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芝浦工業大学情報工学科芝浦工業大学情報工学科青木　義満青木　義満

第第 44 回回投影・ビューイングパイプライン投影・ビューイングパイプライン

モデリングモデリング

2006/05/8 Computer Graphics 2

今日の講義内容今日の講義内容

座標変換 ( 教科書２章， 2-2 ， 2-3, 2-4)カメラ，光源の位置，方向，モデル形状の記述，変換などに共通して必要な座標変換について学ぶ

３次元座標変換 投影 ビューイングパイプライン

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教科書との対応教科書との対応

「コンピュータグラフィックス」 , CG -ARTS 協会

Chapter 2-2 　 3 次元座標変換 pp.26-31 Chapter 2-3 　投影　　　　　　　　　　 pp.32-

40 Chapter 2-4 　 ビューイングパイプライン　

pp.41-43

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任意の軸のまわりの回転任意の軸のまわりの回転

直線が原点を通るよう平行移動 直線が軸（例えば x 軸 ) と重なるよ

う回転 x 軸まわりに θ だけ回転 もとにもどす ( 回転、平行移動 )

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3 次元空間中にある一つの立方体

様々な物体の見え方　様々な物体の見え方　 (( 投影変換投影変換 ))

いくつかの要因により，様々な見え方

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物体の見え方は何で決まる？物体の見え方は何で決まる？

•　視点の位置

•　視線の方向

•　物体と視点との距離

•　照明位置・方向，種類

•　物体表面の材質

視点

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投影の原理投影の原理

投影とは？ ３次元図形をディスプレイモニタの画面や紙等の二次元平

面上に表示するために，３次元図形を２次元図形に変換する処理のこと．

透視投影と平行投影

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透視投影透視投影 （（ Perspective projectionPerspective projection ））

X

Y

Z

C( 視点 )

Pw (Xw, Yw, Zw)

f

x

y

Pi ( xi, yi ) 相似関係より， xi : f = Xw : Zw

yi : f = Yw : Zw

Pw (Xw, Yw, Zw) : 視点を原点とした際の点 P の 3 次元座標Pi ( xi, yi ) 　：　 P の投影面（画像面）上での座標値 w

wi Z

Xfx =

w

wi Z

Yfy =

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w

wi Z

Xfx =

w

wi Z

Yfy =

Zw, つまり，視点から物体までの距離（奥行き方向）が大きいほど・・・

平面 1 （手前）

平面 2 （奥）

y

x

平面 1 （手前）

平面 2 （奥）

f, Xw, Yw 　一定のもと，

視点から物体までの距離（ Zw ）が∞になると．．．

消失点

→　 xi , yi の値は小さくなる．

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透視投影の特徴透視投影の特徴

遠くのもの（ Z 値が大きいもの）が近くのもの（ z 値が小さいもの）より小さく描かれる．→　遠近感

人間のものの見え方と同様 写実的な画像表現 映画やゲームなどの表現に多用

平行な線が歪んで描画 ものの形を正確に把握するには不向き

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平行投影平行投影 （（ Parallel projectionParallel projection ））

w

wi Z

Xfx =

w

wi Z

Yfy =

ZZf w Δ−= とおくと，

www

ww

w

wi X

Z

Z

Z

XZZ

Z

Xfx )1()(

Δ−=Δ−==

wZZ <<Δ ならば （視点から物体までの距離が，画像面から物体までの距離に比べて非常に大きい）

wi Xx ≅

wi Yy ≅

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平行投影の特徴平行投影の特徴 遠くのものと近くのものが同じ大きさで描画

写実的画像作成，映画，ゲームには使われない．

平行な線が投影面上でも平行，歪みのない投影図 ものの形を正確に把握するのに有効 CAD の設計図やグラフの描画等に向く

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投影（３次元投影（３次元→→３次元）３次元）

実際には，３次元→２次元でなく，３次元→３次元の投影変換

奥行き方向の計算も含まれる クリッピング 隠面消去，隠線消去　に必要！

３ D→ ３ D の計算方法は， p.35-p.38 に

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ビューボリュームと投影ビューボリュームと投影

透視投影における画角の効果

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ビューボリュームとクリッピングビューボリュームとクリッピング

キーワード ビューボリューム クリッピング 前方クリッピング面 後方クリッピング面 ウインドウ（投影面）

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ビューイングパイプライン（ビューイングパイプライン（ p.41p.41 ））

ビューイングパイプライン 図形が定義され，各種の変換を受けて最終的に表示されるまでの一連の過程 複数の座標系の設定，及び幾何学的変換処理が必要

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モデリング変換モデリング変換→→視野変換視野変換

モデリング変換 ワールド座標系： モデリング座標系： モデリング座標系→ワールド座標系

視野変換 カメラ座標系： ワールド座標系→カメラ座標系

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投影変換投影変換→→ビューポート変換ビューポート変換

投影変換 カメラ座標系→投影座標系 透視投影と平行投影

ビューポート変換 デバイス座標系 ビューポート ビューポート変換

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全体の変換，及び例全体の変換，及び例

全体の変換

モデリング変換と視野変換の例

モデリング座標系→ワールド座標系

ワールド座標系→カメラ座標系

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モデリングモデリング

モデリングとは？ 描きたい物体の形，位置，大きさなどをコンピュータ内部

で表現する作業のこと 出来上がったデータ　→　モデル

目的に応じた，適切なモデリングのために・・・

多面体の表現方法 曲線，局面の表現法 自然物，複雑な形状のモデリング方法

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様々な形状モデリングの例様々な形状モデリングの例

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形状モデル（多面体の形状表現手法　１）形状モデル（多面体の形状表現手法　１）

