平成 29年度スーパーサイエンスハイスクール研究開発 (研究第 2年次)

数理応用– 数理重点化用副読本 (応用編) –

～ 「数理的な探求活動」の強化を目指して ～

(2017改訂版)

S =

∫ 10x2 dx =

[1

3x3]10

=1

3

xG ·1

3=∑

xk ·∆Sk

=∑

xk · xk2∆xk

=

∫ 10x · x2 dx

=

∫ 10x3 dx

=

[1

4x4]10

=1

4

∴ xG =3

4

東京工業大学附属科学技術高等学校成果普及委員会

数理応用– 数理重点化用副読本 (応用編) –

～ 「数理的な探求活動」の強化を目指して ～

(2017改訂版)

東京工業大学附属科学技術高等学校成果普及委員会

本書には紙媒体版と電子媒体版 (PDF版)があり, PDF版をご覧になる場合

には PDFファイルを閲覧するソフトが必要となります.本書の PDF版では

「課題の問題番号をクリックすると, そのページから本書内にある課題の略

解のページに飛ぶことができる」等のリンクを貼ってある箇所がありますが,

相互リンクにはなっていないため,元のページに戻りたい場合には,お手数で

すがお使いの閲覧ソフトの「前の画面に戻る」等の機能でお戻りください.

なお,本書の PDF版作成の都合上,リンク先のページの位置が多少ずれる場

合がありますが, そのような場合には前後のページをお探しくださいますよ

うお願い申し上げます.

このテキストで学ぼうとしている高校生の皆さんへ

この「数理応用」は,科学技術を志向する工業課程の専門高校が昨今の大学進

学希望者増加（特に理工系大学）への対応に資するために,理工系大学における

学部教育への接続をよりスムーズにすることを目的として,平成 14～16年度に

本校独自教材である「数理基礎」の続編という位置付けとして本校で作成を開

始し,その後,平成 17～21年度には「未知な課題への挑戦力～いどむ力～」の育

成を一層強化するため,工学的な視点をできるだけ維持しつつも,より数学的な

視点を付加する作業を行い,一時,「数学さきがけ」という名称の教材に改訂しま

した.そして,平成 22～26年度において,デジタル教材としてアーカイブズ化さ

せることで,より多くの方々に利用していただけるようにすることを目指して準

備を進め,名称も「数理基礎」の続編という位置づけに対する整合性を考慮し,

「数理応用」という本来の名称に原点回帰させた上で, 紙媒体版または電子媒体

版として,その後も修正を加えつつ,皆さんにご覧いただこうとするものです.

まず, はじめに, 誤解して欲しくないことが 2つあります. 1つは,「この教材

は,受験のために作られた教材ではない」ということです. この教材は,「科学・

技術の真の理解に少しでも近づけるように, 物理や化学, 工業の数理的な本質部

分に触れよう」というものであって, 受験のためのテクニックや秘技を伝授する

ものではありません.「これを知っていると受験問題がより速く, 正確に, 簡単に

解ける」などというようなものを期待している方は, この教材は読んでも無駄で

す. しかしながら,「真の理解」を目指すことは, 結果的には,「真の理解」をき

ちんと評価してくれる大学であるならば, そのような大学の受験に対しては役に

立つこともあるのではないか, とは考えています. 誤解して欲しくないことのも

う 1つは,「この教材は, 公式集ではない」ということです. この教材は, 公式集

としての機能を持っていません. 必要最小限の原理的な内容をよく理解し, 皆さ

んができるだけ「自力で計算できるようになる」ことを強く望んでいます.

「数理応用」は, 物理や化学ではありませんし, 工業でもありません. しかし,

物理や化学, 工業の題材がふんだんに出てきます. 一見, 独立に見えるそれぞれ

の事象が, 実は非常に関連があるということは少なくありません.「数理」という

視点で, 科学技術の基礎部分をしっかりと有機的につなげ,「なぜ」「どうして」

という気持ちを大切にして, 自ら, より深い理解を求めるよう, がんばってくだ

さい. それらの数理には, 数学がこんなふうに利用されるのか, という場面がた

くさん出てきます. 数学の学習をより効果的にするためにも, これらを活かさな

い手はありません. 特に, 工業には高校の物理や化学では扱わないような発展的

な題材が豊富にあります. 工業課程の特性を活かし, 実験・実習で現実感を積み

上げながら, なおかつ, 理論的な学習にも怖じけずに取り組んでいきましょう.

その際に, 具体的な事象を通して単に数学を道具として利用するだけでなく, 数

学自体の理解にも少しでも踏み込められれば, 願ったりかなったりです.そして,

数学的な見方や考え方の良さも,ぜひとも感じ取っていただければと思います.

程度は, 工業課程の専門高校の 2学年以上を想定し, 学習する際には「数理基

礎（本校版）」または「工業数理基礎 ((1)工業の事象と数式, (2)基礎的な数理

処理の部分)」を学習していることを前提としていますが, 普通高校等において

も,「数学 I」を学習済みであれば同じように学べることでしょう.

「数学さきがけ」は科学技術を志向する工業課程の専門高校の生徒必携の副

読本です.ページ数の関係で紙媒体版の方は多少 (かなり?)重いかもしれません

が,通学のお伴に,友達との語らい (議論??)に,毎日持ち歩いて暇を見つけては

眺めてください.そして,「おい, 本当かよ」「こいつは絶対に怪しいなぁ」などと

思ったときは,人に頼らず自分で計算して確かめてみてください.自分を納得さ

せられる最良の人は,自分自身なのです.それに,もしかしたら,このテキストに

書いてあることが間違っていて,あなたの考えた方が正しいのかもしれません.

新しい発見や発明は, 得てしてそういう気持ちから生まれて来たりします. 地

図にない道を探したければ, 始めに地図が必要だ, ということをまず知るととも

に, その地図を熟知した上で, ぜひとも新しい道を探しに出かけましょう. そう

して見つけた道が本当に新しいかどうかは, 人に尋ねるのではなく, まずは自分

で検証するように心掛けてください. 将来, 科学者や技術者として, 新しい世界

を切り開いていくときに, そういう力がきっと役に立つことでしょう. この教材

を通して, 科学技術を数理的に見るセンスを磨き,「数理的な探求活動」を強化

し, さらに未知な課題へ積極的に挑む力を強めていただければと願っています.

追記

この教材の作成にあたり, 東京工業大学名誉教授 磯 親 先生には, 多大なるご

指導・ご助言をいただきました. この場をお借りして, 厚く御礼を申し上げます.

また,元東京工業大学の村山光孝先生,東京工業大学の石川 謙 先生,茨城大学の

相羽 明 先生,千葉大学の青山耕治先生をはじめ,多くの先生方からもご支援を

いただきました.そして,本校生徒や卒業生,東京工業大学の教育実習生の皆さん

にも,ずいぶんと助けていただきました. 皆様, 本当にありがとうございました.

なお,本校は平成 14～16,17～21,22～26,27(経過措置),28～32年度において,

スーパーサイエンスハイスクール (SSH)の指定を文部科学省より受け,教育研

究活動を進めております.ここに厚く御礼申し上げます. 平成 29年 4月

東京工業大学附属科学技術高等学校成果普及委員会

「数理応用」と工業, 理科との関連

「数理応用」と工業 (応用化学系, 情報系, 機械系, 電気・電子系, 建築系), 理

科 (物理, 化学)との主な関連を表にすると, 次のようになります. なお,応用的

な内容もなるべく切り離さず数学といっしょに学んで欲しいですが,どうしても

数学の部分だけを先に学びたい場合は,※印の箇所を選ぶとよいでしょう.

応化 情報 機械 電電 建築 物理 化学

1章 微分入門1.1※ 平均変化率と微分係数 © © © © © © ©1.2※ 導関数 (xn に関するもの) © © © © © © ©1.3※ 位置, 速度, 加速度と微分 © © © © © © ©2章 積分入門2.1※ 不定積分と定積分 (xn に関するもの) © © © © © © ©2.2※ 加速度, 速度, 位置と積分 © © © © © © ©2.3 運動量と力積 © © ©2.4 仕事と位置エネルギー © © © © ©3章 ベクトルの利用3.1※ ベクトルの内積 © © © © © © ©3.2 仕事と内積 © © © ©3.3※ 4次元ベクトルの内積 © © ©3.4※ ベクトルの外積 © © © © © ©3.5 モーメントとトルク © © © © © ©4章 いろいろな関数とその性質4.1※ n次関数 © © © © © © ©4.2※ 分数関数 © © © © © © ©4.3※ 三角関数 © © © © © © ©4.4 波動 © © © © © © ©4.5※ 指数関数と対数関数 © © © © © © ©4.6 半減期 © © ©4.7 光学異性体の個数 (種類の数) © ©4.8 pHの計算 © ©4.9※ 陰関数 © © © © © © ©4.10※ 逆関数 © © © © © © ©4.11※ 合成関数 © © © © © © ©4.12※ 媒介変数で表される関数 © © © © © © ©4.13※ 不等式と領域 © © © © © © ©4.14※ 線形計画法 © ©4.15 最小 2乗法 © © © © © © ©5章 数列と行列5.1※ 数列 © © © © © © ©5.2 重心と図心 © © ©5.3 電子配置と規則性 © © © © ©5.4※ 行列 © © © © © © ©5.5 応力テンソル © © © ©

