Comparación de los métodos utilizados para laComparación de los métodos utilizados para la diseminación de los patrones de masa de alta exactitud y validación de la incertidumbre estimada ymediante simulación numérica

Lautaro Ramírez VarasLuis Omar Becerra SantiagogLuis Manuel Peña Pérez

Objetivo del proyecto

Diseminar las masas con trazabilidad al k 21k-21.Determinar el mejor estimado de los diferentes métodosdiferentes métodos.Corroborar el cálculo de la generalización de la GUM para el caso multivariable conla GUM para el caso multivariable con Monte Carlo.Comparar los distintos métodos deComparar los distintos métodos de subdivisión entre ellos.

Diseminación de la unidad de masa

La unidad de masa es el kilogramoEste debe ser subdividido y multiplicado.multiplicado.Debe conocerse los valores de

ió d lcorrección de las pesas.Debe conocerse su incertidumbre asociada y su correlación

Diseminación del kilogramo

En la calibración de pesas E1,, de valor nominal igual o menor que 500 mg senominal igual o menor que 500 mg , se recomienda los esquemas de subdivisión según la OIML R-111, para alcanzar las incertidumbres apropiadasalcanzar las incertidumbres apropiadas.

¿Cómo se disemina?

− y1

101111011111

−−

−

yyy

gg

4

3

2

5001000

101110011110101111

En la fila 3 se

=

−−−

−−

yyy

ggg

6

5

*200200500

*001100111100111100

En la fila 3 se compara la pesa de 500

−−

yyy

gg

9

8

7

*100100

111000110100001100pesa de 500

con la de 200 200* 100

−

Rmy10

000001110000200* y 100

Métodos de Subdivisión del kilogramo

Mínimos Cuadrados OrdinariosMínimos Cuadrados Ponderados-Multiplicadores de LagrangeMultiplicadores de LagrangeGauss Markov( Mínimos Cuadrados ponderados)Diseño OrtogonalDiseño Ortogonal

¿ Qué se hizo ?¿ Qué se hizo ?

Modelo de mediciónS l lt d bt id lSe compararon los resultados obtenidos por los diferentes métodos para un único conjunto de datos

P t d l ét d t i id ó lPara todos los métodos anteriores se consideró el siguiente modelo demedición

ajusteqra VVmy ερ∆ −−−= )( ajusteqra VVmy ερ )(

MetodologíaLa comparación de métodos de subdivisión se realizó bajo las mismas condiciones con el fin de evaluar únicamente el resultado del ajuste con los diferentes métodosresultado del ajuste con los diferentes métodos.

Datos Condiciones ambientalesCondiciones ambientales

Se consideraron tres ciclos de comparación ABBA para cada fila que corregidos por efecto boyante y sensibilidad de lafila, que corregidos por efecto boyante y sensibilidad de la balanza, permiten obtener un vector de diferencias, Y

Mínimos Cuadrados OrdinariosMínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)1er Método

Función a minimizar )ˆ()ˆ(2 yyyyS T −−=Función a minimizar Vector de proyección ortogonalV t d ti d d ( ) TT 1ˆ

( ) TT XXXP 1−=

)()( yyyyS

Vector de estimados de masaMatriz de varianza covarianza

( ) YXXX TTMCO

1ˆ −=β

( ) ( ) 21ˆcov σβ−

= XX T( ) ( )

eeT=2σ

nm −

MCO

Esquema de solución

−−−

yyy

g 3

2

1

1000011110101111011111

=

−−−−

−

yyy

gggg

6

5

4

*2002005001000

*111100111100101110

−−−

yyy

ggg

9

8

7

*100100

110000111000110100001100

−

Rmy 10

000001110000

Método Ortogonal2do Método2do Método

Se resuelven mediante los Mínimos Cuadrados OrdinariosLa matriz de diseño X tiene columnas mutuamente

t l t íortogonales entre sí.

