uv e8h commande des systèmes - …lanusse.vvv.enseirb-matmeca.fr/mre_2015_2016.pdf · uv e8h...
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-
UV E8H Commande des Systmes
AU206 - Modlisation par Reprsentation dEtat
Patrick LANUSSE [email protected] Bordeaux INP 2015/2016
Ministre de l'Enseignement
Suprieur et de la Recherche
mailto:[email protected]
-
2
Contenu
1. Motivation
2. Dfinition de ltat dun systme et de la reprsentation
dtat dun systme
3. Proprits de la matrice de transition
4. Notion de commandabilit et dobservabilit
5. Diffrentes formes de reprsentation dtat
6. Commande par retour dtat
7. Dtermination dun observateur
8. Reprsentation dtat temps discret
9. Commandes MATLAB
10. Bureau d'tude
-
3
1 - Motivation
Les modles entre-sortie de type fonction de transfert sont particulirement
adapts ltude du comportement frquentiel des systmes.
Un grand nombre doutils performants existent dans le domaine frquentiel et
permettent danalyser les systmes et de synthtiser des systmes de commande.
he(t) s(t)
j
jet
ppHH
pEpHpS
Manipulation plus dlicate dans le cas multivariable
Particularits internes caches
Conditions initiales pas prises en compte
Un peu loign de lensemble des quations fournies par la modlisation
Inapplicable aux systmes non linaires
-
4
Gnralisation au multivariable et problme de compacit
Reprsentation entre-sortie pas toujours trs commode et compacte pour des
systmes multivariables
Dans le cas linaire et condition initiale nulle on a
hej(t) si(t)
0,...,0,...,0,,...,,...,
0,...,0,...,0,,...,,...,
0,...,0,...,0,,...,,...,
11
11
1111
pimjpp
pimjii
pimj
ssstetetehts
ssstetetehts
ssstetetehts
pHpHpH
pHpHpH
pHpHpH
pH
pE
pE
pE
pE
pS
pS
pS
pSpEpHpS
pmpjp
imiji
mj
m
j
p
i
1
1
111111
et , avec
entres) ( 1
sorties) ( 1 avec
mmj
ppi
H(p) : matrice de transfert pxm
-
5
Instabilit non modlise par une reprsentation entre/sortie
Une reprsentation entre-sortie peu conduire des conclusions errones. Par
exemple dans le cas d'un systme a tat initial non nul et comportant un mode
instable a priori "compens".
e(t) s(t)
1
11
p
ppH
1
12
ppH
x(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
s(0-) = 0.1
-
6
Modle dun systme non linaire multivariable 2x1
tgmMtttmltftltmM
ttmgttmltftytmM
sincossinsin
sincossinsin
22
22
Pendule invers sur chariot
y et sont coupls
les quations diffrentielles obtenues sont non linaires
f(t)
y(t)
(t)
y(t) : position horizontale du chariot
(t) : angle du pendule par rapport la verticaleM : masse du chariot
m et l : masse et longueur du pendule
f(t) : force applique au chariot
-
7
Asservissement multivariable du pendule
f(t) [(t),y(t)]T[ref(t),yref(t)]T=[0,0]T rgulateur
multivariable
-
8
Modlisation d'un systme multi-technologique
tptpttq
tt
tftJt
ttftJtiKt
tKtf
tftvtiLtRi
pUp
KpV
ses
m
eqeqc
cmmmi
mecem
cem
ce
u
cos1
/
/
1
Prenons un moteur lectrique permettant de rgler l'ouverture d'une vanne papillon
assurant un dbit
(t)
qs(t)
(t)v(t)
i(t)
uc(t)
pe(t)
fcem(t) ps(t)
A laide de la commande uc, on souhaite :
asservir le dbit qs contrler le courant i
observer langle douverture rejeter linfluence des pressions pe et ps
-
9
Modlisation d'un systme multi-technologique (suite)
tptpttq
tfftiKJJ
t
tt
tRitKtvL
ti
tvtuKtv
ses
eq2
i
eq2
m
e
cue
cos1
1
1
1
Le systme dquations prcdent peut
tre rcrit comme un ensemble de 5
quations diffrentielles dordre 1
o :
uc est lentre de commande
qs est la sortie asservir
i et sont deux autres sorties pe et ps sont 2 entres de perturbation
v et sont deux signaux internes
qs(t)
(t)
i(t)uc(t)
pe(t) ps(t)
-
10
Reprsentation dtat dun systme dynamique
ttutxgty
ttutxfdt
tdx
,,
,,
Ltat dun systme est compos de lensemble des variables dont la
connaissance en un instant donn permet la connaissance son volution future.
La dynamique dun systme peux tre modlis par un ensemble dquations
diffrentielles du premier ordre gouvernant lvolution de son tat, ainsi que par
un ensemble dquation liant (principalement) les sorties mesures cet tat :
le vecteur dtat x (nx1) correspond aux nergies internes accumules
dans le systme
le vecteur dentre u (mx1) comporte les signaux de commande ou de
perturbation
le vecteur de sortie y (px1) comporte les signaux mesurs
x(t)y(t)u(t)
f,g,t
-
11
Extraction dun modle linaire stationnaire
.0,, 000 tuxf
Le modle dun systme peut tre non linaire et/ou non stationnaire.
