,j)≺(k,l) aijEij es un elemento ca-nónico de Gn/G(k,l)∗ . A partir de este trozo de matriz podemos considerarla totalidad de trozos de matrices (en total q) de Gn/G(k,l) que resultan deponer en la casilla (k, l) cualquier valor del cuerpo finito Fq, es decir:

{In +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij + bEkl | b ∈ Fq}.

Observemos que estos elementos corresponden a los D ∈ Gn/G(k,l) tales que

D = A, es decir, cuyas casillas anteriores a (k, l) coinciden con la A. Si Bes una matriz canónica de Gn, entonces B es una matriz canónica de Gn.Recordemos que cada clase de conjugación tiene una única matriz canónica.Nos preguntamos por

EA = {B | B es canónica en Gn y B = A}.Si definimos

A(x) = In +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij + xEkl,

tenemos

A(0)N(k,l) = {A(b) = In +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij + bEkl | b ∈ Fq},

Preliminares 27

yEA ⊆ A(0)N(k,l).

Claramente, A(0) es un elemento canónico de Gn, pues se ha formado con

el trozo canónico A y añadiendo un cero en la casilla (k, l). ¿ Qué podemosdecir acerca de la canonicidad del resto de matrices?. Observemos que elproblema que nos estamos planteando, es como se obtienen los elementoscanónicos de Gn, a partir de un elemento canónico de Gn, esto es, determinarel conjunto EA. Para realizar este estudio, distinguimos dos casos:

1. rH(k,l)(A(0)N(k,l)) = 1. Este caso es trivial, ya que las q matrices A(x)

son conjugadas en H(k,l) entre sí y todas a A(0). Por consiguiente elrepresentante canónico de todas ellos es A(0), es decir,

EA = {A(0)}.

2. rH(k,l)(A(0)N(k,l)) 6= 1. Entonces sabemos que necesariamente el valor

debe ser q y los elementos A(x), x ∈ Fq son dos a dos no conjugados,ya que estos son precisamente los que forman la coclase. Afirmamosque en este caso, también son canónicos A(x), x ∈ Fq − {0} , es decirque

EA = {A(x) | x ∈ Fq}.

Sea x ∈ Fq − {0} fijo. Tenemos µ(Ax) = (µ(A), 1). Sabemos que enClGn

(A(x)) existe un único elemento canónico, sea D. Entonces,

D ∼ Ax implica D ∼ ˜A(x) = A, pero D es de tipo mínimo, luego

D = A. Por tanto,

D = In +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij + dklEkl = A(0).(In + dklEkl) ∈ A(0)N(k, l)

= {A(y) | y ∈ Fq},y ahora D ∼ A(x) fuerza necesariamente D = A(x). c.s.q.d.

Al considerar A(0) hemos fijado el valor de la casilla (k, l), a saber, 0. Es evi-dente, que podíamos haber fijado cualquier otro valor en nuestra discursión,ya que

rH(k,l)(A(0)N(k,l)) = 1 o q ⇐⇒ rH(k,l)

(A(x)N(k,l)) = 1 o q, ∀x ∈ Fq,

puesto que A(0)N(k,l) = A(x)N(k,l), ∀x ∈ Fq.

Por tanto, decimos que el punto (k, l) es de ramificación (pues originaq matrices canónicas, es decir, A se ramifica en q matrices canónicas: A(x),(x ∈ Fq) si rH(k,l)

(A(0)N(k,l)) = q), y en otro caso se dice que es inerte.

28 Capítulo 1

Es evidente que como un punto de ramificación supone que el trozo corres-pondiente es canónico cualquiera que sea el valor que pongamos en estacasilla, se sigue que

“Las matrices canónicas son aquellas que tienen valor cero en los puntosinertes".

Observación. Notemos que hemos partido de un trozo de matriz, a saberA. Supongamos ahora que partimos de la hipótesis de que conocemos to-da la matriz A ∈ Gn , y que además es canónica. Entonces, también lo esA = AG(k,l), para cada (k, l) ∈ J . Por consiguiente, “ si rH(k,l)

(AN(k,l)) = 1,se sigue que necesariamente akl = 0".

En efecto, B = In +∑

(i,j)≺(k,l) aijEij + 0Ekl es canónica, B ∈ AN(k,l) y

rH(k,l)(AN(k,l)) = 1 fuerzan B ∼ A, luego por la unicidad se sigue que

B = A, es decir akl = 0 c.s.q.d.

La propiedad anterior también la podemos enunciar así :

Proposición 1.1.1. Sea A una matriz canónica de Gn. Entonces, para cada(k, l) ∈ J tal que akl 6= 0 se tiene rH(k,l)

(AN(k,l)) = q. En particular,

|CGn(A)| ≥ qδ,

donde δ denota el número de casillas no nulas de A.

Observemos que en el caso, akl = 0 puede ser rH(k,l)(AN(k,l)) = 1 ó q y

que si rH(k,l)(AN(k,l)) = q, entonces cualquiera que sea el valor que pongamos

en la casilla (k, l), los elementos

In +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij + xEkl, ∀x ∈ Fq

son canónicos en H(k,l)

De esta manera, se determinan los elementos canónicos de Gn/G(k,l) apartir de los elementos canónicos de Gn/G(k,l)∗ . Observemos de paso que

r(Gn/G(k,l)) = λ(k,l)q + µ(k,l),

donde λ(k,l) es el número de elementos canónicos A de Gn/G(k,l)∗ que originancada una de ellos q elementos canónicos de Gn/G(k,l), a través de la conside-ración de que tiene un punto de ramificación en el lugar (k, l), y µ(k,l) es el

número de elementos canónicos A de Gn/G(k,l)∗ tales que A tiene un puntoinerte en el lugar (k, l). Naturalmente, se tiene

r(Gn/G(k,l)∗) = λ(k,l) + µ(k,l).

Preliminares 29

Por tanto,

r(Gn/G(k,l)) = λ(k,l)(q − 1) + r(Gn/G(k,l)∗) (10)

Observemos que si C(k,l) es el sistema completo de representantes de ele-mentos canónicos de las clases de conjugación de Gn/G(k,l) y definimos lasiguiente relación de equivalencia en C(k,l):

∀A1, A2 ∈ C(k,l), A1RA2 ⇐⇒ ∃A ∈ Gn | A1, A2 ∈⋃

T∈Gn

ATN(k,l),

entonces las clases de equivalencia tienen cardinalidad 1 ó q y λ(k,l) es elnúmero de clases de equivalencia de cardinalidad q.

Observemos que para cada t ∈ [1, n] se tiene el siguiente isomorfismo:

H(t,n) = Gn/G(t,n) ≃ Gn−t+1

Este isomorfismo está definido por la aplicación

A = In +∑

(i,j)�(t,n)

ai,jEi,j 7→ In−t+1 +∑

(i,j)�(t,n)

ai,jEi−t+1,j−t+1.

Reiterando (10) se concluye la siguiente igualdad

r(Gn) =

(1,n)∑

(k,l)=(1,2)

λ(k,l)

(q − 1) + r(Gn−1). (11)

Observación. Denotemos el p-Sylow de GL(n, q) por G(q)n . Supongamos

Fq ⊆ Fqt , luego G(q)n ⊆ G(qt)

n . Se tiene:

“Sea A ∈ G(q)n . Entonces A es canónica en G(q)

n si y sólo si A es canónica en

G(qt)n ".

En efecto, basta ver que A considerada como matriz de G(q)n tiene los

mismos puntos inertes y de ramificación que considerada como matriz de

G(qt)n . (i, j) es punto de ramificación de A si y sólo si conforme al Teorema

1.1.3 la forma Lij es linealmente dependiente de las formas que le precedeny esto sucede si y sólo si el rango de la matriz {L(k,l) | (k,l)�(i,j)} es igual alrango de {L(k,l) | (k,l)≺(i,j)} y esta igualdad se decide sobre los elementos dela matriz de coeficientes todos ellos pertenecientes a Fq. Consecuentemente,también los puntos inerte de A como matriz sobre Fq son inertes como matrizsobre Fqt . Como una matriz canónica es aquella que tiene valores cero en los

puntos inertes, resulta que A es canónica como matriz de G(q)n si y sólo si A

es canónica como matriz de G(qt)n . De acuerdo con el resultado anterior, se

30 Capítulo 1

tiene que el subgrupo G(q)n de G(qt)

n satisface

rG(qt)n

(G(q)n ) = r(G(q)

n ).

Mas aún,G(q)n 5 G(qt)

n .

1.2. Análisis de los puntos de ramificación e inertes deuna matriz canónica

Del teorema 1.1.3 se siguen inmediatamente los siguientes tres lemas:

Lema 1.2.1. Sea A ∈ Gn una matriz canónica respecto a la ordenaciónestándar. Supongamos que akl es el primer elemento no nulo de su fila fuerade la diagonal principal, es decir, akl 6= 0 y akj = 0,∀j tal que k < j < l.Entonces, para k′ < k se tiene rH(k′,l)

(AN(k′,l)) = 1 y, en consecuencia,

ak′l = 0.

Figura 1.4

Demostración. Sea k′ < k. Veamos que la matriz T = In + Ekk′ satisfacela propiedad Q relativa al par (k′, l). En efecto, si (i, j) ≺ (k′, l), entoncesla suma

∑j−1r=i+1 airtrj es igual a cero, ya que r > i ≥ k′ implica trj = 0.

Por otra parte, si i > k′, entonces la suma∑j−1

s=i+1 tisasj es cero, ya quetis = 0 para todo s > i. Si i = k′, entonces j < l y la última suma es iguala tk′kakj = akj. Pero, según la hipótesis, j < l implica que akj = 0. Estodemuestra el apartado i) de la propiedad Q.

Además, la suma∑l−1

r=k′+1 ak′rtrl es igual a cero, ya que k < l implica

que trl = 0, y la suma∑l−1

s=k′+1 tk′sasl es igual a tk′kakl = akl 6= 0. Estodemuestra el apartado ii).

Preliminares 31

Por lo tanto se cumple la propiedad Q para el punto (k′, l) y, consiguien-temente rH(k′,l)

(AN(k′,l)) = 1. Además, como A es una matriz canónica,

necesariamente se tiene ak′l = 0.

Definición. Las casillas correspondientes a los primeros elementos no nu-los de las filas no nulas de A− In, con A una matriz canónica les llamaremospivotes de la matriz A. Si estos son las casillas (ij , π(ij)), para j = 1, 2, . . . , t,decimos que

π : {i1, . . . it} −→ {2, . . . , n}es la aplicación pivote. Notemos que de acuerdo con el Lema 1.2.1, porencima de un pivote todos los valores de la matriz que hay en las casillas deeste trozo de columna son nulos. También, por debajo de un pivote no puedehaber ningún pivote, pues de haberlo habría uno por encima de este, portanto la aplicación π es inyectiva, es decir no hay dos pivotes en una mismacolumna.

Definición. Una matriz A ∈ Gn decimos que es precanónica si tiene lapropiedad P de que, para índice i de fila no nula de A − In, si (i, ji) es laprimera casilla de A0 = A− In con valor no nulo, entonces todos los valoresde A que hay por encima de (i, ji) y en la columna ji-ésima son ceros, esdecir,

ar,ji = 0, ∀r = 1, 2, . . . , i− 1.

de acuerdo, con el Lema 1.2.1 toda matriz canónica es precanónica.

Lema 1.2.2. Sea A = (aij) una matriz canónica de Gn respecto a la orde-nación estándar y supongamos que se cumplen las siguientes condiciones:

i) k < l < l′.

ii) akl 6= 0.

iii) ail = 0 para todo i tal que k < i < l.

iv) al′j = 0 para todo j tal que j > l′.

Entonces rH(k,l′)(AN(k,l′)) = 1 y en consecuencia akl′ = 0.

Demostración. Razonamos como en el lema anterior, pero ahora utilizamosla matriz T = In + Ell′ = (tij). Sea (i, j) ≺ (k, l′). Entonces la suma∑j−1

r=i+1 airtrj es igual a cero si j 6= l′. En el caso de que j = l′, la sumaanterior es igual a ailtll′ = ail. Además ail = 0 ya que i > k. La suma

32 Capítulo 1

0

Figura 1.5

∑j−1s=i+1 tisasj es cero si i 6= l. Supongamos que i = l. Entonces, según las

hipótesis, tal suma es igual a tll′al′j = al′j = 0, ya que si l′ es uno de losíndices de la suma, entonces l′ ≤ j − 1 < j. Así se demuestra el apartado i)de la propiedad Q.

Por otro lado, según las hipótesis ii) y iii), se tiene∑l′−1

r=k+1 akrtrl′ =

akltll′ = akl 6= 0 y, como k 6= l implica que tks = 0, la suma∑l′−1

s=k+1 tksasl′

es igual a cero. De este modo se satisface el apartado ii) de la propiedad Qlo que completa la demostración de nuestro lema.

Lema 1.2.3. Sea A = (aij) una matriz canónica de Gn y sea (k, l) ∈ J.Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones:

i) akj = 0 para todo j tal que k < j < l.

ii) ail = 0 para todo i tal que k < i < l.

Entonces rH(k,l)(AN(k,l)) = q.

Demostración. En este caso se tiene

Lij =

l−1∑

r=k+1

akrxrl −l−1∑

s=k+1

aslxks = 0,

que es linealmente dependiente de las anteriores.

Los lemas anteriores son útiles tanto para el cálculo del vector conjuga-ción de Gn como para el de las acotaciones superiores e inferiores del númeror(Gn).

Preliminares 33

Figura 1.6

1.3. Ejemplos y contraejemplos

No es cierto, en general, que si una matriz canónica tiene un

cierto tipo, entonces todas las matrices de ese tipo sean canónicas.

Por ejemplo, como veremos mas adelante, si

A(x, y) =I12 + E7,10 +E6,8 + E5,9 + E4,11 + E3,12 + E2,3+

+ E2,5 +E2,6 + E1,4 + E1,5 + xE1,6 + yE1,7 ∈ G12,

entonces A(1, 1) y A(2, 1) tienen el mismo tipo, A(1, 1) es canónica y A(2, 1)no es canónica ya que (1, 7) es un punto inerte, y por tanto el valor en estacasilla (que es 2) sería 0 si fuese canónica. Más explícitamente tenemos:

Proposición 1.3.1. Existen matrices A1, A2 y A3 tales que

1. Si µ(B) = µ(A1) , entonces B es una matriz canónica.

2. A2 es canónica y existe B2 no canónica tal que µ(B2) = µ(A2).

3. Si µ(B) = µ(A3) , entonces B no es una matriz canónica.

Demostración. Tomemos la ordenación estándar. En el caso 1) basta tomarcomo A1 cualquier matriz canónica de un subgrupo abeliano normal maximalN.

En el caso 3) basta tomar como A3 cualquier matriz que no tenga tipomínimo

34 Capítulo 1

Para demostrar el caso 2) consideremos la matriz

A(x, y) =

1 0 0 1 1 x y 0 0 0 0 01 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 01 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 01 0 0 0 0

1 0 0 01 0 0

1 01

=

(A11 A12

0 A22

)

donde la expresión por bloques corresponde a la partición de filas y columnas12 = 2 + 10.

Queremos demostrar que, cualquiera que sea el valor x, la matriz A(x,y)es de (1, 6)-tipo mínimo, pero su (1, 7)-tipo es mínimo o no según cuál seael valor de x.

Es claro que A22 es una matriz canónica ya que pertenece a N para n = 10y m = 5. Esto es decir que A es de (3, 12)-tipo mínimo.

Observando la quebrada de la Figura 1.2 (recuerde que constituyen loscoeficientes de las formas lineales Lij) correspondiente a esta submatriz se

Preliminares 35

sigue que:

Li,j = 0, ∀(i, j) ≤ (7, 10)

L7,11 = x10,11

L7,12 = x10,12

L6,7 = L6,8 = 0

L6,9 = x8,9

L6,10 = x8,10 − x6,7

L6,11 = x8,11

L5,6 = L5,7 = L5,9 = 0

L5,8 = −x5,6

L5,10 = x9,10 − x5,7

L5,11 = x9,11

L5,12 = x9,12

L4,5 = L4,6 = L4,7 = L4,11 = 0

L4,8 = −x4,6

L4,9 = −x4,5

L4,10 = −x4,7

L4,12 = x11,12

L3,4 = L3,5 = L3,6 = L3,7 = L3,12 = 0

L3,8 = −x3,6

L3,9 = −x3,5

L3,10 = −x3,7

L3,11 = −x3,4

A continuación expresamos las formas lineales Lij correspondientes alas casillas de las dos primeras filas de la matriz, en orden a estudiar loscarácter de estos puntos, es decir justificar el carácter de punto inerte o deramificación de (i, j) para (2, 3) ≤ (i, j) ≤ (1, 7). Tenemos

36 Capítulo 1

L2,3 = 0,

L2,4 = x3,4,

L2,5 = x3,5,

L2,6 = x3,6 + x5,6,

L2,7 = x3,7 + x5,7 + x6,7,

L2,8 = x3,8 + x5,8 + x6,8 − x2,6,

L2,9 = x3,9 + x5,9 + x6,9 − x2,5,

L2,10 = x3,10 + x5,10 + x6,10 − x2,7,

L2,11 = x3,11 + x5,11 + x6,11 − x2,4,

L2,12 = x3,12 + x5,12 + x6,12 − x2,3,

L1,2 = 0,

L1,3 = x1,2,

L1,4 = 0,

L1,5 = x4,5 − x1,2,

L1,6 = x4,6 + x5,6 − x1,2,

L1,7 = x4,7 + x5,7 + x.x6,7.

L2,3 = 0,L2,4 = −L3,11,L2,5 = −L3,9,L2,6 = −L3,8 − L5,8,L2,7 6= λ1L3,10 + λ2L5,10 + λ3L6,10,En L2,8 aparece x2,6 nueva variable,

En L2,9 aparece x2,5 nueva variable,




L1,2 = 0,En L1,3 aparece x1,2 nueva variable,

L1,4 = 0,L1,5 = −L4,9 − L1,3,L1,6 = −L4,8 − L5,8 − L1,3,

(2, 3) es un punto de ramificación.




(2, 7) es un punto inerte.











En esta tabla de dos columnas, cuando decimos nueva variable entende-mos que no aparecen en la totalidad de variables que aparecen (es decir, concoeficiente no nulo) en las formas lineales anteriores a la dada. Observar tam-bién, que L2,7 lleva las variables: x3,7 que solo aparece en la forma anteriorL3,10, x5,7 que solo aparece en L5,10, y finalmente la variable x6,7 que soloaparece en L6,10. A su vez, estas tres formas lineales contienen las variablesx8,10, x9,10 que solamente aparecen en ellas, por tanto, es evidente ahora quesi L2,7 es linealmente dependiente de las formas anteriores, entonces existen

Preliminares 37

λi tales queL2,7 = λ1L3,10 + λ2L5,10 + λ3L6,10,

es decir

x3,7 + x5,7 + x6,7 = λ1(x8,10 − x6,7) + λ2(x9,10 − x5,7) + λ3x3,7,

luego λi = 0 ∀i, imposible.Como ya hemos dicho, la submatriz A22 es canónica. Las siguientes cua-

tro casillas, en el recorrido respecto de la ordenación estandar, es decir lascorrespondientes a (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), al ser puntos de ramificación si-guen originando submatrices canónicas. En las siguientes casillas

(2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (2, 11), (2, 12), (1, 2), (1, 3)

al tener el valor 0 originan submatrices canónicas. Los puntos (1, 4), (1, 5),y (1, 6) son de ramificación, por tanto, cualquiera que sea el valor que hayaen dichas casillas, originan submatrices canónicas. Por consiguiente, el trozode matriz:

I12 +∑

(i,j)�(1,6)

aijEij,

es canónico. Fijemos ahora nuestra atención en el punto (1, 7). Las formaslineales anteriores a (1,7) que contienen x4,7 (resp. x5,7;x6,7 )son L4,10 (resp.L2,7; L2,7, L6,10). En estas formas, aparecen mas variables, a saber, x3,7 yx8,10. La variable x8,10 solo aparece en L6,10 y la x3,7 aparece también enL3,10. Por consiguiente, el estudio de la dependencia lineal de la forma L1,7

en términos de las anteriores, es equivalente a la existencia de λi que satisfacela siguiente ecuación

L1,7 = λ1L4,10 + λ2L2,7 + λ3L6,10 + λ4L3,10

es decir,

L1,7 = x4,7 + x5,7 + x · x6,7 = λ1(−x4,7) + λ2(x3,7 + x5,7 + x6,7)

+λ3(x8,10 − x6,7) + λ4(−x3,7).

Tenemosλ1 = −1, λ2 = λ4, λ2 = 1, λ2 − λ3 = x, λ3 = 0.

Por tanto, la dependencia lineal se tiene si y sólo si x = 1, en cuyo caso,L1,7 = −L4,10 +L2,7 +L3,10. Se sigue que (1, 7) es un punto de ramificaciónsi x = 1, e inerte en otro caso.

Sean A2 = A(1, 1) y B2 = A(2, 1). Es claro que ambas matrices sondel mismo tipo y que, según lo indicado arriba, A2 es una matriz canónica.Sin embargo B2 no es canónica ya que los valores de esta matriz en lugaresanteriores al punto (1, 7) determinan que éste es un punto inerte y por lotanto, en una forma canónica su valor ha de ser cero, cosa que no ocurre enB2. Así queda demostrado el caso 2).

38 Capítulo 1

Justificamos ahora con ejemplos, la utilidad de ciertos invariantes de lasclases de conjugación detectables en las matrices canónicas.

Definición. Dada una matriz A = (aij) ∈ Gn. Para cada elemento aijde A definimos la submatriz A|i,j| correspondiente al sombreado del dibujosiguiente es decir, A|i,j| = (akl) con i ≤ k < l ≤ j. Definimos

rij,s = rang(A|i,j| − Ij−i+1)s.

Claramente, rij,s es un invariante de la clase de conjugación de A, puessi A,B son Gn-conjugadas, entonces se sigue que A|i,j|, B|i,j| son Gj−i+1-conjugadas, luego (A|i,j| − Ij−i+1)

s, (B|i,j| − Ij−i+1)s son Gj−i+1-conjugadas

y consecuentemente rij,s(A) = rij,s(B). Nos preguntamos, ¿ determina estesistema de invariantes, las clases de conjugación de Gn, cuando i, j, s recorrentodos los posibles valores ?. La respuesta es no, claramente. Por ejemplo, lasmatrices

A =

(1 10 1

)

, B =

(1 20 1

)

,

sobre F3 son no conjugadas. Además, rang(A − I2) = 1 =rang(B − I2) y(A− I2)

2 = 0 = (B − I2)2 pues son centrales y distintas.

Abundando en este orden de ideas, nos planteamos perfeccionar el sistemade invariantes a través de la idea de pivote. El concepto de pivote ha sidode utilidad en el análisis de las matrices canónicas. Podemos dar la siguientedefinición intrinseca de la idea de pivote.

Definición. Dada una matriz B ∈ Gn, consideremos la matriz canónicaasociada A. Para cada casilla (i, j) ∈ J definimos

ǫ(B)ij = r

(B)ij − r

(B)i+1,j − r

(B)i,j+1 + r

(B)i+1,j−1,

donde ri,j = rang(B|i,j| − Ij−i+1). Es claro que como los ri,j(B) son inva-riantes de la clase de conjugación de B, también lo es ǫij(B). Mas aún,observemos que

ǫ(A) =

{

1, si (i, j) es pivote de A

0, en otro caso.

En efecto, rij(B) = rij(A) es el número de pivotes que hay en la submatrizA|i,j|, pues los pivotes están en distintas filas y en distintas columnas, y sino hay pivote en una fila de A es por que la fila de A0 es nula. Ahora, inter-pretando estas submatrices como conjuntos formados por casillas, tenemos:“El número de pivotes que hay en A|i+1,j|∪A|i,j−1| es el ri+1,j(A)+ ri,j−1(A)menos el número de pivotes que hay en la intersección A|i+1,j−1|, es decir,

Preliminares 39

ri+1,j(A)+ ri,j−1(A)− ri+1,j−1(A). Si al trozo de matriz A|i+1,j|∪A|i,j−1|, leañadimos la esquina (i, j) obtenemos A|i,j|, por tanto el número de pivotesque hay en A|i,j| es

rij(A) = ri+1,j(A) + ri,j−1(A)− ri+1,j−1(A) + ǫ

donde ǫ vale 1 ó 0 según sea (i, j) un pivote o no lo sea. Decimos que (i, j)

es un A-pivote de B si ǫij = 1 y llamamos esqueleto de B a los valores delos A-pivotes de las potencias Bn, n ≥ 1. Estos son invariantes de la clasede conjugación. Nos preguntamos ¿ El esqueleto de B determina la clasede conjugación de B? La respuesta es negativa. Para ello consideramos elsiguiente ejemplo.

A(x)0 =

0 0 0 1 x 00 1 0 1 0

0 0 0 00 0 0

0 10

Afirmamos que A(x) es una matriz canónica cualquiera que sea el valor dex ∈ Fq. En efecto, consideremos las formas lineales asociadas:

L56 = 0

L45 = 0, L46 = −x45

L34 = L35 = 0, L36 = −x35

L23 = 0, L24 = x34, L25 = x35, L26 = x36 + x56 − x25

L12 = 0, L13 = −x12, L14 = 0, L15 = x45 − x12, L16 = x46 + xx56 − x15.

Los puntos (5, 6), (4, 5) son de ramificación, (4, 6) es inerte (la incógnita x45es nueva en relación con las incógnitas que aparecen en las formas anteriores)con valor 0; (3, 4), (3, 5) son de ramificación; (3, 6) es inerte (la incógnita x35es nueva) con valor 0; (2, 3) es de ramificación, (2, 4) es inerte (la incógnitax34 es nueva), el punto (2, 5) es de ramificación pues L25 = −L36, el punto(2, 6) es inerte pues las incógnitas que aparecen son nuevas, y tiene valor 0,El punto (1, 2) es de ramificación, el punto (1, 3) es inerte con valor cero puesx12 aparece por primera vez, el punto (1, 4) es de ramificación, el punto (1, 5)es de ramificación pues L15 = −L46 + L13, y finalmente, el punto (1, 6) esde ramificación pues es inerte con valor cero. En definitiva A(x) es canónica,pues en el recorrido estandar, solamente aparecen puntos de ramificación opuntos inertes con valor cero.

40 Capítulo 1

Tenemos

A(x)20 =

0 0 0 0 0 x0 0 0 0 1

0 0 0 00 0 0

0 00

La forma lineal L16 asociada a A(x)2 es L16 = −x12, y las anteriores sonLij = 0, para toso (i, j) ≤ (1, 5) por tanto (1, 6) es un punto inerte con valorx. Consecuentemente, la forma canónica de A(x)2 es

D =

0 0 0 0 0 x0 0 0 0 1

0 0 0 00 0 0

0 00

que no depende de x. El sistema de invariantes es

(1, 4), (2, 3), (5, 6), −→ A(x)− I6

(2, 6) −→ (A(x) − I6)2

sin embargo las matrices A(1) y A(2) no son conjugadas y tienen el mismosistema de invariantes.

Asociada a una clase de conjugación tenemos lo que llamamos escalera

maximal de ceros y que se construye como sigue. Definimos los bloquesmatrices pegados a la diagonal

Dkl =

1 ak,k+1 ak,k+2 . . . akl1 ak+1,k+2 . . . ak+1,l

v . . .. . . 1 al−1,l

. . . 1

y de entre estos bloques consideramos aquellos cuyas casillas fuera de la dia-gonal principal son nulas con la excepción de la esquina (k, l) que suponemosque es no nula: akl 6= 0. En este caso, (k, l) es un punto de ramificación, puesLkl = 0 y todo este bloque de ceros es un invariante de la clase de conjuga-ción por estar pegado a la diagonal principal. Naturalmente, tales bloquessiempre existen, y el mas pequeño de ellos corresponde al caso ak,k+1 6= 0,en cuyo caso sería

Dk,k+1 =

(1 ak,k+1

0 1

)

.

Si solapamos todos estos bloques, obtenemos una escalera invariante quellamamos escalera de ceros maximal.

Preliminares 41

1.4. La estructura de los grupos Gn/G(k,l)

Antes de nada, observemos que cada matriz A = (aij) ∈ Gn admite lasiguiente factorización

A =

(1,n)∏

(i,j)=(n−1,n)

(In + aijEij), (1)

En efecto, esta descomposición sigue directamente de ser

(In + aklEkl)(In + akl∗Ekl∗) = In + aklEkl + akl∗Ekl∗ ,

donde (k, l)∗, es el siguiente a (k, l) respecto de la ordenación introducida enJ . Precisando,

(k, l)∗ =

{

(k + 1, l), si l < n

(k − 1, k), si l = n.

yEklEkl∗ = δlk′Ekl′ = 0,

ya que k′ = k + 1 6= l si k ≤ l − 2 y k′ = 1 6= l si (1 >)k = l − 1.Por otro lado, notemos que las matrices de la forma In + aEij , a ∈ Fq

forman un grupo abeliano isomorfo a

(Fq,+) ≃ Cp ×m· · · × Cp,

y si Fq = ⊕mi=1Fpui, entonces a =

∑ml=1 tlul para algunos tl ∈ {0, 1, . . . , p−1}

y se tiene

In + aEij = In + (m∑

l=1

tlul)Eij =m∏

l=1

(In + ulEij)tl ,

Por consiguiente, si llamamos

βij,l = In + ulEij ,

se tieneIn + aEij = βt1

ij,1βt2ij,2 · · · βtm

ij,m.

Para escribir el producto de dos factorizaciones del tipo (1), necesitamosprecisar ¿cuál es el conmutador de dos generadores básicos?. Se tiene:

Lema 1.4.1. Para cualesquiera (i, j), (k, l) ∈ J y cualesquiera u, v ∈ Fq setiene

[In + uEij , In + vEkl] =

In si i 6= l y j 6= k

In − uvEkj si i = l

In + uvEil, si j = k.

42 Capítulo 1

Nota. Observe que para i = l, el par (k, j) pertenece a J pues k < l =i < j, similarmente, si j = k, entonces i < j = k < l, luego (i, l) ∈ J .

Demostración. Tenemos

[In + uEij , In + vEkl] = (I − uEij)(I − vEkl)(I + uEij)(I + vEkl)

= (I − uEij − vEkl + uvδjkEil) · (I + uEij + vEkl + uvδjkEil)

= I−uEij − vEkl+uvδjkEkl+uEij − vuδliEkj + vEkl−uvδjkEil+uvδjkEil

= I − uvδliEkj + uvδjkEil.

Para listar todos los conmutadores conviene introducir la siguiente nota-ción para los generadores: α1 = In + En−1,n;α2 = In + En−2,n−1;α3 = In + En−2,n;α4 = In + En−3,n−2;α5 = In + En−3,n−1; etc.

De acuerdo con el Lema 1.4.1 se tiene

[αi, αj ] =

α−1k , si αi, αj , αk estan en la posición que indica

la Figura 1.7 de abajo que es una configuración

submatriz a su vez de la matriz de la Figura 1.8,

1, en otro caso,

. . .

∗ · · · αj · · · αk

. . ....

...∗ · · · αi

. . ....∗

. . .

Figura 1.7

Preliminares 43

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·∗ α16 α17 α18 α19 α20 α21

∗ α11 α12 α13 α14 α15

∗ α7 α8 α9 α10

∗ α4 α5 α6

∗ α2 α3

∗ α1

∗

Figura 1.8

Por ejemplo, en la tabla de la Figura 1.8 se observa que

[α4, α11] =

{

α−113 , en H(k,l) ∀(k, l) � (n− 5, n − 2)

1, en H(k,l) ∀(k, l) � (n− 5, n − 3).

. . .

∗ · · · α11 · · · α13

. . ....

...∗ · · · α4

. . ....∗

. . .

Figura 1.9

Teorema 1.4.1. Para cada (k, l) ∈ J se tiene

Z(Gn/G(k,l)) ≃{

Fq, si l = n ó k = n− 1,

Fq ⊕ Fq, si l ≤ n− 1 y k < n− 1,

Mas explícitamente, se tiene

Z(Gn/G(k,l)) =

=

{

G(k,l)∗/G(k,l) = {In + uEkl | u ∈ Fq}, si l = n o k = n− 1,

{In + uEkl | u ∈ Fq} ⊕ {In + uEk+1,n | u ∈ Fq}, si l ≤ n− 1 y k < n− 1

44 Capítulo 1

Demostración. Supongamos que

A = In +∑

(i,j)�(k,l)

aijEij ∈ Z(Gn/G(k,l))

y veamos que aij = 0 para todo (i, j) ≺ (k, l) y distinto de (k + 1, n) sik < n− 1. En efecto, para todo (r, s) � (k, l) tenemos

AIn+Ers ≡ A (mod G(k,l))

es decir,

In +∑

(i,j)�(k,l)

aijEIn+Ers

ij ≡ In +∑

(i,j)�(k,l)

aijEij .

Además,

(In −Ers)Eij(In + Ers) =

Eij, si s 6= i, r 6= j

Eij − Erj , si s = i y r 6= j,

Eij + Eis, si s 6= i y r = j.

Por tanto, tenemos

AIn+Ers ≡ In +∑

(i,j)�(k,l);i 6=s,j 6=r

aijEij +∑

(s,j)�(k,l);j 6=r

asj(Esj − Erj)

+∑

(i,r)�(k,l);i 6=s

air(Eir + Eis) + arsErs).

Por tanto,

In +∑

(i,j)�(k,l);i=s,j 6=r

−asjErj +∑

(i,r)�(k,l);j=r,i 6=s

airEis ≡ In (mod G(k,l)).

Entonces, tenemosasj = 0 = air

para cualesquiera i, j que satisfacen r < j y (r, j) � (k, l), y i < s, y(i, s) � (k, l).

En otras palabras, dado el par (i, j) interior a la Figura 1.10, si existe i′

tal que k ≤ i′ < i, entonces tomando (r, s) = (i′, i), la congruencia

AIn+Ei′i ≡ A (mod G(k,l))

implica aij = 0, y si existe j′ con j < j′ ≤ n y (i, j′) ≤ (k, l), entoncestomando (r, s) = (j, j′), la congruencia

AIn+Ejj′ ≡ A (mod G(k,l)),

implica aij = 0. Naturalmente, todos los pares correspondientes a las casillasde la Figura 1.10 satisfacen la existencia de i′ o de j′, a excepción de los doso uno, situados en los peldaños de la Figura 1.10.

Preliminares 45

Figura 1.10

Teorema 1.4.2. Sea (k, l) ∈ J y Gn = Gn/G(k,l). Se tiene

1. Para 1 ≤ w ≤ k

Z(Gn/Zw−1(Gn)) ≃

Fq

w⊕ · · · ⊕Fq, si l = n ó k = n− 1,

Fq

w+1⊕ · · · ⊕Fq, si l ≤ n− 1 y k < n− 1,


Z(Gn/Zw−1(Gn)) =

=

{In + uEk+1,n−(w−1) | u ∈ Fq} ⊕ {In + uEk+2,n−(w−2) | u ∈ Fq}⊕ · · · ⊕ {In + uEk+w,n | u ∈ Fq}o

{In + uEk,l−w+1 | u ∈ Fq} ⊕ {In + uEk+1,n−(w−1) | u ∈ Fq}⊕ {In + uEk+2,n−(w−2) | u ∈ Fq} ⊕ · · · ⊕ {In + uEk+w,n | u ∈ Fq}

según sea (l = n o k = n−1), o (l ≤ n−1 y k < n−1), respectivamente.

2. Para k < w ≤ n− k + 1 se tiene

Z(Gn/Zw−1(Gn)) ≃ Fq

w⊕ · · · ⊕Fq


Z(Gn/Zw−1(Gn)) = {In + uEk+1,n−(w−1) | u ∈ Fq}⊕

{In + uEk+2,n−(w−2) | u ∈ Fq} ⊕ · · · ⊕ {In + uEk+w,n | u ∈ Fq}

46 Capítulo 1

Observación Notemos que la clase de nilpotencia de Gn es n − k on− k − 1, según sea (k, l) = (k, n) o (k, l) ≺ (k, n)

Demostración. Dado el par (i, j) interior a las Figuras 1.11 y 1.12 según seal < n ó l = n, si existe i′ tal que k ≤ i′ < i, entonces tomando (r, s) = (i′, i),la congruencia

Figura 1.11

AIn+Ei′i ≡ A (mod G(k,l))

implica aij = 0, y si existe j′ con j < j′ ≤ n y (i, j′) ≤ (k, l), entoncestomando (r, s) = (j, j′), la congruencia

AIn+Ejj′ ≡ A (mod G(k,l)),

implica aij = 0. Naturalmente, todos los pares correspondientes a las casillasde las Figuras 1.11 y 1.12 satisfacen la existencia de i′ o de j′, a excepciónde los pares correspondientes a los peldaños de las escaleras dibujadas.

Preliminares 47

Figura 1.12

En lo que sigue trabajamos con q = p. Por comodidad, adoptamos la nota-ción

1)H1 = Hn−1,n, H2 = Hn−2,n−1, H3 = Hn−2,n, . . . .

Así, tenemos

H1 = Cp =< α1 | αp1 = 1 >, r(H1) = p, {1} ⊳ H1.

2)

H2 = Cp × Cp =< α1 >< α2 >, r(H2) = p2, {1} ⊳ H2.

3)

H3 = (Cp × Cp)×λ Cp =< α1, α3 >< α2 > con αα21 = α1α

−13 ,

∆(H3) = ([p3]p, [p2]p2−1) r(H3) = p2 + p− 1

y las series centrales superior e inferior coinciden siendo Γ1(H3) =< α3 >=Z(H3), de modo que la serie central y los factores son

{1}Cp

⊳ < α3 >C2

p

⊳ < α1, α2, α3 >= H3.

4)

H4 = (Cp×Cp)×λCp×Cp = (< α1, α3 > ×λ < α2 >)× < α4 > con αα21 = α1α

−13 .

48 Capítulo 1

Como el punto (n − 3, n − 2) es siempre de ramificación, resulta que sobrecada clase de conjugación de H3 hay p clases de conjugación de H4 de modor(H4) = p.r(H3), y

∆(H4) = ([p3]p2, [p2]p

3−p) r(H4) = p3 + p2 − p.

En este caso, las series centrales superior e inferior no coinciden. Enefecto, se tiene: Z(H4) =< α3, α4 >, Γ2(H4) =< α3 > de modo que lasseries y los factores son

{1}C2

p

⊳ Z(H4) =< α3, α4 >C2

p

⊳ H4, {1}Cp

⊳ Γ1(H4) =< α3 >C3

p

⊳ H4.

5)H5 = (((Cp × Cp)×λ Cp)×λ Cp)× Cp

= [[< α1, α3 > ×λ < α2 >]×λ < α4 >]× < α5 >

con relaciones

αα21 = α1α

−13 , αα4

2 = α2α−15 ,

(para el resto de relaciones se tiene ααj

i = αi. En este caso, las dos seriescentrales coinciden:

{1}C2

p

⊳ Z(H5) = Γ2(H5) =< α3, α5 >C3

p

⊳ H5.

r(H5) = p.(2p2 − 1) y ∆H5= ([p5]p

2, [p4]p

3−p, [p3]p3−p2).

6)H6 = ((((Cp × Cp)×λ Cp)×λ Cp)× Cp)×λ Cp

= [[[< α1, α3 > ×λ < α2 >]×λ < α4 >]×λ < α5 >]×λ < α6 >

con relaciones

αα21 = α1α

−13 , αα5

1 = α1α−16 , αα4

2 = α2α−15 , αα4

3 = α3α−16 ,

(para el resto de relaciones se tiene ααj

i = αi. En este caso, tenemos: Γ2(H6) =H′

6 =< α3, α5, α6 >= Z2(H6) y

Γ3(H6) = [H6,Γ2(H6)] =< α6 >= Z(H6).

r(H6) = 2p3 + p2 − 2p y ∆H6= ([p6]p, [p5]p

2−1, [p4]p3−p2−p+1).

Observación Se tienen las siguientes igualdades:

r(H3)− r(H3/Z(H3)) = p2 + p− 1− p2 = p− 1.

Preliminares 49

r(H6)− r(H6/Z(H6)) = r(H6)− r(H5) = 2p3 + p2 − 2p − (2p3 − p)

= p(p− 1). (7)

r(H7) = 2p4+ p3− 2p2 = 3(p2− 1)+ p+(2p+3)(p2 − 1)(p− 1) = f2p+3(p7),

y∆H7

= ([p7]p2, [p6]p

3−p, [p5]p4+p3−2p2 , [p4]p

4−p3−p2+p). (8)

r(H8) = 4p4−p3−3p2+p = 4(p2−1)+1+(4p+3)(p2−1)(p−1) = f4p+3(p8),

y

∆H8= ([p8]p

2, [p7]2p

3−p2−p, [p6]p4+p3−4p2+3p−1,

[p5]2p4−2p3−p+1, [p4]p

4−2p3+p2). (9)

r(H9) = 5p4−p3−5p2+2p = 4(p2−1)+p+(5p+4)(p2−1)(p−1) = f5p+4(p9),

y

∆H9= ([p9]p

2, [p8]2p

2−2p, [p7]3p3−2p2−2p+1, [p6]2p

4+p3−6p2+3p,

[p5]2p4−3p3−p2+3p−1, [p4]p

4−2p3+p2). (10)

Tenemos H10 = G5 y

∆G5=([p10]p, [p9]p

2−1, [p8]3p2−3p, [p7]3p

3−5p+2,

[p6]2p4+p3−6p2+p+2, [p5]2p

4−2p3−3p2+4p−1, [p4]p4−2p3+2p−1)

y

r(G5) =5p4 − 5p2 + 1.

Observemos en este caso, que

r(H10)− r(H10/Z(H10)) = r(H10)− r(H9) = (p− 1)(p2 + p− 1).

50 Capítulo 1

1.5. Ordenes admisibles

Ha sido fundamental el orden total introducido en el conjunto

J = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n}.

de subíndices de las casillas por encima de la diagonal principal de una matrizunitriangular n×n para conseguir un sistema completo de representantes dematrices canónicas.

Las propiedades de este orden nos han permitido obtener un sistemacompleto de representantes de las clases de conjugación de Gn. En este pá-rrafo nos planteamos obtener aquellas otras ordenaciones en este conjunto deíndices que nos permitan obtener otros sistemas completos de representantesde las clases de conjugación de Gn.

Cualquier ordenación que tratemos deberá satisfacer la siguiente ordena-ción parcial:

(i, j) � (k, l) si i ≥ k y j ≤ l.

En consecuencia diremos que una relación de orden total � definida enJ es admisible si

(i, j) � (k, l) =⇒ (i, j) � (k, l).

Geométricamente, un orden admisible viene representado por la propiedadde que las casillas (k, l) situadas en la región sombreada de la Figura 1.13son posteriores al par (i, j).

( , )i j

( , )>( , )k 1 i j

Figura 1.13

Consecuencia inmediata de esta definición es que si � es un orden totaladmisible de J , entonces

max J = (1, n).

Preliminares 51

Proposición 1.5.1. Supongamos que � es una relación de orden total defi-nida en J . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

A1: � es una ordenación total admisible de J .

A2: Si 1 ≤ i < j < l ≤ n, entonces (i, j) ≺ (i, l) y (j, l) ≺ (i, l).

A3: Si 1 ≤ i < j < l ≤ n y (i, j) ≻ (u, v) ó (j, l) ≻ (u, v), entonces(i, l) ≻ (u, v).

Demostración. Supongamos que se cumple A1 y que 1 ≤ i < j < l ≤ n. Delas desigualdades i ≥ i y j ≤ l se sigue que (i, j) ≺ (i, l). De las desigualdadesj ≥ i y l ≤ l se sigue que (j, l) ≺ (i, l).

Supongamos que 1 ≤ i < j < l ≤ n y (i, j) ≻ (u, v) y además que secumple A2. Según A2, (i, l) ≻ (i, j) por lo tanto de (i, j) ≻ (u, v) se sigueque (i, l) ≻ (u, v). Según A2, (i, l) ≻ (j, l) por lo tanto de (j, l) ≻ (u, v) sesigue que (i, l) ≻ (u, v).

Supongamos que se cumple A3 y que 1 ≤ k ≤ i < j ≤ l. Como (k, j) =(k, j) de A3 se deduce que (i, j) � (k, j). Como (k, l) = (k, l) de A3 se deduceque (k, j) � (k, l). Por lo tanto (i, j) � (k, l).

Para cada lugar (k, l) consideramos el triángulo subtendido desde (k, l)hasta la diagonal principal. El siguiente lema es inmediato.

Lema 1.5.1. Supongamos que � es un orden admisible de J . Para cada(k, l) ∈ J y cada matriz T ∈ Gn se tiene

ETkl = T−1ET = Ekl +

∑

(i,j)≻(k,l)

xijEij ,

para ciertos xij ∈ Fq.

