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CALCULO DE DEPLECAO ISOTOPICA USANDO TEORIA DE

PERTURBACAO GENERALIZADA EM UM SISTEMA SUBCRITICO

GUIADO POR UMA FONTE EXTERNA

Patricia Kelly Taipe Torres

Tese de Doutorado apresentada ao Programa

de Pos-graduacao em Engenharia Nuclear,

COPPE, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessarios

a obtencao do tıtulo de Doutor em Engenharia

Nuclear.

Orientadores: Fernando Carvalho da Silva

Antonio Carlos Marques Alvim

Rio de Janeiro

Dezembro de 2019





TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE DOUTOR

EM CIENCIAS EM ENGENHARIA NUCLEAR.

Examinada por:

Prof. Fernando Carvalho da Silva, D.Sc.

Prof. Antonio Carlos Marques Alvim, Ph.D.

Prof. Aquilino Senra Martinez, D.Sc.

Prof. Ricardo Carvalho de Barros, Ph.D.

Prof. Claubia Pereira Bezerra Lima, D.Sc.

Prof. Hermes Alves Filho, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

DEZEMBRO DE 2019

Taipe Torres, Patricia Kelly

Calculo de Deplecao Isotopica usando Teoria de

Perturbacao Generalizada em um sistema subcrıtico guiado

por uma fonte externa/Patricia Kelly Taipe Torres. – Rio

de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2019.

XIV, 58 p.: il.; 29, 7cm.



Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Nuclear, 2019.

Referencias Bibliograficas: p. 52 – 55.

1. Calculo deplecao isotopica. 2. Teoria de perturbacao

generalizada. 3. Sistemas subcrıticos guiados por

uma fonte externa. I. Silva, Fernando Carvalho da

et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Nuclear. III. Tıtulo.

iii

A minha amada filha, Emilia

Domenica.

iv

Agradecimentos

Cada pessoa que conheci ao longo do meu caminho tiveram merito e proposito, a vida

as escolheu e as colocou quando eu precisava delas. Por isso, gostaria de agradecer

a todos, principalmente, a minha amada filha Emilia, por me deixar culminar este

sonho e ser forte enquanto eu nao estava com voce. A Hidmer por cuidar bem de

nossa filha. A minha mae, Teresa, por aquela fortaleza e decisao que me seguiram ate

esta etapa. Ao meu pai, Antedoro, por ser minha armadura, meu coracao, quando

sentia fraqueza. Aos meus irmaos, Rocio, por ser a mae que toda irma gostaria de

ter. Pelayo, por ser fomento e ajuda para terminar esta ultima parte do doutorado.

Efrain, pelo amor a mim e a minha filha. Ao meu orientador, Professor Fernando

Carvalho da Silva, por sua incansavel dedicacao quando trata-se de ensinar, por seu

apoio como orientador e ser humano, um eterno agradecimento. Ao meu orientador,

Professor Antonio Carlos Marques Alvim, por me aceitar como orientada (onde tudo

comecou) e pela confianca. A famılia que encontrei aqui, dizem que os amigos sao

a famılia com quem nao nasce, mas sim escolhe. Obrigada Jose, Carolina, Liliana,

Isela, Orlando, Lionel, Omar, Abraham e Rafael. Ao CNPq pelo auxılio financeiro

que possibilitou minha pesquisa durante desenvolvimento deste trabalho. A todos

que me ajudaram chegar ate este ponto, sem voces eu nao estaria aqui, Gracias

Totales.

v

Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessarios

para a obtencao do grau de Doutor em Ciencias (D.Sc.)





Dezembro/2019



Programa: Engenharia Nuclear

Apresenta-se, nesta tese, o desenvolvimento de um metodo de calculo de deplecao

isotopica usando Teoria de Perturbacao Generalizada (GPT), tendo em vista a sua

aplicacao em sistemas subcrıticos guiados por uma fonte externa de neutrons.

Ao longo do ciclo de queima do combustıvel ocorrem processos que ocasionam

variacoes nas concentracoes isotopicas e induzem variacoes no fluxo de neutrons,

o que levam a mudancas nas taxas de reacoes presentes, em calculos de deplecao

isotopica. na matriz evolucao. O metodo perturbativo proposto, trata estas taxas

de reacoes como quantidades integrais. E as mudancas nestas quantidades integrais

sao tratadas como perturbacoes vindas das mudancas nas concentracoes isotopicas.

Este metodo foi aplicado em um reator subcrıtico guiado por uma fonte externa

de neutrons e os resultados obtidos mostram boa concordancia com aqueles obti-

dos pelo metodo de calculo direto. Isto assegura que o metodo proposto e uma

alternativa valida para tratar problemas deste tipo.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

ISOTOPIC DEPLETION CALCULATION WITH GENERALIZED

PERTURBATION THEORY IN A SUBCRITICAL SYSTEM DRIVEN BY AN

EXTERNAL SOURCE


December/2019

Advisors: Fernando Carvalho da Silva


Department: Nuclear Engineering

In this thesis, it is proposed and developed a method of isotopic depletion calcu-

lation using Generalized Perturbation Theory (GPT), for subcritical systems driven

by an external neutron source.

Throughout fuel burnup cycle, occur process that cause changes in the nuclide

densities and induce variations in the neutron flux, which lead to changes in reaction

rates, present in the evolution matrix, in isotopic depletion calculations. The pro-

posed perturbative method treats these reaction rates as integral quantities. And

changes in these integral quantities are treated as perturbations coming from the

changes in the nuclide densities.

This method was applied in a sub-critical reactor driven by an external neutron

source whose obtained results show good agreement with those obtained by the direct

calculation method. This ensures that the proposed method is a valid alternative

to treat problems of this kind.

vii

Sumario

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xii

Glossario xiii

1 Introducao 1

1.1 Objetivo e Divisao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Calculo de Deplecao Isotopica 5

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Equacao de Deplecao Isotopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Elementos da Matriz de Evolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Equacao para o Fluxo de Neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Aproximacao Quase-Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Medias por Regiao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Metodo de Calculo Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Calculo de Deplecao Isotopica usando GPT 15

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Quantidades Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Equacao da Funcao Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Equacao da Variacao do Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Metodo de Calculo Perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

viii

4 Fluxogramas dos Programas de Calculo 25

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Fluxograma do Programa Metodo de Calculo Direto . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Fluxograma do Modulo Problema de Fonte Fixa . . . . . . . . 28

4.2.2 Fluxograma do Modulo Calculo de Deplecao . . . . . . . . . . 28

4.3 Fluxograma do Programa Metodo Perturbativo . . . . . . . . . . . . 29

4.3.1 Fluxograma do Modulo Funcoes Importancias . . . . . . . . . 30

4.3.2 Fluxograma do Programa de Calculo Perturbativo . . . . . . . 30

4.3.3 Fluxograma do Modulo de Calculo de Deplecao Perturbativo . 32

4.4 Fluxograma do Modulo Problema de autovalor . . . . . . . . . . . . . 32

5 Apresentacao e Analise dos Resultados 34

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Apresentacao do Caso Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Analise dos Resultados de Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Conclusoes 50

Referencias Bibliograficas 52

Apendice 56

ix

Lista de Figuras

2.1 Possıveis formas de producao ou transmutacao para um actinıdeo. . . 7

2.2 Possıveis formas de producao ou transmutacao para um PF. . . . . . 8

2.3 Discretizacao temporal do ciclo de operacao do reator . . . . . . . . . 10

4.1 Fluxograma do Programa Metodo de Calculo Direto. . . . . . . . . . 27

4.2 Fluxograma do Modulo Problema de Fonte Fixa. . . . . . . . . . . . 28

4.3 Fluxograma do Calculo de Deplecao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 Fluxograma do Modulo Funcoes Importancias. . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Fluxograma do Programa de Calculo Perturbativo. . . . . . . . . . . 31

4.6 Fluxograma do Calculo de Deplecao Perturbativo. . . . . . . . . . . . 32

4.7 Fluxograma do Modulo Problema de Autovalor. . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Configuracao do nucleo unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Cadeia de deplecao dos Actinıdeos para as regioes do combustıvel. . . 37

5.3 Cadeias de deplecao dos PF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4 Cadeia de deplecao dos Actinıdeos para as regioes com Actinıdeos

Menores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Comparacao de algumas concentracoes isotopicas da Regiao 6. . . . . 43



5.8 Comparacao do Fator de Multiplicacao Efetivo . . . . . . . . . . . . . 47

5.9 Comparacao da Densidade de Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

x

Lista de Tabelas

5.1 Materiais em suas respectivas regioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Concentracoes isotopicas iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Parametros nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Secoes de choque microscopicas n2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5 Secoes de choque microscopicas (em barn) . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6 Intervalos de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Teste do calculo da Funcao Importancia. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.8 Desvios relativos percentuais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1 Producao dos produtos de fissao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 Constantes de decaimento (s−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

xi

Glossario

PWR : Pressurized Water Reactor

AM : Actinıdeos Menores

PF : Produtos de Fissao

VQ : Veneno Queimavel

xii

Capıtulo 1

Introducao

E frequente o interesse em calcular a mudanca na multiplicacao do nucleo de um

reator causada por uma pequena mudanca na geometria ou composicao do nucleo.

Afortunadamente, se esta mudanca ou perturbacao e suficientemente pequena, o

calculo de criticalidade original nao tera que ser repetido, podendo-se usar metodos

bem conhecidos da Teoria de perturbacao, os quais expressam a mudanca correspon-

dente a multiplicacao em termos do fluxo de neutrons que caracteriza o nucleo nao

perturbado (DUDERSTADT e HAMILTON, 1976).