Si tel est le cas, il est possible dextraire son comportement linaire stationnaire
(LTI) un instant t0 donn et autour dune position dquilibre dfinie par x0 et u0solution de :
Aux petites variations autour de x0 et u0, et donc de y0, on a :
. et , 000 yytyuutuxxtx
Autour de ce point dquilibre, le comportement linaire du systme scrit :
000000
000000
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
avec
tuxtux
tuxtux
u
ttutxgD
x
ttutxgC
u
ttutxfB
x
ttutxfA
tuDtxCty
tuBtxAdt
txd
-
12
Extraction dun modle linaire stationnaire (suite)
. et , avec
,
000 ytyyutuuxtxx
DuCxy
BuAxdt
dx
Autour dune position dquilibre x0, u0 et y0, la reprsentation dtat dun
systme scrit gnralement :
A est la matrice (nxn) dtat qui rgit lvolution de x en labsence de u
B est la matrice (nxm) de commande qui traduit leffet de u sur ltat x
C et D sont les matrices (pxn) et (pxm) de sortie, D traduisant leffet direct de u
sur y
u(t) y(t)x(t)
A
B C
D
++ tx
pmn y
y
y
u
u
u
x
x
x 111
-
13
Application : Systme multi-technologique
tptppp
tpptq
tfftiKJJ
t
tt
tRitKtvL
ti
tvtuKtv
se
0s0e
00s0e0s
eq2
i
eq2
m
e
cue
2
cos1sin
1
1
1
Autour du point dquilibre dfini par
0s0e00s
0
0
0
0s
0e
0c
0
0
0
0
0
0
cos1
0
0
0
0
0
ppq
iy
p
p
u
ui
v
x
Le processus de
linarisation conduit
qs(t)
(t)
i(t)uc(t)
pe(t)
ps(t)
-
14
Systme multi-technologique (suite)
0s0e
0
0s0e
00s0e0
e
u
eq2
m
eq2
eq2
m
i
e
e
2
cos1
2
cos10
000
000
0sin00
0010
0100
000
000
000
00
00
1000
01
01
avec ,
pppp
D
pp
C
K
B
JJ
ff
JJ
K
L
K
L
R
LA
DuCxy
BuAxdt
dx
et
tq
ti
t
y
t
t
ti
tv
x
tp
tp
tu
u
ss
e
c
La reprsentation dtat linaire du systme est donne par qs(t)
(t)
i(t)uc(t)pe(t)
ps(t)
-
15
Application : Modlisation dun systme RLC
21 R
tv
dt
tdvCti
R
tvte
dt
tdiLtv
Mise en quation :
v
ix
uxy
u
CR
x
CRCRC
Lx avec
010
10
111
10
121
Modle dtat :
Ce L
R1
R2
i
v
+
-
211
11soit
RRtv
CR
te
C
ti
dt
tdv
L
tv
dt
tdi
Entre u = e / Sortie y = v
-
16
Application : Rgulateur de vitesse (cruise control)
FkVcmmVm 2osgsing
mg
FV
20000 osgsing0 kVcmmFVm
Modle non linaire :
Etat dquilibre :
Linarisation :
Fm
Vm
kV
m
smcmV
VV
12ingosg
00
Fsc
mV
m
kVV ingosg
1200
0
Modle dtat :
-
17
Application : Linarisation dun modle non linaire
221
21212
2111
1
2
1.02
xxy
xxxx
uxxxx
Considrons le systme non linaire caractris par la reprsentation dtat :
0421
0
1
00125.01
0025.00
uxy
uxx
Modle dtat linaire:
Etat dquilibre :
220100
010
1020
220100
2102010
0201010
1,2
05.0,
2
1
1
20
1.020
xxyu
xx
x
xxy
xxx
uxxx
221
2211122
21121
20,10
20,1020,10
20,1020,10
22
241
1.01.02
xxxy
xxxxxx
uxxxxx
xx
xxxx
xxxx
Linarisation :
0105.01
0
1
451.01
0475.0105.2
uxy
uxx
pour u0 = 0
x10 = -0.025
x20 = 20
pour u0 = 1
x10 = 0.475
x20 = -1.053
-
18
Relation modle dtat/fonction de transfert
I 1BApCDpH
Le systme ayant comme reprsentation
a pour matrice de transfert H(p) reliant le vecteur Y(p) au vecteur U(p)
u(t) y(t)x(t)
A
B C
D
++ tx
DuCxy
BuAxdt
dx
Avant toutes simplifications ple/zro, les ples de H(p) sont les valeurs
propres de A.
Compte tenu de simplifications ventuelles, des termes de H(p) peuvent ne pas
faire apparatre des parties du systme. Dans le cadre dun problme de
commande, ces simplifications peuvent engendrer des performances totalement
diffrentes de celles prvues, par exemple si un mode instable na pas t
stabilis car invisible dans la fonction de transfert prise en compte.
-
19
Application : Systme Locomotive/Wagon
1222
1211
VVFVm
VVVm
F
V1 V2
Ns/m1 kg,5.0 1kg, 21
12
mm
VVy
3
2
2
0
3
12
12
11 2
0
22
1111
2
1
ppp
p
p
p
ppH
0112
0
22
11
et , avec 2
1
DC
BAFu
V
V x
DuCxy
BuAxdt
dx
X
ofX
X
XXRappel :
T1 CAdj
-
20
Dtermination de la rponse impulsionnelle
Iet 1 pUBApCDpYDuCxy
BuAxdt
dx
pH
Le systme est dfini par u(t) y(t)x(t)
A
B C
D
++ tx
Sa rponse impulsionnelle h(t) correspondant
peut tre obtenue par :
dtthepH pt 0
BCetDth At
Le terme eAt est une exponentielle de matrice pouvant tre calcule par :
0
22
!!!2!1I
i
iikkAt
i
tA
k
tAtAAte
La convergence de eAt garantit la stabilit du systme.
-
21
Rponse en rgime libre (u(t) = 0)
Axdt
dxLvolution de ltat x est alors rgi par
A limage de la solution dune quation diffrentielle du premier ordre scalaire,
la solution de lquation dtat homogne est
, 0xetx At
La matrice eAt note f(t) est appele matrice de transition. Ses proprits sont :
y(t)x(t)
A
C tx
ou en considrant une condition initiale t = t0 : 00 txetx
ttA
I0
1
020112
f
ff
fffff
fff
tt
qttttt
tttttt
q
-
22
Rponse une entre quelconque
Sachant que u(t) y(t)x(t)
A
B C
D
++ tx
soit :
, tAxtxetxedt
d AtAt
il vient . tBuetxedt
d AtAt
Intgrons les 2 membres entre t = 0 et t, on obtient alors
, 00
dBuextxet
AAt
, 00
dBuexetxt
tAAt
ou . 0
0
ff dButxttxt
La sortie y scrit alors
.0
0
forc rgime
0libre rgime
0
f
ff
duthxtC
dButCtDuxtCty
t
t
-
23
Calcul simple de la matrice de transition
La matrice de transition f(t) = eAt peut tre calcule par transformation deLaplace inverse :
application
11 I Ape -At L
t
ttt
e
eeet
p
pppAp
xy
uxx
2
2
1
0
2
10
21
1
1
1
I
01
1
0
20
11
f
u(t) y(t) = x1(t)
2
11
ppH
1
12
ppH
x2(t)
.3
34
soit
,3
1
00
3 0et 1 0 0, Prenons
2
2
2
1
2
2
21
t
tt
t
ttt
e
ee
tx
txtx
e
eeexttx
xxtu
f
-
24
Changement de base
DuCxy
BuAxdt
dx
A l'aide du changement de variable x = Tz, soit z = T-1x, la reprsentation d'tat
devient :
DDCTC
BTBATTA
uDzCy
uBzAdt
dz
~~
~~
avec ~~
~~11
u(t) y(t)x(t)
A
B C
D
++ tx
T-1z(t)
.
