台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究 ·...

37台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究

台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究

游政雄、呂玉琴*

摘要

本研究在探討台灣北部地區國小中年級學童分數概念的等分、簡單分數、分

數單位量、分數等量及等值分數等子概念的表現。研究方法採筆測及一對一半結

構式面談進行。

研究結果顯示學童運用整數知識來處理分數問題並將分數的分子、分母視為

獨立的二個數，普遍存在在各試題的表現上；學童解判斷是否等分問題時，只注

意到被分割的塊數，而忽略分割後的每一塊是否相等；學童對於單位量、內容物

的單位詞出現混淆的情形；中年級學童較習慣用全部內容物當單位量；學童在面

對餘量再分問題時會自行增加或減少內容物，使其數量可以整數個分配；許多學

* 游政雄：桃園縣桃園市大業國小教師

呂玉琴：國立台北師範學院數學教育學系教授

國立臺北師範學院學報，第十五期（九十一年九月）37～68 國立臺北師範學院

38 國立臺北師範學院學報，第十五期

童在比較分數大小時，直接將分子和分母分開來進行比較，而不是將分數視為一

個量來比較。同時研究也顯示中年級學童一半和二分之一的連結並不穩固。

根據研究結果，本研究對國小分數教材和教學、評量及未來研究方向提出一

些建議。

關鍵詞：等分、簡單分數、分數單位量、分數等量、等值分數


台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究

游政雄、呂玉琴*

壹、緒論

一、研究動機與目的

在日常生活中，或在數學與自然科學的教材中，都可以發現分數是很常用的

重要概念。此外分數概念與小數、百分率、比、除法等概念關係密切，而這些概

念不但是數學中的重要概念，且在國小數學教材中占相當份量（教育部，民 82）。

國內有關國小學童分數概念的研究論文有不少篇，若以研究對象來區分，大

多是五、六年級（林碧珍，民 79；黃馨緯，民 84；楊壬孝，民 76、民 77、民 78）

和二年級（呂玉琴，民 80a，民 82；李曉莉，民 87），而沒有三年級，雖然有少

數是四年級（陳靜姿，民 86；彭海燕，民 87），但是其研究對象所在的地區不是

* 游政雄：桃園縣桃園市大業國小教師

呂玉琴：國立台北師範學院數學教育學系教授

國立臺北師範學院學報，第十五期（九十一年九月）37～68 國立臺北師範學院


在中部地區就是僅以一所學校為範圍，由此可見國內有關國小中年級學童分數概

念的思考方式、解題策略、錯誤概念等的實證性資料仍缺乏。另外，本文第一作

者在多年國小教學實務中也發現中年級學童學習分數時有一些困難存在。例如國

小三年級學童回答以下簡單分數（單位分數的內容物只有一個個物的分數）問題

時，常出現整數答案的錯誤類型。

問題：7 片口香糖裝一包，分給 7 個人，一個人可以得到（）包口香糖。

有些學童面對此問題時，因為將「片」和「包」兩個單位詞混淆，而回答得

到 1 包口香糖。

鑑於國小中年級學童學習分數有困難且相關的研究仍然缺乏，但受限於人

力、財力、時間等因素，因此本研究以台灣北部地區國小中年級學童為對象，對

其分數概念作深入探討，期能對國小中年級教師從事分數教學及設計分數教學活

動時有所幫助。

亦即本研究的目的是：探討台灣北部地區國小中年級學童的分數概念。

根據上述之研究目的，本研究所要探討的具體問題有：

(一)台灣北部地區國小中年級學童的等分概念表現為何？

(二)台灣北部地區國小中年級學童的簡單分數概念表現為何？


(三)台灣北部地區國小中年級學童的分數單位量概念表現為何？

(四)台灣北部地區國小中年級學童的分數等量概念表現為何？

(五)台灣北部地區國小中年級學童等值分數概念的表現為何？

二、名詞釋義

(一)等分概念

等分是指將一連續量或離散量細分(subdivide)成好幾個部分，而每一個部分

都要一樣大(或一樣多)。在連續量中，一般以幾何圖形來做等分割活動的對象。

在離散量中，是以集聚單位為單位量，來進行等分活動。

(二)簡單分數概念

本研究所探討的簡單分數概念為單位分數的內容物只有一個個物的分數。

(三)分數單位量概念

分數單位量概念又稱整體量概念(the concept of a whole)，也叫單位-整體量

(unit-whole)概念，是分數概念之下的一個子概念(Behr，Wachsmuth & Post，1988)。

當我們提到 2/3 顆蘋果時，一顆蘋果就是單位量；如果我們說 2/3 打的蘋果，則

12 顆(1 打)蘋果才是單位量。

(四)分數等量概念


本研究所指的等量概念是指學童解分數大小比較問題時所需的概念，其試題

型態包括未出現分數符號的分數圖形大小比較；及出現分數符號的同分母分數大

小比較、同分子分數大小比較、異分子異分母分數大小比較。例如：小奇和小芳

各有 1 條相同的巧克力，小奇把他的巧克力平分成 4 份，吃了其中 2 份，小芳

把他的巧克力平分成 2 份，吃了其中 1 份。請問哪一位吃的巧克力比較多？為什

麼？

莓裝 1 盤，哥哥把它平分成 4 份，吃掉 1 份，請你把哥哥吃掉的草莓

圈出

分量時，需將物件作人為切割的物件稱為連續量，例如

一個。

分數意義之一，它是指在連續量情境下的分數意義。

(五)等值分數概念

本研究所探討的等值分數概念是指學童解〝以分數符號或幾份中的幾份的語

言來呈現，且單位分數或一份的內容物不只一個個物〞的試題時所需的概念。例

如：12 顆草

來。

(六)連續量

要找出指定分數的部

蘋果的三分之一

(七)部分/全部

部分/全部為


(八)離散量

物件呈離散的狀態，一個一個獨立的呈現，要找出指定分數的部分量時，不

需將的物件稱為離散量，例如 3 顆糖果的三分之一。

/集合為分數意義之一，它是指在離散量情境下的分數意義。

貳、文獻探討

語言，作為設計筆測工具的參考。

一、

出

現，，因此等值分數就五年級教材進行分析。

(一)等分概念教材

物件作人為切割

(九)子集/集合

子集

在探討研究問題中分數各子概念的相關研究之前，本研究先進行分數教材分

析，以了解中年級學童的分數學習範圍及其使用的

國小二～四年級分數教材之分析

在教材分析方面，考慮教材的影響程度，故選擇市場佔有率最高的版本（康

軒文教事業，民 88）來分析。由於分數教材從國小二年級開始，考慮到教材的連

貫性，故就國小二至四年級分數教材進行探討。其中等值分數教材在五年級才

為了使分析的教材較完整呈現


1. 分數的認識從等分引入，但教材中有關等分的部分大都為自行等分問題（即

要學童自己進行實際的等分活動），而判斷是否等分問題僅有兩題，而且均是等

分的情境。

2. 在情境上，連續量情境較多，離散量情境較少。

3. 「一半」的生活語言只出現兩次，且在同一單元。「二分之一」符號語言

的出現也未和「一半」作連結。

4. 「平分」的用語在二年級即已出現，但教材中卻僅用兩個問題，來讓學童

瞭解什麼是「平分」。另外，「等分」的用語則到三年級才出現。

(二)簡單分數概念教材

1. 在活動情境上，連續量情境比離散量情境多了許多。

2. 「平分」、「分數」、「等分」、「分子」、「分母」和「全部」等用語均出現在

教材中。

(三)分數單位量概念教材

1.有關分數單位量概念的活動僅有二個，問題的類型也僅有二種。

2.在活動情境上，連續量和離散量情境各一題。

(四)分數等量概念教材


1. 在二年級下學期分數教材，即有具分數圖形的分數大小比較活動，但三、

四年級卻沒有分數等量概念教材。

2. 分數大小比較活動，一開始即分數符號和圖形同時出現，而沒有純粹量的大小比較問題，例如僅有分數圖形的大小比較問題。

(五)等值分數概念教材

1.單位分數的內容物為多個個物的情境，到五年級上學期才出現。

2.等值分數的介紹，一開始即以分數符號引入。

3.在問題情境上，連續量和離散量情境並重。

二、等分概念

Piaget，Inhelder ＆ Szeminska（1960）發現「部分/全部」的分數意義，可

以細分為七個子概念，其中的一個子概念就是「分割的每一部份都要相等」。呂

玉琴（民 80a）也指出在「部分／全部」的分數意義中，分割後的每一部份都要

相等，是很重要的概念。Columba（1989）指出等分概念在連續量是將全部分為

相等的部分，在離散量是將一堆分散的物體分成數量一樣的子集合。

Bergeron ＆ Herscovics（1987）發現大部分的國小三年級學童在處理分數板

的問題時，只注意到分數板被分割成幾塊，而沒有注意到每一塊是否相等。

呂玉琴（民 80b）針對一位剛上國小一年級的學童進行面談，發現他處理「一


半」和「二分之一」的問題有差異：「一半」是生活語言，「二分之一」是數學語

言。孩童處理一半的問題時，具有較高的容忍範圍，而處理二分之一的問題則要

求較高的精確度。

三、簡單分數概念

Piaget et al. (1960)、Hiebert ＆ Tonnessen (1978)、Pothier ＆ Sawada (1983)