Os metodos da Teoria de Perturbacao tem sido uteis em Fısica de Reatores, desde

o trabalho pioneiro de (WIGNER, 1945). Como feito por (WIGNER, 1992), contri-

buicoes adicionais foram introduzidas por (USACHEV, 1964). Outras contribuicoes

iniciais tambem foram desenvolvidas nas aplicacoes nucleares por (LEWINS, 1965),

(POMRANING, 1965), (GANDINI, 1967), (STACEY, 1974), (CACUCI et al., 1980)

e outros. Varios trabalhos tem sido desenvolvidos usando Teoria de Perturbacao,

estendendo sua aplicabilidade para calculos de projeto de reator, como por exemplo,

calculo de criticalidade, calculos de deplecao, calculos de blindagem e problemas de

cinetica pontual. Dentre estes trabalhos os metodos da Teoria de Perturbacao tem

sido amplamente usados para realizar analise de sensibilidade em Fısica de Reato-

res (ABDEL-KHALIK, 2012), (REARDEN, 2004) e (CACUCI, 1981), calculos de

deplecao isotopica (WILLIAMS, 1979), (DA SILVA e THOME, 1987), (DOWNAR,

1992) e (KALLFELZ et al., 1977) e analise de sistemas subcrıticos (DA SILVA et al.,

1

2012), (GONCALVES et al., 2015) e (GONCALVES et al., 2017).

Deve ser mencionado que muitos formalismos da Teoria de Perturbacao exis-

tem na literatura, como mencionado por (GANDINI, 2001), dentre estes, os tres

formalismos mais proeminentes sao:

a) Teoria de Perturbacao Generalizada (GPT). Foi adotado primeiro por

(USACHEV, 1964) e depois exclusivamente desenvolvido por (GANDINI,

1967). (USACHEV, 1964), fazendo uso exclusivo do Princıpio de Conservacao

de Importancia, desenvolveu esta Teoria de Perturbacao para respostas linea-

res no fluxo de neutrons em um reator sob condicoes de estado estacionario.

A funcao importancia de neutrons corresponde a contribuicao de uma dada

partıcula, inserida em um dado instante e em um dado ponto do espaco de fase,

a uma quantidade integral de interesse. Este enfoque foi desenvolvido, em pro-

blemas estaticos (GANDINI, 1969) e (GANDINI et al., 1986), problemas de-

pendente do tempo (GANDINI, 1978), problemas de analises de sensibilidade

(GANDINI et al., 1977), (GANDINI, 1990) e (LIMA et al., 1998), e sistemas

subcrıticos (GANDINI, 1997), (GANDINI, 2001), (GANDINI e SALVATO-

RES, 2002) e foi chamado de Teoria de Perturbacao Generalizada (GPT) por

GANDINI (1987).

b) Formalismo Variacional. Adotado por (LEWINS, 1965) e STACEY (1974),

esta abordagem esta baseada em prıncipios variacionais e foi desenvolvida por

(LEWINS, 1965), (POMRANING, 1965), (STACEY, 1974) e (WILLIAMS,

1979). Ela fornece uma forte base teorica para Teoria de Perturbacao e tem

uma aplicacao ampla em Fısica de Reatores. (SLESAREV e SIROTKIN, 1971)

introduzem os princıpios variacionais nos esquemas de diferencas finitas para

resolver a equacao de transporte de neutrons, alem de outras aplicacoes.

c) Formalismo Diferencial. Proposto por (OBLOW, 1976) e incluindo o forma-

lismo matricial desenvolvido por (CACUCI et al., 1980). As aplicacoes iniciais

foram feitas no campo termo-hidraulico por (OBLOW, 1978). Um formalismo

2

rigoroso da abordagem diferencial para Teoria de Perturbacao foi estabelecida,

em particular, o formalismo matricial foi desenvolvido fazendo uso dos mes-

mos prıncipios empregados para determinar a funcao importancia (CACUCI

et al., 1980), baseados neste formalismo surge o procedimento de analises de

sensibilidade adjunta (CACUCI et al., 2005), que tem aplicacao para simular

caracterısticas termo-hidraulicas escoamento bifasico em LWR.

Cada um dos formalismos mencionados acima tem seu proprio merito, embora

parecam muitos diferentes, todos eles sao equivalentes entre si (GREENSPAN,

1975). Os formalismos Variacional e Diferencial fornecem uma estrutura matematica

estrita, enquanto GPT e uma abordagem orientada a fısica baseada no Princıpio de

Conservacao de Importancia, sendo, por tanto, uma abordagem heurıstica.

A analise da deplecao isotopica e uma tarefa de grande relevancia realizada no

ciclo de operacao do reator, por isso na Fısica de Reatores sempre sao desenvolvidos

metodos que melhorem e/ou otimizem os metodos que realizam o calculo de de-

plecao, para assim, ter uma resposta antecipada frente a possıveis complicacoes que

ponham em risco a seguranca do nucleo, durante a evolucao do ciclo do combustıvel.

Estudos previos, (GANDINI, 1975), (KALLFELZ et al., 1977) e (DA SILVA e

THOME, 1987), tem demonstrado que a GPT e uma forte ferramenta, frente a

outros metodos numericos (NAKAMURA, 1977) e (STACEY, 2004), para reduzir o

custo operacional do calculo de deplecao sem sacrificar a precisao dos resultados.

1.1 Objetivo e Divisao do Trabalho

Esta tese de doutorado tem como objetivo desenvolver um metodo capaz de calcular

as concentracoes isotopicas usando a GPT, elaborada para um sistema subcrıtico

guiado por uma fonte externa de neutrons. Para isto, ele considera a variacao no

tempo das concentracoes isotopicas, devido a queima do combustıvel, como sendo

perturbacoes causadas no sistema. Assim, a GPT pode ser usada para calcular as

perturbacoes nas Quantidades Integrais de interesse, devido a deplecao isotopica.

3

Com isto, a proposta desta tese, que e o metodo perturbativo ao qual espera-se

atingir, trata a integral dos fluxos de neutrons como quantidades integrais.

Esta tese esta dividida em 5 capıtulos, onde no capıtulo 2 sera detalhado o

calculo de deplecao isotopica na sua forma convencional e sera definido o Metodo

de Calculo Direto. Aqui serao apresentadas as equacoes de deplecao e as demais

definicoes pertirnentes.

No capıtulo 3, e estabelecido o formalismo da GPT no qual se baseia esta tese. E

definida a quantidade integral de interesse e sua funcao importancia associada. Aqui

tambem e deduzida a equacao para a variacao do fluxo de neutrons e determinado

seu termo de fonte. Alem disso, neste capıtulo e apresentado o Metodo Perturbativo

para Calculo de Deplecao Isotopica desenvolvido.

No capıtulo 4, sao apresentados os fluxogramas que descrevem os programas com-

putacionais desenvolvidos para a realizacao dos calculos apresentados nos resultados

numericos da tese.

No capıtulo 5, sao apresentados os resultados de um caso teste simples, usado

para validar o Metodo Perturbativo, para calculo de deplecao, desenvolvido nesta

tese.

E, finalmente, no capıtulo 6, sao apresentadas as conclusoes que nos deixam este

trabalho.

4

Capıtulo 2

Calculo de Deplecao Isotopica

2.1 Introducao

Durante a operacao de um reator nuclear ocorrem inumeras mudancas na com-

posicao do nucleo, que envolve uma variedade de processos, onde calcular o calculo

do fator de multiplicacao efetivo (keff ), distribucao de potencia e concentracoes

isotopicas torna-se uma tarefa de principal importancia. Estudos, que antecipem

o desenvolvimento da evolucao da queima do combustıvel sao elaborados sempre

(WILLIAMS, 1979), (DOWNAR, 1992), (ALVIM et al., 2011), para assegurar o

correto funcionamento e seguranca do reator.

E importante ter uma analise de deplecao ao longo da queima porque elementos

altamente radiotoxicos e radioativos sao produzidos, e armazenados como AM e PF

no rejeito nuclear.

2.2 Equacao de Deplecao Isotopica

Mudancas das concentracoes isotopicas devido a variacao do fluxo de neutrons, que

ocorrem ao longo do ciclo de operacao do reator, sao descritas pelas equacoes de

deplecao. O calculo destas concentracoes em qualquer posicao do nucleo do reator,

em qualquer instante de tempo, pode ser feito usando a seguinte equacao de deplecao

5

isotopica:

∂

∂tN(~r, t) = EN(~r, t) , (2.1)

onde N(~r, t) e o vetor das concentracoes isotopicas e E e a matriz de evolucao, assim

definidos, respectivamente:

N(~r, t) ≡

N1(~r, t)

N2(~r, t)

...

Ni(~r, t)

...

NI(~r, t)(t)

e

E ≡

e11(~r, t) e12(~r, t) · · · e1I(~r, t)

e21(~r, t) e22(~r, t) · · · e2I(~r, t)

.... . .

...

eI1(~r, t) eI2(~r, t) · · · eII(~r, t)

,

sendo Ni(~r, t) a concentracao isotopica do nuclıdeo i na posicao ~r, no instante t, e I

e o numero total de nuclıdeos na cadeia de deplecao.

2.3 Elementos da Matriz de Evolucao

As interacoes nucleares, fazem variar as concentracoes isotopicas e mudam a identi-

dade dos nuclıdeos que aparecem na matriz de evolucao. Deste modo, as equacoes

que descrevem os processos de producao e consumo dos nuclıdeos, ou seja, actinıdeos

e produtos de fissao, sao mostrados a seguir.

1. Para os Actinıdeos: Assumimos as seguintes formas, como mostrado na

Figura 2.1, para um actinıdeo ser produzido ou se transmutar:

6

Figura 2.1: Possıveis formas de producao ou transmutacao para um actinıdeo.

Da Figura 2.1 vemos que a producao do nuclıdeo i pode ser devida a captura

radiativa de um neutron pelo nuclıdeo i − 1, ao decaimento-α do nuclıdeo j,

e/ou a reacao n2n do nuclıdeo i + 1. Por sua vez, ele pode se transmutar

devido ao decaimento β− ou captura de um neutron, neste caso dando origem

ao nuclıdeo i+1. Tais reacoes vem descritas na equacao de deplecao do nuclıdeo

i, que tem a seguinte forma geral:

∂

∂tNi(~r, t) = ei,i−1(~r, t)Ni−1(~r, t) + ei,i+1(~r, t)Ni+1(~r, t)+

+ei,j(~r, t)Nj(~r, t) + ei,i(~r, t)Ni(~r, t) , (2.2)

onde:

ei,i−1(~r, t) ≡ 10−24G∑

g=1

σi−1cg φg(~r, t) , (2.3)

ei,i+1(~r, t) ≡ 10−24G∑

g=1

σi+1n2n,gφg(~r, t) , (2.4)

ei,j(~r, t) ≡ λj (2.5)

e

ei,i(~r, t) ≡ −(λi + 10−24G∑

g=1

(σicg + σi

fg)φg(~r, t)) . (2.6)

2. Para os Produtos de Fissao: Agora, asumimos as seguintes formas, como

mostrado na figura 2.2, para um Produto de Fissao(PF) ser produzido ou se

transmutar

7

Figura 2.2: Possıveis formas de producao ou transmutacao para um PF.

