commande numérique des systèmes 2ème partie
TRANSCRIPT
Commande Numérique des Systèmes 2ème partie
Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg 2ème année
Jacques GANGLOFF Et
Michel de MATHELIN
Programme de la deuxième partie
• Synthèse des correcteurs numériques – Objectifs (rappels) – Transposition à partir du continu (rappels et compléments) – Placement des pôles dominants – Prédicteur de Smith – Commande avec modèle interne – Synthèse algébrique : correcteurs RST – Analyse de la robustesse et des performances
• E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2003.
• R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.
• E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2004.
• M. Rivoire et J.-L. Ferrier, Commande par calculateur et identification. Eyrolles, Paris, 1997.
Bibliographie – ouvrages en français
• K. Aström and B. Wittenmark, Computer controlled systems : theory and design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984, 1990.
• G. Franklin, J. Powell, and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamic systems. Addison Wesley, Wokingham, 1988.
• G. Franklin, J. Powell, and L. Workman, Digital control of dynamic systems. Addison Wesley, Wokingham, 1989.
• T. Kailath, Linear Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.
• B. Kuo, Automatic control systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1991.
• B. Kuo, Digital control systems. Harcourt Brace & Jovanovich, Orlando, 1992.
• K. Ogata, Modern control engineering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1990.
Bibliographie – ouvrages en anglais
1 Objectifs – rappels (1)
• Asservissement numérique d’un système continu
Synthèse des correcteurs numériques
C(z) G(s) r(k)
v(t)
u(k) y(t)
ym(k)
du(t) dy(t) e(k)
- BOZ
H(s) Te
G(s) Fonction de transfert du système H(s) Fonction de transfert du capteur r Signal de consigne ou de référence u Signal de commande y Signal de sortie (grandeur à réguler) ym Mesure de la sortie
F(z)
du Perturbation d’entrée dy Perturbation de sortie v Bruit de mesure C(z) Correcteur F(z) Préfiltre e Erreur d’asservissement
Régulateur numérique Capteur
Système
1 Objectifs – rappels (2)
• Objectifs de la synthèse: Stabilité:
– Le système en boucle fermée est stable Performance:
– Suivre les variations de la consigne – Comportement en boucle fermée conforme à un
modèle – Rejeter les perturbations et le bruit
Robustesse: – Conservation de la stabilité et des performances
malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques non modélisées, non linéarités, incertitudes paramétriques, …)
Synthèse des correcteurs numériques
1 Objectifs – rappels (3)
• Outils pour la synthèse: Stabilité:
– Critère de Jury – Critère de Nyquist
Performance: – Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle
fermée) – Calcul des erreurs en régime permanent – Simulation (vérification a posteriori)
Robustesse: – Marges de stabilité (diagramme de Nyquist) – Simulation (vérification a posteriori)
Synthèse des correcteurs numériques
1 Objectifs – rappels (4)
• Méthodes simples pour la synthèse (monovariable): – Transposition de correcteurs continus – Utilisation de PID – Autoréglage – Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état) – Modèle interne – Méthodes algébriques (RST)
• Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable): – Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur
l’erreur d’asservissement et la commande – Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les
incertitudes pour la stabilité et la performance – Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéaires du
système à asservir
Synthèse des correcteurs numériques
2 Transposition à partir du continu (1)
• Principe: 1. Synthèse d’un correcteur continu 2. Le correcteur numérique est obtenu par approximation de
la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide d’équations aux différences. La façon la plus courante est de procéder à une transformation bilinéaire (Tustin transformation) par le changement de variable :
Synthèse des correcteurs numériques
112
+−→zz
Ts
e
2 Transposition à partir du continu (2)
• Approximation bilinéaire (homographique):
Synthèse des correcteurs numériques
Conserve la stabilité et la forme de la réponse en fréquence
Dans la littérature anglo-saxonne: Tustin’s approximation
112
+−→zz
Ts
e
•
Plan s Plan z
• 1
)112()(
+−==zz
TsCzC
ec
2 Transposition à partir du continu (3)
• Conclusions: 1. La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de
correcteur analogique sur la base du modèle du système qui est également continu.
