cÁlculo diferencial e integral · 2015-06-26 · mayores las unidades de aprendizaje del cálculo...
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
FRANCISCO MUÑOZ APREZA: Profesor Tiempo Completo Titular “C” del IPN
Francisco Muñoz Apreza Profesor Tiempo Completo Titular “C” adscrito a la Academia de Matemáticas de ICE. LA OBRA CONTIENE EL DESARROLLO DIDÁCTICO DEL PROGRAMA DE LA MATERIA
DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE LAS CARRERAS DE INGENIERÍA QUE
SE IMPARTEN EN LA ESIME ZACATENCO DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.
BIENVENIDA El Sistema de Enseñanza Aprendizaje de Alto Rendimiento Académico SEAARA te da la bienvenida a una forma de aprender el lenguaje y los fundamentos de la ciencia matemática, en este caso del Cálculo Diferencial e Integral con la confianza de que en cada una de sus líneas podrás encontrar una forma comprensible de entender y asimilar los desarrollos lógicos – operativos que fundamentan sus postulados
Índice general 1.- Introducción 4 2.- Objetivos 5 I.- Números reales 7 II.- Funciones reales de variable real 29 III.- Límites y continuidad 50 IV.- Derivadas 67 V.- Aplicación de la derivada 71 VI.- Integrales 93 VII.- Métodos de integración 100
Introducción Toda la estructura matemática contiene en sí una lógica formal con una gran carga de interdependencia y una relación biunívoca entre la teoría y la praxis. De esta forma la comprensión plena de la teoría de conjuntos posibilita entender desde una concepción conceptual el Campo de los Números Reales y los axiomas que lo fundamentan, La aplicación operativa de la aritmética como la aplicación de las operaciones que se producen en el campo de los números reales con un enfoque del comportamiento de las constantes que intervienen entre ellas te permitirá entender a plenitud cómo se comportan las propiedades reales desde una aplicación de sus variables, es decir el álgebra. Las Geometría Euclidiana vista desde la perspectiva del plano cartesiano en el campo real facilita mucho su aprendizaje y entendimiento. . Los logaritmos y la trigonometría tienen una relación directa con los postulados del campo de los números reales por eso es importante comprenderlos tanto teóricamente como en sus aplicaciones. Caso particularmente importante dentro de las bases matemáticas elementales que requerimos para que el proceso aprendizaje del Cálculo Diferencial e Integral sea óptimo es el dominio de la Geometría Analítica. Estamos conscientes que el problema medular de la enseñanza de las matemáticas en general son las bases elementales que el estudiante tiene por ello hemos diseñado un Curso de Actualización precisamente que remedie la ausencia parcial o total de esas bases el cual lo puedes cursar en la página www.virtualesimez.ipn.mx en Cursos y en SEAARA. Ahí podrás ingresar a Matemáticas Básicas. Con este bagaje cognitivo –el alumno podrá comprender sin complicaciones mayores las unidades de aprendizaje del Cálculo Diferencial e Integral de una variable real que aquí trataremos. Veamos la unidad I de aprendizaje contiene El campo de los números reales y las desigualdades de variables reales, para comprenderlos de una mejor manera es necesario tener los conocimientos básicos. La experiencia en la enseñanza nos ha demostrado que una vez que el alumno domina el tema de desigualdades de variables reales, la unidad de aprendizaje II referente a funciones reales de variable real se comprende nítidamente ya que al calcular el intervalo del dominio de la función estamos calculando el conjunto solución sobre el eje de las x y al calcular el contra dominio estamos calculando el conjunto solución sobre el eje y.
La unidad III del límite de una función real de variable real va íntimamente relacionada con los fundamentos básicos de matemáticas antes señalados, en forma particular se requiere del dominio del álgebra, en forma similar podremos comprender la continuidad de una función real de variable real si nuestra formación de desigualdades está bien fundamentada. Una vez que como estudiantes hemos corregido y fundamentado nuestra formación básica y asimilado los temas de desigualdades, funciones reales de variable real, límites y continuidad de variables reales de variable real, las unidades IV de la derivada y V de la integral se van a asimilar plenamente por el estudiante sin contratiempo. .
Objetivo general
El alumno utilizará los conceptos básicos del cálculo Diferencial e Integral de manera eficiente en la solución de problemas en distintos campos de la ingeniería.
Objetivos particulares
El alumno empleará las propiedades de los números reales en la solución de
desigualdades y será capaz de expresar la solución de desigualdades en
términos de intervalos.
El alumno manejará el concepto de función real de variable real y sus
características principales.
El alumno calculará límites de funciones reales de variable real así como
establecerá la continuidad de una función real de variable real en un punto o
un intervalo.
El alumno calculará las derivadas de funciones reales de variable real y las
aplicará en la solución de problemas de ingeniería.
El alumno reconocerá los conceptos y teoremas fundamentales de la integral
definida e indefinida, manipulará las principales técnicas de integración en la
solución de problemas de áreas, volúmenes, centros de masa y longitud de
curva.
I.- Números reales 1.1.- El campo de los números reales 8 1.1.1.- Axioma de cerradura 8 1.1.2.- Axioma de asociatividad 8 1.1.3.- Axioma de conmutatividad 9 1.1.4.- Axioma del idéntico 9 1.1.5.- Axioma del inverso 10 1.1.6.- Axioma de distributividad 10 1.2 .- Axioma de orden 11 1.3.- Definición de número negativo 11 1.4.- Definición de “ menor qué” 11 1.5.- Desigualdades 12 1.5.1.- Un poco de historia 12 1.5.2.- La forma de representar una desigualdad 12 1.5.3.- Definición de “mayor qué” 13 1.5.4.- Propiedades de las desigualdades 13 1.5.5.- Definición de intervalo abierto 14 1.5.6.- Definición de intervalo cerrado 14 1.5.7.- Definición 14 1.5.8.- Ejemplos 14 1.5.9.- Definición de valor absoluto 19 1.5.9.1.- Teorema 19 1.5.9.2.- Ejemplo 20 1.5.9.3.- Teorema 23 1.5.9.4.- Desigualdades del plano 23 1.5.9.5.- Ejemplos 24 1.5.9.6.- Ejercicios propuestos 27
I : El Campo de los Números Reales Un poco de historia
David Hilbert (1862 – 1943 ) Matemático filósofo alemán a quien se debe el tratado axiomático del Campo de los números reales. 1.1 .- El campo de los números reales puede ser descrito por un conjunto de axiomas con los cuales podemos conocer sus propiedades y operaciones de suma y multiplicación. P/q q≠0 La recta real la representamos por:
Propiedades de las operaciones suma (+ ) y multiplicación ( • )
Sean a y b dos números reales cualesquiera entonces, existe 1 y sólo 1 número real denotado a+b llamado suma y existe 1 y sólo 1 número real ab llamado producto. 1.1.1 .- Axioma de cerradura aditiva.
Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces
a+b = c Ejemplo 2+3 = 5 Axioma de la cerradura multiplicativa
Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces ab = d
Ejemplos 4(5) = 20 1.1.2.- Axioma de asociatividad aditiva
Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces: a+(b+c) = (a+b)+c
Ejemplo 3+(4+5) = (3+4)+5 Axioma de asociatividad multiplicativa
Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces (ab)c = a(bc)
Ejemplo [(3) (7)] 8 = 3[(7) (8)] 1.1.3.- Axioma de conmutatividad aditiva.
Si a y b son números reales cualesquiera entonces a+b = b+a
Ejemplo 2+3 = 3+2 Axioma de conmutatividad multiplicativa
Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces ab = ba
Ejemplo (5)4 = (4)5 1.1.4 Axioma del idéntico aditivo.
Si a es un número real cualesquiera y existe un número 0 llamado (cero) entonces a + 0 = a
Ejemplo 3 + 0 = 3 Axioma del idéntico multiplicativo
Si a, es un número real cualesquiera y existe un número llamado 1 entonces 1 ( a ) = a
Ejemplo (6)1 = 6 1.1.5.- Axioma del inverso aditivo.
Si a es un número real cualesquiera y existe un número llamado ( - a) entonces a+(-a) = 0
Ejemplo a + ( -a ) = 0 Axioma del inverso multiplicativo
Si a es un número real cualesquiera y existe un número llamado ( 1/a ) entonces a ( 1/a ) = 1
Ejemplo (6)1/6 = 1. 1.1.6.- Axioma de la distributividad.
Si existen números reales a, b y c tales que (a + b) c = ac + bc
Ejemplo (4+7)6 = (4)6 + 7(6) 1.2 .- Axioma de orden
Sea R un conjunto de números reales que satisface los tres axiomas de orden siguientes:
1.- Si a y b pertenecen a R positivo, entonces a + b y ab pertenecen a R. 2.- Para todo a ≠ 0 ó a pertenece a R positivo ó ( – a ) pertenece a R positivo pero no ambos.
Ejemplos
3+4=7 ( La suma de 2 números positivos es positiva).
5(2) = 10 ( El producto de dos números positivos es positivo )
1.3.- Definición
Si a es un número negativo, sea (- a), entonces - (- a) es positiva.
Ejemplo Si a = - 7 entonces - a = - (-7) = 7 1.4 Definición
Los símbolos < “menor que” y > “mayor que” se definen como: a < b si y sólo si b - a = + a>b si y sólo si b –a = -
Ejemplos Si a=7 y b=9 entonces 9 - 7 = 2 Si a=5 y b=4; entonces 4 - 5 = - 1
Agustín Leonard Cauchi (1789 – 1857) Matemático francés que en 1821 crea la suma de desigualdades. 1.5 Inecuaciones 1.5.1 .-Un poco de historia de las desigualdades El problema de las desigualdades no fue abordado por los antiguos matemáticos de Babilonia, Egipto ni Grecia. Robert Recorde es el primero en usar el simbólo de ( = ) y exponer algunas cuestiones acerca de las desigualdades en su obra “The Ground of Arts” publicada en 1542. Pero no es sino hasta 1821 cuando Agustín Leonard Cauchi le da fromalidad al tratamiento matemático de las desigualdades.
Tuvieron que pasar muchos años para que el inglés Harriot y el francés Bouguer en el siglo XVII establecieran el uso de los signos ( > ) mayor que, ( > ) menor que. A partir de ese momento la mayor parte de los matemáticos han hecho uso de los signos ( > ) mayor que, ( < ) menor que, ( ) mayor o igual que, ( ) menor o igual que. 1.5.2.- La forma de representar una desigualdad Partamos de la recta real Podemos observar que el número 2 es mayor que el número 1. El número 3 es mayor que el número 2. El número 1 es menor que el número 2 El número 2 es menor que el número 3. A ese mayor y a ese menor llamémoslos relación de orden, eso porque nos ordenan como están los números, el uno con respecto a otro.
Sea la relación > mayor que y < menor que, entonces
2 > 1, 2 < 3 y 1 < 2, 2<3 También se da el caso que un número pueda ser mayor o igual a otro entonces el signo es ≥ o en su caso menor o igual que otro número es decir ≤. Estas relaciones se usan principalmente con números expresados como variables. 1.5.3.- Los símbolos ≤ “menor o igual que” y ≥ “mayor o igual que” se definen como:
a ≤ b implica a < b ó a = b a ≥ b implica a > b ó a = b.
-∞ + ∞ 0 1 2 3
1.5.4.- Propiedades de las desigualdades
a>0 implica que a es positiva.
Ejemplo 2>0 por lo tanto 2 es positiva
a>0 implica –a es negativa.
Ejemplo 2 >0 entonces -2 < 0 podemos comprobar que -2 es negativa
a<0 implica –a>0 es positiva.
