coffee break1 （放射、測光、測色、観測者の関係）視覚光散乱： optical...

1

1

光散乱： Optical Scattering

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2111A4250

目次

　　1 光散乱（Optical Scattering）（基礎）　　2 光散乱（Optical Scattering）（詳細）　　　　(1)Rayleigh Scattering　　　　(2)Mie Scattering　　　　(3)一般の体積散乱体による Optical Scattering（球体以外）　 (4)Coffee Break

　　　　(5) 多重散乱（Multiple Scattering）　　　　　　　　　　　　　　　　(6) Henyey-Greenstein Phase Function　 (7)エアロゾルの粒径分布（Aerosol Particle Size Distribution）　　

2

Coffee Break1（放射、測光、測色、観測者の関係）（放射測定：Radiometry、測光：Photometry、測色：Colorimetry　と　標準観測者：Standard Observer)

日本語名称英語名称標準記号単位 OUT or IN コメント日本語名称英語名称標準記号単位 OUT or IN

放射束

放射パワー

radiant

flux

radiant

power

Φe W OUT

IN

光束 luminous flux Φv ｌｍ（ルーメン） OUT

IN

放射エネルギ radiant

energy

Qe J OUT

IN

光量 quantity of

light

Qv ｌｍ・sec OUT

IN

放射強度 radiant

intensity

Ie W/ｓr ＯＵＴ点光源光度 luminous

intensity

Iv cd（カンデラ）

=lm/ｓr

ＯＵＴ

放射輝度 radiance Le W/(m^2・ｓr) ＯＵＴ基本量輝度 luminance

*photometric

brightness

Lv cd/m^2

=lm/(m^2・ｓｒ）

ＯＵＴ

放射照度 irradiance Ee W/m^2 ＩＮ照度 illuminance Ev lx（ルクス）

=lm/m^2

ＩＮ

放射発散度 radiant

exitance

*radiant

emittance

Me W/m^2 ＯＵＴ面光源光束発散度 luminous

exitance

*luminous

emittance

Mv lm/m^2 ＯＵＴ

放射量と測光量の変換

分光放射量から測光量の変換は可

測光量から放射量の変換は不可

変換式：測光量（右欄）＝分光放射量（左欄）×標準比視感度×６８３(lm/w)を波長(380～780nm)で積分する

放射量(radiant quantities)（物理量を表現）

放射測定(radiometry)

測光量(luminous quantities)（人の目に感じる量を表現）

測光(photometry)　測色(colorimetry)

前修飾語の分光(spectral)がつけられる

分光の単位（１／ｍ）、実用単位（1/nm or 1/um)

例：分光放射束(W/nm)、分光放射輝度(W/(m^2・ｓr・nm)）

分光放射輝度が最も基本的な発光量でこれから全ての発光量の算出可

（但し分光放射輝度分布の測定には時間がかかり、絶対校正は困難）

前修飾語の分光がつけられ無い

第１回放射量と測光量

　物理量　　　　　　人の目（脳も含む）に感じる量（＝視覚量）　　左の両量を結び付ける人

視覚

白黒の世界カラーの世界

3

目次



4

光散乱（Optical Scattering）（基礎）

　　・光が空気分子、エアゾル等で進行方向が多方面に変化する（光のまま）；（一部熱になる）

　　　[関連分野：電磁気学（Maxwell’s Equations）　＋　統計処理（多重散乱の時）　]

撮像装置に必要な大気透過帯における透過率の話に関する光散乱

基礎

5

光散乱（Optical Scattering）　　・光が空気分子、エアゾル等で進行方向が多方面に変化する（光のまま）；（一部熱になる）

　　　[関連分野：電磁気学（Maxwell’s Equations）　　＋　　　統計処理（多重散乱の時）　]

注）・光の透過帯での透過率は殆どエアロゾルと水が効いてくる。

　　・光散乱と吸収の明確な違い→光散乱は急峻な波長特性を持たないが、吸収は急峻な特性を持つ。

　　・位相関数を散乱位相関数（Scattering Phase Function）とも言う。

（１）光散乱（Optical Scattering）

（２）全散乱断面積（Total Scattering Cross Section）と位相関数（Phase Function or Scattering Function）と微分散乱断面積（Differential Scattering Cross Section）

（３）各種の散乱（Rayleigh散乱、Mie散乱、Optical散乱）と位相関数

（４）体積散乱体とランベルトの法則（Lambert’s Law）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と消散（消衰）係数（Extinction Coefficient）

（５）視程（Visibility）　　　・コントラスト（Ｃ）とＭＴＦとコシュミーダの法則（Koschmieder’s Law）

（６）エアロゾル（Aerosol）と水（Water）

・大気伝搬における光散乱効果の特徴

　　　　　　　　　　　　：光散乱による分光透過率は吸収帯のような急激な波長変化は無い

基礎

6

・モデル（単体散乱）

入射平面波

（十分遠方）

散乱波（十分遠方）

単体散乱体（分子、エアロゾル等）

　　　　赤外光　　　　　可視光マイクロ波

波長

　　　　　　　　　光の減衰、ＭＴＦ減少　ＲＣＳ効果

　　　　　空気分子、霧、雨滴、エアロゾル等航空機等実物

　　　　　　　　　　　　撮像装置　レーダ応用

　　　　　　　　　　　　　前方散乱後方散乱重要散乱

　吸収有（屈折率：虚数）　吸収無（屈折率：実数）

　　　　　　　　　　　　　　　誘電体完全導体

（σ＝∞）

モデル化

　　　　　　　　　　　　　散乱体：半径a（直径d=2a)の球体

前方散乱後方散乱

注）・平面波を球面波展開し、境界条件で整合させる等大変な計算になる。→殆どある条件を付け省略計算をする。

　　・無偏向平面波が入射すれば軸対称となり散乱波も無偏光となるが、直線偏光平面波が入射すると散乱体が

　　　球でも散乱波は軸対称にならずかつ偏光する。

（１）光散乱（Optical Scattering）

Z軸

Mini Coffee Break・直線偏光、円偏光、楕円偏光と無偏光の区分

・前者はｘｙの位相関係が保たれているが、

　後者の位相関係はrandomである。

基礎

2

7

・全散乱断面積(σs[m-2])：単体散乱体の断面積

θ,φ：散乱角

4

( , )[ ]( , )[1 ] ( , ) 1[ ]S S

S S

WI dSrP sr P dP W

π

θ ϕ σθ ϕ θ ϕ ωσ≡ = ⇒ =∫　　　　

( )2 22

4

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]; [ ] ( , )[ ]S A IN S A S SW Wm m P P W P W P W I dsrm

π

σ σ θ ϕ ω+ × ≡ + = ⋅∫　

・位相関数（Ｐ（θ,φ）[1/sr]）：十分遠方での散乱波の角度分布を規格化した関数。

（２）全散乱断面積（Total Scattering Cross Section）と位相関数（Phase Function or Scattering Function）と微分散乱断面積（Differential Scattering Cross Section）