Demostración. Considerando las operaciones de matrices por bloques corres-pondientes a la partición [1, n] = [1, k] ∪ [k + 1, l − 1] ∪ [l, n], es inmediatoque, en cualquier caso,

ETkl = T−1ET = +

∑

(i,j)3(k,l)

xijEij ,

para ciertos xij ∈ Fq, xkl = 1. De aquí, por ser � admisible, se sigue latesis del lema.

52 Capítulo 1

Teorema 1.5.1. Sea � una relación de orden total de J . Una condiciónnecesaria y suficiente para que el conjunto

G(k,l) = {A = (aij) ∈ Gn | aij = 0, ∀(i, j) � (k, l)}

sea un subgrupo de Gn es que la relación de orden � sea admisible. En talcaso este subgrupo es un subgrupo normal de Gn, de modo que el conjunto{G(k,l)}(k,l)∈J ordenado conforme a J forma una serie normal de Gn.

Demostración. Supongamos que A y B son elementos del conjunto G(k,l).Entonces se tiene

A = I +∑

(i,j)≻(k,l)

aijEij, B = I +∑

(i,j)≻(k,l)

bijEij ,

de modo que

AB = I +∑

(i,j)≻(k,l)

aijEij +∑

(i,j)≻(k,l)

bijEij +∑

(i,j)≻(k,l)

∑

(j,v)≻(k,l)

aijbjvEiv.

Pero, según la propiedad A3, los índices (i, v) que aparecen en el últimosumatorio son todos ellos mayores que (k, l). Así queda demostrado queel conjunto G(k,l) es cerrado para el producto y como Gn es finito, esto essuficiente para demostrar que tal subconjunto es un subgrupo.

Por otra parte, según el Lema 1.5.1

AT = I +∑

(i,j)≻(k,l)

aijETij = I +

∑

(i,j)≻(k,l)

aij

Eij +∑

(u,v)≻(i,j)

zuvEuv

= I +∑

(i,j)≻(k,l)

a′ijEij ,

para ciertos a′ij ∈ Fq.

Lema 1.5.2. Sea � un orden total de J . Las siguientes propiedades sonequivalentes:

i) A = (aij) = I +∑

(i,j)∈J aijEij =∏

(i,j)∈J (I + aijEij), ∀A ∈ Gn.

ii) (i, j) ≺ (k, l) =⇒ EijEkl = 0.

Preliminares 53

Demostración. Supongamos cierto ii). Demostremos por inducción que

∏

(i,j)�(k,l)

(I + aijEij) = I +∑

(i,j)�(k,l)

aijEij .

En efecto,

∏

(i,j)�(k,l)

(I + aijEij) =

∏

(i,j)≺(k,l)

(I + aijEij)

(I + aklEkl)

=

I +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij

(I + aklEkl)

=

I +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij

+ aklEkl +∑

(i,j)≺(k,l)

aijaklEijEkl

= I +∑

(i,j)�(k,l)

aijEij.

Recíprocamente, supongamos que ii) es falso y sean (i, j) ≺ (k, l) talesque EijEkl = δjkEil 6= 0. Entonces j = k y

(i, j) ≺ (j, l) tales que EijEjl = Eil 6= 0 Consideramos la matriz A =I + Eij + Ejl. Se tiene (I +Eij)(I + Ejl) = I + Eij + Ejl + Eil 6= A.

Corolario 1.5.1. El único orden admisible de J que cumple las propiedadesequivalentes del Lema 1.5.2 es

(n− 1, n) ≺ (n− 2, n− 1) ≺ (n− 2, n) ≺ · · · ≺ (1, 2) ≺ · · · ≺ (1, n).

Demostración. Razonando sensu contrario, como Ei,i+1Ei+1,j = Ei,j 6= 0, yel orden es total, se deduce que (i + 1, j) ≺ (i, i + 1). Por otra parte, de lapropiedad A2, se sigue que (i, i + 1) � (i, j), ∀j ≥ i.

Según la propiedad A2 de las ordenaciones admisibles, cada elemento esmenor que los situados a su derecha en su fila y que los situados por encimade él en su columna. Estas dos propiedades se pueden aprovechar para definirórdenes admisibles utilizando el siguiente lema.

54 Capítulo 1

Lema 1.5.3. Consideremos los grupos Gn y Gn+1. Sean los conjuntos deíndices

Jn = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n} y Jn+1 = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n+ 1}.

Supongamos que � es una relación de orden admisible de Jn. Entonces larelación definida en Jn+1:

(i, j) ⊣ (k, l) si

(i, j), (k, l) ∈ Jn, y (i, j) � (k, l);

(i, j) ∈ Jn, y l = n+ 1;

j = l = n+ 1, y i > k.

es una relación de orden total admisible. En estas condiciones también esadmisible la relación de orden total de Jn+1:

(i, j) ր (k, l) si

(i− 1, j − 1), (k − 1, l − 1) ∈ Jn, y (i, j) � (k, l);

(i− 1, j − 1) ∈ Jn, y k = 1;

i = k = 1, y j < l.

EJEMPLOS Las siguientes ordenaciones totales de J son ordenacionesadmisibles.

1.

. . .

∗ 11 12 13 14 15∗ 7 8 9 10

∗ 4 5 6∗ 2 3

∗ 1∗

.

Este es el orden estandar con el que hemos trabajado desde el principio.

2.

. . ....

......

......

...∗ 7 8 9 10 15 . . .

∗ 2 3 6 14 . . .∗ 1 5 13 . . .

∗ 4 12 . . .∗ 11 . . .

∗ . . .. . .

.

Preliminares 55

3. Sea una matriz de Gn representada por bloques

A =

(A11 A12

A22

)

Definimos un orden total en A del siguiente modo. Todos los lugares nodiagonales de A22 preceden a los de A11 y éstos a su vez preceden a los deA12. Tanto dentro de A22 como de A11 el orden total relativo es admisible yel orden en A12 es tal que cada lugar precede a todos los que se encuentranen el rectángulo situado por encima y a su derecha. Un orden total de lamatriz A definido de esta manera es un orden admisible.

4. También es un orden total admisible el que recorre las diagonalesen sentido ascendente empezando por la diagonal inmediata a la diagonalprincipal:

(i, j) ≺ (k, l) si j − i < l − k ó j − i = l − k y j > l.

Como ya hemos anunciado al principio, en virtud del Teorema 1.5.1,cualquier ordenación admisible de J da lugar a un sistema de representantescanónicos de las clases de conjugación.

A continuación vamos a poner de manifiesto la utilidad de los ordenesadmisibles para obtener p-grupos de orden dado. Para ellos, es conocido unsistema completo de representantes de las clases de conjugación así como elvector invariante de los factores principales:

ΦG = (Z(G) = Z1, Z2/Z1, Z3/Z2, . . . , G/Zt−1).

Sólamente detallamos la posición de las n primeras casillas de cada unode los órdenes admisibles posibles. Los casillas restantes se ordenan arbitra-riamente conforme al criterio de la figura 1.

Escribiremos únicamente órdenes que dan lugar a grupos no isomorfos.Por ejemplo, los órdenes siguientes dan lugar a grupos isomorfos de ordenp4:

∗ 3 5 6∗ 2 4

∗ 1∗

,

∗ 3 4 6∗ 2 5

∗ 1∗

.

En efecto, los p-grupos asociados son:

< α1, α4, α3 > ×λ < α2 >, αα21 = α1α

−14

y

< α2, α4, α1 > ×λ < α3 >, αα32 = α2α

−14 ,

56 Capítulo 1

respectivamente, y el isomorfismo buscado es dado por

α1 7→ α2

α2 7→ α3

α3 7→ α1

α4 7→ α4

GRUPOS DE ORDEN p3 asociados a ordenes admisibles.

El orden admisible

∗ 3 5 6∗ 2 4

∗ 1∗

da lugar al grupo C3p .

El orden admisible

∗ 2 3∗ 1

∗

da lugar al grupo

C2p ×λ Cp =< α1, α3 > ×λ < α2 >, αα2

1 = α1α−13

conΦG = (Cp, C

2p).

GRUPOS DE ORDEN p4 asociados a ordenes admisibles.

El orden admisible

∗ 4 8 9 10∗ 3 6 7

∗ 2 5∗ 1

∗


El orden admisible

∗ 3 5 6∗ 2 4

∗ 1∗

Preliminares 57

da lugar al grupo

C3p ×λ Cp = 〈α1, α2, α3〉 ×λ 〈α4〉, [α1, α2] = α−1

4 ,

conΦG = (C2

p , C2p ).

GRUPOS DE ORDEN p5 asociados a ordenes admisibles

El orden admisible

∗ 5 12 13 14 15∗ 4 9 10 11

∗ 3 7 8∗ 2 6

∗ 1∗


El orden admisible

∗ 4 8 9 10∗ 3 6 7

∗ 2 5∗ 1

∗

da lugar al grupo

C2p × (C2

p ×λ Cp) =< α3, α4 > × < α1, α5, α2 >, αα21 = α1α

−15 ,

conΦG = (C3

p , C2p ).

El orden admisible

∗ 3 5 6∗ 2 4

∗ 1∗

da lugar al grupo

C3p ×λ C

2p =< α2, α4, α5 > × < α1, α3 >, αα3

2 = α2α−15 , αα1

2 = α2α4,

conΦG = (C2

p , C3p ).

58 Capítulo 1

GRUPOS DE ORDEN p6 asociados a ordenes admisibles

El orden admisible

∗ 6 17 18 19 20 21∗ 5 13 14 15 16

∗ 4 10 11 12∗ 3 8 9

∗ 2 7∗ 1

∗


El orden admisible

∗ 5∗ 4

∗ 3∗ 2 6

∗ 1∗

da lugar al grupo

C5p ×λ Cp =< α1, α6, α3, α4, α5 > ×λ < α2 >, αα2

1 = α1α−16 ,

conΦG = (C4

p , C2p).

El orden admisible

∗ 4∗ 3 6

∗ 2 5∗ 1

∗

da lugar al grupo

C3p ×λ C

3p =< α1, α3, α5 > ×λ < α2, α5, α6 >, αα2

1 = α1α−15 αα2

3 = α3α−16 ,

conΦG = (C3

p , C3p).

El orden admisible

∗ 4 5 6∗ 2 3

∗ 1∗

Preliminares 59

da lugar al grupo

C4p ×λ C

2p =< α2, α3, α5, α6 > ×λ < α1, α4 >, αα4

2 = α2α−15 αα1

2 = α2α3,

conΦG = (Cp, C

2p , C

3p).

El orden admisible

∗ 5 6∗ 4

∗ 2 3∗ 1

∗

da lugar al grupo

(C2p×λCp)×λ(C

2p×λCp) = (< α1, α3 > ×λ < α2 >)×(< α4, α6 > ×λ < α5 >),

αα21 = α1α

−13 ,

conΦG = (C2

p , C4p ).

2Algoritmos

2.1. Algunos algoritmos para calcular clases de con-jugación en los p-Sylow de GL(n, q)

En este párrafo, obtenemos resultados nuevos que son útiles para el aná-lisis del carácter inerte o ramificación de las casillas de las matrices del grupode matrices unitriangulares superiores de orden n sobre el cuerpo de q ele-mentos Gn, siguiendo los conceptos introducidos en la sección 1.1. Nuestroobjetivo es doble, por un lado desarrollar unos Lemas cuya implementaciónnos permita obtener la totalidad de matrices canónicas y el vector conjuga-ción de Gn, para valores de n pequeño (de hecho se lista la totalidad de ellasy el vector conjugación para n ≤ 8, el algoritmo es efectivo, en el sentido deque el listado nos lo proporciona en x segundos), por otro lado, damos otroslemas cuya finalidad es obtener información sobre el carácter de las casillasde una matriz A ∈ Gn, para n cualquiera, tras el estudio de ciertas confi-guraciones que pueden darse dentro de la matriz. El estudio de obtenciónde cotas superiores e inferiores para el centralizador de una matriz de Gn,se hace a través del análisis de los cardinales de los centralizadores de lasmatrices canónicas de la A-familia asociada que se define abajo.

2.1.1. Notación

Mantenemos la notación y terminología dadas. Adicionalmente, paraA ∈ Gn, IA denota el conjunto de índices de filas de A−In no nulas. Definimos

61

62 Capítulo 2

la aplicación pivote πA de A como sigue:

πA : IA // {1, 2, . . . , n}i

�

// j

siempre que (i, j) sea la primera casilla no nula de la fila i-ésima de la matrizA− In. Decimos también que

{(i, πA(i)) | i ∈ IA},

es el conjunto de pivotes de la matriz A.Dada A ∈ Gn. Consideremos su matriz canónica B de acuerdo con cf.[1]

y las respectivas aplicaciones πA, y πB. Como en una matriz canónica, porencima de la columna de un pivote no existe otro pivote, πB es inyectiva.Por tanto, dada una matriz A ∈ Gn, siempre existe una conjugada C de Ade manera que πC es inyectiva. Llamamos A-familia asociada, al conjuntode matrices D ∈ Gn tales que πD = πB, y la denotamos por FπB

.Por otro lado, si I = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n}, definimos el conjunto

κi,j = {Lu,v, tr,s | (u, v) � (i, j), (r, s) ≺ (i, j)}.

Decimos que dos elementos Lu,v y tr,s (o Lu,v y tr,s) son contiguos sitr,s aparece en Lu,v con coeficiente no nulo. Esta relación define un grafo noorientado en κi,j y asociado a el tenemos sus componentes conexas.

2.1.2. Resultados previos

Los dos lemas que siguen son esencialmente los que se usan para el diseñodel algoritmo que nos permite tabular las tablas dadas en el Anexo B. De

acuerdo con el Teorema 1.1.3 of 1.2 , el punto (i, j) en una matriz es inerte siy sólo si la correspondiente forma lineal Li,j es linealmente independiente delas formas lineales que le preceden (es evidente que dicho Teorema vale paramatrices no necesariamente canónicas). La existencia de ceros de acuerdo conalguna de los casos del lema siguiente, reduce el estudio de la dependencia auno análogo respecto de una matriz de tamaño menor.

Lema 2.1.1. Supongamos que la matriz M con elementos de un cuerpo Kse expresa por bloques en la siguiente forma:

M =

(P XY Q

)

y que se cumple alguna de las siguientes condiciones

Algoritmo 63

1. X = 0, Y = 0;

2. X = 0 y Q es una matriz cuadrada inversible;

3. Y = 0 y Q es una matriz cuadrada inversible.

Entonces la primera fila de la matriz M es linealmente independiente de lasque le siguen si y sólo si la misma propiedad se cumple en el bloque P .

Demostración. Elemental.

Lema 2.1.2. El carácter del punto (i, j) de una matriz A ∈ Gn, dependeúnicamente de las formas Lu,v, (u, v) � (i, j) que pertenecen a la mismacomponente conexa de Li,j.

Demostración. Basta hacer notar que, después de una permutación admisi-ble, la matriz de coeficientes de las formas lineales que preceden a Li,j, esdel tipo 1) del Lema 1.1.1, donde el bloque P corresponde a las formas de lacomponente conexa de Li,j.

Lema 2.1.3. Sea A ∈ Gn y B su matriz canónica. Si πA es inyectiva, en-tonces πA = πB.

Demostración. Si πA es inyectiva, entonces el rango de A es igual al númerode filas no nulas, ya que, por permutaciones de filas y columnas, se puedellevar a la forma triangular.

Para cada lugar (k, l) consideramos la matriz

A|k,l| =

1 ak,k+1 . . . ak,l. . .

.... . . al−1,l

1

Si πA es inyectiva, entonces también es inyectiva πA|k,l|, de modo que el

rango de A|k,l| es el número de pivotes de A situados en el triángulo de A|k,l|.Sea rk,l(A) = rangA|k,l| y denotemos por pk,l(A) el número de pivotes de Asituados en A|k,l|. Se tiene

pk,l(A) = rk,l(A).

64 Capítulo 2

En consecuencia,

rk,l(A)−rk−1,l(A)−rk,l−1(A)+rk−1,l−1(A) =

{

1 si (k, l) es un pivote de A

0 si (k, l) no es un pivote de A

Se ve as’ que cuando es inyectiva, πA viene definida por los rangos indicadosy en consecuencia es un invariante de la clase de conjugación. La tesis dellema queda demostrada.

Definición. Decimos que D ∈ Gn es una precanónica de A ∈ Gn, si D esGn-conjugada de A y π+D es inyectiva. De acuerdo de el Lema anterior, laaplicación pivote es un invariante de la clase de matrices precanónicas de A,y la totalidad de todas ellas es la A-familia asociada.

Lema 2.1.4. Sea A ∈ Gn. Entonces mediante conjugaciones del tipoI + aEkl, k, l,∈ I existe una conjugada C de A tal que πC es inyectiva.

Demostración. Supongamos que πC no es inyectiva. Entonces existe un ín-dice máximo k tal que πC(k) = πC(l) = s, k < l < s. La conjugación porla matriz I + aEkl con a = a−1

l,s ak,s introduce el valor cero en el lugar (k, s),dejando invariantes los valores de lugares anteriores de acuerdo con el ordenlexicográfico introducido en la sección 1.5. La inducción sobre el orden de lascasillas completa la demostración.

Para el calculo efectivo del centralizador de una matriz cualquieraA ∈ Gn, procedemos como sigue. Primero calculamos una conjugada C de Atal que πC sea inyectiva. Entonces FπC

es la A-familia asociada. Si B es lacanónica asociada a C, tenemos B ∈ FπC

, además,

|CGn(A)| = |CGn(C)| = |CGn(B)|.

Por tanto, para obtener información sobre este número, trabajamos con lamatriz C con la condición adicional de ser canónica, es decir, trabajamos conuna matriz C que representa a una matriz cualquiera de las canónicas quehay en la familia FπC

. Obtendremos información sobre los centralizadores deestas matrices canónicas a través de los Lemas que damos, con la ventajade que en una matriz canónica los puntos inerte tienen en su casilla nece-sariamente el valor 0. Esta información se traslada a cualquier matriz de lafamilia, y por tanto a la matriz dada A.

Algoritmo 65

Sobre el carácter de las casillas de una matriz A ∈ Gn tenemos los si-guientes resultados adicionales.

Recordamos ahora algunos resultados de la sección 2.1.3 que serán útiles ennuestras implementaciones.

2.1.3. Formas lineales reducidas

Pretendemos simplificar el análisis de la dependencia lineal puesta demanifiesto en el Teorema 1.1.3, para analizar el carácter de inerte o de ra-mificación de cada casilla de una matriz dada de Gn, encontrando un nuevosistema de formas lineales que conllevan menos incógnitas. Para cada matriz

A ∈ Gn definimos

F(A) = {i ∈ [1, n − 1] | (A0)i 6= 0}.

La aplicación pivote π de A viene definida por π(i) = pi, ∀i ∈ F(A), donde(i, pi) es la primera casilla de la fila i-ésima de A0 = A − In, con valor nonulo. Naturalmente, de la definición se sigue que i < π(i) ∀i ∈ F(A). Setiene

Teorema 2.1.1. Sean (k, l) ∈ S y A = (aij), T = (tij) ∈ Gn. DenotemosGn = Hkl = G/G(k,l) y supongamos que T ∈ CGn

(A), entonces se tiene

tij = 0 ∀j > i tal que (A0)i 6= 0 6= (A0)j , π(j) < π(i) y (i, π(j)) � (k, l).

Demostración. Consideremos el siguiente conjunto

L(k,l)π (A) =

{(i, π(j)) | (A0)i 6= 0 6= (A0)j , i < j < π(j) < π(i), (i, π(j)) � (k, l), tij 6= 0}.

Si L(k,l)π (A) = ∅, queda demostrado. Supongámoslo no vacío es decir que el

resultado es falso. Sea, en relación con el recorrido estandar:

(i, π(j)) = min L(k,l)π (A)

= min{(i′, π(j′)) | (A0)i′ 6= 0 6= (A0)j′ , i′ < j′ < π(j′) < π(i′),

(i′, π(j′) � (k, l), ti′j′ 6= 0}.De la conmutatividad AT = T A se sigue (igualando los elementos (i, π(j)) )

π(j)−1∑

r=i+1

airtrπ(j) =

π(j)−1∑

s=i+1

tisasπ(j). (1)

66 Capítulo 2

Por la definición de pivote, tenemos aiv = 0 para v = i + 1, . . . , π(i), peroπ(i) ≥ π(j) − 1, luego la primera suma en (1) es nula. Observemos quej ∈ [i+1, π(j)−1]. Además, si asπ(j) 6= 0, para algún s ∈ [i+1, π(j)−1]−{j},entonces el pivote de la fila s-ésima precede a (s, π(j)) es decir π(s) < π(j).Se tiene entonces i < s < π(s) < π(j) y (i, π(s)) < (i, π(j)) ≤ (k, l),

luego (i, π(s)) 6∈ L(k,l)π (A) y necesariamente tis = 0. Por tanto, para cada

s ∈ [i+1, π(j)− 1]−{j} se tiene ó asπ(j) = 0 ó tis = 0, en cualquier caso setiene tisasπ(j) = 0 y (1) queda reducido a

0 = tijajπ(j).

Pero, ajπ(j) 6= 0, por ser (j, π(j)) un pivote. Por tanto tij = 0, contradiciendo

que (i, π(j)) ∈ L(k,l)π (A). En definitiva, el resultado es cierto. A la vista del

lema anterior, conviene introducir el siguiente conjunto

J (k,l)π (A) = {(i, j) | (A0)i 6= 0 6= (A0)j ,

i < j < π(j) < π(i), (i, π(j)) ≤ (k, l)}.

Se tiene J (k,l)∗π (A) ⊆ J (k,l)

π (A) y

J (k,l)π (A) =

{

J (k,l)∗π (A) ∪ {(k, π−1(l)}, si (A0)π−1(l) 6= 0, k < π−1(l), l < π(k).

J (k,l)∗π (A), en otro caso.

En efecto, si (i, j) ∈ J (k,l)π (A)− J (k,l)∗

π (A), entonces tenemos,

(A0)i 6= 0 6= (A0)j , i < j < π(j) < π(i) y (i, π(j)) = (k, l),

luego i = k < π(j) = l, y j = π−1(l).

Definición. Sea (k, l) ∈ J y A = (aij) ∈ Gn. Para cada (i, j) ∈ J con(i, j) � (k, l) definimos las formas lineales (k, l)-reducidas asociadas a lamatriz A como sigue

L(k,l)ij =

j−1∑

r=i+1

(r,j)∈J −J (k,l)π

airxrj −j−1∑

s=i+1

(i,s)∈J −J (k,l)π

asjxis,

donde π es la aplicación pivote asociada a A.

Teorema 2.1.2. Sea A ∈ Gn y π la aplicación pivote de A. Tenemos

Algoritmo 67

1. (k, l) es de ramificación si y sólo si L(k,l)∗

(k,l) es Fq-c.l. de las formas

L(k,l)∗

ij , (i, j) � (k, l)∗.

2. (k, l) es inerte si y sólo si L(k,l)∗

(k,l) es Fq-linealmente independiente de

las formas L(k,l)∗

ij , (i, j) � (k, l)∗.

Demostración. Sea Gn = Gn/G(k,l)∗ y Gn = Gn/G(k,l). Para cualquier T ∈ Gn

se tiene AT = T A si y sólo si

Lij = 0, ∀(i, j) � (k, l), (1)

donde Lij son las expresiones que resultan de sustituir xij por tij en las for-

mas lineales. Tenemos tij = 0 ∀(i, j) ∈ J (k,l)π , en particular, tij = 0 ∀(i, j) ∈

J (k,l)∗π y consecuentemente (1) es equivalente a

L(k,l)∗

ij = 0, ∀(i, j) � (k, l), (2)

Análogamente, AT = T A si y sólo si

Lij = 0, ∀(i, j) � (k, l)∗,

si y sólo si

L(k,l)∗

ij = 0, ∀(i, j) � (k, l)∗. (3)

Es evidente que el punto (k, l) es de ramificación si y sólo si (1) ⇐⇒ (3), porconsiguientes si damos esta condición en términos de formas, es equivalente

a decir que L(k,l)∗

(k,l) es Fq-combinación lineal de las formas

L(k,l)∗

ij , (i, j) � (k, l)∗.

El apartado 2) se sigue de 1) ya que todo punto, es ó inerte ó de ramificación.

Corolario 2.1.1. Todos los puntos situados en la misma fila que el pivotey a la izquierda de éste tienen determinados su carácter de acuerdo con elsiguiente criterio:

1. Si en su columna hay un pivote por debajo, entonces conforme el Lema1.2.1 es inerte.

2. En otro caso, si no hay pivote por debajo en su columna, entonces esde ramificación.

68 Capítulo 2

Demostración. El caso 1) ya fué demostrado. Supongamos que (A0)i 6= 0, esdecir, que está definido el punto (i, π(i)). Sea (i, j) ≺ (i, π(i)) y supongamosque por debajo de la j-ésima columna no hay pivote, es decir, π(k) 6= j parak = i+ 1, . . . , j − 1. Afirmamos que

L(i,j)∗

ij = 0.

En efecto, tenemos

L(i,j)ij =

j−1∑

r=i+1

(r,j)∈J −J (i,j)π

airxrj −j−1∑

s=i+1

(i,s)∈J −J (i,j)π

asjxis,

como j < π(i) se tiene air = 0 para cada r = i + 1, . . . , j − 1. Si asj 6= 0,

entonces π(s) < j < π(i), luego (i, s) ∈ J (i,j)∗π , puesto que (i, π(s)) ≺ (i, j) y

i < s < π(s) < π(i), por consiguiente la incógnita no aparece en el segundosumando, es decir, el primer sumando es nulo, y en el segundo, el coeficiente

es cero para cada una de las incógnitas que aparecen, en definitiva L(i,j)∗

ij = 0.

Como 0 depende linealmente de las (i, j)∗-formas L(i,j)∗rs , (r, s) � (i, j)∗ se

sigue que (i, j) es de ramificación.

Definición. Sea A una matriz canónica de Gn. Un punto (i, j) se dice quees un punto inerte absoluto si para cada x ∈ Fq existe T = T (x) ∈ Gn talque (A+ xEij)

T = A.

Es evidente que si (i, j) es un punto inerte absoluto entonces es un puntoinerte.

En efecto, para x = 1 existe T ∈ Gn tal que (A + Eij)T = TA, luegoAT − TA+ EijT = 0, por tanto

AT ≡ TA+ Eij (mod G(i,j)),

es decir, tenemos las siguientes ecuaciones

L(tuv)rs = 0 ∀(r, s) � (i, j)∗, (4)

L(tuv)ij + 1 = 0, (5)

donde L(tuv)kl denota el valor de la forma lineal Lkl cuando se sustituye la

incognita xuv por el valor tuv para cada (u, v). Es evidente ahora que laexistencia de las tuv satisfaciendo (4) y (5) obliga a que Lij es linealmenteindependiente de las formas anteriores Lrs, (r, s) � (i, j)∗.

Algoritmo 69

Lema 2.1.5. Sea A una matriz canónica de Gn y (i, j) un punto de J .Supongamos que para cada x ∈ Fq existe una matriz T ∈ Gn tal que(A + xEij)

T = A + yErs para algún y ∈ Fq. Si el punto (r, s) es inerteabsoluto, entonces (i, j) también es inerte absoluto.

Demostración. En las condiciones dadas, para cada x ∈ Fq existe una matrizT ∈ Gn tal que (A+xEij)

T = A+yErs para algún y ∈ Fq. Pero por ser (r, s)inerte absoluto, existe S ∈ G tal que (A + yErs)

S = A. En consecuencia setiene

(A+ xEij)TS = (A+ yErs)

S = A.

Definición. Sea J 0 ⊆ J . Se dice que J 0 es un conjunto absoluto de

puntos inertes, si para cada |J 0|-tupla (tuv | (u, v) ∈ J 0), tuv ∈ Fq, existeuna matriz T ∈ G tal que

(A+∑

(u,v)∈J 0

tuvEuv)T = A.

Proposición 2.1.1. Si J 1 ⊆ J 0 y J 0 es un conjunto absoluto de puntosinertes, entonces J 1 también es un conjunto absoluto de puntos inertes. Enparticular todo punto de un conjunto absoluto de puntos inertes es un puntoinerte absoluto.

Lema 2.1.6. Sea A una matriz canónica de Gn y J 0 ⊆ J un conjun-to absoluto de puntos inertes. Sea (i, j) ∈ J y supongamos que para cada|J 0|-tupla (tuv | (u, v) ∈ J 0) y cada x ∈ Fq existe una |J 0|-tupla(yuv | (u, v) ∈ J 0) tales que

(A+ xEij +∑

(u,v)∈J 0

tuvEuv)T = A+

∑

(u,v)∈J 0

yuvEuv.

Entonces el conjunto J 0∪{(i, j)} es un conjunto absoluto de puntos inertes.En particular (i, j) es un punto inerte absoluto.

70 Capítulo 2

Demostración. Dada

A+ xEij +∑

(u,v)∈J 0

tuvEuv,

existe U ∈Gn tal que

(A+ xEij +∑

(u,v)∈J 0

tuvEuv)U = A+

∑

(u,v)∈J 0

yuvEuv.

Por otro lado, por ser J 0 un conjunto absoluto de puntos inertes, existeV ∈ Gn tal que

(A+∑

(u,v)∈J 0

yuvEuv)V = A.

En definitiva, tenemos

(A+∑

(u,v)∈J 0

tuvEuv + xEij)T = A,

con T = UV .

Definición. Para cada subconjunto T de S definimos

T (i,j) = {(u, v) ∈ T | (u, v) ≤ (i, j)}.

Un subconjunto T ⊆ J se dice que es un conjunto retrógrado si ∀(i, j) ∈ Ty para cada tupla

(tuv | (u, v) ∈ T (i,j), tuv ∈ Fq )

existe T ∈ Gn y una tupla

(yuv | (u, v) ∈ T (i,j)∗ , yuv ∈ Fq),

tal que

(A+∑

(u,v)∈T (i,j)

tuvEuv)T = A+

∑

(u,v)∈T (i,j)∗

yuvEuv.

Teorema 2.1.3. Todo conjunto T retrógrado es un conjunto absoluto depuntos inertes y recíprocamente.

Algoritmo 71

Demostración. Convenimos en que el conjunto vacío es un conjunto absolutode puntos inertes. Tenemos T (n−1,n) = ∅ pues (n− 1, n) es de ramificación.Sea (i, j) > (n − 1, n) y supongamos que T (i,j)∗ es un conjunto absoluto depuntos inertes. Dada la tupla (tuv ∈ Fq | (u, v) ∈ T (i,j)), por ser T retrógrado,existe T ∈ Gn y una tupla (yuv ∈ Fq | (u, v) ∈ T (i,j)∗) tal que

(A+∑

(u,v)∈T (i,j)

tuvEuv)T = A+

∑

(u,v)∈T (i,j)∗

yuvEuv.

Como T (i,j)∗ es un conjunto absoluto de puntos inertes, existe S ∈Gn tal que

(A+∑

(u,v)∈T (i,j)∗

yuvEuv)S = A.

Entonces, la matriz TS satisface

(A+∑

(u,v)∈T (i,j)

tuvEuv)TS = A,

y concluimos que T (i,j) es un conjunto absoluto de puntos inertes. En parti-cular, T = T (1,n) es un conjunto absoluto de puntos inertes.

El recíproco es inmediato, bastaría tomar yuv = 0 ∀(u, v) ∈ T (i,j)∗ yobservar que T (i,j) es absoluto por ser subconjunto de un conjunto absolutode puntos inertes.

Teorema 2.1.4. Sea A una matriz canónica de Gn. Supongamos que losvalores de la s-ésima fila fuera de la diagonal principal son todos nulos. En-tonces el conjunto V de los lugares de la j-ésima columna que están precedidospor el pivote de su fila es un conjunto absoluto de puntos inertes.

Demostración. Sea

(r, s) ∈ V = {(r, s) | π(r) < s}.

Sea dada

B = A+∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s,

72 Capítulo 2

con tu,s ∈ Fq. Sea π(r) = t < s y T = I + yEts con y ∈ Fq. Tenemos

(A0 +∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s)T = (I − yEt,s)(A0 +

∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s)(I + yEt,s)

= A0 +∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s

− yEts(A0 +∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s) + y(A0 +∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s)Ets,

= A0 +∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s + yA0Et,s

Hemos utilizado que EtsA0 = 0 pues la s-ésima fila de A0 es nula, y tambiénque Et,sEu,s = Eu,sEt,s = 0. Por otro lado, tenemos

A0Ets =∑

u<v

au,vδv,tEu,s =∑

u<t

au,tEu,s.

Si au,t 6= 0 entonces π(u) ≤ t < s y como ar,t 6= 0 es un pivote, u ≥ r, demodo que (u, s) ∈ Vr,s. En consecuencia se tiene

(A0 +∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s)T = A0 +

∑

(u,s)∈Vr,s

(tu,s + yau,t)Eu,s.

Tomando y de modo que tr,s + yar,t = 0, es decir y = −a−1r,t tr,s, resulta

(A0 +∑

(u,s)∈Vr,s

tu,sEu,s)T = A0 +

∑

(u,s)∈V∗r,s

yu,sEu,s,

con yu,s = tu,s+yau,t. Hemos demostrado así que el conjunto V es retrógradoy por lo tanto es un conjunto absoluto de puntos inertes.

Lema 2.1.7. Sea A una matriz canónica de Gn cuyas primeras r filas sonno nulas de modo que sus pivotes a1,π(1), . . . ar,π(r) cumplen la condición1 < π(1) < · · · < π(r), siendo nulas el resto de las filas de A0.

Entonces el conjunto de los puntos inertes de A lo constituyen los puntossituados a la derecha de los pivotes:

T = {(i, j), 1 ≤ i ≤ r, j > π(i)}.

Este es un conjunto absoluto de puntos inertes.

Algoritmo 73

Demostración. Ante todo escribimos A = I +A0, de modo que en adelantenos referiremos a la matriz A0 que tiene ceros en la diagonal principal. Lascasillas no pertenecientes al conjunto T están precedidas por ceros en su filay seguidas también por ceros en su columna. Por lo tanto, las formas linealescorrespondientes son idénticamente nulas y consecuentemente correspondena puntos de ramificación.

Demostremos por inducción que T (i,j) es un conjunto absoluto de puntosinertes para cada (i, j) ∈ T . Para (i, j) = (r, π(r) + 1) se tieneT (r,π(r)+1) = {(r, π(r) + 1}, y este punto es inerte absoluto, pues para cadax ∈ Fq tenemos

(A+ xEr,π(r)+1)T = A,

con T = I − a−1r,π(r)xEπ(r),π(r)+1.

Supongamos que T (i,j)∗ es un conjunto absoluto de puntos inertes. Paracualesquiera x, y ∈ Fq, conjugando la matriz A0+xEi,j por T = I+yEπ(i),j,se tiene

(A0 + xEi,j)T = (I − yEπ(i),j)(A0 + xEi,j)(I + yEπ(i),j)

= (A0 + xEi,j − yEπ(i),jA0)(I + yEπ(i),j)

= A0 + xEi,j − yEπ(i),jA0 +A0yEπ(i),j .

En las columna π(i)-ésima, que contiene el pivote (i, π(i)), las casillas porencima de éste tienen valor cero (A es canónica) y las situadas por debajode él también tienen valor cero pues, o bien preceden al pivote de su fila, obien están en una fila nula. Por lo tanto se tiene

A0yEπ(i),j = ai,π(i)Ei,π(i) y Eπ(i),j = ai,π(i)yEi,j.

Como j > i, la fila j−ésima, o bien es cero, o bien los elementos a laderecha de su pivote son inertes absolutos y en consecuencia nulos. Por lotanto o bien yEπ(i),jA0 = 0 o bien

yEπ(i),jA0 = yEπ(i),jaj,π(j)Ej,π(j) = yaj,π(j)Eπ(i),π(j).

Fijado x ∈ Fq tomamos y = −a−1i,π(i)x.

Así tenemos una de las dos relaciones

(A0 + xEi,j)T = A0

ó(A0 + xEi,j)

T = A0 + yaj,π(j)Eπ(i),π(j).

En el primer caso se tiene directamente que (i, j) es un punto inerte absoluto.En el segundo se tiene este mismo resultado como consecuencia del Lema2.1.5, ya que en tal caso (π(i), π(j)) es un punto inerte absoluto.

74 Capítulo 2

Lema 2.1.8. Sea (i, j) ∈ J . Supongamos que para un x ∈ F∗q existe una

matriz T ∈ Gn tal que

(A+ xEij)T = A+

∑

(u,v)∈TtuvEuv +

∑

(r,s)≻(i,j)

trsErs,

donde T es un conjunto absoluto de puntos inertes y tuv, trs ∈ Fq. Entonces(i, j) es un punto inerte.

Demostración. En efecto, se tiene

(A+ xEij)T ≡ A+

∑

(u,v)∈TtuvEuv (mod G(i,j))

y como T es un conjunto absoluto de puntos inertes, existe S ∈ Gn tal que

(A+∑

(u,v)∈TtuvEuv)

S = A.

De aquí se sigue que

(A+ xEij)TS ≡ (A+

∑

(u,v)∈TtuvEuv)

S ≡ A (mod G(i,j)).

Sea TS = (zuv). La congruencia anterior es equivalente a

L(zuv)rs = 0 ∀(r, s) � (i, j)∗,

L(zuv)ij = −x 6= 0,

donde L(zuv)kl denota el valor de la forma lineal Lkl cuando se sustituye la

incognita xuv por el valor zuv para cada (u, v). Por tanto, Lij es independientede las formas anteriores y el punto (i, j) es inerte.

Lema 2.1.9 (del segundo pivote). Sea A una matriz canónica de Gn. Su-pongamos que los índices i, j, k, l, s cumplen las siguientes condiciones:

1. La fila l-ésima de A0 es nula.

2. π(k) = l.

3. ak,l+1 = · · · = ak,j−1 = 0, ak,j 6= 0.

4. i < k y π(i) < l.

Entonces (i, j) es un punto inerte.

Algoritmo 75

Demostración. Sea la matriz A0 + xEi,j, x ∈ Fq. Conjugando porT = I + yEi,k, y ∈ Fq se tiene

(A0 + xEi,j)T = (I − yEi,k)(A0 + xEi,j)(I + yEi,k)

= (A0 + xEi,j − yEi,kA0)(I + yEi,k)

= A0 + xEi,j − yEi,kA0 +A0yEi,k

≡ A0 + xEi,j − yEi,kA0 (mod Gi,j)

Ahora bien,

Ei,kA0 = Ei,k

∑

u<v

au,vEu,v ≡∑

k<v≤j

ak,vEi,v (mod Gi,j)

y como, según las hipótesis 2) y 3), en ese recorrido sólo son no nulos ak,l yak,j, resulta que Ei,kA0 ≡ ak,lEi,l + ak,jEi,j (mod Gi,j). En resumen se tiene

(A0 + xEi,j)T ≡ A0 + xEi,j − y(ak,lEi,l + ak,jEi,j) (mod G(i,j)).

Ahora tomamos y = −xa−1k,j de modo que x+ yak,j = 0 y

(A0 + xEi,j)T ≡ A0 + (−yak,lEi,l) (mod G(i,j)).

Pero el punto (i, l) es un punto inerte absoluto ya que está precedido delpivote de su fila (hipótesis 4). Por lo tanto según el lema anterior se sigueque (i, j) es un punto inerte.

Definición. Definimos ahora por inducción lo que entenderemos por el

conjunto especial CE(A) = CE de una matriz canónica A. Las propiedadesque definen este conjunto son de fácil implementación y el correspondientealgoritmo nos permitirá calcular rápidamente los tipos de clases de conjuga-ción de Hm para m ≤ 21.

Un punto (i, j) ∈ J pertenece a CE (y diremos que es especial para A)si se cumplen las siguientes condiciones:

R1) π(i) < j.

R2) ak,π(i) 6= 0 y i < k < π(i) implica (k, j) ∈ CE .

R3) aj,l 6= 0 y j < l ≤ n implica (π(i), l) ∈ CE .

Observaciones. 1. La condición R1) fuerza que la i-ésima fila es no nula,

es decir existe pivote (i, π(i)) en dicha fila. Además, de i < π(i) se sigue de

76 Capítulo 2

R1) que j ≥ i + 2. Consecuentemente los puntos de la primera diagonal nopertenecen a CE .

2. Si no hay pivotes (A = I), o existe un único pivote y está situado enla última columna, entonces ningún punto de J cumple la condición R1) ypor lo tanto CE = ∅.

3. Supongamos que 2. no se verifica, es decir, existe

r = max {i | π(i) ≤ n− 1}.

Entonces ninguno de los puntos (i, j) con i > r pertenece a CE ya quela fila i-ésima o es nula o π(i) = n. Además, entre estos puntos a lo sumohay uno con valor no nulo que de existir sería del tipo (t, π(t) = n), cont > r. Nótese que, en tal caso, que llamaremos caso b), en la columnan-ésima únicamente hay un valor no nulo, pues encima de un pivote nopuede haber otro valor no nulo.

4. De acuerdo a la ordenación estándar los siguientes puntos a considerarpara su pertenencia a CE son los que están en la fila r-ésima. De esta fila lospuntos que cumplen la condición R1) son los que siguen:

(r, s), s = π(r) + 1, . . . , n. (6)

Las casillas (6) cumplen trivialmente la condición R2) puesto que ak,π(r) = 0para r < k < π(r).

Analicemos la propiedad R3) para los puntos (6). Si as,l 6= 0, cons < l ≤ n, como s > r, se tiene que l = n y s = t. Por tanto, para lospuntos de (6) con s 6= t se tiene as,l = 0 y R3) se verifica trivialmente. Que-da por estudiar el punto (r, t), con t > π(r). De cumplirse la propiedad R3)para este punto ser ’ ıa (π(r), n) ∈ CE , lo cual es falso puesto que este punto(anterior al (r, s)) no satisface la condición R1) pues la fila π(r)-ésima es nulapor ser π(r) 6= t. En resumen, los primeros puntos especiales de acuerdo conla ordenación estándar son

{(r, s) | s = π(r) + 1, . . . , n} − {(t, n}.

En cuanto a los primeros puntos de J , notamos que (n − 1, n) y(n−2, n−1) nunca pertenecen a CE y (n−2, n) ∈ CE si y sólo si an−2,n−1 6= 0.

Algoritmo 77

Figura 2.1

Teorema 2.1.5. Sea A una matriz canónica de Gn . Entonces para cadaíndice j, 2 ≤ j ≤ n el conjunto

CEj = {(u, v) | u < j ≤ v} ∩ CE .

Es un conjunto absoluto de puntos inertes. En particular todo punto especiales inerte.

Demostración. Supuesta dada una alteración en el rectángulo CEj , tratamosde retrotraer el problema al caso en que la alteración se produce en el rec-tángulo siguiente, CEj+1. La idea es aprovechar la propiedad de los puntosespeciales de la columna j-ésima para introducir ceros en dichos puntos, auncuando sea a costa de producir nuevas alteraciones pero en puntos de CE j+1,es decir en puntos especiales del rectángulo siguiente. El último paso con-sistirá en introducir ceros en los puntos especiales de la columna n-ésima acosta de nada ya que el siguiente rectángulo es vacío.

Formalicemos el razonamiento anterior. Supongamos dada una alteraciónde la matriz A0 = A−I que afecta únicamente a los puntos de CEj , 2 ≤ j ≤ n:

A0 +∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v, xu,v ∈ Fq, xu,v = 0 si (u, v) 6∈ CE j.

78 Capítulo 2

Figura 2.2

Sean 1 ≤ k1 < · · · < kr < j los índices de fila tales que (kl, j) es especial.Observamos que, según la condición R1), esto implica queπ(kl) < j. Consideramos la submatriz de A0 = A − In = (ai,j) formada

por las filas k1, . . . , kr y las columnas π(k1), . . . , π(kr) de A0: Aπ(k1),...,π(kr)0;k1,...,kl

.Por las propiedades de los pivotes, esta submatriz es regular de modo queexisten coeficientes λ1, . . . , λr ∈ Fq tales que

Aπ(k1),...,π(kr)0;k1,...,kl

λ1

...λr

=

xk1,j...

xkr,j

,

es decirr∑

l=1

akl′ ,π(kl)λl = xkl′ ,j l′ = 1, . . . , r.

Además, si au′,π(kl) 6= 0, entonces, como (kl, j) ∈ CE es especial, de lacondición R2) se sigue que (u′, j) ∈ CE y el pivote tiene que estar necesaria-mente por delante ya que todo punto con valor no nulo o es pivote o estáprecedido por su pivote, pero en nuestro caso no es pivote ya que en su co-lumna hay un pivote por encima. En consecuencia u′ es uno de los índiceskl′ . Por lo tanto, como xu,j = 0 si (u, j) 6∈ CEj , resulta que, añadiendo tantasigualdades 0 = 0 como sea necesario, se tiene:

r∑

l=1

au,π(kl)λl = xu,j u = 1, . . . , j − 1. (7)

Algoritmo 79

Tomemos ahora

T = I −r∑

l=1

λlEπ(kl),j .