応化 情報 機械 電電 建築 物理 化学

6章 複素数入門6.1※ 複素数と方程式 © © © © ©6.2※ 複素数平面 © © © © ©6.3 交流回路と複素数 © © ©7章 いろいろな関数の微分7.1※ limの計算 (いろいろな関数を含むもの) © © © © © © ©7.2※ いろいろな関数の導関数 © © © © © © ©7.3※ 平均値の定理とテイラー展開 © © © © © © ©7.4 円運動 © © © ©7.5 剛体の回転運動と慣性モーメント © ©8章 いろいろな関数の積分8.1※ 不定積分と定積分(いろいろな関数を含むもの) © © © © © © ©8.2 仕事と運動エネルギー © © © © © © ©8.3 電場 (静電場) © © © ©8.4 磁場 (静磁場) © © © ©8.5 電磁誘導と交流電流 © © © ©9章 微分方程式入門9.1※ 微分方程式 © © © © © © ©9.2※ 簡単な微分方程式を解く © © © © © © ©9.3 変数分離形で解ける運動方程式 © ©10章 多変数関数と微分10.1※ 偏微分と全微分 © © © © © © ©10.2 化学平衡と反応速度 © ©11章 ベクトル解析入門11.1※ スカラー場やベクトル場における計算 © © © ©11.2 ガウスの法則 © © ©11.3 アンペールの法則 © © ©12章 複素解析入門12.1※ 複素変数関数 © © © © © ©12.2 交流回路と複素変数関数 © © © © ©12.3 シュレディンガー方程式と波動関数 © © © ©13章 確率と統計入門13.1※ 場合の数と確率 © © © © © © ©13.2※ 確率分布と推定・検定 © © © © © © ©14章 線形代数入門14.1※ 3次の正方行列の行列式と逆行列 © © © © © ©14.2※ 4次以上の正方行列の行列式と逆行列 © © © © © ©14.3 直列と並列が混在する直流回路 © © ©15章 解析学入門15.1※ 実数の連続性をあらためて考える © ©15.2※ 数列の極限をあらためて考える (ε -N論法) © ©15.3※ 関数の極限をあらためて考える (ε - δ 論法) © ©15.4※ 関数の連続性をあらためて考える © ©15.5※ 微分をあらためて考える ©15.6※ 積分をあらためて考える ©

i

目 次

第 1章 微分入門 1

1.1 平均変化率と微分係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 平均変化率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 微分係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 lim の計算 (xnに関するもの) . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 導関数 (xnに関するもの) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 導関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 多項式の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 積, 商の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.4 第 n次導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 位置, 速度, 加速度と微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 1次元 (直線上)の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3 ベクトルの微分 (2次元, 3次元の運動) . . . . . . . . . . 25

第 2章 積分入門 31

2.1 不定積分と定積分 (xnに関するもの) . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.3 面積, 体積と定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.4 積分して微分すると元に戻る . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 加速度, 速度, 位置と積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.1 速度から位置を求める . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2 加速度から速度を求める . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.3 簡単な運動方程式を解く . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.4 ベクトルの積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 運動量と力積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1 運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ii

2.3.2 運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 仕事と位置エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.1 仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.2 エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.3 位置エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

第 3章 ベクトルの利用 53

3.1 ベクトルの内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1 内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.2 内積と成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3 内積の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.4 図形への応用 (直線, 平面, 球面, 円の方程式) . . . . . . . 59

3.1.5 内積と微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 仕事と内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 4次元ベクトルの内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 ベクトルの外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.1 外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.2 外積の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4.3 外積と成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4.4 外積と微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.5 モーメントとトルク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5.1 軸のまわりのモーメントとトルク . . . . . . . . . . . . . 81

3.5.2 軸のまわりの角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.3 点のまわりの角運動量とモーメント . . . . . . . . . . . . 84

3.5.4 角運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

第 4章 いろいろな関数とその性質 87

4.1 n次関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 n次関数の性質とグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.2 n次方程式と n次不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.3 面積,体積と定積分 (n次関数) . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2 分数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.1 分数関数の性質とグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.2 分数方程式と分数不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3 三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

iii

4.3.1 三角関数の性質とグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3.2 加法定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4 波動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.4.1 進行波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.4.2 波の重ねあわせの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.5 指数関数と対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.5.1 指数関数の性質とグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.5.2 対数関数の性質とグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.6 半減期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.7 光学異性体の個数 (種類の数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.8 pHの計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.9 陰関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.9.1 円と楕円 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.9.2 双曲線, 放物線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.10 逆関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.11 合成関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.12 媒介変数で表される関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.13 不等式と領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.14 線形計画法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.15 最小 2乗法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

第 5章 数列と行列 205

5.1 数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.1.1 数列とその和の表し方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.1.2 等差数列と等比数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.1.3 いろいろな数列の和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.1.4∑の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.1.5 漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.1.6 数学的帰納法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.1.7 数列の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

5.1.8 無限級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.1.9 和の極限と定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.2 重心と図心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.2.1 重心と図心の求め方 (断面 1次モーメント) . . . . . . . . 240

5.2.2 断面極 2次モーメントと慣性モーメント . . . . . . . . . 247

iv

5.3 電子配置と規則性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.4 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5.4.1 行列とその計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5.4.2 固有値と固有ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

5.4.3 行列と 1次変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

5.4.4 行列とテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5.5 応力テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

第 6章 複素数入門 295

6.1 複素数と方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.2 複素数平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.2.1 複素数平面と極形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.2.2 複素数の数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

6.3 交流回路と複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

第 7章 いろいろな関数の微分 325

7.1 limの計算 (いろいろな関数を含むもの) . . . . . . . . . . . . . . 325

7.2 いろいろな関数の導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

7.2.1 合成関数と逆関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

7.2.2 三角関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

7.2.3 指数関数と対数関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

7.2.4 媒介変数で表される関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . 348

7.2.5 陰関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

7.2.6 いろいろな関数のグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

7.3 平均値の定理とテイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

7.3.1 平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

7.3.2 テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

7.4 円運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

7.4.1 円運動の表し方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

7.4.2 円運動における運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

7.5 剛体の回転運動と慣性モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

第 8章 いろいろな関数の積分 367

8.1 不定積分と定積分 (いろいろな関数を含むもの) . . . . . . . . . . 367

8.1.1 不定積分 (いろいろな関数を含むもの) . . . . . . . . . . 367

v

8.1.2 定積分 (いろいろな関数を含むもの) . . . . . . . . . . . . 383

8.1.3 面積,体積と定積分 (いろいろな関数を含むもの) . . . . . 390

8.1.4 曲線の長さと定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

8.1.5 定積分と不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

8.1.6 フーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.2 仕事と運動エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.2.1 運動エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.2.2 力学的エネルギーの保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.3 電場 (静電場) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8.3.1 クーロンの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8.3.2 電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

8.3.3 電位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

8.4 磁場 (静磁場) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

8.4.1 磁石と磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

8.4.2 ビオ・サバールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

8.4.3 定常電流と磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

8.4.4 ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

8.5 電磁誘導と交流電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

8.5.1 電磁誘導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

8.5.2 交流電流と実効値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

8.5.3 リアクタンスとインピーダンス . . . . . . . . . . . . . . 426

第 9章 微分方程式入門 431

9.1 微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

9.2 簡単な微分方程式を解く . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

9.2.1 基本的な微分方程式の解き方 . . . . . . . . . . . . . . . 432

9.2.2 変数分離形の微分方程式の解き方 . . . . . . . . . . . . . 434

9.3 変数分離形で解ける運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

9.3.1 雨の終端速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

9.3.2 単振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

9.3.3 単振り子の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

9.3.4 y′′ が「 y の定数倍」で表される微分方程式の一般解 . . 442

vi

第 10章 多変数関数と微分 447

10.1 偏微分と全微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

10.1.1 多変数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

10.1.2 偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

10.1.3 全微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

10.2 化学平衡と反応速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

10.2.1 化学平衡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

10.2.2 反応速度と反応次数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

10.2.3 反応速度と温度, 活性化エネルギー . . . . . . . . . . . . 467

10.2.4 熱力学との関連 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

第 11章 ベクトル解析入門 471

11.1 スカラー場やベクトル場における計算 . . . . . . . . . . . . . . . 471

11.1.1 勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

11.1.2 発散と回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

11.1.3 勾配, 発散, 回転の計算ルール . . . . . . . . . . . . . . . 478

11.1.4 発散の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

11.1.5 ガウスの発散定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

11.1.6 回転の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

11.1.7 ストークスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

11.2 ガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

11.3 アンペールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

第 12章 複素解析入門 505

12.1 複素変数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

12.1.1 複素変数関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

12.1.2 複素変数関数の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

12.2 交流回路と複素変数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

12.3 シュレディンガー方程式と波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . 528

第 13章 確率と統計入門 551

13.1 場合の数と確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

13.1.1 集合とその要素の個数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

13.1.2 場合の数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

13.1.3 確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

vii

13.2 確率分布と推定・検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

13.2.1 度数分布と確率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

13.2.2 推定と検定の考え方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

第 14章 線形代数入門 613

14.1 3次の正方行列の行列式と逆行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

14.2 4次以上の正方行列の行列式と逆行列 . . . . . . . . . . . . . . . 624

14.3 直列と並列が混在する直流回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

第 15章 解析学入門 639

15.1 実数の連続性をあらためて考える . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

15.1.1 上限と下限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

15.1.2 実数の連続性の公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

15.2 数列の極限をあらためて考える (ε -N 論法) . . . . . . . . . . . . 646

15.3 関数の極限をあらためて考える (ε - δ論法) . . . . . . . . . . . . 652

15.4 関数の連続性をあらためて考える . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

15.4.1 中間値の定理をあらためて考える . . . . . . . . . . . . . 661

15.4.2 最大値・最小値の存在定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

15.5 微分をあらためて考える . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

15.5.1 平均値の定理をあらためて考える . . . . . . . . . . . . . 666

15.6 積分をあらためて考える . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

15.6.1 定積分をあらためて考える . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

ギリシャ文字とその読み方, 名著の紹介 677

課題の略解 678

索引 739

「数学的」ってどんなこと？ ～はじめに～

「数学的」ってどんなことでしょう.皆さんがこれまでに算数・数学を学んで来

られて,いったいどのようなときに「あぁ,数学的だなぁ」と感じたでしょうか.

