coloridas variantes a la teoría de ramsey132.248.196.6/images/coloquio/colmor.pdf · teorema (van...

Coloridas variantes a la Teorıa de Ramsey

Amanda Montejano

UMDI Facultad de Ciencias, UNAM Juriquilla

Coloquio del Posgrado Conjunto en Ciencias Matemticas de laUNAM-UMSNH

Morelia, 17 de agosto

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1 Teorıa de Ramsey

Resultados clasicos

2 Variantes

teorıa anti-Ramsey

teorıa de suma-cero

y mas...

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Un poco de historia

____________________________________________

F. P. Ramsey (1903 - 1930)

l1930

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Un poco de historia

____________________________________________

F. P. Ramsey (1903 - 1930)I. Schur (1875 -1941)

B. L. Van ser Waerden (1903 -1996)

l l l l1916 1927 1930 1935

P. Erdös (1913 -1996)

G. Szekeres (1911 -2005)

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Un poco de historia

____________________________________________

F. P. Ramsey (1903 - 1930)I. Schur (1875 -1941)

B. L. Van ser Waerden (1903 -1996)

l l l l1916 1927 1930 1935

P. Erdös (1913 -1996)

G. Szekeres (1911 -2005)

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Teorıa de Ramsey

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Ejemplito

x + y = z es soluble en {1, 2, 3, 4, 5}

¿Sera cierto que tal propiedad se preserva bajo 2-particiones?

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Ejemplito

x + y = z es soluble en {1, 2, 3, 4, 5}


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Ejemplito

x + y = z es soluble en {1, 2, 3, 4, 5}


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Coloraciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Dado un conjunto, X una k-coloracion de X es:

una funcion f : X → {1, 2, ..., k}

una particion X = X1 ∪ X2 ∪ ... ∪ Xk , Xi := f −1(i)

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Coloraciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Dado un conjunto, X una k-coloracion de X es:

una funcion f : X → {1, 2, ..., k}

una particion X = X1 ∪ X2 ∪ ... ∪ Xk , Xi := f −1(i)

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La teorıa de Ramsey es el estudio

de la preservacion de propiedades

bajo particiones de conjuntos.

La teorıa de Ramsey es el estudio

de la existencia de estructuras

monocromaticas en universos coloreados.

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Teorema (Schur 1916)

Para todo entero positivo k existe un mınimo entero positivo S(k) tal quetoda k-coloracion de [n] = {1, 2, ..., n}, con n ≥ S(k), contiene unasolucion monocromatica de x + y = z.

S(2) ≥ 5 k = 4

S(2) = 5, S(3) = 14, S(4) = 45 ¡Unicos valores exactos!

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S(2) ≥ 5

k = 4


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S(2) ≥ 5 k = 4


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S(2) ≥ 5 k = 4


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S(2) ≥ 5 k = 4


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S(2) ≥ 5 k = 4


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Teorema (van der Waerden, 1927 (version infinita))

Toda coloracion finita de Z+ contiene una progresion aritmeticamonocromatica arbitrariamente larga.

Una progresion aritmetica es un conjunto de enteros de la forma

{a, a + d , a + 2d , ...a + (t − 1)d}

Teorema (van der Waerden, 1927 (version finita))

Para cualesquiera enteros positivos k, t existe un mınimo entero W (k, t)tal que toda k-coloracion de [n] = {1, 2, ..., n}, con n ≥W (k , t), contieneuna AP(t) monocromatica.

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{a, a + d , a + 2d , ...a + (t − 1)d}



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{a, a + d , a + 2d , ...a + (t − 1)d}



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Otros teoremas clasicos que mencionarEl teorema de Rado (1933-36)

Caracteriza las matrices racionales A, tales que el sistema Ax = 0 contiene

una solucion monocromatica en toda k-coloracion de [n].

El teorema de Hales-Jewett (1963)

U = C nt = {x1 x2 ... xn : xi ∈ {0, 1, ...t−1}}

estructura: lıneas combinatorias

El teorema de Ramsey (1930)

U = E (Kn)

estructura: Km

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U = C nt = {x1 x2 ... xn : xi ∈ {0, 1, ...t−1}}



U = E (Kn)

estructura: Km

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U = C nt = {x1 x2 ... xn : xi ∈ {0, 1, ...t−1}}



U = E (Kn)

estructura: Km

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Variantes

f : U → {c1, c2, . . . , ck}⊆ Γ

Teorıa de Ramsey: estructuras monocromaticas.

Teorıa anti-Ramsey: estructuras heterocromaticas.

Teorıa de Ramsey de suma-cero: estructuras de suma-cero.

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Variantes

f : U → {c1, c2, . . . , ck}⊆ Γ




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Variantes

f : U → {c1, c2, . . . , ck} ⊆ Γ




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Teorıa anti-Ramsey

¿Como serıa una version anti-Ramsey del teorema de vdW?

Toerema de van der Waerden para k = t = 3

Si n es suficientemente grande entonces toda 3-coloracion de [n] contieneuna AP(3) monocromatica.

1 n 2n-1

Teorema (Jungic, Radoicic, 2003)

Toda 3-coloracion equipartita de [3n] contiene una AP(3) heterocromatica.