1
1
11
nn
n
n t
t
t
t
T
T est compose des vecteurs de la nouvelle base. tij (1 i n) sont les
coordonnes du jme vecteur exprimes dans la base de x
z est le vecteur dtat exprime par les vecteurs de la nouvelle base.
-
25
Invariance des proprits de la reprsentation dtat
Considrons la nouvelle reprsentation d'tat
thBCetDBTCTetDBeCtDth AtATtTtA
1~ 1
~~~~
pHBApCDBATTTTpCDBATTTTpCTD
BTATTpCTDBApCDpH
111111
1111
III
I~~
I~~~
La rponse impulsionnelle s'crit alors :
La "nouvelle" matrice de transfert est
DDCTC
BTBATTA
uDzCy
uBzAdt
dz
~~
~~
avec ~~
~~11
-
26
Diagonalisation de A
Considrons une matrice A dont les n valeurs propres li distinctes sont lessolutions de
Recherchons la matrice T telle que
Si lon crit
Sachant que
les vecteurs vi sont donc solutions de
.0I Al
ndiagATTA lll ,,,~
211
. ,, avec 1
1
11
11
nn
n
n
n
n
v
v
v
v
v
vvvT
nTTAT lll ,,,diag 21
iii vAv l
Une solution consiste donc composer la matrice T des vecteurs propres de A
-
27
Reprsentation modale (cas monovariable)
021
2
1
2
1
~~
~
0
0
avec ~~
~
l
l
l
DC
B
uDzCy
uBzdt
dz
n
nn
n
i i
ii
ppU
pYpH
10
l
La matrice de transfert est
u(t)
z1(t)
1
1
lp11
ip l
1ii
np l
1nn
zi(t)
zn(t)
y(t)+
Le mode i est observable si i 0. Il est commandable si i 0.Un mode non-observable et/ou non-commandable napparat pas dans H(p)
Remarque : n valeurs
propres distinctes
0
-
28
Exemple
0011
0
56
10
avec
DC
BA
DuCxy
BuAxdt
dx
0I
avec
1
1
11
A
vAv
v
v
v
v
Tiii
nn
n
n
l
l
12
13et
32
11
3
1 exemplepar ,33
56
10
2
1 exemplepar ,22
56
10
3et 2
1
2222122
21
22
21
1121112
11
12
11
10
TT
vvvv
v
v
v
vvvv
v
v
v
ll
yxyx
uyyy
21 et Posons
65Soit
0~11~
1
1~
30
02~
avec ~~
~~ 11
DCTC
BTBATTA
uDzCy
uBzAdt
dz
x = Tz avec
-
29
Matrice de Jordan (valeurs propres multiples)
r
ii
mr
mmnmnrA r
121 et avec I
21 lllllll
La matrice de transfert est
di tant le degr de dgnrescence dfini par di = n - rang(liI A).
r
i
m
jj
i
r
p
jir
pU
pYpH
1 10
,
l
La recherche des valeurs propres de A conduit
i
i
i
ijidiiir AAAAdiagAAAAdiagA i
l
l
l
0
1
01
et ,,, avec ,,, 2121
La matrice A peut alors scrire sous la forme dune matrice de
Jordan compose de blocs de Jordan :
Camille Jordan(1838 1922)
-
30
Commandabilit/Atteignabilit
DuCxy
BuAxdt
dx
Dfinition : Un tat est dit commandable si quel que soit x(0), il existe une
commande u(t), avec 0 < t T, telle que x(T) = 0. Si tous les tats sont
commandables, le systme est dit compltement commandable.
x(t)
x(0)
t0 T
x(t)
x*
t0 T
Dfinition : Un tat x* 0 est dit atteignable si pour x(0) = 0, il existe une
commande u(t), avec 0 < t T, telle que x(T) = x*.
Les proprits datteignabilit et de commandabilit sont quivalentes pour les
systmes linaires stationnaires.
-
31
Critre de commandabilit (Kalman-Bucy 1961)
0*ou 0* 22002
dtBuexdBuex t ATt tAT
Si un tat x* nest pas commandable, il est orthogonal la
rponse de x(t) toute commande u(t), soit :
Compte tenu de la dfinition de eAT,
tous les tats x* sont commandables si et seulement si la matrice de
commandabilit Mc est de plein rang ligne, soit :
0
22
,!!!2!1
I i
iikkAt
i
tA
k
tAtAAte
avec , rang c nM
On dira alors que la paire (A,B) est commandable.
Rappel : Le plein rang d'une matrice carr peut tre test par le calcul de son
dterminant.
.12c BABAABB M n
Rudolf Kalman(1930 HU)
-
32
Application : Systme Locomotive/Wagon
F
V1 V2
0112
0
22
11
et , avec 2
1
DC
BAFu
V
V x
DuCxy
BuAxdt
dx
ecommandabl , paire04
.42
20
2
0
22
11
2
0
c
12c
BAM
BABAABB M n
-
33
Commande par retour dtat
. avec1
refT
ng
g
gxxgu
DuCxy
BuAxdt
dx
A laide de la commande u calcule partir de la mesure de ltat, il est possible de
gnrer un systme la dynamique diffrente de celle du systme command :
modes stables, rapides, bien amortis, etc.