おそらく, 感じ方は人によって異なるかと思いますが, いろいろな考え方をし

てもきちんと計算すれば必ず正しい答にたどり着けることとか, あることに気づ

くととても簡単に問題が解けたりすることなど, さまざまな面がありそうです.

また, 事象を数学的に表すことによって定量的にとらえることができたり, 科学

的に考えることが容易になったり, 数学を活用する応用場面でも「数学的に表す

と,すっきりするなぁ」ということは,よくあることではないでしょうか.

例えば,「“ある数”を 2乗したら, “ある数”の 3倍から 2を引いた数に等しく

なった. “ある数”は何か ?」という問題を考えるとき, 1という答を偶然見つけて,

それでおしまい,というわけではありませんね. “ある数”を xとして式で表せば,

x2= 3x−2 ですから, x2−3x+2 = 0 と変形し, (x−1)(x−2) = 0 ∴ x = 1 , 2のように, 過̇不̇足̇な̇く̇答を得られるということも重要なポイントの 1つでしょう.

ところで, (x−1)(x−2) = 0 ∴ x = 1 , 2 の意味をきちんと理解していますか ?これは,「2つの数をかけて 0になるとき, 少なくとも 1つは 0である」という

性質から,「 (x−1)(x−2) = 0 」より「 x−1 = 0 または x−2 = 0 」として「 x = 1 または x = 2 」という結果を「 x = 1 , 2 」と表しているのですが, こ

の「○○である,または,△△である」とか「○○である,かつ,△△である」と

いう表現を用いることが数学ではよくあり,論理をより明確にするために必要な

表現ですので,少しずつ使い慣れましょう.これらは次のような意味で用います.

「○○である,またはor

,△△である」· · · ○○と△△のうち,少なくとも 1つが成り立つ. [両方とも成り立つ場合も含む]

「○○である,かつand

,△△である」 · · · ○○と△△が,両方とも成り立つ.

ここで,もしも (x−1)(y−2) = 0なら,「x−1=0または y−2=0」として「x=1または y=2」となり,「xは 1だが, yは 2ではない」と「xは 1ではないが, yは

2である」だけでなく「xが 1で,しかも, yが 2である」という場合もあり得る

ことにすぐに気づかれると思うのですが, (x−1)(x−2) = 0では「xが 1で,しかも, xが 2である」という場合はあり得ないため, た̇ま̇た̇ま̇「x=1または x=2」

が「x=1か x=2の,いずれかである」と同̇じ̇意̇味̇に̇な̇り̇,「○○である,または,

△△である」を「○○か△△の,いずれか 1つのみが成り立つ」ものと誤̇解̇し̇が̇ち̇

です.「または」は本来,両方とも成り立つ場合も含むので注意してください.

1

第1章 微分入門

はじめに

時間とともに時々刻々変化するものの「瞬間」の値をとらえるためには, どん

な工夫が必要でしょうか. ここではその基本的な考え方を学習します.

1.1 平均変化率と微分係数

1.1.1 平均変化率

関数 y = f(x) において, xが aから bまで

変化するとき, すなわち,

x a · · · bf(x) f(a) · · · f(b)

であるとき, その変化の割合f(b)− f(a)

b− aを

へいきんへんかりつ

平均変化率average rate of change

といいます. これは, 右図のよ

うに,グラフにおいては「直線ABの傾き」で

もあります.

f(b)− f(a)b− a

· · · · · · 平均変化率

例 1. 関数 y = x2 において, xが 1から 4まで変化するときの平均変化率は,

(平均変化率) =42 − 12

4− 1=

15

3= 5

課題 1. 関数 y = 3x2 において, xが 2から 5まで変化するときの平均変化率を

求めなさい.

2 第 1章 微分入門

1.1.2 微分係数

「平均変化率」は xが aから bまで変化するときの「平均」の変化率でした

が, では, x = aにおける「瞬間」の変化率を求めるには, どうしたらよいでしょ

うか ? ( はい, テキストを一瞬閉じて, 自分で考えてみましょう ♥ )どんなイメージが浮かびましたか ? x = aにおける「瞬間」の変化率を求

めるには, ここでは,「点Aを動かないように固定し, 点Bを限りなく点Aに近

づける」というアイデアを用います. これを

「B −→ A」などと表すことにします.B −→ A (すなわち, b −→ a) として計算す

る点Aにおける「瞬間」の変化率を,

f ′(a) = limb→a

f(b)− f(a)b− a

と表し, x = aにおけるびぶんけいすう

微分係数differential coefficient

といいます.

記号「lim」は「極限」を表す記号で,「リミット」と読めばよいでしょう (「極

限」は英語では limitと言います). この計算は, 次の例のように行います.

例 2. f(x) = x2 のとき, x = 2における微分係数を求めなさい.

f ′(2) = limb→2

b2 − 22

b− 2= lim

b→2

(b− 2)(b+ 2)b− 2

= limb→2

(b+ 2) = 2 + 2 = 4

ここで, 微分係数を与える式は, b− a = h と置き換えると b = a+ h となり,「b −→ a」⇐⇒「h −→ 0」なので,

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

· · · · · · 微分係数

と表すこともできます.

例 3. (例 2 別解) f(x) = x2 のとき, x = 2における微分係数を求めなさい.

f ′(2) = limh→0

(2 + h)2 − 22

h

= limh→0

4 + 4h+ h2 − 4h

= limh→0

h (4 + h)

h= lim

h→0(4 + h) = 4 + 0 = 4

なお, B −→ A のとき, 直線ABは「点Aにおける接線」になる, と考えられるので, f ′(a)は x = aにおける 接線の傾き

slope of tangent lineでもあります.

微分係数 f ′(a) は, x = a における接線の傾き

1.1. 平均変化率と微分係数 3

1.1.3 lim の計算 (xnに関するもの)

ここで, lim の計算に, 少し慣れましょう. 次の例を見てください.

例 4. (1) limx→3

x2 + 2

x− 1=

9 + 2

3− 1=

11

2

(2) limx→2

x2 − 4x+ 1

=4− 42 + 1

=0

3= 0

(3) limx→1

x2 − 3x+ 2x− 1

= limx→1

(x− 1)(x− 2)x− 1

= limx→1

(x− 2) = 1− 2 = −1

(4) limx→0

(x+ 3)2 − 9x

= limx→0

x2 + 6x+ 9− 9x

= limx→0

(x+ 6) = 0 + 6 = 6

誤答例 (3) limx→1

x2 − 3x+ 2x− 1

=12 − 3× 1 + 2

1− 1=

0

0= ??

(4) limx→0

(x+ 3)2 − 9x

=(0 + 3)2 − 9

0=

9− 90

=0

0= ??

上の例の (1), (2)と, (3), (4)とでは, 何か異質な感じがしませんか ? (1), (2)

のように, 数値をそのまま代入して計算できるようなものをていけい

定形determinate form

といいます.

一方, (3), (4)のように, 数値をそのまま代入すると計算不能となる (数学では

「0分の」は計算できません. つまり, ある数を 0で割ってはいけないのです)よ

うなものをふていけい

不定形indeterminate form

といいます. (なんだか, 郵便物みたいですね)

不定形の場合は, 「0分の」となる原因の部分を「因数分解して約分する」な

どの「処理」をして除去します. この操作を 不定形の処理 などということがあ

ります. 「処理」した後に定形になれば, 値が求まります.

なお, (2)のように, (分母が 0ではなく)分子だけが 0となる場合は, 不思議

に思われるかもしれませんが, そのまま代入して計算することができます. 数学

では 0を 0でない数で割ることは許されています. 結果はもちろん, 0となりま

す. 0を 0でない数 aで割る, ということは 0× 1aを計算するということです

が,1

aはちゃんと「数値」として存在しますので, それを b などと置き換えれ

ば, 0× b = 0 となることはすぐにわかるのではないでしょうか.しかし, たとえそれは納得したとしても,「0分の 0」となるような不定形がど

うして計算できて値まで求まってしまうのか, さらに不思議に思うことでしょう.