入射光

平面波の

出力密度

全ての方向

に散乱される

散乱光出力

θ、φ方向の単位立体角

に散乱される光出力

22( , )[ ] [ ] ( , )[1 ] [ ]S S IN

W WI m P sr PSr mθ ϕ σ θ ϕ= ⋅ ⋅

・この形状を言う

　注）正確にはこのようにスムースで無く、

　　　干渉によりギザギザかつ凸凹となるが、

　　　実用的には平均化した値を考えれば良い

・微分散乱断面積（dσS[m^2/sr]）注）吸収について微分断面積は定義不可

注）・θ,φは極座標と同じ。　　・太陽光等の散乱は軸対称となり位相関数はθだけの関数となる。

4

( , ) 4P dπ

θ ϕ ω π=∫　Coffee Break：4πでの規格化もある

一部散乱体

に吸収される

全散乱

断面積

吸収

断面積

消散断面積=σS+σA

Z軸

基礎

8

マイクロ波（ＲＣＳ）

　（後方散乱大）

空気分子の光散乱

エアロゾルの光散乱

　（前方散乱大）

（３）金属球の各種の光散乱（Rayleigh散乱、Mie散乱、Optical散乱）と位相関数

光透過窓での減衰は殆どMie散乱

参考）空気分子を球体と見た時の球の直径（ｄ）≒０．３ｎｍ

注）吸収帯のように波長による鋭い変化はない

１／波長＾４で変化

４倍

横軸：Size Parameter=球体の周囲長／媒質中の波長

注）Mie散乱理論　　計算の極限値

　　は２。

縦軸：散乱効率

（Scattering　　 Efficiency）

基礎

9

Coffee Break：Mie散乱と八木アンテナとアパーチャの回折

Far Fieldで1W/m^2

・散乱体の外周と波長が同程度の時、Far Fieldでの平面波は散乱体近傍で　エネルギが集まって来ると考えなければならない

・八木アンテナも散乱体の所へ金属棒が有ると考えれば同様にエネルギを集める

　事ができる

・光の微少円孔の回折も、波長と円孔の周長がほぼ同じ時、円孔の面積以上の

　エネルギが円孔を通過する（相反定理：透過が反射、反射が透過）

Far Fieldで1W/m^2

反射表面

「円孔の面積×遠方のパワー密度」

以上の光パワーが通過する

基礎

10( ) , ,E S A S S A SN N Nα σ σ α σ α σ= + ⋅ = =　　

入射平面波

（十分遠方）

低密度体積散乱体：N[par/m^3]

2[ ]INWP m

光検知器

ＳR[m^2]：入射面積

3 2[ ] ( ) [ ] (0,0) RR IN S A R IN S IN

SparW S P N S dx P P Pm rΦ σ σ σ= ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅　　　　　　　　　　　

距離：r

：面積SR,厚さｄｘの集合散乱体の微少部分

光検知器

入射パワー

（４）体積散乱体とランベルトの法則（Lambert’s Law）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と消散（消衰）係数（Extinction Coefficient）

0

( ) ( )ln( ) ( ) exp( ( ) )

S A S A

S A S A

dd N dx N dx

N x N x

ΦΦ σ σ Φ σ σΦ

Φ σ σ Φ Φ σ σ

= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⋅

⇒ = − + ⋅ ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⋅

　　　　

　　　

・消散（消衰）係数（Extinction Coefficient：αE）　　　　＝散乱係数（Scattering Coefficient：αS）＋吸収係数（Absorption Coefficient：αA）

・体積散乱体：

　空気、エアゾル等の低密度の塊

・ランベルトの法則

本スライドは多重散乱

の説明ではない

＊＊係数[1/m]＝１個の＊＊断面積[m^2]×数密度[par/m^3]

Φ[W]：入射パワー

無損失項　散乱波項（無くなる）　散乱吸収損失項

01 1 1e x p ( ) [ ] [ ] [ ]E E S Ax w h e r e m m mΦ Φ α α α α= − = +　　

注）[par]=[particles]=[個数]

基礎

11

Coffee Break：ランベルトの法則（Lambert’s Law）の適用範囲（例）中赤外　

波長

消散係

数（赤

）

波長

入射光

の強

度（青

）

透過光

の強

度（青

）

大気伝搬

適用範囲：ある波長帯で消散係数がほぼ一定と見なせる領域に分割して適用する

1 1 2 2 3 3

0 1 2 3

e x p ( ) e x p ( ) e x p ( )( ) e x p ( )

E E E

E

x x x

x

Φ Φ α Φ α Φ αΦ Φ Φ Φ α

= − + − + −

≠ ≡ + + −　　

Φ1 Φ2 Φ3 Φ1 Φ2 Φ3

ランベルトの法則は成立しない

αE1 αE2 αE3

基礎

12

（５）視程-１・JIS Z-8113(1998)「照明用語」の3.11.3「視程」による定義視程（Visibility）：昼間、水平方向の空を背景とした黒ずんだ目標（大きさが視角０．５度以上、

５度以下のもの）を肉眼で識別出来る最大距離。

　・気象視程とも言う　・記号：Ｖ　・単位：Km

参考）他の表現

　　　　・ＪＩＳ規格：気象光学視距離（Meteorological Optical Range）　　　　・理化学事典：視程（Visual Range）=混濁度（Turbidity）

・MODTRAN：Surface Meteorological Range , Surface Visibility , Observer Visibility　

建物、塔等

　背景：空

（通常白色）

上空から見た図

注）・肉眼で識別するのだから、

　　　　　　視程は可視域についてのみ定義されている。

(中赤、遠赤の視程はない）　　・定義からしてかなりいい加減な距離。

　　・通常有効数字１桁で十分（１０、２０、５０、１００ｋｍ等）。

注）上空は青空

　　でも水平線

　　方向は白色

基礎

3

13

建物、塔等

　背景：空

（通常白色）

（５）視程-２：コントラスト（Ｃ）とＭＴＦとコシュミーダの法則

B

W

LL

W B

W B

L LCL L

−=

+

B

W

L

L

′

′

exp( )W BS

W B

L LC C LL L

α′ ′−′ = = × − ⋅′ ′+

：建物等の輝度

：背景の輝度

：建物等の輝度

：背景の輝度

exp( )X X Lτ α= − ⋅

Ｌ

：透過率

BL

WL

WL ′BL ′

・透過率を吸収によると考えればコントラストに変化ない（Ｃ＝Ｃ’）。

　しかし、大気の窓は殆ど前方散乱が主と考えればコントラストは低下する

exp( )ln(0.05) 2.996ln(0.02) 3.912

S

S

CMTF LC

V

α

α

′= = − ⋅

⋅ = − == − =　　　　

注）近くで見ても建物の色は

　　真っ黒でなくてはならない

コシュミーダの法則

（Koschmieder’s Law）・視程（Ｖ）が分かると

　全散乱係数（αｓ）が分かる

有効数字を

考えれば

３と４でＯＫ

コントラスト

　　５％

　　２％

1 ( )2 W BL L+

条件（１）大気の窓→吸収は小

　　　（２）前方散乱が支配的

基礎

14

exp( )ln(0.05) 3ln(0.02) 3.9

S

S

CMTF LC

V

α

α

′= = − ⋅

⋅ = − ≈= − ≈　　　　

Coffee Break:全散乱断面積、散乱体密度、散乱係数、視程の関係

2 3[1 ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3.9S Sm V m m N par m V mα σ⋅ = ⋅ ⋅ =

視程１個の散乱体の

全散乱断面積

同種、同径の

散乱体密度

散乱係数視程

大気の窓で成立

2 3[1 ] [ ] [ ]S Sm m N par mα σ= 　

注）[par]　　=[particles]　　=[個数]