Se tiene(A0 +

∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v)

T

= (I +r∑

l=1

λlEπ(kl),j)(A0 +∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v)(I −

r∑

l=1

λlEπ(kl),j).

Si xu,v 6= 0 entonces (u, v) ∈ CE j y por lo tanto, según la definición de CEj,por un lado se tiene u < j, de donde Eπ(kl),jEu,v = 0, y por otro j ≤ v dedonde Eu,vEπ(kl),j = 0. En consecuencia,

(A0 +∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v)

T

= A0 +∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v −A0

r∑

l=1

λlEπ(kl),j +

r∑

l=1

λlEπ(kl),jA0.

Ahora bien,

A0

r∑

l=1

λlEπ(kl),j =∑

(u,v)∈Jau,vEu,v

r∑

l=1

λlEπ(kl),j

=

j−1∑

u=1

r∑

l=1kl>u

au,π(kl)λlEu,j =

j−1∑

u=1

xu,jEu,j,

luego de (7) se sigue

∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v −A0

r∑

l=1

λlEπ(kl),j

= A0 +∑

(u,v)∈Jyu,vEu,v, yu,v = 0 si (u, v) 6∈ CEj+1.

Además,r∑

l=1

λlEπ(kl),j

∑

(u,v)∈Jau,vEu,v

=

{

0 si j = n,∑r

l=1 λlEπ(kl),j

∑nv=j+1 au,vEu,v =

∑rl=1

∑nv=j+1 λlaj,vEπ(kl),v, si j < n.

80 Capítulo 2

Supongamos j < n. Como (kl, j) ∈ CE , entonces, en esta última suma,si aj,v 6= 0, por la propiedad R3), se sigue que (π(kl), v) ∈ CE e incluso(π(kl), v) ∈ CEj+1 ya que v ≥ j + 1. Así tenemos

(A0+∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v)

T = A0+∑

(u,v)∈Jzu,vEu,v, zu,v = 0 si (u, v) 6∈ CEj+1.

De aquí se deduce que para j = n se tiene

(A0 +∑

(u,v)∈Jxu,vEu,v)

T = A0,

con

T = I −r∑

l=1

λlEπ(kl),n,

y también que si j < n, el Teorema si se cumple para j + 1, se cumple paraj.

Teorema 2.1.6. Sea A una matriz canónica de G. Supongamos que para elpunto (i, j) ∈ J existe un índice u tal que se cumplen las siguientes condi-ciones

S1) u < j y au,j 6= 0.

S2) ak,u 6= 0 y i < k < u implica (k, j) ∈ CE .

S3) aj,l 6= 0 y j < l ≤ n implica (u, l) ∈ CE .

Entonces (i, j) es un punto inerte.

Demostración. Como el carácter del punto (i, j) únicamente depende de losvalores que le preceden en el orden de J , no hay pérdida de generalidad ensuponer que i = 1. En estas condiciones, observamos que las hipótesis deeste teorema son las mismas que las del anterior, sustituyendo la columnadel pivote de la primera fila por otra en la que el valor es no nulo. Bastaobservar que la submatriz de A0 determinada por las filas 1, k2, . . . , kr y

las columnas u, π(k2), . . . , π(kl), es decir, Au,π(k2),...,π(kr)0;1,k2,...,kl

, es regular y por lotanto la columna u-ésima sustituye sistemáticamente en la demostración ala π(1)-ésima.

Algoritmo 81

Este teorema se puede aplicar en situaciones no contempladas en el Teo-rema ??. Este es el caso del carácter inerte del punto (2, 5) en las matricesdel tipo

∗ θ 0 • θ ⋆ ⋆∗ • • 0 ⊕ ⊕

∗ θ θ 0 0∗ θ • ⊕

∗ θ •∗ θ

∗

.

Resumimos y situamos en contexto algunos resultados ya demostrados.Consideremos el lema ya probado

Lema 2.1.10. Sean (k, l) ∈ J , A = (aij), T = (tij) ∈ Gn y π la apli-cación pivote de A. Denotemos Gn = Hkl = G/G(k,l) y supongamos queT ∈ CGn

(A), entonces se tiene tij = 0 ∀j > i tal que (A0)i 6= 0 6= (A0)j ,π(j) < π(i) y (i, π(j)) � (k, l).

A la vista del lema anterior se ha introducido el siguiente conjunto:

J (k,l)π = J (k,l)

π (A) = {(i, j) | (A0)i 6= 0 6= (A0)j ,

i < j < π(j) < π(i), (i, π(j)) � (k, l)}.

Definición. Sea (k, l) ∈ J y A = (aij) ∈ Gn. Para cada (i, j) ∈ J con(i, j) � (k, l) definimos las formas lineales (k, l)-reducidas asociadas a lamatriz A como sigue

L(k,l)ij =

j−1∑

r=i+1

(r,j)∈J−J(k,l)π

airxrj −j−1∑

s=i+1

(i,s)∈J−J(k,l)π

asjxis,

donde π es la aplicación pivote asociada a A.

El teorema siguiente ya demostrado mejora el Teorema 1.1.3 de la sección1.1, puesto que eliminamos incógnitas.

Teorema 2.1.7. Sea A ∈ Gn y π la aplicación pivote de A. Tenemos

1) (k, l) es de ramificación si y sólo si L(k,l)∗

(k,l) es Fq-c.l. de las formas

L(k,l)∗

ij , (i, j) � (k, l)∗.

82 Capítulo 2

2) (k, l) es inerte si y sólo si L(k,l)∗

(k,l) es Fq-linealmente independiente de las

formas L(k,l)∗

ij , (i, j) � (k, l)∗.

El Corolario siguiente completa la información dada en Lema 1.1.1 dela sección 1.1, al obtener el carácter de la totalidad de casillas que hay pordelante de los pivotes.

Corolario 2.1.2. Todos los puntos situados en la misma fila que el pivotey a la izquierda de éste tienen determinados su carácter de acuerdo con elsiguiente criterio:

1. Si en su columna hay un pivote por debajo, entonces conforme el Lema1.2.1 de la sección 1.1 es inerte.

2. En otro caso, si no hay pivote por debajo en su columna, entonces esde ramificación.

2.1.4. Descripción del algoritmo

Nuestro objetivo es listar la totalidad clases de conjugación de matricesde Gn con

A =

1 a12 a13 . . . a1n1 a23 . . . a2n

. . ....

1 an−1,n

1

.

Conforme a journal en cada clase de conjugación existe una única matriz detipo mínimo que tomamos como representante canónico. Sea Cn el conjuntode tales representantes canónicos. Para cada (aij) ∈ Cn el tipo (mínimo)asociado a (aij) es la n(n− 1)/2-tupla siguiente

(µn−1,n, µn−2,n−1, µn−2,n, . . . , µ12 . . . , µ1n),

donde µij = µ(aij) es 0 - 1 según que aij sea nulo o no nulo. Hemos de teneren cuenta la siguiente caracterización:

“Sea A = (aij) ∈ Gn, entonces A es canónica si y sólo si akl = 0 siempreque (k, l) es un punto inerte de A".

En efecto, cuando (k, l) es un punto de ramificación, la sección

In +∑

(i,j)≺(k,l)

aijEij + aklEkl

Algoritmo 83

es canónica si y sólo si la sección anterior In +∑

(i,j)≺(k,l) aijEij lo es, y

cuando (k, l) es un punto inerte, la sección In +∑

(i,j)<(k,l) aijEij + aklEkl

es canónica si y sólo si In +∑

(i,j)≺(k,l) aijEij es canónica y akl = 0, puestoque el tipo es mínimo.

En las tablas que siguen el símbolo 0 indica punto inerte, el símbolo θ indicapunto de ramificación con valor nulo, y el símbolo • indica punto de ramifi-cación con valor no nulo. El número de matrices canónicas que corresponde aun tipo dado es igual a (q− 1)nb , donde nb es el número de lugares con valorno nulo. Por otro lado, si A es una matriz canónica, entonces |CGn(A)| = qnr ,donde nr es el número de puntos de ramificación, es decir el número de puntos• más el número de puntos θ. Antes de pasar a la descripción del algoritmocentremos nuestra atención en el grupo G4. Tenemos el siguiente árbol:

( )n-1,n

( )n-2,n-1

( )n-2,n

Figura 2.3

Las ramas de la Figura 2.3 se obtienen haciendo uso de los criterios quetenemos para dilucidar si una casilla corresponde a un punto inerte o deramificación según los valores de las casillas anteriores. Comenzamos con lacasilla (n − 1, n). Esta es siempre un punto de ramificación, si el valor es 0ponemos θ, si es distinto de cero ponemos •, tenemos la primera bifurcaciónen el árbol. La casilla (n − 2, n − 1) es siempre de ramificación. La casilla(n− 2, n) es de ramificación si y sólo si en la (n− 1, n) y en la (n− 2, n− 1)tenemos el valor θ (es decir, valor 0 en punto de ramificación). El punto(n − 3, n − 2) es de ramificación. De este modo, diseñamos un árbol querecoge las distintas posibilidades que se van dando.

84 Capítulo 2

Los tipos de las matrices canónicas de G4 que se originan de acuerdo con elárbol anterior, quedan recogidos en las 16 filas de las seis primeras columnasde la tabla siguiente.

θ θ θ θ θ θ 6θ θ θ θ θ • 5θ θ θ θ • 0 4θ θ θ • 0 0 3θ θ • θ θ 0 5θ θ • θ • 0 4θ θ • • 0 0 2θ • 0 θ 0 θ 6θ • 0 θ 0 • 4θ • 0 • 0 0 1• θ 0 θ θ 0 5• θ 0 θ • 0 4• θ 0 • θ 0 5• θ 0 • • 0 2• • 0 θ 0 0 4• • 0 • 0 0

Figura 2.4

Por ejemplo, la fila 14 corresponde a las matrices del tipo

∗ • • 0∗ θ 0

∗ •∗

La última columna de números se llama tabla de niveles del árbol corres-pondiente a G4 y la escribimos horizontalmente como sigue

6 5 4 3 5 4 2 6 4 1 5 4 5 2 4

Dicha fila se elabora de acuerdo con el siguiente criterio: el número i en ellugar j indica que en la Figura 2.4, en el lugar i de la fila j se produce el pasode θ (fila j) a • (fila j +1). Esta fila determina completamente la Tabla. Enefecto, para recomponer la Tabla procedemos en dos etapas. En la primeraconstruimos el árbol determinado por los puntos de ramificación. En la se-gunda, determinamos las matrices correspondientes a cada una de las ramasterminales del árbol. En la construcción del árbol el primer número indica lacantidad de niveles que hay que subir desde el nivel cero hasta la punta de

Algoritmo 85

la primera rama. Los números subsiguientes situados entres dos puntas deramas consecutivas, indican el nivel en que se produce la bifurcación. Paran ≤ 7, una vez determinado el árbol, los puntos de ramificación de una ma-triz canónica , son los nodos del árbol situados inmediatamente por encimade los nodos de bifurcación, correspondiendo el de la izquierda al valor 0( símbolo θ) y el de la derecha a los valores no nulos ( símbolo •). En conse-cuencia, para determinar el tipo de una matriz canónica que corresponde auna rama terminal, se parte de la base y en cada lugar siguiente se tiene queel punto es inerte si el anterior no es de bifurcación, es de ramificación convalor cero si el punto anterior es de bifurcación y se ha tomado el caminode la izquierda y finalmente, es de ramificación con valor no nulo si el puntoanterior es de bifurcación y se ha tomado el camino de la derecha. En elcaso n = 8, a las configuraciones anteriores debemos añadir la posibilidadde existencia de nodos en los que el carácter de punto inerte o de ramifica-ción esta condicionado por las soluciones de un cierto sistema de ecuacionespolinómicas (invariantes), cuyas variables toman valores en ciertas casillasde algunas matrices canónicas. Detallamos el único caso crítico donde se daesta nueva bifurcación condicional.

Para la determinación de las formas canónicas de un cierto tamaño n× n seprecisa el conocimiento previo de las formas canónicas de tamaño m×m conm < n. Para la determinación de una sola forma canónica, no se necesita elconocimiento previo de todas las formas canónicas de tamaño menor, sinoúnicamente aquellas formas canónicas de las que ésta es extensión. Por ello,el algoritmo se confecciona de acuerdo a esta idea. Las tres figuras de abajorecogen los diversos casos que se dan en el análisis del carácter de una casillade una matriz canónica. Los valores que preceden a una casilla, determina elcarácter de esta, en la mayoría de los casos el valor nulo o no nulo, determinaeste carácter, sin embargo para n = 8, se da un caso crítico, en donde elcarácter de una casilla, depende de una ecuación polinómica, cuyas variablestoman valores de casillas anteriores al punto.

86 Capítulo 2

0

i

1 10 0

(a) inerte

x

q

r1

x

1

(b) ramificación

0 q

x

c

1

x

1

u

v

u

1

v

(c) condicional

Figura 2.5. Casos del análisis del carácter de una casilla

La Figura 2.5(a) corresponde al caso de que la casilla en cuestión tienecarácter inerte, se origina una única rama (es decir, cada clase de conjuga-ción del nivel anterior origina una única clase en este nuevo nivel, en otraspalabras, se origina una única clase de conjugación, a saber, la matriz ex-tendida, que se obtiene añadiendo el valor 0 en la casilla última a la formacanónica subyacente que se extiende), y los valores 1 situados en las flechasde recorrido indican que el número de clases de conjugación tanto al subircomo al bajar en el recorrido del algoritmo, permanece invariante (factor 1).La Figura 2.5(b), corresponde al caso de que la casilla en cuestión tiene ca-rácter de ramificación. La matriz subyacente canónica origina q nuevas clasesde conjugación que distinguimos según sea el valor de la casilla igual a cero(θ) (una sola matriz extendida) o distinto de cero (•) (q − 1 matrices exten-didas). Si subimos de acuerdo con el algoritmo, contamos un nuevo punto de

Algoritmo 87

ramificación, al pasar de θ a • el número de puntos de ramificación se man-tiene y al bajar de • al nivel inferior, el número de puntos de ramificacióndisminuye en una unidad y el número de matrices subyacentes es (q − 1)−1

el número de matrices extendidas con casilla un valor •. La Figura 2.5(c),corresponde al caso en el que el carácter de la casilla depende de no solo delos valores nulos o no nulos de las casillas de su matriz subyacente, si no dela nulidad de unos ciertos polinomio pi, i ∈ I en tales valores. Atendiendoal valor nulo o no nulo, el número de clases de conjugación que llega a estabifurcación se descompone en dos sumandos U, V de manera que u+ v = 1,siendo u = U/(U + V ) el tanto por 1 de los casos correspondientes a puntosinerte y v = V/(U + V ) es el tanto por 1 de los casos correspondientes apuntos de ramificación, los números U, V dependen del número de solucionesdel sistema pi(xj | j ∈ J) = 0, i ∈ I.

La parte fundamental del algoritmo que efectiviza la determinación de ladependencia lineal de la forma Li,j de las que le preceden, consiste en dossubrutinas, ELE y TTT que se llaman mutuamente. La aplicación de estasdos subrutinas desarrolla un árbol que contiene a cada una de las formase incógnitas de la componente conexa de Li,j (por ejemplo, la Figura 2.6de m’as adelante representa más bien un racimo que un árbol: se empiezapor arriba). Los extremos de las ramas terminales del árbol corresponden a:α) incógnitas que sólo están ligadas a la forma lineal de la que penden. β)formas lineales ya aparecidas previamente. γ) formas lineales que sólo estánligadas a la incógnita de la que penden.La subrutina ELE examina si la forma lineal Lu,v que estudia se encuentra

en la situación γ), bien en el estado de partida del árbol o bien en uno delos estados intermedios del árbol depués de supresiones de niveles inferiores.En tal caso en la forma Lu,v sólo aparece efectivamente la incógnita tw,z dela que cuelga. Consecuentemente, en aplicación del Lema 1, hay que supri-mir, en primera intención, la forma Lu,v y la incógnita tw,z. Pero entonces elresto de las ramas que penden de tw,z quedan desconectadas del grafo. Enconsecuencia, el algoritmo suprime directamente la incógnita tw,z y todaslas ramas subsiguientes. Caso de no producirse la situación γ) para la formaLu,v se examina si se produce la situación α) para alguna de las incógnitasque penden de ella. En otro caso se califica Lu,v como en situación dudosa.

La subrutina TTT es dual de la ELE, es decir se obtiene por el intercambiode papeles entre incógnitas y formas lineales.

Hay que hacer notar que la forma Li,j de partida, resulta linealmentedependiente del resto, cuando o bien directamente es Li,j = 0, o bien lasincógnitas que penden de Li,j quedan suprimidas al aplicar las subrutinas

88 Capítulo 2

ELE y TTT a los niveles inferiores. Por el contrario, si después de eventualessupresiones en los niveles inferiores, pendiendo de Li,j aparece una incógnitatu,v de la cual no pende ninguna otra forma lineal, entonces esto quiere decirque tal incógnita aparece únicamente en la forma Li,j y consecuentemente,ésta es linealmente independiente de las demás.

El anidamiento mutuo de las subrutinas ELE y TTT hace que el orden derecorrido del racimo corresponda a un móvil que, partiendo del punto supe-rior y comenzando por la rama más a la izquierda, lo contornea de modo queel racimo va quedando a la izquierda del sentido del movimiento.

Puede suceder que una vez efectuadas todas las supresiones, no quede re-suelto el problema. En tal caso el algoritmo muestra la matriz reducida a laque se ha llegado y espera que desde el exterior se le de una respuesta, unavez resuelto el problema, bien a mano o bien mediante otro algoritmo.

2.1.5. Ejemplos. Casos críticos (n ≤ 8)

EJEMPLO 1. n ≤ 7

El algoritmo anterior aplicado a las matrices de Gn, n ≤ 7 nos conducea la afirmación siguiente: El carácter nulo o no nulo de los elementos quepreceden a la casilla (i, j) de la matriz A ∈ Gn determina completamente elcarácter inerte o de ramificación del punto (i, j). En el párrafo 5 listamos latotalidad de las clases de conjugación y el vector conjugación de Gn, n ≤ 7.

EJEMPLO 2. n = 8.

En el caso n = 8, de la gran cantidad de determinaciones a realizar, ha-ciendo uso del algoritmo, únicamente hay que resolver a mano dos problemaslineales que se detallan en los ejemplos 2.1 y 2.2. El resto de los casos co-rresponden a reducciones que conducen a casos triviales del tipo del Ejemplo2.3.Ejemplo 2.1. Estudio del carácter del punto (1, 6) de la matriz

∗ 0 0 a14 0 0 0 0∗ a23 a24 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0 0∗ a45 a46 0 0

∗ 0 0 a58∗ a67 0

∗ 0∗

Algoritmo 89

Aplicamos el algoritmo. La componente conexa de L1,6 es

t46 t36 t24 t35 t45 t14 t58 t68 t57 t67

L16 a14 a46L26 a24 a23 a46L37 a67L25 a45 a23 a24L38 a58L15 a14 a45L48 a58 a45 a46L47 a67 a45 a46

y su árbol asociado es

L16

t46 t14

L26 L47

t36 t24 t57 t67

L37 L25

t35 t45

L38 L15 L48

t14 t58 t68

L16

Figura 2.6

La reiteración de los Lemas 1.2.1 y 1.2.2 del la Sección 1.2 nos origina elsistema reducido siguiente

90 Capítulo 2

t46 t24 t45 t14

L∗16 a14 a46

L∗26 a24 a46

L∗25 a45 a24

L∗15 a14 a45

Hasta aquí hemos llegado haciendo uso del algoritmo en el análisis del carác-

ter del punto (1, 6). Ahora es fácil de ver que el rango de la matriz 4× 4 dearriba y el rango de la matriz que se obtiene de esta suprimiendo la primerafila es 3. De este modo, la forma lineal L∗

16 es combinación lineal de las demásde este sistema reducido. Por lo tanto también L16 es combinación lineal delas demás formas del primer sistema. En consecuencia (1, 6) es un punto deramificación de la matriz dada.Ejemplo 2.2. Análisis del carácter del punto (1, 4) en la matriz

∗ a12 0 0 0 0 0 0∗ a23 a24 0 0 0 0

∗ 0 0 a36 0 0∗ a45 a46 0 0

∗ 0 0 0∗ a67 0

∗ a78∗

Aplicamos el algoritmo. La componente conexa de L1,4 es

t24 t35 t45 t36 t67 t57 t46 t78 t23 t12

L14 a12 a24L25 a45 a23 a24L26 a46 a23 a24 a36L37 a67 a36L47 a46 a45 a67L58 a78L68 a78 a67L13 a12 a23

que se construye conforme al árbol

Algoritmo 91

L14

t24 t12

L25 L26

t35 t45 t36 t46 t23

L37 L13

t67 t12

L47 L68 L14

t57 t46 t78

L58 L26

(El árbol es en realidad el resultado de cortar los ciclos que hay en lacomponente conexa de L1,4.) El sistema reducido es,

t24 t36 t67 t46 t23 t12

L∗14 a12 a24

L∗26 a46 a23 a24 a36

L∗37 a67 a36

L∗47 a46 a67

L∗13 a12 a23

aplicando la teoría como sigue: 1) Suprimir la tercera y cuarta columnas

(correspondientes a las incógnitas t35 y t45) y la segunda fila L25. 2) Suprimir

la penúltima fila L58 y la penúltima columna (correspondiente a la incógnitat57 ). 3) Suprimir la última columna (correspondiente a la incógnita t78) y

la última fila L68. Ahora es fácil de ver directamente que la forma reducida

L∗1,4 = a1,2t2,4 + a2,4t1,4

es o no combinación lineal del resto de estas según que la expresión

a23a36 + a24a46

92 Capítulo 2

sea o no igual a cero, de modo que si a23a36 + a24a46 = 0 entonces (1, 4) esun punto de ramificación y si a23a36+a24a46 6= 0 entonces (1, 4) es un puntoinerte. Hay que observar que a23a36 + a24a46 es el valor de la entrada (2, 6)en la matriz A2

0. Esto nos sugiere, para n ≥ 9, la consideración de un nuevosistema de invariantes que conlleve las sucesivas potencias, Ak

0 , k ∈ N.Ejemplo 2.3. Análisis del carácter del punto (1, 4) en la matriz

A =

1 a12 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗1 a23 0 0 0 0 0

1 0 0 a36 0 01 a45 a46 0 0

1 0 0 01 a67 0

1 a781

,

donde los aij son no nulos. La componente conexa es

t24 t35 t36 t67 t57 t46 t78

L14 a12L25 a45 a23L26 a46 a23L37 a67 a36L47 a46 a45 a67L58 a78L68 a78 a67

y el sistema reducido es

t24L∗14 a12

Aquí L∗14 es l.i. de las “demás"(han desaparecido) por lo tanto también L14

es l.i. de las que le preceden y en consecuencia el punto (1, 4) es inerte.

Algoritmo 93

TABLAS n ≤ 8

Como consecuencia de lo indicado, para n ≤ 7 se pueden clasificar lasformas canónicas según sus tipos, distinguiendo, para cada tipo, el numerode elementos no nulos y el numero de puntos de ramificación de las corres-pondientes matrices. Denotemos

Cn = {µ ∈ {0, 1}n(n−1)

2 | ∃A ∈ Gn matrices canónicas tales que µ = µ(A)}.

Además, definimos Cn,k,l como el subconjunto de Cn, de aquellos tipos quecorresponden a matrices canónicas que tienen k valores distintos de cero y lpuntos de ramificación, de manera que tenemos la unión disjunta

Cn =M⋃

k=0

N⋃

l=k

Cn,k,l.

Esta notación nos permite escribir el vector conjugación y el número de clasesde conjugación en la forma

∆(Gn) = ([qr]er)r, r(Gn) =r∑

k=0

er, con er =r∑

k=0

(q − 1)|Cn,k,r |.

Un resultado de P.Hall, prueba que si G es un p-grupo de orden pm, con

m = 2n + e, e ∈ {0, 1}, entonces existe una entero no negativo k tal quer(G) = fk(|G|) = n(p2 − 1) + pe + k(p2 − 1)(p − 1).

En los anexos A, B y C tenemos los listados de las matrices canónicas,el número de clases de conjugación de Hn para n = 6, . . . , 15 y el número declases de conjugación de r(Gn) para n = 5, . . . , 8.

3Casillas correspondientes a puntos inertes y de ra-mificación

El carácter inerte o de ramificación de una casilla (i, j) corresponde aun punto inerte (resp. ramificación) si y sólo si su correspondiente formalineal Lij es linealmente independiente (resp. dependiente) de las formas li-neales que le preceden. De hecho, sólo tenemos en cuenta las formas linealesque están en la misma componente conexa de las formas e incógnitas que Lij.

En este capítulo estudiaremos los casos especiales que aparecen paran ≤ 10. Los sistemas de formas lineales simples o dobles que aparecen acontinuación nos permiten resolver el carácter de la entrada correspondientea su primera forma lineal. Primeramente para cada caso haremos una ex-plicación resumida y general de cada caso así como un ejemplo concreto desu resolución. Así mismo, tendremos en cuenta que los demás sistemas deformas lineales que aparezcan y se resuelvan del mismo modo serán isomor-fos. Una vez dada la explicación correspondiente, daremos el diagrama delalgoritmo y del árbol en cada caso.

A simple vista, puede parecer que la resolución de lo que aquí se exponeque es bastante liviano, pero no cabe duda de que se trata de un trabajo untanto arduo. Gracias a la programación en Maple y lenguaje C de la que dis-ponemos y la implementación de los diversos algoritmos hemos sido capacesde la resolución de los casos.

La manera de proceder es la que sigue:Para cada aplicación pivote, π, que tenemos y que el algoritmo no pue-de resolver de manera inmediata, nos aparecen uno o varios sistemas sim-ples o dobles de formas lineales, podemos encontrar todo tipo de combina-ción. Cada uno de estos sistemas ha de resolverse de forma individual y le

95

96 Capítulo 3

asignamos uno de los casos que a continuación exponemos, una vez resueltala casuística implementamos los resultados obtenidos en el algoritmo.Resolviendo los sistemas de formas lineales que aparecen, en la mayoría delos casos se reduce a estudiar la nulidad de un vector o bien, en estudiar ladependencia o independencia de los vectores que conforman una matriz.Cabe decir que cuando el sistema de formas lineales es doble el estudio seamplia al estudio del carácter inerte o de ramificación de dos casillas.

Estudiemos ahora estos casos especiales. Primero estudiaremos los casosobtenidos de sistemas simples de formas lineales y después los dobles. Seax = q − 1.

3.1. Casos correspondientes a sistemas simples de for-mas lineales

Caso 1

Se presenta cuando la forma Lij es linealmente dependiente de las formasque la preceden. Concluimos que (i, j) es un punto de ramificación.

Para este caso, tomemos como ejemplo el siguiente sistema de formas lineales:

x47 x14 x24 x45L17 a14 −a47 0 0L27 a24 0 −a47 0L15 0 −a45 0 a14L25 0 0 −a45 a24

En la resolución del sistema de formas lineales todos los menores que apa-recen son nulos, por tanto la forma lineal L17 es linealmente dependientede las formas que le preceden y la casilla (1, 7) corresponde a un punto deramificación.

Caso 2

La forma lineal Lij es linealmente dependiente de las formas que la prece-den de acuerdo con el carácter nulo de la única forma homogénea que apareceen ars. En este caso la bifurcación para la clasificación de los puntos inertes

y de ramificación son respectivamentex− 1

xy

1

x.

Puntos inertes y de ramificación 97

Para este caso, tomemos como ejemplo el siguiente sistema de formas lineales:

x24 x12 x36 x23 x46 x67L14 a12 −a24 0 0 0 0L26 −a46 0 a23 −a36 a24 0L13 0 −a23 0 a12 0 0L37 0 0 −a67 0 0 a36L47 0 0 0 0 −a67 a46

La forma lineal L14 es linealmente dependiente de las formas lineales quele preceden si y sólo si el vector

(−a67 a12 (a36 a23 + a46 a24) , a23 a12 (a36 a23 + a46 a24))

es nulo. Por tanto depende de si f = a36 a23 + a46 a24 es nula o no nula.

La casilla (1, 4) corresponde a un punto de ramificación si y sólo si la

forma lineal f = 0, es decir cuando a24 = −a23a36a26

. Es en este caso cuando

las casilla (1, 4) tiene asignados x+1 valores y la casilla (2, 4) un único valor.Por otro lado, si f 6= 0, entonces la casilla (1, 4) corresponde a un punto deramificación. Es en este último caso en el que la casilla (1, 4) puede tomarun único valor y la casilla (2, 4) toma x− 1 valores.

En las siguientes figuras podemos observar el algoritmo y el árbol correspon-dientes a este caso.

x

x

−1 1

x

Figura 3.1. Caso 2, u =x− 1

x, v =

1

x

98 Capítulo 3

x

x

−1

1

1x − x

1

Figura 3.2. Caso 2, r ramif., i inerte

Caso 3

La forma lineal Lij es linealmente dependiente de las formas que la pre-ceden de acuerdo con la nulidad simultánea de las dos formas homogéneasindependientes que aparecen en ars. En este caso la bifurcación para la cla-

sificación de los puntos inertes y de ramificación son respectivamentex2 − 1

x2

y1

x2.

Consideremos el siguiente sistema de formas lineales:

x26 x12 x36 x13 x58 x25 x68 x35 x89L16 a12 −a26 a13 −a36 0 0 0 0 0L28 −a68 0 0 0 a25 −a58 a26 0 0L15 0 −a25 0 −a35 0 a12 0 a13 0L38 0 0 −a68 0 a35 0 a36 −a58 0L59 0 0 0 0 −a89 0 0 0 a58L69 0 0 0 0 0 0 −a89 0 a68

La forma lineal L16 es linealmente dependiente de las formas que le precedensi y sólo si el vector (v1, v2, v3, v4) es nulo, donde

v1 = −a89 a68 (a36 a25 − a26 a35)

v2 = −a89 a12 (a58 a25 + a68 a26)

v3 = −a89 a13 (a58 a25 + a68 a26)

v4 = a25 (a12 a58 a25 + a58 a13 a35 + a68 a26 a12 + a68 a13 a36).


En definitiva corresponde a la discusión sobre la nulidad o no de:

f1 = a25 a58 + a26 a68

f2 = a35 a58 + a36 a68

∆ =

∣∣∣∣

a36 a35a26 a25

∣∣∣∣.

Es fácil ver que para que la forma lineal L16 sea linealmente dependientede las formas lineales que le preceden si y sólo si f1 = f2 = 0, por tanto lacasilla (1, 6) corresponde en este caso a un punto de ramificación y en losrestantes casos corresponde a un punto inerte.En las siguientes figuras podemos observar el árbol y el algoritmo correspon-dientes a este caso.

x

x

2

2

1− 1

2x

Figura 3.3. Caso 3, u =x2 − 1

x2, v =

1

x2

100 Capítulo 3

x

x

x

x

2

2

1−

1

12

x −


Caso 4

La forma lineal Lij es linealmente dependiente de las formas que la pre-ceden de acuerdo con la nulidad simultánea de las tres formas homogéneasindependientes que aparecen en ars. En este caso la bifurcación para la cla-

sificación de los puntos inertes y de ramificación son respectivamentex3 − 1

x3

y1

x3.


x26 x12 x36 x13 x58 x25 x68 x35L16 a12 −a26 a13 −a36 0 0 0 0L28 −a68 0 0 0 a25 −a58 a26 0L15 0 −a25 0 −a35 0 a12 0 a13L38 0 0 −a68 0 a35 0 a36 −a58

La forma lineal L16 es linealmente dependiente de las formas que le precedensi y sólo si el vector (v1, v2, v3, v4, v5) es nulo, donde

v1 = −a68 (a36 a25 − a26 a35)

v2 = a25 (a12 a25 + a13 a35)

v3 = −a12 (a58 a25 + a68 a26)

v4 = a25 (a12 a26 + a13 a36)

v5 = −a13 (a58 a25 + a68 a26) .


En definitiva corresponde a la discusión sobre la nulidad o no de:

f1 = a12 a25 + a13 a35

f2 = a12 a26 + a13 a36

f3 = a25 a58 + a26 a68

∆ =

∣∣∣∣

a36 a35a26 a25

∣∣∣∣.

Esta claro que para que la forma lineal L16 sea linealmente dependiente de lasformas lineales que le preceden basta con que f1 = f2 = f3 = 0, en este casola casilla (1, 6) corresponde a un punto de ramificación. No hemos de olvidarque la nulidad o no de las correspondientes fi, i = 1, 2, 3 se hace siempreacorde con el orden lexicográfico tomado. Observemos que si f1 = f2 = 0esto implica que ∆ = 0 y si f1 = 0 = ∆, entonces f2 = 0. Hecho que serepite en el estudio de los diferentes casos cuando aparece un determinatepor medio.La casilla (1, 6) es un punto de ramificación si y sólo si f2 6= 0 y f = 0, encaso contrario, la casilla (1, 6) corresponde a un punto inerte.En las siguientes figuras podemos observar el árbol y el algoritmo correspon-dientes a este caso.

x

x

3

3

1− 1

3x

Figura 3.5. Caso 4, u =x3 − 1

x3, v =

1

x3

102 Capítulo 3

x

x

3

3

1−

1

13

x −

x2

x


Caso 5

La forma lineal Lij es linealmente dependiente de las formas que la pre-ceden de acuerdo con la nulidad simultánea de la forma homogénea del tipo:

f = astatwawz + asuauwawz + asuauvavz .


x24 x12 x35 x45 x36 x23 x46 x68 x58 x89L14 a12 −a24 0 0 0 0 0 0 0 0L25 −a45 0 a23 a24 0 0 0 0 0 0L26 −a46 0 0 0 a23 −a36 a24 0 0 0L13 0 −a23 0 0 0 a12 0 0 0 0L38 0 0 −a58 0 −a68 0 0 a36 0 0L48 0 0 0 −a58 0 0 −a68 a46 a45 0L69 0 0 0 0 0 0 0 −a89 0 a68L59 0 0 0 0 0 0 0 0 −a89 a58

Para facilitar la escritura, sea

f = a23 a36 a68 + a24 a46 a68 + a24 a45 a58

= a23 a36 a68 + a24 (a46 a68 + a45 a58)

= a23 a36 a68 + a24 f2.

Para estudiar si la forma lineal L14 es linealmente dependiente de lasformas que le preceden, hemos de estudiar dependencia o independencia delas filas de la siguiente matriz


(−a89 a23

2a12 a68 −a89 a58 a45 a24 a12 −a89 a23 a12 a24 a68 a12 a23 f

a89 a23 f2 −a89 a58 a45 a36 a89 a24 f2 −a46 f

)

Si f2 = 0, entonces f = a23 a36 a68 6= 0, las dos filas de la matriz son li-nealmente independientes, por tanto la casilla (1, 4) corresponde a un puntoinerte.Si f2 6= 0, estudiamos la nulidad de f teniendo en cuenta el valor de a68:

1. Si a68 =−a24 (a46 a68 + a45 a58)

a23 a36, entonces f = 0 y el valor de todos

los menores que aparecen en la matriz son nulos, por tanto la casilla(1, 4) corresponde a un punto de ramificación.

2. Si a68 6= −a24 (a46 a68 + a45 a58)

a23 a36, entonces f 6= 0 las dos filas de la

matriz son linealmente independientes y por tanto la casilla (1, 4) co-rresponde a un punto inerte.

En las siguientes figuras podemos observar el árbol y el algoritmo correspon-dientes a este caso.

x x

x

2

2

1− + x

x

−1

2

Figura 3.7. Caso 5, u =x2 − x+ 1

x2, v =

x− 1

x2

104 Capítulo 3

x x

x

2

2

1− +

x

x x

−− +

1

12

x

x −1

x


Caso 6

La forma lineal Lij es linealmente dependiente de las formas que la pre-ceden de acuerdo con el carácter nulo de las cuatro formas homogéneas queaparecen en ars. En este caso la bifurcación para la clasificación de los puntos

inertes y de ramificación son respectivamentex3 − x+ 1

x3yx− 1

x3.


x13 x47 x14 x46 x37 x23 x24 x69 x79 x36L17 −a37 a14 −a47 0 0 0 0 0 0 0L16 −a36 0 −a46 a14 0 0 0 0 0 0L27 0 a24 0 0 a23 −a37 −a47 0 0 0L49 0 −a79 0 −a69 0 0 0 a46 a47 0L26 0 0 0 a24 0 −a36 −a46 0 0 a23L39 0 0 0 0 −a79 0 0 a36 a37 −a69

De nuevo, para facilitar la escritura sean

f1 = a36a69 + a37a79

f2 = a24a46 + a23a36

f3 = a24a47 + a23a37

f4 = a47a79 + a46a69

∆ =

∣∣∣∣

a36 a37a46 a47

∣∣∣∣.

Para estudiar si la forma lineal L17 es linealmente dependiente de lasformas que le preceden, hemos de estudiar dependencia o independencia delas filas de la siguiente matriz


(∆ 0 a79a14∆ −a236a14a23 −a36a14a23a37 a14a23f10 f1 f4 f2 f3 0

)

La discusión es la siguiente:

1. Si (∆, f1) 6= (0, 0), entonces el rango de la matriz es 2, ambas filas sonlinealmente independientes y la casilla (1, 7) corresponde a un puntoinerte.

2. Si (∆, f1) = (0, 0) es equivalente a que f4 = 0, entonces:

a) si (∆, f2) = (0, 0), entonces la segunda fila es nula, pero existenelementos no nulos en la primera fila, por tanto la casilla (1, 7)corresponde a un punto inerte.

b) si (∆, f2) 6= (0, 0), entonces el rango de la matriz es 1 y la casilla(1, 7) corresponde a un punto de ramificación.

En las siguientes figuras podemos observar el árbol y el algoritmo correspon-dientes a este caso.

x x

x

3

3

1− +x

x

−1

3

Figura 3.9. Caso 6, u =x3 − x+ 1

x3, v =

x− 1

x3

106 Capítulo 3

x

x x

x

3

3

1− +

x

x x

−− +

1

13

x

x

2

1−


3.2. Casos correspondientes a sistemas dobles de for-mas lineales

Hasta ahora hemos considerado la determinación del carácter inerte ode ramificación de una sola casilla. A continuación consideraremos casosen los que la determinación del carácter de dos casillas problemáticas estáíntimamente relacionado.

Caso 7

Un ejemplo típico de esta situación corresponde a la aplicación pivoteπ = (2, 3, 4, 7, 6, 11, 8, 9, 10, 11) que se resuelve con los dos bloques de siste-mas de formas lineales que siguen:Primer bloque, cuando a2,5 = 0.

L35 L23 L47 L34 L57 L78

x25 a23 −a35 0 0 0 0x37 −a57 0 a34 −a47 a35 0x24 0 −a34 0 a23 0 0x48 0 0 −a78 0 0 a47x58 0 0 0 0 −a78 a57


L25 L13 L37 L24 L48 L58 L79

x15 a12 −a35 0 0 0 0 0x27 −a57 0 a23 −a47 0 0 0x14 0 −a34 0 a12 0 0 0x38 0 0 −a78 0 a34 a35 0x49 0 0 0 0 −a89 0 a47x59 0 0 0 0 0 −a89 a57

Segundo bloque, cuando a2,5 6= 0.

L35 L23 L47 L34 L57 L78

x25 a23 −a35 0 0 0 0x37 −a57 0 a34 −a47 a35 0x24 0 −a34 0 a23 0 0x48 0 0 −a78 0 0 a47x58 0 0 0 0 −a78 a57

L25 L12 L13 L37 L24 L57 L23 L35 L48 L58 L47 L34 L78 L79

x15 a12 -a25 -a35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x27 -a57 0 0 a23 -a47 a25 0 0 0 0 0 0 0 0

x13 0 -a23 0 0 0 0 a12 0 0 0 0 0 0 0

x14 0 0 -a34 0 a12 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x38 0 0 0 -a78 0 0 0 0 a34 a35 0 0 0 0

x37 0 0 0 0 0 a35 0 -a57 0 0 a34 -a47 0 0

x58 0 0 0 0 0 -a78 0 0 0 0 0 0 a57 0

x24 0 0 0 0 0 0 -a34 0 0 0 0 a23 0 0

x25 0 0 0 0 0 0 -a35 a23 0 0 0 0 0 0

x49 0 0 0 0 0 0 0 0 -a89 0 0 0 0 a47

x59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -a89 0 0 0 a57

x48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -a78 0 a47 0

Como hemos podido observar en el diagrama del algoritmo 3.12, tenemosdos niveles correspondientes a dos casillas, la primera (2, 5) seguida de lacasilla (1, 5). En ambas casillas, (2, 5) y (1, 5), la decisión de ser punto deramificación o inerte depende de la misma forma homogénea

f = a47a34 + a57a35.

108 Capítulo 3

En este caso la casilla (2, 5) es un punto de ramificación sí y sólo si la formalineal a47a34 + a57a35 es nula. La casilla (i, j), precedida por la casilla (2, 5),es un punto de ramificación sí y sólo si el par (a25, a47a34 + a57a35) es nulo.

Conforme al siguiente esquema:

a47a34 + a57a35 6= 0 (2, 5) inerte ⇒ a25 = 0 ⇒ (1, 5) inerte

a47a34 + a57a35 = 0 (2, 5) ramif

{a25 = 0 ⇒ (1, 5) ramifa25 6= 0 ⇒ (1, 5) inerte

El esquema anterior corresponde al siguiente árbol

x

x

−1

x

x

1

1

1

x



En este caso el algoritmo sigue el diagrama que se muestra en la figura:

x

x

−1

x

x

1

111 1

11

x

1

1x −

Figura 3.12. Caso 7 algoritmo

Cuando ejecutamos el algoritmo se producen los siguientes cambios enel número de puntos de ramificación y el número de matrices canónicas

110 Capítulo 3

expresadas como polinomio en q.

(1) nr −→ nr, f −→ f · x− 1

x(2) nr −→ nr, f −→ f · 1

(3) nr −→ nr, f −→ f · 1 (4) nr −→ nr + 1, f −→ f · 1

x− 1

(5) nr −→ nr + 1, f −→ f · 1 (6) nr −→ nr, f −→ f · x

(7) nr −→ nr − 1, f −→ f · 1x

(8) nr −→ nr, f −→ f · x

(9) nr −→ nr, f −→ f · 1 (10) nr −→ nr, f −→ f · 1

(11) nr −→ nr − 1, f −→ f · 1

Caso 8

Un ejemplo típico de esta situación corresponde a la aplicación pivoteπ = (4, 3, 7, 5, 11, 9, 8, 11, 10, 11), el sistema doble de formas lineales que setiene para este caso es:

x38 x48 x69L28 a23 a24 0L39 −a89 0 a36L49 0 −a89 a46

x48 x38 x69L18 a14 0 0L28 a24 a23 0L49 −a89 0 a46L39 0 −a89 a36

En ambas casillas, (2, 8) y (1, 8), la decisión de ser punto de ramificación oinerte depende de la misma forma homogénea

f = a26a37 + a36a27,

conforme al siguiente esquema

(2, 8)

{f = 0 ramiff 6= 0 inerte

, (1, 8)

{f 6= 0 inertef = 0 ramif

de modo que al caso inerte (resp. ramificación) de la casilla inferior corres-ponde un punto de ramificación (resp. inerte) en la casilla superior.


