a) El modelo de conducción bidimensional.

Considerando una sección de un sólido

Sujeto a dos temperaturas T1 y T2

y

T1 T2 <T1 isoterma

x

Métodos.

(1) Analítico. Separación de variables.

(2) Gráfico.

(3) Numérico.

(a) Diferencias finitas.

(b) El elemento finito.

(c) Elemento en la frontera.

xQ"

yQ"

"

Q

0

"""

2

2

2

2

y

T

x

T

QjQiQ yx

b) MÉTODO ANALÍTICO. SEPARACIÓN DE VARIABLES

Tomando un elemento rectangular como: y

T2 θ=1 T2 ≠ T1

T1 W T1 L

T1 θ=0 x

Se puede separar si ambas partes son Iguales a la misma constante.

Si θ(0,y) = 0; C1 = 0; Con: θ(x,0) = 0

Indica que se debe eliminar la dependencia de x no es por ahí la solución

2

2

2

2

2

2

2

2

12

1

11

)().(),(:

11),(0),(

0)0,(0),0(.

0;

dy

Yd

Ydx

Xd

X

yYxXyxasumese

WxyL

xyfronteraCyxTT

TT

)()(

0

0

4321

432

2

2

212

2

2

yy

yy

CCxSenCxCosC

CCYydy

Yd

xSenCxCosCXxdx

Xd

0

0)(

2

43432

Cy

CCCCxSenC

SIGUE SEPARACIÓN DE VARIABLES

Si θ(L,y) = 0

Combinando Ctes y reconociendo que la

nueva Cte depende de los valores de “n”.

:

Si θ(x,W) = 1

Si f(x) puede ser expresada en términos de una

serie infinita de funciones ortogonales.

0)(42 yyLSenCC

)(

,...3,2,1,0

42L

yn

L

yn

L

xnSenCC

nL

nLSen

satisfacenquediscretosvalores

L

ynSenh

L

xnSenCyx

linealessistemaSi

L

ynSenh

L

xnSenCyx

nn

n

1

),(

),(

Lxparasortogonaleson

L

xnCosy

L

xnSen

nmdxxgxg

sibxaensisortogonaleSon

xgxgxg

L

WnSenh

L

xnSenCWx

n

b

a m

n

nn

0

;0)()(

)()...().(

1),(

21

1

1

)()(n

nn xgAxf

SIGUE EL MÉTODO

An en esta serie se puede determinar

Multiplicando cada lado de la ecuación por

gn (x) e integrando de a ; b.

Algunos términos de la derecha pueden ser

Cero.

Θ(x,W) = 1, se puede escoger como: f(x) = 1 y

Entonces:

b

a nn

nn

b

a n dxxgAxgdxxgxf )()()()(1

b

a n

b

a n

n

b

a n

b

a nn

dxxg

dxxgxfA

dxxgAdxxgxf

)(

)()(

)()()(

2

2

)()(L

xnSenxgn

)(

)(1)1(2

),(

,....3,2,1;.

112

)1(21

)(

)1(2

1

1

1

1

1

1

0

2

0

yWn

Senh

yyn

Senh

L

xnSen

nyx

n

LWn

SenhnC

FourierPorL

xnSen

n

tienesexfdey

ndx

Lxn

Sen

dxLxn

SenA

n

n

n

n

n

n

n

L

L

n

Ejemplo 3.1. Calcule la temperatura en el punto medio (1.0, 0.5) de un sólido de L = 2 m y W = 1 m, tomando los primeros cinco no-cero términos y tase el error que se tendría al tomar solamente los primeros tres términos.

(a) y T2 = 1500C

W = !

T1 (1, 0.5) T1 = 50 0C

T1 L=2 x

Con “n” impar.

,...3,1,...4,2,02

2

42

1)1(2)5.0,1(

2

1,4

1,2

1:Re

)5.0,0.1(),(

1)1(2

),(

1

1

1

1

12

1

nconsiderarsolonparan

Sen

nSenh

nSenh

nSen

n

L

W

L

y

L

xqueconociendo

yxpuntoTomandoLWn

Senh

Lyn

Senh

L

xnSen

n

TT

TTyx

n

n

n

n

CTprimerostreslostomanseSi

CT

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

0

0

5.94;

5.9450)50150(445.0;445.0

0001.0008.0063.0755.02

2949

2

3

9

2

2747

2

7

7

2

2545

2

5

5

2

2343

2

3

3

2

2

42

22

)5.0,1(

c) EL MÉTODO GRÁFICO. Se usa cuando se tienen fronteras adiabáticas e isotermas. Se construye una red de isotermas y líneas de flujo de calor.