.
refT
refTT
refT
xDgxDgCy
xBgxBgAxxBgAxx
T
Un placement de ples consiste imposer les n valeurs propres li de A-BgT, soit :
On obtient alors la nouvelle reprsentation dtat
u(t)y(t)
Tg
BuAxx DuCxy x(t)
.I1
T
n
iiBgA lll
xref(t)
+
-
-
34
Exemple - dtermination de g
001
0
1
10
avec
et posons
00
21001
DC
qB
ppA
DuCxy
BuAxdt
dx
yxyxuqypypy
ecommandabl , paire0
.00
1
10
0
20c
010
0
000
12c
BAqM
qpq
q
qppqBABAABB M n
. avec
1T
ref
ng
g
gxgkyu
u(t) y(t)
Tg
BuAxx DuCxy x(t)
yref(t) +
-k
0
1n2
0
02n
1
010
2
0212T
021010
T
2et
I10
2nn
q
pg
q
pg
qgpqgpBgAqgpqgp
BgA
lll
n
n2
1p
Im
Re
0p
-
35
Suivi de consigne - dtermination de k
. que doncfaut il ,permanent rgimeen qu'Pour
avec
:crivents' commande laet systme lepermanent rgimeEn
0
2n
ref
0
2n
ref
0
02n
11ref
00
qkyy
yq
ky
q
pgygkyu
uqyp
u(t) y(t)
Tg
BuAxx DuCxy x(t)
yref(t) +
-k
-
36
Suivi de consigne - autre solution
. que doncfaut il ,permanent rgimeen qu'Pour
avec
:crivents' commande laet systme lepermanent rgimeEn
02n
2n
10
100ref
ref10100
0
02n
11ref1
00
pgq
gqpkyy
kygqygqp
q
pgygkygu
uqyp
u(t) y(t)
Tg
BuAxx DuCxy x(t)
yref(t)
+
-
0
k
-
37
Suivi de consigne avec effet intgrateur (augmentation de
l'tat)
Une action intgrale peut tre introduite pour assurer la prcision du suivi de
consigne
L'intgrateur est lui-mme dfini par :
+
u(t)y(t)
Tg
BuAxx DuCxy x(t)
yref(t)-
p
1
yi(t)
D
BB
C
AA aa
0
0
Le placement de ples consiste alors imposer les na = n+1 valeurs propres
de Aa-BagT, avec :
Cxy yyuuxDCBA et avec ,soit 0 1 1 0 refiiiiiii
y
xxaLe nouvel tat (dit "tat augment") correspond
-
38
Forme compagne (ou canonique) commandable
000
10
0
100
01
1
0010
avec
10
1210
DbbbC
a
B
a
a
a
a
a
a
a
a
A
DuCxy
BuAxx
m
n
n
n
n
n
nn
,
0
0
in
ii
im
ii
pa
pb
pU
pYpH
Considrons un systme commandable de fonction de transfert
que lon crit
.1
0
0
pXpY
im
ii
pUpX
in
ii
pb
pa
pH
... 1
1210210
321
ou
n
xn
xxx
n
xn
n
n
nn
XaXaXaXauXauXaXaXaXa
La relation entre x et u permet dcrire
.m
xm
xxx m
XbXbXbXby
1321
210
La relation entre y et x permet dcrire
soit finalement :
-
39
Forme compagne commandable (suite)
000
10
0
100
01
1
0010
avec
10
1210
DbbbC
a
B
a
a
a
a
a
a
a
a
A
DuCxy
BuAxx
m
n
n
n
n
n
nn
,
0
0
in
ii
im
ii
pa
pb
pU
pYpH
u(t)x1xm+1
y(t)
na1
n
n
a
a 1
+
+
n
m
a
a
+
na
a0
xn
0bmb
+y est en fait compos dune combinaison
linaire de x1 et de ses m drives
-
40
Intrt de la forme compagne commandable
n
n
n
n
n
n
nn
g
g
g
a
B
a
a
a
a
a
a
a
a
A
1
1210
10
0
100
01
1
0010
Quand un systme est dcrit sous sa forme compagne commandable, il assez facile
de rgler sa commande par retour dtat.
u(t) y(t)
Tg
BuAxx Cxy x(t)
011
1102111T
1122110
TT
I
100
01
1
0010
lllllll
nn
n
nn
n
n
nnn
n
nn
n
nn
nn
a
ga
a
ga
a
gaBgA
a
ga
a
ga
a
ga
a
ga
xBgAxgBAxx
Chaque coefficient de g permet de modifier un des termes de lquation
caractristique et donc de placer aisment les ples de la boucle ferme :
11 inii aag
-
41
Application : pendule invers
Autour de son point dquilibre (instable), un pendule invers est rgi par le
modle linaire du type
u(t) y(t)
Tg
BuAxx Cxy x(t)
n2
2n
2n12
nn22
n122T
2
10
2
212T
22I icisoit
I
lllll
lll
g
gggBgA
a
ga
a
gaBgA
En boucle ferme, on a donc
f 2n
f(t)
y(t)
(t)
0 soit ,
2nn
2n1
2
2212n
ggggf
n
n
n21
n
n
Im
Re
-
42
Obtention de la forme compagne commandable
Tout systme commandable (matrice Mc non singulire) peut se mettre sous
forme compagne commandable.
Le changement de variable x = Tz, seffectue alors avec la matrice T dfinie par
DDCTC
BTBATTA
uDzCy
uBzAdt
dz
~~
~~
avec ~~
~~11
u(t) y(t)x(t)
A
B C
D
++ tx
T-1z(t)
.
00
0
M avec
1
2
121
12c
c
n
nn
n
nn
n BABAABB M
MMT
Les coefficients i sont en fait les coefficients du polynme caractristique de A
n
i
iiA
0
I ll
Rappel:
-
43
Stabilisabilit
Un systme non compltement commandable (rang Mc < n) peut tre scind en
faisant apparatre un tat commandable et un tat non commandable (forme
canonique de commandabilit).
Dfinition : Un systme est dit stabilisable si sa partie non commandable est
stable.
La partie non commandable de ltat participe momentanment lvolution de
y mais converge vers 0 suivant la dynamique des modes concerns.
