Cmo resolver una ecuacin diferencialCreado por Oscar Avila, Bridget Connolly4 mtodos:Conceptos bsicos Resolver ecuaciones diferenciales de primer ordenResolver ecuaciones diferenciales de segundo ordenResolver ecuaciones diferenciales de un orden mayorUn curso completo de ecuaciones diferenciales requiere de conocimiento aplicado sobre derivadas, que a su vez significan dos o tres semestres de estudiar clculo. Una derivada es la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra, por ejemplo, la tasa con la que una velocidad se incrementa respecto al tiempo transcurrido. Dichas tasas de cambio se presentan frecuentemente en el da a da. Por ejemplo, la ley del inters compuesto establece que la rapidez de la acumulacin de intereses es proporcional a la cantidad inicial de deuda, dada por dy/dt=ky, donde y es la suma de dinero que genera inters, t es el tiempo y k es una constante (dt es el intervalo de tiempo). Aunque por lo general los intereses de una tarjeta de crdito se calculan diariamente y se especifican anualmente como el CAT, Costo Anual Total, es posible usar una ecuacin diferencial para averiguar la solucin a cada momento de y = ce^(kt), donde c es una constante arbitraria (la tasa de inters acordada). El presente artculo te ensear a resolver ecuaciones diferenciales en sus formas ms comunes, especialmente para su aplicacin en la fsica y la mecnica.

Mtodo 1 de 4: Conceptos bsicos

1Comprende lo que es una derivada. Una derivada (o cociente diferencial) es el lmite de la razn del incremento de una funcin (por lo general y) en relacin al incremento de una variable (por lo general x) en la misma funcin, conforme esta ltima tiende a 0 (cero). O bien, en trminos conceptuales, es el cambio en el tiempo de una cantidad con respecto a otra, tal como la velocidad, que es el cambio instantneo en la distancia con respecto al tiempo. Compara una primera derivada con una segunda derivada:[1]Primera derivada: derivada simple de una funcin, por ejemplo, la velocidad es la primera derivada de la distancia con respecto al tiempo.Segunda derivada: derivada de una funcin ya previamente derivada, por ejemplo, la aceleracin es la segunda derivada de la distancia con respecto al tiempo.2Aprende a identificar el orden y el grado de una ecuacin diferencial. El orden est dado por la derivada presente en la ecuacin que tenga el mayor orden a su vez. El grado se determina por la variable elevada a la potencia ms alta. Por ejemplo, para la ecuacin diferencial mostrada en la figura 1 encontramos que es de segundo orden y de tercer grado.

3Comprende la diferencia entre una solucin general (o completa) y una solucin particular. Una solucin completa contiene tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuacin diferencial lo permita (para resolver una ecuacin de orden n, tienes que integrar n nmero de veces usando una constante arbitraria en cada ocasin). Por ejemplo, en la ley del inters compuesto, la ecuacin dy/dt=ky es de primer orden y su solucin completa y = ce^(kt) usa solo una constante arbitraria. Una solucin particular se obtiene asignando valores especficos a las constantes durante la integracin.

Mtodo 2 de 4: Resolver ecuaciones diferenciales de primer ordenUna ecuacin diferencial de primer orden y de primer grado puede expresarse de la forma M dx + N dy = 0, donde M y N son funciones de x e y. Debers seguir los siguientes pasos para resolverla:

1Observa si puedes separar las variables. Esto es posible si la ecuacin diferencial se puede expresar de la forma f(x)dx + g(y)dy = 0, donde f(x) es una funcin independiente de x, mientras que g(y) es una funcin independiente de y. Estas son las ecuaciones diferenciales ms sencillas de resolver. Se pueden integrar para que formen la expresin f(x)dx + g(y)dy = c, donde c es una constante arbitraria. A continuacin te presentaremos una descripcin general del proceso, adems puedes ver un ejemplo real en la figura 2.Elimina las fracciones. Si la ecuacin contiene derivadas, multiplcalas por el diferencial de la variable independiente.Agrupa todos los elementos que compartan el mismo diferencial como un solo trmino.Integra cada parte por separado.Simplifica la expresin. Para hacerlo, combina los trminos, convierte logaritmos a exponentes y usa el smbolo ms simple para las constantes arbitrarias, por ejemplo.