發現孩童在處理和長度、面積有關的分數問題時，均是先會處理 1/2 的分數問題。

呂玉琴（民 80b）發現二年級學童一半概念和 1/2 概念的連結並不穩固。

四、分數單位量概念

Figueras，Filloy & Volderuoros (1988)及 Figueras（1989）指出兒童指認單位

量的困難有三種類型，分別為：

(一) 忽略給定的單位量

在圖 2-1（a）中，學童只注意到被圈起來的橘子都在右邊這二堆中，而誤以

為右邊這兩堆橘子的總個數即是單位量，而忽略了四堆橘子的總個數才是單位

量。在圖 2-1（b）中，學童忽略等值分數，故學童不認為所有的磚塊是單位量，

而只圈出和分母數字相同的磚塊個數來代表單位量，再由此單位量中找出問題的

答案。在圖 2-1（c）中，學童無法看出整個圖形是單位量而將圖形二分為陰影部


分及空白部分，並視分數為這兩部分的比較結果。

圈起來的橘子占多少？

將71 的磚塊著色

陰影部分占圖形的幾分之幾？

（a）（b）（c）

圖 2-1 忽略給定的單位量

(二) 受分子控制

圖 2-2 中，學童受著色葡萄的個數是 5 的影響而出現下列三種錯誤：（1）用一

般的語言表達：學童只看到著色葡萄的個數而回答「五份」；學童看到全部葡萄的

個數，也看到著色葡萄的個數，但不知如何用分數表示而回答「三十的五份」。（2）

用符號來表達：學童只看到著色葡萄的個數而回答「1/5」。（3）符號和語言的組合：

5/30＝1/6，由於學童的分數概念不清，因此出現「6/30 是五份」的答案。


問題：著色的葡萄占多少？

答案類型：「五份」「1/5」「三十的五份」「6/30 是五份」「5/30，30 的五份」

圖 2-2 受分子控制

(三) 受分母控制

在圖 2-3（a）中，學童受分母是 4 的影響而圈出四朵花朵；在圖 2-3（b）中，

學童受分母是 5 的影響，除了將僅有的一個氣球孤立外，其他每串氣球都讓其氣

球的個數大於或等於分母 5。

（a）（b）

圖 2-3 受分母控制

林福來、黃敏晃、呂玉琴（民 85）發現低年級學童會改變單位量或分解單位


量，使問題簡化到自己能夠處理。同時，低年級學童傾向於自我假設在同一情境

中出現的各個分數具有相同的單位量。

五、等量概念

根據 Behr，Wachsmuth，Post & Lesh（1984）的研究顯示，學童在處理同分

子分數、同分母分數、異分子異分母分數比較問題時，會採取各種不同的策略。

例如學童處理同分子分數問題時，運用整數支配法，認為 1/3 小於 1/4 是因為 3

＜4。處理同分母分數問題時，學童運用不正確的分子分母法，認為 9/13 小於 4/13

是因為「四塊是這麼大，九塊會比較小以便合於全部」。處理異分子異分母分數

時，學童將分子分母分開比較，使用整數的排序，認為 3/5 小於 6/10 是因為「3

＜6，而且 5＜10。」

呂玉琴（民 80a）還發現學童會使用下列二個不正確的方法來解題：1.根據

分母的大小來比較，例：1/2>2/4。「就像在分一塊餅，1/2 是切 2 塊比較大，2/4

是切 4 塊比較小」。2.根據分子的大小來比較，例：2/4>1/2。「因為 2/4 是塗 2 塊，

1/2 是塗 1 塊，所以 2/4 比較大」。

Armstrong，Barbara ＆ Larson（1995）發現，以長方形表徵分數並要求學童

比較分數大小時，有無加入分數符號，學童所採取的策略不同，表現的結果也有


差異。我們以圖 2-4 的第 1 題及第 2 題對照來說明題目呈現的差異。

第 1 題：沒有分數符號，先讓學童確認兩塊長方形蛋糕一樣大，再問「如果

你吃掉這些蛋糕有顏色的部分，是灰色的部分比較多？還是黑色的部分比較多？

還是一樣多？」

第 2 題：也是先讓學童確認兩塊長方形蛋糕一樣大，然後問「灰色的部分有

多大？可不可以寫下？」學童將分數寫在旁邊，再問和第 1 題一樣的問題。

第 1 題：第 2 題：

1/4 1/4

圖 2-4 面積比較的分數問題

加入分數符號，採用部分/全部策略的學童由 25.2%增加至 46.2%，但整體錯

誤率降低了，由 24.32%降低到 18.72%。

六、等值分數概念

呂玉琴（民 80a）發現有相當多的國小五、六年級學童，即使接受過等值分

數的教學，仍然不認為 1/2＝2/4。同時，在連續量的分數問題中發現國小四、五


年級學童不認為 1/2 = 2/4 的理由有程度上的差異。

Behr，Lesh，Post & Silver（1983）在探討學童等值分數表現時，提到彈性思

考是影響學童等值分數概念的重要因素。例如他們呈現給四年級學童如圖 2-5 的

圖形。

圖 2-5 彈性思考問題

Behr et al.藉此評估學童處理全部中的部分時，能否對未分割區域或分割區域

運用彈性思考能力。也就是說，對 cde 這個部分，學童能不能忽視 cde 的分割線，

將之視為四分之一？而在 b 這個部分，學童能不能憑空想像出兩條分割線，並將之

命名為十二分之三？Behr et al.發現學童雖然在圖形的對照以及 Behr 的引導下，說

出四分之一也是十二分之三。但是學童還是要加上一句：如果你把它切成三塊的

話。Behr et al.因此認為彈性思考能力是影響兒童等值分數概念的重要因素之一。

Kamii＆Clark（1995）認為學童解等值分數問題會受運作思考（以分數大小


作比較）或圖形思考（以圖形大小作比較）的影響。例如他們給五、六年級學童

兩張一樣大的長方形紙，然後在學童面前把兩張長方形的紙對折：一種對折成兩

個長方形、一種折成兩個三角形，如圖 2-6。

圖 2-6 等積異形保留概念

Kamii 要求學童確認所分割的部分的確各是原來長方形的一半，然後，他將

兩個長方形剪開，形成兩個三角形、兩個長方形，並要學童假想成在分巧克力，

「如果我把這塊給你吃（指長方形 a），這塊（指三角形 c）給我自己吃，你想我

們吃的巧克力是不是一樣多？」

結果有 44﹪ 的學童說一樣多，38﹪ 說三角形比較大，其他的學童很矛盾，

Kamii 認為這些學童的運作思考告訴他們兩塊一樣大，但是圖形思考卻說三角形

比較大，使他們對自己的答案不確定。

七、文獻對本研究的啟示

現行教材在等分概念方面，自行等分問題較多，而判斷是否等分的問題較


少。兒童對於判斷是否等分問題的表現如何？為本研究的重點。

「二分之一」的符號語言在教材中並未和「一半」作連結。學童對於一半和

二分之一瞭解情形如何？本研究也將予以探討。

呂玉琴(民 80b)發現國小一年級學童對解「一半」和「1/2」問題的表現有差

異，中年級學童的表現又如何呢？本研究將予以探討。

由 Piaget et al.(1960)、Hiebert et al.(1978)和 Pothier et al.(1983)的研究來看，

學童單位分數概念是較先發展的分數概念。因此本研究在編製試題時，將以學童

較早學習的單位分數問題為主。

Figueras（1989）的分數單位量概念題目較適合中年級學童，本研究將其納

入參考，以瞭解國內中年級學童的分數單位量概念表現如何。

根據 Behr et al.(1984)的研究顯示，學童在處理同分子分數、同分母分數、分

子分母皆不同的分數比較問題時，會採取各種不同的策略，而國內中年級學童的

表現情形如何？本研究將予以探討。

Kamii ＆ Clark（1995）認為兒童等值分數概念與思考的運作面（運作思考、

圖形思考）有關。本研究將此思考運作面列入設計問題的參考，以瞭解國內中年

級學童的表現情形。


參、研究方法與過程一、研究方法

本研究在探討台灣北部地區國小中年級學童分數概念的瞭解情形。從文獻得

知筆測兼面談的方式，可以得到不錯的研究結果（如：楊壬孝，民 78）。故本研

究亦採用筆測及一對一半結構式面談等方法配合進行。先以紙筆測驗收集資料，

以瞭解學童對題目的答對率、難易程度及其表現的錯誤類型。另外，根據學童筆

測結果的錯誤予以分類，選取具有分數不同錯誤類型的兒童，進行半結構的訪

談，以瞭解學童錯誤的成因。

二、研究過程

(一)發展研究工具

1.筆測工具之編製

本研究根據等分、簡單分數、分數單位量、等量及等值分數等子概念及連續

量、離散量情境來設計試題。

本研究筆測試題之設計除了參酌以往與分數概念有關的研究之外，也參考分

數教材分析及實際教學者的訪談建議來編製。並先後在某國小中年級每次選取不


同二班，進行五次紙筆測驗及面談預測，藉以瞭解學童受測所花的時間、是否瞭

解題意及可能的解題策略和錯誤類型。每次預測後，根據預測結果，針對試題不

妥之處，加以修正。前後進行五次預測、討論、修正後成為正式試題。

2.筆測工具設計說明

研究工具的試題共計 26 題，試題雙向細目表如表 3-1 所示。

表 3-1 中年級分數概念筆測試題雙向細目表

連續量離散量各子概念題數

等分 8、10、17 1、4、18 6

簡單分數 2、9、16-1、16-2 4

單位量 6、7 15、21 4

等量 5、12、16-3、23 3、20 6

等值分數 14、22 11、13、19、24 6

各情境題數 15 11 26

概號

念

題

境

情

各題除了單獨分析之外，並在各題之間作一些對照比較。例如表 3-2。

表 3-2 等分概念試題設計說明


題號說明

10、17 作第 10 題以平分敘述的判斷等分問題和第 17 題以分數符號來敘述的判斷等分問題的難易比較，亦即六等分、五分之一的比較。

3.筆測工具的信度與效度

(1)信度方面

本研究筆測試題的信度分析，採 Flanagan 折半信度，依題目難易排序後奇偶

折半，以 EXCEL 軟體作信度計算，算出的信度為 0.881。

(2)效度方面

效度方面，本研究在編制試題時，參酌相關研究、教材分析及實際教學者訪

談建議，使每一題均符合研究之目的。在編制過程中參考各方意見，除了大學教

授、研究生外，也與現職國小教師進行討論修正，故本研究工具具有專家效度。

又根據表 3-1 的雙向細目表，本筆測工具具內容效度。

4.半結構面談(Semistructured Interview)