El esquema anterior corresponde al siguiente árbol

x

x

−1

1

1

x

x

1

x


Cuando ejecutamos el algoritmo se producen los siguientes cambios enel número de puntos de ramificación y el número de matrices canónicasexpresadas como polinomio en q. En este caso el algoritmo sigue el diagramaque se muestra en la figura 3.14

(1) nr −→ nr, f −→ f · x− 1

x(2) nr −→ nr + 1, f −→ f · 1

(3) nr −→ nr, f −→ f · x (4) nr −→ nr − 1, f −→ f · 1

x− 1

(5) nr −→ nr + 1, f −→ f · 1x−1 (6) nr −→ nr, f −→ f · 1

(7) nr −→ nr, f −→ f · 1 (8) nr −→ nr, f −→ f · x

(9) nr −→ nr, f −→ f · 1 (10) nr −→ nr, f −→ f · 1

(11) nr −→ nr − 1, f −→ f · 1

112 Capítulo 3

En este caso el algoritmo sigue el diagrama que se muestra en la figura:

x

x

−1

1

1x −

1

11 11

1

x

x

1

x

Figura 3.14. Caso 8


Caso 9

Un ejemplo típico de esta situación corresponde a la aplicación pivoteπ = (2, 3, 6, 5, 11, 9, 8, 11, 10), el sistema doble de formas lineales que se tienepara este caso es:

x37 x23 x47 x24 x69 x36 x79 x46L27 a23 −a37 a24 −a47 0 0 0 0L39 −a79 0 0 0 a36 −a69 a37 0L26 0 −a36 0 −a46 0 a23 0 a24L49 0 0 −a79 0 a46 0 a47 −a69

x24 x12 x36 x23 x46 x37 x47 x69 x79L14 a12 −a24 0 0 0 0 0 0 0L26 −a46 0 a23 −a36 a24 0 0 0 0L27 −a47 0 0 −a37 0 a23 a24 0 0L13 0 −a23 0 a12 0 0 0 0 0L39 0 0 −a69 0 0 −a79 0 a36 a37L49 0 0 0 0 −a69 0 −a79 a46 a47

Para este pivote en la casilla (2, 7) se tienen las siguientes formas homogéneas

f1 = a23a36 + a24a46

f2 = a23a37 + a24a47 ∆ =

∣∣∣∣

a36 a46a37 a47

∣∣∣∣

f3 = a36a69 + a37a79

Y en la entrada (1, 4) se tienen las siguientes formas

f1 = a23a36 + a24a46

f2 = a23a37 + a24a47

f4 = a46a69 + a47a79

∆ = |f3, f4|Podemos observar que

f1 = f2 = 0 ⇐⇒ f1 = 0 = ∆

f3 = f4 = 0 ⇐⇒ f3 = 0 = ∆

En definitiva se tiene la siguiente discusión

(1, 4) (2, 7)f1 = f2 = f3 = 0 ⇒ ∆ = 0 ⇒ f3 = 0 = ∆ ⇒ f4 = 0 inerte ramif.Si f1 = f2 = 0, f3 6= 0 =⇒ f4 6= 0, ramif. inerteSi (f1, f2) 6= (0, 0), inerte. inerte

114C

apítu

lo3

La forma lineal L27 corresponde a un punto de ramificación si y sólo si la segunda fila de la matriz siguiente es nula, estoes, que sea linealmente dependiente de las formas que le preceden.Para la forma lineal L14, depende de las formas lineales que le preceden si y sólo si la primera fila de la matriz depende de lasegunda fila.

−a69 a12 (a36 a23 + a46 a24) −a232a12 b79 −a23 a12 a24 a79 a23 b12 (a36 a23 + a46 a24) b12 a23 (a47 a24 + a37 a23)

a69 (−a37 a46 + a47 a36) a23 (a46 a69 + a47 a79) a24 (a46 a69 + a47 a79) −a47 (a36 a23 + a46 a24) −a47 (a47 b24 + a37 a23)

Teniendo en cuenta las formas que tenemos, es el siguiente:

[f1 −a

23

2a12a

79−a

23a

12a

24a

79a

23a

12f1 a

12a

23f2

∆ a23f4 a

24f4 −a

47f1 −a

47f2

]

Si f1 = f2 = f3 = 0, se tiene

f3 = 0 ⇒ a37 = −a36a69a79

∆ =

∣∣∣∣

a36 a46a37 a47

∣∣∣∣= 0 ⇒ a37 =

a36a47a46

−a69a79

=a47a46

⇒ a46a69 + a47a79 = 0 = f4

Si f1 = f2 = 0[

0 −a23

2a12a

79−a

23a

12a

24a

790 0

0 a23f4 a

24f4 0 0

]

f4 = 0 =⇒ Lin. Indep. =⇒ INERTE

f4 6= 0 =⇒ Lin. Dep. =⇒ RAMIF.

Punto

sin

ertesy

de

ram

ifica

ción

115Esto es, (2, 7) es punto de ramificación ⇐⇒ f1 = f2 = f3 = 0, lo que implica que f4 = 0. =⇒ (1, 4) INERTE

ya que

(0 −a

23

2a12a

79−a

23a

12a

24a

790 0

0 0 0 0 0

)

Si f1 = f2 = 0, f3 6= 0 =⇒ f4 6= 0, =⇒ (1, 4) RAMIF. =⇒ (2, 7) INERTESi (f1, f2) 6= (0, 0), =⇒ (1, 4) INERTE. =⇒ (2, 7) INERTE

f4 = 0 (2, 7) ramif (1, 4) inerte

(f1,∆) = 0

f4 6= 0 (2, 7) inerte (1, 4) ramif

(f1,∆) 6= 0 (2, 7) inerte (1, 4) inerte

1

x2

x2 − 1

x2

1

x

x− 1

x

116 Capítulo 3

El esuqema anterior correesponde al siguiente árbol

1

1

x

x

x x

x

2

3

1

1

−( )−

x

x

3

3

1−

x

x

−−1

13

1

3x


Cuando ejecutamos el algoritmo se producen los siguientes cambios enel número de puntos de ramificación y el número de matrices canónicasexpresadas como polinomio en q.

(1) nr −→ nr, f −→ f · x3 − 1

x3. (2) nr −→ nr, f −→ f · x

3 − x

x3 − 1

(3) nr −→ nr + 1, f −→ f · 1

x(x+ 1)(4) nr −→ nr, f −→ f · x

(5) nr −→ nr − 1, f −→ f · x3 − 1

x(x− 1)(6) nr −→ nr + 1, f −→ f · 1

x3 − 1

(7) nr −→ nr, f −→ f · 1 (8) nr −→ nr, f −→ f · 1

(9) nr −→ nr, f −→ f · x (10) nr −→ nr, f −→ f · 1

(11) nr −→ nr − 1, f −→ f · 1 (12) nr −→ nr − 1, f −→ f · x2


En este caso el algoritmo sigue el diagrama que se muestra en la figura

11 11

x

x

x x

x

2

3

1

1

−( )−

1

1x x +( )

x

x x

31

1

−−( )

x2x

x

3

3

1−

1

13

x −

Figura 3.16. Caso 9 algoritmo

4El número de clases de conjugación de p-subgruposde Sylow de GL(n, q) módulo (q − 1)13

Sea G un p-grupo finito de orden pn, P. Hall determina el número r(G), declases de conjugación de G módulo (p2−1)(p−1), a saber, prueba que existeuna constante no negativa k tal que r(G) = n(p2−1)+pe+k(p2−1)(p−1). SiGn denota el grupo de matrices unitriangulares superiores sobre Fq, cuerpofinito de q = pt elementos , desarrollamos una teoría de grafos que nospermite determinar el número de clases de Gn módulo (q − 1)13, a saber, seprueba que para n ≥ 13, existe una función f(n, q) y una constante k ≥ 0tal que

r(Gn) = 1 +

12∑

i=1

µi.(q − 1)i + f(n, q) + k.(q − 1)13 = g(n, q) + k(q − 1)13.

Es más, se dan de forma explícita las fórmulas polinómicas de µi = µi(n),i = 0, . . . , 12, que dependen sólo de n y no de q.

Por ello, en este capítulo se introduce el concepto de matriz canónicaprimitiva conexa. Conocer el número de matrices canónicas primitivas degrafo conexo de tamaño menor o igual que n es suficiente para determinarel número de todas las matrices canónicas de tamaño n.

Veamos el siguiente ejemplo.

119

120 Capítulo 4

Ejemplo. Consideremos la siguiente matriz canónica:

A =

∗ •∗

∗∗

∗∗

∗∗

A cada lugar (i, j) ∈ J le corresponde una forma lineal

Lij =∑

k

(aikxkj − akjxik).

Anteriormente ha quedado definido que un punto (i, j) es inerte (resp. deramificación ) si su forma lineal Lij es independiente (resp. dependiente) delas formas que le preceden Lkl, donde (k, l) ≺ (i, j).

El hecho de que una forma lineal sea linealmente dependiente de lasanteriores se determina según la forma de la correspondiente matriz de coe-ficientes. Las formas lineales en este caso podemos observarlas en al Tabla4.1. De las 28 formas lineales en 28 incógnitas en la tabla aparecen las formasque no son nulas.

Hemos de tener en cuenta que existen xij cuyos coeficientes no aparecen,pues son cero. Observamos que precisamente dicha matriz después de reor-denar las xij tiene forma diagonal por bloques. Como podemos observar enla Tabla 4.2.

p-su

bgru

pos

de

Sylo

wdeGL(n,q)

módulo

(q−1)13

121

x12 x13 x14 x15 x16 x24 x25 x26 x27 x28 x34 x35 x36 x37 x38 x45 x46 x47 x48 x56 x67 x68 x78

L14 a13

L15 a13 a14

L16 a26 a13 a14

L17 a47 a13 a14

L18 a68 a14

L27 a47 a26

L28 a68 a26

L37 a47

L38 a68

L48 a68 a47

L58 a68

L78 a47

Tabla 4.1. Formas lineales

122C

apítu

lo4

x34 x35 x45 x12 x36 x46 x78 x14 x37 x47 x16 x48 x24 x67 x26 x68 x56

L14 a13L37 a47L15 a13 a14L16 a26 a13 a14 0L38 0 a68 0 0L48 0 0 a68 a47L17 a47 a13 a14L18 a68 a14L78 0 a47L27 a47 a26L28 a68 a26L58 a68

Tabla 4.2. Formas por bloques matriciales

p-subgrupos de Sylow de GL(n, q) módulo (q − 1)13 123

En resumen, el problema de la dependencia de formas en su conjunto sereduce para cada una de ellas, al estudio del correspondiente bloque matri-cial.

Definición. Sea A ∈ Gn. Llamamos grafo asociado no orientado deA y lo denotamos γ = γ(A), al grafo γ = (ν, δ), donde

ν ={i ∈ [1, n] | ∃aij 6= 0 ó ∃aji 6= 0},δ ={(i, j) ∈ J | aij 6= 0}.

Denotamos por Γn al conjunto de grafos no orientados asociados a lasmatrices canónicas de Gn.

Para cada componente conexa ξ de γ, con vértices k1 < · · · < kr, definimosAξ = Ak1,...,kr como la submatriz de A formada por las k1, . . . , kr filas y co-lumnas. Para cada forma lineal Lij de A definimos var(Lij) = varA(Lij) comoel conjunto de incógnitas que que aparecen en la forma Lij con coeficiente nonulo. Dualmente, para cada incógnita xuv definimos form(xuv) = formA(xuv)como el conjunto de formas Lij en las que aparece la incógnita xuv con coe-ficiente no nulo.

Proposición 4.0.1. Sea A ∈ Gn y ξ = (ν1, δ1) una componente conexa deγ = γ(A). Se tienen las siguientes proposiciones:

1. Sea i < j, i, j ∈ ν1. Entonces todos los subíndices de las incógnitasvar(Lij) están en ν1.

2. Sea i < j, i, j ∈ ν1. Entonces todos los subíndices de las formasform(xij) están en ν1.

Demostración. 1. Tenemos Lij =∑j−1

k=i+1(aikxkj − akjxik). Supongamosaik 6= 0. Entonces los índices k, j de xkj están en ν1. Análogamente,supongamos que −akj 6= 0. Entonces k ∈ ν1 ya que j ∈ ν1 y akj 6= 0,es decir, que los índices de xik están en ν1.

2. Si xuv aparece en una forma Lij, entonces o bien es el término aikxkjcon aik 6= 0, luego (k, j) = (u, v) o aparece en un término del tipo−akjxik con akj 6= 0, luego (i, k) = (u, v). En el primer caso k = u,j = v, aik = aiu 6= 0, luego i ∈ γ pues u ∈ γ y γ es componente, ademásj = v ∈ γ. En el segundo caso, tenemos i = u ∈ γ y avj = akj 6= 0 yv ∈ γ, luego j ∈ γ. En definitiva, i, j ∈ γ en cualquier caso.

Nota. Teniendo en cuenta estas dos proposiciones resulta que,si i, j ∈ ν1entonces

Lij = Lij(A) =∑

s∈ν1

(aisxsj − asjxis).

124 Capítulo 4

Teorema 4.0.1. Sea A una matriz de Gn. Si los índices i, j, i < j, perte-necen a la misma componente conexa de γ = γ(A), ξ = (ν1, δ1), i, j ∈ ν1,entonces la casilla (i, j) es un punto inerte (resp. de ramificación) de A, siy sólo si es un punto inerte (resp. de ramificación) de la submatriz Aξ.

Demostración. Supongamos que (i, j) es un punto de ramificación de A.Entonces

Lij =∑

(σ,τ)≺(i,j)

λστLστ . (1)

No hay pérdida de generalidad si suponemos que los coeficientes λστ en laecuación (1) corresponden a los puntos inertes (σ, τ) anteriores a (i, j). Sivar(Lij) ∩ var(Lστ ) = ∅, entonces la ecuación (1) implica que λστ = 0 yLij = 0. En otro caso, si xfg ∈ var(Lij) ∩ var(Lστ ), se tiene, teniendo encuenta la proposición anterior que f, g ∈ ν1 y σ, τ ∈ ν1. Por tanto, lasformas lineales que aparecen en la parte derecha de la igualdad (1) concoeficientes no nulos tienen sus índices en ν1, luego la casilla (i, j) es unpunto de ramificación de la submatriz Aξ.

Recíprocamente, si la casilla (i, j) es un punto de ramificación de la sub-matriz Aξ, entonces Lij depende de las formas que le preceden en Aξ que asu vez son las formas que le preceden en A en consecuencia, la casilla (i, j)es un punto de ramificación de A.

Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan las matrices canóni-cas de Gn, siendo conocidas las matrices canónicas de Gm para m < n.

De ahora en adelante, escribiremos el grafo γ = (ν, δ) como unión disjuntade sus componentes:

γ = ξ1 ∪ · · · ∪ ξr, ξk = (νk, δk), vk = |νk|, v1 ≤ · · · ≤ vr. (2)

Así se tiene el siguiente resultado.

Teorema 4.0.2. Sea A ∈ Gn y γ = γ(A) su grafo. Entonces A es canónicaen Gn si y sólo si para cada componente conexa ξk = (νk, δk) de γ, la matrizAξk es canónica en Gvk .

Demostración. Sabemos que una matriz es canónica si y sólo si las casillascon valor no nulos corresponden a puntos de ramificación. Sea A una matrizcanónica y ξk una componente conexa de γ. Supongamos que i, j ∈ νk yaij 6= 0. Entonces, como A es canónica, (i, j) es un punto de ramificaciónde A y i, j ∈ νk. Teniendo en cuenta el Teorema 4.0.1, (i, j) es un punto deramificación de Aξk . Por tanto las casillas no nulas de Aξk corresponden apuntos de ramificación de Aξk y, consecuentemente, Aξk es canónica.

Recíprocamente, supongamos que Aξk son canónicas y aij 6= 0, (i, j) ∈ δ.Entonces (i, j) ∈ δk para algún k y teniendo en cuenta que Aξk es canónica,


la casilla (i, j) es un punto de ramificación de Aξk , teniendo en cuenta elTeorema 4.0.1, es un punto de ramificación de A. Por tanto las casillas nonulas de A corresponden a puntos de ramificación de A, y consecuentementeA es canónica.

Definición. Una matriz canónica A (resp. un grafo γ ∈ Γ ) se dice pri-

mitiva si para cada índice j = 1, . . . , n existe algún aij 6= 0, i < j, ó ajk 6= 0,j < k, (resp. lado (i, j) ó (j, k) ∈ δ).

Dada una matriz canónica A la correspondiente matriz primitiva se ob-tiene suprimiendo aquellos índices de filas y columnas de A0 = A − I queson nulos.

Ejemplos.

1. Matriz no primitiva y no conexa.

A1 =

∗ θ 0 0 0 0 0 0 0∗ θ θ • 0 0 0 0

∗ θ θ θ 0 θ 0∗ θ θ 0 θ θ 0

∗ θ 0 θ θ∗ 0 0 0

∗ θ θ θ∗ θ θ

∗ θ∗

Las componentes conexas para esta matriz son las siguientes:

1 3 9

2 4

6 10

7 8

2. Matriz primitiva y no conexa.

126 Capítulo 4

A2 =

∗ θ θ θ 0 0 0 0 0∗ θ θ 0 0 • 0 0

∗ θ 0 θ θ 0 0∗ 0 • • 0 0

∗ θ θ θ 0 0∗ θ θ 0 0

∗ θ 0∗ 0

∗ θ∗


1 8 9

2 7 10

4 5

3. Matriz conexa y primitiva.

A31 =

∗ 0 0 0 0 0 0 0 0∗ 0 0 0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0 0 0∗ θ 0 0 0 0

∗ θ 0 0 0∗ • 0 0

∗ θ 0 0∗ 0

∗∗


1 2 3 4 5 8 9 10

6 7

Definición. Para cada grafo γ denotamos por Aγ el conjunto de las ma-trices canónicas primitivas de Gn con grafo γ y rγ(Gn) = |Aγ |


Del teorema anterior es inmediato el siguiente resultado.

Corolario 4.0.1. Sea γ = ξ1 ∪ · · · ∪ ξr, ξk = (νk, δk) unión de componentesdisjuntas. Entonces

rγ(Gn) = rξ1(Gv1) · · · rξr(Gvr).

Corolario 4.0.2. Sea A ∈ Gn una matriz canónica y B ∈ Gt su matrizprimitiva. Entonces A es canónica en Gn si y sólo si B es canónica en Gt.

Demostración. Sea B = As1,...,st. Entonces es obvio que A y B tienen lasmismas componentes conexas ξ. Además, Aξ = Bξ para toda componenteconexa ξ.

Ejemplo. Consideremos la siguiente matriz canónica:

A =

∗ •∗

∗∗

∗∗

∗∗

El grafo de esta matriz es:

2 6 8

4 7

1 3

El índice 5 no aparece en dichas componentes, por lo tanto la matriz primitivade A es de orden 7 y su grafo tiene las dos componentes conexas siguientes:

2 5 7

4 6

1 3

Las dos matrices que corresponden a dichas componentes son, respectiva-mente,

A1 =

∗ •∗

∗∗

, A2 =

∗∗

∗

.

128 Capítulo 4

Teniendo en cuenta los dos últimos resultados, de ahora en adelante, es-tudiaremos las matrices canónicas primitivas con grafo conexo.

Sea Dn el conjunto de matrices regulares diagonales de tamaño n sobreFq. Para cada D ∈ Dn, la aplicación A 7−→ AD es un automorfismo deGn, que permuta las clases de conjugación del mismo tamaño y, más aún,transforma matrices canónicas con las mismas casillas no nulas y los mismospuntos inertes y de ramificación.Definimos la Dn clase de A como el conjunto

ADn = {AD | D ∈ Dn}.

Para cada matriz canónica A el número de matrices canónicas diagonal-conjugadas es igual al índice de su centralizador en Dn, es decir:

∣∣∣ADn

∣∣∣ = |Dn : CDn

(A)|.

Podemos obtener el cardinal como sigue.

Definición. Un subconjunto de aristas δ′ ⊂ δ se dice admisible (paraA) si su grafo es libre de ciclos. En este caso el subgrafo ξ′ = (ν, δ′) tambiénse dice admisible.

Teorema 4.0.3. Sea A ∈ Gn. Entonces

|ADn | = (q − 1)|δM |,

donde δM es un subconjunto admisible maximal de aristas con respecto a A.

Demostración. Véase [8, Teorema 4].

4.1. Matrices canónicas con exactamente i casillas nonulas

Ahora daremos las fórmulas polinómicas de µi = µi(n), i = 0, . . . , 4 con-siderando µi(n) como el número de disposiciones de las entradas no nulas enlas matrices canónicas que tienen exactamente i entradas no nulas.

Sea µi(n) el número de disposiciones de las entradas no nulas en las ma-trices canónicas que tienen exactamente i entradas no nulas. Si A = (aij)es canónica y ars 6= 0, entonces necesariamente (r, s) es un punto de rami-ficación, por consiguiente, fijada una disposición con exactamente i-casillasno nulas, existen a lo sumo µi(n)(q − 1)i matrices canónicas con tal disposi-ción, ya que las casillas no nulas que forma esta disposición o configuración


corresponden a puntos de ramificación en caso de que los valores asignadosoriginen una matriz canónica (en la Sección 1.3 hemos dado una disposicióncon dos asignaciones de valores, una de ellas origina una matriz canónica yla otra no). Es evidente que

r(Gn) ≤ 1 + µ1(n)(q − 1) + µ2(n)(q − 2)2 + · · ·+ µn−1(n)(q − 1)n−1.

Analizamos a continuación estos números.

Teorema 4.1.1. µ1(n) = n(n− 1)/2.

Demostración. Consideremos las matrices que tienen exactamente una casi-lla no nula fuera de la diagonal principal. Si (i, j) es la casilla con valor nonulo, entonces Lij = 0, luego (i, j) es un punto de ramificación. Como el res-to de casillas tienen el valor cero, se sigue que la totalidad de estas matricesson canónicas. Por consiguiente el número de disposiciones es el número decasillas por encima de la diagonal principal, es decir, n(n− 1)/2.

Observación. Notemos que el número de matrices canónicas que seoriginan para estas disposiciones es n(n− 1)/2 · (q − 1)

Teorema 4.1.2. µ2(n) = (3n− 5)(n − 2)(n − 1)n/24.

Demostración. El número de disposiciones correspondientes a matrices de Gn

con exactamente dos casillas no nulas es(n(n−1)

2

). De entre estas, debemos

de desechar algunas, ya que los pivotes de una matriz canónica han de estaren distintas columnas. Además, si los dos valores no nulos estuvieran enuna misma fila, por ejemplo, (i, j), (i, l) con j < l, entonces tendríamosLil = aijxjl con aij 6= 0 y Lrs = 0 para todo (r, s) ≤ (i, j), Lil′ = aijxjl′,para l′ = j +1, . . . , l− 1, por consiguiente Lil no depende linealmente de lasanteriores y el punto (i, l) es inerte con valor no nulo, y consecuentementeesta disposición no corresponde a una matriz canónica. La propiedad deque los dos elementos no nulos estén en distintas filas y distintas columnas,fuerza claramente la canonicidad,es decir, la disposición corresponde a unamatriz canónica. En efecto, si (i, j), (r, s) son las casillas con valor no nulode la disposición, y i 6= r, j 6= s, entonces se tiene Lij = 0 y Lrs = 0, porconsiguiente (i, j), (r, s) son puntos de ramificación, y como el resto de lascasillas tienen valor cero se sigue que la matriz es canónica

Sin embargo, podemos analizamos el número µ2(n) directamente comosigue. Distinguimos dos casos :

130 Capítulo 4

1. No hay elementos no nulos en la primera fila;

2. Existe un elemento no nulo en la primera fila.

Se cumple la siguiente relación:

µ2(n) = µ2(n− 1) +

n−2∑

j=0

( (n− 1)(n − 2)

2− (j − 2)

)

= µ2(n− 1) + (n− 1)(n − 1)(n − 2)/2 − (1 + 2 + · · · + (n − 2))

= µ2(n− 1) +(n− 1)(n − 2)2

2

En efecto, si suprimimos la primera columna y la primera fila, lo que nosqueda es una matriz n−1×n−1. Si la primera fila no contiene valor no nulofuera de la diagonal principal, entonces el número de tales disposiciones esµ2(n−1), que resulta de contarlas en la submatriz dicha. Si tiene una casillacon valor no nulo, en el lugar (1, j), entonces el número de disposiciones esel que resulta de contar en la submatriz n− 1× n− 1, las disposiciones conexactamente una casilla no nula, y quitar de éstas, las que originan las doscasillas en la misma columna j-ésima es decir hay (n− 1)(n− 2)/2− (j− 2))para j = 2, . . . n − 2. Por consiguiente se tiene la fórmula deseada. Como elincremento es un polinomio de grado 3, la solución buscada será un polinomiode grado 4, a saber,

µ2(n) =n(n− 1)(n − 2)(3n − 5)

24.

Observación Observese que el número de matrices canónicas que seoriginan para estas disposiciones es µ2(n).(q − 1)2.

Teorema 4.1.3. µ3(n) =n(n−1)(n−2)(n−3)(n2−5n+8)

48 .

Demostración. Como en el caso anterior, vamos a contar disposiciones conexactamente tres casillas no nulas distinguiendo tres casos:

1. La primera fila no contiene elementos no nulos (naturalmente fuera dela diagonal principal);

2. La primera fila contiene exactamente una casilla no nula;

3. La primera fila contiene exactamente dos casillas no nulas;


El número de disposiciones de matrices canónicas correspondientes al caso1) es µ3(n − 1), ya que si esta disposición se dá en la submatriz canónica(n−1)×(n−1) que resulta de suprimir la primera columna y la primera fila,entonces si añadimos una fila de ceros la matriz n×n resultante es canónica,recíprocamente, si la matriz n × n es canónica, también lo es la submatrizcitada. El número de disposiciones de matrices canónicas correspondientesal caso 2) y en el supuesto de que el valor no nulo esté en el lugar (1, j)es µ2(n) − rj donde rj es a determinar, y µ2(n) corresponde al hecho deque en la submatriz la disposición corresponde a una matriz canónica conexactamente dos valores no nulos. En el caso 2) tendremos en total

µ2(n− 1) + µ2(n− 1)− r2 + · · ·+ µ2(n− 1)− rn.

Determinemos los números rj. La condición de canonicidad en la submatrizfuerza que las dos casillas no nulas restantes no están en una misma fila ocolumna. Si rij(n − 1) es el número de pares de casillas no alineadas, unade las cuales está en (i, j), entonces como la otra puede estar en cualquierposición (en total (n − 1)(n − 2)/2) que no esté (en relación con la matrizn×n), ni en la fila i-ésima, (en total n− i en la submatriz) ni en la columnaj-ésima, (en total j − 2 − 1 en la submatriz, observando que aij se cuentados veces) se sigue que

rij(n− 1) = (n− 1)(n − 2)/2 − (n− i+ j − 2− 1).

Ahora es evidente que

rj =

j−1∑

i=2

rij(n− 1).

En efecto, si en la columna j-ésima solamente tenemos un valor no nulo en ellugar (1, j) entonces L1j = 0, luego (1, j) es de ramificación y como el restode los valores de la primera fila son nulos, resulta que todas las disposicionescanónicas de la submatriz, originan matrices canónicas de tamaño n×n. Si enla submatriz existe un valor un nulo, solamente existirá uno en la submatriz(por el razonamiento hecho en el Teorema 4.1.2 ), por ser canónica, si esteestá en el lugar (r, j), entonces L1j = −arjx1r implica que (1, j) es un puntoinerte con valor no nulo (ya que la variable x1r es nueva en relación conlas variables que aparecen en la submatriz, observese que las variables queaparecen posiblemente en Lkl , k ≥ 2 son xul, u = k + 1, . . . , l − 1 y xkv,v = k + 1, . . . l − 1), por consiguiente la matriz no es canónica. Estos casosque se desechan quedan recogidos en el número rj dado arriba.

132 Capítulo 4

Tenemos

rj =

j−1∑

i=2

((n − 1)(n − 2)/2 − (n− 1) + 2− j) + i)

= (((n − 1)(n − 2)− 2(n − 1) + 4)/2 − j)(j − 2) + j(j − 1)/2 − 1

= (j − 2)((n − 1)2 − (n− 1)− 2(n− 1) + 4− 2j + j + 1)/2

= (j − 2)((n2 − 3(n− 1) + 5)/2 − j/2)

= −j2/2 + ((n− 1)2 − 3(n − 1) + 5 + 2)/2j − ((n− 1)2 − 3(n− 1) + 5)

por tanto,n∑

j=3

rj = −1/2n∑

j=3

j2 + ((n − 1)2 − 3(n− 1) + 7)/2n∑

j=3

j

− ((n − 1)2 − 3(n − 1) + 5)

n∑

j=3

1

= 1/2(1 + 4)− 1/2((n(n + 1)(2(n − 1) + 3))/6+

+ ((n − 1)2 − 3(n − 1) + 7)/2((n(n + 1)/2 − 3)

− ((n − 1)2 − 3(n − 1) + 5)(n − 2)

= (n− 1)(n − 2)(n − 3)(3(n − 1)− 5)/12.

En el caso 2) tenemos en total

(n−1)µ2(n−1)−n∑

j=3

rj = (n−1)µ2(n−1)−(n−1)(n−2)(n−3)(3(n−1)−5)/12.

Finalmente, en el caso 3), si existen dos valores no nulos en la primera fila, enlas casillas (1, k), (1, j) con k < j razonamos como sigue. Supongamos que eltercer valor no nulo está en la casilla (r, s). Si r 6= j, entonces la fila j-ésimade A0 es nula y se sigue que (1, j) es inerte (por estar precedido por el pivote(1, k)) y su valor es no nulo, contradiciendo la canonicidad. Por consiguiente,r = j. Tenemos L1k = 0 y L1j = a1kxkj = −a−1

1l a1kLkl pues Lkl = −ajlxkjpor tanto, (1, k) y (1, j) son puntos de ramificación y cualquiera que sea laposición de (1, k) (anterior a (1, j)) y la posición de (r, s) = (j, s) a lo largode la fila j-ésima, obtenemos disposiciones de matrices canónicas. Fijado j,el número de posibles k es j−2 y el número de posibles s es n− j, por tanto,el número total de disposiciones de matrices canónicas correspondientes alcaso 3) es

n∑

j=3

(j − 2)(n− j) =

n∑

j=3

(−j2) + (n2)

n∑

j=3

j − 2n

= −n(n+ 1)(2n + 1)

6− 5 + (n+ 2)

n(n+ 1)

2− 3− 2n(n− 2)

= (n− 1)(n − 2)(n − 3)/6.


Contando las disposiciones correspondientes a los tres casos tenemos la fór-mula siguiente

µ3(n) = µ3(n − 1) + (n− 1)µ2(n − 1)−n∑

rj

rj + (n − 1)(n− 2)(n − 3)/6

= µ3(n − 1) + (n− 1)(n − 2)(n − 3)(3(n − 1)2 − 11(n − 1) + 14)/24

para n ≥ 4. La función µ3(n) es única y de la forma

(n− 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(a(n − 1)2 + b(n − 1) + c)/24,

calculando los coeficientes en el incremento µ3(n) − µ3(n − 1) se sigue queµ3(n) es el polinomio buscado.

Observación. Notemos que el número de matrices canónicas que seoriginan para estas disposiciones es µ3(n).(q − 1)3.

4.2. Obtención de µi(n), i = 5, . . . , 7

Teniendo en cuenta el siguiente lema y sus consecuencias podemos obte-ner las fórmulas explícitas para µi(n), i = 5, . . . , 7.

Lema 4.2.1. Sea A una matriz canónica de Gn de grafo conexo ξ = (n, δ)con |δ| ≥ 8. Entonces |orbDn

(A)| = (q − 1)s, s ≥ 8.

Demostración. En efecto, las matrices canónicas para n ≤ 7 tienen comomucho 7 elementos no nulos. Por lo tanto, el caso del enunciado sólo se dapara n ≥ 8.

Para n = 8, si una matriz canónica tiene 8 lugares con valor no nuloentonces las matrices que resultan de poner en esos lugares cualesquiera otrosvalores no nulos también son canónicas. Por lo tanto, para cada disposiciónde ocho casillas con valor no nulo el número de matrices canónicas con taldisposición es (q − 1)8. Si una matriz canónica tiene 9 lugares con valor nonulo entonces, análogamente al caso anterior para cada disposición de nuevecasillas con valor no nulo el número de matrices canónicas con tal disposiciónes (q − 1)9 a excepción del caso correspondiente al [7]. En este caso, paratener un valor no nulo en (1, 4) es necesario que tal casilla corresponda aun punto de ramificación y para ello ha de cumplirse a23a36 + a24a46 = 0 esdecir que a24 = −a23a36/a46. Esto significa que se tienen valores cualesquieraen las 8 casillas (7, 8), (6, 7), (4, 5), (4, 6), (3, 6), (2, 3), (1, 2), (1, 4). Por lotanto, el número de matrices canónicas con tal disposición de elementos nonulos es (q − 1)8.

Para una matriz primitiva y de grafo conexo de tamaño n ≥ 9 el númerode vértices del grafo es n ≥ 9 y su grafo, por ser conexo admisible maximal,

134 Capítulo 4

es un árbol y por lo tanto el número de sus aristas es n − 1 ≥ 9 − 1 = 8.Conforme al teorema anterior tenemos

|orbDn(A)| = (q − 1)s, s ≥ 8.

Ejemplo. Todas las matrices de la forma

A =

∗ • •∗ • •

∗ •∗ • •

∗∗ •

∗ •∗

con la condicióna24 = −a23a36

a46(3)

son canónicas. El grafo de estas matrices es

1 2 3 6 7 8

4 5

pero este grafo no es libre de ciclos, de modo que un grafo admisible maximales, por ejemplo,

1 2 3 6 7 8

4 5

Existen (q − 1)8 matrices canónicas que cumplen la condición (3). Fija-da una de ellas, sus diagonal-conjugadas son (q − 1)7. Por ejemplo, seanaij = 1 para las aristas (i, j) del grafo admisible maximal anterior. Entoncesla condición (3) obliga a a24 = −1 y queda libre la elección de los q − 1valores de a14 ∈ F∗q que corresponden a las q − 1 clases distintas de matricescanónicas diagonal-conjugadas.

Como consecuencia de lo anterior, para el cálculo de r(Gn) módulo (q−1)8

es suficiente considerar las matrices primitivas de tamaño n ≤ 8 y gra-fo conexo. Más precisamente, por métodos computacionales, para cada


2 ≤ n ≤ 8 y 1 ≤ d ≤ 7 calculamos el valor χ(n, d) igual al número degrafos conexos de matrices canónicas primitivas de tamaño n y con |δ| = d.Tenemos la siguiente tabla de valores:

χ(2, 1) = 1, χ(3, 2) = 1, χ(4, 3) = 2, χ(5, 4) = 5, χ(6, 5) = 18,

χ(6, 6) = 1, χ(7, 6) = 77, χ(7, 7) = 8, χ(8, 7) = 404,

siendo los demás valores iguales a cero.

4.3. Obtención de µi(n), i = 8, . . . , 13

Llegados a este punto, la forma de conseguir estas fórmulas explícitasradica en considerar las µi(n) como el número de disposiciones de las entradasno nulas en las matrices canónicas que tienen exactamente i entradas nonulas. Si A = (aij) es canónica y ars 6= 0, entonces necesariamente (r, s)es un punto de ramificación, por consiguiente, fijada una disposición conexactamente i casillas no nulas, existen a lo sumo µi(n)(q − 1)i matricescanónicas con tal disposición, ya que las casillas no nulas que forman estadisposición o configuración corresponden a puntos de ramificación en casode que los valores asignados originen una matriz canónica.

Para matrices canónicas de tamaño n ≤ 8 está todo totalmente definido,es para n = 8 donde aparece la primera excepción. Precisamente por elloque para avanzar en el cálculo de las µi(n), i = 7, . . . , 13 juega un papelimportante la definición de matriz primitiva y de grafo conexo.

Nota. En cada Dn clase de matrices canónicas, tomamos como representanteaquella que tiene el valor 1 en las casillas (i, j) de un subconjunto admisiblemaximal de aristas.

Corolario 4.3.1. Sea A ∈ Gn una matriz canónica primitiva con grafo co-nexo. Entonces

|ADn | = (q − 1)n−1.

Demostración. Sea ξ = (ν, δ) el grafo conexo de A. Como A es primitivav = n. Quitando las aristas que cierran ciclos cerrados obtenemos un subgrafoadmisible maximal ξM = (ν, δM ), que es un árbol juntando los n índices con|δM | = n− 1 aristas.

Observación. En general, sea γ =⋃r

k=1 ξk, el grafo de una matriz canó-nica A expresada como unión disjunta de componentes conexas. Entoncespodemos obtener un grafo admisible maximal tomando grafos admisibles

136 Capítulo 4

maximales en dichas componentes. Estas nuevas componentes son árbolescon |δk,M | = vk − 1 aristas. Por tanto, para cualquier matriz canónica A setiene

|ADn | = (q − 1)v1+···+vr−r.

Definición. Para cada matriz canónica A ∈ Gn, sea γ = γ(A), como en(2), su grafo y v0 el número de índices que no aparecen en γ. Observemosque

∑rk=0 vk = n. Denotamos por Av0;v1,...,vr a la familia de matrices canó-

nicas caracterizadas por los parámetros v0; v1, . . . , vr. Para que el grafo de Aquede totalmente determinado es necesario y suficiente fijar la partición delconjunto {1, . . . , n} en r + 1 subconjuntos con los cardinales v0, v1, . . . , vr,donde v1 ≤ · · · ≤ vr, y seguidamente fijar las correspondientes componentesconexas ξ1, . . . , ξr del grafo.

De este modo concluimos la demostración del siguiente resultado.

Proposición 4.3.1. El número de matrices canónicas correspondientes a losparámetros v0; v1, . . . , vr, v0 + v1 + · · · + vr = n, es

|Av0;v1,...,vr | =(n

v0

)

Pn−v0v1,...,vr |Av1 | · · · |Avr | (4)

donde Avk = A0,vk es el conjunto de matrices canónicas con grafo primitivoy conexo, ξk = (νk, δk), y Pn−v0

v1,...,vr es el número de particiones del conjunto{1, . . . , n− v0} en r subconjuntos con v1, . . . , vr elementos respectivamente.

Observación. La expresión combinatoria para dicho número de particioneses

Pn−v0v1,...,vr =

(n− v0

v1, . . . , vr

)1

ρ(1)! · · · ρ(n− v0)!, ρ(i) = |{k | vk = i}|.

Definición. Definimos rpc(Gn) como el número de clases de conjugaciónde Gn cuyas matrices canónicas son primitivas y con grafo conexo.

Para calcular r(Gn), basta sumar las cantidades (4) para los distintos con-juntos de parámetros. Teniendo esto en cuenta se tiene el siguiente resultado.

Teorema 4.3.1. Supongamos que para cada t ≤ n, existe un polinomiorpc,t(x) cuyos coeficientes son independientes de q, tales querpc(Gt) = rpc,t(q− 1). Entonces el número de clases de conjugación de Gn sepuede calcular utilizando la siguiente ecuación:

r(Gn) =∑

v0;v1,··· ,vrv0+v1+···+vr=n

(n

v0

)

Pn−v0v1,...,vrrpc,v1(q − 1) · · · rpc,vr(q − 1).


Si comparamos los coeficientes es esta ecuación, obtenemos las expresio-nes explícitas para los µi(n) :

Corolario 4.3.2. Supongamos que para t ≤ n, rpc(Gt) es un polinomio en(q − 1) cuyos coeficientes dependen de n y no de q. Entonces el número declases de conjugación de Gn se puede calcular usando la siguiente igualdad:

r(Gn) =∞∑

i=0

µi(n)(q − 1)i. (5)

donde

µi(n) =∑

v0+v1+···+vr=n1≤t1≤v1+1,...,1≤tr≤vr+1

(n

v0

)

Pn−v0v1,...,vrcoeff(rpc,t1(x) · · · rpc,tr(x), xi).

(6)

Observación. G. Higman conjeturó que, para cada n, el número de clasesde conjugación de elemento de Gn es una expresión polinómica en q concoeficientes independientes de q. En la hipótesis de la conjetura de Higman,el polinomio r(Gn) viene dado por las expresiones (5) y (6). En ellas seobserva que el cálculo de r(Gn) depende sólo de los conceptos de matricescanónicas primitivas de grafo conexo.

He aquí el listado de los trece primeros polinomios rpc,k(x):

rpc,1(x) =1

rpc,2(x) =x

rpc,3(x) =x2

rpc,4(x) =2x3

rpc,5(x) =5x4

rpc,6(x) =18x5 + x6

rpc,7(x) =77x6 + 8x7

rpc,8(x) =404x7 + 74x8 + 4x9

rpc,9(x) =2451x8 + 665x9 + 72x10 + 3x11

rpc,10(x) =17100x9 + 6462x10 + 1140x11 + 110x12 + 5x13

rpc,11(x) =134145x10 + 66584x11 + 16632x12 + 2563x13 + 242x14 + 11x15

rpc,12(x) =1172530x11 + 737855x12 + 245103x13 + 54022x14 + 8352x15

+ 890x16 + 60x17 + 2x18

rpc,13(x) =11286067x12 + 8737653x13 + 3674009x14 + 1065376x15

+ 229008x16 + 36998x17 + 4355x18 + 338x19 + 13x20

138 Capítulo 4

Para i ≤ 12, el coeficiente de xi−1 en rpc,i(x) es el número de Dn clases dematrices canónicas de cardinal (q − 1)i−1. Correspondiendo al número dematrices canónicas primitivas cuyo grafo es un árbol.

Las Dn clases de matrices canónicas primitivas de grafo conexo de cardi-nal (q − 1)i, para n ≤ 8 e i ≤ n− 1, están listadas en el apéndice D.

Teniendo en cuenta estos polinomios obtenemos las expresiones de los µk(n),k = 0, 1, . . . , 13.

Teniendo en cuenta los resultados anteriores podemos concluir el siguientecorolario que es uno de los resultados principales de este trabajo de investi-gación.

Corolario 4.3.3. Los primeros 12 coeficientes en el desarrollo de r(Gn) enpotencias de q− 1 son funciones polinómicas que únicamente dependen de ny no de q, dadas las siguientes igualdades:

µ0(n) =1,

µ1(n) =n(n− 1)/2,

µ2(n) =n(n− 1)(n − 2)(3n − 5)/24,

µ3(n) =n(n− 1)(n − 2)(n − 3)(n2 − 5n + 8)/48,

µ4(n) =n(n− 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(3n3 − 30n2 + 121n − 182)/1152,

µ5(n) =n(n− 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5)

× (3n4 − 50n3 + 365n2 − 1310n + 1920)/11520

µ6(n) =n(n− 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5)

× (9n6 − 279n5 + 3915n4 − 31405n3 + 150060n2

− 401372n + 465888)/414720

µ7(n) =n(n− 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5)(n − 6)

× (9n7 − 378n6 + 7350n5 − 84700n4 + 618625n3

− 2842154n2 + 7556672n − 8917632)/5806080

µ8(n) =1

278691840n (n− 1) (n− 2) (n− 3) (n− 4) (n− 5) (n− 6) (n− 7)

×(27n8 − 1476n7 + 37926n6 − 591528n5 + 6074075n4

−41775748n3 + 186904996n2 − 494895824n + 591057792)


µ9(n) =1

557383680n (n− 1) (n− 2) (n− 3) (n− 4) (n− 5) (n− 6) (n− 7)

×(3n10 − 231n9 + 8442n8 − 191614n7 + 2975371n6

−32874695n5 + 260680104n4 − 1459329876n3

+5500310480n2 − 12561067392n + 13155760128)

µ10(n) =1

33443020800n (n− 1) (n− 2) (n− 3) (n− 4) (n− 5) (n− 6)

(n− 7) (n− 8)(9n11 − 846n10 + 38025n9 − 1072470n8

+20988735n7 − 298048450n6 + 3122456355n5 − 24054085570n4

+133124277420n3 − 502626266584n2 + 1161930872928n

−1242571442688)

µ11(n) =1

735746457600n (n− 1) (n− 2) (n− 3) (n− 4) (n− 5) (n− 6)

(n− 7) (n− 8)

×(9n13 − 1095n12 + 64071n11 − 2377815n10 + 62230685n9

−1209104369n8 + 17892479077n7 − 203651822429n6

+1778477794390n5 − 11741788530164n4 + 56836649446232n3

−190597857038880n2 + 396040317099264n − 384327254476800)

µ12(n) =1

52973744947200n (n− 1) (n− 2) (n− 3) (n− 4) (n− 5) (n− 6)

(n− 7) (n− 8) (n− 9)

×(27n14 − 3861n13 + 266679n12 − 11748825n11

+367673625n10 − 8621844759n9 + 155837722381n8

−2200418288739n7 + 24336685840632n6 − 209372512972392n5

+1376482974616848n4 − 6692871949029936n3

+22709660250220544n2 − 48046159820733696n

+47735892549734400)

Observación. Para n ≤ 13 y cada q, r(Gn) está completamente determinadoen [10]. En particular, los coeficientes µi(n) de (q−1)i para i ≤ 12 coincidencon los obtenidos en el Corolario 4.3.3.

Consecuentemente el número r(Gn) está determinado módulo (q − 1)13

para todo n ∈ N.

5El número de clases de conjugación de p-subgruposde Sylow de GL(n, q) módulo gcd ((q + 1), (q − 1)13) ·(q − 1)13

En [13], se analiza el número de matrices primitivas canónicas de grafoconexo de tamaño menor o igual que n suficientes para determinar el númerode todas las matrices canónicas de tamaño n.

Analizamos el número de clases de conjugación r(Gn) módulo (q2−1)(q−1).En particular probamos la congruencia,

r(Gn) ≡ |Gn| (mod (q2 − 1)(q − 1)),

que mejora la correspondiente de P.Hall al sustituir el primo p, por la po-tencia primaria q = pt.

r(Gn) =12∑

i=0

µi(n)(q − 1)i + µ′13(n)(q − 1)13 + k1(q + 1)(q − 1)13,∀n ∈ N.

donde los µi(n) se dan en [13] para i ≤ 12.