2. La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le déphasage introduit par celui-ci dans la boucle d’asservissement.
3. Les performances du correcteur numériques seront au mieux celles du correcteur analogique.
4. Les performances du correcteur numérique se rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur analogique que la période d’échantillonnage est petite.
Synthèse des correcteurs numériques
3 Prise en compte du bloqueur (1)
• Principe: 1. La transmittance échantillonnée du système ouvert avec
le bloqueur est calculée (fonction de transfert en z ). 2. Une transformation bilinéaire (transformation en w ) est
appliquée à cette transmittance échantillonnée pour obtenir une fonction transfert continue du système ouvert avec bloqueur.
3. Une synthèse de correcteur analogique est réalisée sur cette fonction de transfert continue.
4. Une transformation bilinéaire est appliquée au correcteur analogique synthétisé pour obtenir le correcteur numérique.
Synthèse des correcteurs numériques
3 Prise en compte du bloqueur (2)
1. Calcul de la transmittance échantillonnée du système ouvert :
2. Transformation bilinéaire :
Synthèse des correcteurs numériques
G(s) u(t) BOZ
Te
G(z)
u(k) y(k)
112
212
1
+−=⇔
−
+=
zz
Tw
wT
wT
zee
e
)
21
21
()(wT
wT
zGwGe
e
c
−
+==
Conservation de la stabilité
3 Prise en compte du bloqueur (3)
2. Transformation bilinéaire (suite) :
Synthèse des correcteurs numériques
')2
tan(22112
22
22ωωωω
ωω
ω
ω
jTTj
ee
eeTe
eT
w e
eTjTj
TjTj
eTj
Tj
eee
ee
e
e
==+
−=+−=
−
−
•
Plan w Plan z
• 1
si z est sur le cercle unité alors
• •
Conservation de la forme de la réponse en fréquence
)()'( eTjc eGjG ωω =
eTje ω
'ωj
3 Prise en compte du bloqueur (4)
3. Synthèse d’un correcteur analogique :
4. Transformation bilinéaire :
Synthèse des correcteurs numériques
wT
wT
zzz
Tw
e
e
e
212
1
112
−
+=⇔
+−=
)112()(
+−==zz
TwCzC
ec
Conservation de la stabilité et de la forme de la réponse en fréquence
Cc(w) Gc(w) La réponse en fréquence désirée doit prendre en compte la transformation des abscisses
Quizz N°1 : 5 minutes
• https://goo.gl/yQNwdW
4 Placement des pôles dominants
Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée
Synthèse des correcteurs numériques
enen TjTnn eezjs ωξξωωξξω
212,1
22,1 1 −±−=→−±−=Pôles dominants:
pôles dominés
constante nξω
constante ξ
pôles dominants
5 Le prédicteur de Smith (1)
Synthèse particulière dans le cas des systèmes avec un retard important
Synthèse des correcteurs numériques
)(
)()1( 1
zGzssGZzz
d
d
−
−−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=
Nombre de pôles important et déphasage important
Correcteur e-Ts G(s) r(k) u(k) y(t)
ym(k)
e(k)- BOZ
Te
Fonction de transfert du système (boucle ouverte): avec
eTTd =
5 Le prédicteur de Smith (2)
Principe: Asservir la sortie d’un modèle sans retard (prédicteur)
Synthèse des correcteurs numériques
C(z) e-Ts G(s) r(k) u(k) y(t)
em(k)
- BOZ
Te -
G(z) z-d - yp(k)
)(kyp est la prédiction de la sortie future : ))(( eTdky +
correcteur numérique
)(kem est renvoyé sur l’entrée pour compenser les perturbations et les erreurs de modèle