研究者根據筆測結果，歸納一些錯誤類型，針對主要錯誤類型設計訪談問

題，探究錯誤原因。在探究每一個錯誤的原因時，研究者先以設計的訪談問題問

受訪者，再根據受訪者的回答，進一步作深入訪談，務期獲得更完整的資料，例


如學童回答「五份裡面的一份就是五分之一」時，研究者則進一步的問：「大小

沒有一樣有沒有關係？」，如此來確定學童是否不管每一份的大小與否，而直接

認為五份裡面的一份就是五分之一。

(二)研究對象

本研究抽取台北市智類學校、仁類學校，台北縣智類學校、勇類學校，桃園

縣智類學校、仁類學校共六所學校的三、四年級各抽取一班進行施測，三、四年

級施測人數分別為 176 人、199 人，共計 375 人。

(三)筆測

筆測是以班級為單位的團體施測方式進行，由研究者親自監考。筆測實施日

期為 90 年 6 月 11 日至 90 年 6 月 15 日。

(四)面談

面談由研究者與學童以一對一的方式進行，亦即研究者一次只訪談一個人，

面談過程均加以錄音並轉成書面資料。面談實施日期為 90 年 6 月 18 日至 90 年 6

月 22 日，面談人數為 32 人。

(五)資料處理

筆測資料以人工閱卷方式把學童的答案作分類，再用統計軟體算出各類型答


案的百分比，答案類型的百分比若低於 1 者，則合併為「其他」類的答案類型。

面談過程皆錄音並轉錄成書面文字以便分析學童產生錯誤概念的原因，訪談

片段中，代號 S3022 中的 S 代表受訪學童、3 代表三年級、22 代表學童的編號。

肆、研究結果

限於篇幅關係，以下僅呈現各子概念部分試題的測驗結果及訪談資料。

一、中年級學童在等分概念上的表現

（10）叔叔買了 1 個蛋糕，把它切成像右圖的樣子。

奇奇說：「叔叔把蛋糕平分成 6 塊了。」

請問奇奇的說法對不對？_______________

為什麼？_____________________________

_____________________________________

國小三、四年級學童的答對率分別為 75﹪ 、82.4﹪ 。答案類型為「對」的三

年級學童有 25.4﹪ 、四年級學童有 17.1﹪ ，大多數學童回答錯誤的理由是「因為

叔叔有把蛋糕切成六塊。」，當研究者進一步的問：「那六塊大小要不要一樣？」，

S3011 回答：「應該不用吧！」

由此顯示，有些學童對於平分並不清楚，因而認為只要分成六塊就是平分成


六塊，亦即把平分當作分。

（17）老師買了 1 個蛋糕，把它切成像下圖的樣子。

丁丁說：「我吃掉其中 1 塊蛋糕，就是吃了51 個蛋糕。」，

請問丁丁的說法對不對？_____________________________

為什麼？______________________________________________

三、四年級學童的答對率分別為 67.6﹪ 、72.4﹪ 。答案類型為「對」的三年

級學童有 31.2﹪ 、四年級學童有 27.1﹪ ，大部分學童錯誤回答的理由是認為「五

份裡面的一份就是五分之一」，當研究者進一步的問：「大小沒有一樣有沒有關

係？」，S4012 回答：「沒有。」

由此顯示有些學童認為五分之一就是五份裡面的一份，而不管每一份大小是

否相等。

第 10 題和第 17 題對照比較

國小三、四年級學童解直接敘述平分問題（第 10 題）的答對率分別為 75﹪ 、


82.4﹪ ，高於分數符號問題（國小三、四年級學童答對率分別為 67.6﹪ 、72.4﹪ ），

顯示約 7.4﹪ ～10﹪ 的學童瞭解平分的意思，卻不知道 1/5 是表示「平分成五份裡

面的一份」。

不論是直接敘述平分問題或是分數符號問題，錯誤回答的學童均只注意到被

分割的塊數，而未注意分割的每一塊是否相等。

（4）媽媽買了一些漢堡，哥哥吃掉這些漢堡的

一半，請你把哥哥吃掉的漢堡圈出來。

國小三、四年級學童的答對率分別為 86.9﹪ 、91﹪ ，較普遍的錯誤類型為圈

4 個（三年級 5.1﹪ 、四年級 2﹪ ），其次為圈 3 個（三年級 1.7﹪ 、四年級 1.5﹪ ）。

「圈 4 個」的學童誤認為是上下各四個漢堡的一半，而沒有將十個漢堡視為

全部，如 S4012。

「圈 3 個」的學童誤認為是上面六個漢堡的一半，所以圈 3 個，如 S3015。

因此，我們可以發現錯誤回答的學童未看清題意，誤解單位量的個數，而導

致錯誤的回答。

二、中年級學童在簡單分數概念上的表現

（2）小智把 1 條長方形蜂蜜蛋糕平分成 4 份，那麼其中 3 份可以說是多少條蛋糕？ ____________條


三、四年級學童的答對率分別為 65.3﹪ 、86.4﹪ ，其中四年級學童較普遍的

錯誤類型為 3 條（5.5﹪ ），三年級學童較普遍的錯誤類型為 1/3 條（7.4﹪ ）。

回答「3 條」的學童，認為其中 3 份就是 3 條蛋糕，如 S4012。由此顯示，

學童對於單位量和部分量的單位詞混淆不清，認為 3 份和 3 條沒有差別，以致於

無法使用分數來表示部分量與單位量的關係。

回答「1/3 條」的學童，將 3 份的 3 視為分母，將 1 條的 1 視為分子，如 S3022。

由此顯示，學童對於分數的分母和分子所代表的意義並不瞭解，因而無法正確地

使用分數來表示部分量與單位量的關係。

（9） 1 瓶可樂全部倒出來可以裝成 7 杯，請問小華喝了 3 杯是喝了多少瓶可樂？ __________瓶。

三、四年級學童答對率分別為 64.2﹪ 、84.9﹪ ，較普遍錯誤類型為 4 瓶（三

年級 6.8﹪ 、四年級 3.5﹪ ），其次是 1 瓶（三年級 5.7﹪ 、四年級 3﹪ ）。

回答「4 瓶」的學童認為「七減三等於四，所以是四瓶」，當研究者進一步的

問：「為什麼你要七減三？」， S3006 回答：「因為一罐可樂可以倒成七杯，小華

喝了三杯」。由此顯示，有些學童無法區分部分量的單位詞與單位量的單位詞的


不同。

回答「1 瓶」的學童認為三杯就是一瓶，如 S3005。由此顯示，有些學童未

認清「杯」和「瓶」兩個單位詞的區別。


在答對率方面，第 2 題蜂蜜蛋糕問題（三、四年級學童答對率分別為 65.3﹪ 、

86.4﹪ ）和第 9 題可樂問題（三、四年級學童答對率分別為 64.2﹪ 、84.9﹪ ），並

沒有差異。學童在簡單分數問題上，錯誤類型相當一致，均受到整數知識的影響，

而普遍出現整數的錯誤類型，學童直接將三份蛋糕視為三條蛋糕、四杯可樂視為

四瓶，而不管單位詞是否符合。

三、中年級學童在單位量概念上的表現

（6） 1 盒巧克力有 2 條，小政吃掉半條

，請你用筆把小政吃掉的塗上顏色。

三、四年級學童的答對率分別為 67﹪ 、72.4﹪ ，主要的錯誤類型為塗 1 條（三

年級 31.8﹪ 、四年級 26.1﹪ ），學童以全部內容物當單位量，因而認為吃掉半條