Ejemplo -5<0 entonces –(-5) > 0 se observa que 5 es positivo.
a<b y b>c entonces a + c < b + c
Ejemplo 5<7 y 7 > 4 entonces 5+4 < 7+4
a < b y c < d entonces a+c < b+d:
Ejemplo 5<3 y 2<-2 : 5+2 < 3-2
(a < b)c = ac < bc:
Ejemplo (3 < 6 ) 7 = 3 (7) < 6(7)
0 < a < b y 0 < c < d: ac < bd
Ejemplo 0 < 5 < 8 y 0 < 9 < 10
1.5.5.- Definición de intervalo abierto
El intervalo abierto de a ó b denotado por (a, b) es el conjunto de todos los números reales x en los que no se puede tomar a ni b, otra forma de representar lo anterior es a < x < b
Ejemplo El intervalo abierto ( 2 , 7 ) lo podemos representar como 2 < x >7 1.5.6.- Definición de intervalo cerrado
El intervalo cerrado denotado por [a, b] es el conjunto de todos los números reales x incluyendo los extremos, también la podemos representar como a ≤ x ≤ b
Ejemplo El intervalo cerrado [8,12] lo podemos representar como: 8 ≤ x ≤ 12 1.5.7.- Definición de intervalo semi abierto
El intervalo semi abierto por la derecha y cerrado por la izquierda se denota: [a, b) y son todos los números reales que incluyen a “a” pero excluyen a “b” tal que a ≤ x < b ;
Ejemplo [3,8) ó 3 ≤ x < 8. 1.5. 8 .- Ejercicios de inecuaciones 1.-Encontrar todo los números reales que satisfagan que:
5+6x<5x+3
Solución:
5+6x < 5x+3
(5+6x)+(-3) < 5x+3+(-3)
6x + 2 < 5x
6x – 5x < -2
x < 2
Encontrando el conjunto solución
Tenemos dos posibles intervalos que dan solución (-∞, -2) y (-2, +∞) para encontrar el conjunto solución tomemos un valor intermedio en cada intervalo
Si tomamos -3 en (-∞, -2) entonces
5+ 6(-3) < 5(-3)+3
-13 < -2 si cumple
Si tomamos el 0 en (-2, +∞) entonces
5+6(0) < 5(0)+3
5<3 no cumple
Por lo tanto el conjunto solución es: (-∞, -2)
Resolvamos el problema aplicando otro método de solución
Calculemos el valor de x
5+6x<5x+3
Solución:
5+6x < 5x+3
(5+6x)+(-3) < 5x+3+(-3)
6x + 2 < 5x
6x – 5x < -2
x < 2
Encontremos los posibles intervalos y vemos que son dos
(-∞, -2) (-2, +∞)
Probemos en que intervalos es válida la solución tomando un número que
pertenezca al intervalo
Si x = -3
5+6(-3)<5(-3)+3
-13< -12
Es válido
El conjunto solución es (-∞, -2)
Si x = 0
5+6(0)<5(0)+3
5< 3
No es válido
2.-Encontrar todos los números que satisfagan que:
2 < 6x-4 ≤ 16
Solución:
sumamos 4 a cada lado de la desigualdad
2+4 < 6x-4+4 ≤ 16+4
6< 6x ≤ 20
multiplicamos por 1/6
6(1/6) < (6x)1/6 ≤ 20(1/6)
1< x ≤ 20/6
Para encontrar el conjunto solución tomemos un valor en cada uno de los
intervalos
(-∞, 1),
(1, 20/6],
[20/6, +∞>
Tomemos el 0 en (-∞, 1) entonces
2 < 6(0)-4 ≤ 16
2 < -4 ≤ 16 no cumple
Tomemos el 2 en (1, 20/6] entonces
2 < 6(2)-4 ≤ 16
2 < 8 ≤ 16 si cumple
Tomemos el 4 en [20/6, +∞) entonces
2 < 6(4)-4 ≤ 16
2 < 20 ≤ 16 no cumple
Por lo tanto el conjunto solución es:
(1, 20/6] ó 1< x ≤ 20/6
Resolvamos el problema aplicando otro método de solución
Calculemos el valor de x
2 < 6x-4 ≤ 16
sumamos 4 a cada lado de la desigualdad
2+4 < 6x-4+4 ≤ 16+4
6< 6x ≤ 20
multiplicamos por 1/6
6(1/6) < (6x)1/6 ≤ 20(1/6)
1< x ≤ 20/6
Encontremos los posibles intervalos y vemos que son tres
(-∞, 1> [20/6, +∞> [20/6, +∞)
Probemos en que intervalos es válida la solución tomando un número que
pertenezca al intervalo
Si x = 0
2 < 6(0)-4 ≤ 16
2 < -4 ≤ 16
no cumple
Si x = 2
2 < 6(2)-4 ≤ 16
2 < 8 ≤ 16
si cumple
Si x = 4
2 < 6(4)-4 ≤ 16
2 < 20 ≤ 16
no cumple
El conjunto solución es
[20/6, +∞>
3.-Encontrar todos los números que satisfagan que:
5/x > 7
Solución:
Primero sabemos que debe ser x ╪ 0 entonces x>0 ó x<0
Ahora analicemos cada uno de los dos intervalos x>0 ó x<0
Si x>o entonces
5>7x
Si x<0 entonces
5<7x
5/7 < x
Encontrando el conjunto solución tomemos un valor en cada unos
de los intervalos <-∞, 0>, <0, 5/7>, <5/7, +∞>
Tomemos en (-∞, 0) el -1
5/-1 >7
Menos 5 no es mayor que 7 por lo tanto no cumple
Tomemos en <0, 5/7> el ½
(5/½) > 7
10>7 si cumple
Tomemos en (5/7, +∞) el 1
5/1>7 no cumple
⇒ El conjunto solución es: (0, 5/7) o decir 0< x <5/7
Resolvamos el problema aplicando otro método de solución
Calculemos el valor de x
5/x > 7
Solución:
Primero sabemos que debe ser x ╪ 0 entonces x>0 ó x<0
Ahora analicemos cada uno de los dos intervalos x>0 ó x<0
Si x>o entonces
5>7x
Si x<0 entonces
5<7x
5/7 < x
Encontremos los posibles intervalos y vemos que son tres
<-∞, 0>, <0, 5/7>, <5/7, +∞>
Probemos en que intervalos es válida la solución tomando un número que
pertenezca al intervalo
Si x = -1
5/-1 >7
-5 > 7
No es válido
Si x = ½
(5/½) > 7
10>7
si cumple
Si x = 1
5/1>7
5 > 7
no es válido
El conjunto solución es
<0, 5/7>,
4.-Encontrar todos los números que satisfagan que:
𝑥
𝑥+4 < 8
x > -4 ó x < -4
Si x > -4 entonces
x < 8 (x+4)
x < 8x+32
-32 < 7x
-32/7 < x
Si x < -4 entonces
x > 8 (x+4)
x > 8x+32
-32 > 7x
-32/7 > x
Encontrando el conjunto solución tomemos un valor en cada uno de los intervalos
(-∞, -32/7), (-32/7, -4), (-4, +∞)
Tomemos en (-∞, -32/7) el -5
-5/-5+4 < 8
-5/-1 < 8
5 < 8 se cumple
Tomemos en (-32/7,-4), el -31/7
(-31/7)/ (-31/7+4) < 8
(-31/7)/ (-3/7) < 8
31/3 < 8 no se cumple
Tomemos en (-4,+∞ ), el 0
0/(0+4) < 8
0<8 se cumple
Por lo tanto el conjunto solución es: <-∞, -32/7> ∪ <-4, +∞>
Resolvamos el problema aplicando otro método de solución
Calculemos el valor de x
𝑥
𝑥+4 < 8
x > -4 ó x < -4
Si x > -4 entonces
x < 8 (x+4)
x < 8x+32
-32 < 7x
-32/7 < x
Si x < -4 entonces
x > 8 (x+4)
x > 8x+32
-32 > 7x
-32/7 > x
Encontremos los posibles intervalos y vemos que son tres
(-∞, -32/7) (-32/7, -4) (-4, +∞)
Probemos en que intervalos es válida la solución tomando un número que
pertenezca al intervalo
Si x =- 5
-5/-5+4 < 8
-5/-1 < 8
5 < 8
Es válido
Si x = -31/7
(-31/7)/ (-31/7+4) < 8
(-31/7)/ (-3/7) < 8
31/3 < 8
no se cumple
Si x = 0
0/(0+4) < 8
0<8
se cumple
El conjunto solución es
(-∞, -32/7) (-4, +∞)
<-∞, -32/7> ∪ <-4, +∞>
5.- Encontrar todos los números que satisfagan que:
(x-2) (X+5) > 0
Solución:
Primera
(x-2) > 0 (x+5) > 0
x>2 x>-5
Segunda
(x-2) < 0 (x+5) < 0
x<2 x<-5
Encontrando el conjunto solución tomemos un valor en cada unos intervalos
(-∞, -5), (-5, 2), (2, +∞)
Tomemos en (-∞, -5), el -6
(-6-2) (-6+5) > 0
(-8) (-1) > 0
8 > 0 se cumple
Tomemos en (-5, 2) el 0
(0-2) (0+5) > 0
(-2) (5) > 0
-10 > 0 no se cumple
Tomemos en( 2, +∞) el 3
(3-2) (3+5) > 0
-8 > 0 se cumple
Por lo tanto el conjunto solución es: (-∞, -5) ∪ (2, +∞)
Resolvamos el problema aplicando otro método de solución
Calculemos el valor de x
(x-2) (X+5) > 0
Solución:
Primera
(x-2) > 0 (x+5) > 0
x>2 x>-5
Segunda
(x-2) < 0 (x+5) < 0
x<2 x<-5
Encontremos los posibles intervalos y vemos que son tres
(-∞, -5) (-5, 2)
(2, +∞)
Probemos en que intervalos es válida la solución tomando un número que
pertenezca al intervalo
Si x = -6
(-6-2) (-6+5) > 0
(-8) (-1) > 0
8 > 0
se cumple
Si x = 0
(0-2) (0+5) > 0
(-2) (5) > 0
-10 > 0
no se cumple
Si x = 3
(3-2) (3+5) > 0
8 > 0 se cumple
El conjunto solución es
(-∞, -5) (2, +∞)
(-∞, -5) ∪ (2, +∞)
1.5.9.- Definición de valor absoluto
El valor absoluto de x denotado |𝑥| está definido como:
|𝑥| =
De esta forma |𝑥| es la parte positiva de x
1.5.9.1 Teoremas
Recuerda el símbolo significa sí y sólo sí
|𝑥| < a -a< x < a con a > 0
|𝑥| ≤ a -a≤ x ≤a con a > 0
|𝑥| > a x > a ó x < -a con a > 0
|𝑥| ≥ a x ≥ a ó x ≤ -a con a>0
1.5.9.2 Ejercicios
1.- Encontrar todos los números reales que satisfagan que:
|4𝑥 + 3| = 9
Solución:
Primer caso x ≥ 0
4x+3 = 9
4x = 6
x=6/4
Segundo caso x ≤ 0
- (4x+3) = 9
--4x – 3 = 9
-4x = 12
x = - 3
Por lo tanto los valores que satisfacen la ecuación son: {6/4, -3}
x si x ≥ 0
- x si x ≤ 0
2.- Encontrar todos los números reales que satisfagan que:
|2𝑥 − 1| = |4𝑥 + 3|
Solución:
Primer caso x ≥ 0
2x-1 = 4x+3
- 4 = 2x
-2 = x
Segundo caso x< 0
- (2x-1) = 4x+3
- 2x+1 = 4x+3
-2=6x
-2/6=x