実は, このあたりの議論に lim の計算の正体が潜んでいるわけで, 「x −→ a」ということの意味は, 「xが aとは異̇な̇る̇値̇を̇と̇り̇な̇が̇ら̇ aに限りなく近づく」

という意味であって, けっして「x = a」としているわけではないからなのです.

4 第 1章 微分入門

「xが aとは異なる値をとりながら aに限りなく近づくとき,

f(x)が αに限りなく近づく」ことを x −→ a のとき f(x) −→ α

とか, limx→a

f(x) = α などと表し, α をきょくげんち

極限値limit value

という.

文章で表すときには「x −→ a のとき f(x) −→ α 」という表現は便利ですが,式の計算を行うときには式と式を=でつなげて書くことのできる「 lim

x→af(x) = α」

の表現が便利です.

例 5. 極限値 limx→−1

x3 + 1

x2 − 1を求めなさい.

limx→−1

x3 + 1

x2 − 1= lim

x→−1

(x+ 1)(x2 − x+ 1)(x+ 1)(x− 1)

= limx→−1

x2 − x+ 1x− 1

=1 + 1 + 1

−1− 1= − 3

2

誤記例 limx→−1

x3 + 1

x2 − 1=

(x+ 1)(x2 − x+ 1)(x+ 1)(x− 1)

=x2 − x+ 1x− 1

=1 + 1 + 1

−1− 1= − 3

2

注意 上の誤記例のように limx→4

を省略して書くのは誤りです. なぜなら,

xをどの値に近づけていくのか指定せずに · · · = x2 − x+ 1x− 1

=1 + 1 + 1

−1− 1とするのはおかしいでしょう ? 書き間違いは計算間違いの元ですので,

正しく書くように心掛けましょう.

課題 2. 次の極限値を求めなさい.

(1) limx→2

x2 + 4

x+ 2(2) lim

x→2

x2 − 4x− 2

(3) limx→1

x2 − xx2 + 2x− 3

(4) limx→3

x2 − 9x3 − 27

課題 3. f(x) = x2 のとき, x = 3における微分係数 f ′(3) を, 微分係数の定義

の式に従って, 次の式を計算することにより求めなさい.

f ′(3) = limh→0

(3 + h)2 − 32

h

1.2 導関数 (xnに関するもの)

1.2.1 導関数の定義

微分係数 f ′(a) を求める計算において, 文字 a は本来は「定数」なので, f ′(a)

を求めた後にその a に数値を代入するということは好ましくありません. つま

り, 例えば, f(x) = x2 において f ′(2) と f ′(3) を両方知りたいときには,

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 5

f ′(a) = limh→0

(a+ h)2 − a2

h= lim

h→0

a2 + 2ah+ h2 − a2

h

= limh→0

2ah+ h2

h= lim

h→0

h (2a+ h)

h= lim

h→0(2a+ h) = 2a+ 0 = 2a

と f ′(a) = 2a を求めて a に 2や 3を代入するのではなく, それぞれ別々に計算

することが望ましいわけです.

しかし, これではあまりにも面倒なので, 文字 a の部分を始めから「変数扱

い」できるように文字 x に変えておけば, 後でその xに数値を代入することが

抵抗なくできるようになります。(ある程度慣れてくると, 同じ文字を使っても,

「定数」と「変数」をその場に応じて適切に使い分けることができますが, 皆さ

んは学習者として, 始めはきちんと区別して学習することをお勧めします）

微分係数の定義の式 f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

において, 文字 aの部分を

「変数扱い」できるように文字 x に変えた式をどうかんすう

導関数derivative

といいます. f ′(x) の形

で計算しておけば, 後でその xに数値を代入することもできます.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)h

· · · · · · 導関数

「関数 f(x) から導関数 f ′(x) を求める」ことを「関数 f(x)をび

微ぶん

分するdifferentiate

」

といいます. 微分を表す記号は, 通常「′」を用います. 関数 f(x) の導関数は

f ′(x), 関数 y の導関数は y′, などと表します.

例 6. f(x) = x2 の導関数は,

f ′(x) = limh→0

(x+ h)2 − x2

h= lim

h→0

x2 + 2xh+ h2 − x2

h

= limh→0

2xh+ h2

h= lim

h→0

h (2x+ h)

h= lim

h→0(2x+ h) = 2x+ 0 = 2x

注意 上の例において, 「f(x) = x2 を微分すると, f ′(x) = 2x となる」

と言ってもいいわけです. また, この結果を使って, f ′(2) = 2 × 2 = 4,f ′(3) = 2× 3 = 6 とすることもできます.

1.2.2 多項式の微分

微分係数や導関数を求めるのに, 毎度毎度 lim の計算をするというのはいか

にも大変です. そこで, よく使われる関数については「式を微分したらどのよう

な形になるのか」をあらかじめ調べておき, 後でそれを利用して簡単に微分の計

算ができるようにしておきたいものです. ここでは, xn の微分とその関連の計

算について考えることにしましょう.

6 第 1章 微分入門

例 7. (定数)′ = ?

f(x) = c (ただし, cは定数) とおく (このよ

うな関数を 定数関数constant function

といいます)と,

f ′(x) = limh→0

c− ch

= limh→0

0

h= lim

h→00 = 0

注意 上の計算の limh→0

0

hでは, 分母の hは「0と異̇な̇る̇値̇を̇と̇り̇な̇が̇ら̇

0に近づく」ため 0ではなく, 一方, 分子の 0は「本物」の 0であるため,0

h

の値は 0である, と言えるのです. (0

0.00000000001= 0 のようなイメージ

でとらえてください)

例 8. n = 1, 2のとき, (xn)′ = ?

(1) y = x のとき,

y′ = limh→0

(x+ h)− xh

= limh→0

h

h= lim

h→01 = 1

(2) y = x2 のとき,

y′ = limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

x2 + 2xh+ h2 − x2

h

= limh→0

2xh+ h2

h= lim

h→0

h (2x+ h)

h= lim

h→0(2x+ h) = 2x+ 0 = 2x

課題 4. y = x3 のとき, 次の計算を行う

ことにより, y′ = 3x2 となることを

確かめなさい. †

y′ = limh→0

(x+ h)3 − x3

h

これらをまとめるときに,

(x)′ =(x1)′= 1× x0 = 1× 1 = 1 ,

(x2)′= 2× x1 = 2x と考えると,

(xn)′ = nxn−1 [ただしn = 1, 2, 3] , (c)′ = 0 [ただし c は定数]

であることがわかります. では, nが 4以上の自然数のときはどうでしょうか ?†参考 (a+ b)3 = (a+ b)(a2 + 2ab+ b2) = a (a2 + 2ab+ b2) + b (a2 + 2ab+ b2)

= a3 + 2a2b+ ab2 + a2b+ 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 7

例 9. n = 4, 5, 6, · · · のとき, (xn)′ = ?

y = xn のとき, y′ = limh→0

(x+ h)n − xn

h

ここで,に

二こう

項てい

定り

理binomial theorem

†

(a+ b)n = nC0 an + nC1 a

n−1b+ nC2 an−2b2 + · · ·+ nCn bn

= 1 · an + n · an−1b+ n(n−1)2 · an−2b2 + · · ·+ 1 · bn

を利用して,

y′ = limh→0

xn + nxn−1 h+ n(n−1)2 xn−2 h2 + · · ·+ hn − xn

h

= limh→0

nxn−1 h+ n(n−1)2 xn−2 h2 + · · ·+ hn

h

= limh→0

h{nxn−1 + n(n−1)2 x

n−2 h+ · · ·+ hn−1}

h

= limh→0

{nxn−1 +

n(n− 1)2

xn−2 h+ · · ·+ hn−1}

= nxn−1 + 0 + · · · · · ·+ 0 = nxn−1

†参考 順列・組合せと二項定理A, B, C, D, Eの 5人が一列に並ぶとき,□□□□□の 5箇所に並ぶので, 5×4×3×2×1 = 120

通りの並び方 (じゅん順

れつ列

permutation)があります. この計算を 5! と表し,「 5の

かい階じょう乗

factorial」といいます.

A, B, C, D, E の 5人のうち, 2人が一列に並ぶとき, □□の 2箇所に並ぶので, 5× 4 = 20 通りの並び方 (順列)があります. この計算を 5P2 と表します. 例：5P3 = 5× 4× 3 = 60

A, B, C, D, E の 5人のうち, 2人を選ぶとき, 仮に順序も考えれば□□の 2箇所に並ぶので5× 4 = 20 通りがありますが, 実際には順序は必要ないので, これだと数えすぎになります. どれだけ数えすぎか ? を考えると, 例えば {A, B} という 1つの組について, その並べ換えの分だけ,すなわち 2! = 2× 1 = 2 回数えてしまっています. 他の組についても, 皆 2回ずつ数えてしまっていると考えられるので, 求める選び方 (

くみ組あわ合せ

combination)は

5× 42× 1 = 10 通りとなります. この計算を

5C2 と表します. 例：5C3 =5× 4× 33× 2× 1 = 10 (5C3 と 5C2 が同じ値になる理由は「5人のうち,

選ばれる 3人」が何通りあるかと「選ばれない方の 2人」が何通りあるかが同じだからです.一般式に, n! = n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × 3× 2× 1 (ただし, 0!は 1と決めます)

nPr = n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × (n− r + 1)︸ ︷︷ ︸r 個の積

=n!