注）コントラスト5％→3　　コントラスト2%→3.9

基礎

15

（６）エアロゾル（Aerosol）と水（Water）-1・エアロゾル：空気中に漂う微少な固体及び液体粒子を言う。

　　　　　　　　・微少粒子：大きさと分布は？　・固体粒子：どんなのがあるの？　・液体粒子：どんなのがあるの？

石炭、石油、植物等の燃焼

によるスス、煙(C)（＜１μｍ）及び硫化物(SO2)と硝化物(NO,NO2)（＜１μｍ）

砂漠からの風による土、砂埃（＞１μｍ）

及び火山からの硫化物(SO2)（＜１μｍ）海からの風、水泡

による塩粒子

（NaCl）（＞１μｍ）

Ref）NASA,Earth Observatory

注）・気体分子はエアロゾルに入らない。

　　・雨は入らない（漂わないから）。

　　・砂塵は入らない（漂わないから）。

　　・もや、霧は入る。

参考）空気分子を球体と

　　　　見た時の球の

　　　　直径（ｄ）≒０．３ｎｍ

←これが光透過帯の透過率を決める曲者物質基礎

16

（６）エアロゾル（Aerosol）と水（Water）-2・エアロゾル粒子

　　　　（１）自然現象：土・砂埃、塩微粒子（NaCl）、スス（C）；森林火災等による（２）工業活動：・スス（C）

　　　　　　　　　　　　　・硝酸：HNO3(NO→NO2+H2O→HNO3)　　　　　・硫酸：H2SO4（SO2+H2O→H2SO4）

　　　　　　注）上記物質は全て水との親和性（吸着、溶解等）が高い

Coffee Break　（夏でも冬でも自然現象、工業活動は変化しないのに

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なぜ夏と冬では夏の方が視程が悪いのでしょうか？）

　　　　　・異なるのは気温と湿度だけ。　

・エアロゾル粒子の大きさが気温、湿度で変化すると考えなければならない

　（夏の方が大きくなる→エアロゾル粒子が水分を吸収して大きくなるの？）

基礎

17

：中赤外

：遠赤外

水連続吸収帯

水バンド吸収帯

小　　←　　吸収　　→　　大

Coffee Break(MODTRANにおけるエアロゾルと水とH2O Continuum）

MODTRAN１　水

　（１）H2O Band Type　→バンド吸収帯　（２）H2O Continuum　　　　　　　→水連続体か水連続帯か？

２　Aerosol & Hydro　　エアロゾルと水による散乱吸収

小　←　透過率　→　大

１桁

注）水連続帯は散乱でなく吸収。

　　散乱であればレーリ散乱領域

　　なので減衰は遠赤＜中赤のはず。

大気の窓においては：

　　・高湿度では遠赤外透過率が悪くなる。

　　　これは水連続体の生成による吸収

　　　により水連続吸収帯が生じたため。

　　・中赤は水連続体の減衰は少なく湿度に強い。

注）Water Continuumは　　・Strong quadratic pressure dependence　　・Strong negative temperature dependence　　　を持ちFar Wing派とDimer派で論争中。

注）大気の窓の透過率は全て

　　H2O Continuum（緑破線：吸収）と　　Aerosol & Hydro（青破線：散乱）で決まる

注）大気透過窓の最大分光透過率はH2O ContinuumとAerosol & Hydroで効く基礎

18

Coffee Break（水連続体：水分子のクラスタ（Water Cluster））　　Mini Coffee BreakClusterの集まり表現(－mer)・１=Monomer・２=Dimer・３=Trimer・４=Tetramer=Quadramer・５=Pentamer・６=Hexamer・８=Octamer・１０～１００=Origomer・多数=Polymer

注）クラスタ（Cluster)：単体でも安定な原子、分子が少量結合した集まりを言う。

基礎

4

19

Coffee Break（エアロゾルと水のまとめ）

　　　水分子（Line Absorption）・吸収帯を形成し、バンドタイプの吸収をする。

・吸収スペクトルは線スペクトルとなり、

　分光透過率は波長により急激に変化。

　　　　　エアロゾル（Scattering）・土埃、NaCl , C , HNO3 , H2SO4等が散乱体を形成。・こららの散乱体は水と親和性（吸着性）が高い。

水分子＋水クラスタ＋（エアロゾル+水）・水は水でクラスタを生成する

・エアロゾルを核として水分子を吸着し

　湿度により吸着量が増減する

Aerosol & Hydro

Mini Coffee Break・大気の窓でのLine Spectralはどこからきているのでしょうか？

・水（液体）は中遠赤外を良く吸収するのにエアロゾル及びエアロゾル＋水は

　大気の窓ではなぜ吸収が少ないのでしょうか？

・現在でも良く分かってないみたい

・地球温暖化で研究中

　　水クラスタ（Continuous Absorption）・水クラスタは連続体により連続吸収帯を形成。

基礎

20

・消散（消衰）係数（Extinction Coefficient：αE）　　　　＝散乱係数（Scattering Coefficient：αS）＋吸収係数（Absorption Coefficient：αA）

Coffee Break：分子の光散乱、吸収とエアロゾルの光散乱、吸収と消衰係数の詳細分子の光散乱（αSM[1/m]）： Rayleigh Scattering（通常無視可）

分子の吸収（αAM[1/m]＝αAML[1/m]＋αAMC[1/m] ）：　　　・（αAML[1/m] ）：Line Spectrum or Band Spectrum （大気の吸収帯；通常使用しない波長）

　　　・（αAMC[1/m] ）：H2O Continuum （大気の窓；通常使用する波長、Broad Spectrum）

エアロゾルの光散乱（αSE[1/m]）： Mie Scattering（全波長域）エアロゾルの吸収（αAE[1/m]）： Broad Spectrum（全波長域）

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

E SM SE AM AE

SM AM SE AE

AML AMC SE AE AMC EE

α α α α α

α α α α

α α α α α α

= + + +

= + + +

≈ + + + = +

　　

　　

エアロゾルの光散乱・吸収（αEE[1/m]）

（分子、エアロゾルの光散乱）＋（分子、エアロゾルの吸収）

（分子散乱・吸収）＋（エアロゾル散乱・吸収）

大気の窓：（水連続帯）＋（エアロゾル散乱・吸収）

無視可

大気の窓では吸収せず無視可


基礎

21

2 3, ,

2 2

( )[1 ] [ ] [ ][ ] [ ]exp( )

E S A S A

S A S A

OUT IN E

Nm m N par m

P W m P W m x

α σ σ α α

α σ

α

= + ⋅ = +

= ⋅

= −

・消散係数（Extinction coefficient）＝散乱係数＋吸収係数。・散乱係数（Scattering Coefficient or Scatter Coefficient）。・散乱、吸収によりパワー密度が単位長さあたり減衰する割合を表す。

・散乱（吸収）係数は全散乱（吸収）断面積に個数密度をかける。

・散乱体の密度が薄いときに成立。

Coffee Break（まとめ）:断面積（Cross Section）と効率（Efficiency）と　係数（Coefficient）と透過率（Transmittance or Transmissivity）の定義と単位とそれらの関係

2 2

4

[ ] ( , )[ ] [ ]S m d m sr d srπ

σ σ θ ϕ ω= ∫

・微分散乱断面積（Differential Scattering Cross Section）。・パワー密度[W/m^2]をかけるとθ,φ方向の単位立体角　に散乱される強度[W/sr]になる。・吸収については微分断面積は定義不可。

・散乱効率（Scattering Efficiency or Scatter Efficiency)。・幾何学的断面積の何割が有効的に散乱に効くかを表す。

・散乱効率に幾何学的断面積をかけると全散乱断面積が出る。

2[ ]GS m ・幾何学的断面積（or 物理的断面積）（Geometrical Cross Section or Physical Cross Section)。・粒子を入射波方向に投影した面積。

2

2[ ][0] [ ]

SS

G

mQ S mσ

=

・全断面積（Total Cross Section）。・パワー密度[W/m^2]をかけると全立体角に散乱される　放射束[W]になる。

2 2

[0] exp( )[ ] [ ]

E

OUT IN

xP W m P W mτ α

τ

= −

= ×

・透過率（τ）＝出力を入力で割った値。

・消散係数×距離に負符号の指数関数を取った値。

・１より小さい。

2

2

( , )[ ][ ] ( , )[1 ]

S

S

d m srm P sr

σ θ ϕσ θ ϕ= ⋅

基礎

22

exp( )ln(0.05) 3ln(0.02) 3.9

S

S

CMTF LC

V

α

α

′= = − ⋅

⋅ = − ≈= − ≈　　　　

Coffee Break:全散乱断面積、散乱体密度、散乱係数、視程の関係

2 3[1 ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3.9S Sm V m m N par m V mα σ⋅ = ⋅ ⋅ =