Lema 5.0.1. Sea N E G y g ∈ G. Entonces se tienen las siguientes afirma-ciones

1. Para cada x ∈ G, |CG(x)∩ gN | 6= 0 si y sólo si ClN(x)g = ClN (x), encuyo caso, |CG(x) ∩ gN | = |CN (x)|.

2. sg = |{ClN (n) | ClN (n)g = ClN (n)}| = rN (gN) = (1/|N |)∑n∈N |CN (gn)|.

Demostración. 1. Tenemos CG(x) ∩ gN 6= ∅ si y sólo si existe gn0 ∈ gNtal que

xgn0 = x ⇐⇒ xg = nn−10 ⇐⇒ ClN (x)g = ClN (x).

141

142 Capítulo 5

Además, en este caso tenemos

CG(x) ∩ gN = CG(x) ∩ gn0N = gn0(CG(x) ∩N),

luego

|CG(x) ∩ gN | = |gn0(CG(x) ∩N)| = |CG(x) ∩N | = |CN (x)|.

2. Sea C = {(n, gm) ∈ N × gN | [n, gm] = 1}. Tenemos

|C| =∑

m∈N

|CgN (m)| =∑

m∈∪sgi=1ClN (ni)

|CgN (m)| (1)

donde

{ClN (n) | ClN (n)g = ClN (n)} = {ClN (n1), . . . , ClN (nsg)}.

Por tanto (1) coincide con

sg∑

i=1

|CN (ni)||ClN (ni)| = |N |sg.

Por otro lado, tenemos si gN es union disjunta de las N -clases (gmj)N ,

j = 1, . . . , rN (gN), entonces tenemos

|C| =∑

n∈N

|CN (gn)| =rN (gN)∑

j=1

|N ||CN (gmj)|

|CN (gmj)| = |N |rN (gN) (2)

de (1) y (2) se sigue el resultado deseado.

Sea (k, l) ∈ J y sea

M = G(k,l) = {A = In +∑

(i,j)∈JaijEij | aij = 0,∀(i, j) � (k, l), ars ∈ Fq}.

Sea G = G(k,l)∗ . Entonces M es un subgrupo normal de G y

G/M = {In + aEkl | a ∈ Fq}.

Sea Da = In + aEkl. Se tiene el siguiente resultado

p-subgrupos de Sylow de GL(n, q) módulo gcd((q + 1), (q − 1)13) · (q − 1)13 143

Lema 5.0.2. Sea T ∈ Gn. Entonces son equivalentes las siguientes afirma-ciones:

1. |CG(T ) ∩DaM| 6= 0 para algún a ∈ Fq − {0}.

2. |CG(T ) ∩DbM| 6= 0 para todo b ∈ Fq − {0}.

3. ClM(T )Da = ClM(T ), para algún a ∈ Fq − {0}.

4. ClM(T )Db = ClM(T ), para todo b ∈ Fq − {0}.

Demostración. Veamos la equivalencia de 1) y 2) y entonces el resultado seseguirá directamente del lema anterior. Supongamos que existe M ∈ M talque TDaM = T. Sea DaM = B. Tenemos B = In+aEkl+

∑

(i,j)≻(k,l)mijEij,luego bkl = a. Tenemos (In + B0)T = T (In + B0) si y sólo si(In + ba−1B0)T = T (In + ba−1B0). Sea S = In + ba−1B0. Entonces nkl = b,luego S = DbN, con N = In +

∑

(i,j)≻(k,l) sijEij ∈ M. Además, TDbN = T,luego |CG(T ) ∩DbM| 6= 0.

Si se satisface una cualquiera de las condiciones anteriores se tiene

|CG(T ) ∩DaM| = |CM(T ),

y también se tiene a la vista de los apartados 3) y 4) que

rG(M) = sDa + (r(M)− s(Da))/q,

donde

sDa = |{CLM(M) |M ∈ M, CLM(M)Da = CLM(M)}|.

Lema 5.0.3. Se tienen las siguientes afirmaciones

1. rM(DbM) = rG(DbM), ∀b ∈ Fq − {0}.

2. ∆GDbM = ∆G

DaM, ∀a, b ∈ Fq − {0}.

3. sDa = sDb= λ,∀a, b ∈ Fq − {0}.

4. qr(G) = (q2 − 1)λ+ r(M).

Demostración. 1. Tenemos rM(DaM) = 1|M|

∑

M∈M|CM(DaM)|. Ade-

más, CDaM(DaM) 6= ∅ pues DaM ∈ CDaM(DaM), luego por el lemaanterior es CDbM(DaM) 6= ∅, ∀b ∈ Fq − {0}, y

|CDbM(DaM)| = |CG(DaM) ∩DbM| = |CM(DaM)|.

144 Capítulo 5

Por consiguiente, tenemos

rG(DaM) =1

|G|∑

m∈M|CG(DaM)|

=1

|G|

∑

M∈M,b∈Fq−{0}

|CDbM(DaM)|+ |CM(DaM)|)

=1

|G|

∑

M∈M(q − 1)|CM(DaM)|+ |CM(DaM)|)

= q/|G|∑

M∈M|CM(DaM)| = rM(DaM).

2. Para cada a ∈ Fq − {0}, definimos

Ca = {A ∈ G | A es canónica y akl = a}.

Las matrices de la coclase DaM son las matrices de G que tienen a enel lugar (k, l). Consideremos la aplicación

ϕ : Ca −→ Cb, A 7→ In + ba−1(A0).

Claramente esta matriz es canónica y tiene la misma configuración enrelación con los puntos de ramificación y los puntos inertes pues las for-mas lineales correspondientes a A y a In+ba−1(A0) son proporcionales.

De este modo, se tiene ∆GDbM = ∆G

DaM, luego

rG(DbM) = rG(DaM), y por el apartado 1) rM(DbM) = rM(DaM),es decir, sDa = sDb

, en definitiva 3).

Veamos 4). Tenemos G =⋃

c∈FqDcM, luego

r(G) =∑

b∈Fq−{0}

rG(DbM) + rG(M)

= (q − 1)rG(DaM) + rG(M) = (q − 1)rM(DaM) + rG(M)

= (q − 1)sDa + (sDa + (r(M)− sDa)/q = q.sDa + (r(M)− sDa)/q,

de donde qr(G) = (q2 − 1)λ+ r(M), y sDa = s(k,l)Da

, es decir

qr(G(k,l)∗) = (q2 − 1)s(k,l)Da

+ r(G(k,l)).


Teorema 5.0.2. Considerando la serie central

1 = G1,n E G1,n−1 E . . . E Gn,

se deduce reiterando el lema anterior que

qn(n−1)

2 r(Gn) =qn(n−1)

2−1(q2 − 1)s

(n−1,n)Da

+ qn(n−1)

2−2(q2 − 1)s

(n−2,n)Da

+ · · ·+ (q2 − 1)r(G(1,n−1)) + 1,

de donde se concluye que r(Gn) ≡ |Gn| (mod (q2 − 1)(q − 1)).

Demostración. De acuerdo con lo anterior para Gn = G(n−1,n)∗ tenemos

qr(Gn) = (q2 − 1)sn−1,n;nDa

+ r(G(n−1,n)),

luegoq2r(Gn) = q(q2 − 1)sn−1,n;n

Da+ qr(G(n−1,n)),

peroqr(G(n−1,n)) = (q2 − 1)sn−2,n−1;n

Da+ r(G(n−2,n−1)),

sustituyendo en la anterior tenemos

q2r(Gn) = q(q2 − 1)sn−1,n;nDa

+ (q2 − 1)sn−2,n−1;nDa

+ r(G(n−2,n−1)).

Multiplicando de nuevo por q y sustituyendo el valor de

qr(G(n−2,n−1)) = (q2 − 1)sn−2,n;nDa

+ r(G(n−2,n))

tenemos

q3r(Gn) = q2(q2−1)sn−1,n;nDa

+q(q2−1)sn−2,n−1;nDa

+(q2−1)sn−2,n;nDa

+r(G(n−2,n)),

reiterando este proceso la siguiente relación tenemos la siguiente fórmula:

146C

apítu

lo5

qn(n−1)

2 r(Gn)n−1= q

n(n−1)2

−1(q2 − 1)sn−1,n;nDa

+

n−2+ q

n(n−1)2

−2(q2 − 1)sn−2,n−1;nDa

+ qn(n−1)

2−3(q2 − 1)sn−2,n;n

Da

n−3+ q

n(n−1)2

−4(q2 − 1)sn−3,n−1;nDa

+ qn(n−1)

2−5(q2 − 1)sn−3,n−2;n

Da+ q

n(n−1)2

−6(q2 − 1)sn−3,n;nDa

...

n−k+ q

n(n−1)2

−(

k(k−1)2

+1)

(q2 − 1)sn−k,n−k+1;nDa

+ qn(n−1)

2−(

k(k−1)2

+2)


+ · · ·+ qn(n−1)

2−(

k(k−1)2

+k)

(q2 − 1)sn−k,n;nDa

...

n−(n−2)=2+ q

n(n−1)2

−(

(n−2)(n−3)2

+1)

(q2 − 1)s2,3;nDa+ q

n(n−1)2

−(

(n−2)(n−3)2

+2)

(q2 − 1)s2,4;nDa+ · · · + q

n(n−1)2

−(

(n−2)(n−3)2

+(n−2))

(q2 − 1)s2,n;nDa

n−(n−1)=1+ q

n(n−1)2

−(

(n−1)(n−2)2

+1)

(q2 − 1)s1,2;nDa+ q

n(n−1)2

−(

(n−1)(n−2)2

+2)

(q2 − 1)s1,3;nDa+ · · · + q

n(n−1)2

−(

(n−2)(n−3)2

+(n−1))

(q2 − 1)s1,n;nDa+ 1.

Tengamos en cuenta que

r(G(1,n−1)) = s1,n;nDay r(G(1,n)) = 1.

Fácilmente podemos comprobar los siguientes valores

s1,l;nDa= qn−l

s2,l;nDa= q2n−l−3 + qn−2 − qn−3

p-su

bgru

pos

de

Sylo

wdeGL(n,q)

módulo

gcd

((q+1),(q−

1)13)·(q−

1)13

147

qn(n−1)

2 r(Gn)n−1= q

n(n−1)2

−1(q2 − 1)sn−1,n;nDa

+

n−2+ q

n(n−1)2

−2(q2 − 1)sn−2,n−1;nDa

+ qn(n−1)

2−3(q2 − 1)sn−2,n;n

Da

n−3+ q

n(n−1)2

−4(q2 − 1)sn−3,n−1;nDa

+ qn(n−1)

2−5(q2 − 1)sn−3,n−2;n

Da+ q

n(n−1)2

−6(q2 − 1)sn−3,n;nDa

...

n−k+ q

n(n−1)2

−(

k(k−1)2

+1)


+ qn(n−1)

2−(

k(k−1)2

+2)


+ · · ·+ qn(n−1)

2−(

k(k−1)2

+k)

(q2 − 1)sn−k,n;nDa

...

2+

n−2∑

µ=1

qn(n−1)

2−(

(n−2)(n−3)2

+µ)

(q2 − 1)(

q2n−(µ+2)−3 + qn−2 − qn−3)

1+

n−1∑

µ=1

qn(n−1)

2−(

(n−1)(n−2)2

+µ)

(q2 − 1) qn−(µ+1)

148 Capítulo 5

como queríamos demostrar.

Observemos que los números sDa satisfacen

sDa ≡ 1 (mod (q − 1)),

pues fija la clase trivial y las clases de conjugación de M restantes fijadas,se pueden agrupar de q − 1 en q − 1, ya que si ClM(M)Da = ClM(M),entonces también se tiene ClM(In + bM0))

Da = ClM(In + bM0), paratodo b ∈ Fq − {0}. Por tanto podemos obtener el número r(Gn) módulo(q2 − 1)(q − 1). En efecto, tenemos

|Gn| r(Gn)− 1 ≡ (n(n− 1)/2)(q2 − 1) (mod (q2 − 1)(q − 1)),

ahora teniendo en cuenta que

(n(n− 1)/2)(q2 − 1) ≡ qn(n−1)/2 − 1 = |Gn|2 − 1 (mod (q2 − 1)(q − 1)),

se concluye que

|Gn| r(Gn) ≡ |Gn|2 (mod (q2 − 1)(q − 1)),

y como |Gn| es coprimo con (q2 − 1)(q − 1) se sigue que

r(Gn) ≡ |Gn| (mod (q2 − 1)(q − 1)).

Según P. Hallr(Gn) ≡ |Gn|mod (q + 1)(q − 1)2,

esto implica que

r(Gn) = 1 + a0(n)(q − 1) +µ1(n)− a0(n)

2(q + 1)(q − 1) +M(q + 1)(q − 1)2

donde a0(n) =

[n mod 4

2

]

y µ1(n) =n(n− 1)

2.

En el anilloR[q]

((q − 1)13)la base canónica es

{1, (q − 1), (q − 1)2, . . . , (q − 1)12},

omitiendo las barras. Es inmediato que otra base la constituyen los polino-mios

{1 + a0(n)(q − 1), (q + 1)(q − 1), (q + 1)(q − 1)2, . . . , (q + 1)(q − 1)12}.


En efecto, si llamamos vi = (q−1)i para i = 0, . . . , 12 se tiene (q+1)(q−1)i =(q− 1+2)(q− i)i = 2(q− 1)i +(q− i)i+1, además 1+ a0(n)(q− 1) = v0 + v1ó v0 según sea a0(n) = 1 ó 0. Por tanto, el conjunto anterior corresponde a

{v0 + εv1, 2v1 + v2, 2v2 + v3, . . . , 2v11 + v12, 2v12 + v13} = {w0, . . . , w12}

y la matriz coordenada de los coeficientes en el espacio vectorial cocienteR[q]

((q − 1)13)respecto de la base {v0, . . . , v12} es

1 ε2 1

2 12 1

2 12 1

2 12 1

2 12 1

2 12

cuyo determinante es 212 6= 0 enR[q]

((q − 1)13).

Trabajando en este espacio vectorial cociente y omitiendo las tildes cal-culamos la expresión de r(Gn) respectos de las dos bases citadas.

Tenemos por un lado

r(Gn) =

12∑

j=0

µj(n)vj

y también

r(Gn) =12∑

j=0

aj(n)wj ,

como wj = 2vj + vj+1, para j ≤ 11 se tiene

r(Gn) =11∑

j=0

aj(n)(2vj + vj+1) + 2v12

y teniendo en cuenta que q + 1 = 2 + (q − 1) se obtiene

150 Capítulo 5

r(Gn) = 1 + a0(n) (q − 1) + (2 + (q − 1))11∑

j≥1

aj(n) (q − 1)jmod (q − 1)13

= 1 + a0(n) (q − 1) +∑

j≥1

2aj(n) (q − 1)j

+

11∑

j≥1

aj(n) (q − 1)j+1mod (q − 1)13

= 1 + a0(n) (q − 1) + 2a1(n) (q − 1)

+12∑

j≥2

(2aj(n) + aj−1(n)) (q − 1)jmod (q − 1)13

= 1 + (a0(n) + 2a1(n)) (q − 1)

+

12∑

j≥2

(2aj(n) + aj−1(n)) (q − 1)jmod (q − 1)13

En el artículo [13] se ha demostrado que

r(Gn) =

12∑

j≥0

µj(n)(q − 1)j + k(q − 1)13, k ≥ 0

en función de los µi(n), igualando esta expresión con la expresión (1) seobtiene

1+(a0(n)+2a1(n)) (q−1)+∑

j≥2

(2aj(n)+aj−1(n)) (q−1)j ≡∑

j≥0

µj(n) (q−1)j .

Igualando coeficientes respecto de la base

{1, (q − 1), (q − 1)2, . . . , (q − 1)12},

se tiene

µ1(n) = a0(n) + 2a1(n).

µj(n) = aj(n) + 2aj−1(n).∀j ≥ 2


de donde, despejando las ai,

a1 =µ1 − a0

2

a2 =µ2 − a1

2=

µ2 − µ1−a02

2= −−2µ2 + µ1 − a0

4

a3 =µ3 − a2

2=

µ3 − 2µ2−µ1+a04

2=

4µ3 − 2µ2 + µ1 − a08

a4 =µ4 − a3

2=

µ4 − 4µ3−2µ2+µ1−a08

2= −−8µ4 + 4µ3 − 2µ2 + µ1 − a0

16

a5 =µ5 − a4

2=

µ5 − 8µ4−4µ3+2µ2−µ1+a016

2=

16µ5 − 8µ4 + 4µ3 − 2µ2 + µ1 − a032

concluyendo que

aj(n) =a0 −

∑jl=1(−2)l−1 µl(n)

(−2)j, j ≤ 12

donde

a0(n) =

[n mod 4

2

]

.

Lema 5.0.4. Los coeficientes ai(n) > 0 y racionales para todo i.

Demostración. Se tiene que µi(n) = ai−1(n) + 2ai(n) para todo i. Observe-mos que

a0(n) =

[n mod 4

2

]

, a1(n) =µ1(n)− a0

2∼ n2.

Entonces, se tiene:

µ2(n) = a1(n) + 2a2(n),µ2 ∼ n4

a1 ∼ n2

}

lo que implica que a2(n) ∈ Q, a2(n) > 0 y a2(n) ∼ n2.

µ3(n) = a2(n) + 2a3(n),µ3 ∼ n6

a2 ∼ n4

}


152 Capítulo 5

µ4(n) = a3(n) + 2a4(n),µ4 ∼ n8

a3 ∼ n6

}


µ5(n) = a4(n) + 2a5(n),µ5 ∼ n10

a4 ∼ n8

}


µ6(n) = a5(n) + 2a6(n),µ6 ∼ n12

a5 ∼ n10

}


Teniendo en cuenta las expresiones de los µi(n) para i ≤ 12 dadas en[13], se obtiene

µi(n) = ai−1(n) + 2ai(n),µi ∼ n2i

ai−1 ∼ n2(i−1)

}

lo que implica que ai(n) ∈ Q, ai(n) > 0 y ai(n) ∼ n2i.

Lema 5.0.5. Los coeficientes ai(n) ∈ N para todo i = 1, . . . , 12 y para

a0 = [(n mod 4)/2],

se tiene

ai(n) =bi(n)− a0(n)

2i

con

b1(n) =1

2n (n− 1)


b2(n) =− 1

12n (n− 1)

(4 + 3n2 − 11n

)

b3(n) =1

12n (n− 1) (n− 4)

(n3 − 6n2 + 12n − 11

)

b4(n) =− 1

144n (n− 1) (n− 4) (n− 5)

(n2 − 5n+ 12

) (3n2 − 15n + 16

)

b5(n) =1

720n (n− 1) (n− 4) (n− 5)

(3n6 − 65n5 + 618n4 − 3285n3 + 10025n2 − 16160n + 10560

)

b6(n) =− 1

12960n (n− 1) (n− 4) (n− 5)

(9n8 − 324n7 + 5310n6 − 51484n5 + 319451n4

−1280972n3 + 3192658n2 − 4446792n + 2605248)

b7(n) =1

90720n (n− 1) (n− 4) (n− 5)

(9n10 − 477n9 + 11769n8 − 177214n7

+1791363n6 − 12600441n5 + 61903909n4

−207662264n3 + 450103082n2 − 561947400n + 302798016)

b8(n) =− 1

2177280n (n− 1) (n− 4) (n− 5)

(27n12 − 1962n11 + 67329n10 − 1437312n9 + 21156653n8

−224993266n7 + 1762163639n6 − 10175833348n5

+42695835680n4 − 125934501376n3 + 245617112832n2

−281451654144n + 141679411200)

b9(n) =1

2177280n (n− 1) (n− 4) (n− 5) (n− 8)

(3n13 − 261n12 + 10824n11 − 281983n10

+5122460n9 − 68156271n8 + 679546932n7 − 5110237137n6

+28798744917n5 − 119265432428n4 + 349949152816n3

−682517120688n2 + 784512465984n − 396696517632)

154 Capítulo 5

b10(n) =− 1

65318400n (n− 1) (n− 4) (n− 5) (n− 8)

(9n15 − 1008n14 + 54180n13 − 1847280n12

+44511216n11 − 799739692n10 + 11023835370n9

−118208104800n8 + 989676092655n7 − 6438043455084n6

+32102720318010n5−119777553767144n4+321469682710800n3

−581232969985536n2 + 627131781492480n − 301227108028416)

b11(n) =1

718502400n (n− 1) (n− 4) (n− 5) (n− 8) (n− 9)

(9n16 − 1176n15 + 74115n14 − 2979297n13 + 85179353n12

−1829743925n11 + 30432063035n10 − 398181182245n9

+4125072095430n8 − 33798835027155n7 + 217241511078610n6

−1078009437302602n5 + 4023939772875304n4

−10845485510456816n3 + 19739928796516992n2

−21466329215770368n + 10392996659982336)

b12(n) =− 1

25866086400n (n− 1) (n− 4) (n− 5) (n− 8) (n− 9)

(27n18 − 4347n17 + 338904n16 − 16950780n15

+607737834n14 − 16538109066n13 + 352962455668n12

−6022745675964n11 + 83034068441819n10

−928799571095451n9 + 8419722685872684n8

−61475372327900160n7 + 357335365633521416n6

−1623495204780887592n5 + 5608317376698418720n4

−14125010530480742016n3 + 24243646832872257024n2

−25082781477380665344n + 11655297042773704704)

Demostración. La expresiones de los bi =∑j

l=1(−2)l−1 µl(n) se han obte-nido directamente de los valores µi con un simple programa de maple. Losdenominadores del primer factor que aparece en estos bi están dados en la


siguiente tabla

12 = 4 · 312 = 4 · 3144 = 16 · 9720 = 24 · 45

12960 = 25 · 34 · 590720 = 25 · 34 · 5 · 7

2177280 = 28 · 38 · 5 · 72177280 = 28 · 38 · 5 · 7

65318400 = 29 · 36 · 52 · 7718502400 = 29 · 36 · 52 · 7

25866086400 = 211 · 38 · 52 · 7 · 11

Para ver que los ai(n) toman valores naturales, procedemos como sigue:

b2 = µ1 − µ2 y a2 = (b2 − a0)/4

tenemos que ver que b2 ≡ a0 mod 4. Pero

b2 = −1/12n (n− 1)(4 + 3n2 − 11n

)= c2(n)/12

por tanto basta comprobar la congruencia

c2(n)/3 ≡ 4a0 mod 16,

podemos dividir por 3 puesto que es coprimo con 16. Un simple cálculo conmaple trabajando módulo 16, es decir, n = 16t + r con 0 ≤ r ≤ 15 noscomprueba que es cierto, siendo los restos 0, 0, 4, 4, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 4, 4para 0 ≤ r ≤ 15 y por tanto iguales para ambas funciones. Este procederlo reiteramos para los siguientes, teniendo en cuenta que con el bi tenemosque trabajar módulo 2i por la dos prima parte del denominador de la tablaanterior. De este modo, se tiene b3(n) = c3(n)/12 y comprobamos

c3(n)/3 ≡ 4a0 mod 32.

Se tiene b4(n) = c4(n)/144 y comprobamos

c4(n)/9 ≡ 16a0 mod 28.


c5(n)/45 ≡ 24a0 mod 29.

156 Capítulo 5


c6(n)/34 · 5 ≡ 25a0 mod 2526.


c7(n)/34 · 5 · 7 ≡ 25a0 mod 2527.


c8(n)/34 · 5 · 7 ≡ 28a0 mod 2828.


c9(n)/38 · 5 · 7 ≡ 28a0 mod 2829.


c10(n)/36 · 52 · 7 ≡ 29a0 mod 29210.


c11(n)/36 · 52 · 7 · 11 ≡ 29a0 mod 29211.


c12(n)/38 · 52 · 7 · 11 ≡ 211a0 mod 211212.

Los restos se comprueban que coinciden para ambas funciones y los últimosrestos 223 lo hace en menos de 10 minutos. Por consiguiente, los ai(n) sonenteros positivos.

Tenemos

r(Gn) = 1 + a0(n)(q − 1) + a1(n)(q2 − 1) + λ(q2 − 1)(q − 1)

y

r(Gn) = 1+a0(n)(q−1)+a1(n)(q2−1)+· · ·+a12(n)(q+1)(q−1)12+k′(q−1)13

por tanto k′(q−1)13 ≡ 0 mod (q2−1)(q−1) de donde (q+1)gmc(q+1,(q−1)13) divide

a k′. Nos queda por ver que realmente k′ = k′′(q + 1) con k′′ ≥ 0, como sepuede ver en la tabla siguiente esto es cierto para n ≤ 13. Observemos queeste articulo aporta la mejora respecto a [13] en que se obtiene el coeficientede (q + 1)(q − 1)12 como sumando positivo adicional al r(Gn).


Los valores de r(Gn) para n = 1, . . . , 13 como polinomios en (q2 − 1)(q − 1)j

son :

r(G1) =1

r(G2) =q

r(G3) =q + (q2 − 1)

r(G4) =1 + 2 (q − 1)(q2 − 1) + 3(q2 − 1)

r(G5) =1 + 5 (q − 1)2(q2 − 1) + 10 (q − 1)(q2 − 1) + 5(q2 − 1)

r(G6) =1 + (q − 1) + (q − 1)4(q2 − 1) + 16 (q − 1)3(q2 − 1)

+ 38 (q − 1)2(q2 − 1) + 29 (q − 1)(q2 − 1) + 7(q2 − 1)

r(G7) =1 + (q − 1) + 8 (q − 1)5(q2 − 1) + 68 (q − 1)4(q2 − 1)

+ 165 (q − 1)3(q2 − 1) + 160 (q − 1)2(q2 − 1) + 65 (q − 1)(q2 − 1)

+ 10(q2 − 1)

r(G8) =1 + 4 (q − 1)7(q2 − 1) + 66 (q − 1)6(q2 − 1) + 364 (q − 1)5(q2 − 1)

+ 840 (q − 1)4(q2 − 1) + 924 (q − 1)3(q2 − 1) + 497 (q − 1)2(q2 − 1)

+ 126 (q − 1)(q2 − 1) + 14(q2 − 1)

r(G9) =1 + 3 (q − 1)9(q2 − 1) + 66 (q − 1)8(q2 − 1) + 569 (q − 1)7(q2 − 1)

+ 2351 (q − 1)6(q2 − 1) + 5018 (q − 1)5(q2 − 1)

+ 5826 (q − 1)4(q2 − 1) + 3720 (q − 1)3(q2 − 1)

+ 1275 (q − 1)2(q2 − 1) + 222 (q − 1)(q2 − 1) + 18(q2 − 1)

r(G10) =q + (q − 1) + 5 (q − 1)11(q2 − 1) + 100 (q − 1)10(q2 − 1)

+ 970 (q − 1)9(q2 − 1) + 5422 (q − 1)8(q2 − 1)

+ 17796 (q − 1)7(q2 − 1) + 34728 (q − 1)6(q2 − 1)

+ 40824 (q − 1)5(q2 − 1) + 28882 (q − 1)4(q2 − 1)

+ 12061 (q − 1)3(q2 − 1) + 2863 (q − 1)2(q2 − 1)

+ 364 (q − 1)(q2 − 1) + 22(q2 − 1)

158 Capítulo 5

r(G11) =1 + (q − 1) + 11 (q − 1)13(q2 − 1) + 220 (q − 1)12(q2 − 1)

+ 2178 (q − 1)11(q2 − 1) + 13651 (q − 1)10(q2 − 1)

+ 56607 (q − 1)9(q2 − 1) + 154328 (q − 1)8(q2 − 1)

+ 274894 (q − 1)7(q2 − 1) + 318937 (q − 1)6(q2 − 1)

+ 239156 (q − 1)5(q2 − 1) + 113895 (q − 1)4(q2 − 1)

+ 33471 (q − 1)3(q2 − 1) + 5823 (q − 1)2(q2 − 1)

+ 564 (q − 1)(q2 − 1) + 27(q2 − 1)

r(G12) =1 + 2 (q − 1)16(q2 − 1) + 56 (q − 1)15(q2 − 1)

+ 778 (q − 1)14(q2 − 1) + 6928 (q − 1)13(q2 − 1)

+ 43400 (q − 1)12(q2 − 1) + 197309 (q − 1)11(q2 − 1)

+ 647563 (q − 1)10(q2 − 1) + 1508056 (q − 1)9(q2 − 1)

+ 2456938 (q − 1)8(q2 − 1) + 2770944 (q − 1)7(q2 − 1)

+ 1110802 (q − 1)5(q2 − 1) + 379379 (q − 1)4(q2 − 1)

+ 2138422 (q − 1)6(q2 − 1) + 82544 (q − 1)3(q2 − 1)

+ 10967 (q − 1)2(q2 − 1) + 836 (q − 1)(q2 − 1) + 33(q2 − 1)

r(G13) =1 + 13 (q − 1)18(q2 − 1) + 312 (q − 1)17(q2 − 1)

+ 3757 (q − 1)16(q2 − 1) + 30264 (q − 1)15(q2 − 1)

+ 180908 (q − 1)14(q2 − 1) + 833300 (q − 1)13(q2 − 1))

+ 2968525 (q − 1)12(q2 − 1 + 8063445 (q − 1)11(q2 − 1)

+ 16388424 (q − 1)10(q2 − 1) + 24517272 (q − 1)9(q2 − 1))

+ 26636337 (q − 1)8(q2 − 1 + 20739979 (q − 1)7(q2 − 1)

+ 11393720 (q − 1)6(q2 − 1) + 4328792 (q − 1)5(q2 − 1)

+ 1108887 (q − 1)4(q2 − 1) + 185484 (q − 1)3(q2 − 1)

+ 19422 (q − 1)2(q2 − 1) + 1196 (q − 1)(q2 − 1) + 39(q2 − 1)

6Conjetura de Higman

Haciendo uso de la teoría de grafos elemental, definimos conceptos yherramientas de trabajo que nos ayudaran a identificar, para todo n, cómose pueden contruir los coeficientes ai tales que

r(Gn) =

[(n2+6n)/12]∑

i=1

ai (q − 1)i.

Daremos también la relación entre r(Gn) y r(Gi) para i < n.

6.1. Líneas de pivotes

Sea A ∈ Gn una matriz canónica. Definimos el grafo de pivotes de Acomo aquel cuyas aristas son sus pivotes:

i11 · · · i1,r1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

is1 · · · is,rs

En este caso los pivotes son

(i11, i12), . . . , (i1,r1−1 , i1,r1),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(is1 , is2), . . . , (is,rs−1 , is,rs).

Llamamos pilotos (res. copilotos) a los pivotes de índice mínimo (res. máxi-mo) de cada línea de pivotes. Los índices mínimos de cada línea de pivotescorresponden a las columnas sin pivote Los índices máximos de cada líneade pivotes corresponden a las filas nulas.

159

160 Capítulo 6

Por ejemplo, para la matriz canónica

A =

∗ •∗

∗ •∗

∗∗

,

el grafo de pivotes consta de dos líneas:

1 2 5 6

3 4

mientras que su grafo completo es conexo:

1 2 5 6

3 4

Los pilotos son las casillas (1, 2) y (3, 4). Los copilotos son las casillas (5, 6) y(3, 4). Como vemos, cuando la línea es minimal, piloto y copiloto coinciden.Los primeros índices de las líneas de pivotes son 1 y 3 y corresponden a lascolumnas sin pivote. Los últimos índices de las líneas de pivotes son 6 y 4 ycorresponden a las filas nulas.

Nos planteamos el problema de hallar matrices canónicas primitivas co-nexas de tamaño mayor a una dada de la manera más sencilla posible.

Dado un par de índices 1 ≤ k < l ≤ n , para cada matriz A ∈ Gn,A = (aij)1≤i,j≤n, consideramos la submatriz

A|k,l| = (aij)k≤i,j≤l ∈ Gr, r = l − k + 1.

En principio puede ser A canónica sin serlo A|k,l| y viceversa.

El siguiente teorema nos da un método para hallar matrices canónicasde tamaño mayor al de una matriz canónica dada.

Teorema 6.1.1. Sea A ∈ Gn una matriz y supongamos que, para1 ≤ k < l ≤ n dados, se cumplen las siguientes propiedades:

A|k,l| es canónica en Gr ;

Las líneas de pivotes de A son prolongación de las de A|k,l| ;

Las casillas no nulas no pivotes de A son las casillas no nulas no pivotesdeA|k,l| y por tanto son casillas no nulas de A|k,l|, es decir, las casillasno nulas fuera de A|k,l| son pivotes.

Conjetura de Higman 161

Entonces A es una matriz canónica de Gn.

Demostración. Tratamos de verificar la condición de que los valores no nulosde A están en puntos de ramificación de A.

Los pivotes de A forman una aplicación quasi-inyectiva; por lo tantose hallan en puntos de ramificación. Por lo tanto, sólo nos tenemos quefijar en las casillas no nulas no pivotes de A que, según la hipótesis, soncasillas no nulas no pivotes de A|k,l|. En cuanto casillas de Gr son puntos deramificación. Por lo tanto, si (u, v) es un punto de ramificación no pivote deA|k,l|, la correspondiente forma lineal Luv es combinación lineal de las formaslineales Lrs de las casillas de A|k,l| que preceden a (u, v) en el orden de A|k,l|.Pero éstas también son formas lineales de casillas de A que preceden a (u, v)en el orden de A. Por lo tanto (u, v) también es un punto de ramificaciónconsiderado en A.

Teorema 6.1.2. Sea Ar ∈ Gr una matriz canónica primitiva. Entonces elnúmero de configuraciones de matrices canónicas primitivas A ∈ Gn, n > r,obtenidas de Ar por el método del Teorema 6.1.1 es igual a

(n− r + 1)sn−r,

donde s es el número de líneas de pivotes de Ar.

Demostración. Fijado el par (k, l), para determinar la matriz A, tenemosque decidir para cada uno de los índices 1, . . . k − 1, l + 1, . . . n a cuál de lass líneas de pivotes vamos a conectarlo y, una vez hecha esa elección, el grafoqueda totalmente determinado. Esto nos da sn−r configuraciones distintas.Por otra parte, k puede tomar los valores 1, . . . , n − r + 1. Esto demuestrael enunciado del teorema.

De hecho aplicaremos esta teorema al caso de grafos conexos. Si A y A|k,l|

están en las condiciones del teorema y el grafo de A|k,l| es conexo, entoncestambién lo es el de A.

Hasta ahora los elementos mínimos en la construcción de matrices ca-nónicas eran las matrices canónicas primitivo-conexas, es decir aquelllas sinquebradas nulas cuyo grafo es conexo. En adelante tenemos que buscar lacélula de una matriz canónica primitiva conexa.

Si de una matriz canónica primitiva conexa hemos podido construir otrasmayores, nos cabe preguntar, dada una matriz canónica primitiva conexa,si no será obtenida de otra de tamaño menor con el método del Teorema 6.1.1.

162 Capítulo 6

Dada una tal matriz, si k es el mínimo índice para el que hay un valorno nulo no pivote, entonces el resultado de suprimir sus primeras k − 1 fi-las es también una matriz primitivo-conexa con los mismos lugares no nulosno pivotes. Cuántas columnas podemos suprimir? En el ejemplo de G6 da-do arriba, la casilla (3, 5) corresponde a un punto de ramificación, pero, sisuprimimos la sexta columna, entonces pasa a ser un punto inerte. Esto esasí porque en G6 la forma lineal L35 es linealmente dependiente de L46 y,al pasar a G5, L35 es linealmente independiente de las formas lineales prece-dentes. Esto nos lleva a dar la siguiente definición.

Definición. Decimos que una matriz canónica primitiva conexa es unacélula si al suprimir algunas de sus primeras filas o sus últimas columnasdeja de ser canónica o pierde alguno de sus elementos no nulos no pivotes.Una matriz es una célula si existe un lugar no nulo no pivote en la primerafila y que si se suprime la última columna algún punto de ramificación pasea ser punto inerte.

Sea A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Gn una matriz canónica primitiva conexa. Defini-mos la célula de A como la submatriz A|k,l| = (aij)k≤i,j≤l ∈ Gr, r = l−k+1,donde k es el mí nimo índice para el que existe una casilla (k, j) no nula nopivote, y l es el máximo de los índices de las formas lineales que aparecenefectivamente (con coeficiente no nulo) en las relaciones de dependencia linealde las formas lineales de las casillas no nulas no pivotes.

6.2. La relación que existe entre r(Gn) y los r(Gt) cont < n.

Sea A una matriz de Gn. Supongamos que la quebrada i-ésima de A0 esnula: ai,s = 0 = ar,i, para todo s > i y r < i. Definimos una correspondenciabiunívoca entre las entradas de las matrices de Gn−1 y las entradas de lasmatrices de Gn que no están situadas en la quebrada i-ésima:

(u, v) 7→ (u, v) ↑=

(u, v) si u < v < i,

(u, v + 1) si u < i ≤ v,

(u+ 1, v + 1) si i ≤ u < v.

La aplicación inversa es

(r, s) 7→ (r, s) ↓=

(r, s) si r < s < i,

(r, s − 1) si r < i < s,

(r − 1, s− 1) si i < r < s.

Teorema 6.2.1. Sea A una matriz de Gn. Supongamos que la fila y columnai-ésima de A0 es nula. Entonces la matriz A es canónica en Gn si y sólo si


la matriz

B = (bu,v), bu,v = a(u,v)↑, bu,u = 1

es canónica en Gn−1. El carácter de la entrada (r, s) de la matriz A es: enel caso de que r 6= i 6= s, igual al de la entrada (r, s) ↓ en la matriz B; en elcaso s = i, es inerte si está precedido por el pivote de su fila y si no es deramificación; en el caso r = i es inerte si está sobre un pivote en su columnay si no es de ramificación.

Demostración. La base de la demostración consiste en que el sistema deformas Lr,s correspondiente a la matriz A se parte en dos sistemas disjuntossin incógnitas comunes:

i) Lr,i y Li,s que sólo incluyen a incógnitas xk,i ó xi,k,

ii) Lr,s, r 6= i 6= s que sólo incluyen a incógnitas xr,s, r 6= i 6= s.

Además, este último sistema coincide con el sistema correspondiente a lamatriz B. Demostremos esto último.

Sean

Lr,s =

s−1∑

k=r+1

ar,kxk,s −s−1∑

k=r+1

ak,sxr,k, 1 ≤ r < s ≤ n (1)

las formas correspondientes a la matriz A ∈ Gn y

Mu,v =

v−1∑

k=u+1

bu,kyk,v −v−1∑

k=u+1

bk,vyu,k, 1 ≤ u < v ≤ n− 1 (2)

las formas correspondientes a la matriz B ∈ Gn−1.

Identificamos las incógnitas yu,v con las incógnitas xr,s, r 6= i 6= s:

yu,v = x(u,v)↑.

En las formas (1), si 1 ≤ r < s < i, entonces el índice de suma k cumple1 ≤ r < k < s < i, por lo tanto en este caso se tienear,s = a(r,s)↓ = br,s, xr,s = x(r,s)↓ = yr,s y, en consecuencia, teniendo encuenta (2) Lr,s = Mr,s = M(r,s)↓.

Si 1 ≤ r < i < s, entonces los sumandos correspondientes al índice k = ien la expresión (1) son nulos ya que ar,i = 0 = ai,s. Por lo tanto se tiene

Lr,s =i−1∑

k=r+1

ar,kxk,s +s−1∑

k=i+1

ar,kxk,s −i−1∑

k=r+1

ak,sxr,k −s−1∑

k=i+1

ak,sxr,k

164 Capítulo 6

=i−1∑

k=r+1

b(r,k)↓y(k,s)↓ +s−1∑

k=i+1

b(r,k)↓y(k,s)↓

−i−1∑

k=r+1

b(k,s)↓y(r,k)↓ −s−1∑

k=i+1

b(k,s)↓y(r,k)↓.

En las sumas primera y tercera como r < k < i < s, se sigue que(r, k) ↓= (r, k) y (k, s) ↓= (k, s − 1). En las sumas segunda y cuarta, co-mo r < i < k < s, se sigue que (r, k) ↓= (r, k − 1) y (k, s) ↓= (k − 1, s − 1).De aquí se sigue que

Lr,s =i−1∑

k=r+1

br,kyk,s−1 +s−1∑

k=i+1

br,k−1yk−1,s−1

=i−1∑

k=r+1

bk,s−1yr,k −s−1∑

k=i+1

bk−1,s−1yr,k−1

y reajustando los sumatorios segundo y cuarto,

Lr,s =i−1∑

k=r+1

br,kyk,s−1 +s−2∑

k=i

br,kyk,s−1 −i−1∑

k=r+1

bk,s−1yr,k −s−2∑

k=i

bk,s−1yr,k

Lr,s =

s−2∑

k=r+1

br,kyk,s−1 −s−2∑

k=r+1

bk,s−1yr,k = Mr,s−1 = M(r,s) ↓ .

Si i < r < s, entonces i < r < k < s de modo que en las sumas de (1) noaparece el índice k = i. Además (r, k) ↓= (r−1, k−1), (k, s) ↓= (k−1, s−1).Por lo tanto

Lr,s =s−1∑

k=r+1

b(r,k)↓y(k,s)↓ −s−1∑

k=r+1

b(k,s)↓y(r,k)↓

=s−1∑

k=r+1

br−1,k−1yk−1,s−1 −s−1∑

k=r+1

bk−1,s−1yr−1,k−1

y reajustando los sumatorios

Lr,s =

s−2∑

k=r

br−1,kyk,s−1 −s−2∑

k=r

bk,s−1yr−1,k,

es decir,

Lr,s = Mr−1,s−1 = M(r,s)↓


En resumen, para r 6= i 6= s se tiene

Lr,s = M(r,s)↓

y las incógnitas implicadas en estas formas son xr,s, r 6= i 6= s.Por otra parte, para r < i se tiene

Lr,i =

i−1∑

k=r+1

ar,kxk,i,

ya que ak,i = 0, y para i < s se tiene

Li,s = −s−1∑

k=i+1

ak,sxi,k,

ya que ak,i = 0. Por lo tanto, el carácter de las entradas (r, s), r 6= i 6= sde la matriz A está ligado al sistema de ecuaciones Lr,s, r 6= i 6= s es deciral sistema Mu,v de las entradas de la matriz B, es decir al carácter de lasentradas de la matriz B. La afirmación correspondiente al carácter de lospuntos de la quebrada i-ésima de la matriz A es consecuencia de los lemasgenerales correspondientes.

6.3. Matrices canónicas primitivas

La propiedada del Teorema 6.2.1 aplicada inductivamente reduce el es-tudio del carácter de una casilla a la matriz resultante de quitar todas lasquebradas nulas. En consecuencia:

Corolario 6.3.1. Sea T n el conjunto de las matrices canónicas primitivasde Gn. Entonces se tiene

r(Gn) = r(T n) +n−1∑

k=1

(−1)k−1

(n

k

)

r(Gn−k) + (−1)n−1.

Demostración. Para cada k = 1, . . . n sea Qk, el conjunto de las matricescanónicas de Gn que tienen nula la k-ésima quebrada. Entonces el conjuntode matrices canónicas de Gn es T n ∪ ⋃n

k=1Qk. Pero la primera unión esdisjunta y para la segunda se tiene

|n⋃

k=1

Qk| =n∑

k=1

(−1)k−1∑

1≤i1<...<ik≤n

|Qi1 ∩ · · · ∩ Qik |.

Pero, según el teorema anterior, por inducción, para k = 1, . . . n − 1 setiene |Qi1 ∩ · · · ∩ Qik | = r(Gn−k) y como Q1 ∩ · · · ∩ Qn = {I}, se tiene|Q1 ∩ · · · ∩ Qn| = 1.

166 Capítulo 6

Proposición 6.3.1. Sea

Gn[i] =

{

A ∈ Gn | A es una matriz canónica con exactamente icasillas no nulas

}

.

Entonces se tiene

r(Gn[i]) = r(T [i]

n ) +

n−1∑

k=1

(−1)k−1

(n

k

)

r(G [i]n−k) + (−1)n−1.

En el caso en que i ≤ [n+12 ]− 1 se tiene

r(Gn[i]) =

n−1∑

k=1

(−1)k−1

(n

k

)

r(G[i]n−k) + (−1)n−1.

Demostración. Para cada k = 1, . . . n sea Q[i]k , el conjunto de las matrices

canónicas de Gn que tienen nula la k-ésima quebrada y con exactamentei valores no nulos. Entonces el conjunto de matrices canónicas de Gn

[i] es

T [i]n ∪ ⋃n

k=1Q[i]k . Se tiene que T [i]

n ⊆ T n que tiene a lo sumo (q − 1)[n+12

]

valores no nulos, es por tanto que T [i]n = ∅. Para la segunda unión se tiene

|n⋃

k=1

Q[i]k | =

n∑

k=1

(−1)k−1∑

1≤i1<...<ik≤n

|Q[i]i1∩ · · · ∩ Q[i]

ik|.

Pero, según el Teorema 6.2.1, por inducción, para k = 1, . . . n − 1 se tie-

ne |Q[i]i1

∩ · · · ∩ Q[i]ik| = r(G[i]

n−k) y como Q[i]1 ∩ · · · ∩ Q[i]

n = {I}, se tiene

|Q[i]1 ∩ · · · ∩ Q[i]

n | = 1.