Na Figura 2.2 e observado que a criacao do produto de fissao i e devido a

contribuicao dos actinıdeos que sofrem fissao e/ou tambem devida a captura

do seu antecesor (i − 1). Por sua vez, ele pode se transmutar devido ao

decaimento β− e/ou quando captura um neutron. Assim, tais reacoes vem

descritas na equacao de deplecao do PF i, que tem a seguinte forma geral:

∂

∂tNi(~r, t) =

If∑j=1

ei,j(~r, t)Nj(~r, t) + ei,i−1(~r, t)Ni−1(~r, t)+

+ei,i(~r, t)Ni(~r, t) , (2.7)

onde:

ei,j(~r, t) ≡ 10−24γi,jG∑

g=1

σjfgφg(~r, t) , (2.8)

ei,i−1(~r, t) ≡ λi−1 (2.9)

e

ei,i(~r, t) ≡ −(λi + 10−24G∑

g=1

σicgφg(~r, t)) . (2.10)

Nas equacoes de deplecao dos actinıdeos e dos PF aparecem as secoes de choque

microscopicas de absorcao (σiag), captura (σi

cg), fissao (σifg) e reacao n2n (σi

n2n,g) do

nuclıdeo i para o grupo g de energia, com g = 1, G. λi e a constante de decaimento

do nuclıdeo i e γi,j e a fracao da fissao de um actinıdeo j para produzir o produto

de fissao i. Notamos que os elementos da matriz de evolucao estao em funcao da

posicao e do tempo, e requerem previo conhecimento do fluxo de neutrons.

8

2.4 Equacao para o Fluxo de Neutrons

Observamos que a analise de deplecao do combustıvel envolve uma variedade de

processos nucleares que afetam o fluxo de neutrons. Por isso, procuramos resolver

a equacao de difusao, na formulacao de multigrupos de energia, com fonte externa

de neutrons (mantida constante), ao longo do ciclo de operacao do reator.

1

υg

∂

∂tφg(~r, t)− ~∇ ·

(Dg(~r, t)~∇φg(~r, t)

)+ Σtg(~r, t)φg(~r, t) =

= χg

G∑g′=1

νΣfg′(~r, t)φg′(~r, t) +G∑

g′=1

Σgg′(~r, t)φg′(~r, t) + sext,g(~r) ; g = 1, G ,(2.11)

sendo υg a velocidade dos neutrons do grupo g; φg e o fluxo de neutrons do grupo

g; Σtg e secao de choque macroscopica total do grupo g; χg e o espectro de fissao

do grupo g; νΣfg′ e o produto do numero medio de neutrons emitidos na fissao

pela secao de choque macroscopica de fissao do grupo g′; Σgg′ e a secao de choque

macroscopica de espalhamento do grupo g′ para o grupo g; sext,g e a fonte externa

de neutrons de grupo g; e Dg e o coeficiente de difusao do grupo g. Esta equacao de

difusao de neutrons usa como condicao de contorno o Fluxo Nulo fora das regioes

do nucleo do reator, estas condicoes estao amplamente descritas em (TAIPE, 2014).

Alem disso, a secao de choque macroscopica total e o coeficiente de difusao, sao

da seguinte forma:

Σtg(~r, t) = Σcg(~r, t) + Σfg(~r, t) +G∑

g′=1

Σg′g(~r, t) , (2.12)

e

Dg(~r, t) =1

3Σtrg(~r, t), (2.13)

com

Σcg(~r, t) =I∑

i=1

Ni(~r, t)σicg , (2.14)

Σfg(~r, t) =

If∑i=1

Ni(~r, t)σifg , (2.15)

9

Σgg′(~r, t) =I∑

i=1

Ni(~r, t)σigg′ , (2.16)

Σtrg(~r, t) =I∑

i=1

Ni(~r, t)σitrg (2.17)

e

νΣfg(~r, t) =

If∑i=1

Ni(~r, t)νσifg , (2.18)

onde If e o numero de nuclıdeos fissionaveis. Como e notado, a deplecao isotopica se

da a medida que o ciclo de queima avanca e com ela venham modificacoes nas secoes

de choque macroscopicas, que por consequencia acarreta perturbacoes no fluxo de

neutrons, exigindo assim um novo calculo no tempo.

2.5 Aproximacao Quase-Estatica

Embora as concentracoes isotopicas variem exponencialmente no tempo, a forma

espacial do fluxo de neutrons varia lentamente com o tempo. Sendo assim, para

intervalos de tempo [t`, t`+l) nos quais o perıodo de queima (ou ciclo de queima)

[t1, tL+1] e dividido, como e ilustrado na figura 2.3, a chamada Aproximacao Quase

Estatica e usada, onde:

φg(~r, t) ∼= φg(~r, t`); para t ∈ [t`, t`+l).

Assim, para analisar o nucleo de um reator, durante o seu perıodo de queima,

utiliza-se uma sequencia de calculos estaticos, para obter o fluxo de neutrons, in-

tercalados com os calculos das equacoes de deplecao dependentes do tempo para

determinar todas as concentracoes isotopicas no nucleo do reator.

Figura 2.3: Discretizacao temporal do ciclo de operacao do reator

A aproximacao quase-estatica implica que ∂∂tφg(~r, t) = 0 para t` ≤ t ≤ t`+1, o

10

que torna a equacao (2.11), como segue

−~∇ ·(Dg(~r, t`)~∇φg(~r, t`)

)+ Σtg(~r, t`)φg(~r, t`) = χg

G∑g′=1

νΣfg′(~r, t`)φg′(~r, t`)+

+G∑

g′=1

Σgg′(~r, t`)φg′(~r, t`) + sext,g(~r) ; g = 1, G , (2.19)

onde os parametros nucleares, dados pelas equacoes (2.12) a (2.18), sao agora escritos

em termos das concentracoes isotopicas Ni(~r, t`), as quais sao obtidas atraves da

equacao (2.1), que torna-se da seguinte forma:

∂

∂tN(~r, t) = E`N(~r, t) ; t` ≤ t ≤ t`+1 , (2.20)

com os elementos da matriz de evolucao E` agora sendo calculados para φg(~r, t`).

Para as equacoes (2.3), (2.4) e (2.8), por exemplo, ter-se-ia:

ei,i−1(~r, t`) ≡ 10−24G∑

g=1

σi−1cg φg(~r, t`) , (2.21)

ei,i+1(~r, t`) ≡ 10−24G∑

g=1

σi+1n2n,gφg(~r, t`) (2.22)

e

ei,j(~r, t`) ≡ 10−24γi,jG∑

g=1

σjfgφg(~r, t`) . (2.23)

Note-se que o desenvolvimento da Equacao de difusao de neutrons multigru-

pos dado por (2.19), trabalha com a condicao de contorno de Fluxo Nulo, descrito

amplamente em (TAIPE, 2014).

11

2.6 Medias por Regiao

Em geral, o nucleo do reator e dividido em regioes nas quais os parametros nucleares

sao uniformes, ou seja, para uma regiao de volume Vm, tem-se que

Σcg(~r, t`) =I∑

i=1

Nmi (t`)σ

icg ≡ Σm

cg(t`) , (2.24)

Σfg(~r, t`) =

If∑i=1

Nmi (t`)σ

ifg ≡ Σm

fg(t`) , (2.25)

Σgg′(~r, t`) =I∑

i=1

Nmi (t`)σ

igg′ ≡ Σm

gg′(t`) , (2.26)

Σtrg(~r, t`) =I∑

i=1

Nmi (t`)σ

itrg ≡ Σm

trg(t`) (2.27)

e

νΣfg(~r, t`) =

If∑i=1

Nmi (t`)νσ

ifg ≡ νΣm

fg(t`) , (2.28)

para ~r ∈ Vm.

Aplicando o operador media 1Vm

∫Vm

(·)dV a equacao (2.20) segue que,

d

dt

( 1

Vm

∫Vm

N(~r, t)dV)

=1

Vm

∫V

E`(~r)N(~r, t)dV . (2.29)

Como Ni(~r, t) = Nmi (t) para ~r ∈ Vm, da equacao (2.29) segue que

d

dtNm(t) = Em

` Nm(t) ; t` ≤ t ≤ t`+1 , (2.30)

onde:

Em` ≡

1

Vm

∫Vm

E`(~r)dV . (2.31)

Com isso, os elementos da matriz de evolucao Em` sao dados por

emi,j(t`) ≡1

Vm

∫Vm

ei,j(~r, t`)dV , (2.32)

12

ou seja, por exemplo, para as equacoes (2.21) a (2.23), tem-se que

emi,i−1(t`) = 10−24G∑

g=1

σi−1c,g φ

mg (t`) , (2.33)

emi,i+1(t`) = 10−24G∑

g=1

σi+1n2n,gφ

mg (t`) , (2.34)

e

emi,j(t`) = 10−24γi,jG∑

g=1

σjfgφ

mg (t`) , (2.35)

com

φmg (t`) ≡

1

Vm

∫Vm

φg(~r, t`)dV . (2.36)

Uma vez que o fluxo de neutrons e determinado, de acordo com a equacao (2.36),

e tendo Nm(t`) conhecido, pode-se escolher um metodo numerico para resolver a

equacao (2.30), para t ∈ [t`; t`+1], com o qual o vetor solucao Nm(t`+1) e obtido.