5 Le prédicteur de Smith (3)
Schéma équivalent:
Synthèse des correcteurs numériques
C(z) e-Ts G(s) r(k) u(k) y(t)
- BOZ -
(1-z-d)G(z)
)()()1(1)(
)()(
zGzCzzC
zEzU
d−−+=
Le correcteur C(z) est synthétisé sur le système sans retard
Te
e(k)
)()(1)()(
)()(
zGzCzGzCz
zRzY d
+=
−
)()(1)()(
)()(
zGzCzGzC
zRzYp
+=
Quizz N°2 : 5 minutes
• https://goo.gl/OLtCii
6 Commande avec modèle interne (1)
Principe: Rétroaction de l’écart entre le système et un modèle
Synthèse des correcteurs numériques
Correcteur Système stable
r(k) u(k) y(t)
em(k)
BOZ
Te -
Modèle -
Si le modèle est parfait et s’il n’y a aucune perturbation, le signal de contre-réaction est nul
correcteur numérique
ym(k)
Si le correcteur est stable le système bouclé est stable
6 Commande avec modèle interne (2)
Schéma-bloc:
Synthèse des correcteurs numériques
C(z) G(s) r(k) u(k) y(t)
em(k)
BOZ
Te -
Gm(z) -
Soit stable et
correcteur numérique
ym(k)
p(t)
G(z) = (1− z−1)Z G(s)
s⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
{ })()( sPZzP =
e(k)
( )( ))()()()()(1
1)( zPzRzGzGzC
zEm
−−+
=
Equivalence avec un correcteur série classique: Hypothèse du modèle parfait:
6 Commande avec modèle interne (3)
Synthèse des correcteurs numériques
F(z) = C(z)
1−C(z)Gm(z)⇔ C(z) = F(z)
1+ F(z)Gm(z)
( ) ( ) )()()()(1
)()(1)()()()(1
)()()( zPzGzGzC
zGzCzRzGzGzC
zGzCzYm
m
m −+−+
−+=
)()()()()( zPzEzGzCzY +=
)()()(1
1)()()(1)()()( zP
zGzFzR
zGzFzGzFzY
++
+=
Soit
)()( zGzGm = )())()(1()()()()( zPzGzCzRzGzCzY −+=
Si le correcteur est stable le système bouclé est stable
6 Commande avec modèle interne (4)
Synthèse des correcteurs numériques
)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC
Principes pour la synthèse du correcteur: A. Hypothèse du modèle parfait
où GI(z) est la partie inversible de G(z) et GNI(z) est la partie non inversible contenant les retards et les zéros non compensables
)()()()( zGzGzGzG NIIm ==
)())()(1()()()()( zPzGzQzRzGzQzY NINI −+=
Le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées
6 Commande avec modèle interne (5)
Synthèse des correcteurs numériques
)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC
Principes pour la synthèse du correcteur (suite): B. Cas général du modèle imparfait
où GI(z) est la partie inversible de Gm(z) et GNI(z) est la partie non inversible
)()()()( zGzGzGzG NIIm ≠=
( ) ( ) )()()()()(1
)()(1)()()()()(1
)()()( 11
1
zPzGzGzGzQ
zGzQzRzGzGzGzQ
zGGzQzYNII
NI
NII
I
−+−+
−+= −−
−
En pratique, si Q(z) est un filtre passe-bas, de fréquence de coupure suffisamment petite alors le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées
6 Commande avec modèle interne (6)
Synthèse des correcteurs numériques
Règles standards pour la synthèse du correcteur: Soit avec zi les zéros à partie réelle positive à l’intérieur du cercle unité
zj les zéros à partie réelle positive à l’extérieur du cercle unité zk les zéros à partie réelle négative
nrqpmpzz
zzzzzzgzG n
ii
r
q
kk
p
jj
m
ii
m +<++−
−−−=
∏
∏∏∏
=
=== avec)(
)()()()(
1
111
∏ ∏
∏
= =
=
−−
−= m
i
p
j ji
q
n
iic
zzzzz
pzgzQzC
1 1
1
)1()(
)()()( avec
10
)1()(
)1()1( 1
<<−−=
= −
ααα
zzzQ
GC m
7 Synthèse algébrique (1)