Observaciones. Sea P una propiedad relativa a matrices canónicas, asaber:

a) Tener exactamente i casillas con valores no nulos.

b) Ser primitivas.

Teniendo en cuenta la propiedad P podemos reescribir la proposición anteriorcomo sigue:

Proposición 6.3.2. Sea

Gn(P) =

{

A ∈ Gn | A es una matriz canónica que cumplela propiedad P

}

.

Entonces se tiene

r(Gn(P)) = r(T (P)

n ) +

n−1∑

k=1

(−1)k−1

(n

k

)

r(G(P)n−k) + (−1)n−1.


Observaciones.

1. Sea A una matriz canónica, Qn1 una quebrada, n2 = n − n1 y seanR1, R2, R3 las tres regiones en que queda partida la matriz, siendo R2

el rectángulo y las otras dos los triángulos. Sean r1, r2, r3 el númerode pivotes de A en cada una de estas regiones, respectivamente y sean = n1 + n2 la correspondiente partición de índices. Entonces se tiene

r1 + r2 ≤ n1, r2 + r3 ≤ n2,

de donde r1+2r2+r3 ≤ n1+n2 = n y por lo tanto se tiene el siguienteresultado:

el número de filas nulas de la matriz A es n0 = n− (r1+ r2+ r3) ≥ r2,es decir, mayor o igual que el número de pivotes que hay en cualquierrectángulo con vértice en la primera diagonal y lados adyacentes los deuna quebrada de A.

2. Consideremos las filas de A0, donde A es una matriz canónica. Sean F0,F1, F2 los conjuntos de índices de filas que son: nulas, con exactamenteun valor no nulo, y con mas de 1 valor no nulo, respectivamente. Sea

F = {k ∈ F2 | (A− In)π(k) = 0}= {k ∈ F2 | π(k) ∈ F0}= {k1, . . . , kr}.

Para cada ki ∈ F , sean (ki, c1i), (ki, c2i) las casillas correspondientes al1-pivote y 2-pivote de la ki-ésima fila de A0. Sea

Dki = {s | (A− In)s 6= 0, π(s) < π(ki)} = {s1ki , . . . , stiki},

entonces de acuerdo con el Lema 2.1.9, las casillas

(smki, c2,i), i = 1, . . . , r

son puntos inertes de la matriz A. Observemos que si {i1, . . . , in0}corresponde al conjunto de índices de filas cero, entonces la condiciónπ(k) ∈ F0, equivale a decir que k ∈ {π−1(i1), . . . , π

−1(in0)}.

3. El conjunto T n definido en el Corolario 6.3.1 satisface

|T n| = n′1(n− 2) +

n′1∑

j=1

(lj − ij − 1).

De acuerdo con la fórmula

168 Capítulo 6

r(Gn) = r(T n) +

n−1∑

k=1

(−1)k−1

(n

k

)

r(Gn−k) + (−1)n−1.

Se han calculado las expresiones de r(T n) para n = 3, . . . , 12 :

r(T 3) =3 (q − 1)2 + 2 (q − 1)3

r(T 4) =10 (q − 1)3 + 5 (q − 1)4

r(T 5) =15 (q − 1)3 + 40 (q − 1)4 + 18 (q − 1)5 + (q − 1)6

r(T 6) =105 (q − 1)4 + 175 (q − 1)5 + 77 (q − 1)6 + 8 (q − 1)7

r(T 7) =105 (q − 1)4 + 700 (q − 1)5 + 924 (q − 1)6 + 432 (q − 1)7

+ 74 (q − 1)8 + 4 (q − 1)9

r(T 8) =1260 (q − 1)5 + 4690 (q − 1)6 + 5544 (q − 1)7 + 2823 (q − 1)8

+ 665 (q − 1)9 + 72 (q − 1)10 + 3 (q − 1)11

r(T 9) =945 (q − 1)5 + 12600 (q − 1)6 + 34440 (q − 1)7 + 38760 (q − 1)8

+ 21810 (q − 1)9 + 6642 (q − 1)10 + 1140 (q − 1)11

+ 110 (q − 1)12 + 5 (q − 1)13

r(T 10) =17325 (q − 1)6 + 119350 (q − 1)7 + 274890 (q − 1)8

+ 306405 (q − 1)9 + 190520 (q − 1)10 + 71204 (q − 1)11

+ 16797 (q − 1)12 + 2563 (q − 1)13 + 242 (q − 1)14 + 11 (q − 1)15

r(T 11) =10395 (q − 1)6 + 242550 (q − 1)7 + 1165780 (q − 1)8

+ 2420220 (q − 1)9 + 2732598 (q − 1)10 + 1872834 (q − 1)11

+ 833357 (q − 1)12 + 54352 (q − 1)14 + 8352 (q − 1)15

+ 890 (q − 1)16 + 60 (q − 1)17 + 253023 (q − 1)13 + 2 (q − 1)18


r(T 12) =270270 (q − 1)7 + 3078075 (q − 1)8 + 11931920 (q − 1)9

+ 23335455 (q − 1)10 + 27065181 (q − 1)11 + 20340047 (q − 1)12

+ 10509852 (q − 1)13 + 3909673 (q − 1)14 + 1085682 (q − 1)15

+ 229866 (q − 1)16 + 36998 (q − 1)17 + 4355 (q − 1)18

+ 338 (q − 1)19 + 13 (q − 1)20

Por otro lado teniendo en cuenta los r(Gn), n = 1, . . . , 13 ya calculados,los cálculos son congruentes con la fórmula de sumación.

Recordemos que el grupo Dn de las matrices diagonales actúa por con-jugación sobre Gn y transforma matrices canónicas primitivas en matricescanónicas primitivas y que se tiene

|orbDn(A)| = (q − 1)|H|,

donde H es un subconjunto A-admisible maximal deJ = {(i, j)|1 ≤ i < j ≤ n}. A continuación damos una acotación inferior delas matrices Dn conjugadas.

Teorema 6.3.1. Sea A ∈ Gn una matriz canónica primitiva. Entonces elnúmero de sus matrices Dn-conjugadas es mayor o igual a

(q − 1)[n+12

]

y es igual a esa cantidad si A es quasimonomial.

Demostración. Empecemos por la segunda afirrmación. Sea P una particiónde 1, . . . , n en n/2 subconjuntos de dos elementos si n es par, y en (n− 3)/2subconjuntos de dos elementos y un subconjunto de tres elementos si n esimpar:{

{1, . . . , n} = {i1, j1} ∪ · · · ∪ {ir, jr}, r = n/2;{1, . . . , n} = {i1, j1} ∪ · · · ∪ {ir, jr} ∪ {ir+1, jr+1, kr+1}, r = (n− 3)/2.

Entonces las matrices quasimonomiales A con casillas no nulas en loslugares correspondientes tienen n+ 1 valores no nulos en los pivotes:

{ai1,j1 , . . . , air ,jr , r = n/2;ai1,j1 , . . . , air ,jr , air+1,jr+1, ajr+1,kr+1, r = (n− 3)/2.

Es claro que el grafo correspondiente es libre de ciclos de modo que

|H| = [n+12 ] y por lo tanto, cada una de estas matrices tiene (q − 1)[

n+12

]

matrices Dn -conjugadas. Por otra parte, una matriz canónica A con menosde n+1 lugares no nulos no llega a implicar a todos los índices de {1, . . . , n}y por lo tanto será primitiva.

170 Capítulo 6

6.4. Matrices canónicas primitivas quasimonomiales

En este párrafo estudiamos las matrices canónicas primitivas que corres-ponden a los modelos de matrices canónicas quasimonomiales, es decir, elgrafo está constituido únicamente por las líneas de pivotes.

Proposición 6.4.1. Sea A = (aij) una matriz canónica no quasimonomialde Gn y Aπ su correspondiente matriz quasimonomial. Entonces

|H(A)| > |H(Aπ)|

y

|orbDn(A)| = (q − 1)|H(A)| > |orbDn

(Aπ)| = (q − 1)|H(Aπ)|

Demostración. El grafo Γ(Aπ) consiste en líneas correspondientes a la apli-cación pivote. Veamos que sis auv 6= 0, entonces Γ(Aπ)∪ (u, v) es un subcon-junto admisible de A. Para ello basta ver que u y v corresponden a distintaslíneas del grafo de Γ(Aπ). en efecto, en caso contrario, como π(u) 6= v, ten-dremos u = πr(i), v = πs(i) con s > r+1 de modo que s− 1 > r y el pivote(πs−1(i), πs(i)) está bajo (u, v) en su misma columna, de modo que (u, v) esun punto inerte y auv = 0, contra la elección.

Váse el artículo [10, p. 85-124] Th. 4 , pg. 88 y Th. 5, 2 hojas y elcorolario.

Observación. Las matrices canónicas se pueden agrupar según su aplica-ción pivote. La correspondiente unión de clases de conjugación constituyeuna clase bilátera.

Definimos los siguientes subconjuntos y cardinales:Pn,k: conjunto de particiones de {1, . . . , n} en k subconjuntos. Pn,k =

|Pn,k|Pn,k,s: conjunto de particiones de {1, . . . , n} en k subconjuntos con exac-

tamente s singuletes. Pn,k,s = |Pn,k,s|P0n,k = Pn,k,0: conjunto de particiones de {1, . . . , n} en k subconjuntos

sin singuletes. P 0n,k = |P0

n,k|.

Dada una partición π ∈ Pn,k,s con s > 0, queda determinada la combi-nación 1 ≤ i1 < · · · < is ≤ n, y y una partición sin singuletes π ∈ P0

n−s,k−s.Como esta aplicación es biyectiva resulta

Pn,k,s =

(n

s

)

P 0n−s,k−s (1)


Por otra parte es inmediato que

Pn,k =

k∑

s=0

Pn,k,s (2)

De (1) y (2) se sigue que

Pn,k =

k∑

s=0

(n

s

)

P 0n−s,k−s

cuya correspondiente fórmula de inversión es

P 0n,k =

k∑

s=0

(−1)s(n

s

)

Pn−s,k−s

Podemos observar la tabla siguiente correspondiente a valores de P 0n,k:

P 0n,k k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8

n = 2 1 0n = 3 1 0 0n = 4 1 3 0 0n = 5 1 10 0 0 0n = 6 1 25 15 0 0 0n = 7 1 56 105 0 0 0 0n = 8 1 119 490 105 0 0 0 0

Como ejemplo podemos observar los modelos correspondientes a matricesquasimonomiales primitivas de tamaño 8×8 con 2 componentes conexas son

• −→ • −→ • −→ • −→ • −→ •

• −→ •

• −→ • −→ • −→ • −→ •• −→ • −→ •

• −→ • −→ • −→ •• −→ • −→ • −→ •

Para la primer modelo tenemos(82

)= 28, para el segundo modelo

(83

)= 56

y para el tercer modelo(84

)= 35. La suma de todos los modelos corresponde

a la función P 08,2 = 119 = 28 + 56 + 35.

172 Capítulo 6

6.5. Matrices canónicas primitivas de Gn con[n+12

]+λ,

λ = 0, 1, 2 casillas no nulas

Tratamos de encontrar las matrices canónicas primitivas de Gn con[n+12

]+ λ casillas no nulas con cualquier valor no nulo

Denotamos Aλ el conjunto de matrices canónicas primitivas de Gn con,exactamente,

[n+12

]+ λ casillas no nulas fuera de la diagonal principal.

Para n = 2, 3, 4, 5 se tienen los siguientes grafos simplemente conexos dematrices canónicas:

g21: 1 2

g31: 1 2 3

g41: 1 2 3 4

g42: 1 2

3 4

g51: 1 2 3 4 5

g52: 1 2 5

3 4

g53: 1 2

3 4 5

g54: 1 2 3

4 5

g55: 2 3

1 4 5

Las líneas g21, g31, g41, g51 pueden considerarse como extensiones de laidentidad. Observamos que la célula de los grafos g52, g53 es el grafo g42 yla de los grafos g54, g55 es el trasladado del grafo g42 aumentando en unaunidad todos sus índices.

[n+12

]+ λ casillas no nulas 173

Para n = 6 los grafos simplemente conexos de matrices canónicas son:

Un grafo lineal extensión de la identidad.

3 · 22 = 12 grafos extensiones de la célula g42 y sus dos trasladadas.

Las siguientes cinco células:

g61: 1 2 3

4 5 6

g62: 1 2

3 4

5 6

g63: 1 2 4

3 5 6

g64: 1 4

5 6

2 3

g65: 3 6

1 2

4 5

Hay que señalar que, aparte de estos, el otro único grafo conexo (nosimplemente) de matrices canónicas de G6 es

174 Capítulo 6

1 2 5 6

3 4 (3)

En las fórmulas del siguiente teorema convenimos que 1(k−u)! = 0 si k < u.

Teorema 6.5.1. Las matrices canónicas de Aλ, λ = 0, 1, 2, cumplen lassiguientes propiedades:

1. Si A ∈ Aλ entonces su grafo tiene todas sus componentes simplementeconexas.

2. Si B ∈ Gn tiene sus casillas no nulas exactamente en los mismos luga-res que una matriz A ∈ Aλ entonces B ∈ Aλ. Por lo tanto

|Aλ| = aλ(q − 1)[n+12 ]+λ, (4)

donde aλ es el número de disposiciones de matrices canónicas de Aλ.

[n+12


3. a) λ = 0. Si n = 2k es par entonces el número de componentesconexas es r = k y el grafo de A corresponde a la partición de[1, n] en componentes conexas según el esquema

2k =

k︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

Si n = 2k+1 es impar entonces el número de componentes conexases r = k y el grafo de A corresponde a la partición de [1, n] encomponentes conexas según el esquema

2k + 1 = 3 +

k−1︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

En consecuencia,

a0 =

( 2k2 ... 2

)1k! = (n− 1)!!, si n = 2kes par

( 2k+13 2 ... 2

)1

(k−1)! =(n3

)(n − 4)!! si n = 2k + 1 es impar

(5)

176 Capítulo 6

b) λ = 1. Entonces e = 0, r =[n2

]− 1. Si n = 2k es par, entonces

el número de componentes conexas es r = k − 1 y el grafo de Acorresponde a la partición de [1, n] en componentes conexas segúnuno de los esquemas

2k = 4 +

k−2︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k = 3 + 3 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · · + 2

Si n = 2k + 1 es impar, entonces el número de componentes co-nexas es r = k − 1 y el grafo de A corresponde a la partición de[1, n] en componentes conexas según uno de los esquemas

2k + 1 = 5 +

k−2︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k + 1 = 4 + 3 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · · + 2

2k + 1 = 3 + 3 + 3 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

En consecuencia,

a1 =

2 ·( 2k4 2 ... 2

)1

(k−2)! +( 2k3 3 2 ... 2

)12!

1(k−3)!

si n = 2k es par

5 ·( 2k+15 2 ... 2

)1

(k−2)! + 2 ·( 2k+14 3 2 ... 2

)1

(k−3)!

+( 2k+13 3 3 2 ... 2

)13!

1(k−4)!

si n = 2k + 1 es impar

(6)

[n+12


c) λ = 2. Entonces e = 0, r =[n2

]− 2. Si n = 2k es par, entonces

entonces el número de componentes conexas es r = k−2 y el grafode A corresponde a la partición de [1, n] en componentes conexassegún uno de los esquemas

2k = 6 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k = 5 + 3 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · · + 2

2k = 4 + 4 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · · + 2

2k = 4 + 3 + 3 +

k−5︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k = 3 + 3 + 3 + 3 +

k−6︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

Si n = 2k+1 es impar, entonces entonces el número de componen-tes conexas es r = k−2 y el grafo de A corresponde a la particiónde [1, n] en componentes conexas según uno de los esquemas

2k + 1 = 7 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k + 1 = 6 + 3 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · · + 2

2k + 1 = 5 + 4 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · · + 2

2k + 1 = 5 + 3 + 3 +

k−5︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k + 1 = 4 + 4 + 3 +

k−5︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k + 1 = 4 + 3 + 3 + 3 +

k−6︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2k + 1 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +

k−7︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

178 Capítulo 6

En consecuencia,

a2 =

18 ·( 2k6 2 ... 2

)1

(k−3)! + 5 ·( 2k5 3 2 ... 2

)1

(k−4)!

+2 · 2 ·(

2k4 4 2 ... 2

)12!

1(k−4)! + 2 ·

(2k

4 3 3 2 ... 2

)12!

1(k−5)!

+( 2k3 3 3 3 2 ... 2

)14!

1(k−6)!

si n = 2k es par

77 ·(

2k+17 2 ... 2

)1

(k−3)! + 18 ·(

2k+16 3 2 ... 2

)1

(k−4)!

+5 · 2 ·( 2k+15 4 2 ... 2

)1

(k−4)! + 5 ·( 2k+15 3 3 2 ... 2

)12!

1(k−5)!

+2 · 2 ·(

2k+14 4 3 2 ... 2

)12!

1(k−5)!

+2 ·( 2k+14 3 3 3 2 ... 2

)13!

1(k−6)!

+( 2k+13 3 3 3 3 2 ... 2

)15!

1(k−7)!

si n = 2k + 1 es impar(7)

Demostración. 1. En general, siguiendo la notación de [13], expresamosel grafo de una matriz canónica A como la unión de sus componentesconexas:

γ = (ν, δ) = ξ1 ∪ · · · ∪ ξr, ξi = (νi, δi),

vi = |νi|, di = |δi|, v = |ν| =∑

i

vi, d = |δ| =∑

i

di, (8)

donde νiy δi son, respectivamente, el conjunto de vértices y el conjuntode aristas de ξi.

Para cada componente conexa, se tiene la relación

di = vi − 1 + ei, ei ≥ 0. (9)

donde los valores ei = 0 corresponden a las componentes simplementeconexas (sin ciclos). De las relaciones anteriores, tomando e =

∑

i ei sesigue

d = v − r + e. (10)

Además, cada componente conexa tiene al menos dos vértices (no consi-deramos los singuletes), es decir vi ≥ 2 y, por lo tanto, v =

∑

i vi ≥ 2r.La condición para que A sea primitiva es que v = n. Por lo tanto, ennuestro caso, es r ≤ n

2 . Expresemos

d =

[n+ 1

2

]

+ λ. (11)

Entonces (11) toma la forma[n+ 1

2

]

+ λ = n− r + e,

[n+12


de donde

λ =[n

2

]

− r + e,[n

2

]

− r ≥ 0, e ≥ 0. (12)

Consideremos el caso e > 0. Examinando la tabla de mattrices canóni-cas de Gn para n sucesivos, observamos que para n = 2, 3, 4, 5 los grafosde las matrices canónicas son simplemente conexos y el primer grafono simplemente conexo corresponde a n = 6 y es el grafo (3). Por lotanto, si para alguna componente conexa, es e1 ≥ 1 entonces v1 ≥ 6 loque junto con vi ≥ 2 produce n = v1+

∑

k>1 vi ≥ 6+2(r−1) = 2r+4,de donde r ≤

[n2

]− 2 y

[n2

]− r ≥ 2 y

λ =[n

2

]

− r + e ≥ 2 + 1 = 3.

De este modo queda probado que para λ = 0, 1, 2, se tiene e = 0 y porlo tanto ei = 0 para todas las componentes conexas.

2. La matriz B es canónica si y sólo si lo son sus componentes simplemen-te conexas. Por lo tanto basta demostrar la afirmación para matricescanónicas con grafo simplemente conexo. En los términos del Lema 2,Definición 3 y el Teorema 4 de [10, pp.87-88], este significa que todo elgrafo común de A y B es admisible y por lo tanto estas dos matricesson diagonal-conjugadas y ambas canónicas por serlo A.

180 Capítulo 6

3. a) λ = 0. Según el apartado 1, de las relaciones (12) se sigue que elnúmero de componentes es

r =[n

2

]

Teniendo en cuenta que cada componente conexa tiene al menosdos vértices, escribimos

vi = 2 + wi, wi ≥ 0, i = 1, . . . , r.

Si n = 2k es par tenemos

n = 2k =k∑

i=1

vi =k∑

i=1

(2 +wi) = 2k +k∑

i=1

ui

=⇒k∑

i=1

ui = 0 =⇒ ui = 0, i = 1, . . . , r

Así tenemos la descomposición de

n =

k︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

y el correspondiente número de particiones de [1, n] dado en elenunciado.

Si n = 2k + 1 es impar tenemos

n = 2k + 1 =

k∑

i=1

vi =

k∑

i=1

(2 + wi) = 2k +

k∑

i=1

ui

=⇒k∑

i=1

ui = 1 =⇒ u1 = 1, ui = 0, i = 2, . . . , r

Así tenemos la descomposición de

n = 3 +

k−1︷︸︸︷

2 + · · · + 2

y el correspondiente número de particiones de [1, n] dado en elenunciado.

Para cuantficarlas procedemos delsiguiente modo:

Caso n = 2k. Elegimos 2 índices entre los n, lo que se puedehacer de

(n2

)maneras distintas; elegimos 2 índices entre los n −

2 restantes, lo que se puede hacer de(n−22

)maneras distintas;

procedemos así hasta elegir 2 entre los 4 restantes, lo que se puede

[n+12


hacer de(42

)maneras distintas. En total tenemos una partición

de n en 2+ · · ·+2 subconjuntos teniendo en cuenta el orden. Porlo tanto tenemos que dividir por k!. En resumen:

a0 =

(2k

2

)(2k − 2

2

)

· · ·(4

2

)(2

2

)

· 1

k!= (n− 1)!!

Caso n = 2k + 1. Exactamente una de las componentes conexases de tamaño 3 y el resto de tamaño 2. Elegir los tres índices sepuede hacer de

(n3

)maneras distintas. Luego queda el problema

del caso par correspndiente a n− 3 es decir el factor (n− 4)!!. Entotal:

a0 =

(n

3

)

(n− 4)!!

182 Capítulo 6

b) λ = 1. Si n = 2k es par tenemos

n = 2k =

k−1∑

i=1

vi =

k−1∑

i=1

(2 + wi) = 2k − 2 +

k∑

i=1

ui

=⇒k∑

i=1

ui = 2.

Cada descomposición de (4) como suma de positivos da lugar auna partición de [1, n]

2 = 2 −→ 2k = 4 +

k−2︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

2 = 1 + 1 −→ 2k = 3 + 3 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

la cual a su vez da lugar a un sumando de a1.

Si n = 2k + 1 es par tenemos

n = 2k + 1 =

k−1∑

i=1

vi =

k−1∑

i=1

(2 +wi) = 2k − 2 +

k∑

i=1

ui

=⇒k∑

i=1

ui = 3.

Cada descomposición de (5) como suma de positivos da lugar auna partición de [1, n]:

3 = 3 −→ 2k + 1 = 5 +

k−2︷︸︸︷

2 + · · · + 2

3 = 2 + 1 −→ 2k + 1 = 4 + 3 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

3 = 1 + 1 + 1 −→ 2k + 1 = 3 + 3 + 3 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2


[n+12


c) λ = 2. Si n = 2k es par tenemos

n = 2k =

k−2∑

i=1

vi =

k−2∑

i=1

(2 + wi) = 2k − 4 +

k∑

i=1

ui

=⇒k∑

i=1

ui = 4.

Cada descomposición de (6) como suma de positivos da lugar auna partición de [1, n]

4 = 4 −→ 2k = 6 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

4 = 3 + 1 −→ 2k = 5 + 3 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · · + 2

4 = 2 + 2 −→ 2k = 4 + 4 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · · + 2

4 = 2 + 1 + 1 −→ 2k = 4 + 3 + 3 +

k−5︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

4 = 1 + 1 + 1 + 1 −→ 2k = 3 + 3 + 3 + 3 +

k−6︷︸︸︷

2 + · · · + 2


184 Capítulo 6

.

Si n = 2k + 1 es par tenemos

n = 2k + 1 =k−2∑

i=1

vi =k−2∑

i=1

(2 +wi) = 2k − 4 +k∑

i=1

ui

=⇒k∑

i=1

ui = 5.

Cada descomposición de (7) como suma de positivos da lugar auna partición de [1, n]:

5 = 5 −→ 2k + 1 = 7 +

k−3︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

5 = 4 + 1 −→ 2k + 1 = 6 + 3 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

5 = 3 + 2 −→ 2k + 1 = 5 + 4 +

k−4︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

5 = 3 + 1 + 1 −→ 2k + 1 = 5 + 3 + 3 +

k−5︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

5 = 2 + 2 + 1 −→ 2k + 1 = 4 + 4 + 3 +

k−5︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

5 = 2 + 1 + 1 + 1 −→ 2k + 1 = 4 + 3 + 3 + 3 +

k−6︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 −→ 2k + 1 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +

k−7︷︸︸︷

2 + · · ·+ 2


Afirmamos que las matrices canónicas de T n son en número múltiplos de(q − 1)[(n+1)/2]. Estas las hemos llamado matrices canónicas primitivas (en[13]) siendo las que corresponden a las canónicas que no tienen quebradasnulas. Afirmamos que el número de casillas no nulas no pivotes de una matrizcanónica primitiva es al menos [(n + 1)/2] y por tanto el número de clasesde conjugación de las mismas es congruente con 0 modulo (q−1)[(n+1)/2]. Elmodelo que le corresponde es

• •...

• •ó

• • •...

• •

siendo el número de componentes k para n = 2k ó n = 2k + 1. Para λ = 0y λ = 1 calculamos ahora los coeficientes a0(n) y a1(n) explícitamente. Sea

[n+12


n = 2k + e con e = 0, 1 veamos que

a0(n) =

(

2

[n+ 1

2

]

− 1

)

!!

(

[n+12 ]− 4

3· e+ 1

)

,

a1(n) =

(

2

[n+ 1

2

]

− 1

)

!![n2 ]([

n2 ]− 1)q1(n)

27 · 6 ,

donde

q1(n) = (2[n

2

]2+ 5

[n

2

]

) · e+ 3([n

2

]

+ 1)(5(1 − e) + 1).

A continuación veremos los modelos de las componentes conexas que corres-ponden a a0(2k), a0(2k + 1), a1(2k) y a1(2k + 1).

1. Coeficiente a0(2k).Se tiene

a0(n) =

{

(n− 1)!! si n = 2k

(n+ 1)!! (n−1)/23 si n = 2k + 1

Si n = 2k, las matrices canónicas correspondientes a pivotes de matri-

ces primitivas quasimonomiales con exactamente (q − 1)[n+12

] bullets ytienen la descomposición en ciclos siguiente:

• •

• •

...

• •

Su número es(2k2

)(2k−22

)(2k−42

)· · ·(22

)

k!

=2k(2k − 1)

2

(2k − 2)(2k − 3)

2

(2k − 4)(2k − 5)

2· · · 1

=(2k − 1)(2k − 3)(2k − 5) · · · k(k − 1)(k − 2) · · · 2 · 1

k!= (2k − 1)!!

186 Capítulo 6

2. Coeficiente a0(2k + 1).Los pivotes correspondientes tienen la descomposición en ciclos siguien-te:

• • •

• •

...

• •

Su número es

(2k+13

)(2k+1−32

)(2k+1−52

)· · ·(22

)

(k − 1)!

=(2k + 1)(2k)(2k − 1)

6

(2k−1)(2k−3)2

(2k−4)(2k−5)2 · · · 1

(k − 1)!

= (2k + 1)(2k − 1)(2k − 3) · · · k(k − 1)(k − 2) · · · 13 · (k − 1)!

= (2k + 1)!!k

3

3. Coeficiente a1(n).Se tiene

a1(n) =

{

(2k − 1)!! (k+1)k(k−1)9 si n = 2k

(2k + 1)!!k(k−1)(2k2+8k+3)27·6 si n = 2k + 1

Si n = 2k, los pivotes correspondientes tienen la descomposición enciclos siguientes:

• • • •• •

...

• •(A)

• • •• • •

...

• •(B)

• •• •

...

• •(C)

[n+12


Su número es

(A)

(2k4

)(2k−42

)(2k−62

)· · ·(22

)

(k − 2)!= (2k − 1)!!

k(k − 1)

6

(B)

(2k3

)(2k−33

)

2!

(2k−62

)(2k−82

)· · ·(22

)

(k − 3)!= (2k − 1)!!

(k + 1)k(k − 1)

9

(C)

(2k4

)(2k−42

)(2k−62

)· · ·(22

)

(k − 2)!= (2k − 1)!!

k(k − 1)

6

Haciendo la suma de (A), (B) y (C) obtenemos:

(2k − 1)!!k(k − 1)

6+ (2k − 1)!!

(k + 1)k(k − 1)

9+ (2k − 1)!!

k(k − 1)

6

= (2k − 1)!!(k + 1)k(k − 1)

9

Si n = 2k + 1, los pivotes correspondientes tienen la descomposiciónen ciclos siguientes:

• • • • •• •• •

...

• •

(A)

• • • •• • •• •

...

• •

(B)

• • •• • •• • •• •

...

• •

(C)

• •• • •• •• •

...

• •

(D)

188 Capítulo 6

• • •• •• •• •

...

• •

(E)

• • •• •• •• •

...

• •

(F )

• •• • •

• •• •

...

• •

(G)

• •• •• • •• •

...

• •

(H)

Su número es

(A)

(2k+15

)(2k−42

)(2k−62

)· · ·(22

)

(k − 2)!= (2k − 1)!!

k(k − 1)

30

(B)

(2k+14

)(2k−33

)(2k−62

)(2k−82

)· · ·(22

)

(k − 3)!= (2k − 1)!!

k(k − 1)(k − 2)

18

(C)

(2k+13

)(2k−23

)(2k−53

)(2k−82

)· · ·(22

)

3!(k − 4)!= (2k − 1)!!

k(k − 1)(k − 2)(k − 3)

81

[n+12


(D)

(2k+15

)(2k−42

)(2k−62

)· · ·(22

)

(k − 2)!

(E)

(2k+15

)(2k−42

)(2k−62

)· · ·(22

)

(k − 2)!

(F )

(2k+15

)(2k−42

)(2k−62

)· · ·(22

)

(k − 2)!

(G)

(2k+15

)(2k−42

)(2k−62

)· · ·(22

)

(k − 2)!

(H)

(2k+14

)(2k−33

)(2k−62

)(2k−82

)· · ·(22

)

(k − 3)!

Haciendo la suma de (A), (B), (C), (D), (E), (F ), (G) y (H) obtenemosque es igual a:

(2k + 1)!!k(k − 1)(2k2 + 8k + 3)

27 · 6 .

190 Capítulo 6

6.6. Matrices canónicas primitivas de Gn con exacta-mente i ≤

[n−12

]casillas no nulas

En esta sección haremos un breve estudio sobre las matrices canónicasprimitivas de Gn con exactamente i ≤

[n−12

]casillas no nulas, para ello

damos la siguiente definición.

Definición. Definimos bk(n) como el número de disposiciones de matricescanónicas de tamaño n×n con exactamente k casillas no nulas y que tienenla particularidad de que cualesquiera k valores de F∗

q en esas casillas origina

matrices canónicas, es decir (q−1)k matrices canónicas para cada disposicióny por lo tanto suma en r(Gn) como bk(n)(q − 1)k. El carácter inerte o deramificación sólo depende del valor nulo o no nulo de la casilla.

Sean bk,i es el número de matrices canónicas primitivas de tamaño i× icon k casillas no nulas.

Teorema 6.6.1. Se tiene la siguiente igualdad

bk(n) =

2k∑

i=k+1

bk,i

(n

i

)

.

En la siguiente tabla aparecen los valores de bk(n) para n = 4, . . . , 16 yk = 1, . . . , 6.

b1(n) b2(n) b3(n) b4(n) b5(n) b6(n)

n = 4 6 7 2 0 0 0n = 5 10 25 20 5 0 0n = 6 15 65 105 70 18 1n = 7 21 140 385 490 301 84n = 8 28 266 1120 2345 2604 1568n = 9 36 462 2772 8715 15372 15862n = 10 45 750 6090 26985 69825 110530n = 11 55 1155 12210 72765 261261 576617n = 12 66 1705 22770 176055 841302 2413903n = 13 78 2431 40040 390390 2403258 8550451n = 14 91 3367 67067 805805 6225219 26621504n = 15 105 4550 107835 1566565 14864850 74855690n = 16 120 6020 167440 2894710 33137104 193832548

A continuación haremos una breve descripción para el cálculo de los bk(n)con k = 1, 2, 3. Cálculos más prolijos se emplean para el cálculo de b4(n),b5(n) y b6(n).

Coeficiente b1(n)

Calculemos b1(n), es decir, el número de disposiciones de matrices canóni-cas de tamaño n×n con exactamente 1 casilla no nula. Para ello observamos

[n−12


que a este concepto corresponden las disposiciones de las matrices canónicasque tienen como grafo el siguiente:

• •

El número de disposiciones de este tipo es(n2

).

Coeficiente b2(n)

Calculemos b2(n), es decir, el número de disposiciones de matrices ca-nónicas de tamaño n × n con exactamente 2 casillas no nulas. Para elloobservamos que a este concepto corresponden las disposiciones de las matri-ces canónicas que tienen uno de los dos grafos siguientes:

• • •


).

• •

• •

El número de disposiciones de este tipo es

(n2

)(n−22

)

2. En total

b2(n) =

(n

3

)

+

(n2

)(n−22

)

2=

(n

3

)

+ 3

(n

4

)

.

Coeficiente b3(n)

Calculemos b3(n), es decir, el número de disposiciones de matrices ca-nónicas de tamaño n × n con exactamente 3 casillas no nulas. Para elloobservamos que a este concepto corresponden las disposiciones de las matri-ces canónicas que tienen uno de los cuatro grafos el siguientes:

• • • •


).

192 Capítulo 6

• •

• •


).

• •

• • •

El número de disposiciones de este tipo es

(n

3

)(n− 3

2

)

.

• •

• •

• •

El número de disposiciones de este tipo es1

3!

(n

2

)(n− 2

2

)(n− 4

2

)

.

En total

b3(n) =

(n

4

)

+

(n

4

)

+

(n

3

)(n− 3

2

)

+1

3!

(n

2

)(n− 2

2

)(n− 4

2

)

= 2

(n

4

)

+ 10

(n

5

)

+ 15

(n

6

)

.

Haciendo uso de los grafos anteriormente descritos y un poco de combinatoriaes fácil ver cómo se van generando los coeficientes bk(n) anteriormente cita-dos. Un hecho importante es que estos coeficientes coinciden con las µi(n)obtenidos en el Capítulo 4, cabe observar que describirían aquellas dispo-siciones de matrices canónicas de buen comportamiento, es decir, que a lahora de hacer el estudio sobre cualquier casilla no hubiese ninguna condición(véase Capítulo 3).

Para terminar, en la siguiente tabla podemos observar los datos obte-nidos para n = 3, . . . , 13 referentes al número de matrices canónicas conexactamente i ≤ [n−1

2 ] casillas no nulas.

[n−12


i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6

n=3 3

n=4 6

n=5 10 25

n=6 15 65

n=7 21 140 385

n=8 28 266 1120

n=9 36 462 2772 8715

n=10 45 750 6090 26985

n=11 55 1155 12210 72765 261261

n=12 66 1705 22770 176055 841302

n=13 78 2431 40040 390390 2403258 9766471

AListado de matrices canónicas

A continuación listamos la totalidad de matrices canónicas para cada unode estos p-grupos. Trabajamos ahora en general con q potencia primaria.Convenimos en lo siguiente:

A = In +∑

(i,j)∈JaijEij

con aij ∈ {0, θ, •}, donde el símbolo 0 indica el valor cero en un punto inerte,el símbolo θ indica el valor cero en un punto de ramificación y, finalmente,el símbolo • indica un valor no cero y, consiguientemente, está situado enun punto de ramificación. Así, podemos contar la totalidad de puntos deramificación en orden a determinar el cardinal de los centralizadores de lascorrespondientes matrices canónicas.

En la lista que sigue, el símbolo ({λi1 , . . . , λit}; a b) indica que existen(q − 1)b matrices canónicas diferentes de tipo {λe1

i1, . . . , λet

it} con orden del

centralizador qa.

Las matrices canónicas de G3 son

({θ3}; [q3]1), ({θ2, •}; [q3](q−1)), ({θ, •, 0}; [q2](q−1)),

({•, θ, 0}; [q2](q−1)), ({•2, 0}; [q2](q−1)2).

Por consiguiente, tenemos ∆G3= ([q3]q, [q2]q

2−1) y r(G3) = q2 + q − 1..

195

196

Las matrices canónicas de G4 son:

θ θ θ θ θ θ 6 0θ θ θ θ θ • 6 1θ θ θ θ • 0 5 1θ θ θ • 0 0 4 1θ θ • θ θ 0 5 1θ θ • θ • 0 5 2θ θ • • 0 0 4 2θ • 0 θ 0 θ 4 1θ • 0 θ 0 • 4 2θ • 0 • 0 0 3 2• θ 0 θ θ 0 4 1• θ 0 θ • 0 4 2• θ 0 • θ 0 4 2• θ 0 • • 0 4 3• • 0 θ 0 0 3 2• • 0 • 0 0 3 3

Por consiguiente, tenemos ∆G4= ([q6]q, [q5]q

2−1, [q4]q3+q2−2q, [q3]q

3−q2−q+1)

y r(G4) = 2q3 + q2 − 2q.

Apéndice 197

Las matrices canónicas de H7 son:

θ θ θ θ θ θ θ 7 0θ θ θ θ θ θ • 7 1θ θ θ θ θ • θ 7 1θ θ θ θ θ • • 7 2θ θ θ θ • 0 θ 6 1θ θ θ θ • 0 • 6 2θ θ θ • 0 0 θ 5 1θ θ θ • 0 0 • 5 2θ θ • θ θ 0 θ 6 1θ θ • θ θ 0 • 6 2θ θ • θ • 0 θ 6 2θ θ • θ • 0 • 6 3θ θ • • 0 0 θ 5 2θ θ • • 0 0 • 5 3θ • 0 θ 0 θ θ 5 1θ • 0 θ 0 θ • 5 2θ • 0 θ 0 • θ 5 2θ • 0 θ 0 • • 5 3θ • 0 • 0 0 θ 4 2θ • 0 • 0 0 • 4 3• θ 0 θ θ 0 θ 5 1• θ 0 θ θ 0 • 5 2• θ 0 θ • 0 θ 5 2• θ 0 θ • 0 • 5 3• θ 0 • θ 0 θ 5 2• θ 0 • θ 0 • 5 3• θ 0 • • 0 θ 5 3• θ 0 • • 0 • 5 4• • 0 θ 0 0 θ 4 2• • 0 θ 0 0 • 4 3• • 0 • 0 0 θ 4 3• • 0 • 0 0 • 4 4

Se tiene

∆H7= ([q7]q

2, [q6]q

3−q, [q6]q4 + q3 − 2q2, [q5]q4−q3−q2+q)

y r(H7) =2q4 + q3 − 3q2 = f2q+3(q7).

198


θ θ θ θ θ θ θ θ 8 0θ θ θ θ θ θ θ • 8 1θ θ θ θ θ θ • 0 7 1θ θ θ θ θ • θ θ 8 1θ θ θ θ θ • θ • 8 2θ θ θ θ θ • • 0 7 2θ θ θ θ • 0 θ θ 7 1θ θ θ θ • 0 θ • 7 2θ θ θ θ • 0 • 0 6 2θ θ θ • 0 0 θ 0 5 1θ θ θ • 0 0 • 0 5 2θ θ • θ θ 0 θ θ 7 1θ θ • θ θ 0 θ • 7 2θ θ • θ θ 0 • θ 7 2θ θ • θ θ 0 • • 7 3θ θ • θ • 0 θ θ 7 2θ θ • θ • 0 θ • 7 3θ θ • θ • 0 • 0 6 3θ θ • • 0 0 θ 0 5 2θ θ • • 0 0 • 0 5 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 6 1θ • 0 θ 0 θ θ • 6 2θ • 0 θ 0 θ • θ 6 2θ • 0 θ 0 θ • • 6 3θ • 0 θ 0 • θ θ 6 2θ • 0 θ 0 • θ • 6 3θ • 0 θ 0 • • θ 6 3θ • 0 θ 0 • • • 6 4θ • 0 • 0 0 θ 0 4 2θ • 0 • 0 0 • 0 4 3• θ 0 θ θ 0 θ θ 6 1• θ 0 θ θ 0 θ • 6 2• θ 0 θ θ 0 • 0 5 2• θ 0 θ • 0 θ θ 6 2• θ 0 θ • 0 θ • 6 3• θ 0 θ • 0 • 0 5 3• θ 0 • θ 0 θ 0 5 2

Apéndice 199

• θ 0 • θ 0 • 0 5 3• θ 0 • • 0 θ 0 5 3• θ 0 • • 0 • 0 5 4• • 0 θ 0 0 θ θ 5 2• • 0 θ 0 0 θ • 5 3• • 0 θ 0 0 • θ 5 3• • 0 θ 0 0 • • 5 4• • 0 • 0 0 θ 0 4 3• • 0 • 0 0 • 0 4 4

Se tiene

∆H8= ([q8]q

2, [q7]2q

3−q2−q, [q6]q4 + q3 − 4q2 + 3q − 1,

[q5]2q4−2q3−q+1, [q4]q4 − 2q3 + q2),

y r(H8) = 4q4 − q3 − 3q2 + q = f4q+3(q8).

200


θ θ θ θ θ θ θ θ θ 9 0θ θ θ θ θ θ θ θ • 9 1θ θ θ θ θ θ θ • 0 8 1θ θ θ θ θ θ • 0 0 7 1θ θ θ θ θ • θ θ θ 9 1θ θ θ θ θ • θ θ • 9 2θ θ θ θ θ • θ • 0 8 2θ θ θ θ θ • • 0 0 7 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 7 1θ θ θ θ • 0 θ • 0 7 2θ θ θ θ • 0 • 0 0 6 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ 6 1θ θ θ • 0 0 θ 0 • 6 2θ θ θ • 0 0 • 0 0 5 2θ θ • θ θ 0 θ θ θ 8 1θ θ • θ θ 0 θ θ • 8 2θ θ • θ θ 0 θ • 0 7 2θ θ • θ θ 0 • θ 0 7 2θ θ • θ θ 0 • • 0 7 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 7 2θ θ • θ • 0 θ • 0 7 3θ θ • θ • 0 • 0 0 6 3θ θ • • 0 0 θ 0 θ 6 2θ θ • • 0 0 θ 0 • 6 3θ θ • • 0 0 • 0 0 5 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 6 1θ • 0 θ 0 θ θ • 0 6 2θ • 0 θ 0 θ • θ 0 6 2θ • 0 θ 0 θ • • 0 6 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 6 2

Apéndice 201

θ • 0 θ 0 • θ • 0 6 3θ • 0 θ 0 • • θ 0 6 3θ • 0 θ 0 • • • 0 6 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 4 2θ • 0 • 0 0 • 0 0 4 3• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 7 1• θ 0 θ θ 0 θ θ • 7 2• θ 0 θ θ 0 θ • θ 7 2• θ 0 θ θ 0 θ • • 7 3• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 6 2• θ 0 θ θ 0 • 0 • 6 3• θ 0 θ • 0 θ θ 0 6 2• θ 0 θ • 0 θ • 0 6 3• θ 0 θ • 0 • 0 0 5 3• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 6 2• θ 0 • θ 0 θ 0 • 6 3• θ 0 • θ 0 • 0 0 5 3• θ 0 • • 0 θ 0 θ 6 3• θ 0 • • 0 θ 0 • 6 4• θ 0 • • 0 • 0 0 5 4• • 0 θ 0 0 θ θ 0 5 2• • 0 θ 0 0 θ • 0 5 3• • 0 θ 0 0 • θ 0 5 3• • 0 θ 0 0 • • 0 5 4• • 0 • 0 0 θ 0 0 4 3• • 0 • 0 0 • 0 0 4 4

Se tiene

∆H9= ([q9]q

2, [q8]2q

2−2q, [q7]3q3 − 2q2 − 2q + 1, [q6]2q4+q3−6q2+3q,

[q5]2q4 − 3q3 − q2 + 3q − 1, [q4]q4−2q3+q2),

y r(H9) = 5q4 − q3 − 5q2 + 2q = f5q+3(q9).