(1) Identificar las líneas relevantes de simetría

a Δy b Qi

Δx

ΔTj

c d

T1 T2

(2) Las líneas de simetría son adiabáticas, no hay

flujo de calor a través de ellas.

(3) Líneas isotermas son perpendiculares a las

adiabáticas

(4) Se forman cuadrados curvilíneos.

canaldellongitudlTempdesincrementoN

formadeFactorS

N

MlSTSkTk

N

MlQ

TNTT

x

Tlyk

x

TkAQ

asociadaslíneasMQQ

bdacy

cdabx

j

N

jj

jjii

M

ii

;.

).(

;

22

2121

121

1

FACTOR DE FORMA

En general la resistencia térmica es:

Problema. Determinar “S” para: (a) Pared

plana, cáscara cilíndrica y una esfera hueca.

-Pared plana

k Cáscara cilíndrica

L

Esfera hueca.

r2 r1

b) Una esfera térmica diam “D” enterrada

en un medio infinito.

medio k, T2

T1 D )2(

)2(

1;

1

DtcondDtcond

t

kRS

SkR

R

TTkSQ

L

AS

kA

LRt ;

1

2ln

2;

22

1ln

r

r

LS

Lk

r

r

tR

21

21 11

4;

11

4

1

rr

Srrk

Rt

rQ

DSTTD

kQ

TTD

k

Q

rk

Q

dTr

dr

k

Q

dr

dTrkQ

r

r

D

r

D

T

T

r

r

2;2

4

20

4

1

4

4

)4(

21

12

2

22

2

2

1

Ejemplo 3.2. Un cable de transmisión d = 25 mm, enterrado en una zanja a medio metro de profundidad en arena de Ka = 0.03 w/mK. La corriente disipa 1 w/m. La cubierta aislante de 3mm del cable con Kc = 0.01 w/mK. Calcule la temp en la interfase entre el conductor y el aislamiento cuando la temp de arena es de 200C

Diagrama:

t

z = 0.5 m arena r0

d kc

Circuito térmico.

Ti Ta

Rc Ra

Para la resistencia de la arena se usa un factor

de forma de un cilindro diámetro “d” enterrado

Con: D= d + 2t para z > 3D/2;

Para la cubierta del conductor

Para el circuito térmico

Observación: La resistencia del aislante es

el 13% del total. La máxima temperatura

Está en el centro del conductor.

rQ'

rg QE ''

W

mKx

kD

z

R

D

zL

Sa

a 11.22)03.0(2

)006.0025.0(

5.04ln

2

4ln

';4

ln

2

W

mK

k

rtr

Rc

c 42.3)01.0(2

0125.0003.00125.0

ln

2

ln

' 0

0

CT

RRQTTRR

TTQ

i

caraica

air

05.45)11.2242.3(120

)''(';''

'

d) ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS

La red nodal. Es un análisis numérico donde solo

se determina temperaturas en tiempos discretos. Se

seleccionan puntos, subdividiendo el medio de

interés en pequeñas regiones y se referencia el

centro como punto nodal o nodo y el conjunto total

de puntos en términos de red nodal.y n Δx ( m, n+1)

Δy (m-1,n) (m, n) (m+1,n)

x, m (m, n-1)

Cada nodo representa cierta región y su temperatura

es la promedia de la región, por ejemplo, la

temperatura del nodo (m, n). La exactitud depende

del número de nodos designados, entre mas nodos,

mejor.

Derivadas en diferencias finitas.