視程１個の散乱体の

全散乱断面積

同種、同径の

散乱体密度

散乱係数視程


2 3[1 ] [ ] [ ]S Sm m N par mα σ= 　


注）コントラスト5％→3　　コントラスト2%→3.9

基礎

再度掲載

23

目次



24

Rayleigh Scattering（１つの誘電球体）（１／２）

入射平面波

（十分遠方）

　散乱体

（分子等）


平面波進行方向

散乱波進行方向

散乱角（θ）

Scattering Plane：２方向が成す平面

EIN（平行）

EIN（垂直）

2

[ ] [ ] [ ]IN

a

CmP Cm E V mV

P Scatterig Wave

λ

α

<<

= ⋅

⇒　　

球の半径は入射平面波の波長より十分小さい。

（Rayleigh Scattering の条件）

誘起ダイポール

モーメント分極率

入射電場

入射電場により、散乱体にダイポールモーメントが誘起される。

・誘起ダイポールモーメントにより散乱波が放出される。

・アンテナ理論で行うShort Electric Dipole放射と同じ計算をする。・Far Filed の計算のみ行う。

球の半径波長

太陽光等の無偏光のときは入射電場の平行、垂直偏波を各々計算し加える。

　　　　　参考

（Dipole の放射分布）

・ドーナツ状

・Dipole 軸で回転対称

詳細

5

25

Rayleigh Scattering（１つの誘電球体）（２／２）

( )22 2

2 2 34 2

0 0

24 22 2 2 2

2

1 1[ ] (1 cos ( )) [ ] 42 2

8 2 1 3 (1 cos ( )) ( )[ ] [ ]3 2 16

S IN

IN

mI W sr P W m where am

a m a m P W mm

π α αθ πε ελ

π θ πλ π

−= + × = +

− = + ⋅ × +

　　　

　　　　

位相関数[1/sr]幾何学的断面積

or 物理的断面積

微分散乱断面積[m^2/sr]　

屈折率比

半径

2 42

24

8 1 23 2

S SS

G G

d m aQ dS S mπ

σ σ πωλ

− ≡ = = + ∫ 4

( ) 1P dπ

θ ω =∫

球体を入射波方向に射影した面積

Size Parameter=球体の周囲長／媒質中の波長

無次元量[1/sr]

全散乱断面積

位相関数

形状因子（Form Factor）

2 2 2 2

2 2

[ ] ( , , ) ( ) [ ] [ ] ( , , ) ( )[1 ] [ ] [ ][ ] ( , , ) [ ]S S G S S G IN

S S G

d m Q phy a P S m I W sr Q phy a P sr S m P W mm Q phy a S m

σ λ θ λ θσ λ

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

形状因子＝散乱効率

・λ：Wave Length in a Mediaso λ = λ0/n(Media)・m=n(Sphere)/n(Media)例）・真空中の空気分子

　　　　　m=1.00028/1　　・水中のﾎﾟﾘｽﾁﾚﾝ粒子

　　　　　m=1.59/1.33

散乱効率（Scattering Efficiency）＝全散乱断面積／幾何学的断面積

2 422 2

28 1 2 3( ) ( )[1 ] (1 cos ( )) , ( )3 2 16

SG

G

d m a P where P sr S aS mσ π θ θ θ π

λ π − = = + = + 　　

4

( , , ) ( )S G SS Q phy a P dπ

σ λ θ ω= ⋅ ∫

詳細

26

受光系入射光

　＝①レーザ光の散乱体からの散乱＋②レーザ光の背景からの反射・散乱（近軸の時）

　＋③太陽光の散乱体からの散乱＋④太陽光の背景からの反射・散乱

Rayleigh Scattering（N個の同じ大きさの誘電球体）：

Laser

検

知

器

散乱体＝空気分子＋ C or B剤＋通常Aerosol

SUN

雲

雲

雲

モデル

2 22 2[ ] [ ] ( , , ) ( )[1 ] [ ] [ ] [ ]R R

S S G INS SW I W sr Q phy a P sr S m N par P W mR R λ θΦ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

受光系光入力 Sr：受光光学系の面積、R：散乱体と受光光学系との距離散乱体を通過するレーザ光密度

レーザ通過領域と受光領域の共通領域にある散乱体個数

散乱体の濃度は薄く多重散乱

は考慮しなくて良い時

形状因子＝散乱効率

R [ m ]

背景：（反射）山（木）,建物等；（散乱）雲,天空光

Sr[m^2]


, ( ),S GQ P Sθ は同じ詳細

27

Rayleigh Scattering（同種誘電球体の大きさが分布している時）：

{ }

2 22 2

3 3

3 4

2

[ ] [ ] ( , , ) ( )[1 ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( )[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( )[ ]

[ ] ( ) ( , , )

S

MAX

MIN S

MAX

MIN S

R RS S G IN

V

r

r V

rR

IN S Gr V

S SW I W sr Q phy a P sr S m N par P W mR Rwhere N par n a par m dv m

put N par dr m dv m n r par m

SW P P dr dv Q phy a SR

λ θ

θ λ

Φ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

=

⇓

Φ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

∫ ∫

∫ ∫

　

　

　　　　　

{ }( )n r

r[m]：誘電球体の半径

RayleighScattering

MieScattering

VS：レーザ照射領域と受光領域と散乱体分布領域　　　との共通領域の体積＝散乱体積

　注）パルスレーザの時はその空間体積も考慮する

n(r)[par./m^4]：単位体積あたり半径rとr+dr　　　　　　　　　　にある散乱体個数密度

n(r)[p

ar./m

^4]：

単位体積あたり半径rと

r+dr　

　　にある散乱体個数密度

注）散乱体は十分遠方にあり

　　距離R及び散乱角Θは変化　　しないと仮定

注）[par]=[particles]=[個数]

散乱体分布は薄くPinは一定とした

( )P θ のみ同じ

詳細

28

Rayleigh Scattering（計算例）　　（空気分子とクラスタの光散乱）

・条件：波長＝500nm、空気分子直径＝0.3nm・計算結果　→　・全散乱断面積：9.5×10^-38[m^2]

・ Scattering Efficiency：1.3×10^-18　　　　　　　　　・位相関数：下図参照

Ref)Oregon Medical Laser Center

Linear Scale

幾何学的断面積より

さらに１８桁小さい

・条件：波長＝500nm、クラスタ直径＝5nm・計算結果　→　・全散乱断面積：4.4×10^-29[m^2]

・ Scattering Efficiency：2.3×10^-12　　　　　　　　　・位相関数：下図参照

Linear Scale


さら１２桁小さい

同形

詳細

29

Sphere Diameter 0.3 nm Refractive Index of Medium 1.0 Real Refractive Index of Sphere 1.0003Imaginary Refractive Index of Sphere 0 Wavelength in Vacuum 500 nm Concentration 2.4e+25 particles/m3

・条件：波長＝500nm、空気分子直径＝0.3nm・計算結果　→　・全散乱断面積：9.5×10^-38[m^2]

・ Scattering Efficiency：1.3×10^-18

Wavelength in Medium 500 nm Size Parameter 0.00188 Average Cosine of Phase Function 5.6855e-07 Scattering Efficiency 1.3464e-18Extinction Efficiency 1.3464e-18 Backscattering Efficiency 2.0197e-18 Scattering Cross Section 9.5171e-38 m2

Extinction Cross Section 9.5171e-38 m2

Backscattering Cross Section 1.4276e-37 m2

Scattering Coefficient 2.2842e-12 m-1

Total Attenuation Coefficient 2.2842e-12 m-1

INPUT

OUTPUT 1気圧、300Kの大気

１気圧、３００Kの大気を２０ｋｍ通過しても透過率は１Ref)Oregon Medical Laser Center

詳細

30

Sphere Diameter 5 nm Refractive Index of Medium 1.0 Real Refractive Index of Sphere 1.0014Imaginary Refractive Index of Sphere 0 Wavelength in Vacuum 500 nm Concentration 4e+21 particles/m3