Synthèse des correcteurs numériques
7.1 Le correcteur RST: A. Schéma avec 1−z
yr(k) u(k) y(k)
du(k) dy(k) e(k)
- )( 1−zT)(
11−zS
)( 1−zR
)(zG
)(),(),( 111 −−− zTzSzR polynômes en
et )( 1−zS monique 1)0( =S
Soit
1)()()( 1
1
≥
= −
−−
dzAzBzzG
d
avec 1−z)(),( 11 −− zAzB polynômes en
premiers et )( 1−zA monique 1)0( =A
7 Synthèse algébrique (2)
Synthèse des correcteurs numériques
B. Equations du système bouclé
)()()()(
)()()(
)())()(()()()(
1
1
1
1
1
1
zYzSzRzY
zSzTzU
zYzUzUzAzBzzY
r
d
−
−
−
−
−
−−
−=
++= δδ (1)
(2)
)()()()(
)()()()(
zYBRzAS
ARzUBRzAS
BRzzYBRzAS
ATzU
zYBRzAS
ASzUBRzAS
BSzzYBRzAS
BTzzY
dd
d
rd
dd
d
rd
d
δδ
δδ
−−
−
−
−−
−
−
−
+−
+−
+=
++
++
+= (3)
(4)
7 Synthèse algébrique (3)
Synthèse des correcteurs numériques
C. Objectifs de la synthèse 1. Le suivi de consigne obéit au modèle suivant:
)()()( 1
1
−
−−
=zAzBzzM
m
md
τααeT
m ezzA−−− =−= avec1)( 11
avec 1)1( =M )1()1( mm AB =
l’erreur de position est nulle
Exemples de modèle: Modèle d’ordre 1 de constante de temps t:
Modèle d’ordre 2 de pulsation naturelle wn et de facteur d’amortissement x: 22211 1avec)cos(21)( ξωβααβα ξω −==+−= −−−−
enT
m TezzzA en
)()()()( zYABzzMYzY
BRzASBTzzY r
m
md
rrd
d −
−
−
==+
= (5)
et )( 1−zAm monique 1)0( =mA
7 Synthèse algébrique (4)
Synthèse des correcteurs numériques
C. Objectifs de la synthèse (suite) 2. Rejet des perturbations d’entrée:
3. Rejet des perturbations de sortie:
Rejet des perturbations:
111)( −−
=z
zUδ )()1()( 11
11 −−− −= zSzzSPerturbation constante:
)()( zUBRzAS
BSzzY d
d
δ−
−
+=
21
1
)1()( −
−
−=
zzTzU eδ )()1()( 1
1211 −−− −= zSzzSPerturbation rampe:
)()( zYBRzAS
ASzY d δ−+=
Perturbation constante:
Perturbation rampe:
)()()1()()( 11
11
111 −−−−− −= zSzAzzSzA
)()()1()()( 11
11
2111 −−−−− −= zSzAzzSzA
)()1()(que tel 11
11 −−− −=∃ zSzzSp p (6)
7 Synthèse algébrique (5)
Synthèse des correcteurs numériques
D. Compensation des pôles et des zéros 1. Compensation des zéros:
)()()( 111 −−−+− = zBzBzB
m
md A
BBRzAS
BT =+ −
)( 1−+ zB
)()()1()()()( 12
1110
11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p
cf. (5)
Soit
avec monique contient les zéros que l’on souhaite compenser
1)0( =+B
)( 1−− zB contient les zéros que l’on ne souhaite pas compenser (zéros en dehors du cercle unité, zéros à partie réelle négative, …)
(7)
)()()()(0
0
0
0
0
zYRBzAS
ASzURBzAS
BSzzYRBzAS
TBzzY dd
d
rd
d
δδ −−−−
−
−−
−−
++
++
+=
7 Synthèse algébrique (6)
Synthèse des correcteurs numériques
D. Compensation des pôles et des zéros (suite) 2. Compensation des pôles:
)()()( 111 −−−+− = zAzAzA
m
md A
BRBzAS
TB =+ −−
−
0
)( 1−+ zA
)()()()()()( 10
1110
11 −−+−−−+− == zTzAzTzRzAzR
cf. (5) et (7) Soit
avec monique contient les pôles que l’on souhaite compenser
)( 1−− zA monique contient les pôles que l’on ne souhaite pas compenser (pôles en dehors du cercle unité, pôles sur le cercle unité, …)
(8)
)()()(
)()(00
0
00
0
00
0 zYRBzSA
SAzURBzSAA
BSzzYRBzSA
TBzzY dd
d
rd
d
δδ −−−
−
−−−+
−
−−−
−−
++
++
+=
et
7 Synthèse algébrique (7)
Synthèse des correcteurs numériques
E. Calcul du correcteur RST
m
md A
BRBzSA
TB =+ −−−
−
00
0
)()()( 10
110
−−+− = zAzBzT m
