compensacion en frecuencia

7/16/2019 Compensacion en Frecuencia

http://slidepdf.com/reader/full/compensacion-en-frecuencia-568bd2ea90c5d 1/36

Compensación:Métodos de respuesta en frecuencia

Autores: Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica,

Facultad de Ingeniería, UNAM.



Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

1.- Compensación en adelanto




Se utiliza el compensador en adelanto siguiente

101

1

1

1)(

s

s K

s

s K sG ccc

1

1)(

j

j K jG cc m

0

m

1

)1(2

1

)

1(2

1

1. Compensación en adelanto

donde es el factor de atenuación y es la ganancia delcompensador adelanto. El diagrama polar del compensador es

c K




10

0

10

20º90

º01.0 1 10 100

dB

10

El ángulo de fase máximo se observa por la recta tangente a la gráficapolar y que pasa por el origen. Este ángulo máximo dependerá del

valor de , aumentando si disminuye. La relación -ángulomáximo es

1

1m sen

El diagrama de Bode del compensador, para es1.0,1




1

log1

log2

1log m

1m

De la gráfica de Bode se observa que el ángulo máximo delcompensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero

Técnicas de compensación en adelanto

1. Suponga el compensador en adelanto

1

1

s

s K sG cc

defina c K K El compensador y la planta en lazo abierto quedan

s KG s

s sG sGc

1

1




Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constanteestática de error propuesta

K

2.- Dibuje el diagrama de Bode , que es el sistema con laganancia ajustada sin compensar.

)( s KG

3.- Determine el ángulo de fase que se necesita agregar al sistema. A

ese valor, agréguele de 5º a 12º más (por el desplazamiento de lamagnitud).

4.- Con el ángulo deseado, determine el factor de atenuación

1

1m sen

después determine la frecuencia donde la magnitud del sistema nocompensado sea

1log20




Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia.Utilizando esta frecuencia la ecuación

1m

se obtiene el valor del cero y del polo

1

1

5.- Con y , calcule la constante del compensador K

K K c

6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.




Compensadores en adelanto

Ejemplo: Diseñe un compensador en adelanto que haga que el erroren estado estable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constantede error estático de velocidad sea de . Al mismo tiempo, elmargen de fase sea mayor a 45°. En el siguiente sistema:

v K

120 seg

)3(

5.7

)( s s sG

Soluc ión:

1) Se supone un compensador en adelanto de la forma

1

1)(

j

j K sG

cc

nota: La forma normalizada del compensador, permite ver laaportación de ganancia del compensador .)( c K

se define c

K K




2) Se encuentra la ganancia que junto con el sistema cumplan con laconstante de error estático de velocidad.

205.2)3(

5.7lim)(

1

1lim)()(lim

000

K

s s

K s s KG

s

s sG s sG K

s sc

sv

8 K

3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con laganancia K

K

)3(

60)(

s s

s KG

)13

1(

20)(

j j

j KG


http://slidepdf.com/reader/full/compensacion-en-frecuencia-568bd2ea90c5d 10/36Diagrama de Bode





4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el

adelanto de fase que se requiere agregar: 9.21 f 45deseado f

5 f f m M deseado M

281.28m

5) De se obtienem

1

1

m

sen

361.0




6.- Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregarel compensador. Se utiliza )/1log(20

4249.4)361.0/1log(20

se observa en el diagrama de Bode en qué frecuencia se tiene unamagnitud de y se define como la nueva frecuencia decruce de ganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es

)/1log(20

./77.9 seg rad c

Después se hace que a estafrecuencia ocurra el máximoaumento de fase . En otraspalabra es la frecuenciamedia entre frecuencia de corte

del cero y del polo.

c

m




cm

1

7.- Se obtiene el cero y el polo del compensador

8701.5

1

c 2607.16

1

c

cero polo

8.- Con y se obtiene la ganancia del compensador K

16.22

K K

c

y el compensador es

2607.16

8701.516.22)(

s

s sGc




seg rad a

f

/77.9

1.45 GGc

GGc

G

G

cG

cG




2.- Compensación en atraso




2. Compensación en atraso

Se utiliza el compensador en atraso

11

1

1

1)(

s

s K

s

s K sG ccc

el valor del polo es más positivo que el del cero .

1

1

El diagrama polar del compensador en retraso es

0

c K c K

Re

Im




Mientras el diagrama de Bode es el siguiente:

0

10

20

º90

º0

01.0 1.0 1 10

dB

10

1

1c K

Tanto el diagrama polar como el de Bode muestran el valor másnegativo de la fase entre las frecuencias de corte del polo y el cero.Mientras que la magnitud total disminuye en 20 dB. Por lo que sebusca una atenuación en altas frecuencia para aportar un margen defase adecuado al sistema.




Técnicas de compensación en atraso

1. Suponga el compensador en atraso

11

1

1

1)(

s

s K

s

s K sG ccc

se define c K K

y el sistema compensado es

)(1

1)()( s KG

s

s sG sGc

2.- Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constanteestática de error propuesta

K

3.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la

ganancia . K




4.- Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados.Entonces encuentre la frecuencia donde el ángulo de la fase es -180ºmás el margen de fase requerido, más unos 5 o 12 grados.