Método Ortogonal

Se arregla matriz de diseño X para obtener valores no correlacionados en la matriz varianza covarianza (columnascorrelacionados en la matriz varianza-covarianza (columnas mutuamente ortogonales)

Para lograr la matriz de diseño X del modelo ortogonalPara lograr la matriz de diseño X del modelo ortogonal, algunas de las comparaciones, (renglones de X y sus correspondientes elementos del vector Y), son repetidos o eliminados

Método Ortogonal

El patrón está en el vector de observaciones

++

−−

4

3

2

1

yy

yy

10111011111011101111

r

r

mm

=

−−−−−−

7

6

5

4

yyyy

100*200

200500

*11110111101111010111

gggg

−−

−−

10

9

8

yyy

*100100

11100110101101011110

gg

−−

12

11

yy

1110011100

Mí i C d d P d d l ióMínimos Cuadrados Ponderados, soluciónMultiplicadores de Lagrange (MCP-ML)3er Método

Función a minimizar

Para quitar la singularidad)ˆ()ˆ( 22 yyWyy T −−= −χ

Para quitar la singularidad )ˆ,(2)ˆ()ˆ( 22 yfyyWyy TT βλχ +−−= −

MCP-ML

Estimados de masa( ) 1ˆ

Con ( ) YXXX TT

MCP ′′′′′′′′=−1

β̂

XWX 21

′′

Vector de proyección Ortogonal

XWX 2=′′

YWY 21

=′′Vector de proyección Ortogonal

( ) TT XXXP ′′′′′′=−1

Matriz de varianza covarianza( ) ( ) ( ) TTTTMCP XXXWXXX """"ˆcov

1"1

1"

−−

−=β

MCP-LM

El valor del patrón se ingresa en las ecuaciones normales y no en la matriz de diseño

−−−

2

1

1000011110101111011111

yyy

g

=

−−−

5

4

3

2005001000

*111100101110011110

yyy

ggg

=

−−

−−

7

6

*100100

*200

110100001100111100

yyy

ggg

−−

10

9

8100

110000111000110100

yyyg

Gauss Markov (GM)4to Método4to Método

Para el método de Gauss Markov (GM), se asume una función de varias variables aleatorias, a diferencia de los demás métodosaleatorias, a diferencia de los demás métodos donde se asume que Y es únicamente función de las variabilidad de las indicaciones de la balanza

GM

Estimados ( ) YWXXWX TT 111 −−−

∧

=βMatriz de varianza-covarianza

( )β

( ) 11)cov( −−= XWX Tβ ( )

Generalización de la GUM para el caso Matricialcaso Matricial

Matriz completaT

uu JJW φ=

El Jacobiano del vector de observacionesobservaciones,

[ ]ajusteVLu JJJJJ ρ∆=

GM

Para este modelo de medición [ ]ajustea VLY ερ∆=

Y Φ será la matriz compuesta de matices de varianzap

ajusteLVLLL a

φφφφφφφφ ∆∆ρ∆∆ ,,,

=ajusteVVVVL

ajusteVL

a

aaaa

φφφφφφφφφφφφ

φρ∆

ρρρρ∆

,,,

,,,

ajusteajusteVajusteajusteL a

φφφφ ρ∆ ,,,

GM

−

yy1

101111011111

IDEM MCO

−−

−

yyy

gg

4

3

2

5001000

101110011110101111

=

−−−

−−

yyy

ggg

7

6

5

*200200500

*001100111100111100

−−

yyy

gg

9

8

7

*100100

111000110100001100

−

Rmy10

000001110000

Comparación

Se comparó cada método con l i l ió é ila simulación numérica mediante Monte Carlo.Cada método se comparó con los demáslos demás

Simulación Numérica por Monte Carlo (SNMC)Carlo (SNMC)

Combina distribuciones de probabilidad de las variables de entrada de acuerdo al modelo de medición y arroja valores para la variable de salidamedición y arroja valores para la variable de salida Igual que en el caso de la aplicación del método

GUM, la Simulación Numérica por el Método de Monte Carlo descrita en el suplemento 1 de la GUM no considera el caso multivariable de salida

Para la estimación de la incertidumbre de losPara la estimación de la incertidumbre de los estimados de salida (estimados de masa de las pesas) se hace la generalización para el cálculo matricialA nivel multivariable no se había desarrollado laA nivel multivariable no se había desarrollado la

simulación, salvo en pesas de igual valor nominal(CENAM).