2.7 Metodo de Calculo Direto

O procedimento convencional, usado ate agora para realizar o calculo de deplecao

isotopica sera chamado de Metodo de Calculo Direto. Neste metodo sao resolvidas

as equacoes para obtencao do fluxo de neutrons, equacao (2.19), no inicio de cada

intervalo de tempo [t`; t`+1). Com os fluxos e as concentracoes isotopicas conhecidos

em t`, pode-se resolver a equacao de deplecao isotopica, equacao (2.30), e ,finalmente,

determinar as concentracoes isotopicas em t`+1. Para um melhor entendimento, o

resumo deste procedimento e mostrado a seguir:

1. Resolver a equacao (2.19) para obter φg(~r, t`), valido no intervalo [t`; t`+1).

2. Calcular φmg (t`) usando a equacao (2.36).

3. Calcular os elementos da matriz de evolucao, emi,j(t`).

4. Resolver a equacao (2.30), para obter as concentracoes isotopicas no instante

t`+1.

13

5. Repetir os passos 1− 5 ate o intervalo de tempo final L.

Os resultados obtidos pelo Metodo de Calculo Direto, serao usados como re-

ferencia, para verificacao da precisao dos resultados obtidos com o metodo de de-

plecao, usando a GPT, desenvolvido nesta tese.

14

Capıtulo 3

Calculo de Deplecao Isotopica

usando GPT

3.1 Introducao

A analise de deplecao e uma das tarefas mais importantes, que e feita para o nucleo

do reator, alem de exigir um grande custo operacional quando o calculo de deplecao

isotopica e realizado. Estudos previos que usam a GPT, para realizar o calculo

de deplecao isotopica (GANDINI, 1967), (GANDINI et al., 1977), (KALLFELZ

et al., 1977), (GANDINI, 1997) e (GANDINI, 1987) e (DA SILVA e THOME, 1987),

mostram a reducao do custo operacional, sem sacrificar a precisao dos resultados.

Neste capıtulo e apresentado um metodo alternativo para o calculo de deplecao

isotopica, onde faz-se uso da Teoria de Perturbacao Generalizada (GPT). Para isto,

considera-se a variacao no tempo das concentracoes isotopicas, devido a queima

do combustıvel, como perturbacoes causadas no sistema. Assim, a GPT pode ser

usada para calcular as perturbacoes nas Quantidades Integrais de interesse, devido

a deplecao isotopica. As Quantidades Integrais podem ser as taxas de reacoes ou

integrais do fluxo de neutrons, por exemplo.

A metodologia da GPT (GANDINI, 2001) usada para desenvolver o tema desta

tese se apoia, principalmente, em dois fundamentos essenciais, descritos a seguir.

15

Conceito de Importancia: A importancia de um neutron e a provavel contri-

buicao deste neutron a um processo arbitrario detectavel (Quantidade Inte-

gral), em um instante t entre t1 e tF .

Prıncipio de Conservacao de Importancia (GANDINI, 1969): A im-

portancia de um neutron em um instante t, antes de tF , e igual a importancia

total de sua provavel prole em qualquer instante mais tarde, antes de tF .

Sendo assim, a definicao das Quantidades Integrais de interesse se faz necessaria.

E isto e feito a seguir.

3.2 Quantidades Integrais

Os elementos da matriz de evolucao contem as taxas de reacoes, com as quais traba-

lha o metodo de calculo de deplecao isotopica desenvolvido nesta tese. Sendo assim,

para o exemplo das equacoes (2.33) a (2.35), os elementos da matriz de evolucao

podem ser representados da seguinte forma:

emi,i−1(t`) ≡ 10−24Tmc,i−1(t`) , (3.1)

emi,i+1(t`) ≡ 10−24Tmn2n,i+1(t`) (3.2)

e

emi,j(t`) ≡ 10−24γi,jTmf,j(t`) , (3.3)

onde as taxas de reacoes de captura (Tmc,i(t`)), fissao (Tm

f,i(t`)) e n2n (Tmn2n,i(t`)), do

nuclıdeo i, dependem do fluxo de neutrons da seguinte forma:

Tmc,i(t`) ≡

1

Vm

G∑g=1

σicg

∫Vm

φg(~r, t`)dV , (3.4)

Tmf,i(t`) ≡

1

Vm

G∑g=1

σifg

∫Vm

φg(~r, t`)dV (3.5)

16

e

Tmn2n,i(t`) ≡

1

Vm

G∑g=1

σin2n,g

∫Vm

φg(~r, t`)dV , (3.6)

estas taxas de reacoes podem ser escritas na seguinte forma generica:

Tmx,i(t`) ≡

1

Vm

G∑g=1

σix,gQ

mg (t`) , (3.7)

com

Qmg (t`) ≡

∫Vm

φg(~r, t`)dV . (3.8)

Considerando a mudanca no tempo das concentracoes isotopicas, devido a

queima de combustıvel, como perturbacoes causadas no sistema, o metodo da GPT

pode ser usada para calcular as perturbacoes nas quantidades integrais de interesse,

devido a deplecao isotopica. Uma vez que a deplecao isotopica implica mudancas

do fluxo de neutrons e este, por sua vez, comparece nas taxas de reacoes, equacao

(3.7), as Quantidades Integrais de interesse, para a GPT, sao as seguintes:

Qmg′ (t1) ≡

∫Vm

φg′(~r, t1)dV ; para g′ = 1, G e m = 1,M , (3.9)

com φg(~r, t1) sendo solucao da equacao (2.19) no instante de tempo t1, qual seja,

−~∇ ·(Dg(~r, t1)~∇φg(~r, t1)

)+ Σtg(~r, t1)φg(~r, t1) = χg

G∑g′=1

νΣfg′(~r, t1)φg′(~r, t1)+

+G∑

g′=1

Σgg′(~r, t1)φg′(~r, t1) + sext,g(~r) ; g = 1, G , (3.10)

onde tem-se:

Σtg(~r, t1) = Σcg(~r, t1) + Σfg(~r, t1) +G∑

g′=1

Σg′g(~r, t1) , (3.11)

e

Dg(~r, t1) =1

3Σtrg(~r, t1), (3.12)

17

com

Σcg(~r, t1) =

If∑i=1

Ni(~r, t1)σicg , (3.13)

Σfg(~r, t1) =

If∑i=1

Ni(~r, t1)σifg , (3.14)

Σgg′(~r, t1) =

If∑i=1

Ni(~r, t1)σigg′ , (3.15)

Σtrg(~r, t1) =

If∑i=1

Ni(~r, t1)σitrg , (3.16)

e

νΣfg(~r, t1) =

If∑i=1

Ni(~r, t1)νσifg , (3.17)

onde If e o numero de nuclıdeos fissionaveis.

Mas, a quantidade integral dada pela equacao (3.9) pode ser assim reescrita:

Qmg′ (t1) =

G∑g=1

∫V

s+g (~r)φg(~r, t1)dV ; g′ = 1, G e m = 1,M , (3.18)

com

s+g (~r) =

1 para ~r ∈ Vm e g = g′

0 para ~r /∈ Vm e/ou g 6= g′. (3.19)

Definidas as quantidades integrais de interesse, as funcoes importancias a elas

associadas, podem ser definidas como sera visto a seguir.

18

3.3 Equacao da Funcao Importancia

Para a quantidade integral dada pela equacao (3.18), a funcao importancia associada(ψ∗(m,g′),g(~r)

)e solucao de

−~∇ ·(Dg(~r, t1)~∇ψ∗(m,g′),g(~r)

)+ Σtg(~r, t1)ψ

∗(m,g′),g(~r) = νΣfg(~r, t1)

G∑g′′=1

χg′′ψ∗(m,g′),g′′(~r)+

+G∑

g′′=1

Σg′′g(~r, t1)ψ∗(m,g′),g′′(~r) + s+g (~r) ; g = 1, G , (3.20)

lembrando que s+g (~r) so e diferente de zero para g = g′ e ~r ∈ Vm. Observa-se que

tantas funcoes importancias quanto for o produto do numero de regioes (M) pelo

numero de grupos de energia (G) devem ser calculadas.

Alem disso, de acordo com a Relacao de Reciprocidade de Fontes da GPT, a

quantidade integral dada pela equacao (3.18) tambem pode ser assim calculada:

Qmg′ (t1) =

G∑g=1

∫V

ψ∗(m,g′),g(~r)sext,g(~r)dV ; para g′ = 1, G e m = 1,M ,

(3.21)

lembrando que, neste caso, a funcao importancia ψ∗(m,g′),g(~r) esta associada a regiao

m e ao grupo g′, de acordo com s+g (~r) definida pela equacao (3.19). Deve ser no-

tado que a aplicacao direta da Relacao de Reciprocidade de Fontes (GANDINI,

1987) serve para verificar se ψ∗(m,g′),g(~r) esta sendo bem calculada, comparando-se os

resultados dados pelas equacoes (3.21) e (3.9).

Agora, admitindo que a deplecao isotopica causa perturbacoes no fluxo de

neutrons, ou seja, que

φg(~r, t`) ≡ φg(~r, t1) + δφg(~r, t`) , (3.22)

da equacao (3.9) tem-se que

Qmg′ (t`) ≡

∫Vm

φg′(~r, t`)dV =G∑

g=1

∫V

s+g (~r){φg(~r, t1) + δφg(~r, t`)

}dV , (3.23)

19

ou seja, lembrando da equacao (3.18), tem-se que:

Qmg′ (t`) = Qm

g′ (t1) + δQmg′ (t`) , (3.24)

com

δQmg′ (t`) ≡

G∑g=1

∫V

s+g (~r)δφg(~r, t`)dV . (3.25)

Observa-se que a equacao (3.25) tambem e uma quantidade integral com o mesmo

s+g (~r) da equacao (3.18), porem para a variacao do fluxo de neutrons. Entao, por

ter o mesmo s+g (~r) que a equacao (3.18), a funcao importancia, associada a esta

quantidade integral (equacao (3.25)), e a mesma dada pela equacao (3.20).

Aqui tambem poder-se-ia usar a Relacao de Reciprocidade de Fontes, mas, para

isso, a equacao que governa a variacao do fluxo precisa ser obtida. Isto e feito a

seguir.