5.- Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la

ganancia.

6.- Después seleccione la nueva frecuencia de corte del cero máso menos una década alejada del nueva frecuencia de cruce de la

ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar de lafrecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. La limitante es nohacer la constante de tiempo del polo muy grande.

1




7.- Determine la atenuación necesaria para llevar la curva demagnitud a cero dB, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta

atenuación se determina el valor de .

log20dB

8.- Con el valor de y el cero, se obtiene la frecuencia de corte delpolo

1

9.- Por último se obtiene la ganancia del compensador:

K

K c




Compensadores en atrasoEjemplo: Compense el siguiente sistema:

de forma tal que la constante de error estático de velocidad sea de. , el margen de fase sea al menos de 40° y el margen de

ganancia al menos de 10dB.

)2)(1(2)(

s s s sG

v K

15 seg

Soluc ión:

1) Se utiliza un compensador en atraso de la forma

1

1)(

s

s K sG cc

se define c K K

C f




2) Ajustar la ganancia para que junto al sistema cumpla con lasespecificaciones de error estático de velocidad.

K

5)2)(1(

2lim)(

1

1lim

00

s s s sK s KG

s

s s K

s sv

5 K

3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con laganancia K

)2)(1(

10)(

s s s s KG

)15.0)(1(

5)(

j j j j KG

C ió tili d ét d d t f i




Diagrama de Bode

3)





4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tieneun margen de fase de -13°, por lo que es inestable.

Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ángulo de fasede -180°+ el margen de fase deseado + 12° de compensación por elcambio de fase.

º128º12º40º180





5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia decorte una década menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia.En este caso correspondería a , pero por cuestiones dediseño, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y seopta por asignar al cero una frecuencia de corte de

log2020

./.05.0 seg rad

./.1.0 seg rad

1.01

6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruceseleccionada ( ) la magnitud pase por 0dB. De lagráfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruceseleccionada, la magnitud es de 19.4. Se considera que hay que

restar 20 dB.

./.469.0 seg rad

10





7) Con el valor de y el valor del cero, se obtiene el polo

10011

8.- Por último se obtiene la ganancia del compensador:

10

5

K

K c

01.0

1.05.0)(

s

s sGc

El compensador en atraso queda:





seg rad a

M f

/454.0

6.41

GGc

GGc

G

GcG

cG





3.- Compensación en atraso-adelanto

Compensación tili ando métodos de resp esta en frec encia




1,11

11

)(

2

2

1

1

s

s

s

s K sG cc

3. Suponga el compensador en atraso-.adelanto

1 0

1

Im

Re

•Es común seleccionar•Para el compensadores en atraso.•Para el compensador

es en adelanto.•La frecuencia es aquella dondeel ángulo de fase es cero.

10

1

Fig. 1Diagrama polar.,1

c K

1





0

10

20

º0

1

001.0

dB

º90

º90

10

1

01.0

1

1.0

1

1

1

10

1

100

Fig.2 Diagrama de Bode del compensador atraso-adelanto.

.10,,1 12 c K

211

1

La frecuencia se obtiene de:1





Compensadores en atraso-adelanto

Ejemplo: Compense el siguiente sistema cuya función de transferencia:

se desea que la constante de error estático de velocidad sea de . , , el margen de fase sea de 50° y el margen de ganancia al

menos de 10dB. Utilice un compensador atraso adelanto.

)2)(1()(

s s s K sG

v K

110 seg

1) Como el sistema tiene ganancia ajustable , se considera . K c

K

Del requisito de error de error estático de velocidad, se obtiene

102)2)(1(

)(lim)()(lim00

K

s s s

K s sG sG s sG K c

sc

sv

20 K





2) Se dibuja el diagrama de Bode del sistema no compensado con 20 K

El margen de fase es de -32º. El sistema es inestable.





3) Seleccionar la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Ésta será lafrecuencia donde . El diagrama de Bode muestraº180)( jG

./5.1 seg rad c

4) Se selecciona la frecuencia de corte del cero del compensador dela parte atraso, una década por debajo de la frecuencia de cruce:

./15.01

2

seg rad





5) Con el máximo adelanto de fase deseado, se obtiene

1

1

m sen si º50m 548.7

pero se escoge que corresponde a10 º9.54m

6) Con esto la frecuencia de corte del polo del compensador parteatraso es

./015.01

2

seg rad

Entonces la parte de atraso del compensador queda:

015.0

15.0

s

s





7) Para la parte de adelanto, se utiliza el valor de magnitud en lafrecuencia de cruce de ganancia (ver Diagrama de Bode). En este

caso es: B jG d13)5.1(

Se selecciona el punto (1.5 rad/seg. , -13 dB ), se traza una línea rectade pendiente 20 dB/década, donde intersecte la línea de -20 dB es lafrecuencia de corte del cero de adelanto ( )y dondeintersecte la línea de 0 dB, es la frecuencia de corte del polo deadelanto ( ). la parte de adelanto es

./7.0 seg rad

./7 seg rad

7

7.0

s

s

El compensador atraso-adelanto queda

7

7.0

015.0

15.0)(

s

s

s

s sGc





)( sGc

)( sGc

)()( sG sGc

)()( sG sGc

)( sG

)( sG

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