Por lo tanto los valores que dan notación a la igualdad son: {-2, -2/6}
3.- Encontrar todos los números reales que satisfagan que:
|5−3𝑥
3+𝑥| ≤ 7
Solución:
Por ser valor absoluto hay 2 casos
Primer caso Segundo caso
5−3𝑥3+𝑥
≤ 7 −(5−3𝑥)
3+𝑥≤ 7
3+x≠ 0 esto implica 3+x > 0 o 3+x < 0
Además
x≠-3 :
x > -3 o x <-3
En primer caso si x > -3
(5-3x) ≤ 7(3+x)
5-3x ≤ 21+7x
5-21 ≤ 7x+3x
-16≤ 10x
-16/10 ≤ x
En segundo caso si x < -3
-5+3x ≥ 7(3+x)
-5+3x ≥ 21+7x
-5-21 ≥ 7x-3x
-26 ≥ 4x
-26/4 ≥ x
-∞ ][ >< ][ +∞
. -26/4 -3 -16/10 0
Encontrando el conjunto solución tomemos un valor en cada unos intervalos
(-∞, -26/4], [-26/4, -3), (-3, -16/10], [-16/10, +∞)
Tomemos un valor en (-∞, -26/4] el -7
|5−3(−7)
3+(−7)| ≤ 7
|26
−4| ≤ 7
26/4 ≤ 7 se cumple
Tomemos un valor en [-26/4, -3) el -5
|5−3(−5)
3+(−5)| ≤ 7
|20
−2| ≤ 7
10 ≤ 7 no cumple
Tomemos un valor en (-3, -16/10] el -2
|5−3(−2)
3+(−2)| ≤ 7
|11
1| ≤ 7
11≤ 7 no cumple
Tomemos un valor en [-16/10, +∞) el 0
|5−3(0)
3+(0)| ≤ 7
|5
3| ≤ 7 Se cumple
Por lo tanto el conjunto solución: (-∞, -26/4], ∪ [-16/10, +∞)
Resolvamos el problema aplicando otro método de solución
Calculemos el valor de x
|5−3𝑥
3+𝑥| ≤ 7
Solución:
Por ser valor absoluto hay 2 casos
Primer caso Segundo caso
5−3𝑥3+𝑥
≤ 7 −(5−3𝑥)
3+𝑥≤ 7
3+x≠ 0 esto implica 3+x > 0 o 3+x < 0
Además
x≠-3 :
x > -3 o x <-3
Encontremos los posibles intervalos y vemos que son cuatro
(-∞, -26/4], [-26/4, -3), (-3, -16/10]
[-16/10, +∞)
Probemos en que intervalos es válida la solución tomando un número que
pertenezca al intervalo
Si x = -7
|5−3(−7)
3+(−7)| ≤ 7
|26
−4| ≤ 7
26/4 ≤ 7
se cumple
Si x = -5
|5−3(−5)
3+(−5)| ≤ 7
|20
−3| ≤ 7
10 ≤ 7
no cumple
x= -2
|5−3(−2)
3+(−2)| ≤ 7
|11
1| ≤ 7
11≤ 7
No cumple
x=0
|5−3(0)
3+(0)| ≤ 7
|5
3| ≤ 7
Se cumple
El conjunto solución es
(-∞, -26/4], (-3, -16/10] [-16/10, +∞)
Conjunto solución (-∞, -26/4] ∪ [-16/10, +∞)
1.5.9.3 Teoremas
Teorema
si a, b son dos números reales cualesquiera
|𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏|
Teorema
si a es un número real cualesquiera y b es cualquier número real diferente de 0
entonces
|𝑎
𝑏| =
|𝑎|
|𝑏|
Teorema
si a, b son dos números reales cualesquiera entonces
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
Corolario
si a, b son dos números reales cualesquiera entonces
|𝑎 − 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
Corolario
si a, b son dos números reales cualesquiera entonces
|𝑎| − |𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏|
1.5.9.4 Desigualdades en plano
ax+by+c > 0
ax+by+c < 0
ax+by+c ≥ 0
Con a y b no ambas cero son desigualdades de primer orden
Y > mx +
b
Y < mx +
1.5.9 5 Ejercicios
1.- Traza la gráfica de una curva de nivel en particular x-3y+2
Tracemos la gráfica cuando
x-3y+2=0
-3y = - x - 2 y
Y = 𝑥−2
3
x
Gráfica
x-3y+2 = 0
Veamos el área del conjunto solución de la desigualdad x – 3y +2 > 0
Como el punto de intersección de la recta con el eje x es (0,-2/3 ) tenemos que el
Intervalo a considerar es (-∞, -2/3]
Probamos con (1,1)
(-1) -3(1) +2 > 0
-1- 3+2 > 0
-4 > 0 no cumple
Probemos con (-1, 0)
-1(1)+ 0 +2 > 0
-1+3 > 0
2 > 0 si se cumple
Por lo tanto el área de solución es la parte posterior de la recta
X Y
0 -2/3
1 -1/3
2.- Trace la gráfica de una curva
8x+2y-6 ≥ 0
Tracemos la gráfica cuando
8x+2y-6=0
2y=6-8x
y= 6−8𝑥
2
Gráfica
Probemos (1,2)
8(1)+2(2)-6 ≥ 0
8+4-6 ≥ 0
6 ≥ 0 se cumple
Probemos en (0,0)
8(0)+2(0)-6 ≥ 0
-6 ≥0 no se cumple
3.- Trace la gráfica de las curvas :
3x-2y-6=0 , x – 24y – 8 = 0
Primeramente tenemos que:
3x – 2y – 6 = 0
X Y
0 3
1 -1 -1
1 3
y
x
-2y=6-3x
-y= 6−3𝑥
2
y= 3𝑥−6
2
Ahora tenemos que:
x – 24y – 8 = 0
Solución -24y=8-x
-y= 8−𝑥
24
y= 𝑥−8
24
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que
3x – 2y = 6
x – 24y = 8
Multiplicando la ecuación x – 24y = 8 por -3 tenemos y sumando las dos
ecuaciones tenemos que
3x – 2y = 6
-3x +72y = - 24
70y = - 18
y = -18/70
Por lo que si x = 8 + 24 y
X Y
0 -3
1 -3/2
x = 8 + 24 ( - 18/70 )
x = 8 – 432/70
x = 128/70
El puto de intersección es ( 128/70 , - 18/79 )
En consecuencia el área de solución es:
Gráfica
1.5.9.6 Ejercicios propuestos En cada una de las desigualdades encuentre el conjunto solución
1) 65 x = 11
2) 86 x = 4
3) x9 = 3 – x
4) 524
36
x
x
5) 67x 14 x
6) 976 x
(4, -1)
(1,-3/2)
(0,-
2) (0,-
3)
Y
X
7) 8
3
8
36
x
x
8)10 +4y-6≥0 9) 3x+5 > 2x-1 10) 6-4x < 4+2x
11) 08
1
3
2x
12) 4
2
2
136
xxx
4
23
13) 12 ≤ 5x + 3 ≤ 16
14) x
x
x
x
86
3
15) 25x^2 – 10 x + 1 > 0 16) (5x - 3) (9x+2) < 0 17) (12x – 1 ) (x + 3) < 0 18) 10x + 4y – 6 0 19) y - 6x2 < 0
20) 𝑥2 + 𝑦2 < 25
21) 2𝑥2+2𝑦2-3x+6y<1
22) 𝑥2-y+4<0 23) X + Y – 6 > 0 24) y < 2x ^ 2 – 8x + 5 25) x 2-4 < y ≤ 4-x2
26) x ² + y ² > 16
𝟐𝟕)𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 𝒚
II Funciones reales de variable real
2.1.- Un poco de historia 30
2.2.- El concepto de función 30
2.2.1.- Definición de función 31
2.2.2.- Ejemplos 32
2.2.3.- Gráfica de valor absoluto 41
2.2.4.- Operaciones con funciones 41
2.2.5.- Funciones crecientes y decrecientes.
acotada, entera, polinomial 43
2.2.6.- Definición de función inversa 45
2.2.7.- Funciones trascendentes 46
2.2.8.- Función signo y función escalón 47
2.2.9.- Ejercicios propuestos 47
II Funciones reales de variable real
2.1.- Un poco de historia En el método de Descartes ya se encuentra una idea intuitiva de “función” y es Agustín Louis Cauchy (1789 – 1857) quién le dio una definición formal a la función. Cauchy al estudiar las relaciones observó que existía un caso especial en el que dados dos conjuntos uno llamado dominio y el otro contradominio, a cada elemento del primero le asociaba uno y solo uno del otro, a esta relación en particular le dio el nombre de “función”.
Galileo Gallilei
(1564 – 642) Matemático, astrónomo, físico italiano que plantea por primera
vez en forma rigurosa la función uno a uno entre los naturales y sus
cuadrados.
Leonard Euler
(1707 – 1783) Matemático Suizo creador de la teoría moderna de las funciones.
2.2.1.- El concepto de función El concepto de función: si tenemos dos conjuntos X, y Y en los que asociamos a cada elemento del conjunto X, uno y sólo un elemento del conjunto Y, decimos que tenemos dada una función f definida en X y con valores en Y. El anterior concepto nos indica que tenemos un conjunto X llamado Dominio de la función, otro conjunto Y llamado Contradominio o Codominio de la función f y una regla de correspondencia f, que asocia a cada elemento del conjunto X , uno y sólo un elemento del conjunto Y. Denotamos por :f X Y , si x es un elemento de X, entonces el elemento de Y
asociado a x por medio de la función, se denota f(x) y se lee “ f de x “ y se llama imagen de s bajo f.
2.2.1.- Definición:
Una función es conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reales en el que al
conjunto de todos los valores de 𝑥 llamado dominio de la función le corresponde
x
f(x)
f
X Y
uno y solo un valor del conjunto de todos los valores de 𝑦 llamado contradominio o
rango de la función.
Cualquier conjunto en el plano coordenado ℝ2 se llama relación en donde 𝑥 es el
elemento de todo par ordenado (𝑥, 𝑦) llamado dominio “𝑒” y es el elemento de todo
par ordenado (𝑥, 𝑦) llamado rango o contradominio.
2.2.2.- Ejemplos
Ejemplo 1 de relaciones
X D O M I N I O
Y C O N T R A D O M I N I O
Función A D O M I N I O
B C O N T R A D O M I N I O
Relación
1 2 3 4 5
A B C D E F
Simbología:
𝑓: 𝑥 ⟹ 𝑦 Donde x es el elemento genérico y Y el elemento del contra dominio que es la imagen de x.
Ejemplo 2
Sea 𝑦 una función definida por:
𝑦 = √8 − 𝑥
Encontrar el dominio y contradominio:
Encontrando el dominio de la función:
f(x) = √8 − 𝑥 ⟹ 8 − 𝑥 ≥ 0
𝑥 ≤ 8
Prueba en (−∞, 8] el 0.
√8 − 0 ≥ 0 Se cumple
Prueba en [8, +∞) el 9.