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Teorıa anti-Ramsey




1 n 2n-1



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Teorıa anti-Ramsey




1 n 2n-1



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Ejemplos de resultados de tipo anti-Ramsey (aritmeticos)

Theorem (Alekseev, 1987)

Toda 3-coloracion equipartita de [3n] contiene una solucionheterocromatica de x + y = z.

Theorem (Jungic, Radoicic, 2003)

Toda 3-coloracion equipartita de [3n] contiene una una AP(3)heterocromatica.

Theorem (Fox, Mahdian, Radoicic, 2008)

Toda 4-coloracion equipartita de [4n] contiene una solucionheterocromatica de x + y = z + w.

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Analogo anti-Ramsey al teorema de Rado

Teorema (De Loera, La Haye, M, Oliveros, Roldan-Pensado, 2016)

Una mariz racional A es regular heterocromatica si y solo si existe unvector en el ker(A) con entradas enteras positivas, y toda sub-matriz de Aobtenida de borrar dos columnas tiene el mismo rango de A.

A es k-regular heterocromatica, si toda k-coloracion equipartita de[kn] contiene una solucion heterocromatica de Ax = 0.

A is regular heterocromatica si es k-regular heterocromatica para ksuficientemente grande. El mınimo k tal que A es k-regularheterocromatica (si es que existe) se denota por r(A).

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¿Que mas podemos hacer?

1 Estimar r(A) para matrices particulares.

2 Mejorar la condicion equipartita.

3 Cambiar el universo de estudio.

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Colorear grupos

Oriol Serra

U =G abeliano

estructura: AP(3)

Mario Huicochea

U =Zp

estructura: ax + by + cz = d

Herramienta: Teoremas inversos de la Teorıa Aditiva de Numeros

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Colorear con grupos

f : U → {c1, c2, . . . , ck} ⊆ Γ

Γ = Zk (Teorema de Erdos-Ginzburg-Ziv, constante de Daventport)

Γ = Z

{−d , . . . , 0, . . . , d}︷︸︸︷adef

¿Bajo que condiciones f : U → Z contiene una sub-estruc de suma-cero?

abcdefg︸︷︷︸∑

e∈U f (e) = 0

o |∑

e∈U f (e)| < q

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Colorear con grupos

f : U → {c1, c2, . . . , ck} ⊆ Γ


Γ = Z

{−d , . . . , 0, . . . , d}︷︸︸︷adef



e∈U f (e) = 0

o |∑

e∈U f (e)| < q

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Colorear con grupos

f : U → {c1, c2, . . . , ck} ⊆ Γ


Γ = Z

{−d , . . . , 0, . . . , d}︷︸︸︷adef



e∈U f (e) = 0

o |∑

e∈U f (e)| < q

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Colorear con grupos

f : U → {c1, c2, . . . , ck} ⊆ Γ


Γ = Z

{−d , . . . , 0, . . . , d}︷︸︸︷adef



e∈U f (e) = 0

o |∑

e∈U f (e)| < q39 / 47

Teorıa de Ramsey de suma-cero

Existira un analogo al teorema de van der Waerden para Z-coloraciones?

efg︸︷︷︸{−1, 0, 1} or {−1, 1}

+ − − + + − + − + + − + − − − − + + − + + − + − +−

Given a positive even integer t, it is true that for sufficiently large n, anyzero-sum f : [n]→ {−1, 1} contains a zero-sum AP(t) ?

SI Adriana Hansberg, Yair Caro

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Existira un analogo al teorema de van der Waerden para Z-coloraciones?efg︸︷︷︸

{−1, 0, 1} or {−1, 1}

+ − − + + − + − + + − + − − − − + + − + + − + − +−



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{−1, 0, 1} or {−1, 1}

+ − − + + − + − + + − + − − − − + + − + + − + − +−



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{−1, 0, 1} or {−1, 1}

+ − − + + − + − + + − + − − − − + + − + + − + − +−



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{−1, 0, 1} or {−1, 1}

+ − − + + − + − + + − + − − − − + + − + + − + − +−



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Mas variantes... al estilo de la teorıa extremal de graficas

Teorema (Mantel, 1907)

Si G = (V ,E ) satisface |E | > 14 |V |

2 entonces G contiene un triangulo.

Conjetura

If G = (V ,E ) is a k-edge-coloured graph with colouring E = tki=1Ei and|Ei | ≥ 1

4k−2 |V |2 holds for 1 ≤ i ≤ k , then G contains a

non-monochromatic triangle.

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Mas variantes... al estilo de la teorıa extremal de graficas

Teorema (Mantel, 1907)

Si G = (V ,E ) satisface |E | > 14 |V |

2 entonces G contiene un triangulo.

Conjetura

If G = (V ,E ) is a k-edge-coloured graph with colouring E = tki=1Ei and|Ei | ≥ 1

4k−2 |V |2 holds for 1 ≤ i ≤ k , then G contains a

non-monochromatic triangle.

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Proyecto actual


U = Cnt = {x1 x2 ... xn : xi ∈ {0, 1, ...t − 1}}

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Gracias por su atencion

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