・条件：波長＝500nm、クラスタ直径＝5nm・計算結果　→　・全散乱断面積：4.4× 10^-29[m^2]

・ Scattering Efficiency：2.3×10^-12

Wavelength in Medium 500 nm Size Parameter 0.03142Average Cosine of Phase Function 0.0001578Scattering Efficiency 2.2608e-12Extinction Efficiency 2.2608e-12Backscattering Efficiency 3.3899e-12 Scattering Cross Section 4.4391e-29 m2





INPUT

OUTPUT１００ｍ（W)×１００ｍ（D)×１０ｍ（H)の空間に分子量１４０のガスを約１００ｋｇ散布

１００ｍ（D)で透過率は１。　２０ｋｍでも透過率は１

41 3 10S

n Whereρβ βρ−− = × ≈ ×　　

Ref)Oregon Medical Laser Center

詳細

6

31

目次



32

Mie Scattering（球体の一般的な光散乱）

注）・無限級数となり数値計算をする以外にない。　　・実用的には定性的な議論で十分。

　　・Mie Scattering は前方散乱が支配的。　　・Size Parameterを大きくしても位相関数で後方散乱が支配的な解は出ない（金属球と異なる）。

モデル（単体散乱）

入射平面波

（十分遠方）

散乱波（十分遠方）

単体散乱体（分子、エアロゾル等）


Ｚ軸

・球体内部の電磁界も考慮し、また球体内部では

　高次の共振モードも考慮する。

・境界条件で入射平面波と散乱球面波を接続させる。

・球体内で損失がある時はさらに複雑。

・必要なのはFar Filedの解のみであるが、必然的に　Near Filedの計算を行うことになる。　　しかし殆ど何らかの仮定を置き近似計算をする。

　それでも、特殊関数のオンパレードとなる。

・極限条件でRayleigh Scatteringは自然に導出される。・回折（Diffraction）効果も説明可。

球体の物性

ε、μ、σ

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0

,( )( )

P m

e

m

D D nE E tB B nH H t

P n M nJ H H nJ M M n

σ σ

− ⋅ =

− ⋅ =

− ⋅ =

− ⋅ =

= ⋅ = ⋅

= − ×

= − ×

境界条件

詳細

33Ref)Oregon Medical Laser Center

Mie Scattering（計算例）（空気中に浮遊する水滴からの光散乱）・条件：波長＝500nm、水滴直径＝1um・計算結果　→　・全散乱断面積：3×10^-12[m^2]

・ Scattering Efficiency：3.9　　　　　　　　　・位相関数：下図参照

　　Linear Scale前方散乱が支配的

Log Scale


３．９倍大きい

Mini Coffee Break：Mie ScatteringでSize Parameter（=球体の周囲長／媒質中の波長）を大きくしても、前方散乱が鋭くなるだけで、　　　　　　　　　　　　マイクロ波（金属球）での計算のように後方散乱が大きくならない。何故でしょう？

詳細

34

Sphere Diameter 1 microns Refractive Index of Medium 1.0 Real Refractive Index of Sphere 1.33 Imaginary Refractive Index of Sphere 0 Wavelength in Vacuum 500 nm Concentration 1.3e+09 particles/m3

・条件：波長＝500nm、水滴直径＝1um・計算結果　→　・全散乱断面積：3.1×10^-12[m^2]

・ Scattering Efficiency：3.9

Wavelength in Medium 500 nm Size Parameter 6.2832 Average Cosine of Phase Function 0.84496 Scattering Efficiency 3.9159 Extinction Efficiency 3.9159 Backscattering Efficiency 0.18617 Scattering Cross Section 3.0755e-12 m2





INPUT

OUTPUT視程１ｋｍに相当

１００ｍ（D)で透過率は約０．６７Ref)Oregon Medical Laser Center

詳細

35

目次



36

一般の体積散乱体による Optical Scattering（球体以外）

散乱体：・規格化粒子形状（体積一定で規格化）：楕円体、円柱、円錐体、ギザギザ体etc・大きさとその分布密度：n(r)[par/m^4]

　　　　　・物性値：金属（完全反射、σ＝∞）

　　　　　　　　　　　霧、雨滴等（可視εは実数、赤外εは虚数）

　　　　　　　　　　　カーボン粒子（光は吸収、マイクロ波は反射・吸収）etc　　注）ミリミリと計算しても実用的でない

注）Rayleigh and Mie Optical Scatteringは球体のみ

入射平面波

（十分遠方）

EIN（平行）

EIN（垂直）

規格化粒子形状は平均すれば球体と見なせる

平面波進行軸

散乱波進行軸（θ,φ）

粒子軸（３軸）

入射偏光軸

[ ]( , , ), ,PC PC phy sphere aε µ σ=粒子関数=（粒子物性値、粒子球状、粒子Size）

軸が５つ有り大変な計算となる

EOUT（平行）

EOUT（垂直）

・散乱体（分子）は高速で回転している

・散乱体の方向は局所的にRandom

詳細

7

37

目次



38Light Scattering Theory David W. Hahn ; Department of Mechanical and Aerospace Engineering University of Florida

Coffee Break： Rayleigh and Mie Scatteringの微分散乱断面積と位相関数（計算値）2 2 2( )[ ] [ ] ( )[1 ] [0] [ ] ( )[1 ]S S S Gd m sr m P sr Q S m P srσ θ σ θ θ= ⋅ = ⋅ ⋅

Size Parameter2 aα π λ=

直径17nm：α=0.1；Rayleigh Scattering

直径170nm：α=1.0；Rayleigh or Mie Scattering

直径1.7μm：α=10；Mie Scattering

屈折率

波長

・Mie散乱の計算では　干渉（位相）による

　Rippleが現れる。・Micro波ではRippleの　ピークをSide Lobeと言う。

前方散乱最大

詳細

39Light Scattering Theory David W. Hahn ; Department of Mechanical and Aerospace Engineering University of Florida

Size Parameter2 aα π λ=

Coffee Break： Rayleigh and Mie Scatteringの散乱効率Qs（計算値）2 2 2( )[ ] [ ] ( )[1 ] [0] [ ] ( )[1 ]S S S Gd m sr m P sr Q S m P srσ θ σ θ θ= ⋅ = ⋅ ⋅

屈折率

波長

RayleighScattering Mie Scattering

Paradox！・極限値：２

・Mie Scatteringの計算では　Scattering と　Diffraction（前方に行く）の　Powerが区別なく計算される。　しかもそれらは極限では

　同量である。

　よって現実的には

　全散乱断面積は１となる。

精度を上げると計算値は干渉に

よる細かなRippleが見られる

散乱効

率（Sc

atteri

ng Ef

ficien

cy）＝全散

乱断

面積

／幾何

学的

断面

積

詳細

40Ref)A.J.Cox et al:Am.J.Phys. Vol.70,No6,2002,p620.

Coffee Break:Rayleigh and Mie Scattering（例）（水中に浮遊するﾎﾟﾘｽﾁﾚﾝ粒子からのレーザ光散乱）

Scatt

ering

Effic

iency＝

全散

乱断面

積／

幾何

学的

断面積

ﾎﾟﾘｽﾁﾚﾝ粒子／水：m=1.59/1.33

2 am

πλ×

RayleighScattering Mie

Scattering

２

Paradox!