2Si no es posible separar las variables, observa si la ecuacin es homognea. Una ecuacin diferencial de la forma M dx + N dy = 0 es homognea si se puede reemplazar x e y por resultados de x y multiplicndolos en la ecuacin original por alguna potencia de , donde la potencia de es el grado de la ecuacin original. Si es as, sigue los siguientes pasos y consulta la figura 3 como ejemplo.Sea y=vx, a fin de que dy/dx = x(dv/dx) + v.Dado que M dx + N dy = 0, tenemos dy/dx = -M/N = f(v), pues y es una funcin de v.Entonces f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v. Ahora las variables x e y pueden separarse: dx/x = dv/(f(v)-v)).Resuelve la nueva ecuacin diferencial con las variables separadas, despus sustituye en y=vx para encontrar y.

3Si la ecuacin diferencial no se puede resolver por alguno de los dos mtodos previos, verifica si es posible expresarla como una ecuacin lineal de la forma dy/dx + Py = Q, donde P y Q son funciones independientes dew x o constantes. Ten en cuenta que x e y pueden sustituirse indistintamente en este caso. Si tu ecuacin es de este tipo, sigue los siguientes pasos y consulta la figura 4 como ejemplo.Sea y=uv, donde u y v son funciones de x.Al diferenciar, obtenemos dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx).Al sustituir en dy/dx + Py = Q, obtenemos: u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q o sino u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q.Busca el valor de u integrando la ecuacin du/dx + Pu = 0, en la cual es posible separar las variables. Despus usa u para buscar v resolviendo la ecuacin u(dv/dx) = Q, donde de nuevo las variables son separables.Finalmente, usa la sustitucin y=uv para encontrar el valor de y.

4Podrs resolver la ecuacin de Bernoulli[2]: dy/dx + p(x) y = q(x) yn de la siguiente manera:Sea u = y1-n y por lo tanto du/dx = (1-n) y-n (dy/dx).En consecuencia, y = u1/(1-n), dy/dx = (du/dx) yn / (1-n), y yn = un/(1-n).Sustituye ambas en la ecuacin de Bernoulli y al multiplicarlas por (1-n) / u1/(1-n), obtendrs

du/dx + (1-n) p(x) u = (1-n) q(x).Ten en cuenta que esta es una ecuacin lineal de primer orden con la nueva variable u y puede resolverse con el mtodo explicado en el paso 3. Una vez resuelta, vuelve a sustituir y = u1/(1-n) para obtener la solucin completa.

Mtodo 3 de 4: Resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden

1Revisa si tu ecuacin diferencial coincide con la forma de la ecuacin (1) mostrada en la figura 5, donde f(y) es una funcin independiente de y, o una constante.Si es as, puedes simplemente seguir los pasos indicados en la figura 5.

2 Resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes:revisa si tu ecuacin diferencial se ajusta a la forma de la ecuacin (1) mostrada en la figura 6. Si es as, tu ecuacin diferencial puede ser resuelta de manera sencilla como una ecuacin cuadrtica, as como lo demuestran los pasos subsiguientes en el procedimiento:

3Para resolver una ecuacin diferencial lineal de segundo orden que tenga una forma ms general, revisa si tu ecuacin se ajusta a la forma de la ecuacin (1) mostrada en la figura 7.Si es as, la ecuacin puede resolverse siguiendo los siguientes pasos: Resuelve la ecuacin (1) de lafigura 6(donde f(x)=0), con el mtodo descrito en el paso anterior. Sea la solucin completa de y = u. u lafuncin complementariapara la ecuacin (1) de lafigura 7. Busca una solucin particular para y = v de la ecuacin (1) de la figura 7 por el mtodo de prueba y error:. Si f(x)no esuna solucin particular de (1):. Si f(x) se puede expresar en la forma f(x) = a + bx, asume que y = v = A + Bx;. Si f(x) se puede expresar en la forma f(x) = aebx, asume que y = v = Aebx;. Si f(x) se puede expresar en la forma f(x) = a1cos bx + a2sen bx, asume que y = v = A1cos bx + A2sen bx. Si f(x)s esuna solucin particular de (1), asume para v la forma indicada anteriormente,multiplicada por x. La solucin completa de (1) est dada por y = u + v.

Mtodo 4 de 4: Resolver ecuaciones diferenciales de un orden mayorLas ecuaciones diferenciales de rdenes mayores son mucho ms complejas de resolver, salvo algunos casos especiales que detallaremos a continuacin:

1Revisa si tu ecuacin diferencial se ajusta a la forma de la ecuacin (1) mostrada en la figura 5, donde f(x) es una funcin independiente de x, o una constante. Si es as, simplemente sigue los pasos indicados en la figura 8.