T

m-1

m

Δx m+1

x

2

1m

2

1m

x

TT

x

T

x

TT

x

T

nmnm

nm

nmnm

nm

,,1

,2

1

,1,

,2

1

LA ECUACIÓN DE CALOR EN DIFERENCIAS FINITAS

En un sistema bidimensional la ecuación de calor es:

LA SUMA DE LAS TEMPERATURAS ASOCIADAS CON LOS NODOS VECINOS ES CUATRO VECES LA TEMPERATURA DEL NODO DE INTERÉS

04

:;

)(

2

)(

2

.

0

,,1,11,1,

2

,1,1,2

1,

2

1,

,

2

2

2

,,1,1,2

1,2

1

,

2

2

2

2

2

2

nmnmnmnmnm

nmnmnmnmnm

nm

nmnmnmnmnm

nm

TTTTT

calordeEcuaciónLayxCon

y

TTT

y

yT

yT

y

T

x

TTT

x

xT

xT

x

T

FinitasDifEn

y

T

x

T

EL MÉTODO DE BALANCE DE ENERGÍA

La ecuación de diferencias finitas para un nodo

se puede encontrar usando el principio de la

conservación de la energía para un volumen

de control como la región nodal.

Considerando el nodo (m, n), el intercambio de

energía es influenciado por la conducción con

los cuatro nodos adjuntos.

(m, n+1)

Δy (m-1, n) (m, n) (m+1, n)

(m, n-1)

Δx

La conducción se realiza

con orientación (x, y)

Una aproximación por diferencias finitas

para el gradiente de temperatura en la

frontera de dos nodos se muestra en la

ecuación anterior.

0)1..(4

1),(

yxqQi

nmi

04).(

)1.(

)1.(

)1.(

,,1,11,1,

),()1,(),()1,(

),()1,(),()1,(

),(),1(),(),1(

nmnmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

Tk

yxqTTTT

yxCony

TTxkQ

y

TTxkQ

x

TTykQ

calordeconduccióndeÁreayx

TTykQ nmnm

nmnm

1.

)1.( ),(),1(),(),1(

0

saleentra EE

CASO DE SUPERFICIE AISLADA O EXPUESTA A CONVECCIÓN

Cuando se tiene una superficie en convección

(m, n+1)

Qcond

Qcond Δy

(m-1, n) Qcond (m+1,n)

Qconv

Qcond

(m, n-1)

Δx

Las condiciones en el nodo (m, n) son de

Convección en la mitad de líneas (x, y) debido

al fluido.

Que implica la asunción de que las superficies

expuestas en la esquina están a temperatura

que corresponde a la Tm,n

Se requiere que la suma de las ecuaciones

sea igual a cero. Con: Δx = Δy

y

TTxkQ

x

TTykQ

y

TTxkQ

x

TTykQ

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

,1,),()1,(

,,1),(),1(

,1,),()1,(

,,1),(),1(

)1.2(

)1.2(

)1.(

)1.(

))(1.2())(1.

2( ,,),( nmnmnm TT

yhTT

xhQ

0

genentra EE

0).

3(.

)(2

1,1,,11,,1

nmnmnmnmnm T

k

xhT

k

xhTTTT

Problema. Considere una esquina en la cual (a) dos caras son expuestas a conducción, cara superior aislada y la otra a convección (b) Las mismas caras a conducción y las

otras aisladas. Derive las ecuaciones de diferencias para los dos casos.

La configuración es:

(m-1,n) (m, n) Δx/2

Δy/2

Δy

(m, n-1)

Δx

.

Ecuación de balance de energía.

Caso con

Ambas caras aisladas

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

0

0

4321

QQQQ

EE saleentra

04

Q

012

2

:

0)(1.2

1.2

1.2

,,11,

,,1,,,1

nmnmnm

nmnmnmnmnm

Tk

xhT

k

xhTT

yxCon

TTy

hy

TTxk

x

TTyk

02

0;0

,,11,

43

nmnmnm TTT

hbienóQQ

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE DIFERENCIAS

Si se tienen “n” ecuaciones de diferencias finitas con “n” temperaturas

desconocidas, identificando los nodos por un simple subíndice en vez de (m, n)

por ejemplo, se puede usar el método de inversión de Matrices.

SeidelGaussporo

CAT

CAT

cTaTaTa

cTaTaTacTaTaTa

NNNNNN

NN

NN

1

2211

22222121

11212111

.........

..........