就是兩條的一半，所以是一條。如 S3027。


（15） 1 盒巧克力有 5 條，小晴吃掉半盒的巧克力，請你用筆把小晴吃掉的巧

克力塗上顏色。

三、四年級學童的答對率分別為 86.4﹪ 、87.9﹪ ，較普遍的錯誤類型是塗半

條（三年級 5.7﹪ 、四年級 6﹪ ）、塗 2 條（三年級 3.4﹪ 、四年級 3.5﹪ ）、塗 3 條

（三年級 2.8﹪ 、四年級 0.5﹪ ）。

「塗半條」的學童以一個內容物當單位量，因而認為半盒就是半條，所以就

塗半條，如 S3013。

「塗 2 條」的學童認為五條無法分一半，所以塗 2 條，當研究者進一步問「為

什麼沒有辦法分一半，你就塗二條？」， S3011 回答：「因為我是塗這四條蛋糕的

一半（指著前面四條蛋糕）」。由此得知，有些學童因為題目中一盒蛋糕有五條要

塗半盒無法處理，因此將一條蛋糕忽略，只塗出四條蛋糕的一半（二條），亦即

學童無法處理此類餘量再分問題時，便自行改變單位量（忽略一條蛋糕），使自

己能夠回答問題。


（21）有 3 條長方形蜂蜜蛋糕，阿姨拿走全部 3 條蛋糕的 21

，請你用筆把阿姨

拿走的蛋糕塗上顏色。

三、四年級學童的答對率分別為 43.2﹪ 、61.8﹪ ，主要的錯誤類型為塗一條

（三年級 29.0﹪ 、四年級 23.6﹪ ）、塗二條半（三年級 9.1﹪ 、四年級 4.5﹪ ）、塗

二條（三年級 10.8﹪ 、四年級 2.5﹪ ）、塗半條（三年級 5.1﹪ 、四年級 5.0﹪ ）。

「塗一條」的學童認為二分之一就是兩條其中一條，所以塗一條蛋糕，當研

究者進一步問「那這一條呢？（指著第三條蛋糕）不用管了？」， S4012 回答：「不

用」。因此，我們可以發現學童無法處理此類餘量再分問題時，便自行改變單位

量（忽略一條蛋糕），使自己能夠回答問題。

「塗二條半」的學童認為兩條蛋糕就是代表二分之一的分母 2，半條代表分

子 1，當研究者進一步問「為什麼第三條要畫一半？」， S4028 回答：「因為再畫

就變 3 條啦！就是三分之一了」。由此得知，有些學童在處理分數問題時，解題

過程深受分母和分子的影響。

「塗二條」的學童因受到分母是 2 的影響而塗二條蛋糕，當研究者進一步問


「那如果現在是三分之一呢？」， S3009 回答：「就塗三條」。因此，我們可以發

現犯此類錯誤的學童在處理分數問題時，只考慮到問題中的分母，解題過程深受

分母的影響。

「塗半條」的學童將一個內容物當單位量，認為二分之一就是將一個內容物

分成兩半其中的一半，所以塗半條，當研究者進一步問「那這兩條不用管它？（指

著另外兩條蛋糕）」，S4031 回答：「不用管它」。由此得知，有些學童雖然知道二

分之一是兩份其中一份，但是卻以一個內容物當單位量，而導致錯誤。

第 6 題、第 15 題和第 21 題對照比較

由第 6 題和第 15 題的測驗結果得知，當全部內容物不只一個時，第 6 題以

一個內容物當單位量的問題（三、四年級學童答對率分別為 67﹪ 、72.4﹪ ）比第

15 題以全部內容物當單位量的問題（三、四年級學童答對率分別為 86.4﹪ 、87.9

﹪ ）困難。另外，我們也發現約 26.1﹪ ～31.8﹪ 的學童會將全部內容物不只一個，

但以一個內容物當單位量的問題視為以全部內容物當單位量的問題來處理（第 6

題）；約 5.7﹪ ～6﹪ 的學童將以全部內容物當單位量的問題視為以一個內容物當

單位量的問題來處理（第 15 題）。


由第 15 題和第 21 題的測驗結果得知，半盒的敘述（三、四年級學童答對率

分別為 86.4﹪ 、87.9﹪ ）對學童來說比二分之一的符號（三、四年級學童答對率

分別為 43.2﹪ 、61.8﹪ ）簡單。另外，約 0.5﹪ ～29﹪ 的學童在面對餘量再分問題

時會自行增加或減少內容物，使其數量可以整數個分配，如五條蛋糕的一半，塗

2 條或塗 3 條。第 6、15 和 21 題三題比較，顯示一半語言的敘述問題，如半條、

半盒，對學童來說是較容易的，二分之一的符號問題則較困難。

四、中年級學童在等量概念上的表現

（3） 1 盒彈珠有 8 個，分給小志和小英，小英得到83 盒，小志得到

85

盒，請

問誰得到比較多的彈珠？_____________

為什麼？________________________________________

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

三、四年級學童的答對率分別為 99.4﹪ 、100﹪ ，答對率接近百分之百，答

對學童所持的理由大都是因為分子 5＞3，所以小志得到的彈珠比較多，由此可知

學童深受整數學習的影響。

另外，本題只有一位學童雖然答案是對的，但是其所持的理由是錯誤的，這


位學童認為因為小英得到 8.3 盒，小志得到 8.5 盒，所以小志得到的彈珠比較多。

（20） 1 盒蘋果有 4 個，小波得到21 盒，小明得到

41 盒，請問誰得到比較多的

蘋果？_____________

為什麼？___________________________________________

國小三、四年級學童的答對率分別為 21.6﹪ 、54.8﹪ ，主要的錯誤類型為小

明（三年級 63.1﹪ 、四年級 32.7﹪ ），其次為一樣多（三年級 14.2﹪ 、四年級 9.5

﹪ ）。

回答「小明」比較多的學童，有些學童是認為四比二大，所以四分之一盒比

較多，因此小明得到的蘋果比較多，如 S3025。有些學童認為四分之一盒就是四

顆，二分之一盒就是兩顆，因此小明得到比較多的蘋果，如 S3015。由此得知，

有些學童在處理等量問題時，會受分母的影響，亦即運用分母和分母比，來決定

分數的大小。同時，有些學童也未將分數當作一個量來進行比較，而是運用整數

知識來處理問題。

回答「一樣多」的學童認為小明是四分之一盒就是四份裡面的一個，小波是

二分之一盒就是兩份裡面的一個，兩個人都是得到一個，所以兩個人得到一樣


多，如 S3030。由此得知，回答「一樣多」的學童會受到分子的影響。


在答對率方面，第 20 題異分母問題（三、四年級學童答對率分別為 21.6﹪ 、

54.8﹪ ）比第 3 題同分母問題（三、四年級學童答對率分別為 99.4﹪ 、100﹪ ）困

難許多，主要是因為同分母問題，學童只要運用整數知識即可正確回答問題。對

於異分母問題，運用整數知識回答問題卻會造成解題錯誤，其錯誤類型又可分為

兩種，一種是受分母影響，另一種是受分子影響。

（23）小奇和小芳各有 1 條相同的巧克力，小奇把他的巧克力平分成 4 份，吃了其中 2 份，小芳把他的巧克力平分成 2 份，吃了其中 1 份。請問哪一位吃的巧克力比較多？____________ 為什麼？_____________________________________________