(n− r)!

nCr =n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × (n− r + 1)

r × (r − 1)× (r − 2)× · · · × 1 =nPrr!

=n!

r!× (n− r)!

特に, nC0 = 1, nCn = 1さらに, nC1 =n

1= n, nC2 =

n× (n− 1)2× 1 =

n(n− 1)2

以上を踏まえて, 例えば (a+ b)5 の展開式の a3b2 の係数を考えると,(a+ b)5 = (ǎ+ b)(a+ b̌)(ǎ+ b)(ǎ+ b)(a+ b̌)

のように, 5つの ( )の中から aを 3個, bを 2個選べばよいので, bに着目すると 5C2 通りのa3b2 ができることになります. 従って, (a+ b)n の展開式では an−rbr の係数は nCr となり, 一般に, 二項定理 (a+ b)n = nC0 an + nC1 an−1b+ nC2 an−2b2 + · · ·+ nCn bn が成り立ちます.

8 第 1章 微分入門

以上より, nが 4以上の自然数でも, (xn)′ = nxn−1 が成り立つことがわかり

ましたので, 結局,

(xn)′ = nxn−1 [ただし n は自然数]

となりました.

例 10. 次の関数を微分しなさい.

(1) y = 1 のとき, y′ = 0

(2) y = x2 のとき, y′ = 2x (3) y = x5 のとき, y′ = 5x4

課題 5. 次の関数を微分しなさい.

(1) y = −5 (2) y = x (3) y = x4 (4) y = x100

では, y = 2x2 − 3x + 4 などの多項式を微分するにはどうしたらよいでしょうか ?

例 11. 2つの関数 f(x), g(x) について,{f(x) + g(x)

}′= lim

h→0

{f(x+ h) + g(x+ h)} − {f(x) + g(x)}h

= limh→0

{f(x+ h)− f(x)

h+g(x+ h)− g(x)

h

}= f ′(x) + g′(x)

{f(x)− g(x)

}′= lim

h→0

{f(x+ h)− g(x+ h)} − {f(x)− g(x)}h

= limh→0

{f(x+ h)− f(x)

h− g(x+ h)− g(x)

h

}= f ′(x)− g′(x)

例 12. 関数 f(x) について, kを定数とするとき,{k · f(x)

}′= lim

h→0

k · f(x+ h)− k · f(x)h

= limh→0

{k · f(x+ h)− f(x)

h

}= k · f ′(x)

{f(x) + g(x)

}′= f ′(x) + g′(x) ,

{f(x)− g(x)

}′= f ′(x)− g′(x){

k · f(x)}′

= k · f ′(x) [ただし k は定数]

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 9

このように, 微分の計算では,「足し算, 引き算はばらして微分できる, 定数倍

は前に出して関数の部分だけを微分すればよい」という性質があります.

例 13. 次の関数を微分しなさい.

(1) y = 2x2 − 3x+ 4 のとき,

y′ = 2×(x2)′ − 3× (x)′ + (4)′

= 2× 2x − 3× 1 + 0 = 4x− 3

(2) y = x4 + 2x3 − 3x2 + 4x− 5 のとき,

y′ = 4x3 + 2× 3x2 − 3× 2x+ 4× 1− 0 = 4x3 + 6x2 − 6x+ 4

(3) y = (x+ 1)(x2 − x+ 1) のとき, y = x3 + 1 なので,

y′ = 3x2 + 0 = 3x2

誤答例 (3) y′ = (x+ 1)′ × (x2 − x+ 1)′ = 1× (2x− 1) = 2x− 1 ??

注意 上の誤答例のように, かけ算の微分では, 微分したものどうしをか

けるのは誤りです. かけ算の微分は, もう少し複雑な形 (後で出てきます)

になります. 今の段階では, とりあえず展開してから微分してください.

課題 6. 次の関数を微分しなさい.

(1) y = 3x2 + 5x+ 7 (2) y = x3 + x2 − x− 1 (3) y = (x2 + 1)2

例 14. (例 2 別解) f(x) = x2 のとき, x = 2における微分係数 f ′(2)を求めな

さい.

f ′(x) = 2x より, f ′(2) = 2× 2 = 4

課題 7. f(x) = x3 のとき, x = −2における微分係数 f ′(−2)を求めなさい.

さて, ここで, 少し別の表し方も紹介しておきましょう.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)h

において,

xの増分を ∆x , yの増分を ∆y

と書くと, ∆x = h , ∆y = f(x+ h)− f(x) だから,

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x+∆x)− f(x)∆x

とも書ける.

10 第 1章 微分入門

また, 関数 y = f(x)の導関数を表す記号は, y′ や f ′(x) の他にもdy

dxや

d

dxf(x) などもあります.

d

dx□ で「□を微分する」という意味になります.

(dy

dxは「dx分の dy」ではなく, 「dy, dx」と読んでください)

dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x

これまで, 変数を表す文字は x, 関数を表す文字は yや f(x)として話を進めて

来ましたが, 変数や関数を表す文字はそれら以外でも同様に微分を考えることが

できます. 例えば, t の関数 s = g(t) があるとき, その微分を,

s′ , g′(t) ,ds

dt,

d

dtg(t)

などと, 表すことができます. その際, どの文字を扱っているのか混乱が起こる

ことのないように,

dy

dx· · · y を x で微分する , ds

dt· · · s を t で微分する

などと, 扱う文字にあわせて表現を区別するようにします.

例 15. a, b, c を定数とするとき, 次の関数 sを tで微分しなさい.

s = a t2 + b t+ c のとき,ds

dt= 2 a t+ b

課題 8. g, v0, x0 を定数とするとき, 次の関数 sを tで微分しなさい.

s = − 12g t2 + v0 t+ x0

接線と法線の方程式

「微分係数 f ′(a) は, x = a における

接線の傾き」なので, 関数のグラフを図

示したときの曲線上の点について, その

点における接線の方程式や, さらにその

接線に対してすい

垂ちょく

直 な直線 (これをほう

法せん

線normal line

といいます)の方程式を求めることがで

きます.

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 11

点 (x0, y0)を通る傾きmの直線の方程式が y− y0 = m (x− x0)と表される †

ことから,

y − f(a) = f ′(a) (x− a) · · · · · · 接線の方程式equation of tangent line

y − f(a) = − 1f ′(a)

(x− a) · · · · · · 法線の方程式equation of normal line

となります. これらの方程式は,「直線の式が y− y0 = m (x− x0) と表される」ということと「直線と直線の垂直条件は, 傾きをかけたら−1」であることを理解しておけば覚える必要はなく, その場で作ることができます. (「理解」する

ことにより覚えることはできるだけ減らし, その分, 他の覚えるべきこと, 例え

ば英単語とか古典文法とか工業的な事象とか, に記憶容量をまわしましょう♥ )

例 16. 曲線 y = x2 において, x = 3における接線と法線の方程式を求めなさい.

y′ = 2x なので, x = 3 のとき y = 9 , y′ = 2× 3 = 6

接線の方程式は, y − 9 = 6(x− 3) ∴ y = 6x− 9

法線の方程式は, y − 9 = − 16(x− 3) ∴ y = − 1

6x+

19

2

課題 9. 曲線 y = x3において, x=2 における接線と法線の方程式を求めなさい.

†参考 直線の方程式「直線の方程式」(あるいは, 簡単に「直線の式」ともいいます)というと, すぐに y = ax+ b

を思い出すかもしれませんが, 傾き mと通る点 (x0, y0)が与えられているとき, y = mx+ b とおいてから (x0, y0)を代入して bを求めるというのでは 2度手間になります. (未知数はできるだけ減らして式を立てる, というところがポイントです)これから, いろいろな場面で接線や法線がたびたび出てきます

ので, 直接, 直線の方程式を作ることのできる方法を身につけておきましょう.点 (x0, y0)を通り, 傾きmの直線の式は,

y − y0x− x0

= m より, y − y0 = m (x− x0) となります.また, 法線の傾きを考えるために, 2直線 y = m1x+ n1 ,

y = m2x+ n2 の 垂直条件condition of perpendicularity

を考えてみましょう. 右の図から,

P(1, m1), Q(1, m2) となるので,OP⊥OQ ⇐⇒ OP2 +OQ2 = PQ2

⇐⇒{√

12 +m12}2

+{√

12 +m22}2

= (m2 −m1)2

⇐⇒ m12 +m22 + 2 = m22 − 2m1m2 +m12

⇐⇒ m1m2 = −1となり, 「直線と直線が垂直となる条件は, 傾きをかけたら −1」であることがわかります.

従って, 接線の傾きが f ′(a)であるとき, 法線の傾きは − 1f ′(a)

となります.

12 第 1章 微分入門

関数の増減とそのグラフ

関数を微分すると「接線の傾き」がわかり, 接線の傾きがわかると関数のグラ

フの「上がり下がり」(つまり, 関数の増減)がわかります.