SNMC

( )nXXXfY ,...,, 211 = Y1X2X ( )

( )nXXXfY ,...,, 211 = Y1X2X ( )2X

X

( )nXXXfY ,...,, 212 = 2Y

( )XXXfY = Y

2X

X

( )nXXXfY ,...,, 212 = 2Y

( )XXXfY = YnX ( )nn XXXfY ,...,, 21= nYnX ( )nn XXXfY ,...,, 21= nY

SNMC

V i bl d t dVariables de entradaDiferencias en masa Variables salida

V t d lDensidades del aireV lú d l

Vector de las pesas a

libVolúmenes de las pesas Valor del patrón

calibrar

p

Resultados k=1

500 g

-0,1050

-0,0950

-0,0850

(mg)

-0,1250

-0,1150

0,1050

orre

cció

n (

-0,1550

-0,1450

-0,1350Co

C AL C AL C AL C AL

SN

MC

MA

TRIC

IA

SN

MC

MA

TRIC

IA

SN

MC

MA

TRIC

IA

SN

MC

MA

TRIC

IA

Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.

Resultados k=1

200 g

0,020

0,030

0,040m

g)

-0,010

0,000

0,010

Cor

recc

ión

(

-0,030

-0,020

0,0 0C

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.

SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC

g g g

Resultados k=1

200 g*

0,005

0,015

0,025m

g)

-0,025

-0,015

-0,005

Cor

recc

ión

(

-0,045

-0,035

,C

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.

SN

MAT

RIC SN

MAT

RIC SN

MAT

RIC SN

MAT

RIC

g g g

Resultados k=1

100 g

-0 045

-0,035

-0,025m

g)

-0,065

-0,055

0,045

Cor

recc

ión

(

-0,085

-0,075

C

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.

SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC

g g g

Resultados k=1

100 g*

-0 130

-0,120

-0,110m

g)

-0,150

-0,140

0,130

Cor

recc

ión

(

-0,170

-0,160

C

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

NM

C

CIA

L

Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.

SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC SN

MA

TRIC

g g g

Conclusiones

Los estimados o correcciones de las SNMC no varían significativamente de aquellos provenientes de los g q pmétodos matriciales.En algunos caso la incertidumbre estimada de las SNMC

difiere significativamente de la incertidumbre estimada di t l li ió d l GUMmediante la generalización de la GUM.

La pesa de 100 g es comúnmente utilizada como referencia para la década subsecuente, por tal motivo es de suma importancia tener estimados confiables y con lade suma importancia tener estimados confiables y con la incertidumbre apropiada.La SNMC permite calcular la correlación entre los

estimados de masa para el modelo Ortogonal .estimados de masa para el modelo Ortogonal .

Conclusiones

Los estimados de las correcciones, del vector β son iguales con respecto a suvector β son iguales con respecto a su simulación, y en general entre métodos, no existen diferencias significativas.gDonde no se cumple el principio de

igualdad de varianza, los resultados de l ét d d t d álos métodos que ponderan tenderán a diferenciarse de los métodos que no ponderanponderan.

Conclusiones

Los coeficientes de correlación resultantes de la simulación numérica para el método ortogonal son lossimulación numérica para el método ortogonal, son los más bajos.Los resultados de GM tenderán a parecerse a losLos resultados de GM tenderán a parecerse a los

resultados de MCP-ML conforme las varianza de las contribuciones tipo B sean menores en relación a la varianza de la contribución tipo Avarianza de la contribución tipo A.Como resultado de este trabajo se recomienda

emplear el modelo matemático de GM y aplicar laemplear el modelo matemático de GM y aplicar la simulación numérica por el método de Monte Carlo