三、四年級學童的答對率分別為 33.5﹪ 、50.8﹪ ，主要的錯誤類型為小奇（三

年級 42.6﹪ 、四年級 27.1﹪ ），其次是小芳（三年級 19.3﹪ 、四年級 19.6﹪ ）。

回答「小奇」的學童，有些學童認為四比二大，二又比一大，所以四分之二

比二分之一大，小奇吃的巧克力比較多，如 S3023。由此得知，有些學童在進行

四分之二和二分之一的比較時，未將分數視為一個量，而將分數分成兩個整數來

進行比較，亦即將分子分母分開比較（2/4＞1/2，因為 2＞1 且 4＞2）。


另外，回答「小奇」的學童，有些學童認為小奇吃掉二份，小芳吃掉一份，

二份比一份多，所以小奇吃的巧克力比較多，如 S4028。由此得知，有些學童認

為巧克力吃掉的份數越多就吃的越多，而忽略每一份巧克力是否一樣大小。

回答「小芳」的學童認為小芳分成兩份，小奇分成四份，分成兩份的每一份

一定會比較大，所以小芳吃的巧克力會比較多，如 S4012。由此得知，有些學童

根據平分的份數越少每一份就越大，而忽略分得的份數。


三、四年級學童解「平分成幾份中的幾份」的分數問題（第 23 題）的答對

率分別為 33.5﹪ 、50.8﹪ ，解分數符號問題（第 20 題）的答對率分別為 21.6﹪ 、

54.8﹪ ，兩類型問題答對率相近。

五、中年級學童在等值分數概念上的表現

（19） 12 顆草莓裝 1 盤，哥哥把它平分成 4 份，吃掉 1 份，請你把哥哥吃掉的草莓圈出來。

三、四年級學童的答對率分別為 76.1﹪ 、75.4﹪ ，主要的錯誤類型為圈 4 顆


（三年級 14.8﹪ 、四年級 12.1﹪ ），其次是圈 1 顆（三年級 5.1﹪ 、四年級 3.5﹪ ）。

「圈 4 顆」的學童認為平分成四份就是四顆草莓一份，吃掉一份就是吃掉這

四顆草莓，如 S3010。由此得知，有些學童誤認為平分成四份就是四顆草莓一份。

「圈 1 顆」的學童認為平分成四份吃掉一份就是四顆草莓吃掉一顆，如

S3008。由此得知，有些學童認為份數就是等於單位量內容物的個數。

（24） 6 顆糖果裝 1 包，31 包有幾顆？請你把它圈出來。

國小三、四年級學童的答對率分別為 39.8﹪ 、58.3﹪ ，主要的錯誤類型為圈

3 顆（三年級 30.1﹪ 、四年級 21.1﹪ ），其次是圈 1 顆（三年級 22.2﹪ 、四年級

15.1﹪ ）。

「圈 3 顆」的學童，認為六的一半就是三（分母），然後一（分子）就是其

中一半，所以圈 3 顆，如 S3023。另外，有些學童是直接看分母的三，當研究者

進一步問「那如果是五分之一呢？」，S3009 回答：「就圈五顆」。由此得知，「圈

3 顆」的學童受到分母的控制。

「圈 1 顆」的學童認為三分之一包就是三顆裡面的一顆，如 S3022。由此得


知，「圈 1 顆」的學童受到分子的控制，而未將六顆糖果視為全部。


標示指定份數的等值分數問題（第 19 題三、四年級學童答對率分別為 76.1

﹪ 、75.4﹪ ）比標示指定分數的等值分數問題（第 24 題三、四年級學童答對率分

別為 39.8﹪ 、58.3﹪ ）容易許多。

（13）爸爸買了一些冰棒，姊姊吃掉這些冰棒的

21 ，請你把姊姊吃掉的冰棒圈出來。

國小三、四年級學童的答對率分別為 32.4﹪ 、60.8﹪ ，主要的錯誤類型為圈

1 枝（三年級 43.2﹪ 、四年級 27.6﹪ ），其次是圈 2 枝（三年級 19.9﹪ 、四年級

8.5﹪ ）。

「圈 1 枝」的學童認為二分之一就是兩枝其中一枝，而不管全部的冰棒有幾

枝，如 S3015。由此得知，「圈 1 枝」的學童受到分子的影響，因而出現圈 1 枝的

答案。

「圈 2 枝」的學童因為看到二分之一的分母二，就圈 2 枝冰棒，如 S4028。

由此得知，「圈 2 枝」的學童受到分母的影響，看到二分之一的分母二，就圈 2


枝冰棒。

第 4 題（等分問題）和第 13 題對照比較

從這兩題的答對率來看，可以發現一半的語言（第 4 題三、四年級學童答對

率分別為 86.9﹪ 、91.0﹪ ）對學童來說是較容易的，而二分之一的語言（第 13 題

三、四年級學童答對率分別為 32.4﹪ 、60.8﹪ ）是較困難的，由此顯示學童的一

半和二分之一概念的連結並不穩固。

伍、結論與建議

一、結論與討論

(一)中年級學童在分數概念上的整體表現

1.未具備先備知識的情形

約 12.1﹪ ～25.4﹪ 的中年級學童對於平分並不瞭解，因而認為「平分成幾份」

就是「分成幾份」或是「幾個一份」。

連續量判斷是否平分問題，約 17.1﹪ ～25.4﹪ 的中年級學童認為分成六塊就

是平分成六塊，不必管分割後的每一塊大小是否相等。另外，在等值分數問題方

面，約 12.1﹪ ～14.8﹪ 的學童認為草莓平分成四份就是四顆草莓一份。


2.學習中年級分數教材的成果

三、四年級學童對於運用整數知識正確解分數問題的能力相近；對於分數問

題中呈現一半語言和平分敘述的掌握能力也相當，但對於分數符號意義的瞭解，

四年級學童的表現比三年級學童佳。

3.學習中年級分數教材的負面影響

中年級學童在「全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」的問題表

現比以「全部內容物當單位量」的問題差。

「全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」的問題，國小三、四年

級學童的答對率分別為 67﹪ 、72.4﹪ 。以「全部內容物當單位量」的問題，三、

四年級學童的答對率分別為 86.4﹪ 、87.9﹪ 。另外，約 26.1﹪ ～31.8﹪ 的中年級

學童會將「全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」的問題視為以「全

部內容物當單位量」的問題來處理；約 5.7﹪ ～6﹪ 的中年級學童將以「全部內容

物當單位量」的問題視為以「一個內容物當單位量」的問題來處理。顯示中年級

學童在「全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」的問題表現比以「全

部內容物當單位量」的問題差。但是吳宏毅（民 91）發現一年級學童對於「全部

內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」的問題答對率高達 83.3﹪ ，而由分


數教材分析顯示教材並未出現「全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」

的問題。由此得知中年級學童在處理「全部內容物不只一個，但以一個內容物當

單位量」的問題時，分數的學習會造成其對單位量的誤解。

4.整數學習經驗的影響

（1）中年級學童普遍地運用整數知識來處理分數問題

中年級學童直接拿分子作比較來解同分母分數大小比較問題，即可正確回答

問題；但學童在處理異分母的分數大小比較問題時，將分子和分母分開作整數大

小比較，以決定分數的大小，卻造成錯誤的回答。

（2）中年級學童在處理分數問題時，將分數的分子、分母視為獨立的二個

數的有三類：

（a）約 2.5﹪ ～63.1﹪ 的中年級學童受分母的影響。如 32.7％～63.1％的三、

四年級學童認為四分之一盒蘋果比二分之一盒蘋果多是因為分母四比二大。

（b）約 9.5﹪ ～43.2﹪ 的中年級學童受分子的影響。如 9.5％～14.2％的三、

四年級學童認為四分之一盒蘋果和二分之一盒蘋果一樣多是因為都是一盒。

（c）約 4.5﹪ ～42.6﹪ 的中年級學童將分母和分子分開看，來處理分數問題，

如四分之二比二分之一大是因為四比二大、二又比一大。


(二)中年級學童在等分概念上的表現

1. 國小三、四年級學童解自行等分問題的答對率分別為 86.9﹪ 、91﹪ ，判斷

是否等分問題的答對率在 67.6﹪ ～82.4﹪ 之間，由此顯示自行等分問題對於中年

級學童來說，比判斷是否等分問題來得容易。根據教材分析，國小中年級分數教

材雖有出現判斷是否等分問題，但都是已等分的問題，因此造成中年級學童對於

判斷是否等分問題感到困難。

2. 連續量情境直接敘述平分問題、有分數符號出現的問題中年級學童答對率

分別為 75﹪ ～82.4﹪ 、67.6﹪ ～72.4﹪ 。由此顯示具分數符號的判斷是否等分問

題對中年級學童較困難，同時約 7.4﹪ ～10﹪ 的學童瞭解平分的意思，但不知道

分數是代表「平分成幾份中的幾份」，如 1/5 是代表「平分成五份中的一份」，而

非「五份中的一份」。

(三)中年級學童在簡單分數概念上的表現

在問題情境比較方面，蜂蜜蛋糕問題（三、四年級學童答對率分別為 65.3﹪ 、

86.4﹪ ）和可樂問題（三、四年級學童答對率分別為 64.2﹪ 、84.9﹪ ）的難度並

沒有很大的差異。另外，出現的錯誤類型也相當一致，均受到整數知識的影響，

而普遍出現整數的錯誤類型。中年級學童直接將三份蛋糕視為三條蛋糕、將四杯


可樂視為四瓶，而不管單位詞是否符合。

(四)中年級學童在單位量概念上的表現

約 0.5﹪ ～29﹪ 的中年級學童在面對餘量再分問題時會自行增加或減少內容物，使其數量可以整數個分配，如五條蛋糕的一半，塗 2 條或塗 3 條。亦即學童在處理自己不熟悉的分數問題，或是遇到無法處理的情形時，學童會自行改變單位量或分解單位量，使問題簡化到自己能夠處理。造成百分比差距大的原因主要是因為一半語言與分數符號的關係，學童若遇到分數符號時，則錯誤的百分比會增加。