2Resolver ecuaciones diferenciales lineales denorden con coeficientes constantes:comprueba si tu ecuacin diferencial coincide con la forma de la ecuacin (1) en la figura 9. Si es as, podrs resolver la ecuacin de la siguiente manera:

Para resolver una ecuacin diferencial lineal de orden n ms general, comprueba si tu ecuacin diferencial coincide con la forma de la ecuacin (1) en la figura 10. Si es as, puedes resolver la ecuacin con un mtodo anlogo al de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, como se muestra a continuacin:

Aplicaciones en la vida real1. Laley del inters compuesto:la tasa de acumulacin de inters es proporcional a la deuda inicial. O de manera ms general, la tasa de cambio con respecto a una variable independiente es proporcional al valor correspondiente de la funcin. Es decir, si y = f(t), entoncesdy/dt = ky. Al resolver la ecuacin usando el mtodo de variables separadas, obtenemos y = ce^(kt), donde y es una suma de dinero que se acumula conforme a un inters compuesto, c es una constante arbitraria, k es la tasa de inters y t es el tiempo. Ten en cuenta quela ley del inters compuesto tambin se aplica a otros aspectos cotidianos. Por ejemplo, imagina que intentas disminuir la concentracin de una solucin salina agregndole agua para diluir su contenido de sal (dejando que se desborde el contenido previo de la cantidad fija de solucin). Cunta agua har falta aadir y cmo cambia la concentracin de sal respecto al incremento de agua que realizas?

Sean s = la cantidad de sal en la solucin en un momento dado, x = la cantidad de agua aadida y v = el volumen de la solucin. La concentracin de sal en la mezcla est dada por s/v. Ahora supn que x se agrega a la solucin desbordando el contenido anterior, de manera que la cantidad de sal desbordada es (s/v)x, por lo tanto el incremento en la cantidad de sal, s, est dado por s = -(s/v)x. Divide ambos lados de la ecuacin por x para obtener s/x = -(s/v). Toma como lmite x-->0 y tendremos que ds/dx = -s/v, que es una ecuacin diferencial de la misma forma que la tasa de inters compuesto, donde y es ahora s, t se convierte en x y el valor de k es -1/v. La ley de enfriamiento de Newtones otra variante de la ley del inters compuesto. Establece que la tasa de decremento de la temperatura corporal cuando esta supera a la temperatura ambiental es proporcional a la diferencia de temperaturas con la que el cuerpo excede al ambiente. Sean x = el exceso de temperatura corporal respecto a la ambiental, t = el tiempo, tenemos dx/dt = kx, donde k es una constante. La solucin a esta ecuacin diferencial es x = ce^(kt), donde c es una constante arbitraria. Imagina que este exceso de temperatura, x, fue en un inicio de 80 F y cambia a 70 F despus de un minuto. Cul ser el valor de x dos minutos ms tarde?

Sean t = el tiempo en minutos, x = el exceso de temperatura en grados Fahrenheit, tenemos que 80 = ce^(k*0) = c. De la misma forma, 70 = ce^(k*1) = 80e^k, por tanto k = ln(7/8). As que x = 70e^(ln(7/8)t) es una solucin particular al problema. Ahora sustituye con t = 2, tenemos que x = 70e^(ln(7/8)*2) = 53.59F despus de dos minutos. En latermodinmica de la atmsfera, la presin atmosfricapsobre el nivel del mar cambia en funcin de la alturahsobre el nivel del mar, otra variacin ms de la ley del inters compuesto. La ecuacin diferencial aqu es dp/dh = kh, donde k es constante. En laqumica, la velocidad con que la cantidad x de una sustancia se transforma en cierto tiempo t depende de la concentracin a de la mezcla original, lo que puede ser expresado de la forma dx/dt = k(a-x), donde k es la velocidad a obtener. Si notas que (a-x)/dt = -k(a-x) lleva a d(a-x)/(a-x) = -kdt, puedes integrar para obtener ln(a-x) = -kt + a, ya que a-x = a cuando t = 0. Al reorganizar la ecuacin, tenemos otra variante de la ley del inters compuesto, en la forma k = (1/t)ln(a/(a-x)). En elelectromagnetismo, dado uncircuito elctricocon voltajeVy corrientei(en amperes), el voltajeVest dado por la resistenciaR(en ohms) del circuito; la induccinL, por la ecuacinV=iR+L(di/dt)odi/dt= (V-iR)/L. Esta es otra variante de la ley del inters compuesto, dondeV-iRes ahora la variable dependiente.2. En la acstica, en unavibracin armnica simple, la aceleracin es directamente proporcional a la negativa de la distancia. Como bien recordars, la aceleracin es la segunda derivada de la distancia, as qued2s/dt2+k2s= 0, en dondes= distancia,t= tiempo yk2es la magnitud de la aceleracin en la unidad de distancia. Esta es laecuacin armnica simple, ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, tal como se ve resuelto en la figura 6, ecuaciones (9) y (10). La solucin ess= c1cos kt + c2sen kt.