3.4 Equacao da Variacao do Fluxo

Uma vez que a deplecao isotopica e considerada como a perturbacao que intervem

no sistema, segue que

Dg(~r, t`) = Dg(~r, t1) + δDg(~r, t`) , (3.26)

Σtg(~r, t`) = Σtg(~r, t1) + δΣtg(~r, t`) , (3.27)

Σgg′(~r, t`) = Σgg′(~r, t1) + δΣgg′(~r, t`) , (3.28)

e

νΣfg(~r, t`) = νΣfg(~r, t1) + νδΣfg(~r, t`) . (3.29)

Onde, para ~r ∈ Vm, tem-se que

Dg(~r, t`) =1

3Σmtrg(t`)

; para ` = 1, L , (3.30)

20

com

Σmtrg(t`) =

I∑i=1

Nmi (t`)σ

itrg (3.31)

e

δΣtg(~r, t`) =I∑

i=1

[{Nm

i (t`)−Nmi (t1)}(σi

cg + σifg +

G∑g′=1

σig′g)]

, (3.32)

δΣg′g(~r, t`) =I∑

i=1

{Nm

i (t`)−Nmi (t1)

}σig′g , (3.33)

e

δνΣfg(~r, t`) =I∑

i=1

{Nm

i (t`)−Nmi (t1)

}νσi

fg . (3.34)

Substituindo a equacao (3.22) e as equacoes (3.26) a (3.29) na equacao (2.19)

vem

−~∇ ·({Dg(~r, t1) + δDg(~r, t`)

}[φg(~r, t1) + δφg(~r, t`)

])+

+{

Σtg(~r, t1) + δΣtg(~r, t`)}[φg(~r, t1) + δφg(~r, t`)

]=

= χg

G∑g′=1

{νΣfg′(~r, t1) + δνΣfg′(~r, t`)

}[φg(~r, t1) + δφg(~r, t`)

]+

+G∑

g′=1

{Σgg′(~r, t1) + δΣgg′(~r, t`)

}[φg(~r, t1) + δφg(~r, t`)

]+ sext,g(~r) . (3.35)

Agora, rearrumando a equacao (3.35) e lembrando da equacao (3.9), a equacao

que governa a variacao do fluxo de neutrons (δφg(~r, t`)) e da seguinte forma:

−~∇ ·(Dg(~r, t1)~∇δφg(~r, t`)

)+ Σtg(~r, t1)δφg(~r, t`) =

= χg

G∑g′=1

νΣfg′(~r, t1)δφg′(~r, t`) +G∑

g′=1

Σgg′(~r, t1)δφg′(~r, t`) + ξg(~r, t`) , (3.36)

21

onde:

ξg(~r, t`) ≡ ~∇ ·(δDg(~r, t`)~∇φg(~r, t`)

)+ χg

G∑g′=1

δνΣfg′(~r, t`)φg′(~r, t`)+

+G∑

g′=1

δΣgg′(~r, t`)φg′(~r, t`)− δΣtg(~r, t`)φg(~r, t`) , (3.37)

Como a funcao importancia associada a quantidade integral dada pela equacao

(3.25) e a mesma dada pela equacao (3.20), segundo a Relacao de Reciprocidade de

Fontes da GPT, a equacao (3.25) tambem pode ser assim calculada:

δQmg′ (t`) =

G∑g=1

∫V

ψ∗g(~r)ξg(~r, t`)dV . (3.38)

Substituindo a equacao (3.37) na equacao (3.38), resulta em

δQmg′ (t`) =

G∑g=1

∫V

ψ∗g(~r){~∇ ·(δDg(~r, t`)~∇φg(~r, t`)

)+

+χg

G∑g′′=1

δνΣfg′′(~r, t`)φg′′(~r, t`) +G∑

g′′=1

δΣgg′′(~r, t`)φg′′(~r, t`)−

−δΣtg(~r, t`)φg(~r, t`)}dV . (3.39)

Observa-se que a GPT desprezaria produtos de perturbacoes, como por exemplo

δΣtg(~r, t`)δφg(~r, t`). Mas, para este tipo de problema que esta sendo tratado nesta

tese, Calculo de Deplecao Isotopica, uma aproximacao diferente sera considerada,

como explicitado na proxima secao.

3.5 Metodo de Calculo Perturbativo

Como a utilizacao da atual formulacao da GPT, que despreza produtos de per-

turbacoes, na equacao (3.39) ter-se-ia φg(~r, t1) no lugar φg(~r, t`) para ` ≥ 1. No

entanto, foi verificado que ao fazer esta aproximacao os resultados obtidos usando a

atual formulacao da GPT apresentavam altos desvios em comparacao com os resul-

22

tados do Metodo de Calculo Direto.

Logo, levando em consideracao que as concentracoes isotopicas do Xenonio e

Samario atingem o equilıbrio depois de aproximadamente 6 dias (instante t3 nos

calculos), adotou-se o fluxo de neutrons deste instante na equacao (3.39), a qual

pasou a ser da seguinte forma:

δQmg′ (t`)

∼=G∑

g=1

∫V

ψ∗g(~r){~∇ ·(δDg(~r, t`)~∇φg(~r, t3)

)+

+G∑

g′′=1

[χgδνΣfg′′(~r, t`) + δΣgg′′(~r, t`)

]φg′′(~r, t3)−

−δΣtg(~r, t`)φg(~r, t3)}dV para ` ≥ 4 . (3.40)

Entao, na elaboracao de um procedimento para o calculo de deplecao isotopica

usando a GPT, um Metodo de Calculo Perturbativo para este fim foi desenvol-

vido e este metodo tem como base a equacao (3.40). E, como pode ser visto,

a equacao (3.40) depende tanto das funcoes importancias (ψ∗(m,g′),g(~r)) quanto do

fluxo de neutrons em t3 (φg(~r, t3)). Sendo assim, uma vez obtidas as correspon-

dentes funcoes importancias (que sao calculadas uma unica vez), que sao tantas

quanto o produto de M (numero de regioes) por G (numero de grupos de energia),

o seguinte procedimento e seguido:

1. Resolver a equacao (2.19) para obter φg(~r, t`) no intervalo [t`; t`+1).

2. Calcular φmg (t`) usando a equacao (2.36).



t`+1.

5. Repetir os passos 1− 4 nos intervalos de tempo ` = 1, 2 e 3.

6. Calcular δQmg′ (t`) usando a equacao (3.40).

7. Calcular Qmg′ (t`) usando a equacao (3.24).

23



t`+1.

10. Repetir os passos 6− 9 para ` ≥ 4 ate o intervalo de tempo final L.

Deve ser notado que o procedimento deste Metodo Perturbativo inicia como o

Metodo de Calculo Direto, para os intervalos de tempo ` = 1, 2 e 3, com o Calculo

do fluxo de neutrons resolvendo-se a equacao (2.19). A partir de ` ≥ 4 os calculos

de deplecao prosseguem utilizando a equacao (3.40) e nao mais o calculo iterativo

do fluxo de neutrons.

24

Capıtulo 4

Fluxogramas dos Programas de

Calculo

4.1 Introducao

Na implementacao do Metodo Perturbativo proposto para calculos de deplecao

isotopica usando a GPT, foram elaborados programas em linguagem FORTRAN

com a finalidade de verificar a validade do metodo proposto, comparando os seus

resultados com aqueles de um Metodo de Calculo direto.

O programa para o Metodo de Calculo Direto consta de dois modulos. O pri-

meiro, chamado de Problema de Fonte Fixa resolve a equacao da difusao de neutron

com uma fonte externa de neutrons. E o segundo, chamado de Calculo de Deplecao,

que realiza o calculo das concentracoes isotopicas.

O programa para o Metodo Perturbativo tem tres modulos. O primeiro, que e

independente dos outros dois, chamado de Funcoes Importancias, e encarregado de

calcular as funcoes importancias para cada grupo de energia e cada regiao. E os

outros dois modulos, que pertencem ao chamado Programa de Calculo Perturbativo,

resolvem as equacoes de deplecao isotopica , usando GPT.

Deve ser observado que existe um modulo chamado Problema de Autovalor. Este

modulo e encarregado de calcular o fator de multiplicacao efetivo, independente do

25

metodo de calculo de deplecao isotopica utilizado. A sua finalidade e apenas verificar

se o sistema permanece subcrıtico ao longo do perıodo de queima.

A seguir sao apresentados os fluxogramas que explicam, de uma forma geral, o

funcionamento dos programas dos respectivos modulos. Os nomes de cada um deles

definem suas funcoes.

4.2 Fluxograma do Programa Metodo de Calculo

Direto

Na Figura 4.1 apresenta-se o fluxograma do modulo de controle do Programa

Metodo de Calculo Direto. Este programa se encarrega do calculo das concentracoes

isotopicas da maneira convencional. E isto e feito mediante o recalculo, em cada

instante de tempo, dos parametros nucleares, dos fluxos medios por regiao, usando

o modulo Problema de Fonte Fixa, e do calculo das concentracoes isotopicas, usando

o modulo Calculo de Deplecao.

26

Figura 4.1: Fluxograma do Programa Metodo de Calculo Direto.

27

4.2.1 Fluxograma do Modulo Problema de Fonte Fixa

O fluxograma do modulo Problema de Fonte Fixa, que e encarregado de obter o

fluxo de neutrons para cada calculo de deplecao isotopica, e apresentado na Figura

4.2.

Figura 4.2: Fluxograma do Modulo Problema de Fonte Fixa.

4.2.2 Fluxograma do Modulo Calculo de Deplecao

O fluxograma do modulo Calculo de Deplecao, que realiza o calculo das concen-

tracoes isotopicas, e apresentado na Figura 4.3. Uma vez calculada a matriz

evolucao, para cada intervalo de tempo, o metodo Matriz de Transicao (ALVIM

et al., 2011) e usado para resolver as equacoes de deplecao e, assim, obter as con-

centracoes isotopicas no instante final do intervalo.

28

Figura 4.3: Fluxograma do Calculo de Deplecao.