(五)中年級學童在等量概念上的表現

1. 同分母分數的大小比較問題，答對率接近百分之百（離散量問題答對率 99.4﹪ ～100﹪ ），比異分母分數大小比較問題（離散量問題答對率 21.6﹪ ～54.8﹪ ）容易許多，因為學童只要運用整數大小比較的知識，即可正確回答同分母分數的比較問題。

2. 同分子異分母分數大小比較問題，學童根據分母的大小來進行比較，卻造成其解題錯誤。

3. 異分子異分母分數大小比較問題，錯誤回答的中年級學童在比較分數大小時，使用的方法有三類：

（1）將分子分母分開比較，如 2/4＞1/2，因為 2＞1 且 4＞2。（2）約 19.3﹪ ～19.6﹪ 的中年級學童根據分母的大小來比較，如：因為小芳

分成兩份，小奇分成四份，分成兩份的每一份一定會比較大，所以小芳吃的巧克力會比較多。

（3）根據分子的大小來比較，如：有些學童認為因為小奇吃掉二份，小芳吃掉一份，二份比一份多，所以小奇吃的巧克力比較多。

其中將分子分母分開比較和根據分子大小比較的中年級學童合起來約有 27.1﹪ ～42.6﹪ 。

(六)中年級學童在等值分數概念上的表現 1. 在「一份的內容物為多個個物」的等值分數問題中，平分問題比分數符號

問題簡單一份的內容物為多個個物的離散量平分問題，中年級學童的答對率為 75.4﹪

～76.1﹪ ；單位分數的內容物為多個個物的離散量分數符號問題，中年級學童的答對率為 32.4﹪ ～60.8﹪ 。顯示在一份的內容物為多個個物的情況下，平分問題


比分數符號問題簡單。 2. 解等值分數問題時，「一半」語言的分數問題對中年級學童來說較容易，而

「二分之一」的分數問題（答對率 32.4﹪ ～60.8﹪ ）比「一半」語言的分數問題（86.9﹪ ～89.1﹪ ）較困難些，由此顯示「一半」和「二分之一」的連結並不穩固。

3. 約 15.1﹪ ～43.2﹪ 的中年級學童遇到「單位分數的內容物並非單一個物」的問題時，會自行改變單位量的個數和分母相同，再處理分數問題，顯示出對分數為一種「部分-整體」的關係並不瞭解。