例えば, y = x2 においては y′ = 2x ですが,

x = 2 のとき y′ = 4 なので, 曲線 y = x2 は

x = 2において「瞬間的に傾きが 4である」と

いうことから, 「瞬間的に右上がりの曲線であ

る」ということがわかります. また, x = −3 のとき y′ = −6 なので, 曲線 y = x2 は x = −3において「瞬間的に傾きが−6である」ということから, 「瞬間的に右下がりの曲線である」ということがわかります.

このように, 関数 yを微分したときに, その導関数 y′が正の値をとる場所では

グラフが「瞬間的に右上がりの曲線」となり, y′が負の値をとる場所ではグラフ

が「瞬間的に右下りの曲線」となると言えます.

したがって, y=x2のグラフでは, y′> 0となる x > 0の範囲 (数学的にはく

区かん

間interval

などといいます)においてグラフは右上がりの曲線 (関数としてはたん

単ちょう

調ぞう

増か

加し

ているといいます)であり, y′ < 0となる x < 0の範囲においてグラフは右下

がりの曲線 (関数としてはたん

単ちょう

調げん

減しょう

少 しているといいます)であることわかり

ます.

一般には,

y = f(x) について

ある区間でつねに f ′(x) > 0 =⇒ その区間で f(x) は単調増加(グラフは右上がり)

ある区間でつねに f ′(x) < 0 =⇒ その区間で f(x) は単調減少(グラフは右下がり)

ということになります.

また, y = x2 においては, x = 0 のとき y′ = 0

なので, 曲線 y = x2 は x = 0において「瞬間的

に傾きが 0である」ということから, 「瞬間的に

たいら (水平)な曲線である」ということもわか

ります.

y = x2 の例では, 瞬間的にたいらな点が 1箇所しかありませんが, 定数関数

のように, (ある区間で)ずっとたいらでありつづけるような例も考えられます.

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 13

一般には,

y = f(x) について

ある区間でつねに f ′(x) = 0 =⇒ その区間で f(x) =定数(グラフは x軸に平行)

となります.

関数の増減を調べるときは, 次の例のような表で表すと, 見やすく表せます.

例 17. 関数 y = x3 − 3x+ 2 の増減を調べなさい.y′ = 3x2 − 3 = 3 (x+ 1) (x− 1) y′ = 0とおくと x = −1 , 1

x · · · −1 · · · 1 · · ·y′ + 0 − 0 +y ↗ 4 ↘ 0 ↗

このような表をぞう

増げん

減ひょう

表table of increase and decrease

といいます. 増減表を作るには, まず, x , y′ , y の順

に三段用意し,

一段目には, y′ = 0となる xの値 を小さい順に書く.(区間は · · · で表す)

二段目には, y′ の + , 0 , − を書く.(これで yの上がり下がりがわかる)三段目には, y の ↗ , 数値 , ↘ を二段目を参考に書く.(数値は計算で)

の手順で作っていきます. †

課題 10. 次の関数の増減を調べなさい.

(1) y = 2x3 − 3x2 − 12x (2) y = −x3 + 12x (3) y = x3 − 6x2 + 12x†参考 不等式の解き方ここで,「y′ の + , 0 , −」を求める際に, 例えば例 17では,「y′ = 0とおくと x = −1 , 1」と

なることから, x = −1 , 1のときに y′ = 0となることはすぐにわかりますが,「· · ·」の区間の部分, すなわち, x < −1 , −1 < x < 1 , 1 < x で, それぞれ, y′ が +になるか −になるか, を知るためには不等式 (ここでは 2次式の不等式なので「2次不等式」)を解くことが必要となります.

y′ > 0 すなわち, 3 (x+ 1) (x− 1) > 0(x+ 1) (x− 1) > 0

を解くと, 右図より, x < −1 , 1 < xy′ < 0 すなわち, 3 (x+ 1) (x− 1) < 0

(x+ 1) (x− 1) < 0を解くと, 右図より, −1 < x < 1

つまり, x < −1のとき y′ は + , −1 < x < 1 のとき y′ は − , 1 < x のとき y′ は + であることがわかります.このように, 「y′ の + , 0 , −」を求める際には「不等式を解く」という作業が必要となりま

すが, 不等式を解くには, その式のグラフ (もとの関数のグラフではなく, 微分した後の y′ の方のグラフです ! )を考えながら簡単に図示することによって解くことができます. また,「y′ の + ,0 , −」を求める場合なら, y′ = 0となる xを求めた後に, y′ > 0か y′ < 0かどちらか片方の不等式が正確に解けさえすれば, もう片方の不等式は解かなくてもわかることになります.

14 第 1章 微分入門

1.2.3 積, 商の微分

積の微分

例 13の (3)において, y = (x+1)(x2 − x+1) を微分した際に, そのときはとりあえず展開して微分しましたが, 展開せずにかけ算 (積)のまま微分する方法

を考えてみましょう.

例 18. 2つの関数 f(x), g(x) について,{f(x) · g(x)

}′= lim

h→0

f(x+ h) · g(x+ h) − f(x) · g(x)h

= limh→0

f(x+ h) · g(x+ h)− f(x) · g(x+ h) + f(x) · g(x+ h)− f(x) · g(x)h

= limh→0

{f(x+ h)− f(x)

h· g(x+ h) + f(x) · g(x+ h)− g(x)

h

}= f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

このように, かけ算の微分は (微分したものどうしをかけるのではなく, )「片

方ずつ微分して, かけて足したもの」になります. (けっして, f ′(x) · g′(x) とはならないので注意してください !! ){

f(x) · g(x)}′

= f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

例 19. (例 13(3)の別解) 次の関数を微分しなさい.

y = (x+ 1) (x2 − x+ 1) のとき,

y′ = (x+ 1)′(x2 − x+ 1) + (x+ 1) (x2 − x+ 1)′

= 1 · (x2 − x+ 1) + (x+ 1) (2x− 1)

= x2 − x+ 1 + 2x2 + x− 1 = 3x2

このくらいだと,「展開してから微分する方が簡単だなぁ」と思うかもしれま

せんが, 積の次数が上がったときとか, 三角関数と指数関数の積のようにそもそ

も展開が不可能な場合 (いずれ出てきます)などに威力を発揮しますので, きち

んと身につけておきましょう.

課題 11. 「積の微分」を用いて, 次の関数を微分しなさい. (念のため, 展開し

てから微分した結果と等しくなるかどうか, も確かめなさい)

(1) y = (2x+ 3) (3x+ 4) (2) y = (x2 + 1) (x2 − x+ 2)

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 15

さて, ここで, 3つ以上の関数の積の微分を考えるために, 一時的に f(x) = f ,

g(x) = g などと略記することにすると, 2つの関数の積の微分は,

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′

と表すことができます. すると, 3つの関数の積の微分は,

(f · g · h)′ = {(f · g) · h}′

= (f · g)′ · h+ (f · g) · h′

= (f ′ · g + f · g′) · h+ f · g · h′ = f ′ · g · h+ f · g′ · h+ f · g · h′

となることがわかります. きっと, 4つの関数の積の微分も, · · · たぶん予想がつきそうですね. でも, これは皆さんにやっていただきましょう.

課題 12. 次の式を導きなさい.

(f · g · h · i)′ = f ′ · g · h · i+ f · g′ · h · i+ f · g · h′ · i+ f · g · h · i′

さらに, この考え方を用いると, 関数の n乗についても, その微分を考えるこ

とができそうです.(f2)′= f ′ · f + f · f ′ = 2f · f ′(

f3)′= f ′ · f · f + f · f ′ · f + f · f · f ′ = 3f2 · f ′(

f4)′= f ′ · f · f · f + f · f ′ · f · f + f · f · f ′ · f + f · f · f · f ′ = 4f3 · f ′

と, ここまでは確認でき,

(fn)′ = nfn−1 · f ′ [ただし n は自然数]

という形になるのではないか, と予想されます. これはあくまでも「予想」で

あって, この段階ではまだ証明されていないわけですが, この予想, 正しいと思

いますか ?

この予想が正しいのか, 正しくないのか, の検証はいずれ扱いますが, 皆さん

も正しいのか正しくないのか ( つまり, 「ある自然数 nに対して, これが成り立

たない」というような反例が見つかるのか ? )を考えてみてください.

課題 13. 次の関数を微分しなさい. ((2), (3)では, 微分した結果は, 因数分解さ

れた形で表しなさい)

(1) y = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) (2) y = (5x+ 4)3 (3) y = (x2 + 1)4

16 第 1章 微分入門

商の微分

かけ算 (積)の微分がわかったので, 今度は割り算 (商)の微分を考えてみま

しょう.

例 20. 2つの関数 f(x), g(x) [ただし, g(x) 6= 0 とします] について,

{f(x)

g(x)

}′= lim

h→0

f(x+ h)

g(x+ h)− f(x)

g(x)

h= lim

h→0

f(x+ h) · g(x) − f(x) · g(x+ h)g(x+ h) · g(x)

h

= limh→0

1

g(x+ h) · g(x) ·f(x+ h) · g(x) − f(x) · g(x+ h)

h

= limh→0

1

g(x+ h) · g(x) ·f(x+ h) · g(x)− f(x) · g(x) + f(x) · g(x)− f(x) · g(x+ h)

h

= limh→0

1

g(x+ h) · g(x) ·{f(x+ h)− f(x)

h· g(x)− f(x) · g(x+ h)− g(x)

h

}=

1

g(x) · g(x) ·{

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)}

このように,割り算の微分は (微分したものどうしの割り算にするのではなく,)

「かけ算の微分の式 f ′ · g + f · g′ の真中の+を−にかえて, g2 で割ったもの」になります. (けっして, f

′(x)g′(x) とはならないので注意してください !!! ){

f(x)

g(x)

}′=

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x){g(x)}2

例 21. 次の関数を微分しなさい.