Tambin, para simplificarlo, puedes establecer c1= b sen A, c2= b cos A. Subtityelos de modo que b sen A cos kt + b cos A sen kt. Recuerda de la trigonometra que sen (x+y) = sen x cos y + cos x sen y, as pues la expresin se reduce as= b sen (kt+ A). La onda que sigue la ecuacin armnica simple oscila entre b y b, con periodo 2/k. Resorte vibrante: pon un objeto que tenga una masamsobre un resorte vibrante. Por la ley de Hooke,[3]cuando el resorte se estira o se comprimesunidades de su largo natural (o posicin de equilibrio), ejerce una fuerza de retornoFproporcional asoF= -k2s. Por la segunda ley de Newton (la fuerza es igual a la masa por la aceleracin),[4]tenemosm d2s/dt2= -k2som d2s/dt2+k2s= 0, el cual es una expresin de la ecuacin armnica simple. Vibraciones amortiguadas: toma en cuenta el resorte vibrante del ejemplo anterior con una fuerza de amortiguacin. La fuerza de amortiguacin es todo efecto, tal como la friccin, que tiende a reducir la amplitud de las oscilaciones en un oscilador. Por ejemplo, el amortiguador de un automvil puede proporcionar la fuerza de amortiguacin. En la mayora de los casos, esta fuerza,Fd, es aproximadamente proporcional a la velocidad del objeto[5]oFd= -c2ds/dt, dondec2es una constante. Al combinar la fuerza de amortiguacin con la fuerza restauradora, obtenemos -k2s-c2ds/dt=m d2s/dt2, gracias a la segunda ley de Newton. Om d2s/dt2+c2ds/dt+k2s= 0. Esta ecuacin diferencial es una ecuacin lineal de segundo orden y para resolverla, hay que resolver primero la ecuacin auxiliarmr2+c2r+k2= 0 y sustituir despuss = e^(rt).Al resolverlo por la frmula cuadrtica, obtenemosr1=(-c2+ sqrt(c4- 4mk2)) / 2m;r2=(-c2- sqrt(c4- 4mk2)) / 2m. Sobreamortiguamiento: sic4- 4mk2> 0,r1yr2son reales y distintos, la solucin ess=c1e^(r1t) +c2e^(r2t). Ya quec2,myk2son positivos, sqrt(c4- 4mk2) debe ser inferior a c2, lo cual implica que ambas races,r1yr2, son negativas y que la funcin est en decaimiento exponencial. En este caso,nohabr oscilacin alguna. Tendr que ser, por ejemplo, un aceite o grasa de alta viscosidad el que brinde una buena fuerza de amortiguamiento. Amortiguamiento crtico: sic4- 4mk2= 0,r1=r2=-c2/ 2m, la solucin ess=(c1+ c2t)e^((-c2/2m)t). Todava sigue siendo un decaimiento exponencial sin oscilacin. Sin embargo, la ms mnima disminucin de la fuerza de amortiguamiento har que el objeto oscile ms del punto de equilibrio. Infraamortiguamiento: sic4- 4mk2< 0, las races son complejas, dado porc/2m+/- i, donde = sqrt(4mk2-c4)) / 2m. La solucin ess= e^(-(c2/2m)t)(c1cos t+c2sen t). Esta es una oscilacin amortiguada por el factor e^(-(c2/2m)t. Ya que tantoc2comomson positivos, e^(-(c2/2m)t)llegar a cero, dado quetse acerca al infinito. As pues, al final el movimiento caer a cero.Consejos Nota: el rea complementaria delclculo diferenciales elclculo integral, que estudia la diversidad de particularidades matemticas de las cantidades en variacin constante, por ejemplo, para calcular la distancia (compralo a la ecuacin d = rt) recorrida por un objeto cuando sus tasas de incremento instantneo (velocidades) son conocidas para un intervalo de tiempo especfico. Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse con los mtodos explicados en el presente artculo; sin embargo,s te ayudarn para encontrar la solucin a la mayora de las ecuaciones comunes a las que te enfrentars como estudiante de clculo diferencial. Sustituye tu solucin en la ecuacin diferencial original para ver si la igualdad se satisface. Si el resultado es congruente, comprobars que tu respuesta es correcta.Anuncio