~~
0
~
~0
~~
nc
cncc
c
nc
c
nc
12c
nc
c
Duz
zCCy
uB
z
z
A
AA
z
z
u(t) y(t)
~cC
zc(t)Partie commandable +
D
Partie non commandable ~
ncCznc(t)
-
44
Exemple
u(t) y(t)
1
11
p
ppH
1
12
ppH
e(t)
10
1
2
11
01
2
1
2
1
21
2
1
2
1
2
1
1222
11
2
11
1
x
xy
ux
x
x
x
uxxexx
uxx
yx
pUp
uep
pH
x
L
lestabilisab pasest n' systme ceinstable, modeun ant correspond
ecommandablnt complteme pasest n' qui 1 mode Le
ecommandablnon , paire0
.11
22
c
c
p
BAM
ABB M
-
45
Obtention de la forme canonique de commandabilit
Soit un systme non compltement commandable (rang Mc = k < n).
La forme canonique est obtenue l'aide du changement de variable x = Tz o T
est une matrice non singulire compose de k colonnes indpendantes de Mcpuis des n - k colonnes indpendantes complmentaires.
~~
0
~
~0
~~
nc
cncc
c
nc
c
nc
12c
nc
c
Duz
zCCy
uB
z
z
A
AA
z
z
u(t) y(t)
~cC
zc(t)Partie commandable +
D
Partie non commandable ~
ncCznc(t)
DuCxy
BuAxdt
dx
DDCTC
BTBATTA
uDzCy
uBzAdt
dz
~~
~~
avec ~~
~~11
-
46
Application
u(t) y(t)
1
11
p
ppH
1
12
ppH
e(t)
10
1
2
11
01
2
1
2
1
2
1
x
xy
ux
x
x
x
21,
11
22c
nk M
0~01~
0
1~
10
11~
donne 01
1-2 11
DDCTC
BTBATTAT
Contrairement au mode p = -1, le mode p = 1 n'est pas commandable.
-
47
Observabilit/Reconstructibilit
DuCxy
BuAxdt
dx
Dfinition : Un tat est dit observable si connaissant u(t) et y(t) sur lintervalle
[t0, t1], il est possible de dterminer x(t0). Si tous les tats sont observables, le
systme est dit compltement observable.
Dfinition : Un tat est dit reconstructible si connaissant u(t) et y(t) sur
lintervalle [t0, t1], il est possible de dterminer x(t1).
Les proprits dobservabilit et de reconstructibilit sont quivalentes pour les
systmes linaires stationnaires.
y(t)
t0 t1t0
x(t0)
y(t)
t0 t1t0
x(t1)
-
48
Critre dobservabilit (Kalman-Bucy)
0xCety At
Si un tat x* nest pas observable, sa contribution y est nulle. Lors dune
rponse en rgime libre, la sortie y est dfinie par :
Pour un tat non observable,
Compte tenu de la dfinition de eAT,
tous les tats sont observables si et seulement si la matrice dobservabilit Mo est
de plein rang colonne, soit :
0
22
,!!!2!1
I i
iikkAt
i
tA
k
tAtAAte
avec , rang o nM
On dira alors que la paire (A,C) est observable.
.T12o nCACACAC M
.0 0* ttxCety At
-
49
Application : Systme Locomotive/Wagon
observablenon , paire0
.33
11
22
1111 11
o
T
T12o
CAM
CACACAC M n
F
V1 V2
0112
0
22
11
et , avec 2
1
DC
BAFu
V
V x
DuCxy
BuAxdt
dx
sortie lasur -3 modedu unique influence3
2:
p
ppHrappel
-
50
Ralisation dun observateur (David Luenberger - 1963)
avec
1
nl
l
l
DuxCy
yylBuxAdt
xd
DuCxy
BuAxdt
dx
Pour quune commande par retour dtat soit possible, il est
ncessaire de pouvoir disposer de ltat du systme. Cet tat ntant
pas parfois mesur (ou mesurable), on utilise un observateur (ou
reconstructeur) pour en estimer la valeur.
xxxxlCAx
BuAxx
yylBuxAx~ avec ~~
tx
u(t) y(t)
l
BuxAx ty
systme
+
- ~ tyDuxCy
Un placement de ples consiste imposer les n valeurs propres li de A-lC, soit :
Il est possible de dterminer lquation rgissant lerreur destimation
.I1
n
iilCA lll
David Luenberger
-
51
Exemple
001
0
1
10
avec
et posons
00
21001
DC
qB
ppA
x
DuCxy
BuAxdt
dx
yxyxuqypypy
observable , paire1
.10
01
1
1001 01
o
T
0
T12o
CAM
ppCACACAC M n
1n102n21n1
2011
2
112
120
1
2et 2
I1
2nn
ppplpl
lplplplCAplp
llCA
lll
tx
u(t) y(t)
l
BuxAx ty
systme
+- ~ ty
DuxCy
nl
l
lxxxxlCAx 1
et ~ avec ~~
n
n2
1p
Im
Re
0p
-
52
e
d
1
s+1
Transfer Fcn Scope
1
s
Integrator1
1
s
Integrator-1
Gain2
4
Gain1
1
Gain
0 2 4 60
0.5
1
1.5
Application : Estimation de perturbation
On souhaite un observateur avec un mode rgl 2 rad/s et 0.5 damortissement.
0 avec 1
dtdp
pDpEpS
xy
syeud
sxuxx
01
et , avec 0
1
00
11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
4et 1
1I0
11
21
4
2
2
12
2
1
ll
lllCAl
llCA lll
-
53
Comparaison Retour dtat/Observateur
Une commande par retour dtat est obtenue grce au placement des n valeurs
propres de A-BgT.
Un observateur dtat est obtenue grce au placement des n valeurs propres de
A-lC.
Sachant
que les valeurs propres dune matrice et de sa matrice transpose sont
identiques
que (A-lC )T = AT-CTlT
les mmes algorithmes sont utiliss pour traiter ces 2 problmes duaux.
-
54
Fonction de transfert dun observateur
00
00
uDxCy
yyluBxAx
DuCxy
BuAxx
xlC-ApBDDlBxlC-ApBux-Ap
lCxuDDlBxlC-Ap
I I I
I 10000
0000
tx
u(t) y(t)
l
00 uBxAx
ty
systme
+
- ~ tyuDxCy 00
Plus le gain l est grand, plus lestimation de x est bonne, mais aussi sensible
au bruit de mesure.