(1) y =3x+ 2

2x+ 1のとき,

y′ =(3x+ 2)′ · (2x+ 1)− (3x+ 2) · (2x+ 1)′

(2x+ 1)2

=3 · (2x+ 1)− (3x+ 2) · 2

(2x+ 1)2=

−1(2x+ 1)2

= − 1(2x+ 1)2

(2) y =1

4x− 5のとき,

y′ =(1)′ · (4x− 5)− 1 · (4x− 5)′

(4x− 5)2=

0 · (4x− 5)− 1 · 4(4x− 5)2

= − 4(4x− 5)2

課題 14. 次の関数を微分しなさい. (微分した結果は, 因数分解された形で表し

なさい)

(1) y =x− 2x+ 1

(2) y =x2

x2 + 1(3) y =

1

x2 + 3

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 17

例 22. nが負の整数のとき, (xn)′ = ?

n = −m とおくと, mは正の整数 (すなわち, 自然数)となるので,

(xn)′ =(x−m

)′=

(1

xm

)′=

(1)′ · xm − 1 · (xm)′

(xm)2=

0 · xm − 1 ·mxm−1

(xm)2

= −m · xm−1

x2m= −m · 1

xm+1= −mx−m−1 = nxn−1

上の例の結果と,(x0)′= (1)′ = 0 を

(x0)′= 0 · x−1 = 0 と解釈し直すことと,

今までの (xn)′ = nxn−1 [ただし n は自然数] をまとめると,

(xn)′ = nxn−1 [ただし n は整数]

と書けることがわかります. つまり, xn を微分するときには, 使う計算式は

まったく同じで, 扱える範囲が「n は自然数 (n = 1, 2, 3, · · · )」から「n は整̇数̇(n = · · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · )」に広がった (便利になった♥ )ことになります.

例 23. 次の関数を微分しなさい.

y =1

xのとき, y = x−1 なので, y′ = (−1) · x−2 = − 1

x2

課題 15. 次の関数を微分しなさい.

(1) y = x−3 (2) y =1

x5

1.2.4 第 n次導関数

関数 y = f(x) を微分した後に, さらにもう一度微分する, ということがあり

ます. 「y を微分して, さらにもう一度微分したもの」(つまり, y を 2回微分し

たもの, すなわち, 導関数の導関数) を 第 2次導関数derivative of the second order

といい, y′′ や f ′′(x) など

の記号を用いて表します. (これに対して, y′ や f ′(x) を第 1次導関数derivative of the first order

といい

ます) (y′)′= y′′ · · · · · · 第 2次導関数

例 24. 次の関数の第 2次導関数を求めなさい.

y = x4 のとき, y′ = 4x3 なので, y′′ = 4 · 3x2 = 12x2

課題 16. 次の関数の第 2次導関数を求めなさい.

(1) y = x2 (2) y = x7 (3) y = x−4

18 第 1章 微分入門

曲線の凹凸と第 2次導関数

関数 y に対して, 導関数 y′ は瞬間の「変化率」を与える式でしたが, 導関数

の導関数, すなわち第 2次導関数 y′′ はどのような意味を持っているのでしょう

か. 瞬間の「変化率の変化率」(?)とはいったい何のことなのでしょうか.

次の例を題材にして, 「図形的」な意味を考えてみることにしましょう.

例 25. 2曲線 y = x2, y = −x2 について, x = −2, x = −1, x = 0, x = 1, x = 2における接線の傾きを考えてみましょう.

まず, 曲線 y = x2については, y′ = 2xより, 接線の

傾きは, 順に −4, −2, 0, 2, 4 となり, y′の値が増̇加̇しています. この「y′の値が増加」(つまり, (y′)′ > 0)と

いうことと,「 y = x2のグラフが下にとつ

凸convexなグラフであ

る」ということが対応している, と考えられます.

一方, 曲線 y = −x2については, y′ = −2xより, 接線の傾きは, 順に 4, 2, 0, −2, −4 となり, y′の値が減̇少̇しています. この「y′の値が減少」(つまり, (y′)′ < 0)

ということと,「 y = −x2のグラフが上に凸なグラフである」ということが対応している, と考えられます.

一般に,

y = f(x) について

ある区間でつねに f ′′(x) > 0 =⇒ その区間で f ′(x) は単調増加(つまり, y = f(x) のグラフは下に凸)

ある区間でつねに f ′′(x) < 0 =⇒ その区間で f ′(x) は単調減少(つまり, y = f(x) のグラフは上に凸)

となり,「y′′の符号は曲線のおう

凹とつ

凸convex and concave

(y′′が +̇なら下̇に̇凸̇, y′′が −̇なら上̇に̇凸̇)を表す」ことになります. ( +だと上に凸, −だと下に凸, と誤解しやすいので注意してください !! なお,英語では,凸が convex, 凹が concaveです)

注意 例 25 において, 接線の傾きが順に −4, −2, 0, 2, 4 となったことを「加速している」, 接線の傾きが順に 4, 2, 0, −2, −4 となったことを「減速している」, というようなイメージとして感じた人も, 後でその意味

がちゃんとあることがわかります. また, その意味からは, y′′ の + , −を「yの勢い」と例えることもできます.

1.2. 導関数 (xnに関するもの) 19

例 26. y = x3 − 3x+ 2 の増減, 凹凸を調べ, グラフの概形を書きなさい.

y′ = 3x2 − 3 = 3(x+ 1)(x− 1)y′′ = 6x

x · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · ·y′ + 0 − − − 0 +y′′ − − − 0 + + +y

�-4

�? 2 �- 0 �6

このような四段の増減表をぞう

増げん

減おう

凹とつ

凸ひょう

表 ということがあります. 四段の増減

表を作るには, まず, x , y′ , y′′ , y の順に四段用意し,

一段目には, y′= 0, y′′= 0となる xの値 を小さい順に書く.(区間は · · · で表す)

二段目には, y′ の + , 0 , − を書く.(これで yの上がり下がりがわかる)

三段目には, y′′ の + , 0 , − を書く.(これで yの凹凸 (勢い)がわかる)

四段目には, y の�-

,�? , �- , �6, 数値 を二, 三段目を参考に書く.

の手順で作っていきます. 表の四段目に書く「曲った矢印」については, 例えば,

例 26 では, 区間 x < −1において「y′が+, y′′が−」なので,「グラフは上がりながら, 勢いを失っていく」というようなイメージでとらえると, わかりやすい

のではないでしょうか. (「曲った矢印」の種類は, y′が+か−か, y′′が+か−かの組合せにより 2× 2 = 4 通りしかありえませんので, 上の例でそのすべてをカバーしていることになります)

なお, 例 26 において,「x = −1のとき極大値 4をとる」,「x = 1のとき極小値 0をとる」などといいます.

きょくだいち

極大値maximal value

(「きょくだい」と読みます.「ごくだい」

ではありません ! )ときょくしょうち

極小値minimal value

を総称してきょく ち

極値extremal value

といいます. 最大値, 最小値

とは異なる概念なので混同しないように注意しましょう. また, 曲線上の点の前

後で凹凸の変わる点をへんきょくてん

変曲点point of inflection

といいます. 上の例では, (0 , 2) が変曲点です.

四段の増減表 (増減凹凸表)まで作ると, グラフはかなりきれいに書けます. し

かし, 凹凸まで調べる必要がない場合, つまり, 増減だけでも議論ができる場合

には, 三段の増減表で用が足りる, ということも少なくありません. 四段の増減

表を作るにはかなり手間もかかりますので, 必要に応じて使い分けてください.

課題 17. 次の関数の増減, 凹凸を調べ, グラフの概形を書きなさい. (グラフの

概形を書くときは, x軸と y軸の縮尺は同じでなくてもかまいません)

(1) y = x3 − 6x2 + 9x (2) y = −x3 + 3x2 + 24x

20 第 1章 微分入門

第 n次導関数

関数 y を 3回以上微分したものを考えることもできます.(y′′)′= y′′′ · · · · · · 第 3次導関数

(y′′′)′= y(4) · · · · · · 第 4次導関数

(y(4))′

= y(5) · · · · · · 第 5次導関数

一般に, 関数 y を n回微分したものを 第 n次導関数derivative of the n-th order

といい, y(n) と表しま

す. y′ を y(1), y′′ を y(2), y′′′ を y(3) と表してもかまいません. (逆に, 第 4次

導関数以上では, y′′′′ , y′′′′′ などとは表さないのですが, 漢字の「一, 二, 三」の

次は「四, 五」ですから, 納得できそうな気がしませんか ?) 関数 f(x) につい

てなら, f ′(x) , f ′′(x) , f ′′′(x) , f (4)(x) , · · · , f (n)(x) などのように表します.なお, 次のような表し方もありますが, 「n乗」を書く位置には注意するよう

にしてください.

y′ =dy

dx, y′′ =

d2y

dx2, y′′′ =

d3y

dx3, · · · , y(n) = d

ny

dxn

これは, もともと,d

dx□ で「□を微分する」という意味 (このような意味で,

d

dxを, □に作用する

び

微ぶん

分えん

演ざん

算し

子differential operator

ということがあります)であったため,

d

dx

(d

dx□)

=

(d

dx

)2□

で「□を 2回微分する」という意味となり,d2

(dx)2□ が姿を変えて,

d2

dx2□ と

なったから, のようです. (でも数学では (ab)2 と ab2 は違うものなので, 本来は

好ましくないはずなのですが, なぜかそのようになっています)

例 27. 次の関数の第 3次導関数を求めなさい.