4.3 Fluxograma do Programa Metodo Perturba-

tivo

Como no Metodo Perturbativo sao necessarias as funcoes importancias, primeiro

e apresentado o fluxograma do modulo de calculo destas funcoes. E, em seguida,

os fluxogramas relacionados aos modulos de calculo do Metodo Perturbativo desen-

volvidos sao apresentados. Nestes modulos os programas se encarregam do calculo

das concentracoes isotopicas usando a Teoria de Perturbacao Generalizada. No pro-

grama, primeiro, para ` ≤ 3, o reator se comporta como um sistema nao perturbado,

onde as concentracoes isotopicas sao determinadas pelo Metodo de Calculo Direto,

cujos modulos foram apresentadas nas secao 4.2. E, segundo, para ` ≥ 4, o reator se

comporta como um sistema perturbado, onde as concentracoes isotopicas, para es-

tes intervalos de queima, sao determinadas pelo Metodo Perturbativo desenvolvido

nesta tese.

29

4.3.1 Fluxograma do Modulo Funcoes Importancias

Este e um modulo independente, chamado Funcoes Importancias, que calcula as

funcoes importancias e as reserva ate que sejam requeridas no Metodo Perturbativo.

A Figura 4.4 apresenta o fluxograma deste modulo.

Figura 4.4: Fluxograma do Modulo Funcoes Importancias.

4.3.2 Fluxograma do Programa de Calculo Perturbativo

Na Figura 4.5 e apresentado o fluxograma do modulo de controle do Programa de

Calculo Perturbativo, onde se pode observar toda a estrutura de calculo do Metodo

Perturbativo desenvolvido para calculo de deplecao isotopica em reatores subcrıticos

guiados por uma fonte externa de neutrons.

30

Figura 4.5: Fluxograma do Programa de Calculo Perturbativo.

31

4.3.3 Fluxograma do Modulo de Calculo de Deplecao Per-

turbativo

Na Figura 4.6 e apresentado o fluxograma do modulo de Calculo de Deplecao Pertur-

bativo, onde se pode observar que para ` ≤ 3 os calculos sao feitos usando o Metodo

de Calculo Direto, ou seja, onde o fluxo de neutrons e recalculado. E que para ` ≥ 4

a equacao (3.40) passa a ser usada nos calculos das concentracoes isotopicas.

Figura 4.6: Fluxograma do Calculo de Deplecao Perturbativo.

4.4 Fluxograma do Modulo Problema de autova-

lor

O modulo Problema de Autovalor e utilizado so para verificar a subcriticalidade do

nucleo do reator, ou seja, para se ter a certeza que a queima de combustıvel nao

muda esta condicao do nucleo do reator. Na Figura 4.7 e apresentado o fluxograma

32

deste modulo.

Figura 4.7: Fluxograma do Modulo Problema de Autovalor.

No caso do problema de autovalor, o termo de fonte bg,` e assim definido:

bg,` ≡

S1,` + E12,`ϕ

(i−1)2 ; g = 1

S2,` + E21,`ϕ(i)1 ; g = 2

(4.1)

com

Sg,` ≡1

k(i−1)eff

Sfg . (4.2)

33

Capıtulo 5

Apresentacao e Analise dos

Resultados

5.1 Introducao

Neste capıtulo sao apresentados os resultados obtidos com o Metodo de Calculo

Perturbativo e sua comparacao com os resultados obtidos pelo Metodo de Calculo

Direto. As equacoes (2.19) e (3.20) sao resolvidas usando o Metodo de Diferencas

Finitas (TAIPE, 2014) e as equacoes de deplecao, equacao (2.30), sao resolvidas do

Metodo de Matriz de Transicao (ALVIM et al., 2011).

Tambem e apresentada a configuracao adotada na realizacao dos calculos. As

dimensoes, distribuicao e composicao isotopica para cada regiao do nucleo, assim

como os parametros nucleares, as cadeias de deplecao usadas e os dados nucleares,

dos materiais que correspondem a configuracao do nucleo do reator.

Finalmente, sao apresentados algumas concentracoes isotopicas, fatores de mul-

tiplicacao efetiva, densidade de potencia, respectivos desvios, e porcentagens de

trasmutacao, alem da analise dos resultados obtidos.

34

5.2 Apresentacao do Caso Teste

A fim de demonstrar a aplicabilidade do Metodo de Calculo Perturbativo, um caso

simples, porem significativo, foi usado. Para isto, foi considerado o caso de um

sistema subcrıtico, unidimensional e de dois grupos de energia, guiado por uma

fonte externa de neutrons, localizada no centro do nucleo subcrıtico. Na figura 5.1,

mostra-se a configuracao do nucleo do reator, na qual e observada a disposicao das

regioes e suas dimensoes, onde a = 10cm.

Figura 5.1: Configuracao do nucleo unidimensional.

Pode ser visto na Figura 5.1 que, as regioes 1 e 9 contem o refletor, as regioes

2-3 e 6-8 contem o combustıvel, e a regiao 5 contem a fonte externa de neutrons.

Esta fonte, que e mantida constante no tempo, e dada por

Sext,g(x) =

1012δ1g neutrons/cm3s ; para x ∈ regiao 5

0 ; para x /∈ regiao 5

,

sendo que δ1g e o Delta de Kronecker.

Os materias estruturais que complementam a composicao isotopica do nucleo do

reator sao dados na Tabela 5.1.

35

Tabela 5.1: Materiais em suas respectivasregioes

Regiao MateriaisCombustıvel Uranio, 10B, H2O e STRM1

Refletor H2O e STRMFonte Externa STRM1 STRM: material estrutural.

A cadeia de deplecao nas regioes do combustıvel e composta por 17 nuclıdeos e e

apresentada na Figura 5.2. As cadeias para os produtos de fissao considerados neste

calculo sao apresentadas na Figura 5.3. Ja a cadeia de deplecao usada nas regioes

dos AM e composta por 15 nuclıdeos e e apresentada na Figura 5.4. Note-se que a

cadeia usada na regiao dos AM e a mesma usada na regiao do combustıvel, salvo

que nesta sao excluıdos os nuclıdeos 238U e 239Np.

36

Figura 5.2: Cadeia de deplecao dos Actinıdeos para as regioes do combustıvel.

Figura 5.3: Cadeias de deplecao dos PF.

37

Figura 5.4: Cadeia de deplecao dos Actinıdeos para as regioes com ActinıdeosMenores.

38

As concentracoes isotopicas iniciais e alguns parametros nucleares, usados nos

calculos, sao apresentadas nas Tabelas 5.2 e 5.3, respectivamente.

Tabela 5.2: Concentracoes isotopicas iniciais.

Combustıvel AMNuclıdeo Concentracao2 Nuclıdeo Concentracao

234U 0.126020E-5 237Np 1.390E-6235U 0.152537E-3 241Am 8.775E-8238U 0.702007E-2 242mAm 1.112E-910B3 0.147846E-4 242Am 3.041E-10

243Am 2.041E-7242Cm 3.338E-8244Cm 3.534E-810B3 0.147846E-4

2 As concentracoes isotopicas sao dadas em atomos/barn.cm3 (HAECK et al.)

Tabela 5.3: Parametros nucleares

Dado g Valor (cm−1)

Σtr,g1 0.243009E+02 0.804673E+0

ΣSTRMc,g

1 0.271398E-32 0.103122E-2

Σg→3−gs,STRM

1 0.146344E-32 0.0

ΣH2Oc,g

1 0.158293E-32 0.505096E-2

Σg→3−gs,H2O

1 0.158057E-12 0.0

Nas Tabelas 5.4 e 5.5 sao mostradas as secoes de choque microscopicas dos

nuclıdeos usados nos calculos e presentes nas cadeias de deplecao.

Tabela 5.4: Secoes de choque microscopicas n2n

Nuclıdeo σn2n (b)236U 3.1846659E-03238U 6.1297184E-03239Pu 2.4906395E-03240Pu 8.4665918E-04241Pu 8.6386986E-03

39

Tabela 5.5: Secoes de choque microscopicas (em barn)

Nuclıdeo g σcg σfg νσfg σg→3−gs

234U1 0.184693E+02 0.566605E+00 0.148682E+01 0.239508E-022 0.490885E+02 0.218728E+00 0.514448E+00 -

235U1 0.379149E+01 0.847703E+01 0.207452E+02 0.313969E-022 0.466859E+02 0.272112E+03 0.663055E+03 -

236U1 0.877102E+01 0.346561E+00 0.883709E+00 0.193505E-022 0.263981E+01 0.2446200E-01 0.5667860E-01 -

238U1 0.815563E+00 0.116086E+00 0.323430E+00 0.206684E-022 0.137578E+01 0.1349560E-04 0.3363230E-04 -

237Np1 0.169043E+02 0.582883E+00 0.172221E+01 -2 0.135725E+03 0.9307270E-02 0.2453220E-01 -

238Pu1 0.484273E+01 0.172715E+01 0.526204E+01 0.338794E-022 0.218858E+03 0.664218E+01 0.192291E+02 -

239Pu1 0.544562E+01 0.923134E+01 0.267070E+02 0.247503E-022 0.404398E+03 0.728951E+03 0.208987E+04 -

240Pu1 0.226074E+03 0.676660E+00 0.208910E+01 0.653193E-032 0.181564E+03 0.3948630E-01 0.110680E+00 -

241Pu1 0.524341E+01 0.167068E+02 0.493534E+02 0.262850E-022 0.253379E+03 0.722447E+03 0.212782E+04 -

241Am1 0.271720E+02 0.758288E+00 0.263524E+01 0.378865E-022 0.607092E+03 0.338266E+01 0.109557E+02 -

242mAm1 0.690154E+01 0.483433E+02 0.158107E+03 0.267449E-022 0.942812E+03 0.458573E+04 0.149678E+05 -

242Pu1 0.370922E+02 0.491756E+00 0.154724E+01 0.152298E-022 0.103677E+02 0.5287930E-03 0.1485910E-02 -

243Am1 0.509104E+02 0.496144E+00 0.177188E+01 0.02 0.438253E+02 0.4740130E-01 0.155137E+00 -

242Cm1 0.369541E+01 0.402363E+00 0.157539E+01 0.228482E-022 0.814242E+01 0.145342E+01 0.499975E+01 -

244Cm1 0.133482E+02 0.972437E+00 0.364166E+01 0.145735E-022 0.523725E+01 0.285150E+00 0.986619E+00 -

135Xe1 0.111639E+03 - -2 0.153220E+07 - -

149Sm1 0.953017E+02 - -2 0.480351E+05 - -

10B1 0.436439E+02 - - 0.953950E-022 0.104512E+04 - - -

40

A operacao do nucleo do reator deu-se por um perıodo de queima de 300 dias,

que foi dividido em 22 intervalos de tempo (∆t` ≡ t`+1 − t`) como mostrado na

Tabela 5.6.