約 27.6﹪ ～43.2﹪ 的中年級學童認為十枝冰棒的二分之一就是兩枝其中一

枝、約 15.1﹪ ～22.2﹪ 的學童認為六顆糖果的三分之一就是三顆其中一顆，這些

學童都忽略單位量的個數和分母不同，對於分數為一種「部分-整體」的關係並不

瞭解。造成這種現象的原因是學童在二至四年級時，接觸到的均是「單位分數的

內容物為單一個物」的情境，因而學童會有類似十枝冰棒的二分之一就是兩枝其

中一枝的刻板印象。

二、建議

(一)教材和教學上的建議

根據研究結果，本研究對中年級分數教材安排順序及教材設計及教學注意事

項，提出以下建議：

1. 中年級分數教材安排順序

預備知識

● 瞭解平分的意義 ● 認識單位分數、一半 ● 自行等分的能力 ● 判斷等分的能力 ●單位量概念（含：全部內容物不只一個，

但以一個內容物當單位量）


圖 5-1 中年級分數教材安排順序

2.分數教材設計及教學建議事項

（1）約 17.1﹪ ～31.2﹪ 的中年級學童在處理判斷是否等分問題時，只注意到

被分割的塊數，而忽略分割後的每一塊是否相等。根據教材分析，國小中年級分

數教材中出現的判斷是否等分問題，均是等分的情境，故造成中年級學童在處理

判斷是否等分問題時，有些學童會只注意到被分割的塊數，而忽略分割後的每一

塊是否相等。

同分母分數大小比較

認識等值分數 ● 一份的內容物為多個個物的等分問題 ● 標示指定份數或分數的等值分數問題單位量概念 ● 餘量再分問題

認識真分數假分數帶分數


因此在中年級分數的預備知識教材設計及教學時，應讓學童充分瞭解平分的

意義，並且多給學童一些不等分但卻需判斷是否等分的問題，讓學童知道等分的

重要性及提昇判斷等分的能力。

（2）分數二分之一的教學，應加強連結「一半概念」作為教學的基礎。

（3）約 26.1﹪ ～31.8﹪ 的學童會將「全部內容物不只一個，但以一個內容物

當單位量」的問題視為以「全部內容物當單位量」的問題來處理。根據教材分析，

國小中年級分數教材並未出現「全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」

的問題，而是出現以「全部內容物當單位量」的問題，故造成中年級學童較習慣

用全部內容物當單位量。

約 0.5﹪ ～29﹪ 的中年級學童在面對餘量再分問題時會自行增加或減少內容

物，使其數量可以整數個分配，如五條蛋糕的一半，塗 2 條或塗 3 條。根據教材

分析，國小中年級分數教材並未出現餘量再分問題，因此造成中年級學童較無法

處理此類問題。另外，四年級學童面對餘量再分問題時，答對率均在 61.8﹪ 以上，

表示四年級學童有能力可以學習餘量再分問題。

因此本研究建議應增加單位量問題在分數教材上的份量，如增加「全部內容

物不只一個，但以一個內容物當單位量」的問題和餘量再分的問題。


（4）進行各種分數認識的教材設計及教學時，應讓學童充分討論單位量、

內容物的單位詞的差異及其關係，使學童辨別清楚。另外，也應常常與學童釐清

分數詞所附的單位所代表的意義。

（5）進行各種分數認識的教材設計及教學時，應該讓學童瞭解分數為一種

「部分-整體」的關係，並且在處理分數問題時，應確定單位量和部分量及其關係。

（6）中年級學童在解同分母分數大小比較問題時，答對率接近百分之百。

但目前現行中年級分數教材中，並未出現同分母分數大小比較問題，反而出現在

高年級分數教材中。研究者認為中年級學童可學習同分母分數大小比較問題，不

需延後到高年級。但是在進行同分母分數大小比較的教材設計及教學時，應避免

學童僅作分數數字的操作，忽略分數所代表的量的比較。

（7）四年級學童面對標示指定份數或分數的等值分數問題時，答對率均達

到 50﹪ 以上，表示已有一半以上的四年級學童可以處理標示指定份數或分數的等

值分數問題。故學童接觸單位分數的內容物為多個個物的情境的時間可以考慮提

前到四年級。在問題的呈現順序上，可先出現一份的內容物為多個個物的等分問

題，再出現標示指定份數或分數的等值分數問題。

(二)評量方面


本研究在資料收集過程中，發現紙筆測驗的題目若有加問為什麼，可增加我

們對學童想法的瞭解。因此我們建議教學評量上，若要使用紙筆測驗，除了讓學

童回答答案之外，也可讓學童回答為什麼，以多瞭解學童的一些想法。此建議與

Van den Heuvel-Panhuizen（2001）的建議一致。

(三)未來研究方向

1.增加對分數子概念的研究

本研究僅針對國小中年級學童的分數等分、簡單分數、分數單位量、等量和

等值分數等五個子概念進行探討，未來可針對其他子概念進行探討，將有助於我

們對學童分數概念的瞭解。

2.擴大研究範圍

本研究的研究範圍僅限於台灣北部地區，未來若能擴及全國，將可呈現台灣

地區學童的分數概念表現情形，作為教學上更有力的參考依據。

3.設計診斷教學活動，從事教學實驗研究

本研究發現中年級學童常犯的一些錯誤的分數概念，如：將分子、分母視為

二個獨立的整數來解題；將「全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量」

的問題視為「以全部內容物為單位量」的問題等。未來的研究可以針對中年級學


童常犯的這些錯誤的分數概念，設計診斷教學活動，從事教學實驗研究，以提供

課程設計者及教師參考。

參考文獻

呂玉琴（民 80a）。國小學生分數概念：1/2vs2/4。國民教育，31（11/12），10-15。呂玉琴（民 80b）。影響分數二分之一概念的因素：個案分析。國民教育，31（11/12），

16-21。呂玉琴（民82）。影響分數二分之一概念的因素。國民教育，33（5/6），2-11。吳宏毅（民 91）。台灣北部地區國小低年級分數概念之研究。國立台北師範學院數理教育

研究所碩士論文。（未出版）李曉莉（民 87）。國小二年級兒童分數概念之研究。國立台中師範學院國民教育研究所碩

士論文。（未出版）林福來，黃敏晃，呂玉琴（民 85）。分數啟蒙的學習與教學之發展性研究。科學教育月刊，

4（2），161-196。林碧珍(民79)。從圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數概念。新竹師院學

報，4，295-347。陳靜姿（民 86）。國小四年級兒童等值分數瞭解之初探。國立台中師範學院國民教育研究

所碩士論文。（未出版）彭海燕（民 87）。國小學童等值分數概念瞭解之研究。國立台北師範學院國民教育研究所

碩士論文。（未出版）康軒文教事業（民 88）。國民小學數學教學指引（第一至十一冊）。台北：康軒文教。教育部（民 82）。國小課程標準。台北市：正中書局。黃馨緯（民 84）。國小高年級學童分數數線表示法瞭解之研究。國立台中師範學院國民教

育研究所碩士論文。（未出版）楊壬孝（民 76）。國中小學生分數概念的發展。行政院國家科學委員會專題研究計劃成果

報告（編號：NSC-76-0111-S-003-10）。執行單位：國立台灣師範大學數學系。楊壬孝（民 77）。國中小學生分數概念的發展。行政院國家科學委員會專題研究計劃成果

報告（編號：NSC-77-0111-S-003-09A）。執行單位：國立台灣師範大學數學系。楊壬孝（民 78）。國中小學生分數概念的發展。行政院國家科學委員會專題研究計劃成果

報告（編號：NSC-78-0111-S-003-06A）。執行單位：國立台灣師範大學數學系。 Armstrong, Barbara E., & Larson, C. N. (1995). Student’s use of part-whole and direct

comparison strategies for comparing partitioned rectangles. Journal for Research in


Mathematics Education, 26(1), 2-19. Behr, M. J., Lesh, R., Post, T. R., ＆ Silver, E. A. (1983). Rational-Number Concepts.

Acquistion of Mathematics Concepts and Processes (pp.91-126). New York:Academic Press.

Behr, M. J., Wachsmuth, I., Post, T. R., & Lesh, R. (1984). Order and Equivalence Of rational number: A clinical Teaching experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 15(5), 323-341.