(1) y = x6 のとき, y′ = 6x5 , y′′ = 6 · 5x4 = 30x4 , y′′′ = 30 · 4x3 = 120x3

(2) y =1

xのとき, y = x−1 より,

y′ = −x−2, y′′ = −(−2)x−3 = 2x−3, y′′′ = 2 · (−3)x−4 = −6x−4 = − 6x4

課題 18. 次の関数の第 5次導関数を求めなさい.

(1) y = x3 + x2 + x+ 1 (2) y = x5

1.3. 位置, 速度, 加速度と微分 21

1.3 位置, 速度, 加速度と微分

1.3.1 1次元 (直線上)の運動

物体の運動について話を始めるにあたって, まず, 1次元 (直線上)の運動から

考えることにしましょう.

原点Oを決めて座標軸 (とりあえず,

数直線をイメージしてください)をとり,

これとともに, 基準となるある時刻を選

びます. その時刻から時間が t (特に断らないかぎり, 本書では単位は [s], すな

わち [秒]とします) だけ経過したときの動点 Pの 位置position

を x (特に断らないかぎ

り, 本書では単位は [m]とします) としましょう.

このとき, 位置 x は時間 t の「関数」と考えることができます. 例えば,

x = 3 t+ 5 という関数で表されているとすれば,「t = 0[s]のとき x = 5[m]」で

あることや「t = 2[s]のとき x = 11[m]」であることがこの式からわかります.

では, 一般に, x = (tの関数) = f(t) と表されているときの速度や加速度につ

いて考えてみましょう.

位置から速度を求める

皆さんが初めて「速さ」を学んだときには,「(進んだ距離)÷(かかった時間)」と習ったのではないでしょうか. この考え方は,式で表せば

∆x

∆t,すなわち,「平

均変化率」に相当する量を考えていることになります.

公道を走る車やバイクには, スピード違反をしないように気をつけなければな

らないため, スピード・メータ (速度計)がついていますが, 高速道路ではない普

通の一般道を走っている場合には, 一定のスピードで走っているということはあ

まりなくて, 走ったり曲ったり止まったりするとともに, スピード・メータに表

示される値もたえず変化します.

時間とともに時々刻々変化するものの「瞬間」の値 (瞬間のスピード)をとら

えるためには, 「(進んだ距離)÷(かかった時間)」を計算する際に「かかった時間」を限りなく 0に近づける必要があります. ここで, 今まで学習してきた lim

の計算や微分の計算の本領が, いよいよ発揮されます. 位置 xが時間 tの関数と

して x = f(t) で表されるとき, tにおける「瞬間」の 速度velocity

vは,

v = lim∆t→0

f(t+∆t)− f(t)∆t

= lim∆t→0

∆x

∆t=

dx

dt

22 第 1章 微分入門

と考えることができます. つまり, v = f ′(t) と表されることになります. この

とき, 速さspeed

は「速度の大きさ」なので, (速さ) =∣∣∣ v ∣∣∣ となります. †

v = lim∆t→0

∆x

∆tすなわち, v =

dx

dt

速度から加速度を求める

日常の生活の中でも車やバス, 電車などに乗っているときに加速や減速を感じ

ることがあると思いますが, 速度が一定でなければ加速や減速が行われている

わけで, その加速や減速がどのくらいであるか, ということは, 乗っている人に

とっては実はとても重要です. 例えば, レーシングカーなみの加速や減速が行わ

れれば, シートベルトなどで固定でもされていない限り, 体が後ろの方へすっ飛

んでいったり, 前に顔をぶつけてしまったり, といったことが起こりえます. そ

ういうことが起こらないように, ゆるやかな加速あるいは減速で運行が行われ

ているわけですが, 加速や減速といったものを数値として (定量的に)表すため

には, 「速度の変化」が「どれだけの時間」で生じたのか, を考えなければなり

ませんので, 「(速度の変化)÷(かかった時間)」と表すのが都合がよさそうです.これを

か

加そく

速ど

度acceleration

といいます.

加速度も一定であるとは限らないため,時間とともに時々刻々変化する量, す

なわち,時間 tの関数と考えられます.「瞬間」の加速度を考えるためには, やは

り,「(速度の変化)÷(かかった時間)」の計算において, 「かかった時間」を限りなく 0に近づける必要がありますので, これも limを用いて表すことになります.

†参考 速度 v と速さ∣∣ v ∣∣の違い · · · · · · ∣∣ ∣∣ (数の絶対値を表す記号)∣∣ ∣∣ はぜったいち絶対値

absolute valueを表す記号で,これが数にかぶさっていると,

∣∣ 2 ∣∣=2 , ∣∣ 0 ∣∣=0 , ∣∣−2 ∣∣=2のように, 正の数や 0はそのまま,負の数は正の数に変わります.(一般に,

∣∣−a ∣∣= ∣∣ a ∣∣が成り立ちます)絶対値記号がついているときは, 数の場合ならあまり悩まずに「何でもかんでもプラスにする

(0だけはそのままですが · · · )」と考えればよいのですが, 文字式として絶対値記号をはずすに

は場合分けが必要で,∣∣A ∣∣ = { A (ただし, A≧ 0のとき)

−A (ただし, A < 0のとき)などとします. (

∣∣−2 ∣∣の場合は,−2を −1倍して −(−2) = 2としてプラスにするという発想です. さしずめ,「毒は毒をもって制する」と言った所でしょうか · · · ) なお, (−A)2 = A2 ですから, いずれの場合にも,

∣∣A ∣∣2= A2が成り立ちます.日常生活で「速度」という場合には, 「速さ」と同じ意味で用いられていることが少なくない

かもしれません. しかし, これから科学・技術を学んでいこうとしている皆さんは, 「速度」と「速さ」はきちんと区別をする必要があります. 「速さ」とは「速度の大きさ」のことで,「速さ」と「速度」は異なる概念です. その違いは, 「速度」には向きがあり, どちらの向きに進んでいるか, ということまで含めた意味を持っている, というのに対して, 「速さ」には向きという意味までは含まれていない, ということです.

1.3. 位置, 速度, 加速度と微分 23

a = lim∆t→0

∆v

∆tすなわち, a =

dv

dt

なお, 位置 x から加速度 a を求めるには,

a =d2x

dt2

と計算すればよいことになります.

以上をまとめると,

位置 (tで微分) 速度 (tで微分) 加速度

x =⇒ v =⇒ a

となります.

例 28. x = t3 − 6t2 + 5t − 7 [m] で表される運動について, t = 3 [s] における(瞬間の) 速度と加速度を求めなさい.

v =dx

dt= 3t2 − 12t+ 5 より

t = 3における速度は v = 3 · 32 − 12 · 3 + 5 = −4 [m/s]

a =dv

dt= 6t− 12 より

t = 3における加速度は a = 6 · 3− 12 = 6 [m/s2]

課題 19. x = t4− t2 +5 [m] で表される運動について, t = 1 [s] における (瞬間の) 速度と加速度を求めなさい.

1.3.2 運動方程式

運動方程式

質量 m (単位は [kg]) の物体に力 f (単位は [N], すなわち [kg·m/s2]) がはたらくと,

ma = f · · · · · · 運動方程式

を満たすような加速度 a (単位は [m/s2]) が生じます. この式をうんどうほうていしき

運動方程式equation of motion

と

いいます. 力 f としては,じゅう

重りょく

力gravity

mg (gは重力加速度), ばねにはたらく力 k x

(kはばね定数, xはばねの伸び),ばん

万ゆう

有いん

引りょく

力universal gravitation

GmM

r2(Gは万有引力定数, m,M

は 2つの物体の質量, rは 2つの物体間の距離), · · · などといろいろあります.これから少しずつ学習して行ってください.

24 第 1章 微分入門

等速度運動となる運動方程式

例 29. 物体に働く外力が 0の場合

座標軸は, 水平方向に右向きを正とし

て x軸をとり, t = 0 のとき, x = x0 ,

vx = v0 として話を進めることにしま

しょう. このとき, 運動方程式は,

mdvxdt

= 0

となります. ここで, 質量mは 0でない

ので, 両辺をmで割ると,dvxdt

= 0

となります. 時間に対する速度の変化の割合いが 0なので, 時間に対して速度

は一定 (速度は v0のまま変化しない), すなわち, この運動は等速度運動であ

ることがわかります.

物体に外力が働かない場合, その物体は等速直線運動をしますが, 例 29 では

直線上の運動を前提としてではありますが等速運動となることを