√8 − 9 ≥ 0 No se cumple
el dominio es (−∞, 8]
Encontrando el contradominio de la funcion:
𝑦 = √8 − 𝑥 ⟹ 𝑦2 = 8 − 𝑥 ⇒ 𝑦2 − 8 = −𝑥 ⇒ 𝟖 − 𝒚𝟐 = 𝒙
Por ser 𝑦 = √8 − 𝑥 𝑦 ≥ 0 ∴ 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑒𝑠: [0, ∞) Representación geométrica de la función
𝑦 = √8 − 𝑥
y=sqrt(8-x); x<=8
x=8-y^2; y>=0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(x^2/25)+(y^2/9)=1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Ejemplo 3 Sea la funcion:
𝑥2 − 6𝑥 − 12𝑦 − 51 = 0 Encuentre el dominio y contradominio: Buscando el dominio de la funcion:
(𝑥2 − 6𝑥) − (12𝑦 + 51) = 0 Completando el cuadrado como: 𝑥2 − 6𝑥 ⟹ (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
−6𝑥 = 2𝑥𝑏
−6𝑥
2𝑥= 𝑏
−3 = 𝑏 Entonces:
𝑥2 − 6𝑥 − 12𝑦 − 51 + 9 − 9 = 0 (𝑥2 − 6𝑥 + 9) − 12𝑦 − 60 = 0
(𝑥 − 3)2 − 12(𝑦 + 5) = 0 Vertice (3, −5) El domino:
(−∞, +∞) Contradominio:
(−5, +∞) Ejemplo 4: Sea la relacion:
𝑥2
25+
𝑦2
9= 1
Encontrar el dominio y contradominio: Encontrando el dominio y contradominio:
𝑠𝑖 𝑦 = 0
𝑥2
25= 1
x^2-6x-12y-51=0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
𝑥2 = 25
𝑥 = ±5
𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑦2
9= 1
𝑦2 = 9
𝑦 = ±3
𝐷𝑅 = [−5,5] 𝐶𝐷𝑅 = [−3,3]
Encontrando el dominio de la funcion.
𝑦2
9= 1 −
𝑥2
9
𝑦2 = 9 (1 −𝑥2
25)
𝑦 = √9 (1 −𝑥2
25)Es una función para la raíz positiva y otra función para la raíz
negativa. 𝐷𝑅 = [−5,5] 𝐶𝐷𝑅 = [0,3]
Ejemplo 5 Sea la relacion:
4𝑥2 + 9𝑦2 = 36 Encontrando el dominio y contradominio Para encontrar el dominio:
9𝑦2 = 36 − 4𝑥2
𝑦2 =36 − 4𝑥2
9
𝑦 = ±√36 − 4𝑥2
9
36 − 4𝑥2 ≥ 0
36 ≥ 4𝑥2 36
4≥ 𝑥2 ⇒ 9 ≥ 𝑥2 ⇒ ±√9 ≥ 0
−3 ≥ 𝑥 ≥ 3
𝐷𝑅[−3,3] Para encontrar el contradominio:
4𝑥2 = 36 − 9𝑦2
𝑥2 =36 − 9𝑦2
4
𝑥 = ±√36 − 9𝑦2
4
36 − 9𝑦2 ≥ 0
36 ≥ 9𝑦2 36
9≥ 𝑦2 ⇒ ±√4 ≥ 𝑦
−2 ≥ 𝑦 ≥ 2 𝐶𝐷𝑅[−2,2]
Ejemplo 6 Sea 𝑓(𝑥) el conjunto de todos los pares ordenados (𝑥, 𝑦) tal que:
𝑓(𝑥) = {9𝑥 − 6 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑥2 𝑠𝑖 2 ≤ 0
Encontrar el dominio y contradominio:
4𝑥 − 6 = 𝑦
X Y
0 -6
2 2
4x^2+9y^2=36
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y=4x-6
Serie 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Ejemplo 7 Sea 𝑓(𝑥) el conjunto de todos los pares ordenados (𝑥, 𝑦) tal que:
𝑓(𝑥) =𝑥2 − 16
𝑥 − 4
Encontrado el dominio
𝑥 − 4 ≠ 0
𝑥 ≠ 4
𝑥 > 4 ó 𝑥 < 4
En el intervalo (−∞, 4)𝑥 = 0
𝑓(4) = −16
−4= 4
En el intervalo (−4, +∞)𝑥 = 5
𝑓(5) =52 − 16
5 − 4= 9
Dominio (−∞, 4) ∪ (4, +∞) Buscando el contradominio:
𝑦 =(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)
𝑥 − 4= 𝑥 + 4
Tomando 𝑥 = −4
𝑦 = −4 + 4 = 0 Como 𝑥 ≠ 4 ∴ 𝑦 ≠ 0
El contradominio es (−∞, 8) ∪ (8, ∞) Ejemplo 8 Sea 𝑓(𝑋) el conjunto de todos los pares ordenados (𝑥, 𝑦) tal que:
𝑓(𝑥) = {−5 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
2 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 46 𝑠𝑖 4 < 𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
𝐶𝐷𝑓 = (−5,2
6 )
Ejemplo 9 Sea 𝑓(𝑥) el conjunto de todos los pares ordenados tal que:
𝑦 = −5𝑥 + 1
X Y
0 1
1 -4
𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
𝐶𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
Ejemplo 10 Encontrar el dominio y contradominio:
𝑦 = √25 − 𝑥2 25 − 𝑥2 ≥ 0
25 ≥ 𝑥2
±√25 ≥ 𝑥
±5 ≥ 𝑥 −5 ≤ 𝑥 ≤ 5
y=-5x+1
Serie 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
𝐷𝑓 = [−5,5]
Contradominio:
como 𝑦 = √25 − 𝑥2
𝑦2 = 25 − 𝑥2
𝑦2 − 25 = −𝑥2
25 − 𝑦2 = 𝑥2
±√25 − 𝑦2 = 𝑥
25 − 𝑦2 ≥ 0
25 ≥ 𝑦2
±√25 ≥ 𝑦 ⇒ ±5 ≥ 𝑦
como 𝑦 = √25 − 𝑥2 es la punta superior de la circunferencia 𝐶𝐷𝐹 = [0,5] Ejemplo 11 Encontrando el dominio y contradominio de:
𝑓(𝑥) =(𝑥2 − 6𝑥 + 9)(𝑥2 − 4)
(𝑥2 − 𝑥 − 6)(𝑥 − 2)
Para encontrar el dominio: (𝑥2 − 𝑥 − 6)(𝑥 − 2) ≠ 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≠ 0 𝑥 − 3 = 0 ⟹ 𝑥 = 3
𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2
𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 = 2 Por tanto:
𝐷𝑓 = (−∞, −3) ∪ (−3, −2) ∪ (−2,2) ∪ (2, +∞)
Para encontrar el contradominio:
𝑦 =(𝑥 − 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)= 𝑥 − 3
Factorizacion de 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Se podria suponer que el contradominio es (−∞, +∞) pero esto es falso porque
𝑥 ≠ 3,2, −2 ∴
𝑦 ≠ 3 − 3 = 0
𝑦 ≠ 2 − 3 = −1 𝑦 ≠ −2 − 3 = −5
𝑦 = 𝑥 − 3 ⟹
(3,0) (2, −1)
(−2, −5) El contradominio:
𝐶𝐷𝑓 = 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑓 𝑐𝑜𝑚𝑜:
𝑦 = 𝑥 − 3 𝑦 ≠ 3 − 3 = 0 𝑦 ≠ 2 − 3 = −1
𝑦 ≠ −2 − 3 = −5
∴ 𝐶𝐷𝑓 = (−∞, −5) ∪ (−5, −1) ∪ (−1,0) ∪ (0, +∞)
Ejemplo 12 Encontrar el dominio y contradominio y grafica de:
y=x-3
Serie 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y=x; x>=0
y=-x; x<0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=x^2
Serie 1
f(x)=x^2
Serie 2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
𝑦 = {𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 29 𝑠𝑖 𝑥 = 2
𝐷𝑓 = (−∞, ∞)
𝐶𝐷𝑓 = [0, ∞)
2.2.3 Gráfica de valor absoluto
El valor absoluto de 𝑥 se define como:
|𝒙| = {𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0
Con dominio (−∞, +∞) Y contradominio [0, +∞)
2.2.4 Operaciones con funciones Definicion:
Si 𝑓 𝑦 𝑔 son dos funciones reales de variable real entonces: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) con 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) con 𝐷𝑓𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
(𝑓/𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) / 𝑔 (𝑥) con 𝐷𝑓/𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 𝑦 𝐷𝑔 ≠ 0
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔 (𝑥)) con 𝐷𝑔𝐶 𝐷𝑓
Ejemplo 1 Si 𝑓(𝑥) es una funcion definida como:
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 5 Calcular:
𝑓(3), 𝑓 (3
2) , 𝑓(𝑥 + ℎ), 𝑓(𝑥) + 𝑓(ℎ)
1.- 𝑓(3) = 2(3)2 + 4(3) − 5 = 25 2.- 𝑓(3ℎ) = 2(3ℎ)2 + 4(3ℎ) − 5 = 18𝑥2 + 12ℎ − 5
3. − 𝑓(𝑥 + ℎ) = 2(𝑥 + ℎ)2 + 4(𝑥 + ℎ) − 5 = 2(𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2) + 4𝑥 + 4ℎ − 5= 2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ
4. − 𝑓(𝑥) + 𝑓(ℎ) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 5 + 2ℎ2 + 4ℎ − 5 = 2𝑥2 + 2ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ − 10
Ejemplo 2
Si 𝑓(𝑥) = √4𝑥 + 3 Encontrar
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ 𝑐𝑜𝑛 ℎ ≠ 0
√4(𝑥 + ℎ) + 3 − √4𝑥 + 3
ℎ ℎ ≠ 0
√4(𝑥 + ℎ) + 3 − √4𝑥 + 3
ℎ(
√4(𝑥 + ℎ) + 3 + √4𝑥 + 3
√4(𝑥 + ℎ) + 3 + √4𝑥 + 3)
4𝑥 + 4ℎ + 3 − 4𝑥 − 3
ℎ√4𝑥 + 4ℎ + 3 + √4𝑥 + 3=
4
ℎ√4𝑥 + 4ℎ + 3 + √4𝑥 + 3
Ejemplo: 3
Si 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 3
𝑔(𝑥) = 5𝑥 + 1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = √2𝑥 − 3 + 5𝑥 + 1 Calcular
(𝑓 + 𝑔)(𝑥), (𝑓𝑔)(𝑥), (𝑓
𝑔) (𝑥), (
𝑔
𝑓) (𝑥), (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥), (𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥)
Calculando:
𝐷𝑓: 2𝑥 − 3 ≥ 0 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑓+𝑔: [3
2, +∞)
𝑥 ≥3
2
𝐷𝑓: [3
2, +∞)
Calculando 𝐷𝑔
𝐷𝑔: (−∞, +∞)
(𝑓𝑔)(𝑥) = (√2𝑥 − 3)(5𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑓𝑔: [3
2, +∞)
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
(√2𝑥 − 3)
(5𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑓
𝑔
: [3
2, +∞)
5𝑥 + 1 ≠ 0
𝑥 ≠ −1
5
(𝑔
𝑓) (𝑥) =
5𝑥 + 1
√2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑔
𝑓: [
3
2, +∞)
(𝑓𝑔)(𝑥) = (√2𝑥 − 3)(5𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑓𝑔: [3
2, +∞)
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √2(5𝑥 + 1) − 3 = √10𝑥 − 1
10𝑥 + 1 ≥ 0
𝑥 ≥1
10 𝐷𝑓∘𝑔: [
1
10, +∞)
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 5(√2𝑥 − 3) + 1 𝐷𝑔∘𝑓: [3
2, +∞)
(𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥) = 5(5𝑥 + 1) + 1 = 25𝑥 + 5 + 1 = 25𝑥 + 6
𝐷𝑔∘𝑓: [−∞, +∞)
2.2.5 Funciones, creciente, decreciente, acotada, entero, polinomial, lineal, idéntica , racional, exponencial. Función creciente,
Sea 𝑓 una funcion definida en un intervalo 𝐼 entonces 𝑓 es creciente si 𝑓(𝑥1) <𝑓(𝑥2) cuando 𝑥1 y 𝑥2 pertenecen al intervalo y satisfacen que 𝑥1 < 𝑥2.