Pour viter tout biais, la bonne connaissance de la partie de C prenant en
compte le rgime continu est indispensable.
-
55
Forme compagne (ou canonique) observable
,
0
0
in
ii
im
ii
pa
pb
pU
pYpH
Considrons un systme observable de fonction de transfert
dont on tire lquation diffrentielle
En intgrant n fois, on obtient
Sous une forme rcursive, cette quation devient
.. m
m
n
n ububububyayayaya 210210
ubububyayayayayamn
m
nn
nn
nnn
1
101
2
2
1
10
01
0
11
11
11
211
1
dua
bx
a
ax
dxua
bx
a
ax
dxua
bx
a
ax
dxxa
ayx
nnn
nnn
n
mnn
m
n
mmn
n
n
001
0
00
1
0
1
0
001
0
0
1
2
1
xy
u
a
b
a
b
x
a
a
a
a
a
a
a
a
x
n
n
m
n
n
n
n
n
n
soit :
-
56
Forme compagne observable (suite)
Compte tenu des n quations intgrales, on
obtient le schma suivant.
u(t)
+ xn
0b
0a
+
mb
ma
+
1na
-
xn-m
Connaissant y et u linstant, une chane dintgrateurs permet de remonter
facilement nimporte quel tat du systme.
x1=y(t)
01
0
11
11
11
211
1
dua
bx
a
ax
dxua
bx
a
ax
dxua
bx
a
ax
dxxa
ayx
nnn
nnn
n
mnn
m
n
mmn
n
n
na1
na1
-
57
Intrt de la forme compagne observable
0
0
1
00
1
0
10
001
1
0
1
2
1
n
T
n
n
n
n
n
n
l
l
lC
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Quand un systme est dcrit sous sa forme compagne observable, il assez facile de
rgler son observateur dtat.
u(t) y(t)
l
BuxAx xCy
Chaque coefficient de l permet de
modifier un des termes de
lquation caractristique rgissant
lerreur destimation dtat et donc
de placer aisment les ples de
lestimateur :
tx tysystme
+
- ~ ty
011
1
01
111
1
0
11
I
00
1
0
0
001
~~
~ avec ~~
lll
llll
nn
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
la
al
a
al
a
alCA
la
a
la
a
xlCAx
xxxxlCAxyylBuxAx
n
i
a
aiil
11
-
58
Dtectabilit
Un systme non compltement observable (rang Mo < n) peut tre scind en
faisant apparatre un tat observable et un tat non observable (forme canonique
d'observabilit).
Dfinition : Un systme est dit dtectable si sa partie non observable est stable.
Une partie non observable instable pose des problmes vidents, sa divergence
ne pouvant pas tre contre car elle na pas deffet observable sur la sortie.
0~
~
~
~~0
~
no
oo
no
o
no
o
no21
o
no
o
Duz
zCy
uB
B
z
z
AA
A
z
z
u(t) y(t)
~oC
zo(t)Partie observable +
D
Partie non observablezno(t)
-
59
Exemple
u(t) y(t)
1
11
p
ppH
1
12
ppH
e(t)
10
1
2
11-
01
2
1
2
1
21
2
1
2
1
2
1
1222
11
2
11
1
x
xy
ux
x
x
x
uxxexx
uxx
yx
pUp
uep
pH
x
L
le.stabilisab pas tout malgr mais ...
... dtectablent complteme doncest systme Ce
observable , paire1
.11
10
o
To
CAM
CAC M
-
60
Obtention de la forme canonique d'observabilit
Soit un systme non compltement observable (rang Mo = k < n).
La forme canonique est obtenue l'aide du changement de variable x = Tz o T-1
est une matrice non singulire compose de k lignes indpendantes de Mo puis
des n - k lignes indpendantes complmentaires.
DuCxy
BuAxdt
dx
DDCTC
BTBATTA
uDzCy
uBzAdt
dz
~~
~~
avec ~~
~~11
u(t) y(t)
~oC
zo(t)Partie observable +
D
Partie non observablezno(t)
0~
~
~
~~0
~
no
oo
no
o
no
o
no21
o
no
o
Duz
zCy
uB
B
z
z
AA
A
z
z
-
61
Application : Systme Locomotive/Wagon
33
11o M
F
V1 V2
0112
0
22
11
et , avec 2
1
DC
BAFu
V
V x
DuCxy
BuAxdt
dx
0~01~
0
2~
01
03~
et 1-1
1-0 donne
01-
11- 111
DDCTC
BTBATTATT
Contrairement au mode p = -3, le mode p = 0 n'est pas observable.
-
62
Dcomposition de Kalman Forme canonique
Tout systme peut se dcomposer en 4 sous systmes correspondant aux 4 types
dtat :
commandable et observable
commandable et non observable
non commandable et observable
non commandable et non observable
La fonction de transfert nest dfinie que par le sous systme Sco
ocS +
coS
coS
coS
yu
00
0
0
00
000
00
oc
oc
oc
co
21
2
1
oc
oc
oc
co
4443
33
24232221
1311
oc
oc
oc
co
x
x
x
x
CCy
uB
B
x
x
x
x
AA
A
AAAA
AA
x
x
x
x
Observable
Commandable
-
63
Association Commande par retour dtat/Observateur
Lobservateur fourni une estimation de ltat au rgulateur assurant
lasservissement.
ref
TTT
refT
0~
0~
ou
~ avec ~~
xBg
x
x
lCA
BgBgA
x
x
xxxxlCAx
xxBgAxx
Pour dcoupler les deux fonctions, les ples de lobservateur sont gnralement
choisis plus rapides que ceux de la boucle de commande, la limite tant bien sr
lie au bruit de mesure.