cf. (5), (6), (7) et (8)
mB
(10)
doit contenir −B +−= mm BBB (9)
m
md A
BRBzSA
T +
−−− =+ 00
0
)()()()()()()1( 10
110
112
11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp (11)
Equations diophantiennes
avec monique et stable, ajouté pour le filtrage des perturbations 0A
)()1()( 12
110
−−− −= zSzzS p
Suivi de consigne Rejet de perturbation
7 Synthèse algébrique (8)
Synthèse des correcteurs numériques
F. Résolution des équations diophantiennes
)()()()()()()1( 10
110
112
11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp
020 ,, TSR
{ } 1)(deg 12 −=− mzS
{ }{ }{ })()(deg
)(deg)()1(deg
10
1
1
11
−−
−−−
−−−
==
−=
zAzAqzBzm
zAzn
m
d
p
mnq +<• Si alors il existe une solution unique d’ordre minimal telle que et
Soit
{ } 1)(deg 10 −=− nzR
Cf. (11)
(11) est une équation polynomiale d’ordre n+m-1 avec n+m coefficients inconnus
système de n+m équations à n+m inconnues
7 Synthèse algébrique (9)
Synthèse des correcteurs numériques
F. Résolution des équations diophantiennes (suite)
{ } 1)(deg 12 −=− mzS
mnq +≥• Si alors il existe deux solutions d’ordre minimal telles que :
1. et
2. et
{ } mqzR −=− )(deg 10
(11) est une équation polynomiale d’ordre q avec q+1 coefficients inconnus
système de q+1 équations à q+1 inconnues
{ } nqzS −=− )(deg 12 { } 1)(deg 1
0 −=− nzR
7 Synthèse algébrique (10)
Synthèse des correcteurs numériques
F. Résolution des équations diophantiennes (suite)
)( 12
−zS
0,, AAA m−• Comme sont moniques, en posant
dans (11), on obtient est monique
1)0(2 =S
02 , RS• Si est une solution particulière de l’équation diophantienne (11), alors est également une solution de cette équation quelque soit
−−−−−− −−+ AzzQRBzzQS pd )1)((,)( 110
12
)( 1−zQ
01 =−z
il existe une infinité de solutions d’ordre supérieur
7 Synthèse algébrique (11)
Synthèse des correcteurs numériques
G. Fonctions de transfert en boucle fermée résultantes
)()()()(0
0
0
0 zYAASAzU
AAABSzzY
ABBzzY
mm
d
rm
md
δδ−
+
−+−−
++=
+A doit être stable et de préférence amorti
)()()()(0
0
0
0 zYAAB
ARzUAARBzzY
ABABzU
mm
d
rm
m δδ +
−−
+
+
−−=
+B doit être stable et de préférence amorti
(12)
(13)
(14)
)()()()()()(0
0
0
0 zYAASAzU
AAABSzzY
ABBzAzYzYzE
mm
d
rm
md
mr δδ
−
+
−+−−
−−−=−=
7 Synthèse algébrique (12)
Synthèse des correcteurs numériques
H. Objectifs supplémentaires pour la synthèse 1. Erreur de vitesse (erreur d’ordre 1) nulle:
2. Erreur d’accélération (erreur d’ordre 2) nulle:
3. Erreur d’ordre r nulle :
avec
)(),( 10
1 −−+ zBzBm
Cf. (13)
(15)
)()()()( zYA
BBzAzYzYzE rm
md
mr
+−−−=−=
21
1
)1()( −
−
−=
zzTzY e
r )()1( 10
21 −−+−− −=− zBzBBzA md
m
Equation diophantienne
)()1( 10
31 −−+−− −=− zBzBBzA md
m
)()1( 10
)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm
dm
7 Synthèse algébrique (13)
Synthèse des correcteurs numériques
I. Récapitulatif 1. Définition des pôles et des zéros à compenser
2. Définition du modèle de suivi de consigne
)()()()(
)()()( 11
11
1
1
−−−+
−−−+−
−
−−
==zAzAzBzBz
zAzBzzG
dd
)( 1−+ zBavec monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser )( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