41

Coffee Break：Rayleigh散乱or Mie散乱に係わらず光散乱で一般的に言える考え方

2 2

2

[ ] [ ][ ]

[0]

( )[1 ]

G

IN

G S

S G IN

m S m aP W m

S QQ S P

P srI

π

θθ

⇒ =⇒⇒

⇒ ⋅ ⋅⇒⇒

一つの球体（半径：a ）の散乱を考える物理的断面積=幾何学的断面積=

そこに十分遠方で平面波であるが入射する

に散乱効率（= ）を乗算した面積（=全散乱断面積）に

　入射する平面波は散乱すると考える全方向に散乱する全散乱光パワーはとなる

散乱光の分布パターン（=位相関数= ）とすると

方向に散乱する光強度は

2 2[ ] ( , , )[0] ( )[1

( )

] [ ] [ ]

G

G

S

S S INW sr Q phy a P sr S m P W m

S Q

N

PN N

λ θ

θ

= ⋅ ⋅ ⋅⇓

⇒⇒

幾何学的断面積= 散乱効

となる

　　　　　　　　　　　

よって光散乱で重要な物理量はととの３つである

個のがあれば光強度

率

は倍すれば良い（但しでない時）

個

同一散乱体多重散乱

非球体非同の及びの時は一散乱体粒径分の考

= 位相関数=

慮が必布等要となる

入射平面波

（十分遠方）

　赤：散乱体（分子等）

平面波進行方向

散乱波進行方向

散乱角（θ）

Scattering Plane：２方向が成す平面

EIN（平行）

EIN（垂直）

a

　青：全散乱断面積 4( ) 1P d

πθ ω =∫

詳細

42

{ }2[ ] ( , , ) ( , , , ) ( )MAX

MIN S

rR

IN S Gr V

SW P dr dv Q phy r P phy r S n rR λ λ θΦ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

Coffee Break：一般的に言えること；受光系に散乱光を多く入れるためには

受光光学口径は

大きい方が良い

距離は近い方が良い

レーザ光は強い方が良い

位相関数はその方向

で大きい方が良い

散乱体の幾何学的断面積は

大きい方が良い

散乱体の密度は大きい方が良い

散乱体積は大きい方が良い

注）難しいことを考えなくても、当然言えること

散乱効率は高い方が良い

{ }2 2 3 32[ ] [ ] ( , , ) ( , , , ) ( )[ ] [ ] [ ]R

IN S G SSW P W m Q phy a P phy a S a m N par m V mR λ λ θΦ = ⋅ ⋅ ⋅

体積散乱体の粒子が同種、同径、一様分布でかつ濃度が薄く、遠方にある時

詳細

8

43

目次



44

１回散乱（Single Scattering）と多重散乱（Multiple Scattering）と偏光（Polarized Light）全散乱波強度を求める

・散乱体の濃度が薄い→・１個の散乱体の散乱波を求め、それをN（散乱体個数）倍する。・Rayleigh and Mie Scattering は偏光が保たれる。

・散乱体の濃度が濃い→・多重散乱となり、散乱波強度はN倍以上となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、偏光性は無くなり、統計処理が必要となる。

　　　　　　　　　　　　　　　・多重散乱の極限は拡散方程式を解く等、別モデルが必要。　

Laser

検

知

器

散乱体

１回散乱

多重散乱

ティンダル（or チンダル）現象（Tyndall Phenomenon） Ref)東京工業大学、平野拓一

１回散乱

（薄い白濁液）

・散乱波は偏光。

・レーザ光の道筋が

　保たれている。

多重散乱

（濃い白濁液）

・散乱波は偏光

　せず。

・レーザ光の道筋が

　消えている。

左から直線偏光レーザ光を白濁液に照射

詳細

45

１回散乱（Single Scattering）と多重散乱（Multiple Scattering）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と粒子密度と媒質長（単純Model）

2 2

3

[ ] : [ ] : [ ] :[ ] :

:

1

:

1

T

S T

S T

S T S

S

S m L m mn par mN S L n

N

n L Multiple Scattn L Single Sc

erinN SN

attg

rS

e ing

σ

σ

σ

σ σ

σ ⋅ ⋅ >>⋅ ⋅ <<

⇒

⇒ = ⋅ ⋅⇒ ⋅

⇓⋅ << ⇔⋅ >> ⇔

⇒

S

・ビーム断面積　　・媒質長　　・全散乱断面積

・単位体積あたりの散乱体個数=粒子密度

ビーム通過領域にある散乱体の個数

ビーム方向へ射影した面積

　　　　　　　

　

　

　

S

L

散乱体媒質

S

ビーム形状（凸部明瞭）

：Single Scatteringビーム形状（凸部不明瞭）

：Multiple Scattering

詳細

46

Coffee Break：空気分子だけの大気による太陽光散乱は１回散乱又は多重散乱？

5

525 3

23

38 2

38S

0.5 10

0.5 10 1.45 10 [ ]1.38 10 250=9.5×10 [m ]

9.5×10 1.45 10

Pa

PP nkT n par mkT

nLσ

σ

−

−

−

= ×⇓

×= = = = ×× ⋅

= × ×S

大気は地表からの高さにより気圧、温度が異なるがここでは単純化を図り

圧力1/2気圧（）、温度250Ｋの一様な厚さ20ｋｍの大気とする

　　　　　　

より

空気分子（直径0.3nm）の全散乱断面積は波長500nmで

25 3 820 10 2.76 10 1−× × = × <<⇓　　　　　　

　　１回散乱である

注）この計算で最も不確定な値は全散乱断面積である。Rayleigh散乱の全散乱断面積は粒子半径の　　　６乗に比例するため容易に桁が違ってくる。

詳細

47

目次



48

Henyey-Greenstein Phase Function Model（体積散乱体）：　　　（雲等の多重散乱を含むBULKを現象論的（Macro的）に扱う時）

( )2

32 2

2 2

4 0 0 0 0

1 1( ) 4 1 2 cos

( ) ( )sin 1 ( )cos sin

gPg g

P d d P d and d P d gπ π π π

π

θ π θ

θ ω ϕ θ θ θ ϕ θ θ θ θ

−=

+ −

⇒ = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫　　　　

( )2

32 2

1 1

1 1

1 1(cos ) 2 1 2 cos

(cos ) (cos ) 1 (cos )cos (cos )

gPg g

P d and P d g

θθ

θ θ θ θ θ− −

−=

+ −

⇒ = =∫ ∫　　　

注）本ModelはRayleigh Scattering位相関数の表現は出来ない。

g：:非対称パラメータ（Asymmetry Parameter or Factor）g =const. for θg=1：前方散乱、 g=0：等方散乱、g=-1：後方散乱

2

4 0 02

4 0 0

( )cos ( )cos sin

( ) ( )sin

P d d P dg

P d d P d

π π

ππ π

π

θ θ ω ϕ θ θ θ θ

θ ω ϕ θ θ θ= =

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

一般に左記gを非対称パラメータと言う

詳細

9

49

Henyey-Greenstein Phase Function（Forward Scatter ：ｇ≧０）

P(θ

)Forward Scatter

g=0.95g=0.90g=0.80g=0.5g=0.3g=0

θ

詳細

50

Henyey-Greenstein Phase Function（Back Scatter：ｇ≦０）

θ

P(θ

)

g=－0.95g= －0.90g=－0.80g=－0.5g=－0.3g=0

Back Scatter

詳細

51

Coffee Break：Henyey-Greenstein Phase Function Model（体積散乱体）：　　　　　　　　　　　(Θ=πと g=±g での対称性)

( )

( )

( )

2

32 2

2

32 2

2

32 2

1 1( , ) cos( )4 1 2 cos( , )

cos( ) cos1 1( , ) 4 1 2( ) cos1 1 ( , )4 1 2 cos( )

gput P gg g

P g

gP gg g

g P gg g

θ θ θ ππ θ

θ θ π

π θ θ

θπ θ

π θπ π θ

−= ⇒ =+ −

⇒ =

± = −−− =

+ − −

−= = ±+ − ±

　はで対称

　　　　　　　もで対称

　　　　