Les ples du systme complet sont alors solutions de
0II
robservateul' de ples
commande de boucle la de ples
T
lCABgA ll
tx
u(t) y(t)
l
BuxAx ty
systme
+
- ~ tyDuxCy
Tg
xref(t)
+-modle inv.
yref(t)
-
64
Reprsentation dtat dun systme temps discret
kuxgy
kuxfx
kkk
kkk
,,
,,1
Les reprsentations et les proprits sont sensiblement les mmes temps discret
qu temps continu. A temps discret, linstant t = (k+1)Te, la reprsentation
dtat est dfinie par
et pour un systme linaire 1
kkkkk
kkkkk
uDxCy
uBxAx
uk
Ak
Bk Ck
Dk
z-1 ++xk+1 xk yk
-
65
Rponse en rgime libre (u = 0)
Lvolution de ltat x alors rgi par
La matrice de transition est alors dfinie par
0
0,1
00111 121 kkkkkkxAAAAx
kk
f
Ses proprits sont :
I,
,,1
,,,
00
020112
kk
kkkkk
kkkkkk
A
f
ff
fff
kkk xAx 1
Ak
Ckz-1
xk+1 xk yk
-
66
Relation modle dtat/fonction de transfert
I 1BAzCDzH
Dans le cas stationnaire
La matrice de transfert H(z) est alors
Avant toutes simplifications ple/zro, les ples de H(z) sont les valeurs
propres de A.
uk
A
B C
D
z-1 ++xk+1 xk yk
1
kkk
kkk
DuCxy
BuAxx
-
67
Application
0113
1
0
0
243
100
010
1
kkk
kkk
uxy
uxx
eeeeeee kTuTkuTkukTyTkyTkyTky 312314223
Soit un systme dcrit par lquation rcurrente
Sa fonction de transfert discrte (sans simplification) scrit
eeee
eeeee
ee
ee
kTxkTxkTxkTy
kTukTxkTxkTxTkx
kTxTkx
kTxTkx
321
1233
32
21
3
3421
1
1
3et 342
1 avec 2
23
zz
zX
zY
zzzzU
zX
zU
zX
zX
zY
zU
zY
-
68
Rponse une entre quelconque
Dans le cas stationnaire, lexpression de ltat
une entre agissant partir de linstant k0Te est
dfinie par
La sortie yk scrit alors
uk
A
B C
D
z-1 ++xk+1 xk yk
1
1
0
00
k
kii
ikk
kkk BuAxAx
force rgime
11
libre rgime0
00 .
k
kiki
ikk
kkk DuBuACxCAy
-
69
Commandabilit/Atteignabilit
Observabilit/Reconstructibilit
T12o
12c
n
n
CACACAC M
BABAABB M
Contrairement au cas temps continu, les proprits datteignabilit et de
commandabilit dune part, et dobservabilit et dtectabilit dautre part ne sont
pas quivalentes pour les modles dtat temps discret.
Prenons un systme de type
Ce systme est bien sr commandable (car son tat converge vers 0) mais aucun
tat autre que 0 nest atteignable.
Ltat nul actuel est bien sr reconstructible, mais il est impossible dobserver
ltat initial.
Pour ltude de la commandabilit et lobservabilit, les critres portent toujours
sur le rang des matrices
01
kk
k
xy
x
-
70
Application
0113
1
0
0
243
100
010
1
kkk
kkk
uxy
uxx
Soit le systme dcrit par la reprsentation dtat
sortie. lasur effet d' pas an' rcurrentequation l' de cts 2 desprsent 1 mode Le
.observablenon , paire0 ,
113
113
113
.ecommandabl , paire1 ,
021
210
100
o
T2o
c2
c
z-
CAMCACAC M
BAMBAABB M
-
71
Commandes Matlab
Analyse de matricesEIG
DET
RANK
Dfinition d'une reprsentation
d'tatSS
Changement de formeSS2SS
SSBAL
CTRBF
OBSVF
CANON
Analyse de propritsCTRB
OBSV
Placement de plesPLACE
ACKER
Ralisation d'observateur et
rgulateur linairesESTIM
REG
-
72
EIG, DET, RANK
EIG Eigenvalues and eigenvectors.
E = EIG(X) is a vector containing the eigenvalues of a square matrix X.
[V,D] = EIG(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix
V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.
DET Determinant.
DET(X) is the determinant of the square matrix X.
RANK Matrix rank.
RANK(A) provides an estimate of the number of linearly independent rows or
columns of a matrix A.
-
73
SS
SS Create state-space model or convert LTI model to state space.
Creation:
SYS = SS(A,B,C,D) creates a continuous-time state-space (SS) model
SYS with matrices A,B,C,D. The output SYS is a SS object. You can set D=0
to mean the zero matrix of appropriate dimensions.
SYS = SS(A,B,C,D,Ts) creates a discrete-time SS model with sample time Ts
(set Ts=-1 if the sample time is undetermined).
SYS = SS(SYS,'min') computes a minimal realization of SYS.
-
74
SS2SS, SSBAL
SS2SS Change of state coordinates for state-space models.
SYS = SS2SS(SYS,T) performs the similarity transformation z = Tx on the state
vector x of the state-space model SYS.
The resulting state-space model is described by:
. -1
z = [TAT ] z + [TB] u
-1
y = [CT ] z + D u.
SSBAL Balancing of state-space model using diagonal similarity.
[SYS,T] = SSBAL(SYS) uses BALANCE to compute a diagonal similarity
transformation T such that [T*A/T , T*B ; C/T 0] has approximately equal row
and column norms.
-
75
CTRBF
CTRBF Controllability staircase form.
[ABAR,BBAR,CBAR,T,K] = CTRBF(A,B,C) returns a decomposition into the
controllable/uncontrollable subspaces.
If Co=CTRB(A,B) has rank r
-
76
OBSVF
OBSVF Observability staircase form.
[ABAR,BBAR,CBAR,T,K] = OBSVF(A,B,C) returns a decomposition into the
observable/unobservable subspaces.
[ABAR,BBAR,CBAR,T,K] = OBSVF(A,B,C,TOL) uses tolerance TOL.
If Ob=OBSV(A,C) has rank r
-
77
CANON
CANON Canonical state-space realizations.
CSYS = CANON(SYS,TYPE) computes a canonical state-space realization
CSYS of the LTI model SYS. The string TYPE selects the type of canonical form:
'modal' : Modal canonical form where the system eigenvalues appear on the
diagonal.
The state matrix A must be diagonalizable.
'companion': Companion canonical form where the characteristic polynomial
appears in the right column.