Behr, M. J., Wachsmuth, I., & Post, T. R.(1988). Construct a sum: A measure of children’s understanding of fraction size. Journal for esearch in Mathematics Education, 16(2), 120-131.

Bergeron, M. J., & Herscovics, H.（1987）. Unit Fractions of a Continuous Whole. The 11th International Conference for the Psychology of Mathematics Education.

Columba, H. L.（1989）. Equivalent Fraction Concepts: A Teaching Experiment. Unpulished Doctoral Dissertation of University of Louisville Graduate School of Eduation.

Figueras, O., Filloy, E. & Volderuoros, M. (1988). Some Difficulties Which Obscure the Appropriation of the Fraction Concept. Proceedings of the 11th Conference of International Group for PME, 366-374. Montrcal, Canada.

Figueras, O. (1989). Two Different View of Fraction: Fractionating and Operating. Proceedings of the 13th Conference of International Group for PME.

Hiebert, J., & Tonnessen, L. H. (1978). Development of the fraction concept in Two physical contexts: An Exploratory Investigation. Journal for Research in Mathematics Education, 9, 374-378.

Kamii, C., & Clark, F. B. ( 1995). Equivalent Fractions: Their Difficulty and Educational Implications. Journal of Mathematical Behavior, 14, 365-378.

Piaget, J., Inhelder, B. ＆ Szeminska（1960） . The Child’s Conception of Geometry (pp.32-335). New York: Basic Book.

Pothier, Y., & Sawada, D. (1983). Partitioning: The emergence of rational number ideas in young children. Journal for Research in Mathematics Education, 14(4), 307-317.

Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2001). From psychometric to didactical assessment models in mathematics education. The Netherlands and Taiwan Conference on Common Sense in Mathematics Education.


Research on Middle-Grader’s Understanding of Concepts in Fraction in Northern Taiwan

Cheng-shung Yu & Yuh-chyn Leu*

ABSTRACT

The study aims to investigate middle-grader’s understanding of sub-concepts in fraction, including equal-sharing, simple fraction, unit, equal-quantity and equivalence fraction in northern Taiwan. The research methods are paper-and-pencil test and one-to-one semi-structural interviews .

The result shows that the students applied their knowledge of integer to deal with the problems of fraction and they regarded numerator and denominator as separate numbers. This phenomenon was evident in students’ problem solving strategies. When judging the problems of equal-sharing, they only noticed the number of parts but neglected to judge if each part was equal. Students were confused by the unit terms of unit and content. Middle-graders tended to take the whole content as unit. When the remainder needed to be divided, students added or deducted the content to make the content divisible by integer. Many students compared numerator and denominator separately instead of comparing them as an amount when comparing fractions. Besides, the research also found that the connection between half and one half was not held very solidly by middle-graders.

This research will bring up some suggestions for the material, teaching, evaluation and future research on fraction teaching in elementary school.

Key words: equal-sharing, simple fraction, unit, equal-quantity, equivalence

fraction

* Cheng-shung Yu: Teacher, Ta Yeh Elementary School, Taoyuan City

Yuh-chyn Leu: Professor, Department of Mathematics Education, National Taipei Teachers College

Journal of National Taipei Teachers College, Vo1. XV(Sep. 2002) 37～68 NATIONAL TAIPEI TEACHERS COLLEGE

86 國立臺北師範學院學報，第十五期 86 Journal of National Taipei Teachers College, Vol.XV

ABSTRACT

台灣北部地區國小中年級學童 分數概念之研究 ·...

Documents

台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究 ·...