202

Las matrices canónicas de H10 = G5 son:

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 10 0θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 10 1θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 9 1θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 8 1θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 7 1θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 9 1θ θ θ θ θ • θ θ • 0 9 2θ θ θ θ θ • θ • 0 0 8 2θ θ θ θ θ • • 0 0 0 7 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ 8 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • 8 2θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 7 2θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 6 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ 7 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • 7 2θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 6 2θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 5 2θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 8 1θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 8 2θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 7 2θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 7 2θ θ • θ θ 0 • • 0 0 7 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 7 2θ θ • θ • 0 θ • 0 0 7 3θ θ • θ • 0 • 0 0 0 6 3θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 6 2θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 6 3θ θ • • 0 0 • 0 0 0 5 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ 7 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • 7 2θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 6 2θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 6 2θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 6 3

Apéndice 203

θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 6 2θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 6 3θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 6 3θ • 0 θ 0 • • • 0 0 6 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ 5 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • 5 3θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 4 3• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 7 1• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 7 2• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 7 2• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 7 3• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 6 2• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 6 3• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 6 2• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 6 3• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 5 3• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 6 2• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 6 3• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 5 3• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 6 3• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 6 4• θ 0 • • 0 • 0 0 0 5 4• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 5 2• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 5 3• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 5 3• • 0 θ 0 0 • • 0 0 5 4• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 4 3• • 0 • 0 0 • 0 0 0 4 4

Por consiguiente tenemos

∆G5=([q10]q, [q9]q

2−1, [q8]3q2−3q, [q7]3q

3−5q+2,

[q6]2q4+q3−6q2+q+2, [q5]2q

4−2q3−3q2+4q−1, [q4]q4−2q3+2q−1)

y

r(G5) =5q4 − 5q2 + 1.

BClases de conjugación de Hn, n = 6, . . . , 15.

El número de matrices canónicas que corresponde a un tipo dado es iguala (q − 1)nb , donde nb es el número de lugares con valor no nulo. Por otrolado, si A es una matriz canónica, entonces |CHn

(A)| = qnr , donde nr esel número de puntos de ramificación, es decir el número de puntos • más elnúmero de puntos θ.

Clases de Conjugación de H6.

Las matrices canónicas de H6 corresponden a los siguientes tipos:

θ θ θ θ θ θ 6θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ • 0 2θ θ θ • 0 0 3θ θ • θ θ 0 4θ θ • θ • 0 2θ θ • • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ 5θ • 0 θ 0 • 1θ • 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 6• θ 0 θ • 0 2• θ 0 • θ 0 3• θ 0 • • 0 2• • 0 θ 0 0 5• • 0 • 0 0 3

TABLA 1

205

206

En la tabla anterior, las 16 filas corresponden a las siguientes matricescanónicas:

∗ θ θ θ∗ θ θ

∗ θ∗

∗ θ θ •∗ θ θ

∗ θ∗

∗ θ • 0∗ θ θ

∗ θ∗

∗ • 0 0∗ θ θ

∗ θ∗

∗ θ θ 0∗ θ •

∗ θ∗

∗ θ • 0∗ θ •

∗ θ∗

∗ • 0 0∗ θ •

∗ θ∗

∗ θ 0 θ∗ • 0

∗ θ∗

∗ θ 0 •∗ • 0

∗ θ∗

∗ • 0 0∗ • 0

∗ θ∗

∗ θ θ 0∗ θ 0

∗ •∗

∗ θ • 0∗ θ 0

∗ •∗

∗ • θ 0∗ θ 0

∗ •∗

∗ • • 0∗ θ 0

∗ •∗

∗ θ 0 0∗ • 0

∗ •∗

∗ • 0 0∗ • 0

∗ •∗

En la Tabla 1, la última columna de números es originada por el algo-ritmo. Dicha columna determina completamente la Tabla 1. En efecto, pararecomponer la Tabla 1 procedemos en dos etapas. En la primera construimosel árbol determinado por los puntos de ramificación. En la segunda, deter-minamos las matrices correspondientes a cada una de las ramas terminalesdel árbol. En la construcción del árbol el primer número indica la cantidadde niveles que hay que subir desde el nivel cero hasta la punta de la primerarama. Los números subsiguientes indican el número de niveles que hay quedescender hasta la bifurcación de la que arranca la rama siguiente.

Apéndice 207

Una vez determinado el árbol, los puntos de ramificación de una matrizcanónica , son los nodos del árbol situados inmediatamente por encima de losnodos de bifurcación, correspondiendo el de la izquierda al valor 0 ( símboloθ) y el de la derecha a los valores no nulos ( símbolo •). En consecuencia,para determinar el tipo de una matriz canónica que corresponde a una ramaterminal, se parte de la base y en cada lugar siguiente se tiene que el punto esinerte si el anterior no es de bifurcación, es de ramificación con valor cero siel punto anterior es de bifurcación y se ha tomado el camino de la izquierday finalmente, es de ramificación con valor no nulo si el punto anterior es debifurcación y se ha tomado el camino de la derecha.

∆(H6) = ([q6]1(q−1)0+1(q−1)1 , [q5]2(q−1)1+1(q−1)2 ,

[q4]3(q−1)1+4(q−1)2+1(q−1)3 , [q3]2(q−1)2+1(q−1)3),

yr(H6) = 1(q − 1)0 + 6(q − 1)1 + 7(q − 1)2 + 2(q − 1)3 = fk(q

6),

con k = 2.

208



θ θ θ θ θ θ θ 7θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ • θ 2θ θ θ θ θ • • 1θ θ θ θ • 0 θ 3θ θ θ θ • 0 • 1θ θ θ • 0 0 θ 4θ θ θ • 0 0 • 1θ θ • θ θ 0 θ 5θ θ • θ θ 0 • 1θ θ • θ • 0 θ 3θ θ • θ • 0 • 1θ θ • • 0 0 θ 4θ θ • • 0 0 • 1θ • 0 θ 0 θ θ 6θ • 0 θ 0 θ • 1θ • 0 θ 0 • θ 2θ • 0 θ 0 • • 1θ • 0 • 0 0 θ 4θ • 0 • 0 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ 7• θ 0 θ θ 0 • 1• θ 0 θ • 0 θ 3• θ 0 θ • 0 • 1• θ 0 • θ 0 θ 4• θ 0 • θ 0 • 1• θ 0 • • 0 θ 3• θ 0 • • 0 • 1• • 0 θ 0 0 θ 6• • 0 θ 0 0 • 1• • 0 • 0 0 θ 4• • 0 • 0 0 • 1

Apéndice 209

∆(H7) = ([p7]1(q−1)0+2(q−1)1+1(q−1)2 , [p6]2(q−1)1+3(q−1)2+1(q−1)3 ,

[p5]3(q−1)1+7(q−1)2+5(q−1)3+1(q−1)4 , [p4]2(q−1)2+3(q−1)3+1(q−1)4)

y

r(H7) = 1(q − 1)0 + 7(q − 1)1 + 13(q − 1)2 + 9(q − 1)3 + 2(q − 1)4

= −2q2 + 1q3 + 2q4

= fk(q7),

dondefk(q

7) = 3(q2 − 1) + q1 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 3q0 + 2q1.

210



θ θ θ θ θ θ θ θ 8θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ 3θ θ θ θ θ • θ • 1θ θ θ θ θ • • 0 2θ θ θ θ • 0 θ θ 4θ θ θ θ • 0 θ • 1θ θ θ θ • 0 • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 5θ θ θ • 0 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ 6θ θ • θ θ 0 θ • 1θ θ • θ θ 0 • θ 2θ θ • θ θ 0 • • 1θ θ • θ • 0 θ θ 4θ θ • θ • 0 θ • 1θ θ • θ • 0 • 0 2θ θ • • 0 0 θ 0 5θ θ • • 0 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 7θ • 0 θ 0 θ θ • 1θ • 0 θ 0 θ • θ 2θ • 0 θ 0 θ • • 1θ • 0 θ 0 • θ θ 3θ • 0 θ 0 • θ • 1θ • 0 θ 0 • • θ 2θ • 0 θ 0 • • • 1θ • 0 • 0 0 θ 0 5θ • 0 • 0 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ 8• θ 0 θ θ 0 θ • 1• θ 0 θ θ 0 • 0 2• θ 0 θ • 0 θ θ 4• θ 0 θ • 0 θ • 1• θ 0 θ • 0 • 0 2• θ 0 • θ 0 θ 0 5• θ 0 • θ 0 • 0 2

Apéndice 211

• θ 0 • • 0 θ 0 4• θ 0 • • 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 θ θ 7• • 0 θ 0 0 θ • 1• • 0 θ 0 0 • θ 2• • 0 θ 0 0 • • 1• • 0 • 0 0 θ 0 5• • 0 • 0 0 • 0 2

∆(H8) = ([p8]1(q−1)0+2(q−1)1+1(q−1)2 , [p7]3(q−1)1+5(q−1)2+2(q−1)3 ,

[p6]2(q−1)1+6(q−1)2+5(q−1)3+1(q−1)4 ,

[p5]1(q−1)1+5(q−1)2+6(q−1)3+2(q−1)4 ,

[p4]1(q−1)2+2(q−1)3+1(q−1)4)

y

r(H8) = 1(q − 1)0 + 8(q − 1)1 + 18(q − 1)2 + 15(q − 1)3 + 4(q − 1)4

= 1q1 − 3q2 − 1q3 + 4q4

= fk(q8),

dondefk(q

8) = 4(q2 − 1) + q0 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 3q0 + 4q1.

212



θ θ θ θ θ θ θ θ θ 9θ θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ θ θ 4θ θ θ θ θ • θ θ • 1θ θ θ θ θ • θ • 0 2θ θ θ θ θ • • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 5θ θ θ θ • 0 θ • 0 2θ θ θ θ • 0 • 0 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ 6θ θ θ • 0 0 θ 0 • 1θ θ θ • 0 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ θ 7θ θ • θ θ 0 θ θ • 1θ θ • θ θ 0 θ • 0 2θ θ • θ θ 0 • θ 0 3θ θ • θ θ 0 • • 0 2θ θ • θ • 0 θ θ 0 5θ θ • θ • 0 θ • 0 2θ θ • θ • 0 • 0 0 3θ θ • • 0 0 θ 0 θ 6θ θ • • 0 0 θ 0 • 1θ θ • • 0 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 8θ • 0 θ 0 θ θ • 0 2θ • 0 θ 0 θ • θ 0 3θ • 0 θ 0 θ • • 0 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 4θ • 0 θ 0 • θ • 0 2θ • 0 θ 0 • • θ 0 3θ • 0 θ 0 • • • 0 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 6θ • 0 • 0 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 9• θ 0 θ θ 0 θ θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ • θ 2• θ 0 θ θ 0 θ • • 1

Apéndice 213

• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 3• θ 0 θ θ 0 • 0 • 1• θ 0 θ • 0 θ θ 0 5• θ 0 θ • 0 θ • 0 2• θ 0 θ • 0 • 0 0 3• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 6• θ 0 • θ 0 θ 0 • 1• θ 0 • θ 0 • 0 0 3• θ 0 • • 0 θ 0 θ 5• θ 0 • • 0 θ 0 • 1• θ 0 • • 0 • 0 0 3• • 0 θ 0 0 θ θ 0 8• • 0 θ 0 0 θ • 0 2• • 0 θ 0 0 • θ 0 3• • 0 θ 0 0 • • 0 2• • 0 • 0 0 θ 0 0 6• • 0 • 0 0 • 0 0 3

∆(H9) = ([p9]1(q−1)0+2(q−1)1+1(q−1)2 , [p8]2(q−1)1+2(q−1)2 ,

[p7]3(q−1)1+7(q−1)2+3(q−1)3 , [p6]2(q−1)1+9(q−1)2+9(q−1)3+2(q−1)4 ,

[p5]2(q−1)2+5(q−1)3+2(q−1)4 , [p4]1(q−1)2+2(q−1)3+1(q−1)4)

y

r(H9) = 1(q − 1)0 + 9(q − 1)1 + 22(q − 1)2 + 19(q − 1)3 + 5(q − 1)4+

= 2q1 − 5q2 − 1q3 + 5q4+

= fk(q9),

dondefk(q

9) = 4(q2 − 1) + q1 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 4q0 + 5q1.

214



θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 10θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 5θ θ θ θ θ • θ θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ • 0 0 3θ θ θ θ θ • • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ 6θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • 1θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 3θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ 7θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 2θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 4θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 8θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 2θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 3θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 4θ θ • θ θ 0 • • 0 0 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 6θ θ • θ • 0 θ • 0 0 3θ θ • θ • 0 • 0 0 0 4θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 7θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 2θ θ • • 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ 9θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • 1θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 4θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 5θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 4θ • 0 θ 0 • • • 0 0 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ 7θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • 1θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 4

Apéndice 215

• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 10• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 3• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 2• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 4• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 2• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 6• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 3• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 4• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 7• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 2• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 4• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 6• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 2• θ 0 • • 0 • 0 0 0 4• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 9• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 3• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 4• • 0 θ 0 0 • • 0 0 3• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 7• • 0 • 0 0 • 0 0 0 4

∆(H10) = ([p10]1(q−1)0+1(q−1)1 ,

[p9]2(q−1)1+1(q−1)2 ,

[p8]3(q−1)1+3(q−1)2 ,

[p7]4(q−1)1+9(q−1)2+3(q−1)3 ,

[p6]9(q−1)2+9(q−1)3+2(q−1)4 ,

[p5]3(q−1)2+6(q−1)3+2(q−1)4 ,

[p4]2(q−1)3+1(q−1)4)

r(H10) = 1(q − 1)0 + 10(q − 1)1 + 25(q − 1)2 + 20(q − 1)3 + 5(q − 1)4+

= 1q0 − 5q2 + 5q4+

= fk(q10),

dondefk(q

10) = 5(q2 − 1) + q0 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 5q0 + 5q1.

216



θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 11θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ • • 1θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ 3θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 • 1θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ 4θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 • 1θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 5θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 • 1θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ 6θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • 1θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ 3θ θ θ θ θ • θ θ • 0 • 1θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ 4θ θ θ θ θ • θ • 0 0 • 1θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 5θ θ θ θ θ • • 0 0 0 • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ 7θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • 1θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ 4θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 • 1θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 5θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ 8θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ 3θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • 1θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 5θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 • 1θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ 9θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 1θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ 3

Apéndice 217

θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 • 1θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ 4θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 • 1θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 5θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 • 1θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 4θ θ • θ θ 0 • • 0 0 • 1θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ 7θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • 1θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ 4θ θ • θ • 0 θ • 0 0 • 1θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 5θ θ • θ • 0 • 0 0 0 • 1θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ 8θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • 1θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ 3θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • 1θ θ • • 0 0 • 0 0 0 θ 5θ θ • • 0 0 • 0 0 0 • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ 10θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 1θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ 4θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 • 1θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 5θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 • 1θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 4θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 • 1θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ 6θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • 1θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ 4θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 • 1θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 5θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 • 1θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 4θ • 0 θ 0 • • • 0 0 • 1θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ 8θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • 1θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • 1θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 5θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 1

218

• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ 11• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ 3• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ 4• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ 3• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 • 1• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 5• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 • 1• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 3• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 • 1• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ 7• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • 1• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ 4• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • 1• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 5• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 • 1• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ 8• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • 1• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ 3• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • 1• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 θ 5• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 • 1• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ 7• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • 1• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ 3• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • 1• θ 0 • • 0 • 0 0 0 θ 5• θ 0 • • 0 • 0 0 0 • 1• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ 10• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 1• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ 4• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 • 1• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 5• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 1• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 4• • 0 θ 0 0 • • 0 0 • 1• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ 8• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • 1• • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 5• • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 1

Apéndice 219

∆(H11) = ([p11]1(q−1)0+2(q−1)1+1(q−1)2 ,

[p10]2(q−1)1+3(q−1)2+1(q−1)3 ,

[p9]3(q−1)1+6(q−1)2+3(q−1)3 ,

[p8]4(q−1)1+13(q−1)2+12(q−1)3+3(q−1)4 ,

[p7]9(q−1)2+18(q−1)3+11(q−1)4+2(q−1)5 ,

[p6]3(q−1)2+9(q−1)3+8(q−1)4+2(q−1)5 ,

[p5]2(q−1)3+3(q−1)4+1(q−1)5)

r(H11) = 1(q − 1)0 + 11(q − 1)1 + 35(q − 1)2

+ 45(q − 1)3 + 25(q − 1)4 + 5(q − 1)5

= 1q1 − 5q3 + 5q5

= fk(q11),

dondefk(q

11) = 5(q2 − 1) + q1 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 5q0 + 5q1 + 5q2.

220



θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 12θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ 3θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ • • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ 4θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 • 0 2θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ θ 5θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ • 1θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 • 0 2θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 6θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ 7θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ • 1θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • θ 2θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • • 1θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ θ 4θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ • 1θ θ θ θ θ • θ θ • 0 • 0 2θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ θ 5θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ • 1θ θ θ θ θ • θ • 0 0 • 0 2θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 6θ θ θ θ θ • • 0 0 0 • 0 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ 8θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • θ 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ θ 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • θ 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • • 1θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ θ 5θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ • 1θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 • 0 2θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 6θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ θ 9

Apéndice 221

θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • θ 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ θ 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • θ 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 4θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • θ 2θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • • 1θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 0 6θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ 10θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ • 1θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ θ 4θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ • 1θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ θ 5θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ • 1θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 6θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 5θ θ • θ θ 0 • • 0 0 • 0 2θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ θ 8θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ • 1θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • θ 2θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • • 1θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ θ 5θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ • 1θ θ • θ • 0 θ • 0 0 • 0 2θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 0 6θ θ • θ • 0 • 0 0 0 • 0 2θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ θ 9θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ • 1θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • θ 2θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • • 1θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 4θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ • 1θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • θ 2θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • • 1

222

θ θ • • 0 0 • 0 0 0 θ 0 6θ θ • • 0 0 • 0 0 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ 11θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ θ 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ θ 5θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ • 1θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 6θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 5θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 • 0 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ θ 7θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ • 1θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • θ 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • • 1θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ θ 5θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ • 1θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 • 0 2θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 0 6θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 • 0 2θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 0 5θ • 0 θ 0 • • • 0 0 • 0 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ θ 9θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ • 1θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • θ 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • • 1θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ θ 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ • 1θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • θ 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • • 1θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 6θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ 12• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ θ 4• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 • 0 2

Apéndice 223

• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ θ 5• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ θ 4• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 6• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 4• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 • 0 2• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ θ 8• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ • 1• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • θ 2• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • • 1• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ θ 5• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ • 1• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • θ 2• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • • 1• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 0 6• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 • 0 2• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ θ 9• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ • 1• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • θ 2• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • • 1• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ θ 4• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ • 1• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • θ 2• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • • 1• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 θ 0 6• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 • 0 2• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ θ 8• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ • 1• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • θ 2• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • • 1• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ θ 4• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ • 1• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • θ 2• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • • 1• θ 0 • • 0 • 0 0 0 θ 0 6• θ 0 • • 0 • 0 0 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ θ 11• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ • 1

224

• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ θ 5• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ • 1• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 0 6• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 0 5• • 0 θ 0 0 • • 0 0 • 0 2• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ θ 9• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ • 1• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • θ 2• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • • 1• • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 6• • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 2

∆(H12) = ([p12]1(q−1)0+2(q−1)1+1(q−1)2 ,

[p11]3(q−1)1+5(q−1)2+2(q−1)3 ,

[p10]3(q−1)1+8(q−1)2+6(q−1)3+1(q−1)4 ,

[p9]3(q−1)1+13(q−1)2+14(q−1)3+4(q−1)4 ,

[p8]1(q−1)1+11(q−1)2+24(q−1)3+18(q−1)4+6(q−1)5+1(q−1)6 ,

[p7]5(q−1)2+13(q−1)3+10(q−1)4+2(q−1)5 ,

[p6]1(q−1)2+7(q−1)3+9(q−1)4+3(q−1)5 ,

[p5]1(q−1)3+2(q−1)4+1(q−1)5)

r(H12) = 1(q − 1)0 + 12(q − 1)1 + 44(q − 1)2 + 67(q − 1)3

+ 44(q − 1)4 + 12(q − 1)5 + 1(q − 1)6

= −1q0 + 3q1 + 2q2 − 9q3 − 1q4 + 6q5 + 1q6

= fk(q12),

dondefk(q

12) = 6(q2 − 1) + q0 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 4q0 + 7q1 + 7q2 + 1q3.

Apéndice 225



θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 13θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ θ 4θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ • • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ θ 5θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ θ 0 6θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 • 0 0 3θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 θ 7θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 • 1θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ θ 8θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ • 1θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • θ 0 3θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ θ θ 5θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ θ • 1θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ • 0 • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ θ 0 6θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ • 0 0 • 0 0 3θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 θ 7θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 • 1θ θ θ θ θ • • 0 0 0 • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ θ 9

226

θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ • 0 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • θ 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • • 0 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ θ θ 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ θ • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ • 0 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • θ 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • • 0 2θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 6θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 2θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 • 0 0 3θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 7θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 1θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ θ 0 10θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • θ 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ θ 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • θ 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 0 5θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • θ 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • • 0 2θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 7θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ 11θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • 1θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ • θ 2θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ • • 1θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 θ 3θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 • 1θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ θ θ 5θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ θ • 1θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ • θ 2θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ • • 1θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ θ 0 6θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ • 0 2θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 θ 7θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 • 1θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 θ 6θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 • 1θ θ • θ θ 0 • • 0 0 • 0 0 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ θ θ 9

Apéndice 227

θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ θ • 1θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ • 0 2θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • θ θ 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • θ • 1θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • • 0 2θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 6θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 2θ θ • θ • 0 θ • 0 0 • 0 0 3θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 7θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 1θ θ • θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 3θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 10θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ • 0 2θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • θ 0 3θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • • 0 2θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 0 5θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ • 0 2θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • θ 0 3θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • • 0 2θ θ • • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 7θ θ • • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 12θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ • θ 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ • • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 θ 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ θ θ 4θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ θ • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ • θ 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ • • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 0 θ 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 0 • 1θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ θ 0 6θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 θ 7θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 • 1θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 θ 6θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 • 1θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ θ θ 8

228

θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ θ • 1θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ • θ 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ • • 1θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • θ θ 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • θ • 1θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • • θ 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • • • 1θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ θ 0 6θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ • 0 2θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 0 θ 7θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 0 • 1θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 0 θ 6θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 0 • 1θ • 0 θ 0 • • • 0 0 • 0 0 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ θ 0 10θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ • 0 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • θ 0 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • • 0 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ θ 0 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ • 0 2θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • θ 0 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • • 0 2θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 7θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ 13• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ θ θ 5• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ θ 0 6• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ θ 0 5• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 θ 7• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 • 1

Apéndice 229

• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 θ 5• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 • 1• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 • 0 0 3• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ θ θ 9• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ θ • 1• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ • 0 2• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • θ 0 3• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • • 0 2• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 6• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 2• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • θ 0 3• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • • 0 2• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 7• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 1• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 3• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 10• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ • 0 2• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • θ 0 3• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • • 0 2• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ θ 0 5• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ • 0 2• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • θ 0 3• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • • 0 2• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 θ 0 0 7• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 • 0 0 3• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 9• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ • 0 2• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • θ 0 3• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • • 0 2• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ θ 0 5• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ • 0 2• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • θ 0 3• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • • 0 2• θ 0 • • 0 • 0 0 0 θ 0 0 7• θ 0 • • 0 • 0 0 0 • 0 0 3• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ θ θ 12• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ θ • 1• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ • θ 2• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ • • 1• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 0 θ 3• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 0 • 1

230

• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ θ 0 6• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ • 0 2• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 • 0 0 3• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 0 θ 7• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 0 • 1• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 0 θ 3• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 0 • 1• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 0 θ 6• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 0 • 1• • 0 θ 0 0 • • 0 0 • 0 0 3• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ θ 0 10• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ • 0 2• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • θ 0 3• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • • 0 2• • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 7• • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 3

∆(H13) = ([p13]1(q−1)0+2(q−1)1+1(q−1)2 ,

[p12]3(q−1)1+4(q−1)2+1(q−1)3 ,

[p11]3(q−1)1+9(q−1)2+6(q−1)3+1(q−1)4 ,

[p10]3(q−1)1+12(q−1)2+12(q−1)3+3(q−1)4 ,

[p9]2(q−1)1+14(q−1)2+21(q−1)3+9(q−1)4+1(q−1)5 ,

[p8]10(q−1)2+29(q−1)3+23(q−1)4+7(q−1)5+1(q−1)6 ,

[p7]1(q−1)2+11(q−1)3+14(q−1)4+4(q−1)5 ,

[p6]1(q−1)2+4(q−1)3+7(q−1)4+3(q−1)5 ,

[p5]1(q−1)3+2(q−1)4+1(q−1)5)

r(H13) = 1(q − 1)0 + 13(q − 1)1 + 52(q − 1)2 + 85(q − 1)3

+ 59(q − 1)4 + 16(q − 1)5 + 1(q − 1)6

= −1q0 + 2q1 + 6q2 − 11q3 − 6q4 + 10q5 + 1q6

= fk(q13),

dondefk(q

13) = 6(q2 − 1) + q1 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 5q0 + 6q1 + 11q2 + 1q3.

Apéndice 231



θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 14θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ θ θ 5θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ θ • • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ θ 0 6θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ θ 0 θ 7θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ θ 0 • 1θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 θ θ 8θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 θ • 1θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 • 0 2θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 • 0 0 0 4θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ θ θ 9θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ θ • 1θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • θ 0 0 4θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ θ θ 0 6θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ θ • 0 • 0 0 0 4θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ θ 0 θ 7θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ θ 0 • 1θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ • 0 0 • 0 0 0 4θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 θ θ 8θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 θ • 1

232

θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 • 0 2θ θ θ θ θ • • 0 0 0 • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ θ 0 10θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ • 0 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • θ 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ θ θ 0 5θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ θ • 0 2θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • θ 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 7θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 0 8θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 0 2θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ θ 0 θ 11θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ θ 0 • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ • 0 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • θ 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • • 0 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ θ 0 θ 5θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ θ 0 • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ • 0 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • θ 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • • 0 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 6θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 3θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • • 0 0 3θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ 8θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 1θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 12θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ • 1θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ • θ 0 3

Apéndice 233

θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ • • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 θ 0 4θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ θ θ 0 6θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ θ • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ • θ 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ • • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 • 0 0 0 4θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ θ 0 θ 7θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ θ 0 • 1θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 • 0 0 0 4θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 θ θ 8θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 θ • 1θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 • 0 0 0 4θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 θ θ 7θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 θ • 1θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 • • 0 0 • 0 0 0 4θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ θ θ 0 10θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ θ • 0 2θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ • 0 0 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • θ θ 0 4θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • θ • 0 2θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • • 0 0 3θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 7θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 0 3θ θ • θ • 0 θ • 0 0 • 0 0 0 4θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 0 8θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 0 2θ θ • θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 θ 11θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 • 1θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ • 0 0 3θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • θ 0 0 4θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • • 0 0 3θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 6θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 3

234

θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 4θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • • 0 0 3θ θ • • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ 8θ θ • • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 1θ θ • • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 0 13θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ • θ 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ • • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 θ 0 4θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ θ θ 0 5θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ θ • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ • θ 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ • • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 0 θ 0 4θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ θ 0 0 7θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 θ 0 8θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 θ 0 7θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 • 0 2θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ θ θ 0 9θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ θ • 0 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ • θ 0 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ • • 0 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • θ θ 0 4θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • θ • 0 2θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • • θ 0 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • • • 0 2θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ θ 0 0 7θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 0 θ 0 8

Apéndice 235

θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 0 • 0 2θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 0 θ 0 7θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 0 • 0 2θ • 0 θ 0 • • • 0 0 • 0 0 0 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ θ 0 0 11θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ • 0 0 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • θ 0 0 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • • 0 0 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ θ 0 0 5θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ • 0 0 3θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • θ 0 0 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • • 0 0 3θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 0 8θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 14• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • θ 2• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 θ 3• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 0 θ 4• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ θ θ 0 6• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 • 0 0 0 4• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ θ 0 θ 7• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ θ 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ • 0 θ 3• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ • 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 • 0 0 0 4• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ θ 0 θ 6• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ θ 0 • 1• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 • 0 0 0 4• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 θ θ 8• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 θ • 1

236

• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 • θ 2• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 • • 1• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 • 0 0 0 4• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 θ θ 6• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 θ • 1• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 • θ 2• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 • • 1• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 • 0 0 0 4• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ θ θ 0 10• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ θ • 0 2• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ • 0 0 3• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • θ 0 0 4• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • • 0 0 3• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 7• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 0 3• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • θ 0 0 4• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • • 0 0 3• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 0 8• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 0 2• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 θ 11• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 • 1• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ • 0 0 3• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • θ 0 θ 4• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • θ 0 • 1• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • • 0 0 3• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 6• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 3• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 4• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • • 0 0 3• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ 8• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 1• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 θ 10• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 • 1• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ • 0 0 3• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • θ 0 0 4• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • • 0 0 3

Apéndice 237

• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 6• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 3• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 4• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • • 0 0 3• θ 0 • • 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ 8• θ 0 • • 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 1• θ 0 • • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ θ θ 0 13• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ θ • 0 2• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ • θ 0 3• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ • • 0 2• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 0 θ 0 4• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 7• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ • 0 0 3• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 • 0 0 0 4• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 0 θ 0 8• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 0 θ 0 4• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 0 θ 0 7• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 0 • 0 2• • 0 θ 0 0 • • 0 0 • 0 0 0 4• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ θ 0 0 11• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ • 0 0 3• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • θ 0 0 4• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • • 0 0 3• • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 0 8• • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 4

238

∆(H14) = ([p14]1(q−1)0+2(q−1)1+1(q−1)2 ,

[p13]2(q−1)1+2(q−1)2 ,

[p12]3(q−1)1+5(q−1)2+1(q−1)3 ,

[p11]4(q−1)1+13(q−1)2+8(q−1)3+1(q−1)4 ,

[p10]3(q−1)1+18(q−1)2+21(q−1)3+6(q−1)4 ,

[p9]12(q−1)2+26(q−1)3+14(q−1)4+2(q−1)5 ,

[p8]6(q−1)2+25(q−1)3+22(q−1)4+7(q−1)5+1(q−1)6 ,

[p7]2(q−1)2+14(q−1)3+17(q−1)4+5(q−1)5 ,

[p6]2(q−1)3+6(q−1)4+3(q−1)5 ,

[p5]1(q−1)3+2(q−1)4+1(q−1)5)

r(H14) = 1(q − 1)0 + 14(q − 1)1 + 59(q − 1)2 + 98(q − 1)3

+ 68(q − 1)4 + 18(q − 1)5 + 1(q − 1)6

= −1q0 + 2q1 + 8q2 − 14q3 − 7q4 + 12q5 + 1q6

= fk(q14),

dondefk(q

14) = 7(q2 − 1) + q0 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 5q0 + 7q1 + 13q2 + 1q3.

Apéndice 239



θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 15θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 0 5θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ θ θ 0 6θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ θ • θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ θ θ θ • • 0 0 0 0 5θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ θ 0 θ 7θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ θ 0 • 1θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ θ 0 θ θ 8θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ θ 0 θ • 1θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ θ 0 • 0 2θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 θ θ θ 9θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 θ θ • 1θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 θ • 0 2θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 θ 0 • 0 0 3θ θ θ θ θ θ • 0 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ θ θ 0 10θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ θ • 0 2θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • θ 0 0 0 5θ θ θ θ θ • θ θ θ 0 • • 0 0 0 4θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ θ θ 0 0 7θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ θ • 0 0 3θ θ θ θ θ • θ θ • 0 θ • 0 0 0 4θ θ θ θ θ • θ θ • 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ θ 0 θ 0 8θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ θ 0 • 0 2θ θ θ θ θ • θ • 0 0 θ • 0 0 0 4

240

θ θ θ θ θ • θ • 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 θ θ 0 9θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 θ • 0 2θ θ θ θ θ • • 0 0 0 θ 0 • 0 0 3θ θ θ θ θ • • 0 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ θ 0 θ 11θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ θ 0 • 1θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ θ • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ θ • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • θ 0 0 0 5θ θ θ θ • 0 θ θ 0 θ • • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ θ θ 0 0 6θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ θ • 0 0 3θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • θ • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • θ 0 0 0 5θ θ θ θ • 0 θ θ 0 • • • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 θ 8θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 • 1θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 0 0 4θ θ θ θ • 0 θ • 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 0 θ 9θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 0 • 1θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 0 0 3θ θ θ θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ θ 0 θ θ 12θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ θ 0 θ • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ θ 0 • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ θ • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • θ 0 0 0 5θ θ θ • 0 0 θ 0 θ θ • • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ θ 0 θ 0 6θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ θ 0 • 0 2θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • θ • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • θ 0 0 0 5θ θ θ • 0 0 θ 0 θ • • • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 θ 7θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 • 1θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 0 5

Apéndice 241

θ θ θ • 0 0 θ 0 • 0 • • 0 0 0 4θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ θ 9θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ • 1θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 0 2θ θ θ • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 0 13θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ • 0 2θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ • θ 0 0 4θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 θ • • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 θ 0 0 5θ θ • θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ θ θ 0 0 7θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ θ • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ • θ 0 0 4θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 θ • • 0 0 3θ θ • θ θ 0 θ θ • 0 • 0 0 0 0 5θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ θ 0 θ 0 8θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ θ 0 • 0 2θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 θ • 0 0 0 4θ θ • θ θ 0 θ • 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 θ θ 0 9θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 θ • 0 2θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 θ 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 • θ 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 θ θ 0 8θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 θ • 0 2θ θ • θ θ 0 • • 0 0 θ 0 • 0 0 3θ θ • θ θ 0 • • 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ θ θ 0 0 11θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ θ • 0 0 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 θ • 0 0 0 4θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • θ θ 0 0 5θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • θ • 0 0 3θ θ • θ • 0 θ θ 0 0 • • 0 0 0 4θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 0 8θ θ • θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 0 0 4

242

θ θ • θ • 0 θ • 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 0 0 9θ θ • θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 0 0 3θ θ • θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 θ 0 12θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 • 0 2θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ • 0 0 0 4θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • θ 0 0 0 5θ θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • • 0 0 0 4θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 0 7θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 0 4θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 0 5θ θ • • 0 0 θ 0 • 0 • • 0 0 0 4θ θ • • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ 0 9θ θ • • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 0 2θ θ • • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 0 θ 14θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 0 • 1θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ • θ 0 0 4θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ θ • • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 θ 0 0 5θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ θ θ 0 0 6θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ • θ 0 0 4θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • θ • • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 0 θ 0 0 5θ • 0 θ 0 θ θ θ 0 • • 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ θ 0 0 θ 8θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ θ 0 0 • 1θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 θ • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 θ θ • 0 0 • 0 0 0 0 5θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 θ 0 θ 9θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 θ 0 • 1θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 θ 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ • θ 0 0 • 0 0 0 0 5θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 θ 0 θ 8

Apéndice 243

θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 θ 0 • 1θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 θ 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 θ • • 0 0 • 0 0 0 0 5θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ θ θ 0 0 10θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ • θ 0 0 4θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 θ • • 0 0 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • θ θ 0 0 5θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • θ • 0 0 3θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • • θ 0 0 4θ • 0 θ 0 • θ θ 0 0 • • • 0 0 3θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ θ 0 0 0 8θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 θ • 0 0 0 4θ • 0 θ 0 • θ • 0 0 • 0 0 0 0 5θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 0 θ 0 0 9θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 θ 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 • • θ 0 0 • 0 0 0 0 5θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 0 θ 0 0 8θ • 0 θ 0 • • • 0 0 θ 0 • 0 0 3θ • 0 θ 0 • • • 0 0 • 0 0 0 0 5θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ θ 0 0 θ 12θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ θ 0 0 • 1θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ θ • 0 0 0 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • θ 0 0 0 5θ • 0 • 0 0 θ 0 0 θ • • 0 0 0 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ θ 0 0 0 6θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • θ • 0 0 0 4θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • θ 0 0 0 5θ • 0 • 0 0 θ 0 0 • • • 0 0 0 4θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 0 θ 9θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 0 • 1θ • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ θ 0 15• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • θ 0 3• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ θ • • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 θ 0 4• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 θ • 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 0 θ 0 5

244

• θ 0 θ θ 0 θ θ θ 0 • 0 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ θ θ 0 0 7• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ θ • 0 0 3• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 θ θ 0 θ θ • 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ θ 0 θ 0 8• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ θ 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ • 0 θ 0 4• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 θ • 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ • θ 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ θ 0 θ 0 7• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ θ 0 • 0 2• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 θ θ 0 θ • • 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 9• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 • θ 0 3• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 θ 0 • • 0 2• θ 0 θ θ 0 • 0 θ 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 θ θ 0 7• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 θ • 0 2• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 • θ 0 3• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 θ 0 • • 0 2• θ 0 θ θ 0 • 0 • 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ θ θ 0 0 11• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ θ • 0 0 3• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • θ 0 0 0 5• θ 0 θ • 0 θ θ 0 0 • • 0 0 0 4• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 0 8• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • θ 0 0 0 5• θ 0 θ • 0 θ • 0 0 • • 0 0 0 4• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 0 θ 0 0 9• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 θ 0 • 0 0 3• θ 0 θ • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 θ 0 12• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 • 0 2

Apéndice 245

• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • θ 0 θ 0 5• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • θ 0 • 0 2• θ 0 • θ 0 θ 0 θ 0 • • 0 0 0 4• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 0 7• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 0 5• θ 0 • θ 0 θ 0 • 0 • • 0 0 0 4• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ 0 9• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 0 2• θ 0 • θ 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 θ 0 11• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ θ 0 • 0 2• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • θ 0 0 0 5• θ 0 • • 0 θ 0 θ 0 • • 0 0 0 4• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ θ 0 0 0 7• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 θ • 0 0 0 4• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • θ 0 0 0 5• θ 0 • • 0 θ 0 • 0 • • 0 0 0 4• θ 0 • • 0 • 0 0 0 θ 0 0 θ 0 9• θ 0 • • 0 • 0 0 0 θ 0 0 • 0 2• θ 0 • • 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ θ θ 0 0 14• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ θ • 0 0 3• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ • θ 0 0 4• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 θ • • 0 0 3• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 0 θ 0 0 5• • 0 θ 0 0 θ θ 0 0 • 0 • 0 0 3• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ θ 0 0 0 8• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 θ • 0 0 0 4• • 0 θ 0 0 θ • 0 0 • 0 0 0 0 5• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 0 θ 0 0 9• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 θ 0 • 0 0 3• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 0 θ 0 0 5• • 0 θ 0 0 • θ 0 0 • 0 • 0 0 3• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 0 θ 0 0 8• • 0 θ 0 0 • • 0 0 θ 0 • 0 0 3• • 0 θ 0 0 • • 0 0 • 0 0 0 0 5

246

• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ θ 0 0 0 12• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 θ • 0 0 0 4• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • θ 0 0 0 5• • 0 • 0 0 θ 0 0 0 • • 0 0 0 4• • 0 • 0 0 • 0 0 0 θ 0 0 0 0 9• • 0 • 0 0 • 0 0 0 • 0 0 0 0 5

∆(H15) = ([p15]1(q−1)0+1(q−1)1 ,

[p14]2(q−1)1+1(q−1)2 ,

[p13]3(q−1)1+3(q−1)2 ,

[p12]4(q−1)1+7(q−1)2+1(q−1)3 ,

[p11]5(q−1)1+16(q−1)2+8(q−1)3+1(q−1)4 ,

[p10]19(q−1)2+22(q−1)3+6(q−1)4 ,

[p9]15(q−1)2+31(q−1)3+15(q−1)4+2(q−1)5 ,

[p8]4(q−1)2+26(q−1)3+22(q−1)4+7(q−1)5+1(q−1)6 ,

[p7]14(q−1)3+17(q−1)4+5(q−1)5 ,

[p6]3(q−1)3+7(q−1)4+3(q−1)5 ,

[p5]2(q−1)4+1(q−1)5)

r(H15) = 1(q − 1)0 + 15(q − 1)1 + 65(q − 1)2 + 105(q − 1)3

+ 70(q − 1)4 + 18(q − 1)5 + 1(q − 1)6+

= −1q0 + 4q1 + 5q2 − 15q3 − 5q4 + 12q5 + 1q6+

= fk(q15),

dondefk(q

15) = 7(q2 − 1) + q1 + k(q2 − 1)(q − 1),

con k = 6q0 + 9q1 + 13q2 + 1q3.

CEl número de clases de conjugación de r(Gn),n = 5, . . . , 8.

La tabla de niveles del árbol correspondiente a G4 es

6 5 4 3 5 4 2 6 4 1 5 4 5 2 4

En consecuencia el vector conjugación es

∆G4 = ([q6]q, [q5]q2−1, [q4]q

3+q2−2q, [q3]q3−q2−q+1).

El número de clases de conjugación r(G4) = 2q3 + q2 − 2q.


10 9 8 7 6 5 8 7 6 4 9 7 6 3 9 8 6 2 8 7 67 4 7 6 3 8 6 1 9 7 6 7 5 7 6 7 3 9 6 0 87 8 6 8 4 7 6 3 8 6 4 8 6 1 7 6 7 3 6

En consecuencia el vector conjugación es ∆(G5) =

= ([p10]1+1(q−1), [p9]2(q−1)+1(q−1)2 , [p8]3(q−1)+3(q−1)2 , [p7]4(q−1)+9(q−1)2+3(q−1)3 ,

[p6]9(q−1)2+9(q−1)3+2(q−1)4 , [p5]3(q−1)2+6(q−1)3+2(q−1)4 , [p4]2(q−1)3+1(q−1)4).

El número de clases de conjugación

r(G5) = 1 + 10(q − 1) + 25(q − 1)2 + 20(q − 1)3 + 5(q − 1)4

= 1− 5q2 + 5q4 = fk(q10),

donde fk(q10) = 5(q2 − 1) + q0 + k(q2 − 1)(q − 1), con k = 5 + 5q.

247

248


15 14 13 12 11 10 9 13 12 11 10 8 14 12 11 10 7 14 1311 10 6 14 13 12 10 5 13 12 11 10 11 8 12 11 10 7 1311 10 6 13 12 10 4 14 12 11 10 11 9 12 11 10 11 7 1411 10 6 14 12 10 3 14 13 11 10 11 9 13 11 10 11 8 1411 10 11 6 14 13 10 2 13 12 11 12 10 12 8 12 11 12 107 13 11 10 6 13 12 10 7 13 12 10 4 12 11 10 12 11 711 10 6 12 10 3 13 11 10 11 8 11 10 11 6 13 10 1 1412 11 12 10 12 9 12 11 12 10 12 7 14 11 10 6 14 12 107 14 12 10 5 12 11 12 10 12 11 12 7 11 10 6 12 10 712 10 3 14 11 10 11 9 11 10 11 6 14 10 0 13 12 13 1113 10 13 8 12 11 10 7 13 11 13 10 8 13 11 10 6 13 1213 10 8 13 12 13 10 4 12 11 10 11 7 11 10 11 6 12 103 13 11 10 13 11 8 11 10 11 6 13 10 4 13 11 10 11 811 10 11 6 13 10 1 12 11 12 10 12 7 11 10 6 12 10 127 12 10 3 11 10 11 6 10

En consecuencia el vector conjugación es ∆(G6) =

= ([p15]1+1(q−1), [p14]2(q−1)+1(q−1)2 , [p13]3(q−1)+3(q−1)2 ,

[p12]4(q−1)+7(q−1)2+1(q−1)3 , [p11]5(q−1)+16(q−1)2+8(q−1)3+1(q−1)4 ,

[p10]19(q−1)2+22(q−1)3+6(q−1)4 , [p9]15(q−1)2+31(q−1)3+15(q−1)4+2(q−1)5 ,

[p8]4(q−1)2+26(q−1)3+22(q−1)4+7(q−1)5+1(q−1)6 , [p7]14(q−1)3+17(q−1)4+5(q−1)5 ,

[p6]3(q−1)3+7(q−1)4+3(q−1)5 , [p5]2(q−1)4+1(q−1)5)

y el número de clases de conjugación

r(G6) =1 + 15(q − 1) + 65(q − 1)2 + 105(q − 1)3 + 70(q − 1)4

+ 18(q − 1)5 + 1(q − 1)6

=− 1 + 4q + 5q2 − 15q3 − 5q4 + 12q5 + 1q6 = fk(q15),

donde fk(q15) = 7(q2−1)+q1+k(q2−1)(q−1), con k = 6+9q+13q2+1q3.