)( 1−+ zA monique et contenant les pôles que l’on souhaite compenser )( 1−− zA monique et contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
)()()(
)()()( 1
11
1
1
−
−+−−−
−
−−
==zA
zBzBzzAzBzzM
m
md
m
md
avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==)()1( 1
0)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA r
md
m
7 Synthèse algébrique (14)
Synthèse des correcteurs numériques
I. Récapitulatif (suite) 3. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation
4. Choix d’un filtre supplémentaire pour les perturbations
5. Résolution des équations diophantiennes
)( 10
−zA
)()1()( 11
11 −−− −= zSzzS p
1)( 10 =−zA
)()()()()()()1( 10
110
112
11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp
)()()( 10
110
−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10
12
10
−−− zTzSzR
stable et monique par défaut
avec )( 12
−zS monique
7 Synthèse algébrique (15)
Synthèse des correcteurs numériques
I. Récapitulatif (suite) 6. Calcul du correcteur RST
7. Réalisation du correcteur
!+++== −−−−+− 22
110
10
11 )()()( ztzttzTzAzT
!+++== −−−−+− 22
110
10
11 )()()( zrzrrzRzAzR
!+++=−= −−−−+−− 22
11
12
111 1)()()1()( zszszSzBzzS p
!
!!
−−−−+−++−−−−−=⇒
−= −
−
−
−
)1()()1()()2()1()(
)()()()(
)()()(
10
1021
1
1
1
1
kyrkyrkytkytkuskusku
zYzSzRzY
zSzTzU
rr
r
7 Synthèse algébrique (16)
Synthèse des correcteurs numériques
7.2 Correcteur à temps d’établissement fini: A. Système :
Soit
B. Modèle de suivi de consigne particulier:
)()()()(
)()()( 11
11
1
1
−−−+
−−−+−
−
−−
==zAzAzBzBz
zAzBzzG
dd
)( 1−+ zBavec monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser )( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
)( 1−+ zA monique et contenant les pôles que l’on souhaite compenser )( 1−− zA monique et contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
)()()()()( 11
1
1−+−−−
−
−−
== zBzBzzAzBzzM m
d
m
md
avec 1)1()1( =+−mBB
)()1()()(1 10
)1(111 −+−−+−−− −+= zBzzBzBz rm
d
1)( 1 =−zAm
et (erreur d’ordre r nulle)
7 Synthèse algébrique (17)
Synthèse des correcteurs numériques
7.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite): C. Résolution des équations diophantiennes: D. Calcul du correcteur à temps d’établissement fini:
)()()()()()1( 10
10
112
11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz dp
)()()( 10
110
−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10
12
10
−−− zTzSzR
avec )( 12
−zS monique
)()()( 10
11 −−+− = zTzAzT
)()()( 10
11 −−+− = zRzAzR
)()()1()( 12
111 −−+−− −= zSzBzzS p
7 Synthèse algébrique (18)
Synthèse des correcteurs numériques
7.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite): E. Fonctions de transfert en boucle fermée:
)()()()(0
0
0
0 zYASAzU
AABSzzYBBzzYd
rmd δδ
−
+
−+−− ++= Cf. (12)
Cf. (15) )()()()()1()()()(0
0
0
010
)1(1 zYASAzU
AABSzzYzBzzYzYzEd
rr
r δδ−
+
−−+− −−−=−=
Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Γ= )()(
11
1
)1()()( +−
−
−= nr z
zPzY )()()1()( 110
)(1 −−−−−= zPzBzzE nr
Temps d’établissement fini minimal si est minimal )( 10
−zB
ε(k) = 0 ∀k > k0 = deg (1− z−1)(r−n)B0 (z−1)P(z−1){ }
7 Synthèse algébrique (19)
Synthèse des correcteurs numériques