Función decreciente
Sea 𝑓 una funcion definida en un intervalo 𝐼 entonces 𝑓 es decreciente si 𝑓(𝑥1) >𝑓(𝑥2) cuando 𝑥1 y 𝑥2 pertenecen al intervalo y satisfacen que 𝑥1 > 𝑥2.
Función acotada
Una función acotada en el 𝐼 [𝑎, 𝑏] si existe una constante positiva 𝐵 tal que – 𝐵 ≤𝑓(𝑥1) ≤ 𝐵 para toda 𝑥 en el intervalo.
Mayor entero
𝑓(𝑥) = [|𝑥|] El cual es menor que cero o igual a cero.
y=sin x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Función Polinomial
Si 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑋𝑁 + 𝑎1𝑋𝑁−1 + 𝑎2𝑋𝑁−2 … … + 𝑎𝑛−1𝑋 + 𝑎𝑛
Donde 𝑁 es un número entero positivo y (𝑎0 + 𝑎1 … … 𝑎𝑛)𝑒𝑛 ℝ con: 𝑎0 ≠ 0.
Función lineal
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Función identica
𝑓(𝑥) = 𝑥
Función potencia
𝑓(𝑥) = 𝑥
Función racional
𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 ℎ(𝑥) ≠ 0
Función exponencial
Para cualquier numero real
𝑒𝑥 = 𝐸𝑥𝑝 𝑥 ó 𝑦 = 𝑒𝑥
2.2.6 .- Definición de función inversa Definición
La función inversa de 𝒆𝒙 = 𝐿𝑁(𝑥)
2.2.7.- Funciones Trascendentes
𝑠𝑒𝑛(𝑥) =𝑐. 𝑜.
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑜𝑠(𝑥) =𝑐.𝑎𝑑.
ℎ𝑖𝑝
y=e^x
y=Ln(x)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
𝑡𝑎𝑛(𝑥) =𝑐. 𝑜.
𝑐. 𝑎𝑑
𝑐𝑡𝑔(𝑥) =𝑐. 𝑎𝑑.
𝑐. 𝑜.
𝑠𝑒𝑐(𝑥) =ℎ𝑖𝑝
𝑐. 𝑎𝑑
𝑐𝑠𝑐(𝑥) =ℎ𝑖𝑝
𝑐. 𝑜𝑝
2.2.8.- Función signo y función escalón Función signo
𝑠𝑔𝑛(𝑥) = {−1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
0 𝑥 = 01 𝑥 > 0
Función escalón
𝓋(𝑥) = {0 𝑠𝑖 𝑥 < 01 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
2.2.9 Ejercicios propuestos de Funciones reales de variable real En cada una de las funciones y relaciones encontrar el conjunto de parejas
ordenadas (𝑥, 𝑦) que satisfagan la ecuación, el dominio, contradominio y gráfica.
1.- 5x + 6 = 11
2.- 6x-8 = 4
3.- 9x = 3 – x
4.- 6x + 3 / 4x – 2 = 5
5.- 7x – 6 = 4x + 1
6.- 6-7x ≥ 9
7.- 8
3
8
36
x
x
8.- y > 5x – 6 9.- 3x+5 > 2x-1 10.- 6-4x < 4+2x
11.- 08
1
3
2x
12.- 6x-3<1/2x+2+x/4 13.- 12 ≤ 5x + 3 ≤ 16
14.- x
x
x
x
86
3
15.- 25x²-10x+1>0 16.- (5x-3) (9x+2) 17.- (12x-1)(x+3) < 0
18.- 10x + 4y – 6 0 19.- y - 6x2 < 0 20.- x² + y² < 25 21.- 2x² +2y²-3x+6y<1 22.- x²-y+4<0 23.- x + y – 6 > 0 24.- y<2x²-8x+5 25.- x 2-4 < y ≤ 4-x2 26.- x ² + y ² > 16 27.- y = √ 7 x² + 6 x – 1
28.- si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 encontrar una función g(x) por la cual
(𝑓 𝑜 𝑔)(x)= 8𝑥3 − 36𝑥2 + 54𝑥 − 27.
29.- Si F(x)=𝑥2+2x+1
30.- Si f(x) corresponde a 5𝑥2 + 6𝑥 − 1Encontrar: f(-3) f(h-1) f(x3) f (x2+1) f(x+h) y f(x+h)-f(x) 31.- Dada f(x)= √4x + 1 y g(x)= 3x + 1 Calcular: (f+g)(x), (f-x)(x), (fg)(x),(f/g)(x), (fog)(x), (fof)(x), (gog)(x). 32.-Hallar la intersección, simetría, asíntotas vertical y horizontal, y grafica de:
a) 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐
b) 𝒚−= −𝟒𝒙
c) 𝒙𝟐𝒚 = 𝟖
d) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟔
III.- Límites y continuidad 3.1.- El concepto de límite 51 3.2.- Definición de límite de una función 52 3.3.- Evaluación de límites 53 3.4.- Límites infinitos 54 3.5.- Límites trigonométricos 56 5.5.1.- Definiciones 56 5.5.2.- Identidades trigonométricas 56 3.5.3..- Ejemplos 57 3.6.- Límites laterales 59 3.6.1.- Definición 59 3.6.2.- Ejemplos 59 3.7.- Continuidad 61 3.7.1.- Definición 61 3.7.2.- Ejemplos 61 3.7.3.- Ejercicios propuestos 61
.999 .9999 .99999 1 1.00001 1.0001 1.001
3.1 El concepto de límite. El comprender, aunque sea intuitivamente el concepto de limite es esencial, porque en este concepto está la base de todo el análisis matemático. La comprensión del límite de una función cuando esta tiende a un valor a, no es elemental pero al entenderlo en sus fundamentos conceptuales se adquiere un sólido dominio sobre los procesos básicos del cálculo. Una idea intuitiva. Para iniciar la discusión partiremos de la idea intuitiva del límite de una función, después llegaremos a una formulación precisa. Planteamiento del problema. Sea f la función y = x + 2. Queremos acercarnos lo más cerca posible a x = 1, sin tocar a 1.
x – a A x + a
.99 .01 1.01
.999 .001 1.001
.9999 .0001 1.0001
.99999 .00001 1.00001
El problema a tratar. Para aproximarnos a una idea conceptual del límite de una función tomemos un punto de coordenadas (x, y) en f(x).
(x , y)
X0 X1
f (x1)
f (x0)
Tratemos de acercarnos por la izquierda y por la derecha y preguntémonos: ¿Qué tan cerca podemos estar de (x, y) sin tocarlo? sabemos que cualquier punto x0 en el dominio requiere que cada x1 > 0 corresponda 1 y solo 1 valor fijo de f(x1) > f(x0) llamemos a esos valores E > 0 y ∂ > 0.
Godfrey Harold Hardy (1877 -1947) matemático inglés que introduce la notación
𝐥𝐢𝐦𝒙−𝒂
𝒇(𝒙)
Agustín Louis Cauchi (1789 – 1857) Matemático francés desarrolla una definición rigurosa del límite. 3.2 Definición de límite de una función Definición:
sea f una función definida en un intervalo “i” y que contenga a “a” excepto
posiblemente al mismo número “a” y que existan ɛ y ∂ suficientemente
pequeñas y positivas, entonces:
0,)(
LxfLimax
Lo anterior se lee el límite de f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L sí y sólo sí
existen ɛ y ∂ mayores que cero y suficientemente pequeñas entonces:
axLxf 0)(
3.3.- Evaluación de límites 1.-
3
20
9
20
54
848
52
8222
5
822
3
2
3
2
x
xxLimx
2.-
2
7
4
14
499
86
4333
832
43
82223
xx
xLimx
3.-
0
0
0
88
22
82
2
833
2
y
yLimy
Para resolver este Límite se utiliza el Teorema de Hopital:
Si )(
)(
xg
xfLim
ax está en la forma 0
0
; )´(
)´(
)(
)(
xg
xfLim
xg
xfLim
axax
Por lo tanto:
12
1
23
1
3
´2
´8
2
822
2
3
2
3
2
yLim
y
yLim
y
yLim
xxx
y +
y
y -
x - x x +
4.-
0
0
0
1111 88
0
h
hLimh
Por el Teorema de L´Hopital se realiza lo siguiente:
8
1
18
1
108
1
18
1
1
18
1
11
8
7
8
70
8
7
0
8
1
0
h
Lim
h
Limh
hLim
hhh
3.4 - LIMITE INFINITOS 3.4.1.- Teorema
01
xLimx
Para resolver los siguientes límites infinitos se aconseja dividir la función entre la variable con el exponente de mayor valor 3.4.2.- Ejemplos 1.-
42
8
52
38
52
38
52
38
52
38
xLimLim
xLimLim
x
xLim
x
xx
x
Limx
xLim
xx
xx
xxx
2.-
2
8
52
48
52
48
52
48
52
48
222
222
xLimLim
xLimLim
xx
x
xLim
x
x
x
x
Limx
xLim
xx
xx
xxx
3.-
xxxLimxxxLimxx
22 88
Este ejercicio se tiene que llevar a la forma del cociente x
1
, y para ello se utilizará el conjugado:
42
18
11
18
11
1
18
1
1888
81
88
22
222
2
22
2
222
x
Lim
x
x
x
xLim
x
x
x
xx
x
x
Limxxx
xLim
xxx
xxxLim
xxx
xxxxxxLimxxxLim
xxxx
xxx
4.-
11
1
81
111
888
3
42
t
ttLim
tt
t
t
t
t
t
t
t
Lim
t
t
t
ttt
Limt
tttLim
t
ttt
3.5.- Límites trigonométricos 3.5.1.- Definiciones:
1
1cos
0
0
senLim
Lim
lnx = е-x еln x = x ln (еy ) = y cos h2 x – sen h 2 x = 1 senh-1 x = ln ( x + (x2 + 1)1/2 ) cosh-1 x = = ln ( x (x2- 1)1/2 )
tan -1 x = ½ ln ( 𝟏+𝒙
𝟏−𝒙 )
𝐥𝐢𝐦𝒙−𝟎
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒙= 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙−𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟎
Senhx = ( еx - е-x ) / 2 Coshx = ( еx + е-x ) / 2
3.5.2.- Identidades trigonométricas:
22
22
22
22
2
2
211cos22cos
cos22
csc1
sec1tan
1cos
cos1
cos1
2tan
2cos12
1cos
212
1
1csc
cos
1sec
cos
costan
sec
1cos
csc
1
sen
sensen
ctg
sen
sen
sen
sensen
sen
senctg
sen
sen
3.5.3.- Ejemplo evaluar los límites que se indican: 1.-
8
3
8
3
1
1
8
3
8
83
3
1
8
8
8
1
3
3
3
8
3
000
x
x
x
xsenx
xsen
Limx
x
xsen
x
x
xsen
Limxsen
xsenLim
xxx
2.-
24
8
4
81
4
88
8
4
8
00
x
x
x
xx
xsen
Limx
xsenLim
xx 3.-
81
181
cos
81
cos
8cos
88
0
0
000
x
senxLim
xLim
x
senx
x
Limsenx
xxLimctgxxLim
x
x
xxx
4
00
8
118
cos
coscos18
cos
cos
cos1
8
cos
1
1
1
cos
1
8sec
1sec8
0000
LimLimLimLim
5.-
)(8
cos
cos8
cos1
cos
8cos
80000
onindefinicisenxLimx
senxxLim
senx
x
x
Limctgx
xLim
xxxx
6.-
8188cos
cos
8tancos
8000
senLim
sen
LimLim
3.6.- Límites laterales
3.6.1.- Definición
Si )(xf es una función eal de variable eal , y sí:
LxfLim
LxfLim
ax
ax
)(
)(
entonces,
LxfLimax
)(
3.6.2 .- Ejemplo 1.-
x8
x8
-∞ ]< +∞ 1
78
98
1
1
xLim
xLim
x
x
)(xLimh no existe (porque no son iguales) 2.-
h(x)
8+x sí x 1
8-x sí 1<x
f(x)
│x-3│ sí x 1
8 sí =3
03
03
3
3
xLim
xLim
x
x
3.-
8
91
8
9
8
9
8
8
x
xLim
Lim
x
x
8
9)(
8
xfLim
x
f(x)
sí x>8
sí x 8
Por lo tanto el límite f(x) = 0
3.7.- Continuidad 3.7.1.- Definición de continuidad
Una función f(x) es continua en “a” sí y sólo sí:
i) f(a) (existe)
ii)
)(xfLim
ax
iii) )()( xfLimaf
ax
En caso contrario, f(x) es discontinua en “a”
3.7.2 .- Ejemplos Compruebe si las siguientes funciones son continuas en el punto que se indica 1.-
1
182)(
x
xxxf
en a=1
)1(f
)(xf es discontinua 2.-
i) Evaluemos la función en a = 1
8)1( f
Comprobemos si el límite fe f(x) existe cuando éste tiende a 1
ii)
532
1
132
11
xLim
x
xxLim
xx
f(x)
sí x 1
8sí x=1
iii) 58
)()1(1
xfLimfx
Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes
)(xf es discontinua en a = 1 3.- i)
f 817)1( h
ii) 88
87
1
1
xLim
xLim
x
x
iii) )()1(
1xhLimh
x
)(xh es continua en a = 1 ( Nota h(1) es error planeado para que lo identifique el alumno )
4.- Función con a = 1:
i) 5312)1( g
f(x)
7+x sí x 1
8x sí x>1
f(x)
2x+3 sí x 1
8-3x sí 1<x<2
x+3 sí 2 x
ii) 538
532
1
1
xLim
xLim
x
x
iii) )()1(
1xgLimg
x
)(xg es continua en a = 1 Función con a = 2:
i) 532)2( g
ii) 53
238
2
2
xLim
xLim
x
x
)(2
xgLimx yg(x) es discontinua en a = 2
(Nota no se concluye el problema para que el alumno lo haga)
3.7.3.- Ejemplos resueltos
1. Lim x2 + 8/ x3 + 3x + 6
X3
2. Lim x2 + 3x + 8/ x + 2 = 3 x2 + 3 = 3 (-2)2 + 3
X-2
3. Lim (√x + 2) - 2 / x – 2 = Lim (x + 2)1/4 – 2 / (x – 2) = Lim 1/2√x + 2 = ¼
X2 X2 X2
4. Lim x4– 3 x + 2 / x – 1 = 4x3 – 3 = 4 – 3 = 1
X 1
5. Lim (x2 + 3)1/2 – 2 / x + 1 = ½(x2 + 3) –1/2 = x / √ x ^2 + 3 = -1/2
X-1
6. Lim x + 3 / (x2 + 7x – 4) = 0
X -3
7. Lim x2 - 9/ x – 3 = 2x = 2 (3) = 6
X3
8. Lim ((√6 + x) - √6)/ 3x = (6 + x)1/2 – (6)1/2 / 3x = ½(6+x)-1/2 = 1/6√6 + x
X 0 = 1/6√6
9. Lim x 1/2 / √ 4x + 3x2 -2 = 0
X0
10. Lim √4 – x2 / x + 2 = ½ (4 – x2)-1/2 2x = 1 (4 – x2)-1/2 (-2x)/2
X-2 = -x / 2√ 4 – x2 = 0
11. Lim (√5x + h) - (√5x)/h
X0 12.- Lim x2 – 8 / 2 x 2 – 4x + 2 = 0 X1 13.- Lim x4 – 4 / x3 - x 2 + 2x – 2 = 4x3 / 3x 2 – 2x + 2 = 4/3 X1 14.- Lim x 5 – 1024/ x + 4 = 5x4 = 1280 X3 15.- Lim x sen(π)/x = sen π/x = 0 X∞ 16.- Lim 1/x senπ/x = sen π/x = 0 X∞ 17.- Lim senπ/4 = 0 X∞
18.- Lim 3n2 – 2n + 1 / 4n2+1 + 1 = 3 – 2/n + 1/n ^2 / 4 + 1/n ^2 = 3/4 X∞ 19.- Lim 3/ √n + 1 = 3/n / √n/n + 1/n = 0 X∞ 20- Lim n 2 + 1 / n + 3 = 1 + 1/n2/ n + 3/n2= 0 X2
V Derivadas 4.1.- Definición 67 4.2.- Ejemplos 67 4.3.- Teoremas 68 4.4. Ejemplos 68
Un poco de historia
Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646 – 1716) Filósofo y matemático alemán creador del cálculo su notación es la que se usa en la actualidad. 4.1 Definición:
Si x1 es un número particular en el Df, entonces:
x
xfxxfLimxf
x
1
01
4.2.- Ejemplos Ejercicio 1:
83 2 xxf
xxxLim
x
xxxLim
x
xxxLim
x
xxxxxLim
x
xxxxxLim
x
xxxLimxf
x
xxx
xx
636
3636838363
8382383]83[
0
0
2
0
222
0
222
0
22
0
2.-
Si xxf 8 , encontrar xf
88888888
0000
xxxxLim
x
xLim
x
xxxLim
x
xxxLimxf
4.3.- TEOREMAS
2
1
cos
cos
1ln
0
v
vuvu
v
u
senxx
xsenx
xx
x
xee
nxx
vuvuuv
c
xx
nn
4.4. Ejemplos
Calcule las derivadas de las funciones que se indican 1.-
133
8282
xx
x
x
2
32
231
131313
826
1826
828282
x
x
x
x
xxxx
xxxxxx
2.-
xxe 28
116
82
22
8
288
xe
xxee
xx
xxxx
3.-
xxx 258ln
2
14
25
25
25
25
2
1240
8
1
88
18ln
xxxxxx
xxxxxx
xxx
4.-
8cos
88tan
2
22
x
xsenx
22
22
2222
22
2222
22
2222
2
2
8cos
12
8cos
8cos82
8cos
8188cos8cos2
8cos
8cos88cos8
8cos
8
x
x
x
xxsenx
x
xsenxsenxxx
x
xxsenxxsen
x
xsen
5.-
83 23 xxxe
129
83
283
238383
23
2323
xxe
xxxee
xxx
xxxxxx
6.-
1
83ln
2
x
xx
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
183132
83
1
1
183183
83
1
1
83
1
83
1
1
83ln
x
xxxx
xx
x
x
xxxxxx
xx
x
x
xx
x
xxx
xx
7.-
2
133 8787 xsenxsen
22
132
13
32
132
13
2
132
132
13
21872
187cos
87872
187cos
8787cos87
xxx
xxx
xxxsen
V.- Aplicaciones de la derivada 5.1.- Criterio de la segunda derivada 72 5.2.- Ejemplos 81 5.3.- Teoremas 81 5.4.- Ejemplos 84 5.5.- Derivadas implícitas y explícitas 84 5.6.- Ejemplos 86 5.7.- Teorema de Rolle 86 5.8.- Ejemplos 89 5.9.- Teorema del valor medio 89 5.9.1 Ejemplos 89 5.10.- Concavidad 90 5.10.1- Concavidad hacia arriba 90 5.10.2.- Concavidad hacia abajo 91 5.12.- Ejemplos 91
V.- Aplicaciones de la derivada 5.1.- Criterio de la segunda derivada
1) xf (Calcular la primera derivada)
2) 0
xf (Igualar a cero) 3) Encontrar: Valores Críticos de a
4) xf (Calcular la segunda derivada) Si:
0
af existe un máximo en a
0
af existe un mínimo en a
0
xf existe un punto de inflexión
5.2.- Ejemplos Encuentre los valores críticos, los puntos máximos, mínimos y de inflexión de las funciones que se indican: 1.-
234
2
8
3
4xxxxf
a) Se calcula la 1ª Derivada
xxxxf 844 23
b) La 1ª Derivada se iguala a cero
024
0844
2
23
xxx
xxx
c) Se encuentran los valores críticos
0
04
x
x
ó
012
022
xx
xx
2
02
x
x
ó 1
01
x
x
Por lo tanto, los Valores Críticos son: ( -2, 0, 1 ) d) Se calcula la 2ª Derivada
8812 2
xxxf e) Se evalúa la 2ª Derivada con los puntos críticos para saber si existe un máximo y un mínimo
80801202
f
,080f un máximo
81811212
f
,0121f un mínimo
82821222
f
,0242f un mínimo f) Para calcular los puntos de inflexión, la 2ª Derivada se iguala a cero:
0223
08812
2
2
xx
xx
(como la ecuación no es factorizable, usaremos la Formula General para encontrar las raíces )
6
282,
6
2442,
32
23422,
2
4,
21
21
2
21
2
21
xx
xx
xx
a
acbbxx
6
2821
x
6
2822
x
Los valores críticos son los puntos “x” de las coordenadas, estos se deben sustituir en la ecuación original para encontrar los valores de la coordenada “y”. Por lo tanto:
00
02
80
3
400
234
f
f
xfy
3
51
43
411
12
81
3
411
234
f
f
f
3
322
163
32162
22
82
3
422
234
f
f
f
Coordenadas un punto máximo en ( 0 , 0 ) y dos mínimos en los otros dos puntos.