ワイヤーフレームモデル 特徴点座標，稜線だけを記録することによって立体を表現

したモデル

特徴特徴

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ワイヤーフレームモデルのデータ構造ワイヤーフレームモデルのデータ構造

頂点リストと稜線リスト

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形状モデル（多面体の形状表現手法　２）形状モデル（多面体の形状表現手法　２）

サーフェスモデル ワイヤーフレーム＋面情報

特徴特徴

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サーフェスモデルのデータ構造サーフェスモデルのデータ構造

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サーフェスモデルの実例サーフェスモデルの実例

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形状モデル（多面体の形状表現手法　３）形状モデル（多面体の形状表現手法　３）

ソリッドモデル サーフェスモデル＋物体の内外を区別する情報

特徴特徴

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シェーディングとレイトレーシングシェーディングとレイトレーシング

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形状の表現法の進化形状の表現法の進化

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ソリッドモデルの形状表現ソリッドモデルの形状表現 (p.50-)(p.50-)

建築物や乗り物　→　人工的な物体比較的、単純な形状の組み合わ

せ主に人工物を設計する CAD の分野で使用されている表現

境界表現CSG 表現スイープ表現局所変形

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境界表現境界表現

頂点・稜線・面のデータ + 接続関係をグラフで示すことで立体を表現

3D-CAD における基本表現！3D-CAD における基本表現！

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境界表現（境界表現（ B-repsB-reps ）のデータ構造）のデータ構造

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CSGCSG 表現表現

立体をプリミティブ（基本立体）と，その組み合わせ表現

基本立体の種類，大きさ，位置情報，結合状態をツリー構造であらわす

基本立体：　立方体，円柱，多角柱，錐体，球

集合演算：　和集合，積集合，差集合，補集合　

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CSGCSG 　　 TreeTree

CSG Tree

引き算

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CSGCSG 表現 の例表現 の例

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スイープ表現スイープ表現

平面図形を一定方向に移動したときの軌跡で立体を表現

局所変形との組み合わせで，様々な形状を表現可能 平行移動スイープ，回転移動スイープ

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他の表現方法　他の表現方法　

ボリューム表現八分木表現 フラクタル図形 メタボール パーティクル

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ボリューム表現ボリューム表現 立体を 3 次元の格子点上の小立方体

の集合で表す 小立体→ボクセル（ 2 次元→ピクセ

ル） 各ボクセルの中央（あるいは角）に属性値を持つ ( 例 : 色情報）

長所 データ構造が単純，集合演算が容易 人工的な物体より，自然界の不規則

な形状表現に適する 短所

データ量が膨大，操作に手間がかかる

ボクセル＋透過率　→　ボリュームデータ　→　ボリュームレンダリングボクセル＋透過率　→　ボリュームデータ　→　ボリュームレンダリング

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ボリュームレンダリングの実例（ボリュームレンダリングの実例（ 1)1)

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ボリュームレンダリングの実例（ボリュームレンダリングの実例（ 2)2) 　透過　透過

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八分木表現八分木表現

ボクセルを階層的に，木構造で生成 物体が存在するボクセルのみ細かく分割 空間量（メモリ）も少なくて済み，高速

３次元画像の八分木表現

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フラクタル図形フラクタル図形 全体形状がその形状の各部分にも現れるような形状． 自己相似形状 , 再帰構造

例）コッホ曲線，ジュリア集合，マンデブロ集合など

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中点変位法中点変位法 中点に起伏量Ｚを加える操作を繰り返す 起伏量 Z は，正規分布に従う乱数によって決定 線分の長さが短くなるほど，標準偏差を小さくしていく

Ｘｍ＝（Ｘ１＋Ｘ２）／２ 、Ｙｍ＝（Ｙ１＋Ｙ２）／２ＸＸ ＝ Ｘｍ ＋ Ｚ、ＹＹ ＝ Ｙｍ ＋ Ｚ

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中点変位法による画像生成中点変位法による画像生成

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メタボールメタボール 立体を球の集まりで表現 距離とともに減衰する影響力（関数）を定義し , その重ね合わせで形状を表現 →　雲，人体の表現

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メタボールによる形状表現の例メタボールによる形状表現の例

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パーティクル パーティクル （（ p.91p.91 ））

形状が不定で，明確な表面が存在しない物体 樹木，炎，滝，雲　などの自然物

一定の規則に従って生成した多数の粒子で表現 粒子（パーティクル）の生成，移動，消滅，衝突　の物理的規則が必要

パーティクルで表現した炎と煙

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モデリング手法の選択　モデリング手法の選択　

モデリングする物体の特徴 シーン中での物体の重要度 画像作成の目的 要求される精度とデータ量，計算量との関係 静止画像と動画像 レンダリング速度

LOD （ Level Of Detail ）

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次回講義予定次回講義予定

モデリング（３章） 曲線・曲面 ポリゴン曲面の表現