Tabela 5.6: Intervalos de tempo

` ∆t` (dias)1 32 33 14

4,. . . ,12 2013,. . . ,22 10

5.3 Analise dos Resultados de Calculo

O primeiro teste realizado foi para verificar se as funcoes importancias estavam bem

calculadas, o que se traduz pela confirmacao da Relacao de Reciprocidade de Fontes.

Na Tabela 5.7, sao mostrados os valores das Quantidades Integrais Qmg′ (t1) dadas

tanto pela equacao (3.9) quanto pela equacao (3.21).

Tabela 5.7: Teste do calculo da Funcao Importancia.

Regiao Grupo Equacao Equacao(m) (g′) (3.9) (3.21)

11 2.281546590875647E+01 2.281546590875649E+012 2.750613151379487E+01 2.750613151379495E+01

21 3.020636011805127E+02 3.020636011805133E+022 6.737423352888246E+01 6.737423352888260E+01

31 3.831353841090166E+02 3.831353841090163E+022 2.312076762783856E+02 2.312076762783857E+02

41 4.610666943173988E+03 4.610666943173997E+032 9.329665810285653E+02 9.329665810285662E+02

51 1.884318130654638E+03 1.884318130654636E+032 3.516548496721858E+02 3.516548496721852E+02

61 4.610666943173982E+03 4.610666943173979E+032 9.329665810285637E+02 9.329665810285645E+02

71 3.831353841090146E+02 3.831353841090152E+022 2.312076762783845E+02 2.312076762783845E+02

81 3.020636011805100E+02 3.020636011805114E+022 6.737423352888182E+01 6.737423352888207E+01

91 2.281546590875614E+01 2.281546590875632E+012 2.750613151379447E+01 2.750613151379464E+01

41

Ve-se dos resultados apresentados na Tabela 5.7 a excelente concordancia dos

dois calculos, comprovando que as funcoes importancias estao bem calculas. Com

isto feito, pode-se proceder os calculos de deplecao usando o Metodo Perturbativo

desenvolvido. Os resultados obtidos sao apresentados a seguir.

Como a geometria do nucleo do reator e simetrica (ver Figura 5.1), somente

serao mostrados os resultados para as regioes 6 e 8, e para a regiao dos AM, regiao

7. Assim, a comparacao dos resultados do Metodo Perturbativo com aqueles do

Metodo de Calculo Direto foi feita usando o desvio relativo percentual, dado pela

seguinte expressao:

Desvio(i, t`) =(

1− NGPTi (t`)

NDiretoi (t`)

)x100% , (5.1)

onde NGPTi (t`) e a concentracao istopica obtida pelo Metodo Perturbativo e

NDiretoi (t`) e a concentracao istopica obtida pelo Metodo de Calculo Direto, para o

nuclıdeo i.

Nas Figuras 5.5, 5.6 e 5.7, sao apresentadas a evolucao de algumas concentracoes

isotopicas, obtidas por ambos metodos, nas regioes 6, 7 e 8, respectivamente. Para

isto, foram escolhidos os graficos de seis nuclıdeos que mostraram maiores desvios

na comparacao dos resultados. Ja na Tabela 5.8 sao mostrados os desvios relativos

percentuais ao fim dos 300 dias do periodo de queima, para todos os nuclıdeos das

cadeias de deplecao.

42

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

1 , 3 x 1 0 - 4

1 , 4 x 1 0 - 4

1 , 4 x 1 0 - 4

1 , 5 x 1 0 - 4

1 , 5 x 1 0 - 4

1 , 6 x 1 0 - 4

Conc

entra

cao U

235 (

atomo

s/b.cm

)

I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s )

D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

0 , 0

5 , 0 x 1 0 - 8

1 , 0 x 1 0 - 7

1 , 5 x 1 0 - 7

2 , 0 x 1 0 - 7

Conc

entra

cao N

p239

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0- 2 , 0 x 1 0 - 6

0 , 0

2 , 0 x 1 0 - 6

4 , 0 x 1 0 - 6

6 , 0 x 1 0 - 6

8 , 0 x 1 0 - 6

1 , 0 x 1 0 - 5

1 , 2 x 1 0 - 5

1 , 4 x 1 0 - 5

Conc

entra

cao P

u239

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0- 2 , 0 x 1 0 - 1 3

0 , 02 , 0 x 1 0 - 1 3

4 , 0 x 1 0 - 1 3

6 , 0 x 1 0 - 1 3

8 , 0 x 1 0 - 1 3

1 , 0 x 1 0 - 1 2

1 , 2 x 1 0 - 1 2

1 , 4 x 1 0 - 1 2

1 , 6 x 1 0 - 1 2

1 , 8 x 1 0 - 1 2

Conc

entra

cao A

m242

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

0 , 0

5 , 0 x 1 0 - 1 0

1 , 0 x 1 0 - 9

1 , 5 x 1 0 - 9

2 , 0 x 1 0 - 9

2 , 5 x 1 0 - 9

3 , 0 x 1 0 - 9

Conc

entra

cao I

135 (

atomo

s/b.cm

)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0- 2 , 0 x 1 0 - 9

0 , 0

2 , 0 x 1 0 - 9

4 , 0 x 1 0 - 9

6 , 0 x 1 0 - 9

8 , 0 x 1 0 - 9

1 , 0 x 1 0 - 8

1 , 2 x 1 0 - 8

1 , 4 x 1 0 - 8

1 , 6 x 1 0 - 8

Conc

entra

cao S

m149

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

Figura 5.5: Comparacao de algumas concentracoes isotopicas da Regiao 6.

43

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

0 , 0

1 , 0 x 1 0 - 1 5

2 , 0 x 1 0 - 1 5

3 , 0 x 1 0 - 1 5

4 , 0 x 1 0 - 1 5

5 , 0 x 1 0 - 1 5Co

ncen

traca

o U23

6 (ato

mos/b

.cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

7 , 6 x 1 0 - 8

7 , 8 x 1 0 - 8

8 , 0 x 1 0 - 8

8 , 2 x 1 0 - 8

8 , 4 x 1 0 - 8

8 , 6 x 1 0 - 8

8 , 8 x 1 0 - 8

Conc

entra

cao A

m241

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 03 , 5 x 1 0 - 8

3 , 6 x 1 0 - 8

3 , 7 x 1 0 - 8

3 , 8 x 1 0 - 8

3 , 9 x 1 0 - 8

4 , 0 x 1 0 - 8

Conc

entra

cao C

m242

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 03 , 5 x 1 0 - 8

3 , 6 x 1 0 - 8

3 , 7 x 1 0 - 8

3 , 8 x 1 0 - 8

3 , 9 x 1 0 - 8

4 , 0 x 1 0 - 8

Conc

entra

cao C

m244

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

0 , 0

1 , 0 x 1 0 - 1 4

2 , 0 x 1 0 - 1 4

3 , 0 x 1 0 - 1 4

4 , 0 x 1 0 - 1 4

5 , 0 x 1 0 - 1 4

Conc

entra

cao I

135 (

atomo

s/b.cm

)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0- 1 , 0 x 1 0 - 1 4

0 , 0

1 , 0 x 1 0 - 1 4

2 , 0 x 1 0 - 1 4

3 , 0 x 1 0 - 1 4

4 , 0 x 1 0 - 1 4

5 , 0 x 1 0 - 1 4

6 , 0 x 1 0 - 1 4

7 , 0 x 1 0 - 1 4

8 , 0 x 1 0 - 1 4

Conc

entra

cao P

m149

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T


44

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

7 , 0 x 1 0 - 3

7 , 0 x 1 0 - 3

7 , 0 x 1 0 - 3

7 , 0 x 1 0 - 3

7 , 0 x 1 0 - 3

7 , 0 x 1 0 - 3

7 , 0 x 1 0 - 3

7 , 0 x 1 0 - 3Co

ncen

traca

o U23

8 (ato

mos/b

.cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0- 2 , 0 x 1 0 - 9

0 , 0

2 , 0 x 1 0 - 9

4 , 0 x 1 0 - 9

6 , 0 x 1 0 - 9

8 , 0 x 1 0 - 9

1 , 0 x 1 0 - 8

1 , 2 x 1 0 - 8

1 , 4 x 1 0 - 8

Conc

entra

cao N

p239

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0- 1 , 0 x 1 0 - 9

0 , 0

1 , 0 x 1 0 - 9

2 , 0 x 1 0 - 9

3 , 0 x 1 0 - 9

4 , 0 x 1 0 - 9

5 , 0 x 1 0 - 9

6 , 0 x 1 0 - 9

7 , 0 x 1 0 - 9

8 , 0 x 1 0 - 9

Conc

entra

cao P

u241

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

0 , 0

5 , 0 x 1 0 - 1 6

1 , 0 x 1 0 - 1 5

1 , 5 x 1 0 - 1 5

2 , 0 x 1 0 - 1 5

Conc

entra

cao C

m242

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

0 , 0

5 , 0 x 1 0 - 2 2

1 , 0 x 1 0 - 2 1

1 , 5 x 1 0 - 2 1

2 , 0 x 1 0 - 2 1

Conc

entra

cao C

m244

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

0 , 0

5 , 0 x 1 0 - 1 1

1 , 0 x 1 0 - 1 0

1 , 5 x 1 0 - 1 0

2 , 0 x 1 0 - 1 0

Conc

entra

cao P

m149

(atom

os/b.

cm)


D i r e t o G P T


45

Pela analise dos resultados mostrados nas Figuras, 5.5, 5.6 e 5.7, pode-se consta-

tar que apesar delas corresponderem aos casos com maiores desvios nos resultados,

que o Metodo Perturbativo resulta numa boa alternativa para este tipo de problema.

Tabela 5.8: Desvios relativos percentuais.