[CSYS,T] = CANON(SYS,TYPE) also returns the state transformation matrix T
relating the new state vector z to the old state vector x by z = Tx. This syntax is
only meaningful when SYS is a state-space model.
The modal form is useful for determining the relative controllability of the system
modes.
-
78
CTRB, OBSV
CTRB Compute the controllability matrix.
CO = CTRB(A,B) returns the controllability matrix [B AB A^2B ...].
CO = CTRB(SYS) returns the controllability matrix of the state-space model
SYS with realization (A,B,C,D). This is equivalent to CTRB(sys.a,sys.b).
OBSV Compute the observability matrix.
OB = OBSV(A,C) returns the observability matrix [C; CA; CA^2 ...]
OB = OBSV(SYS) returns the observability matrix of the state-space model SYS
with realization (A,B,C,D). This is equivalent to OBSV(sys.a,sys.c).
-
79
PLACE, ACKER
PLACE Pole placement technique
K = PLACE(A,B,P) computes a state-feedback matrix K such that the
eigenvalues of A-B*K are those specified in vector P.
No eigenvalue should have a multiplicity greater than the number of inputs.
ACKER Pole placement gain selection using Ackermann's formula.
K = ACKER(A,B,P) calculates the feedback gain matrix K such that
the single input system x = Ax + Bu with a feedback law of u = -Kx has closed
loop poles at the values specified in vector P, i.e., P = eig(A-B*K).
-
80
ESTIM
ESTIM Form estimator given estimator gain.
EST = ESTIM(SYS,L) produces an estimator EST with gain L for the outputs and states of
the state-space model SYS, assuming all inputs of SYS are stochastic and all outputs are
measured. .
For a continuous system SYS: x = Ax + Bw , y = Cx + Dw (with w stochastic),
.
the resulting estimator x_e = [A-LC] x_e + Ly
|y_e| = |C| x_e
|x_e| |I|
generates estimates x_e and y_e of x and y. ESTIM behaves similarly when applied to
discrete-time systems.
EST = ESTIM(SYS,L,SENSORS,KNOWN) handles more general plants SYS with both
deterministic and stochastic inputs, and both measured and non-measured outputs. The
index vectors SENSORS and KNOWN specify which outputs y are measured and which
inputs u are known, respectively. The resulting estimator EST uses [u;y] as input to produce
the estimates [y_e;x_e].
-
81
REG
REG Form regulator given state-feedback and estimator gains.
RSYS = REG(SYS,K,L) produces an observer-based regulator RSYS for the state-space
system SYS, assuming all inputs of SYS are controls and all outputs are measured. The
matrices K and L specify the state-feedback and observer gains. For.
SYS: x = Ax + Bu , y = Cx + Du .
the resulting regulator is x_e = [A-BK-LC+LDK] x_e + Ly
u = -K x_e
This regulator should be connected to the plant using positive feedback. REG behaves
similarly when applied to discrete-time systems.
RSYS = REG(SYS,K,L,SENSORS,KNOWN,CONTROLS) handles more general regulation
problems where
* the plant inputs consist of controls u, known inputs Ud,
and stochastic inputs w,
* only a subset y of the plant outputs are measured.
The I/O subsets y, Ud, and u are specified by the index vectors SENSORS, KNOWN, and
CONTROLS. The resulting regulator RSYS uses [Ud;y] as input to generate the commands u.
-
82
Bureau d'tude : Sustentation lectromagntique
24
2
2
2
2
NmA10 ,1 ,H01.0
ms81.9 ,kg05.0
: avec
KRL
gM
th
tiKMg
dt
thdM
tRidt
tdiLtv
R
v(t) L,Ki(t)
M
+
-
h(t)
L'objectif est la stabilisation de la bille une distance h de l'lectro-aimant
comprise entre 20 cm (bille sur le plateau) et 5 cm l'aide de la mesure de h et
de la commande v.
La commande de type commande par retour d'tat ncessitera un observateur.
L'tat considr sera x = [i(t), h(t), dh(t)/dt]T.
-
83
Partie 1 - Procd
1 Dterminer le modle linaire analytique du systme d'entre v, d'tat x et de
sortie h.
2 Construire le modle non linaire Simulink avec conditions initiales v0, i0 et
h0 non nulles.
3 Comparer le comportement linaire (rponses frquentielles) du systme non
linaire aux modles linaires analytiques obtenus autour de
h = 5cm, 10cm et 20 cm.
4 Analyser la stabilit de ces modles (poles/valeurs propres).
-
84
Partie 2 - Observateur
5 Analyser l'observabilit et la commandabilit du systme quand la mesure
consiste soit en i, soit en h. Pourrait on commender le systme en ne mesurant
que le courant i ?
6 Avec un mesure de h, dterminer un observateur autour de h = 10cm.
Imposer une dynamique d'observation au moins 4 fois plus rapide que la
dynamique la plus lente du procd (ples dsirs : -30, -50, -100). Analyser sa
stabilit autour de h = 5cm et 20 cm.
7 Implanter et analyser les performances de cet observateur linaire pour
estimer l'tat du systme non linaire l'quilibre h = 10cm.
8 Raliser et valuer un autre observateur utilisant un modle non linaire du
procd conditions initiales nulles et les gains dobservation calculs
prcdemment.
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85
Partie 3 Commande
9 Dterminer la commande par retour d'tat v = uref - gTx autour de h = 10cm.
Imposer une rapidit en boucle ferme de l'ordre de celle du procd initial
(ples : -9, -10, -100). Analyser sa stabilit autour de h = 5cm et 20 cm.
10 En rgime permanent, dterminer le signal uref = v0 + gTx0 ncessaire pour
garantir h = href.
11 Utiliser cette commande pour amener h de 20 cm 10cm.
12 Tester cette commande avec une variation non prvue de gravit de +10%.
13 Ajouter du bruit sur la mesure de h de type Random number et de variance
10-6. Observer l'tat estim et surtout le signal de commande.
14 Raliser le mme test avec un observateur obtenu avec une dynamique 10
fois plus rapide que la dynamique de commande (ples dsirs : -190, -200, -
210). Estimer lintrt (ou pas) dune telle augmentation.