3
32,2
3
5,1
**Los puntos de inflexión son coordenadas “x”, para obtener sus coordenadas en “y” dichos puntos deben ser sustituidos en la ecuación original Por lo tanto:
89.06
282
6
282
2
8
6
282
3
4
6
282
6
282234
f
f
11.66
282
6
282
2
8
6
282
3
4
6
282
6
282234
f
f
Coordenadas de los puntos de inflexión
11.6,6
282
89.0,6
282
2.-
823 2 xxxf a) Se calcula la 1ª Derivada
26
xxf b) La 1ª Derivada se iguala a cero
026 x c) Se encuentran los valores críticos
3
1
6
2
26
x
x
x
Por lo tanto, el Valor Crítico es: 3
1
d) Se calcula la 2ª Derivada
6
xf Se evalúa la 2ª Derivada con los puntos críticos para saber si existe un máximo y un Mínimo, pero en este caso solo existe una constante, así que:
6
xf
,06 un mínimo en 3
1x
El valor crítico de la coordenada “x” se debe sustituir en la ecuación original para encontrar el valor de “y”. Por lo tanto:
3
23
3
1
3
24
3
2
3
1
3
1
83
12
3
13
3
12
f
f
f
xfy
Punto Mínimo:
3
23,
3
1
3.-
21
42222
122 8888 xxxxxxxxxf
1) Se calcula la 1ª Derivada
3
2
142
422
142
416
82
1
882
1
xx
xx
xf
xxxxxf
2) La 1ª Derivada se iguala a cero
0416
820416
0416
82
1
3
2
1423
3
2
142
xx
xxxx
xx
xx
Se encuentran los valores críticos
04
04
2
3
xx
xx
0x ó 4
04 2
x
x
2
2
x
x
Por lo tanto, los Valores Críticos son: -2, 0, 2 Se calcula la 2ª Derivada
21216 xxf
Se evalúa la 2ª Derivada con los puntos críticos para saber si existe un máximo y un mínimo
2212162
f
,0322f un máximo
2012160
f
,0160f un mínimo
2212162
f
,0322f un máximo **Para calcular los puntos de inflexión, la 2ª Derivada se iguala a cero:
3
4
3
4
12
16
1216
01216
2
2
2
2
x
x
x
x
x
3
21 x
3
22
x
Los valores críticos son los puntos “x” de las coordenadas, estos se deben sustituir en la ecuación original para encontrar los puntos “y”. Por lo tanto:
00
08002
f
f
xfy
42
422
28222
f
f
f
42
422
28222
f
f
f
Coordenadas:
0,0 mínimo
4,2 máximo
4,2 máximo **Los puntos de inflexión son coordenadas “x”, para obtener sus coordenadas en “y” dichos puntos deben ser sustituidos en la ecuación original Por lo tanto:
3
20
3
2
3
2
3
28
3
2
3
22
f
f
3
20
3
2
3
2
3
28
3
2
3
22
f
f
Coordenadas:
3
20
3
2,
3
2
3
20
3
2,
3
2
4.-
48 xxf 1) Se calcula la 1ª Derivada
384
xxf 2) La 1ª Derivada se iguala a cero
0843x
3) Se encuentran los valores críticos
8
08
08
4
08
33 3
3
x
x
x
x
Por lo tanto, el Valor Crítico es: 8 Se calcula la 2ª Derivada
2812
xxf Se evalúa la 2ª Derivada con los puntos críticos para saber si existe un máximo y un mínimo
288128
f
,08f un punto de inflexión Los valores críticos son los puntos “x” de las coordenadas, estos se deben sustituir en la ecuación original para encontrar los puntos “y”. Por lo tanto:
08
8884
f
f
xfy
Coordenada: (8, 0) 5.-
x
xx
xxf
9
72
9
8 32
Se calcula la 1ª Derivada
2
3
2
32
2
33
81
64836
81
97293
9
972972
x
xxf
x
xxxxf
x
xxxxxf
La 1ª Derivada se iguala a cero
081
648362
3
x
x
Se encuentran los valores críticos
3
3
3
3
3
18
18
36
648
64836
064836
x
x
x
x
x
Por lo tanto, el Valor Crítico es: 3 18
Se calcula la 2ª Derivada
2108xxf
Se evalúa la 2ª Derivada con los puntos críticos para saber si existe un máximo y un mínimo:
233 1810818
f
,018108182
33f un mínimo El valor crítico es el punto “x” de la coordenada, este se debe sustituir en la ecuación original para encontrar el punto “y”. Por lo tanto:
9
18
18
818
23
3
3
f
xfy
Punto Mínimo:
9
18
18
8,18
23
3
3
5.2 .- Teorema
Si f es una función continua en ba, y diferenciable en (a, b)
Si 0
xf bax , , entonces f es creciente en ba,
Si 0
xf bax , , entonces f es decreciente en ba,
5.3 .- EJEMPLOS: Encuentre el intervalo donde la función que se indica crece o decrece. 1.-
896 23 xxxxf
0133
0343
343
9123
2
2
2
xx
xx
xxxf
xxxf
3
03
x
x
ó 1
01
x
x
xf Conclusión
x<1 + Crece
x=1 0
1<x<3 - Decrece
x=3 0
x>3 + Crece
Para saber si la grafica es creciente o decreciente, los valores deben ser sustituidos en la derivada Es decir, para x<1 (“x” menor que 1), la sustitución queda de la siguiente forma:
90
90120302
f
f
Como el resultado es positivo, la grafica es creciente en valores menores a 1
2.-
3
1
3
4
2
8xxxf
13
4
3
4
3
4
3
4
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
xxxf
xxxf
xxxf
013
43
2
xx
01
3
2
x ó 1
01
x
x
x no existe
xf Conclusión
x<-1 - Decrece
x=-1 0
x>-1 + Crece
5.4.- Derivadas implícitas y explícitas Explícita:
153 2 xxy Implícita:
yyy
xDxy
yyyDxyx
yDxyDxyyDxyyx
yyyxx
2518
26
251826
251826
32
45
5
455
455
2566
5.5.- EJEMPLOS: Calcule las derivadas que se indican 1.-
yxyyx 8473 324
Dxyxyyx
yyx
xyyxDxyyyx
DxyxyyDxyxDxyyyx
DxyDxyxyyyDxyxyx
DxyDxyyxyyDxyxyx
24
323
24323
24323
23423
23423
2168
712
2168712
2168712
8217612
83772312
2.-
44228 yxyxyx
Dxyxy
xy
xyDxyxy
xyDxyxy
xDxyDxyyxy
DxyyxxDxyy
DxyyxyDxyxDxyyxyDxyxDxyyx
DxyyxyDxyxDxyyxyDxyxDxyyx
DxyyxDxyyxDxyyx
3
3
33
33
33
33
33
33
33
8
484
4484
44324
43244
43222222222
43222
4321212
3.- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva 833 yx en el punto (1, 2)
Dxyy
x
Dxyy
x
Dxyyx
Dxyyx
2
2
2
2
22
22
3
3
33
033
En el punto (1, 2):
Dxy4
1
Pendiente
14
12 xy
Ecuación de la recta 5.6.- Teorema de Rolle
Sea f una función tal que:
i) f es continua en ba,
ii) f es diferenciable en ba,
iii) 0 bfaf
entonces “c” en ba, tal que:
0
cf 5.7.- Ejemplos Resuelva los siguientes problemas 1.-
xxxf 9
2
8 3
Verifique que satisface el Teorema de Rolle en
0,
2
3
Probando que f es continua* a)
02
3
8
108
8
108
2
3
2
27
8
274
2
3
2
39
2
3
2
8
2
33
f
f
f
f
b) 2
3x
Lim09
2
8 3 xx
c)
02
3
2
3
xfLimfx
//Por lo tanto, f es continua Probando que es diferenciable*
912 2
xxf
Probando que 0 bfaf *
002
3
00
02
3
ff
f
f
Calculando “c” (la derivada se iguala a cero)*
32
1
4
3
4
3
12
9
912
0912
912
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
xxf
o XVIII. "Mis ocupaciones se reducen a cultivar la Matemática, tranquilamente y en silencio" Joseph Louis De Lagrange (1736 – 18139, matemático Francés que demostró el teorema del valor medio entre otras muchas aportaciones. “No he podido modificar mi mal hábito de escribir mis trabajos varias veces hasta quedar relativamente satisfecho”
5.8.- Teorema del valor medio
Sea f una función tal que:
i) f es continua en ba,
ii) f es diferenciable en ba,
entonces “c” en ba, tal que:
ab
afbfcf
5.9.- Ejemplos Resuelva los siguientes problemas
xxxxf 35 23 en 3,1
*Probando que f es continua*
a) 71 f 273 f
b) 1xLim
735 23 xxx 3xLim
2735 23 xxx
c) 71
1
xfLimf
x c) 273
3
xfLimf
x f es continua en 1 f es continua en 3
f en continua en 3,1 *Probando que es diferenciable*
3103 2
xxxf *Calculando el valor de “c” *
10
2
20
13
727
cf
cf
cf
La derivada se iguala a cero
0173
07103
0103103
103103
2
2
2
xx
xx
xx
xx
3
7
073
x
x
ó 1
01
x
x
5.10.- CONCAVIDAD 5.10.1 Concavidad hacia arriba
La gráfica de una función f se dice que es cóncava hacia arriba en el abierto
xfc, si cf y si un intervalo abierto “ I ” tal que, xfxIcx ,, a la
gráfica cfc,
Cuando f(x) es cóncava hacia arriba, tendremos que 0
xf ,
Cóncava hacia arriba
5.10.2.- Concavidad hacia abajo
La gráfica de una función f se dice que es cóncava hacia abajo si cf y si
un intervalo abierto cI (“ I ” que contiene a “c”) tal que, xfxIcx ,,
sobre la gráfica en el punto cfc,
Cuando f(x) es cóncava hacia abajo, tendremos que 0
xf ,
Cóncava hacia abajo
5.11.- Ejemplos Encuentre el intervalo donde la función es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y puntos de inflexión,
896 23 xxxxf
126
0126
126
9123 2
x
x
xxf
xxxf
2x (Punto de inflexión)
2 x (Antes del punto)
2x x2 (Después del punto)
xf Conclusión
2 x - Cóncava hacia abajo
2x 0 Punto de inflexión
x2 + Cóncava hacia arriba
Para saber si la gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo, los valores deben ser sustituidos en la 2ª derivada Es decir, para x<2 (“x” menor que 2), la sustitución queda de la siguiente forma:
61
12161
f
f
Como el resultado es negativo, la grafica es cóncava hacia abajo para valores menores a 2
VI Integrales 6.1.- Un poco de historia 94 6.2.- La construcción de la integral 95 6.3.-Definición de integral definida 97 6.4.-Ejemplos 98 6.5.-Integral tipo f(x) g(x) ´ 99
6.1.- Un poco de historia del Cálculo Desde los tiempos remotos de las culturas Babilónica y Mesopotámica las ideas de tratar cantidades pequeñas fascinó a los sabios. Ya Arquímides ( 287 – 212 a.c.) tuvo intuición sobre problemas de cálculo integral, en su método de exhaustión que consistía en sumar enormes cantidades pequeñas. Blaise Pascal (1623 – 1662) con sus ideas influyó en la creación del cálculo y el inglés Isaac Newton en 1665 fijó las principales ideas del cálculo diferencial e integral. En este periodo de tiempo el cálculo se fue desarrollando hasta que el Alemán Gottgried Wilhelm Leibniz en 1673 creó el cálculo diferencial e integral, a él se le debe el que a estos cálculos les nombre Cálculo Diferencial y Cálculo Integral así como las representaciones dy/dx y el de El cálculo entonces se fue fortaleciendo en sus bases conceptuales, Abel bolzano impulsó el cálculo mediante una definición del concepto de límite, mientras que Johann Bertonoulli (1667 – 1748 ) abordó problemas del cálculo como los puntos de inflexión, longitud de curva y fijó las técnicas de integración. Tuvieron que pasar muchos años hasta que Guillaume F. A. L´Hopital publicó en 1696 el primer libro de texto de cálculo diferencial e integral , además publica su Regla de L´Hopital tan importante para la evaluación de los límites de la forma 0/0 . Mientras esto acontece María Gaetana Agnesi (1718 – 1799) publicó un libro de texto de cálculo El cálculo entonces siguió progreso enormemente y Karl Weierstrass (1815 – 1897 ) alemán estableció la derivada e integral por términos , a él se debe el rigor matemático usado en la actualidad, además Henri León Lebesque (1875 – 1941 ) trata la integral en “n” dimensiones y las integrales múltiples y Georg FriedichBernhardRiemann (1826 – 1866 ) definió la integral definida.
Issac Newton (1642 – 1727) Matemático inglés que descubrió el cálculo junto con Leibniz.
“Si he llegado muy lejos es porque estoy parado sobre gigantes”
6.2.- La construcción de la Integral El problema que habremos de tratar es el cálculo del área bajo una cuerva Para ello contamos con la recta y las diferentes formas en que se relacionan: De estas dos figuras geométricas conocemos perfectamente la forma de calcular sus áreas:
Del triángulo 2
bh la base por altura sobre 2 y del rectángulo bh .
Dividamos el área bajo la curva en dos: área 1a que tiene la forma de un
rectángulo y área 1r que se asemeja a un triángulo, pero que no lo es
Área
Y
X
Triángulo Rectángulo
Y
X
Ahora dividamos el área bajo la curva en dos rectángulos cuyas áreas son 1 2,a a y
dos áreas de dos figuras que se asemejan a triángulos rectángulos 1 2,r r , pero que
aún no lo son. Ahora dividamos el área bajo la curva en cuatro áreas de rectángulos cuyas áreas
son 1 2 3 4, , ,a a a a y cuatro áreas de figuras que se parecen a triángulos rectángulos
1 2 3 4, , ,r r r r , pero que aún no lo son.