7.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite): F. Correcteur à réponse pile (« dead beat control »)
Cf. (14)
Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Γ= )()(
11
1
)1()()( +−
−
−= nr z
zPzY1
1111
)(1
11)()()()1()( −
−−+−−−
−−=
zzPzBzAzzU m
nr
u(k) = constante ∀k > k0 = deg (1− z−1)(r−n)A1(z−1)Bm
+ (z−1)P(z−1){ }
Temps d’établissement fini et réponse pile
)()()()(0
0
0
0 zYAB
ARzUARBzzY
BABzU
d
rm δδ +
−−
+
+
−−=
Cas particulier : si et si le système contient r intégrateurs 1)( 1 =−+ zB)()1()( 1
111 −−− −= zAzzA r
7 Synthèse algébrique (20)
Synthèse des correcteurs numériques
7.3 Correcteur série: A. Schéma
avec 1−z
yr(k) u(k) y(k)
du(k) dy(k) e(k)
- )()(1
1
−
−
zSzR )(zG
)(),( 11 −− zSzR polynômes en et )( 1−zS monique
)()( 11 −− = zTzRCorrecteur RST avec
Moins de degrés de liberté dans la synthèse du correcteur
7 Synthèse algébrique (21)
Synthèse des correcteurs numériques
7.3 Correcteur série (suite): B. Système :
Soit
C. Modèle de suivi de consigne:
)()()()(
)()()( 11
11
1
1
−−−+
−−−+−
−
−−
==zAzAzBzBz
zAzBzzG
dd
)( 1−+ zBavec monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser )( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
)( 1−+ zA monique et contenant les pôles que l’on souhaite compenser )( 1−− zA monique et contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
et (erreur d’ordre r nulle) )(
)()()()()( 1
11
1
1
−
−+−−−
−
−−
==zA
zBzBzzAzBzzM
m
md
m
md
avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==
)()1( 10
)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm
dm
7 Synthèse algébrique (22)
Synthèse des correcteurs numériques
7.3 Correcteur série (suite): D. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation et le suivi de
consigne : E. Compensation des pôles et des zéros: F. Résolution des équations diophantiennes (sans filtre supplémentaire)
)()1()( 11
11 −−− −= zSzzS p
)()()1()()()( 12
1110
11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p
)()()( 10
11 −−+− = zRzAzR
)()( 10
1 −−+ = zRzBm
)()()()()()1( 110
112
11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz mdp
20 ,SR
Le choix de est imposé +mB
)1()1()1( 0 mARB =−
0)1(1)1( BzBBzA r
md
m+−+−− −+= si p+m>r soit )()1()( 1
111 −−−−− −= zAzzA m
Marges de stabilité
• •
CG(ejωTe)
1 -1 •
cω
φ δ
g1−
g ′−1
•
Diagramme de Nyquist
Critère de Nyquist: Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejωTe) encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte
8 Robustesse (1)
Synthèse des correcteurs numériques
eTπω =
0=ω
Marges de stabilité (suite)
B. Marge de retard τ = retard qui entraîne l’instabilité
soit ωci{ } les pulsations telles que CG e jωciTe( ) =1
soit φi = π + argCG e jωciTe( )⇒ τ =min
i
φiωciTe
A. Marge de phase φ = déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)
8 Robustesse (2)
Synthèse des correcteurs numériques
Marges de stabilité (suite)
D. Marge de module δ = distance minimale entre CG(ejwTe) et -1
δ = infω∈R
1+CG(e jωTe ){ }= 1
supω∈R
11+CG(e jωTe )
⇒ δ =1S
∞
∞= norme H∞ ou L∞
C. Marges de gain g et g’ < 1 = gain qui entraîne l’instabilité
8 Robustesse (3)
Synthèse des correcteurs numériques