Nuclıdeo Regiao 6 Regiao 7 Regiao 8234U 0.01 0.13 0.00235U 0.01 -0.51 0.01236U -0.08 -1.08 -0.35238U 0.00 – 0.00237Np -0.17 0.01 -0.33238Pu -0.24 -0.12 -0.68239Np -0.73 – -1.22239Pu -0.11 -0.45 -0.31240Pu -0.13 0.01 -0.69241Pu -0.34 -0.56 -1.02241Am 0.18 0.03 -0.28242mAm 0.08 0.02 -0.82242Am -0.31 -1.00 -1.54242Pu -0.36 -0.20 -1.41243Am -0.09 0.01 -1.40242Cm -0.04 -0.15 -0.94244Cm -0.49 -0.03 -1.92135I -0.51 -1.25 -1.26

135Xe -0.29 -0.86 -1.16149Pm -0.52 -1.24 -1.26149Sm -0.09 -0.20 -0.14

Da Tabela 5.8 verifica-se que o maior desvio relativo e −1.92%, que corresponde

ao Actinıdeo Menor 244Cm o qual esta no final da cadeia de deplecao e na regiao

mais externa do nucleo, regiao 8. Alem disso, deve ser ressaltado que nesta regiao

estao presentes os maiores desvios relativos percentuais, obtidos durante o calculo.

Na regiao 6 o maior desvio e −0.73%, que corresponde ao nuclıdeo 239Np, sendo que

os menores desvios relativos, encontram-se nesta regiao, que cerca a regiao da fonte

externa. Ja na regiao 7, o maior desvio e −1.25% correspondente ao PF 135I.

Complementarmente, os graficos da evolucao no tempo dos fatores de multi-

plicacao e das densidades de potencia, sao apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9, res-

pectivamente.

46

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 00 , 9 3 0

0 , 9 3 5

0 , 9 4 0

0 , 9 4 5

0 , 9 5 0

0 , 9 5 5

k eff


D i r e t o G P T

Figura 5.8: Comparacao do Fator de Multiplicacao Efetivo

Do grafico dado pela Figura 5.8, que mostra a comparacao dos fatores de multi-

plicacao efetivo obtidos durante o perıodo de queima, pode-se observar que o nucleo

do reator permanece subcrıtico durante todo o perıodo de queima, com fatores de

multiplicacao efetivo de 0.95339, no instante inicial, e 0.93964, no instante final. Isto

esta em concordancia com o calculo direto, onde os fatores de multiplicacao efetivo

vao desde 0.95339 ate 0.93966 atraves do perıodo de queima.

Ja no grafico dado pela Figura 5.9 e apresentada a comparacao das densidade de

potencia obtidas. De onde pode ser visto que a densidade de potencia gerada pelo

reator foi desde 16.86 W/cm3 no instante inicial, ate 12.37 W/cm3 no instante final.

Este comportamento esta em concordancia com aqueles obtidos pelo Calculo Direto,

cuja densidade de potencia vai desde 16.86 W/cm3 ate 12.30 W/cm3 ao longo do

perıodo de queima.

47

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

��

��

��

��

��

� �


D i r e t o G P T

Figura 5.9: Comparacao da Densidade de Potencia.

Observa-se que para o calculo da densidade de potencia as seguintes equacoes

foram usadas:

i. Para o Metodo de Calculo Direto:

P (t`) = ω8∑

m=2

2∑g=1

{ I∑j=1

Nmj (t`)σ

jf,g

}φmg (t`) ; para ` ≥ 1 ,

onde ω = 3.25x10−11 J , e a energıa liberada por fissao.

ii. Para o Metodo de Calculo Perturbativo:

ii.1. para ` = 1, 3:

P (t`) = ω8∑

m=2

2∑g=1

{ I∑j=1

Nmj (t`)σ

jf,g

}φmg (t`) .

ii.2. para ` ≥ 4:

P (t`) = ω8∑

m=2

I∑j=1

{Nm

j (t`)σjf,gQ

mg′ (t1) +Nm

j (t1)σjf,gδQ

mg′ (t`)

},

48

com δQmg′ (t`) dado pela equacao (3.40).

Sendo I = 17 para as regioes do combustıveis (2,4,6 e 8) e I = 15 para as

regioes dos AM (3 e 7).

49

Capıtulo 6

Conclusoes

O desenvolvimento desta tese de doutorado teve como objetivo o Calculo de deplecao

isotopica usando a GPT em um sistema subcrıtico guiado por uma fonte externa de

neutrons. Para isto, foi criado um metodo que realiza este calculo, o qual foi chamado

Metodo de Calculo Perturbativo. Este tem como premissa considerar os fluxos de

neutrons como quantidades integrais.

Em vista disso, e dito que o sistema tem dois comportamentos. No inıcio do

periodo de queima, se comporta como um sistema nao perturbado, e depois, como

um sistema perturbado. Desta forma, quando o sistema se comporta como nao per-

turbado utilizam-se os mecanismos de calculo de deplecao convencionais (Metodo de

Calculo Direto), o qual se apoia calculo iterativo do fluxo de neutrons no inıcio de

cada intervalo de tempo em que o perıodo de queima e dividido. Agora, quando o sis-

tema se comporta como perturbado, a GPT pode ser utilizada, desde que a deplecao

isotopica seja considerada como perturbacoes causadas no sistema. As perturbacoes

nas quantidades integrais foram, entao, calculadas usando a metodologia da GPT,

atraves do calculo das funcoes importancia associadas as quantidades integrais de

interesse (os fluxos medios nas regioes). Estas funcoes importancia, que foram em

numero igual ao produto do numero de regioes (M) pelo numero de grupos (G),

sao calculadas somente para o instante inicial t1. Contrario ao calculo do fluxo de

neutrons que e feito, ao longo dos intervalos do ciclo de combustıvel, proprio de um

Metodo de Calculo Direto.

50

Os resultados gerados pelo Metodo de Calculo Perturbativo foram muito signifi-

cativos, quando comparados aos resultados de referencia (Metodo de Calculo Direto).

Os baixos desvios relativos percentuais mostram resultados bastante precisos, tendo

no final do perıodo de queima o maior desvio de apenas -1.92%, correspondente ao

nuclıdeo 244Cm, localizado na regiao mais externa do nucleo ativo. Adicionalmente,

foi observado que, os fatores de multiplicacao efetivo e a densidade da potencia, se

mantiveram dentro da faixa dos mesmos resultados dados pelo Metodo de Calculo

Direto.

Portanto, pode-se concluir que os resultados apresentados validam o Metodo

Perturbativo proposto para calculos de deplecao isotopica de sistemas subcrıticos

com fonte externa de neutrons. Alem disso, como este metodo muda a ideia da

formulacao atual da GPT, pode-se dizer que e um metodo inovador.

Aproveita-se para deixar como sugestao a sua aplicacao a reatores que operam

crıticos e verificar se a mesma ideia pode ser aplicada para este tipo de reator.

51

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55

Apendice

Os signos que aparecem nos coeficientes dos emi,j(t), que indicam se o processo nuclear,

ao qual descrevem, sao de consumo ou de geracao do nuclıdeo i respeito ao nuclıdeo

j, sao apresentados na seguinte matriz:

−1

1 −1

1 −1

−1

1 −1

1 −1

1 0

1 −1

1 −1

1 −1

−1

0.115 −1

0.885 0

1 −1

1 1 −1

−1

1 −1

γ18,1 γ18,2 γ18,3 · · · γ18,17 0

γ19,1 γ19,2 γ19,3 · · · γ19,17 0 −1

γ20,1 γ20,2 γ20,3 · · · γ20,17 0 0 0

0 0 0 · · · 0 0 0 0 −1

onde γi,j sao a producao dos produtos de fissao, dada pela Tabela 1.

Os parametros βi,j distintos de zero presentes nos elementos da matriz evolucao,

56

para a reacao n2n nas cadeias de deplecao usadas neste estudo, sao da seguinte

forma:

β2,3 = 1 β3,3 = −1 β4,4 = −1 β5,4 = 1 β6,8 = 1

β8,8 = −1 β8,9 = 1 β9,9 = −1 β9,10 = 1 β10,10 = −1

Os parametros Λi,j distintos de zero presentes nos elementos da matriz evolucao,

para as cadeias de deplecao usadas neste trabalho, estao relacionadas as constantes

de decaimento (apresentadas na Tabela 2):

Λ1,6 = λ238Pu Λ11,10 = λ241Pu Λ17,17 = −λ244Cm

Λ6,6 = −λ238Pu Λ12,12 = −λ242mAm Λ18,18 = −λ135IΛ6,16 = λ242Cm Λ13,12 = λ242mAm Λ19,18 = λ135IΛ7,7 = −λ239Np Λ13,13 = −λ242mAm Λ19,19 = −λ135Xe

Λ8,7 = λ239Np Λ14,13 = 0.173λ242Am Λ20,20 = −λ149PmΛ9,17 = λ244Cm Λ16,13 = 0.827λ242Am Λ21,20 = λ149PmΛ10,10 = −λ241Pu Λ16,16 = −λ242Cm

Tabela 1: Producao dos produtos de fissao

j Actinideγi,j

i = 18(135I) i = 19(135Xe) i = 20(149Pm)1 234U 0 0 02 235U 0.0630 0.0024 0.01073 236U 0.0563 0.0016 0.01374 238U 0.0683 0.0003 0.01615 237Np 0.066 0.0088 0.01276 238Pu 0 0 07 239Np 0 0 08 239Pu 0.0645 0.0115 0.01249 240Pu 0.0675 0.0070 0.013710 241Pu 0.0707 0.0023 0.015211 241Am 0 0 012 242mAm 0 0 013 242Am 0 0 014 242Pu 0.0690 0.0026 0.016215 243Am 0 0 016 242Cm 0 0 017 244Cm 0 0 0

57

Tabela 2: Constantes de decaimento (s−1)

λ238Pu 0.2503E−09

λ239Np 0.3408E−09

λ241Pu 0.1494E−08

λ242mAm 9.1445E−09

λ242Am 0.1203E−04

λ242Cm 0.4925E−07

λ244Cm 0.1213E−08

λ135I 0.2913E−04

λ135Xe 0.2118E−04

58

cálculo de depleção isotópica usando teoria de perturbação ...perturbation theory in a...

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