Si esta forma de dividir el área buscada la hacemos tantas veces posibles tendremos que:
Y
X
Y
X
Y
X
1 2
1
1 2
1
...
...
n
n i
i
n
n i
i
a a a a y
r r r r
Como vemos que los triángulos rectángulos son cada vez más pequeñitos, conforme vamos formando cada vez más rectángulos y las áreas de estos
triángulos tienden a ser cero, por lo que 1
n
i
i
A a
6.3.- Definición de integral indefinida.
La integral de una función dxxf )( se define como:
dxxf )( = F (x ) + C
Donde F es una anti-derivada de f(x) y c es una constante arbitraria. Es importante el que F sea una antiderivada, porque eso nos permite pensar que para calcularla debemos hacer lo contrario a lo que hicimos al derivar una función,
es decir, si al derivar y = x 2 obtenemos y´ = 2x entonces podremos entender la Regla de la potencia de
1 nn nuu
1
1
n
xdxx
nn
6.4.- Ejemplos 1.- Encontrar las integrales siguientes:
cxx
dxxdxdxx 82
38383
2
Si derivamos el resultado
( cxx
82
3 2
)´ = 3x + 8 que es precisamente la función primitiva
2.- Si xx 1085 2
cxcx
dxx 2
2
52
1010
Al derivar el valor de la integral es imposible saber cuál era el valor de la constante c, por ello sólo se escribe únicamente la letra “c” 3.-
cxx
dxx 3
32 8
3
2424
Comprobando el resultado
23 248 xx
4.-
cx
xc
xxdxxdxxdx
xx 3
4
3
18
4
3388
118
4 3
3
4
3
3
4
1
4
44
cx
x
3
32
3
8 4 3
3
6.5.- Tipo de integral: f(x) es multiplicada por su derivada Teorema
cxgfdxxgxf
Ejemplo 1.- Encuentra la integral de la siguiente función.
dxx 83
83 xu dxdu 3
832
1
xu dx
du
3 Sustituyendo:
cxc
xc
uc
uc
uduu
32
32
3
2
3
2
3
2
1
839
2
9
832
9
2
3
2
3
1
2
33
1
3
1
VII.- Métodos de integración 7.1.- Completar la integral 101 7.2.- Cambio de variable 102 7.3.- Integral por partes 104 7.4.- Sustitución trigonométrica 105 7.5.- Fracciones parciales 113
7.1.- Completando la integral 1.-
dttt
8235
tt 635 2
Por lo tanto:
ct
ct
dttt
xfxg
54
35
9
35
6
1356
6
19292
82
Ya completada la integral, sólo se integró a xf 2.-
dxxx 5 32 48
23 1248 xx
Por lo tanto:
cx
cx
dxxx
xfxg
6
48
12
5
5
6
48
12
14812
12
1 5
63
5
63
5
132
cxcx
5 63
5
63 48
72
548
72
5
7.2.- Método para calcular la integral por cambio de variable 1.-
dxxx 18 2
Primero intentemos primero completar la integral
Pero vemos que no se puede completar porque 11
x
Ahora escojamos
xu 1 por lo que 2
1
12
1 xdu
pero al cambiar la variable no resulta conveniente utilizar esta derivada, ya que se complicaría más la integral
Intentemos escoger
xu 12
al calcular su derivada vemos que dxudu 2
Despejando x:
12 ux Sustituyendo:
duuuuduuuduuuuuduuuBinomio
2242222222 1216116116218
c
uuuduuduuduuduuuu
35
2
716216216
357246246
cxxxcuuu357357 1
3
161
5
321
7
16
3
16
5
32
7
16
cxxx
3
2
15
2
17
2
1
13
161
5
321
7
16
cxxx 357
13
161
5
321
7
16
7.3.- Integración por partes
vduuvudv
Se aplica para productos, y también si una ecuación no es la derivada de la otra. Como un criterio para utilizar este método de integración se escoge la variable más fácil de derivar y la más fácil de integrar 1.-
dxxx ln
xu ln xdxdv Se deriva Se integra
dxx
du1
xdxdv
2
2xv
Sustituyendo:
xdx
xxdx
xxxdx
x
xxxdx
x
xxx
2
1
2
ln
22
ln
22
ln1
22ln 22
22
22
cxxx
cxx
x
42
ln
22
1
2
ln 2222
2.-
dxex x28
2xu dxedv x
xdxdu 2 dxedv x
xev
Sustituyendo:
xdxeexxdxeex xxxx 2828 22
Se tiene otra integral que se debe resolver por partes, esta es:
xdxe x
xu dxedv x
dxdu dxedv x
xev
Sustituyendo para la segunda integral:
xxxx exedxeex Retomando la solución del ejercicio principal se tiene que:
cexeexdxex xxxx 288 22
3.-
xdxxsin8
xu xdxdv sin
dxdu xdxdv sin
xv cos Sustituyendo:
cxxxcxxxxdxxx sincos8sincos8coscos8
7.4.- Sustitución trigonométrica
Expresión Sustitución Identidad 22 xa
sinax 22
22 cossin1
22 xa tanax 22
22 sectan1
22 ax secax 2
0
ó
2
3
22 tan1sec
Integración directa
ca
xdx
xa
cxxdxx
xxdx
cxxdx
cxxdx
cxxdx
cxxdxx
cxxdx
cxxdx
1
22
22
2
2
sin1
csccotcsc
1csccot
sinlncot
seclntan
cotcsc
sectansec
sincos
cossin
Triángulo trigonométrico
1.
dxx
x2
29
Expresión
ddx
x
x
ax
cos3
3sin
sin3
sin
Eliminando el radical:
cos3cos9sin19sin99sin399 22222 x
Sustituyendo para el ejercicio principal:
dddd 2
2
2
22cot
sin
cos
9
9cos3
sin9
cos3cos3
sin3
cos3
cddd cotcsc1csc 22
Por Teorema de Pitágoras:
c
asin
c
bcos
b
atan
a
bcot
b
csec
a
ccsc
a
b
c
3sin
x
x
x
x
x
21
2
9cot
9cot
Por lo tanto:
cx
x
x
xc
21
2 9cot
9cot
x
3
2.-
dx
xx2
8
1
22
Expresión
ddx
x
x
ax
2sec2
2tan
tan2
tan
Eliminando el radical:
sec2sec4tan144tan44tan24 22222 x
Sustituyendo para el ejercicio principal:
ddd
22
22
2 tan4
sec2
sec2tan4
sec2sec2
sec2tan2
1
Utilizando identidades trigonométricas:
2
cotcsc
tan
sec
tan
1
tan
sec
Por lo tanto:
cd csc2
1cotcsc
2
1
3.-
dx
x
x
2
82
Este ejercicio se resolverá utilizando “Integración por Cambio de Variable” y no //Sustitución Trigonométrica
42 xu xdxdu 2
42 xu xdx
du
2 Sustituyendo:
cxcucucu
cu
duuduu
du
udx
u
x
422
1
2
12
1
12
12
1
2
11
2
1
2
1
22
12
1
12
1
2
1
4.-
dx
x
x
8
32
82 xu xdxdu 2 Sustituyendo:
cxcuduu
8ln2
3ln
2
31
2
3 2
5-
dx
x
x
18
1 xu dxdu 1 ux
Sustituyendo:
cxxcuuduu
duduu
duu
udu
u
u
1ln18ln8
18
18
18
6.-
dx
xx
x
382
63
2
382 2 xxu dxxdu 84
dxxdxx 6384
4
3
Sustituyendo:
cxxcuduuu
du 382ln
4
3ln
4
31
4
3
4
3 2
7.-
dx
x
x2
ln8
xu ln dx
xdu
1
Sustituyendo:
cxc
xc
uduu
333
2 ln3
8
3
ln8
388
8.-
dxx
582
82 xu dxdu 2
dx
du
2 Sustituyendo:
c
xc
xc
uduu
duu
12
82
6
82
2
1
62
1
2
1
2
66655
9.-
dxx 84
Sustituyendo:
84 xu dxdu 4
10.-
Sustituyendo:
El método utilizado complica la integral, se debe utilizar otro método
cucucu
cu
duuduu 2
3
2
32
3
2
3
2
1
6
1
12
2
3
2
4
1
2
34
1
4
1
4
1
cx
cx
6
8484
6
13
2
3
dxe x 82
2
82 xu xdxdu 2
82 uxdx
x
du
2
8 ux
duu
e
u
due
uu
82822
7.5.- Fracciones parciales Teorema:
Cualquier polinomio con coeficientes reales puede expresarse como un producto de factores lineales y cuadráticos de tal forma que cada uno de los factores tiene coeficientes reales.
Teorema:
En un polinomio cuando un factor se repite “n” veces entonces:
Ejemplo 1.-
Se factoriza el polinomio
se acomodan los datos
Encontrar los valores con los que la ecuación se hace cero
Sustituyendo los valores encontrados
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
...
2
2
1
1
12
1
1
1 ...i
p
i
p
p
i
n
p
i ax
A
ax
A
ax
A
ax
A
dx
xxx
x
2
823
1222 223 xxxxxxxxx
21128
121
122
128
1212
8
xxCxxBxxAx
xxxx
Cxxx
x
Bxxx
x
Ax
x
C
x
B
x
A
xxx
x
0x 02 x 01x
2x 1x
Si x = 0
Si x = 2
Si x = -1
Sustituyendo para la integral
2.-
Se acomodan los datos
A
A
A
A
CBA
4
2
8
28
128
200100102080
B
B
B
B
CBA
1
6
6
66
626
222122122282
C
C
C
C
CBA
3
3
9
39
319
211111112181
cxxxdxx
dxx
dxx
dxxxx
1ln32ln1ln4
1
13
2
11
14
1
3
2
14
dxxxx
xx
11
34
82
Encontrar los valores con los que la ecuación se hace cero
01x 01x
1x 1x Sustituyendo los valores encontrados Si x = 0
A
A
A
A
CBA
3
1
3
13
113
100100101030202
Si x = 1
B
B
B
B
CBA
3
2
6
26
21321
111111111131212
Si x = -1
C
C
C
C
CBA
1
2
2
22
21321
111111111131212
Sustituyendo para la integral
cxxxdxx
dxx
dxx
dxxxx
1ln11ln3ln31
11
1
13
13
1
1
1
33
111132
111
111
1132
1111
32
2
2
2
xxCxxBxxAxx
xxxx
Cxxx
x
Bxxx
x
Axx
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
0x
3.-
dx
xxx
xx
23
2
4
8
6205
Se factoriza el polinomio
2223 111122 xxxxxxxxxxx Se acomodan los datos
xCxxBxAxx
xxx
Cxx
x
Bxx
x
Axx
x
C
x
B
x
A
xx
xx
116205
11
11
16205
111
6205
22
2
2
222
22
2
Encontrar los valores con los que la ecuación se hace cero
0x 01x
1x Sustituyendo los valores encontrados Si x = 0
A
A
CBA
6
16
01001060200522
Si x = -1
C
C
C
C
CBA
9
1
9
19
16205
11111161201522
?B
Se sustituyen los valores de “A” y “C” para encontrar el de “B”
1
23
1
23
1
1
23
1
1
23
231
1230
6205911260
911266205
91166205
2
2
2
2
22
22
22
x
xB
xx
xB
xx
x
xx
xB
xx
xxB
xxxxB
xxBxx
xxxxxBxx
xxxBxxxx
xxxBxxx
Para encontrar el valor de “B” se proponen otros valores, con excepción de los encontrados anteriormente Si x = 1
11
2
22
11
231
B
B
B
Si x = 2
7
3
21
12
232
B
B
B
Sustituyendo para la integral
c
xxxdx
xdx
xdx
xdx
xxx
1
191ln7ln6
1
19
1
17
16
1
9
1
7622