詳細

52

目次



53

r[m]：誘電球体の半径

RayleighScattering

MieScattering

n(r)[p

ar./m

^4]：

単位体積あたり半径rと

r+dr　

　　にある散乱体個数密度

エアロゾルの粒径分布（Aerosol Particle Size Distribution）（１）：(Model)　　　　　　Junge DistributionとLog-Normal DistributionとWhitby’s Bimodal Distribution

0( ) ( ) 3 4n r C r r whereβ β−

= = :　　

・Junge Distribution Model　　・両対数を取ると直線になる。

　　・Log-Normal Distributionの一部を表現している。

・Log-Normal Distribution Model　　・横軸に粒径の対数を取り、縦軸はLiner Scaleとすると　　　正規分布に似た形状となる。

　　・縦軸は粒子数、面積、体積、質量等。

・Whitby’s Bimodal Distribution Model　　・縦軸に体積又は質量を取ると、実際のエアロゾルでは生成過程の違により二つの山が出来る。

詳細

54

2ln( )( ) exp (ln )2 2mr rNn r dr d r

π σ σ

= − ⋅

(ln )d r dr r=

Coffee Break:Aerosol Particle Size Distributionの実例と縦軸の読み

Ref)J.Zhou,et al:J.Geo.Re,Vol.107,No D20,p LBA-22,2002

150nm

直径100～150nmにある単位体積あたりの粒子の数は約何個？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→r=125,dr=50 →(50/125)×700=280[par/cm^3]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→ not 50×700=35,000[par/cm^3]

良く使われる表記

2ln( )exp(ln ) 2 2mr rdN N

d r π σ σ

= − ⋅ ( )dN n r dr=


詳細

10

55

エアロゾルの粒径分布（Aerosol Particle Size Distribution）（２）：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実際は何により決まるか、及び、計測器

4( )[ ] [ ]n r par m dr m3 4[ ] ( )[ ] [ ]

MAX

MIN

r

r

N par m n r par m dr m= ∫単位体積あたり半径rとr+drにある散乱体個数

単位体積あたりの散乱体個数

・場所（緯度、経度、高度）、時（季節、月、日、時、分）、温度、湿度等により大幅に変化する

・計測器

　　：接触型　・Nephelometer　　　　　　　・Optical Particle Counter 　　　　　　　　・Scanning Mobility Particle Sizer etc.　　：遠隔型　・LIDAR

par：particles（粒子数）

詳細

56

2

2

1( ) exp ( ) 12 2, , ,

N NxP x dx dx P x dx

Mean Median Mode Variance

µπ σ σ

µ µ µ σ

+∞

−∞

′− ′ ′ ′ ′ ′= − ⇒ = ⋅ = = = =

∫　　　　

Coffee Break(Mathematics)：Normal Probability Density Function(PN)　　　　　　　　　　　　　　　　　とLog-Normal Probability Density Function（PL）

ln , exp , (ln ) , ,0dxx x x x d x x xx

′ ′ ′= = = −∞ ≤ ≤ +∞ ≤ ≤ +∞

μ=1σ=1

μ=1σ=1

X：Linear Scale X：Log Scale

PL(X

)

PL(X

)

Log-Normal Probability Density Functionの別表現（同一関数でX軸Scaleが異なる）

( ) ( )

2 2

0

2 2 2 2

1 ln 1 1 ln( ) exp (ln ) exp ( ) 12 2 2 2exp 2 , exp , exp( ), exp( ) 1 exp(2 )

L Lx xP x dx d x dx P x dx

x

Mean Median Mode Variance

µ µπ σ σ π σ σ

µ σ µ µ σ σ µ σ

+∞ − − = − = − ⇒ = ⋅ ⋅ = + = = − = − +

∫　　　　

P(x)[x^-1の単位]：Probability DensityP(x)dx[0]：Probability between x and x+dx

21 1 ln( ) exp2 2LxP x

xµ

π σ σ

− = − ⋅

x’とσは同じ単位

σ=σ[0]

詳細

57

Coffee Break(Mathematics)：Log-Normal Probability Density Function（PL）

μ=1σ=1

X：Linear Scale

PL(X

)

21 1 ln( ) exp2 2LxP x

xµ

π σ σ

− = − ⋅

( )2exp 2Mean µ σ= +相加平均値：

2exp( )Mode µ σ= −最頻値：

　（最大確率密度）

expMedian µ=中央値：

（左右の面積が同じ）

Mini Coffee Break・標準偏差

　（Standard Deviation）：σ・分散

　（Variance)：σ^2・確率密度関数

　（Probability Density Function）　　：積分値を１に規格化した関数

・正規分布

　（Normal Distribution）　　：規格化の有無を問わない

　　　Gauss分布・標準正規分布

（Standard Normal Distribution）　　：規格化し、μ=0の正規分布

詳細

58

Coffee Break: Log-Normal Probability Density Functionの　　　　　　　　　　　　　　Aerosol Particle Size Distribution への適用（個数分布）（１）

234

0

ln( )[ ] [ ]( )[ ] [ ] exp ( )[ ]2 [0] 2 [0]mr rN par m dr mn r par m dr m n r dr Nr mπ σ σ

+∞ = − ⇒ = ⋅ ∫Where 0＜r＜+∝ ,0＜ rm＜rσ, ln , ln( ), (ln )m mx r r r r d r dr rσµ σ→ → → =

2

0

ln( ) ( )( ) 1 ( )exp 12 2m m

m

r r d r rn r n rdr drN r r Nπ σ σ

+∞ = − ⇒ = ⋅ ∫　　　　

r／rm

n(r)rm

／N

σ=1

n(r)rm

／N

r／rm

0.6 0.8

σ= 1.01.21.4

σ=0.6 σ=1.4

σ=1.0

Median not Mean

注）・Peak値はσで最小値有り。　　・σ→大でPeakは左に移動し　　　Log Scaleのため面積は　　　大きくなった様に見える。

Variance

2( ) ln( )1 1[0] exp2 2m m

m

n r r r rN r rπ σ σ

= − ⋅

2

2

1 exp( )22exp( )MODE m

at

r r

σ

πσ

σ= −

　

詳細

59

0 0 0

2

( ) ( ) ( )[1 ] [ ] ( )[0] [0] ( )[0] (ln )[0] ( ) (ln ) 1

ln( )1( ) exp2 2m

n r dr n r P rm dr m P r P r d r dr dr P r d rN r N r

r rwhere P rπ σ σ

+∞ +∞ +∞

= = ⇒ = = = = − ⋅

∫ ∫ ∫ 　　　　

　　

Coffee Break（Mathematics & Physics：単位）：Log-Normal Probability Density FunctionのAerosol Particle Size Distribution への適用（個数分布）（２）

234

0

24

30

ln( )[ ] [ ]( )[ ] [ ] exp ( )[ ]2 [0] 2 [0]ln( )( )[ ] 1 [ ] ( )[ ] exp 1[ ] [ ]2 [0] 2 [0]

m

m

r rN par m dr mn r par m dr m n r dr Nr m

r rn r par m dr m n rdr m drN par m r m N

π σ σ

π σ σ

+∞

+∞

= − ⇒ = ⋅ = − ⇒ = ⋅

∫∫

・確率は無次元量。

・確率密度関数は積分すると１になる有次元量で、単位は積分変数の逆数。

・Aerosol Particle Size Distributionでは無次元の確率密度関数を用いる。→以下の（１）or（２）　この表記では正規分布のように中央値（Median）と最頻値（Mode）が一致する。

確率密度関数[1/m]確率[0]

Aerosol Size Distributionは無次元の確率密度関数を用いる（１）

233

0

ln( )[ ]( ) (ln ) ( )[ ] exp2 2mr rN par mP r d r N where P r par m

π σ σ

+∞ = = − ⋅ ∫ 　　又は左式の確率密度関数を用いる（２）

詳細

60

rm=1umσ=1rσ=2.72um

2ln( )1( ) exp2 2( ) ( ) (ln )