Apéndice 249


21 20 19 18 17 16 15 14 19 18 17 16 15 13 20 18 17 16 1512 20 19 17 16 15 11 20 19 18 16 15 10 20 19 18 17 15 919 18 17 16 15 16 13 18 17 16 15 12 19 17 16 15 11 19 1816 15 10 19 18 17 15 8 20 18 17 16 15 16 14 18 17 16 1516 12 20 17 16 15 11 20 18 16 15 10 20 18 17 15 7 20 1917 16 15 16 14 19 17 16 15 16 13 20 17 16 15 16 11 20 1916 15 10 20 19 17 15 6 20 19 18 16 15 16 14 19 18 16 1516 13 20 18 16 15 16 12 20 19 16 15 16 10 20 19 18 15 519 18 17 16 17 15 17 13 18 17 16 17 15 12 19 17 16 17 1511 19 18 16 15 10 19 18 17 15 11 19 18 17 15 8 18 17 1615 17 16 12 17 16 15 11 18 16 15 10 18 17 15 7 19 17 1615 17 16 13 17 16 15 16 11 19 16 15 10 19 17 15 6 19 1816 15 16 13 18 16 15 16 12 19 16 15 16 10 19 18 15 4 2018 17 16 17 15 17 14 18 17 16 17 15 17 12 20 17 16 17 1511 20 18 16 15 10 20 18 17 15 11 20 18 17 15 9 18 17 1617 15 17 16 17 12 17 16 17 15 11 18 16 15 10 18 17 15 1118 17 15 7 20 17 16 15 17 16 14 17 16 15 17 16 11 20 1615 10 20 17 15 6 20 18 16 15 16 14 18 16 15 16 12 20 1615 16 10 20 18 15 3 20 19 17 16 17 15 17 14 19 17 16 1715 17 13 20 17 16 17 15 17 11 20 19 16 15 10 20 19 17 1511 20 19 17 15 9 19 17 16 17 15 17 16 17 13 17 16 17 1517 11 19 16 15 10 19 17 15 11 19 17 15 8 20 17 16 17 1517 16 17 14 17 16 17 15 17 16 17 11 20 16 15 10 20 17 1511 20 17 15 6 20 19 16 15 16 14 19 16 15 16 13 20 16 1516 10 20 19 15 2 19 18 17 18 16 18 15 18 13 18 17 18 1618 15 12 19 17 16 15 11 19 18 16 18 15 12 19 18 16 15 1019 18 17 18 15 12 19 18 17 18 15 8 18 17 18 16 15 18 1612 17 16 15 11 18 16 15 12 18 16 15 10 18 17 18 15 7 1917 16 15 16 13 17 16 15 16 11 19 16 15 16 10 19 17 15 619 18 16 15 18 16 13 18 16 15 16 12 19 16 15 16 10 19 1815 7 19 18 16 15 16 13 18 16 15 16 12 19 16 15 16 10 1918 15 4 18 17 16 18 17 15 18 17 12 17 16 17 15 11 18 1618 15 10 18 17 15 12 18 17 15 11 18 17 18 15 7 17 16 1517 16 11 16 15 10 17 15 6 18 16 15 18 16 12 16 15 16 1018 15 3 19 17 16 17 15 17 13 17 16 17 15 17 11 19 16 1510 19 17 15 17 11 19 17 15 8 17 16 17 15 17 16 17 11 1615 10 17 15 11 17 15 6 19 16 15 16 13 16 15 16 10 19 151 20 18 17 18 16 18 15 18 14 18 17 18 16 18 15 18 12 2017 16 15 11 20 18 16 18 15 12 20 18 16 15 10 20 18 17 1815 12 20 18 17 18 15 9 18 17 18 16 18 15 18 16 18 12 1716 15 11 18 16 18 15 12 18 16 15 10 18 17 18 15 12 18 1718 15 7 20 17 16 15 16 14 17 16 15 16 11 20 16 15 16 1020 17 15 6 20 18 16 15 18 16 14 18 16 15 18 16 12 20 1615 16 10 20 18 15 7 20 18 16 15 16 14 18 16 15 16 12 2016 15 16 10 20 18 15 5 18 17 18 16 18 17 18 15 18 17 18

250

12 17 16 17 15 11 18 16 18 15 12 18 16 18 15 10 18 17 1815 12 18 17 18 15 11 18 17 18 15 12 18 17 18 15 7 17 1615 17 16 11 16 15 16 10 17 15 6 18 16 15 18 16 12 16 1516 10 18 15 7 18 16 15 18 16 12 16 15 16 10 18 15 3 2017 16 17 15 17 14 17 16 17 15 17 11 20 16 15 10 20 17 1517 11 20 17 15 9 17 16 17 15 17 16 17 11 16 15 10 17 1517 11 17 15 6 20 16 15 16 14 16 15 16 10 20 15 0 19 1819 17 19 16 19 15 19 13 18 17 16 15 12 19 17 19 16 19 1513 19 17 16 15 11 19 18 19 16 19 15 13 19 18 19 16 15 1019 18 19 17 19 15 13 19 18 19 17 19 15 8 18 17 16 15 1612 17 16 15 16 11 18 16 15 16 10 18 17 15 7 19 17 19 1615 19 16 13 17 16 15 16 11 19 16 15 13 19 16 15 10 19 1719 15 8 19 17 16 15 16 13 17 16 15 16 11 19 16 15 16 1019 17 15 6 19 18 19 16 15 19 16 13 18 16 15 16 12 19 1615 16 13 19 16 15 16 10 19 18 19 15 8 19 18 19 16 15 1613 18 16 15 16 12 19 16 15 16 13 19 16 15 16 10 19 18 1915 4 18 17 16 17 15 17 12 17 16 17 15 17 11 18 16 15 1018 17 15 17 11 18 17 15 7 17 16 17 15 17 16 17 11 16 1510 17 15 11 17 15 6 18 16 15 16 12 16 15 16 10 18 15 319 17 16 19 17 15 19 17 13 17 16 17 15 17 11 19 16 19 1510 19 17 15 13 19 17 15 11 19 17 19 15 8 17 16 17 15 1716 17 11 16 15 10 17 15 11 17 15 6 19 16 15 19 16 13 1615 16 10 19 15 4 19 17 16 17 15 17 13 17 16 17 15 17 1119 16 15 10 19 17 15 17 11 19 17 15 8 17 16 17 15 17 1617 11 16 15 10 17 15 11 17 15 6 19 16 15 16 13 16 15 1610 19 15 1 18 17 18 16 18 15 18 12 17 16 15 11 18 16 1815 18 12 18 16 15 10 18 17 18 15 18 12 18 17 18 15 7 1716 15 16 11 16 15 16 10 17 15 6 18 16 18 15 18 16 18 1216 15 16 10 18 15 12 18 15 7 18 16 15 16 12 16 15 16 1018 15 3 17 16 17 15 17 11 16 15 10 17 15 17 11 17 15 616 15 16 10 15

En consecuencia el vector conjugación es

∆(G7) = ([q21]q, [q20]−1+q2 , [q19]−3q+3q2 , [q18]2−7q+4q2+q3 ,

[q17]4−9q+q2+4q3 , [q16]5−3q−13q2+9q3+2q4 , [q15]1+17q−25q2−5q3+12q4 ,

[q14]−8+28q−9q2−30q3+15q4+4q4 , [q13]−12+18q+22q2−32q3−14q4+18q5 ,

[q12]−6−6q+30q2+3q3−35q4+8q5+5q6+q7 , [q11]2−21q+24q2+24q3−38q4+3q5+4q6+2q7 ,

[q10]8−23q+2q2+40q3−24q4−11q5+6q6+2q7 , [q9]6−10q−12q2+27q3−2q4−12q5+3q7 ,

[q8]1+3q−14q2+6q3+21q4−25q5+8q6 , [q7]−1+4q−2q2−12q3+23q4−16q5+4q6 ,

[q6]−1+4q−5q2+5q4−4q5+q6),

Apéndice 251

y el número de clases de conjugación es

r(G7) = −7q + 7q2 + 35q3 − 35q4 − 35q5 + 28q6 + 8q7 = fk(q7)

donde fk(q21) = 10(q2 − 1) + q1 + k(q2 − 1)(q − 1), con k = 10 + 2q + 9q2 +

36q3 + 8q4.

Las matrices canónicas de G8 se obtienen de acuerdo con la siguientetabla de niveles

1 28 27 26 25 24 23 22 21 27 26 25 24 23 22 20 28 2625 24 23 22 19 28 27 25 24 23 22 18 28 27 26 24 23 22 1728 27 26 25 23 22 16 28 27 26 25 24 22 15 27 26 25 24 2322 23 20 26 25 24 23 22 19 27 25 24 23 22 18 27 26 24 2322 17 27 26 25 23 22 16 27 26 25 24 22 14 28 26 25 24 2322 23 21 26 25 24 23 22 23 19 28 25 24 23 22 18 28 26 2423 22 17 28 26 25 23 22 16 28 26 25 24 22 13 28 27 25 2423 22 23 21 27 25 24 23 22 23 20 28 25 24 23 22 23 18 2827 24 23 22 17 28 27 25 23 22 16 28 27 25 24 22 12 28 2726 24 23 22 23 21 27 26 24 23 22 23 20 28 26 24 23 22 2319 28 27 24 23 22 23 17 28 27 26 23 22 16 28 27 26 24 2211 28 27 26 25 23 22 23 21 27 26 25 23 22 23 20 28 26 2523 22 23 19 28 27 25 23 22 23 18 28 27 26 23 22 23 16 2827 26 25 22 10 27 26 25 24 23 24 22 24 20 26 25 24 23 2422 19 27 25 24 23 24 22 18 27 26 24 23 24 22 17 27 26 2523 22 16 27 26 25 24 22 17 27 26 25 24 22 14 26 25 24 2322 24 23 19 25 24 23 22 18 26 24 23 22 17 26 25 23 22 1626 25 24 22 13 27 25 24 23 22 24 23 20 25 24 23 22 23 1827 24 23 22 17 27 25 23 22 16 27 25 24 22 12 27 26 24 2322 24 23 20 26 24 23 22 23 19 27 24 23 22 23 17 27 26 2322 16 27 26 24 22 11 27 26 25 23 22 23 20 26 25 23 22 2319 27 25 23 22 23 18 27 26 23 22 23 16 27 26 25 22 9 2826 25 24 23 24 22 24 21 26 25 24 23 24 22 24 19 28 25 2423 24 22 18 28 26 24 23 24 22 17 28 26 25 23 22 16 28 2625 24 22 17 28 26 25 24 22 15 26 25 24 23 24 22 24 23 24

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Apéndice 259

18 27 26 27 23 22 23 20 27 26 27 23 22 23 16 27 26 27 2527 22 14 27 26 27 25 27 23 22 23 20 26 25 23 22 23 19 2725 27 23 22 23 20 27 25 23 22 23 18 27 26 27 23 22 23 2027 26 27 23 22 23 16 27 26 27 25 27 22 9 26 25 24 23 2422 24 19 25 24 23 24 22 24 18 26 24 23 24 22 24 17 26 2523 22 16 26 25 24 22 24 17 26 25 24 22 13 25 24 23 24 2224 23 24 18 24 23 24 22 24 17 25 23 22 16 25 24 22 17 2524 22 12 26 24 23 24 22 24 23 24 19 24 23 24 22 24 23 2417 26 23 22 16 26 24 22 17 26 24 22 11 26 25 23 22 23 1925 23 22 23 18 26 23 22 23 16 26 25 22 8 27 25 27 24 2327 24 22 27 24 20 25 24 23 24 22 24 18 27 24 23 27 24 2220 27 24 23 24 22 17 27 25 27 23 27 22 16 27 25 27 24 2220 27 25 27 24 22 17 27 25 27 24 27 22 14 25 24 23 24 2224 23 24 18 24 23 24 22 23 17 25 23 22 16 25 24 22 17 2524 22 12 27 24 23 22 27 24 23 20 24 23 22 24 23 17 27 2322 16 27 24 22 14 27 24 23 22 24 23 20 24 23 22 24 23 1727 23 22 16 27 24 22 11 27 25 27 23 22 27 23 20 25 23 2223 18 27 23 22 23 20 27 23 22 23 16 27 25 27 22 9 27 2524 23 24 22 24 20 25 24 23 24 22 24 18 27 24 23 24 22 2417 27 25 23 22 16 27 25 24 22 24 17 27 25 24 22 14 25 2423 24 22 24 23 24 18 24 23 24 22 24 17 25 23 22 16 25 2422 17 25 24 22 12 27 24 23 24 22 24 23 24 20 24 23 24 2224 23 24 17 27 23 22 16 27 24 22 17 27 24 22 11 27 25 2322 23 20 25 23 22 23 18 27 23 22 23 16 27 25 22 7 27 2627 24 23 27 24 22 27 24 20 26 24 23 24 22 24 19 27 24 2327 24 22 24 20 27 24 23 24 22 24 17 27 26 27 23 27 22 1627 26 27 24 22 20 27 26 27 24 22 17 27 26 27 24 27 22 1426 24 23 24 22 24 23 24 19 24 23 24 22 24 23 24 17 26 2322 16 26 24 22 17 26 24 22 13 27 24 23 24 22 27 24 23 2420 24 23 24 22 24 23 24 17 27 23 22 16 27 24 22 17 27 2422 14 27 24 23 24 22 24 23 24 20 24 23 24 22 24 23 24 1727 23 22 16 27 24 22 17 27 24 22 11 27 26 27 23 22 27 2320 26 23 22 23 19 27 23 22 23 20 27 23 22 23 16 27 26 2722 9 27 26 27 24 23 24 22 24 20 26 24 23 24 22 24 19 2724 23 24 22 24 20 27 24 23 24 22 24 17 27 26 27 23 22 1627 26 27 24 22 24 17 27 26 27 24 22 14 26 24 23 24 22 2423 24 19 24 23 24 22 24 23 24 17 26 23 22 16 26 24 22 1726 24 22 13 27 24 23 24 22 24 23 24 20 24 23 24 22 24 2324 17 27 23 22 16 27 24 22 17 27 24 22 14 27 24 23 24 2224 23 24 20 24 23 24 22 24 23 24 17 27 23 22 16 27 24 2217 27 24 22 11 27 26 27 23 22 23 20 26 23 22 23 19 27 2322 23 20 27 23 22 23 16 27 26 27 22 5 26 25 24 25 23 2522 25 19 25 24 25 23 25 22 25 18 26 24 23 22 17 26 25 2325 22 25 18 26 25 23 22 16 26 25 24 25 22 25 18 26 25 24

260

25 22 13 25 24 25 23 25 22 25 23 25 18 24 23 22 17 25 2325 22 25 18 25 23 22 16 25 24 25 22 18 25 24 25 22 12 2624 23 22 23 19 24 23 22 23 17 26 23 22 23 16 26 24 22 1126 25 23 25 22 25 23 25 19 25 23 25 22 25 23 25 18 26 2322 23 16 26 25 22 18 26 25 22 12 26 25 23 22 23 19 25 2322 23 18 26 23 22 23 16 26 25 22 8 25 24 25 23 25 24 2522 25 24 25 18 24 23 24 22 17 25 23 25 22 18 25 23 25 2216 25 24 25 22 25 18 25 24 25 22 17 25 24 25 22 18 25 2425 22 12 24 23 22 24 23 17 23 22 23 16 24 22 11 25 23 2225 23 18 23 22 23 16 25 22 12 25 23 22 25 23 18 23 22 2316 25 22 7 26 24 23 24 22 24 19 24 23 24 22 24 17 26 2322 16 26 24 22 24 17 26 24 22 13 24 23 24 22 24 23 24 1723 22 16 24 22 24 17 24 22 11 26 23 22 23 19 23 22 23 1626 22 4 27 25 24 27 25 23 27 25 22 27 25 20 25 24 25 2325 22 25 18 27 24 27 23 27 22 17 27 25 23 27 25 22 20 2725 23 25 22 18 27 25 27 23 27 22 16 27 25 24 27 25 22 2027 25 24 27 25 22 18 27 25 27 24 27 25 27 22 14 25 24 2523 25 22 25 23 25 18 24 23 22 17 25 23 25 22 23 18 25 2322 16 25 24 25 22 18 25 24 25 22 12 27 24 27 23 22 27 2320 24 23 22 23 17 27 23 22 23 20 27 23 22 23 16 27 24 2722 11 27 25 23 22 27 25 23 20 25 23 22 25 23 18 27 23 2223 16 27 25 22 14 27 25 23 22 25 23 20 25 23 22 25 23 1827 23 22 23 16 27 25 22 12 27 25 27 23 22 27 23 20 25 2322 23 18 27 23 22 23 20 27 23 22 23 16 27 25 27 22 9 2524 25 23 25 24 25 22 25 24 25 18 24 23 24 22 17 25 23 2522 18 25 23 25 22 16 25 24 25 22 24 18 25 24 25 22 17 2524 25 22 18 25 24 25 22 12 24 23 22 24 23 17 23 22 23 1624 22 11 25 23 22 25 23 18 23 22 23 16 25 22 12 25 23 2225 23 18 23 22 23 16 25 22 7 27 24 23 27 24 22 27 24 2024 23 24 22 24 17 27 23 27 22 16 27 24 22 24 20 27 24 2224 17 27 24 27 22 14 24 23 24 22 24 23 24 17 23 22 16 2422 24 17 24 22 11 27 23 22 27 23 20 23 22 23 16 27 22 527 25 24 25 23 25 22 25 20 25 24 25 23 25 22 25 18 27 2423 22 17 27 25 23 25 22 25 18 27 25 23 22 16 27 25 24 2522 25 18 27 25 24 25 22 14 25 24 25 23 25 22 25 23 25 1824 23 22 17 25 23 25 22 25 18 25 23 22 16 25 24 25 22 1825 24 25 22 12 27 24 23 22 23 20 24 23 22 23 17 27 23 2223 16 27 24 22 11 27 25 23 25 22 25 23 25 20 25 23 25 2225 23 25 18 27 23 22 23 16 27 25 22 18 27 25 22 12 27 2523 22 23 20 25 23 22 23 18 27 23 22 23 16 27 25 22 9 2524 25 23 25 24 25 22 25 24 25 18 24 23 24 22 17 25 23 2522 18 25 23 25 22 16 25 24 25 22 25 18 25 24 25 22 17 2524 25 22 18 25 24 25 22 12 24 23 22 24 23 17 23 22 23 1624 22 11 25 23 22 25 23 18 23 22 23 16 25 22 12 25 23 22

Apéndice 261

25 23 18 23 22 23 16 25 22 7 27 24 23 24 22 24 20 24 2324 22 24 17 27 23 22 16 27 24 22 24 17 27 24 22 14 24 2324 22 24 23 24 17 23 22 16 24 22 24 17 24 22 11 27 23 2223 20 23 22 23 16 27 22 2 26 25 26 24 26 23 26 22 26 1925 24 23 22 18 26 24 26 23 26 22 26 19 26 24 23 22 17 2625 26 23 26 22 26 19 26 25 26 23 22 16 26 25 26 24 26 2226 19 26 25 26 24 26 22 13 25 24 23 22 23 18 24 23 22 2317 25 23 22 23 16 25 24 22 12 26 24 26 23 26 22 26 23 2619 24 23 22 23 17 26 23 26 22 26 19 26 23 22 16 26 24 2622 19 26 24 26 22 13 26 24 23 22 23 19 24 23 22 23 17 2623 22 23 16 26 24 22 11 26 25 26 23 26 22 26 23 26 19 2523 22 23 18 26 23 26 22 26 23 26 19 26 23 22 23 16 26 2526 22 19 26 25 26 22 13 26 25 26 23 22 23 19 25 23 22 2318 26 23 22 23 19 26 23 22 23 16 26 25 26 22 8 25 24 2324 22 24 18 24 23 24 22 24 17 25 23 22 16 25 24 22 24 1725 24 22 12 24 23 24 22 24 23 24 17 23 22 16 24 22 24 1724 22 11 25 23 22 23 18 23 22 23 16 25 22 7 26 24 26 2326 24 26 22 26 24 26 19 24 23 24 22 24 17 26 23 26 22 1926 23 26 22 16 26 24 26 22 26 19 26 24 26 22 17 26 24 2622 19 26 24 26 22 13 24 23 24 22 24 23 24 17 23 22 23 1624 22 17 24 22 11 26 23 22 26 23 19 23 22 23 16 26 22 1326 23 22 26 23 19 23 22 23 16 26 22 8 26 24 23 24 22 2419 24 23 24 22 24 17 26 23 22 16 26 24 22 24 17 26 24 2213 24 23 24 22 24 23 24 17 23 22 16 24 22 17 24 22 24 2411 26 23 22 23 19 23 22 23 16 26 22 4 25 24 25 23 25 2225 18 24 23 22 17 25 23 25 22 25 18 25 23 22 16 25 24 2522 25 18 25 24 25 22 12 24 23 22 23 17 23 22 23 16 24 2211 25 23 25 22 25 23 25 18 23 22 23 16 25 22 25 18 25 2212 25 23 22 23 18 23 22 23 16 25 22 7 24 23 24 22 24 1723 22 16 24 22 24 17 24 22 11 23 22 23 16 22

El vector conjugación de G8 es

∆(G8) =([q28]{1q1}, [q27]{−1q0+1q2}, [q26]{−3q1+3q2}, [q25]{2q

0−7q1+4q2+1q3},

[q24]{4q0−9q1+1q2+4q3}, [q23]{5q

0−5q1−11q2+11q3},

[q22]{3q0+12q1−36q2+17q3+4q4}, [q21]{−5q0+44q1−54q2−3q3+17q4+1q5},

[q20]{−19q0+61q1−27q2−44q3+20q4+9q5},

262

[q19]{−24q0+39q1+40q2−71q3−12q4+26q5+2q6},

[q18]{−13q0−19q1+92q2−13q3−98q4+40q5+11q6},

[q17]{6q0−67q1+67q2+108q3−143q4−4q5+30q6+3q7},

[q16]{25q0−78q1−4q2+164q3−78q4−66q5+24q6+12q7+1q8},

[q15]{27q0−49q1−52q2+109q3+41q4−94q5−2q6+17q7+2q8+1q9},

[q14]{17q0−11q1−59q2+11q3+146q4−115q5−3q6+9q7+3q8+2q9}

,[q13]{+31q1−42q2−100q3+205q4−70q5−41q6+7q7+10q8}

,[q12]{−10q0+36q1+2q2−128q3+133q4+9q5−52q6+2q7+7q8+1q9}

,[q11]{−10q0+25q1+16q2−87q3+47q4+47q5−38q6−9q7+9q8}

,[q10]{−6q0+13q1+9q2−32q3−6q4+45q5−19q6−10q7+6q8}

,[q9]{−1q0−1q1+9q2+5q3−55q4+81q5−49q6+11q7}

,[q8]{1q0−4q1+25q3−55q4+54q5−26q6+5q7}

,[q7]{1q0−5q1+9q2−5q3−5q4+9q5−5q6+1q7})

r(G8) =2q0 + 4q1 − 32q2 − 28q3 + 161q4 − 28q5 − 168q6 + 48q7 + 38q8 + 4q9

=14(q2 − 1) + q0 + k(q2 − 1)(q − 1),

conk = 15 + 19q − 12q2 − 36q3 + 94q4 + 42q5 + 4q6.

DDn-Clases de matrices canónicas

Dn-Clases de matrices canónicas de G6 de cardinal (q − 1)6

A1=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E3,5+E5,6

263

264


A1=I+E1,2+E2,3+E3,4+E4,5+E5,6+E6,7

A2=I+E1,2+E1,3+E3,4+E4,5+E5,6+E6,7

A3=I+E1,2+E1,4+E2,3+E4,5+E5,6+E6,7

A4=I+E1,2+E2,3+E2,4+E4,5+E5,6+E6,7

A5=I+E1,4+E2,3+E2,4+E4,5+E5,6+E6,7

A6=I+E1,2+E2,3+E2,5+E3,4+E5,6+E6,7

A7=I+E1,2+E2,3+E3,4+E3,5+E5,6+E6,7

A8=I+E1,5+E2,3+E2,5+E3,4+E5,6+E6,7

A9=I+E1,5+E2,3+E3,4+E3,5+E5,6+E6,7

A10=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E5,6+E6,7

A11=I+E1,2+E2,5+E3,4+E3,5+E5,6+E6,7

A12=I+E1,3+E2,5+E3,4+E3,5+E5,6+E6,7

A13=I+E1,2+E1,3+E1,5+E3,4+E5,6+E6,7

A14=I+E1,2+E1,3+E3,4+E3,5+E5,6+E6,7

A15=I+E1,2+E1,3+E2,4+E3,5+E5,6+E6,7

A16=I+E1,4+E1,5+E2,3+E2,5+E5,6+E6,7

A17=I+E1,2+E2,3+E3,4+E4,5+E4,6+E6,7

A18=I+E1,6+E2,3+E3,4+E4,5+E4,6+E6,7

A19=I+E1,2+E1,3+E2,6+E3,4+E4,5+E6,7

A20=I+E1,2+E2,6+E3,4+E4,5+E4,6+E6,7

A21=I+E1,3+E2,6+E3,4+E4,5+E4,6+E6,7

A22=I+E1,2+E1,3+E3,4+E4,5+E4,6+E6,7

A23=I+E1,2+E2,3+E2,4+E3,6+E4,5+E6,7

A24=I+E1,2+E2,3+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A25=I+E1,4+E2,3+E2,4+E3,6+E4,5+E6,7

A26=I+E1,4+E2,3+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A27=I+E1,2+E2,4+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A28=I+E1,3+E2,4+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A29=I+E1,2+E1,3+E1,4+E3,6+E4,5+E6,7

A30=I+E1,2+E1,4+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A31=I+E1,2+E1,3+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A32=I+E1,2+E1,4+E2,3+E4,5+E4,6+E6,7

A33=I+E1,2+E2,3+E2,4+E4,5+E4,6+E6,7

A34=I+E1,4+E1,6+E2,3+E2,4+E4,5+E6,7

A35=I+E1,4+E2,3+E2,4+E4,5+E4,6+E6,7

A36=I+E1,6+E2,3+E2,4+E4,5+E4,6+E6,7

A37=I+E1,3+E1,4+E2,6+E4,5+E4,6+E6,7

A38=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E4,6+E6,7

A39=I+E1,2+E2,3+E2,4+E3,5+E4,6+E6,7

A40=I+E1,4+E2,3+E2,4+E3,5+E4,6+E6,7

A41=I+E1,2+E1,3+E1,4+E3,5+E4,6+E6,7

A42=I+E1,5+E1,6+E2,3+E3,4+E3,6+E6,7

A43=I+E1,2+E1,3+E2,5+E2,6+E3,4+E6,7

A44=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E3,6+E6,7

A45=I+E1,2+E2,5+E2,6+E3,4+E3,6+E6,7

A46=I+E1,3+E2,5+E2,6+E3,4+E3,6+E6,7

A47=I+E1,6+E2,5+E2,6+E3,4+E3,6+E6,7

A48=I+E1,2+E1,3+E2,4+E3,5+E3,6+E6,7

A49=I+E1,2+E1,3+E2,7+E3,4+E4,5+E5,6

A50=I+E1,2+E1,4+E2,3+E3,7+E4,5+E5,6

Apéndice 265

A51=I+E1,2+E2,3+E2,4+E3,7+E4,5+E5,6

A52=I+E1,4+E2,3+E2,4+E3,7+E4,5+E5,6

A53=I+E1,2+E1,3+E1,4+E3,7+E4,5+E5,6

A54=I+E1,2+E2,3+E3,4+E3,5+E4,7+E5,6

A55=I+E1,5+E2,3+E3,4+E3,5+E4,7+E5,6

A56=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E4,7+E5,6

A57=I+E1,2+E2,5+E3,4+E3,5+E4,7+E5,6

A58=I+E1,3+E2,5+E3,4+E3,5+E4,7+E5,6

A59=I+E1,2+E1,5+E3,4+E3,5+E4,7+E5,6

A60=I+E1,2+E1,3+E3,4+E3,5+E4,7+E5,6

A61=I+E1,2+E1,3+E2,4+E3,5+E4,7+E5,6

A62=I+E1,2+E2,3+E2,4+E2,5+E4,7+E5,6

A63=I+E1,4+E1,5+E2,3+E2,5+E4,7+E5,6

A64=I+E1,4+E1,5+E2,3+E2,4+E4,7+E5,6

A65=I+E1,4+E2,3+E2,4+E2,5+E4,7+E5,6

A66=I+E1,5+E2,3+E2,4+E2,5+E4,7+E5,6

A67=I+E1,3+E1,5+E2,4+E2,5+E4,7+E5,6

A68=I+E1,2+E1,3+E2,7+E3,4+E3,5+E5,6

A69=I+E1,4+E1,5+E2,3+E2,5+E3,7+E5,6

A70=I+E1,2+E1,3+E2,6+E3,4+E4,5+E5,7

A71=I+E1,2+E2,3+E2,4+E3,6+E4,5+E5,7

A72=I+E1,4+E2,3+E2,4+E3,6+E4,5+E5,7

A73=I+E1,2+E1,3+E1,4+E3,6+E4,5+E5,7

A74=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E4,6+E5,7

A75=I+E1,4+E1,5+E2,3+E2,4+E4,6+E5,7

A76=I+E1,2+E1,3+E2,6+E3,4+E3,5+E5,7

A77=I+E1,2+E1,3+E1,4+E2,7+E3,6+E4,5

266


A1=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E3,5+E5,6+E6,7

A2=I+E1,2+E1,3+E2,6+E3,4+E4,5+E4,6+E6,7

A3=I+E1,2+E2,3+E2,4+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A4=I+E1,4+E2,3+E2,4+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A5=I+E1,2+E1,3+E1,4+E3,6+E4,5+E4,6+E6,7

A7=I+E1,2+E1,3+E2,5+E3,4+E3,5+E4,7+E5,6

A8=I+E1,4+E1,5+E2,3+E2,4+E2,5+E4,7+E5,6

Apéndice 267


A1=I+E12+E23+E34+E45+E56+E67+E78

A2=I+E12+E13+E34+E45+E56+E67+E78

A3=I+E12+E14+E23+E45+E56+E67+E78

A4=I+E12+E23+E24+E45+E56+E67+E78

A5=I+E14+E23+E24+E45+E56+E67+E78

A6=I+E12+E15+E23+E34+E56+E67+E78

A7=I+E12+E23+E25+E34+E56+E67+E78

A8=I+E12+E23+E34+E35+E56+E67+E78

A9=I+E15+E23+E25+E34+E56+E67+E78

A10=I+E15+E23+E34+E35+E56+E67+E78

A11=I+E12+E13+E25+E34+E56+E67+E78

A12=I+E12+E25+E34+E35+E56+E67+E78

A13=I+E13+E25+E34+E35+E56+E67+E78

A14=I+E12+E13+E15+E34+E56+E67+E78

A15=I+E12+E13+E34+E35+E56+E67+E78

A16=I+E12+E13+E24+E35+E56+E67+E78

A17=I+E14+E15+E23+E25+E56+E67+E78

A18=I+E12+E23+E34+E36+E45+E67+E78

A19=I+E12+E23+E34+E45+E46+E67+E78

A20=I+E16+E23+E34+E36+E45+E67+E78

A21=I+E16+E23+E34+E45+E46+E67+E78

A22=I+E12+E13+E26+E34+E45+E67+E78

A23=I+E12+E26+E34+E36+E45+E67+E78

A24=I+E12+E26+E34+E45+E46+E67+E78

A25=I+E13+E26+E34+E36+E45+E67+E78

A26=I+E13+E26+E34+E45+E46+E67+E78

A27=I+E12+E16+E34+E36+E45+E67+E78

A28=I+E12+E13+E34+E36+E45+E67+E78

A29=I+E12+E13+E34+E45+E46+E67+E78

A30=I+E12+E23+E24+E36+E45+E67+E78

A31=I+E12+E23+E36+E45+E46+E67+E78

A32=I+E14+E23+E24+E36+E45+E67+E78

A33=I+E14+E23+E36+E45+E46+E67+E78

A34=I+E12+E13+E24+E36+E45+E67+E78

A35=I+E12+E24+E36+E45+E46+E67+E78

A36=I+E13+E24+E36+E45+E46+E67+E78

A37=I+E12+E13+E14+E36+E45+E67+E78

A38=I+E12+E14+E36+E45+E46+E67+E78

A39=I+E12+E13+E36+E45+E46+E67+E78

A40=I+E12+E23+E24+E26+E45+E67+E78

A41=I+E12+E14+E23+E45+E46+E67+E78

A42=I+E12+E23+E24+E45+E46+E67+E78

A43=I+E14+E16+E23+E26+E45+E67+E78

A44=I+E14+E16+E23+E24+E45+E67+E78

A45=I+E14+E23+E24+E26+E45+E67+E78

A46=I+E14+E23+E24+E45+E46+E67+E78

A47=I+E16+E23+E24+E26+E45+E67+E78

A48=I+E16+E23+E24+E45+E46+E67+E78

A49=I+E13+E16+E24+E26+E45+E67+E78

A50=I+E13+E14+E26+E45+E46+E67+E78

A51=I+E12+E13+E25+E34+E46+E67+E78

A52=I+E12+E14+E23+E35+E46+E67+E78

A53=I+E12+E23+E24+E35+E46+E67+E78

A54=I+E14+E23+E24+E35+E46+E67+E78

A55=I+E12+E13+E14+E35+E46+E67+E78

A56=I+E15+E16+E23+E26+E34+E67+E78

A57=I+E15+E16+E23+E34+E36+E67+E78

A58=I+E12+E13+E16+E25+E34+E67+E78

A59=I+E12+E13+E25+E26+E34+E67+E78

A60=I+E12+E13+E25+E34+E36+E67+E78

A61=I+E12+E25+E26+E34+E36+E67+E78

A62=I+E13+E25+E26+E34+E36+E67+E78

A63=I+E16+E25+E26+E34+E36+E67+E78

A64=I+E14+E16+E23+E26+E35+E67+E78

A65=I+E12+E13+E24+E35+E36+E67+E78

A66=I+E12+E23+E34+E45+E56+E57+E78

A67=I+E17+E23+E34+E45+E56+E57+E78

A68=I+E12+E13+E27+E34+E45+E56+E78

268

A69=I+E12+E27+E34+E45+E56+E57+E78

A70=I+E13+E27+E34+E45+E56+E57+E78

A71=I+E12+E13+E34+E45+E56+E57+E78

A72=I+E12+E14+E23+E37+E45+E56+E78

A73=I+E12+E23+E24+E37+E45+E56+E78

A74=I+E12+E23+E37+E45+E56+E57+E78

A75=I+E14+E23+E24+E37+E45+E56+E78

A76=I+E14+E23+E37+E45+E56+E57+E78

A77=I+E12+E24+E37+E45+E56+E57+E78

A78=I+E13+E24+E37+E45+E56+E57+E78

A79=I+E12+E13+E14+E37+E45+E56+E78

A80=I+E12+E14+E37+E45+E56+E57+E78

A81=I+E12+E13+E37+E45+E56+E57+E78

A82=I+E12+E14+E23+E27+E45+E56+E78

A83=I+E12+E14+E23+E45+E56+E57+E78

A84=I+E12+E23+E24+E45+E56+E57+E78

A85=I+E14+E17+E23+E24+E45+E56+E78

A86=I+E14+E23+E24+E45+E56+E57+E78

A87=I+E17+E23+E24+E45+E56+E57+E78

A88=I+E13+E14+E27+E45+E56+E57+E78

A89=I+E12+E23+E34+E35+E47+E56+E78

A90=I+E12+E23+E34+E47+E56+E57+E78

A91=I+E15+E23+E34+E35+E47+E56+E78

A92=I+E15+E23+E34+E47+E56+E57+E78

A93=I+E12+E13+E25+E34+E47+E56+E78

A94=I+E12+E25+E34+E35+E47+E56+E78

A95=I+E12+E25+E34+E47+E56+E57+E78

A96=I+E13+E25+E34+E35+E47+E56+E78

A97=I+E13+E25+E34+E47+E56+E57+E78

A98=I+E12+E15+E34+E35+E47+E56+E78

A99=I+E12+E13+E34+E35+E47+E56+E78

A100=I+E12+E15+E34+E47+E56+E57+E78

A101=I+E12+E13+E34+E47+E56+E57+E78

A102=I+E12+E23+E35+E47+E56+E57+E78

A103=I+E14+E23+E35+E47+E56+E57+E78

A104=I+E12+E13+E24+E35+E47+E56+E78

A105=I+E12+E24+E35+E47+E56+E57+E78

A106=I+E13+E24+E35+E47+E56+E57+E78

A107=I+E12+E14+E35+E47+E56+E57+E78

A108=I+E12+E13+E35+E47+E56+E57+E78

A109=I+E12+E23+E24+E25+E47+E56+E78

A110=I+E12+E15+E23+E47+E56+E57+E78

A111=I+E12+E23+E25+E47+E56+E57+E78

A112=I+E12+E23+E24+E47+E56+E57+E78

A113=I+E14+E15+E23+E25+E47+E56+E78

A114=I+E14+E15+E23+E24+E47+E56+E78

A115=I+E14+E23+E24+E25+E47+E56+E78

A116=I+E14+E23+E25+E47+E56+E57+E78

A117=I+E14+E23+E24+E47+E56+E57+E78

A118=I+E15+E23+E24+E25+E47+E56+E78

A119=I+E15+E23+E25+E47+E56+E57+E78

A120=I+E15+E23+E24+E47+E56+E57+E78

A121=I+E13+E15+E24+E25+E47+E56+E78

A122=I+E13+E15+E24+E47+E56+E57+E78

A123=I+E13+E14+E25+E47+E56+E57+E78

A124=I+E12+E23+E25+E34+E56+E57+E78

A125=I+E12+E23+E34+E35+E56+E57+E78

A126=I+E15+E17+E23+E34+E35+E56+E78

A127=I+E15+E23+E25+E34+E56+E57+E78

A128=I+E15+E23+E34+E35+E56+E57+E78

A129=I+E17+E23+E25+E34+E56+E57+E78

A130=I+E17+E23+E34+E35+E56+E57+E78

A131=I+E12+E13+E25+E34+E37+E56+E78

A132=I+E12+E25+E27+E34+E35+E56+E78

A133=I+E12+E13+E25+E34+E56+E57+E78

A134=I+E12+E25+E34+E35+E56+E57+E78

A135=I+E13+E25+E27+E34+E35+E56+E78

A136=I+E13+E25+E34+E35+E56+E57+E78

Apéndice 269

A137=I+E17+E25+E27+E34+E35+E56+E78

A138=I+E17+E25+E34+E35+E56+E57+E78

A139=I+E12+E15+E27+E34+E37+E56+E78

A140=I+E12+E13+E27+E34+E35+E56+E78

A141=I+E12+E13+E27+E34+E56+E57+E78

A142=I+E12+E27+E34+E35+E56+E57+E78

A143=I+E13+E15+E27+E34+E56+E57+E78

A144=I+E13+E27+E34+E35+E56+E57+E78

A145=I+E15+E27+E34+E35+E56+E57+E78

A146=I+E12+E13+E15+E34+E56+E57+E78

A147=I+E12+E13+E34+E35+E56+E57+E78

A148=I+E12+E13+E24+E27+E35+E56+E78

A149=I+E12+E13+E24+E35+E56+E57+E78

A150=I+E14+E15+E23+E25+E37+E56+E78

A151=I+E14+E15+E23+E37+E56+E57+E78

A152=I+E12+E15+E24+E37+E56+E57+E78

A153=I+E12+E24+E25+E37+E56+E57+E78

A154=I+E13+E24+E25+E37+E56+E57+E78

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270

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A236=I+E12+E13+E25+E34+E48+E56+E67

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A257=I+E13+E26+E34+E45+E46+E58+E67

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A267=I+E12+E14+E36+E45+E46+E58+E67

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A269=I+E12+E14+E23+E26+E45+E58+E67

A270=I+E12+E14+E23+E45+E46+E58+E67

A271=I+E12+E23+E26+E45+E46+E58+E67

A272=I+E12+E23+E24+E45+E46+E58+E67

Apéndice 271

A273=I+E14+E16+E23+E24+E45+E58+E67

A274=I+E14+E23+E26+E45+E46+E58+E67

A275=I+E14+E23+E24+E45+E46+E58+E67

A276=I+E16+E23+E26+E45+E46+E58+E67

A277=I+E16+E23+E24+E45+E46+E58+E67

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A281=I+E12+E23+E24+E35+E46+E58+E67

A282=I+E14+E23+E24+E35+E46+E58+E67

A283=I+E12+E13+E14+E35+E46+E58+E67

A284=I+E12+E14+E23+E25+E46+E58+E67

A285=I+E14+E15+E23+E24+E46+E58+E67

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A327=I+E14+E23+E24+E38+E45+E46+E67

A328=I+E16+E23+E24+E38+E45+E46+E67

A329=I+E13+E14+E26+E38+E45+E46+E67

A330=I+E12+E13+E14+E38+E45+E46+E67

A331=I+E12+E13+E14+E28+E35+E46+E67

A332=I+E15+E16+E23+E34+E36+E48+E67

A333=I+E12+E13+E25+E26+E34+E48+E67

A334=I+E12+E13+E25+E34+E36+E48+E67

A335=I+E12+E25+E26+E34+E36+E48+E67

A336=I+E13+E25+E26+E34+E36+E48+E67

A337=I+E16+E25+E26+E34+E36+E48+E67

A338=I+E12+E13+E24+E35+E36+E48+E67

A339=I+E15+E16+E23+E24+E26+E48+E67

A340=I+E12+E13+E27+E34+E45+E56+E68

272

A341=I+E12+E14+E23+E37+E45+E56+E68

A342=I+E12+E23+E24+E37+E45+E56+E68

A343=I+E14+E23+E24+E37+E45+E56+E68

A344=I+E12+E13+E14+E37+E45+E56+E68

A345=I+E12+E23+E34+E35+E47+E56+E68

A346=I+E15+E23+E34+E35+E47+E56+E68

A347=I+E12+E13+E25+E34+E47+E56+E68

A348=I+E12+E25+E34+E35+E47+E56+E68

A349=I+E13+E25+E34+E35+E47+E56+E68

A350=I+E12+E15+E34+E35+E47+E56+E68

A351=I+E12+E13+E34+E35+E47+E56+E68

A352=I+E12+E13+E24+E35+E47+E56+E68

A353=I+E12+E23+E24+E25+E47+E56+E68

A354=I+E14+E15+E23+E25+E47+E56+E68

A355=I+E14+E15+E23+E24+E47+E56+E68

A356=I+E14+E23+E24+E25+E47+E56+E68

A357=I+E15+E23+E24+E25+E47+E56+E68

A358=I+E13+E15+E24+E25+E47+E56+E68

A359=I+E12+E13+E15+E27+E34+E56+E68

A360=I+E12+E13+E27+E34+E35+E56+E68

A361=I+E14+E15+E23+E25+E37+E56+E68

A362=I+E12+E13+E26+E34+E45+E57+E68

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A365=I+E12+E13+E14+E36+E45+E57+E68

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A371=I+E12+E13+E25+E34+E36+E57+E68

A372=I+E12+E25+E26+E34+E35+E57+E68

A373=I+E13+E25+E26+E34+E35+E57+E68

A374=I+E16+E25+E26+E34+E35+E57+E68

A375=I+E12+E13+E26+E34+E35+E57+E68

A376=I+E12+E13+E24+E26+E35+E57+E68

A377=I+E14+E15+E16+E23+E25+E57+E68

A378=I+E12+E13+E27+E34+E45+E46+E68

A379=I+E12+E13+E14+E27+E36+E45+E68

A380=I+E12+E14+E27+E36+E45+E46+E68

A381=I+E12+E13+E27+E36+E45+E46+E68

A382=I+E12+E23+E24+E37+E45+E46+E68

A383=I+E14+E23+E24+E37+E45+E46+E68

A384=I+E16+E23+E24+E37+E45+E46+E68

A385=I+E13+E14+E26+E37+E45+E46+E68

A386=I+E12+E13+E14+E37+E45+E46+E68

A387=I+E12+E13+E14+E27+E35+E46+E68

A388=I+E12+E13+E25+E26+E34+E47+E68

A389=I+E12+E13+E14+E28+E37+E45+E56

A390=I+E12+E15+E28+E34+E35+E47+E56

A391=I+E12+E13+E28+E34+E35+E47+E56

A392=I+E12+E23+E24+E25+E38+E47+E56

A393=I+E14+E15+E23+E25+E38+E47+E56

A394=I+E14+E15+E23+E24+E38+E47+E56

A395=I+E14+E23+E24+E25+E38+E47+E56

A396=I+E15+E23+E24+E25+E38+E47+E56

A397=I+E13+E15+E24+E25+E38+E47+E56

A398=I+E12+E13+E14+E15+E38+E47+E56

A399=I+E12+E13+E27+E34+E35+E48+E56

A400=I+E14+E15+E23+E25+E37+E48+E56

A401=I+E12+E13+E14+E28+E36+E45+E57

A402=I+E14+E15+E23+E24+E38+E46+E57

A403=I+E12+E13+E26+E34+E35+E48+E57

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