( ) (ln( )

mr rP r

n r dr P r d rN

dNP r d rN

π σ σ

= − ⋅ =

=

・半径0.2um～0.3umにある粒子の確率は約0.15×(0.3-0.2)/0.25≒0.06・半径1um～1.5umにある粒子の確率は約0.38×(1.5-1)/1.25 ≒0.15・半径3.2um～5umにある粒子の確率は約0.15×(5-3.2)/4 ≒0.07

Coffee Break: Log-Normal Probability Density Functionの　　　　　　　　　　　　　　　Aerosol Particle Size Distribution への適用（個数分布）（３）

r[m]

Log-Normal分布の確率は見た目の

面積に比例する

(ln( )dN d rN

詳細

11

61

( ) ( )( )

( )

22 2

2 2

22 23

ln( )( )[1 ] ( ) ( ) exp2 2( )[1 ] 4 ( ) 4 ( )

ln( )4 8( )[1 ] ( ) ( ) exp3 9 2

m

m m

mm m

r rNTCS r m dr r n r dr r r r dr

TS r m dr r n r dr TCS r dr

r rNTV r m dr r n r dr r r r dr

ππ

σ σ

π

ππ

σ σ

= = − = = ×

= = −

Coffee Break:Aerosol の断面積、表面積、体積の分布

r／rm r／rm

σ=1 σ=1

TCS(r

) ／N rm

TV(r)

／N

( rm)^2

TCS(r )：Total Aerosol Cross Sectional Area Probability Density per Unite VolumeTS(r )：Total Aerosol Surface Area Probability Density per Unite VolumeTV(r )：Total Aerosol Volume Probability Density per Unite Volume

ピークが右に行く

詳細

62

( )

4 3 3 3 4

22 2

4( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]3ln( )8( ) ( )exp9 2

mm m

TM r kg m dr r kg m r m n r par m dr

r rNr r r r dr

ρ π

πρσ σ

= = −

Coffee Break:Aerosol の質量分布

TM(r )：Total Aerosol Mass Probability Density per Unite Volume

Average Mass Density around Radius of r

詳細

63

まとめ（光散乱）

2 )

) ( ,

, ))

)

(

) ) )

, , , , ( )

)

,

G

S

G S

a rn

N

S a

Q P

n r

S Q n r

π

θ ϕ

ε µ σ

ε µ σ

→ →

⇓

=→

⇓

→

光散乱粒子

・形状全て等価球体と考える半径(

・物性：誘電率( 、透磁率( 、伝導率( 、屈折率(

　　　　　　　

・、を求める

　　　　　　　

・同一の粒子の時の散乱光は倍する

・異径、異種のの時は各々で積分する

注）多くの場合は逆問題を解く事になる

　　散乱光の計

幾何学的断面積(

散乱効率( 位相関数

粒子分布

測等を求める

Single Scattering

Multiple Scattering物理現象に合わせて各種Modelを作る

64

参考資料

（光散乱）

65

目的・概要目的・概要目的・概要目的・概要目標目標目標目標呼名呼名呼名呼名

重要重要重要重要

物理量物理量物理量物理量

航空機、船舶

RADARRADARRADARRADAR

RAdio Detection And Ranging

レーダ反射

断面積

地上物体

上空物体

LRFLRFLRFLRF

Laser Range Finder

反射率

・大気に浮かぶ微粒子（分子、エアロゾル等）に

　レーザを照射し微粒子からの散乱光を検知

・微粒子の特性、種類、濃度等を計測する

大気中に漂う

微粒子

LIDARLIDARLIDARLIDAR

LIght Detection And Ranging

散乱断面積等

・大気中に浮かぶ蛍光微粒子（分子、エアロゾル等）に

　レーザを照射励起し微粒子から発する蛍光を検知

・微粒子の特性、種類、濃度等を計測する

大気中に漂う

蛍光微粒子

・大気圏外の蛍光物質（Ｎａ層）に当て大気ゆらぎの

　Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ光とする

地上１００ｋｍにある

蛍光Ｎａ層

・目標物の方位と距離を測定

・電磁波（マイクロ波、レーザ光）を照射し目標物からの

　反射信号の到達時間により探知測的する

LIFLIFLIFLIF

Laser Induced Fluorescence

蛍光断面積等

リモートセンシングの概要：Introduction to Remote Sensing

：本資料で記載した分野

66

散乱のまとめ

・Micro→Macro的方法（良く行われている方法）　　１）散乱体の密度が薄い、あるいは、散乱断面積が小さい（大気分子散乱等）。

　　２）従って１回散乱と考えて良い。

　　３）粒子は球体と考える。

　　４）１個の粒子の散乱断面積、微分散乱断面積等を計算により求める。

　　　　　　（ Rayleigh and Mie Scattering Theory）　　５）N個の粒子の時はそれらの量をN倍する。　　６）粒子密度、粒径分布等は他の方法での値を使用する。

　　７）現在では合うか合わないかは別にして、殆ど計算で済む話。

・多重散乱

　１）基本を知った上で測定する。

・実際

　１）基本を知った上で測定する。

12

67

( ) [ ]2

2

4

[ ] , , ( , ) ( , , ), ,( , , )[0] ( , , , )[1 ] ( )[ ]

( , , , ) 1

S S

S G

d m sr F PC where PC PC phy sphere aQ phy a P phy a sr S a m

where P phy a dπ

σ λ θ ϕ ε µ σλ λ θ

λ θ ω

= =

≈ ⋅ ⋅

=∫　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　

4( )[ ]n r par m dr

微分散乱断面積等の一般的な表現：MicroからMacroへ話を進めるやり方

( )2

2

[ ] ,( , , )[0] ( )[ ]

A A

A G

m F PCQ phy a S a m

σ λλ

=

≈ ⋅　　　　

{ }2

42

[ ] ( , , ) ( , , , ) ( )

( , , )[0] ( )[ ]S S G

S G

m d Q phy a P phy a S a

Q phy a S a mπ

σ ω λ λ θ

λ

=

= ⋅

∫　　　　

{ } { }2 2 4[1 ] [ ] ( [ ] [ ]) ( )[ ] ( ) ( ) ( )MAX MAX

MIN MIN

r r

E S A S A Gr r

m dr m m m n r par m dr Q Q S r n rα σ σ= + × = + ×∫ ∫

変数分離可と仮定

単体散乱体（半径=a）　　（Micro的検討）

粒子の分布関数

体積散乱体（半径=r）　（Macro的検討）

注）微分吸収断面積は定義出来ない

粒子関数=（粒子物性値、球状、粒子Size）

2( )GS a aπ=

散乱断面積

微分散乱断面積

吸収断面積

消散係数

( )2[ ] , , ( , )( , , ) ( , , , ) ( )

SB S

S G

d m sr F PCQ phy a P phy a S a

θ πσ λ π ϕ

λ λ π

⇒

=

≈

・

・

　　

参考）微分後方散乱断面積

（a→r）とする

詳細

68

2

22

4 0 03

4

2

4

2

4

3( )[1 ] (1 cos ( ))163( ) (1 cos ( )) sin 116

sin , sin(3 ) 3sin 4sin4

4cos 316(1 cos ) 3

P sr

P d d d

d d d

d

d

d

π π

π

π

π

π

θ θπθ ω θ ϕ θ θπ

ω θ θ ϕ θ θ θω π

θ ω π

θ ω π

= + = + =

= = −=

=

+ =

∫ ∫ ∫

∫∫∫

　　　　

Coffee Break：Mathematics詳細

69

ＥＮＤ

coffee break1 （放射、測光、測色、観測者の関係） 視覚 光散乱： optical...

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